CONDICI
ON
ES
DE
E
XIS
TEN
CIA
DE
M
OODS
DE
ORDEN
SUP
E
RIOR
EN
ESTRUCTURAS
PLANARES
Angel
CA
RDAMA
y
Ca los
GETE
Escuel a Tecn ica
Supe i
o
de
lngenie os
de
Tel ecomun
ic
a
ci6n
de
Ba celona
ABSTRACT
Condi ions
o
exis ence
o
highe -o de
modes
o
h
e
ed
uced wa e
eaua
io
n V2u + AU = 0
on
semi -
in ini e
domains
subjec ed
io
di e en
bounda y
condi ions
a e
p esen ed
a
nd
applied
o
he
slo
line
. Bounds
o
he
lowes
eigen alues
a e
ob ained
using
he
Me hod
o
Mo-
me
n
s .
INTRODUCCIO
N
El uso de
es uc u a
s
plana es
de
los
ipo
s
"s
ip-line
" y
"slo
-
line"
en
mic oondas
se
ha
gene aii-
zado en
lo
s Ql
imos
aH
os,
e
xi
s
i e
n-
do
de a
ll
ados an
al
isis
del
modo
do-
min
an e
(TE
M)
y pa
ame os
de di
se-
no que son
ampli
a
men e
u ilizados.
El
ana
lisi
s de
lo
s modos de
o den
s
upe io
sigue
siendo
en
g an
me
d
i-
da
un
p oblema
no
e
s
ue
l
o
ple
na
men
e,
en
pa icula
l a
exis encia
de-
au o alo es
pun uales
si uados
ue
-
a
del
espec o
con
inua.
Cou an
Il
l
ha
anal i za
do
el
espec o
de l a
ecuaci6n
de onda
en
dominios
ini-
os
y
Rellich
/2/
en se
mi-in ini os
ob
en
ien
do
condicion
es
pa a
la
exis
encia
de
au o a
l
o es
disc e
os
.
J~
nes
/3/
ha
ampliado
los
esul a
dos-
an e io es
y
Weins e
i n
/4/
ha
ob e-
nido
aco aciones
de
el
lo
s.
Bol
l e y
Ea es
/5/
han
u ili
zado
el
Me
odo
de Wiene Hop
en
guias
plana es
i
po
"s ip"
y
"slo "
y K
o nhause
y-
Ca dama
/6/
han
aplic
a
do
el
Me odo
de
Rayleigh
Ri z
.
Ob end emos
me-
dian e
el
Me odo-de
lo
s
Mom
en o
s
/7/
condiciones
de
exis encia
que son a
plicables
en l a
de
e
minaci6n
de
c~
as
~imensionales
pa a
los
modos
di
o den
supe io
y que
se
an
aplica-
das
al
caso
slo
lin
e.
CONDICIONE
S
DE
EXISTENCIA
El
p oblema
basico
a
a a
es
la
ob
enci6n
de
condiciones
de e
xis
encia
pa a
au o alo es
pun ua
l
es
-
en
la
pa e
baja
del
espec o
de
la
ecu
aci6n
de onda
educida
V2u+
Au=O
6
equi alen emen e
del
ope ado
-V2
con l a
condici6n
de
con o no
u=O
en
un
dominio
semi-in ini o
G que
con-
sidE a emos
un
ubo
n-dimensional.
La
ig
u
a
1
es
una
ep esen aci6n
bidimensional
donde puede
obse a -
se
l a
on e a
aG
y
un
ca e
ans
-
e
sal
E que
lo
di ide
en
una
e-
gi6n
ini
a
Goy
una
in ini a
G1
.
( aG
?,
Go
' E
G1
' ¥
I
~---
)
..
c a
G1
aGo
Figu a
1.
