UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA
Depa amen d’Enginye ia de Sis emes, Au omà ica i In o mà ica Indus ial
A MIXED QUALITATIVE
QUANTITATIVE SELF-LEARNING
CLASSIFICATION TECHNIQUE
APPLIED TO SITUATION ASSESSMENT
IN INDUSTRIAL PROCESS CONTROL
Au o : J. Ca los Aguado Chao
Di ec o : Josep Aguila Ma ín
1998
SEGONA PART
OPERADORS
D'INDISTINGIBILITAT
I
RAONAMENT APROXIMAT
Capí ol
4.
In e encia
com
a
Raonamen
Ap oxima
en
Lògica
Di usa.
Suma i:
S'in odueix
el
coneixemen basa
en
egles
en
Lògica
Di usa,
i la
Regla Com-
posicional d'In e ència
(CRI)
com a
mecanisme
d'in e ència.
A
con inuació,
es
quan i ica
la
semblança en e
e s
agues mi jançan
la
T-indis ingibili a
na u al a aluada sob e
les
se es
uncions
ca ac e ís iques,
i es
mos a així
que
o es
les
o mes
de CRI
sa is an
el
p incipi gene al
de
dedui
esis
semblan s
d'hipò esis
semblan s.
A
pa i d'aquí s'in e eix
el
p océs,
i es
busca quins
són
els
mecanismes
de
deducció òp ims espec e
a
aques p incipi, ob enin
com
a
esul a
l'Ope ado Na u al d'In e ència. P oblemes
del
ma eix es il
enen
com a
solució al es ope ado s (l'Ope ado Na u al
Sime i za ,
i al-
es).
Finalmen ,
el
capí ol s'acaba
amb la
e isió
de dos
models
de
deducció
en
Lògica
Di usa
que
condueixen
de
o ma
independen
a
l'Ope ado Na u al
d'In e ència.
Apo acions
d'aques a
memò ia:
-
CRI
és
ope ado ex ensional
pe
qualse ol elació emp ada
(Teo emes 4.2.7
i
4.2.8).
-
L'ex ensió
de
uncions
és
ope ado ex ensional (Teo ema 4.2.10).
95
96
Capí ol
4
-
De inició
de
l'Ope ado
Na u al
d'In e ència
(De inició
4.3.1).
-
Ca ac e i zació
de
l'Ope ado Na u al d'In e ència
com a
òp im es-
pec e
l'ex ensionali a
i
l'o d e
pun ual (Teo ema 4.3.2).
-
De inició
d'al es
ope ado s (Ope ado Na u al Sime i za ,...)
i la
se a
ca ac e i zació
com a
solució
de
p oblemes
d'op imali a
espec e
a
l'ex ensionali a (Teo emes 4.3.11, 4.3.15
i
4.3.16).
In e encia
com
a
Raonamen Ap oxima
en
Lògica
Di usa
97
4.1
Coneixemen
basa
en
egles
i CRI
Llegim
en
[Dubois
&
P ade,
97] que
"les egles si/lla o s (i / hen ules)
o e eixen
un
o ma
adequa
pe
exp essa agmen s
de
coneixemen ".
De
e ,
quan
un
home pa la d'un sis ema ex e io
amb
l'ànim
de
desc iu e'l,
ho
a
a
a és
de
es
es adis:
1)
Selecciona
un
conjun
de
a iables
que
apa eixen
ben
di e enciades
a
l'en enimen . Mol es egades,
es
ac a
de
a iables assequibles
als
sen-
i s
d'una
o ma
immedia a (sensacions),
o bé de
de e minacions
més
p ecises d'aques es a iables
a
a és
de
sis emes
de
mesu a. D'al es
egades
són
en i a s
abs ac es
c eades
pel
p opi en enimen humà,
de
les
quals
es é la
ce esa
que
apa eixen so a
la
ma eixa
o ma
i
es uc-
u a
en
cada home (en i a s
a
p io i
en el
llengua ge
kan ià
[Kan ,
89]).
Tan
pe les
unes
com pe les
al es, pe què
hi
pugui ha e coneixemen
o
desc ipció
e ec i a
del
sis ema, s'ha
de
disposa ,
a
més, d'un sis ema
de
con as a -les
en
o ma
de
e s.
Així,
una
sensació
po
apa èixe
o no
e -ho,
una
mesu a
po
p end e
un
ce alo
o
ang
de
alo s,
o una
successió d'expe iències
en la
ida d'una pe sona sa is à alguna
o denació c onològica de e minada.
2)
Es ableix elacions en e
els
e s
en
o ma
de
egles si/lla o s.
Una
egla
lligà
dos
e s
A i B
es ablin
que "si
(Fe
A)
lla o s (Fe
J3)",
o
simplemen ,
"si A
lla o s
J3".
3)
Finalmen , p o a d'o gani za
les
egles
en
o ma
de
eo ia. L'objec iu
inal
és
ob eni
un
conjun
eduï
de
egles
a
pa i
de les
quals
es
puguin
dedui ,
pe
aonamen ,
o es
les
al es egles,
i es
pugui espond e
a
qualse ol p egun a
o mulada
sob e
el
sis ema desc i .
Pe ò
si
algunes
-po se
o es-
de les
a iables seleccionades
són de
na u alesa
g adual (pe exemple, escal o , al u a,
quan i a ,...),
a
al a
de
de e mina-
cions
més
p ecises, l'en enimen humà
les
con as a
en
o ma
de
e s
ambé
g aduals
i
implíci amen agues.
Així,
si la
a iable
és la
empe a u a,
po-
dem
con as a -la
a
a és
d'una
sensació è mica
pe
con ac e,
i els
e s
que
se'n de i en
són del
ipus "se
calen ",
"se
ed",
"se mol
calen ",...
En el
con ex
de la
Lògica
Di usa,
aques es eben
el nom de
a iables lingüís iques,
els
e s
associa s
es
e e eixen
pe
exp essions
del
ipus
"X és
A",
on A és
un
possible
es a
de la
a iable
X, que es
ep esen a
pe un
subconjun
di ús
HA
de
l'uni e s
de
discu s
on X
p en alo s
[Zadeh,
77].

98
Capí ol
4
Si
aques s
e s agues
es
elacionen mi jançan egles,
s'ob enen
les
egles
si/lla o s
di uses,
que
s'esc iuen
"si (X és A)
lla o s
(Y és
J3)".
Pe
simpli-
ci a ,
ens
e e i em ambé
a
aques es egles
com
"si
A
lla o s
B"
en la
es a
d'aques a
memò ia.
Les
egles di uses, enca a
que
àmpliamen
u ili zades
en el
llengua ge humà,
no
enen
un
signi ica
cla
uní ocamen
de e mi-
na ,
i des que
L.A. Zadeh
a
posa
de
mani es
la
se a
impo ància
en el
camp
de
l'Au omà ica
i el
Con ol, s'ha publica g an quan i a
de
eballs
d'in es igació
que en
donen in e p e acions mol di e ses. (Veu e [Godo,
e
al.,
97], [Dubois
&
P ade, 97],
pe un
ecull d'aques es in e p e acions).
Un
e
comú
a
o es
elles
és que
a ibueixen
a
aques ipus
de
egles
p opie a s
d'in e polació
del
coneixemen .
Pel e de se
aga,
una
egla
po se
aplicada
amb
més o
menys p opie a
a
si uacions di e ses
i, pe
an ,
ha de
pe me e
la
in e polació p ojec an
la
in o mació
a
si uacions
pe a les
quals,
en
sen i
es ic e,
la
egla
no ha
es a
inicialmen o mulada.
La
o mali zació
més
accep ada
de com
e ec ua
aques a in e polació
i, en
gene al,
de com
ac uen aques es egles
la
p opo ciona
la
Regla Composicional
d'In e ència
(CRI).
La
Regla Composicional
d'In e ència
es én
una
egla
di usa
"si A
lla o s
B"
(on
A i B són
subconjun s
di usos
de ini s sob e
dos
uni e sos
de
discu s
di e en s,
U i V
espec i amen ),
a
hipò esis
A'
("X és
A'")
di e en s
de
A,
i ho a
segons
el
següen esquema:
si
A
lla o s
5
A,A'e(Q,l]u
si
A1
B,
B1
e
[O,1}V
lla o s
B'
on
B'( )
=CRI(A')(í>)
=
SUP«€i,
T(A'(u),
RAB(U,V)),
pe o ü e V.
On T és una
-no ma,
i RAB '• U x V
—
>•
[0,
1]
una
elació
di usa,
que han
ana
a ian
depenen
de
l'època
i
l'au o
[Dubois
&
P ade,
91] des que
L.A.
Zadeh
a
in odui
GRI
pe
p ime a egada [Zadeh,
73].
En
o es
les
e sions,
pe ò,
T a el
pape
de
conjunció, men e
que RAB
ep esen a
la
elació
de
dependència en e
els
uni e sos
U i V que
indueix
la
egla
"si A
lla o s
B"
.
Enca a
que CRI ha
es a
àmpliamen u ili zada,
no
exis eix
una
base
eò ica
que
inclogui, d'una mane a cla a, o es
les
possibles elacions
RAB
<lue
ac~
ualmen
es an
se i
en
di e en s
con ex os
d'aplicació.
Els
in en s
de
ona-
men a
CRI es
poden ag upa segons dues línies d'explicació:
in e ència
com a
Raonamen Ap oxima
en
Lògica
Di usa
99
1)
In e p e ació
de CRI com a
Modus Ponens Gene ali za . Podem eu e
e lec i
en
l'esquema
de CRI el
Modus Ponens clàssic (i.e.
de A, i A
=$•
B,
es
dedueix
B), si
l'in e p e em semàn icamen
pe A A (A
=*•
B), i
conside em
connec i es
mul i aluades
en
[0,1]:
una
-no ma
T pe la
conjunció
A i una
unció
d'implicació
R pe la
implicació
=*-.
Aques a
in e p e ació
po a
[IVillas
&;
Val e de,
85b]
a
de ini
R(u,
) =
T
(A(u) B( )),
(la
implicació esiduada associada
a la
-no ma
T),
esul an -ne algunes millo es sob e al es ipus
de
elacions.
Una
a i-
an
d'aques
pun
de
is a,
que
consis eix
en
inco po a alo s
de
e i a
di usos,
es
oba
en
[Baldwin,
79] i
[Godo
e
al.,
91].
A
aques a línia
es
poden in e posa ,
almenys,
dues objeccions.
Des del
pun
de
is a eò ic, in e p e a
a
"i"
del
Modus
Ponens
com a
elemen
del
llengua ge
a
l'in odui
la
connec i
a
A (T) pe
modeli
za
a ni-
ell
semàn ic
"de A i A
=3-
B es
dedueix
B",
quan cla amen
aques a
conjunció
(i
o a
la
egla
del
Modus Ponens)
o ma
pa
del
Me allen-
gua ge.
I des del
pun
de
is a
de les
aplicacions, deixa
o a
mol es ela-
cions
que, ha en
es a
àmpliamen u ili zades
amb
èxi ,
són
di ícilmen
in e p e ables
com
a
elacions d'implicació
(el cas
pa adigmà ic
és,
sense
cap
dub e,
la de
Mamdani
RAB(U,V)
=
MIN{A(u),B( )}).
2)
In e p e ació
de CRI com a
aonamen
basa
en
p oximi a (Raona-
men
Ap oxima )
en
con ex
di ús.