Tubo
n-dimensional
(G=GoU
G1)
Si denominamos A1.
el
p ime
au
o alo
y
~~
la
co espond
i
en e
au~
o unci6n
del
ope ado
-V
2en G con
condici6n
de
con o no
-
~
=0
en aG y
analogamen e
u1 y
~
1
pa a
el
domi-
nio
ini o
G0, con
condici6n
de
con o no
~=0
en
aGo
y
a~;an=O
en E,
que
posee
un
espec o
disc e
o
/1
/ ,
se
ob ien
e
pa a
cualquie
unci6n
u
con inua
y con
de i adas
seccional
-
men e
con inuas
en G0 que
sa is aga
la
condici6n
de
con
o
no
u=O
en
aGo
29
32
base
iangula
n"
d<
·
un-
co
a de ex
is-
ciones
dim A
encia
a/b
(X
,y)
,.
2,
3 6
x6
0.934
2,
5
10
x10
0.961
2,
11
22x22
0.979
2,15
30x30
0.981
!1
odos
TM
sime icos
base
igonome ica
bas
e
ia
ngul al'
n°d e
un-
co
a de ex
is-
n°de
un-
co e
dE ex
is
-
ciones
encia
ajb
ciones
encia
a/b
2 2.688
2,
3
1.
9/
4
3.849
2,
5 2.039
5
4.017
2,7
2
.067
30
JGo
I
VljJ
1 i 2
d
O<]J
<
~
JGo
ll)J
1 12
i:l
JGo
I u
12
d
( 1)
~
J
Go
. I u 12
d
Si
en
el
dominio n-1
dimensio-
nal E de
on e a
C,
el
p ime
au o
alo
de
-V
2 es 1 y
la
au o unci6n
B
(con
condici6n
de
con o n~
B=O
en
C),
se
iene
u ilizando
~
como
unci6n
de
o ueba
u
en
(1)
y
en
la
co espondien e
desiqualdad
pa a
el
dominio E,
/2/,
/6/
(
2)
Denominando
E
el
p ime
au o-
alo
de
-V
2 en
Go
con
condici6n
de
con o no
~=0
en
aGo
y E
se
iene
/2/
que
si
E <
el
p ime
au o alo
de
-V
2 en G
(A
1
),
con
condici6n
de con
o no
~=0
en
aG,
es
pun ual,
es
de~
ci
no
es a
sob e
el
espec o
con i
nuo,
esul ando
las
siguien es
ela
ciones
en e
los
au o alo es
-
(
3)
y
como
consecuencia
de
(2)
(4)
Las
desigualdades
an e io es
pueden
se
aplicadas
a
los
modos
TM
de
la
con igu aci6n
ipo
"slo -line"
indicada
en
la
igu a
2a
y que pue-
den
se
conside ados
como
sime i-
cos
o
an isime icos
segun
se
im-
ponga
la
cond4
ci6n
a~
;
ax
=O
6
~
=0
en
x=O;
igu a
2b
. El
espec
o
con i-
nue de
es os
modo
s
cub e
el
1
n e
-
alo
((
/a}
2,oo}.
Si denominamos
G&
el
dominio
ec angula
de
lados
2a
y b, c
eado
median e
un
co e
en
el
bo de
del
conduc o
cen al,
igu a
2c,
se
iene
G&C
Go
y
en
consecuencia
Jl
~
Jll
,
E ~E
l
.
Pa
a el
co
e E
e-
sul a
1
=(
/a)
2
. ! :
•
2b
(~)
y a
Go
Go
' E
I
b
x
=O
X
(b)
a
GJ'
20
11
~:...____
E -
+o"'
(c)
Figu a
2.
Linea
"slo "
y
pa a
los
modos
an isime icos
E!=( /b} 2+( /2a} 2
Jll=( /2b) 2+(
/2a}
2
que
implica
pa a
b>
2a/13
,
E!~
1
y
en
consecuencia
A1<( /a} 2, es
de-
ci
la
ex
is encia
de
un
modo
ue a
del
espec o
con inuo.
Pa a
b<
a/
13
Jll
> y
A ~( /a)
2
el
modo
desapa e
ce y
pasa
a
in eg
a se
en
el
con i
nuo. Analogamen e-
se
deduce
la
ex
is
encia
de
un
modo
disc e o
pa a
el-
caso
sime ico
de
los
alo es
E/=(
/2b)
2+( /2a} 2
Jll=(
/2a)
2
siemp e
que b>
a/
1
3.