Es
basen
en el e que les
esis
B'
ob ingudes
pe CRI
(i.e.
B'
=CRI(.A'))
no
can ien caò icamen
depenen
de les
hipò esis
A'
sinó que,
a
hipò esis "semblan s" co es-
ponen
esis
"semblan s".
El
p oblema p incipal
es à
en
o mali za
el
signi ica
del
e me semblan s.
"-
A
la
li e a u a
hi ha
mol es ap oximacions di e en s
al
ema.
Pe
exem-
ple,
les
"Resemblance Rela ions"
en
[Bouchon, Meunie
&
Val e de, 93],
la
in e p e ació d'algunes ècniques
de
Fuzzy
Con ol
en
e mes
de
simili uds
en
[Klawoon
&
K use,
93],
gene ali zacions
de CRI al
camp
dels in e als
[IHi ksen
&
Zhang,
90] i, ins i
o ,
la
p opos a
de
nous o -
malismes
o ça
di e en s
de
CRI,
que es
basen
en la
idea
d'in e polació
di usa
[Kóczy
&
Hi o a,
93].
Els
eballs exposa s
en
aques a
memò ia
s'inclouen
en
aques a
se-
gona
línia d'explicacions, p enen
com a
mesu a
de la
semblança
en-
e
dos'subconjun s
di usos
la
T-indis ingibili a
na u al, in oduïda
al
Capí ol
3
(De inició
3.2.7).
100
Capí ol
4
4.2
Ope ado s
d'in e ència
ex ensionals
En
la
secció
an e io s'ha is
que la
Regla Composicional d'In e ència
es po
in e p e a
com a
Modus Ponens (gene ali za )
en el
ma c
de la
Lògica
Di usa.
Aques
pun
de
is a
es
basa
en la
conside ació dels
alo s
de
e i a
que
¡ÍA
(la
unció
ca ac e ís ica
del
di ús
A),
p en sob e
els
elemen s
de
l'uni e s
de
discu s,
i en el seu
ac amen
uncional
a
a és
de les
connec i es
conjunció
i
implicació ma e ial
de la
lògica mul i aluada.
Com
se ia, pe ò,
el
Modus Ponens gene ali za
en el
ma c d'un Raonamen
Ap oxima
basa exclusi amen
en la
noció
de
p oximi a ?
Una
possible
espos a
la
p opo ciona
el
següen esquema:
"si
(Fe
A)
lla o s (Fe
B)"
"(Fe
A')
ap oximadamen igual
a
(Fe
A)"
:
„
(4.2.1.)
"(Fe
B')
ap oximadamen igual
a
(Fe
B)".
Aques esquema
p esen a
dos
e s
ema cables.
En
p ime lloc l'exp essió
"ap oximadamen
igual"
és
in encionadamen equí oca,
i, a
aques ni ell,
només
é un
sen i in uï iu. Cald à especi ica ,
en
cada domini
d'aplicació,
que
s'en én
pe
"ap oximadamen
igual".
En
segon lloc, aques esquema només es ableix
una
condició sob e
les
possi-
bles
esis
B1',
(això
és: que
siguin ap oximadamen iguals
a
JB,
la
esi
de la
egla),
en
comp es
de
selecciona
una
B'
en
pa icula
al i com ho a CRI o
el
Modus Ponens clàssic.
Així
doncs, aques Modus Ponens
que es
p oposa
pel
Raonamen Ap oxima
no
és en si
ma eix
un
mecanisme
d'in e ència,
sinó
una
condició
que han de
sa is e
els
mecanismes d'in e ència.
En
gene al,
com a
mecanismes d'in e ència
conside a em
aplicacions
amb
domini
en
l'espai
de les
possibles
hipò esis,
i
ima ge
en
l'espai
de les
possibles
esis
a
de i a .
En la
es a
d'aques
apa a
es
dona à
o ma
conc e a
a les
an e io s conside acions quan
els
e s
conside a s enen desc i s
pe
conjun s
di usos,
i el
g au
amb que dos
e s
són
ap oximadamen iguals
es
quan i ica
mi jançan
la
T-indis ingibili a
na u al.
In e ència
com a
Raonamen
Ap oxima
en
Lògica
Di usa
101
De inició
4.2.2.
Un
ope ado en e
els
uni e sos
U i V és una
aplicació
C:
[0,1]*-*
[0,1]".
A
pa i
de la
de inició
4.2.2 in oduïm
el
concep e
d'ope ado
ex ensional.
De inició
4.2.3.
Un
ope ado
C :
[O,
l]u
—»
[O,
l]
és
ex ensional espec e
a la
-no ma
T, o
T-ex ensional,
si és una
aplicació ex ensional espec e
a
EV
Í
Ey.
Si
no hi ha
ambigüi a , pa la em
simplemen
d'ope ado s ex ensionals, sense
cap
e e ència
a la
-no ma
T.
No ació:
OET
-
{C
:
[O,
l]u
—»•
[O,
l]
/ C és
ope ado
T-ex ensional}.
NOTA.
Reco dem
que la
condició
mínima
que
s'ha
d'exigi
a la
-no ma
"^~~T
T pe
assegu a
que ET i
E
són
T-indis ingibili a s
és la
con inuï a
pe
l'esque a espec e
les
dues a iables
pe
sepa a , (b eumen ,
T
con ínua
pe
l'esque a).
En la
es a d'aques capí ol,
(i de
o a
la
memò ia) suposem
que
aques a condició
es
dóna,
si no
s'especi ica
el
con a i.
Els
ope ado s ex ensionals
són
compa ibles
amb
l'esquema
4.2.1
si
in e -
p e em l'exp essió "ap oximadamen igual"
pe
"indis ingibili a
na u al
més
g an
o
igual
que".