METODO
DE
LOS
MOMENTOS
Las
co as
an e io es
pueden
se
mejo adas
ap oximando
los
au o-
alo es
E1
•.
111
en
un
dominio
Go
a -
bi a io,
igu a
3
(c+oo)
median e
el
me odo de
los
memen os
/7/.
aGo
c
Figu a
3.
Dominio
ini e
al
que
se
aplica
el
me odo de
los
momen os.
Las
co as
de
exis encia
han
de
ob ene se
del
au o alo
E1
median e
la
ecuaci6n
de {Amn}=de {Lmn-ElMmn}=O
(5)
siendo
=Jb.+c
2a
(-
z
)d
d
o o m V n x y
habiendose
aplicado
el
me odo de
Gale kin
a
la
base
o
conjun o
de
unciones
de
p ueba
{ n}.
Tomando
E1=o 1= o(n
/a)
2
la
exis encia
de
un
modo
(3)
nece-
si a
la
condici6n
<5<1.
Se
han o nado dos
ipos
de
unciones
de
p ueba,
igonome i-
cas
y
subseccionalmen e
iangula-
es;
pa a
las
p ime as
se
han
ele-
gido
miemb os
de
-
la
amilia
de
me-
dos
TM
del dominio
G~
y que han
si-
do
modi icados
pa a
X>
b;pa a
la
a-
plicaci6n
de
bases
iangula es
se
di idi6
el
dominio
Go
en
dos
ami-
lias
de
mallas,
una
pa a
G~
y
o a
pa a
G
0
-G
0
',
ambas con
el
emen os
ec angula es
de 4 nodes a
los
que
se
pueden
aplica
acilmen e
las
condiciones
de
con o no.
Se
inclu-
yen a
con inuaci6n,
en
la
Tabla
1,
algunos
de
los
esul ados
nume i-
cos
ob enidos
median e
p og amas
de
calculo
en
o cenado
, pudiendo
obse a se
la
len a
con e gencia
de
la
soluci6n
pa a
las
bases
disc e-
as
y
la
apida
de
las
igonome l
cas,
ob eniendose
la
exis encia
de
un
modo
TM
an isime ico
si
b>0.9298a y su
desapa ici6n
pa a
b<0.5773a,
un
modo
sime ico
exis i
a
siemp e
que
b>0.24S9a.
En
la
ac~
ualidad
se
e~ a
modi ica .do
el
i-
po
de
malla
con
el
in
de
mejo a
la
con E gencia
y
ob ene
esul a-
dos
compa ables
a con
bases
disc e-
as
a
los
de
las
bases
con inuas.
AGRADECIMIENTO
Pa e
de
es e
abajo
ue
ea-
lizada
bajo
la
di ecci6n
del
P o e-
so
E.
Ko nhause
du an e
la
es an-
cia
en
la
Uni e sided
de
B own
d~
uno de
los
au o es,
a
quien
desea-
mos
mos a
nues o
ag adecimien o
.
BIBLIOGRAFIA
31
/1/
Cou an
R.,
Hilbe
H.,
"Me hods
o
Ma hema ical
Physics",
J.
Wiley.
/2/
Rellich
F.,
"Das
Eigenwe p o-
blem
on
6
u+
Au
= 0
in
Halb oh en"
Cou an
Anni e sa y
Vol.
1948.
/3/
Jones
D.,
P oc.
Camb idge
Phil.
Soc.
Vol.
49.
/4/
Weins ein
A.
"Bounds
o
Eigen-
alues
and
he
Me hod
o
In e media
e
P oblems",
R.E.
Lanse
Ed.,
Unii.
o
Wisconsin
P ess
1961.
/5/
Ea es
R.
Ph.
D.
Disse a ion,
B own
Uni e si y
/6/
Ca dama
A.
M.
Se.
Disse a ion,
~ cwn
Uni e si y
/7/
Ha ing on
F.
"Field
Compu a-
ion
by
Momen
Me hods" MacMillan.
TABLA
1
Modos
TM
an isime icos:
base
igonome ica
n °d.e un
co
a de
ex
is-
ciones
dim{A}
encia
a/b
2 2x2
1.
069
3 3x3
1.
073
4 4x4
1.
075
5 5x5
1.
076