D'aques a mane a,
pe
cada
a 6
[0,1]
ob enim:
"si
A
lla o s
B"
(4.2.4.)
P oposició 4.2.5.
Pe un
ope ado
C :
[O,
l]
—»
[O,
l]
són
equi alen s:
a) C és
ex ensional.
b)
Pe o a e
[0,1],
les
esis ob ingudes
a
a és
de C
(i.e.
B =
C
(A),
B'
=
C(A'),...)
són
compa ibles
amb
l'esquema 4.1.4.
Demos ació,
(a)
=$•
(b) és
i ial.
108
Capí ol
4
En
p ime lloc
es
ac a
el
p oblema din e
de la
classe dels
De inició
4.3.1.
L'Ope ado Na u al d'In e ència
associa
a la
egla
"si
A
lla o s
B"
,
i a la
-no ma
T,
se à:
A'
on
B'( )
=
T
lNFue /
(A'(u) A(u))
eTAB(A')
Figu a
4.1.
Ope ado Na u al d'In e ència
El
següen eo ema es ableix
de
quina mane a l'Ope ado Na u al d'In e èn-
cia
és
l'òp im din e
de la
classe dels
OI
ET-
Teo ema 4.3.2.
(a)
CAB
és
ope ado d'in e ència.
(b)
Pe o
A1
e
[O.l]17,
B
<
CTAB(A').
A
més,
si
A'
<
A
lla o s
CAB(A')
= B.
(c)
CAB
in e pola
la
egla
"si A
lla o s
B".

in e ència
com a
Raonamen Ap oxima
en
Lògica
Di usa
109
-~T
(d)
CAB
és
ope ado
T-ex ensional.
~"X
(e)
CAB
és
l'ope ado
més
g an espec e
<
(i.e.
menys especí ic) sa is en
(a),
(b),
(c) i
(d).
Demos ació.
(a)
Es
conseqüència immedia a
de la
mono onia
de T i del
INF.
(b) Pe
qualsse ol
o;,
y
€
[0,1],
T(x y)
>
y
Pe
an ,
dona
A'
€
[O,
l]ü,
pe o e V es é:
CTAB(A')( )
=
(lW (A'(u} A(u))B( )}
>
B( ).
íéU
J
D'al a
banda,
si x
<
y
lla o s
T(x y)
= 1.
Així,
si
A'
<u
A,
esul a
CTAB(A')( )
=
(iNF^
(A'( i)M< i))
|B( ;))
=
(l¡B( })
=
B( ),
pe
o
£V.
(c)
Segueix immedia amen
de
(b).
(d)
Dona
A'
i A" €
[0,1}U,
conside em
B1
-
CTAB(A'}
i B"
=
CTAB(A"}.
S'ha
de
p o a
que
E%(A',An)
<
£%(B'
B").
Pe
cada
E
V,
es é:
T(B»
|
B»j«))
=
l'(w)
j
A(u))
B( )
T
INF
(A"(u} A(u))
B( )
J
uÇ.U
/
/
g
^INF
(A»(u) A(u))
WFT(A'(u) A(u))}
=
im (A»( ) A( })
(A-( i)
A(u)}
(A'(u)
A(u)})
(,*»)
«€ /
/
I
>
INFT(A'(u) A(u))
>
(****)
i6Ü
>
INFMlN{T(A'(u) A"(u)},T(An(u) A'(u))}
u€U
=
IW
u€ /
110
Capí ol
4
on les
igual a s
i
desigual a s segueixen dels següen s
e s:
(*)
i
(****)
són
conseqüència
del
lema
de
simpli icació
1.2.17.
(**)
T(x y}
és
monò ona c eixen
i
con ínua
pe la
d e a espec e
la
a iable
y-
(***)
T(x y)
és
monò ona dec eixen espec e
la
a iable
x.
De
o ma
semblan s'ob ind ia
que
(B"
( )
B'( ))
>
1<%(A',A")
i, de les
dues,
ET(B'( lB»( }}
=
MlN{T(B'( )
B"
( )),
(B"
( )
B'( ))}
>
E^A'.A").
Finalmen , donada l'a bi a ie a
de € V,
ETV(B',B»)
=
WFET(B'( ),B»( ))
>
El(A',A»).
(e)
Sigui
T>
: [O,
l]u
—+
[0,
1}V
un
ope ado sa is en
(a), (b),
(c) i
(d).
T
Dona
A'
€
(O,
l]u,
olem eu e
que
T>(A')
<
CAB(A').
Conside em
A" =
SUP<u(A,A'),
(i.e.
A"
(u)
=
SVP{A(u),A'(u)}
pe o
u € U).
Òb iamen
A
<
A"
i, pe
an ,
!<%(£',
A)
=
lNFueU
ET(A"(u),A(u))
=
Com que
"D
sa is à
(b),
(c) i
(d),
se
segueix:
lW (D(A")( ) B( ))
=
INFMIN{Í
ÇD(A')( ) B( )), (B( ) 'D(A»)( )}
(b)
«e
W (d)
=
INFT(A»(u) A(u)).
Pe
an ,
pe
cada
6
V,
TÇD(An)( ) B( ))
>
lNFu€U (An(u)
A(u))
i,
com
a
conseqüència
del
lema 1.2.23,
V(A"}( )
<
sup{a€lO,l]/T(a|J3( ;))>INFT(-A'>(M)|A(«)}
=
=
(lW (A»(u) A(u)} B( ^
in e ència
com a iaonamení
Ap oxima
en
Lògica
Di usa
111
"}
<
CTAB(A"}.
-•-T
Pe ò
com que A" = A V
A',
i
CAB
és
ope ado d'in e ència,
es é
W
i,
d'al a
banda,
com que
£>
sa is à
(a) i
A'
<
A" es é
T>(A')
<
T>(A"),
esul an
inalmen
V(A')
<
T>(A"
)
<
C B
(A"
)
=
CTAB
(A1).
M
Una
conseqüència immedia a dels eo emes
4,3.2
i
4.2.7
és que si
in e pola
la
egla
"si A
lla o s
B"
(pe exemple
si
RAB
—
T(A(u) B( ))),
—'T*
lla o s
CRI^B
<
CAB-
^e
^»
e^
^ema
1-2.21
es ableix que,
a
ni ell
de
l'in e al
[0,1]
es é la
desigual a
( (x y) z
>
T(x (y z)),
i que no
al,
—/P
en
gene al,
la
igual a .
Pe
an ,
la
igual a ampoc ald à
si
conside em
CAB
en e subconjun s
di usos.
Exemple
4.3.3.
Conside em
U =
{uo,Ui,u2,u3},
V =
A =
(0,0'25,1,0),
A1
=
(0,0'5,1,0)
i B =
(0'5,0'3,1).
Les
esis
B'
que
s'ob enen
són:
>
T-p oduc e
>T
=
L
B'
=
CRiïB(A'}
=
(0'5,
0'5,
Ja
s'ha is
a la
secció an e io
que
CRI|^B,
quan
RAB
=
T(A(u) B( )}
s'ob é
d'es end e
als
di usos
de
[O,
I]17
i
[0,l]
el
model
T(x,T(y z))
de
l'in e al
uni a ,
i que
això
es a ia
sup ems
(
CRITRAB(A'))( )
=
SUP^T
(¿'(u),
(A(u) B( )))y.
En
can i,
si el
model
a
es end e
als
di usos
és T
(T(x y) z],
hi ha
dues
possibili a s:
SUPue /
T
( (A'(u) A(u)) B( )
i
112
Capí ol
4
(lNFu£UT(A'(u) A(u)) B( })
Com
que
T(xjy)
és
monò ona dec eixen
i
con ínua
pe
l'esque a espec e
la
a iable
x,
pe ò
no és (en
gene al) con ínua
pe la
d e a, esul a
que
SVP ( (A'(u) A(u)) B( ))
<
T(wF (A'(u) A(u)) B( }
=
C B(A'}.
La
igual a ,
en
gene al,
no
al.
Exemple
4.3.4.
Conside em
T
=MIN,
U -
{un} .eN,
V =
{ },
B( )
€
[0,
1]
al que
B( )
< 1, A €
[Q,l]u
al que AM
I
B( ),
i
A'
€
[0,1]"
al que
A!(un}
— 1, pe o n
€
N.
Lla o s
S JP ( (A'(un) A(un)) B( ))
=
SVP (T(l A(un)) B( ))
=
=
SUP (A(un) B( ))
=
n€N
neN
=
(INF
A(un) B( }}
=
n€N
/
Segons s'ha is
al
Capí ol
1 si la
-no ma
T és
a quimediana
no
es ic a,
lla o s
T(x y)
és
con ínua
pe la
d e a espec e
de la
p ime a a iable
£,
i
ambdós ope ado s coincideixen.
Més
en
gene al,
pe una
-no ma
T
con ínua
pe
l'esque a,
es é:
Lema
4.3.5.
Si
exis eix
UQ
E
U al que
ÏNFu£UT(A'(u) A(u))
=
),
lla o s
SUP
(
(A'(u) A(u)) B( )}
= T
(im (A'(u) A(u)} B( )^
.
In e encia
com a
.Raonamen
Ap oxima
en
Lògica
Di usa
113
Demos ació.
SVPT( (A'(u} A(u)) B( ))
<
<
S JP ( (A'(u) A(u)) B( )
No ació:
CTAB
=
SUPU€UT
( (A'(u) A(u}} B( )J.
Lema
4.3.6.
Pe
qualse ol
-no ma
T
con ínua,
pe
l'esque a,
i pe
RAB
=
T(A(u} B( )}
es é:
Demos ació.
Es
desp èn
de les
conside acions p eceden s.
•
A
més,
l'ope ado
C^B
p esen a
impo an s
p opie a s
es uc u als.
Teo ema
4.3.7.
(a)
Cjg
és
ope ado d'in e ència.
(b)
Pe o
A'
<E
[O,!]",
B
<
CTAB(A'}.
A
més,
si
A'
<
A
lla o s
ClB(A'}
=
B.
(c)
CTAB
in e pola
la
egla
"si A
lla o s
B"
.
(d)
CjB
és
ope ado
T-ex ensional.
Demos ació.
y
'
^
(a)
Es
conseqüència immedia a
de la
mono onia
de T i del
SUP.
(b)
Pe
qualse ol
x,y,z
€
[0,1]
es é que
T(T(x y) z)
>
z,
(a ès
que
T(T(x y) z)
és
monò ona c eixen espec e
x, i que
T(T(0|y)|z)
= z).

114
Capí ol
4
Pe
an ,
pe o
€.
V es é:
,
i
I
CAB(A')( )
=
SVP C (A'(u) A(u)) B( ))
>
SUP
B
( )
=
B
( ).
D'al a
banda,
si x
<
y es é
( (x y) z)
= z,
(pe què
T(z|y)
= 1).
Així,
si
A'
<u
A,
esul a
CAB(A')( )
=
SUP
( (A'(u) A(u)) B( )}
=
SUPB( ;)
=
B( ),
pe o G V.
(c)
Segueix immedia amen
de
(b).
(d)
Dona s
A1
i A"
€
[O,
I]",
conside em
B1
=
CAU
(¿O
i B" =
S'ha
de
p o a
que
T%j(A',A")
<
~E (B',
B").
Pe
cada
6
V, es é:
(B'( ) B"( ))
= T
SVPT( (A"(u) A(u)) B( )]
=
im (T(T(A'(u} A(u)) B( ))
>
im (T( (A'(u) A(u))B( ))
(„)
ueu
/
( (A"(u) A(u)) B( )}}>
INFÍ
>
INF
í1
(A'(u) A"(u))
>
(««»»)
ie
>
INF
MIN
uے/
U€Í/
on les
igual a s
i
desigual a s segueixen dels següen s
e s:
(*)
T(x y]
és
monò ona dec eixen
i
con ínua
pe
l'esque a espec e
la
a iable
x.
(**)
T(x y)
és
monò ona c eixen espec e
la
a iable
y.
(***)
i
(****)
són
conseqüència
del
lema
de
simpli icació
(1.2.17).
In e ència
com a
Haonamení
Ap oxima
en
Lògica
Di usa
115
De
o ma
semblan s'ob ind ia
que
(B"( ) B'( ))
>
E^A'^A"),
i, de
les
dues,
ET(B'(V),B"(V))
=
-
>
£T
(A'
A")
Finalmen , donada l'a bi a ie a
de €
V,
,££(B',
B")
=
INF
ET
(B'(
B"( ))
>
ËÎ(A',
A").
•
ue
A
con inuació
es
esol
el
p oblema
de
de e mina l'ope ado òp im espec e
l'o d e
pun ual
<
(i.e.
menys
especí ic),
din e
de la
classe dels ope ado s
ex-
ensionals
OE
(no
necessà iamen ope ado s
d'in e ència),
que
anomena em
ope ado
na u al
sime i za .
'
De inició
4.3.8.
L'Ope ado
Na u al
Sime i za
associa
a la
egla
"si
A
lla o s
B" i a la
-no ma
T,
se à:
A'
H-»
STAB(A')=B'
on
B'( )
=
(lNFuey
ET(A'(U),
A(u)) B( )}.
U
B'
,c-";- ,,;s
(
!,'-;
V-^ ',^;:-'-^?''";
'
::,:.
'
-'
^V!i:-aV:T.'V;'»
7
i -
.-•:.-.
i
•••••.
•-••••i
.
s
.;
V
Figu a
4.2. Ope ado
Na u al
Sime i za
116
Capí ol
4
L'adjec iu "sime i za "
en la
de inició
an e io
a
e e ència
al e que la
>P
ima ge
d'un
di ús
A'
pe
SAB
depèn només
de la
semblança en e
A'
i
A,
i
no
de
l'o denació pun ual.
En
pa icula , l'Ope ado Na u al Sime i za
no és un
ope ado d'in e ència.
Lema
4.3.8.
STAB(A'}( }
=T(É^(A',A) B( )
pe o e V.
Demos ació.
E iden .
•
Lema
4.3.10.
STAB(A')( )
=
{cTAB(A')
VCTA,B(A}}.
Demos ació.
Pe o 6 V,
SAB(A')(V)
=
(lNFET(A'(u),A(u)) B( )J
=
=
(U
(
=
SUP
{
(iNFÍ
(A'(u) A(u)) B( )J
,
(lNFT(A(u) A'(u)) B( ))
}
=
SUP
•'"'
'(u) À(u))
,WF (A(u),A'(u))} B( )J
=
El
següen eo ema es ableix
de
quina mane a l'ope ado na u al sime i za
és
òp im din e
de la
classe
OEx
dels ope ado s ex ensionals.
Teo ema
4.3.11.
(a)
STAB(A')
>
B, pe o
A'
e
[O,
í]u.
_
(b)
SAB
in e pola
la
egla
"si A
lla o s
B"
.
_
(c)
SAB
és
ope ado
T-ex ensional.
—T
SAB
és
l'ope
(a) (b) i
(c).
—T
(d)
SAB
és
l'ope ado
més
g an espec e
<
(i.e.
menys
especí ic)
sa is on
In e ència
com a
Raonamen
Ap oxima
en
Lògica
Di usa,
117
Demos ació.
(a)
T(x y)
és
monò ona c eixen espec e
la
a iable
x,
i
T(l B{ ))
=
B( ).
(b)
T i ial,
(c)
Dona
A'
i A"
£
[O.lp,
conside em
B1
=
STAB(A'}
i B" =
S'ha
de
p o a
que
E%(A',A")
<
Ëy(B',B").
Pe
cada
G
V,
es é:
(*)
'
<»*)
on (*) i
(**)
són
conseqüència dels lemes 1.2.17
i
2.1.9 espec i amen .
(d)
Dona
D :
[O,
l]u
—
>
[O,
l]
sa is en
(a),
(b) i
(c), s'ha
de
eu e
que
V(A')
<
T>TAB(A'},
pe o
A1
€
[O,
i .
Pe
cada
€ V es é,
degu
al
lema
1.2.23.
=
SUP
{a
e
[O,
l]/
(a|B(ü))
>
Ël(A',A)}
Pe ò
')( ;)|B( ;))
-
ET(D(A')( },B( }}
(c)
i,
pe
an ,
X>(A')(^)
<
«5jñ(A')(í;),
i
donada
l'a bi a ie a
de e V,
'
<
5
>
L'Ope ado
Na i al
Sime i za
S
AB
s'ob é
d'es end e
ais
di usos
de
[O,
I]17,
[O,
l]
la
ó mula
T(ET(x,y) z)
de
l'in e al uni a .
Com ja
passa a
amb
l'ope ado
na u al
d'in e ència,
hi ha
dues possibili a s
pe e
això:
No ació:
SÜPu€ /
(ET(A'(u) A(u)) B( )}
=
124
^^_^_
Capí ol
4
(c)
S^B
és
ope ado ex ensional.
(d)
«S^jg
és
l'ope ado
més
pe i
espec e
<
(i.e.
més
especí ic) sa is en
(a),
(b) i
(c).
Demos ació.
(a)
Pe
qualsse ol
x,
y
€
[0,
1],
T(x,y)
<
y. Pe
an , dona
A1
€
[O,
l]u,
pe
o € V es é:
STAB(A')( )
=
T
E(A',A},B( }
<
B( ).
(b)
Segueix immedia amen
de
(a).
S'ha
de
eu e
que
E^
(S^B(
A',
A"
e
[O,
l]u.
Dona
e V
qualse ol,
(c)
S'ha
de
eu e
que
E^
(S^B(A'),S^B(A"))
>
El(A',A"),
pe o
(**)
on les
desigual a s
són
conseqüència
de:
(*)
Lema
1.2.10.
(**)
Lema
2.1.9.
Semblan men ,
(^(^(^^(A'^ ))
>
E%(A',A"),
i,
d'ambdues,
Finalmen , donada
l'a bi a ie a
de € V,
B,AB
>
EV(SAB(A')(V),STAB(A")(V))
=
INF
ET
(STAB(A')( ),STAB(A")( ))

In e ència
com a
Raonamen
Ap oxima
en
Lògica
Di usa
125
(d)
Dona
T)
sa is en (a),
(b) i
(c), s'ha
de
eu e
que
V(A')
>
S_AB(A'),
Pe la
p oposició 1.2.9
]*€[0,1]
i pe
an ,
com que
(B( ) V(A'}( ))
=
T(D(A}( } T>(A'}( )}
>
Êy(A,
A'),
es
é
T>(A'}( )
>
T(B( ),^(A,
A1).
•
__
L'ope ado
d'in e ència
na u al
CAB
i
l'ope ado na u al
sime i za
SAB
associa s
a la
egla
"si A
lla o s
B"
s'han
ob ingu
com a
solució d'un
p o-
blema
d'op imali a .
La
p egun a na u al
a
e -se
és: són
aques s ope ado s
la
e sió
di usa
d'algun
model
clàssic d'in e ència?. Tenin
en
comp e
que T i ET an el
pape
de
•••¿T1
la
implicació
i de
l'equi alència,
espec i amen , esul a cla
que
CAB(A'}
•
*T*
esul a
d'es end e
a
con ex
di ús
(A1
—»•
A]
-»
B, i
SAB
esul a
d'es end e
(A1
~
A)
->
B.
En
con ex clàssic,
si A i B són
p oposicions
"c isp",
i si al la
egla
"si A
lla o s
B",
lla o s ambé
són
àlides
o es
les
egles
"si
A'
lla o s
B'",
"si
A"
lla o s
B"",...
on A
<*
A1
<=»
A"...
i B
^
B'
<*>
B"...
(on
«»
deno a
l'equi alència
clàssica en e p oposicions).
En
aques cas,
un
esquema
g à ic
del
aonamen
se ia:
si
A
lla o s
B
A&A'
(4.3.17)
si
A1
lla o s
B'
El
esul a d'aques esquema
de
aonamen
no és una
simple esi
B',
sinó
una
no a egla àlida.
Així,
(4.3.17) pe me gene a
un
conjun
de
egles
"si
A1
lla o s
B'",
"si A"
lla o s
B""...
a
pa i d'una donada
"si A
lla o s
B",
basan -se
en
l'equi alència
de
p oposicions. Aques es no es egles, es enen
el
coneixemen
a
si uacions di e en s
de la que ha
pe mès
o mula
la
egla
126
Capí ol
4
o iginal
"si A
lla o s
B",
i
aques
és
p ecisamen
un
dels
e s
ca ac e ís ics
del
Raonamen Ap oxima .
Al
gene ali za aques p ocedimen
a
con ex
di ús,
s'ha
de
can ia
la
elació
d'equi alència en e p oposicions
•<=>•
pe una
elació d'equi alència
di usa,
o
sigui,
un
ope ado
de
T-indis ingibili a
E. Una
possible mane a
de
e -ho
és
eballan
amb i es
in e io s
d'indis ingibili a
i
demana
que si a és una
i a
in e io
pel
g au d'indis ingibili a
de les
hipò esis,
ho
sigui ambé
pe
les
esis,
i.e.
que pe o a €
[0,1],
si
È(A,A')
>
a
lla o s
E(B,B')
>
a.
Pe ò aques a condició
és del o
equi alen
a
demana
E(B,B')
>
E(A,
A')
que
és,
jus amen ,
la
condició
d'ex ensionali a .
Des
d'aques
pun
de
is a, l'esquema
(3) es
con e eix
en:
si
A
lla o s
B
E(A,A')<E(B,B')
_
_
_
(4.3.18)
si
A'
lla o s
B'
Així,
si pe
ex end e
una
egla
"si A
lla o s
B" a
no es egles u ili zem
un
ope ado
C,
(ob enin
"si
A'
lla o s
C(A')n
),
lla o s
els
ope ado s
ex ensionals
esponen jus amen
a
l'esquema
(4.3.18):
només
cal
posa
B'
=
C(A')
en
(4.3.18),
i pe
an ,
les
egles
que
gene en
els
ope ado s ex ensionals
són la
e sió
di usa
(g aduada
en
[0,1]
pe un
ope ado
de
T-indis ingibili a )
de les
egles clàssiques compa ibles
amb
l'esquema
(4.3.17).
A a
bé:
l'ex ensionali a
pe si
sola
no
ga an eix
el bon
compo amen dels
ope ado s. Conside em
el cas
ex em
en què E
(A,
A')
— 0. Si es ol
gene a
una
egla
"si
A'
lla o s
B"'
a
pa i
de la
egla
"si A
lla o s
B" que es
basi
exclusi amen
en
l'esquema (4.3.18)
(o
sigui,
no es
disposa
de cap
ope ado
especí ic
C),
qualse ol
B'
se eix,
i pe
an ,
la
egla
ob inguda
no é cap
alo .
De
e ,
E(A,
A')
— O es
co espon
al cas
clàssic
en que A
¿b
A',
i
lla o s
no es po
aplica
(4.3.17).
Aques p oblema c í ic
es
mos a ambé
en
meno
g au
pe
alo s in e medis
Q<a<liE(A,A')
=
a.
La
solució
que es
p oposa
és
associa
a
A1
el
conseqüen
B'
menys
especí ic
(i.e.
con enin
menys
in o mació)
en e
o s
els que
sa is an
L'ope ado
que
pe me ob eni
B'
d'aco d
amb les
conside acions p eceden s
In e encia
com a
Raonamen Ap oxima
en
Lògica
Di usa
127
és
l'Ope ado
Na u al
Sime i za ,
segons
el
eo ema
4.3.11.
Si,
a més
s'exigeix
que al
a ia
A'
sob e
o
[0,
l]u
el que
s'ob ingui sigui
ope ado d'in e ència,
el que
s'ob é,
segons
el
eo ema 4.3.2,
és
l'Ope ado
Na u al
d'In e ència.
Conside acions o almen anàlogues
a les
an e io s mos en
que si en
comp es
de
l'esquema
(4.3.17)
conside em:
si
A
lla o s
B
(4.3.19)
si
A1
lla o s
B1
La
co esponen ex ensió
a
con ex
di ús,
can ian
indis ingibili a
pe im-
plicació
esiduada,
ens
po a
a
Y
Ope ado
Na u al
d'In e ència.
4,4
Dues
e e ències
sob e
l'Ope ado
Na u al
d'In e ència
Pe
acaba aques
capí ol,
comen a em b eumen
dos
eballs
en què
apa eix,
so a
mo i acions
que es
enen
a
eu e
amb
l'ex ensionali a ,
l'Ope ado
Na-
u al d'In e ència [Godo
&
Hajek,
96,97]
i
[Mag ez
&
Sme s,
89],
En
l'a icle
de
Lluís Godo
i
Pe
Hajek
"On
deduc ion
in
Zadeh's
Fuzzy
Logic", s'emp èn
la
o mali zació
de la
Lògica
Di usa
com a
sis ema deduc iu
en
sen i
clàssic,
en una
lògica
mul i aluada
de
quan i icació
acional
amb
múl iples
ipus,
del
ipus
Pa elka-Lukasiewicz.
En
aques con ex ,
a
pa i
d'una egla
"si (X és A)
lla o s
(Y és
£)"
in e p e ada
com
(V*)
(X(x)
-»
A(x))
-»
(Vy)
(Y(y)
-+
B(y))
i
d'una
p emisa
(X és
A)
amb
A'
di e en
d'A,
es po
dedui
(X és
B')
on
(Vy)(B')(y)
=
(Vx)(A'(x)
->
A(x))
-»
B(y).
A
ni ell
semàn ic,
B1
=
CTA í(A'),(T
=
L).
Aques a
deducció
de
B'
es po du a
e me in e p e an
el
alo
de
e i a
de
A
dona
A'
com
V(A'
-»
A) =
TNFueU (A'(u) A(u)).
Lla o s,
B'
=
CTAB(A')
128
Capí ol
4
és
la
menys
especí ica
de les
conclusions
sa is on
V(B'
—
»
B)
=
V(A'
-»
A)
[Godo,
e
al.,
97bj.
El
e
so p enen
és
que,
en
can i,
no es po
dedui
B'
=CRI(.«4')
sense
imposa
hipò esis addicionals
al
model que,
si bé són
aonables
des
d'un
pun
de
is a in uï iu,
són de
di ícil
in e p e ació lògica. Conc e amen ,
cal
imposa l'exis ència d'una dis ibució
de
possibili a conjun a
pe a la
a iable
X x Y
sob e
el
p oduc e ca esià
U x V
dels uni e sos
de
discu s
U
i
V on
p enen alo s
X i Y.
Mol
més
llunyà
en el
emps
és el
eball
de
Mag ez
i
Smé s
"Fuzzy
Modus
Ponens:
A New
Model...".
Desp és d'un es udi sob e
CRI
conside an
di e -
en s uncions
d'implicació,
es ableix
un
conjun
de
p opie a s in ui i es
que
hau ia
de
sa is e
la
deducció
en
Lògica
Di usa,
i
a iba
a la
conclusió
que
cap de les
o mes
de CRI
es udiades
les
sa is à plenamen .
A
pa i
d'aquí,
g àcies
a una
acu ada dis inció en e llengua ge
i
me allengua ge,
es ableix
que
la
deducció segons Modus Ponens clàssic
és
uncional
espec e
la
neces-
si a ,
cosa
que
es én
a
con ex
di ús
com:
N(B)
=
®[N(A),N(A
->
B)],
on ® és
-no ma.
A aluan
les
necessi a s
N{A),
N
(B),
N
(A
-»
B) i
N(A A*)
(i.e. necessi a
d'A
dona
A*)
a iba
a
d'on
inalmen
esol
el
p oblema
de
oba
B*
sa is en
N(B B*)
=
ò,
que és
p ecisamen
B*( )
=
SUP
{u
€
[O,
l]/<8>
(1
-
B*( ),u)
<
1 -
¿}.
—T
En
el cas en què ® =
L,
es po
comp o a
que B* no és
al e
que
CAB(A*).
No
hi ha cap
elació apa en quan
®
^
L
Cal
ema ca que,
en
aques a memò ia, l'Ope ado Na u al d'In e ència s'ha
in oduï
en
base
a
conside acions comple amen di e en s
a les
adduïdes
en
els
dos
models an e io s,
i que el seu
àmbi d'aplicació
s'es én
a
qualse ol
-no ma
T1,
con ínua
pe
l'esque a
espec e
les
dues a iables
pe
sepa a .