Condiciones de existencia de modos de orden superior en estructuras planares

CONDICI ON ES DE E XIS TEN CIA DE M OODS DE ORDEN SUP E RIOR EN ESTRUCTURAS PLANARES Angel CA RDAMA y Ca los GETE Escuel a Tecn ica Supe i o de lngenie os de Tel ecomun ic a ci6n de Ba celona ABSTRACT Condi ions o exis ence o highe -o de modes o h e ed uced wa e eaua io n V2u + AU = 0 on semi - in ini e domains subjec ed io di e en bounda y condi ions a e p esen ed a nd applied o he slo line . Bounds o he lowes eigen alues a e ob ained using he Me hod o Mo- me n s . INTRODUCCIO N El uso de es uc u a s plana es de los ipo s "s ip-line " y "slo - line" en mic oondas se ha gene aii- zado en lo s Ql imos aH os, e xi s i e n- do de a ll ados an al isis del modo do- min an e (TE M) y pa ame os de di se- no que son ampli a men e u ilizados. El ana lisi s de lo s modos de o den s upe io sigue siendo en g an me d i- da un p oblema no e s ue l o ple na men e, en pa icula l a exis encia de- au o alo es pun uales si uados ue - a del espec o con inua. Cou an Il l ha anal i za do el espec o de l a ecuaci6n de onda en dominios ini- os y Rellich /2/ en se mi-in ini os ob en ien do condicion es pa a la exis encia de au o a l o es disc e os . J~ nes /3/ ha ampliado los esul a dos- an e io es y Weins e i n /4/ ha ob e- nido aco aciones de el lo s. Bol l e y Ea es /5/ han u ili zado el Me odo de Wiene Hop en guias plana es i po "s ip" y "slo " y K o nhause y- Ca dama /6/ han aplic a do el Me odo de Rayleigh Ri z . Ob end emos me- dian e el Me odo-de lo s Mom en o s /7/ condiciones de exis encia que son a plicables en l a de e minaci6n de c~ as ~imensionales pa a los modos di o den supe io y que se an aplica- das al caso slo lin e. CONDICIONE S DE EXISTENCIA El p oblema basico a a a es la ob enci6n de condiciones de e xis encia pa a au o alo es pun ua l es - en la pa e baja del espec o de la ecu aci6n de onda educida V2u+ Au=O 6 equi alen emen e del ope ado -V2 con l a condici6n de con o no u=O en un dominio semi-in ini o G que con- sidE a emos un ubo n-dimensional. La ig u a 1 es una ep esen aci6n bidimensional donde puede obse a - se l a on e a aG y un ca e ans - e sal E que lo di ide en una e- gi6n ini a Goy una in ini a G1 . ( aG ?, Go ' E G1 ' ¥ I ~--- ) .. c a G1 aGo Figu a 1. Tubo n-dimensional (G=GoU G1) Si denominamos A1. el p ime au o alo y ~~ la co espond i en e au~ o unci6n del ope ado -V 2en G con condici6n de con o no - ~ =0 en aG y analogamen e u1 y ~ 1 pa a el domi- nio ini o G0, con condici6n de con o no ~=0 en aGo y a~;an=O en E, que posee un espec o disc e o /1 / , se ob ien e pa a cualquie unci6n u con inua y con de i adas seccional - men e con inuas en G0 que sa is aga la condici6n de con o no u=O en aGo 29 32 base iangula n" d< · un- co a de ex is- ciones dim A encia a/b (X ,y) ,. 2, 3 6 x6 0.934 2, 5 10 x10 0.961 2, 11 22x22 0.979 2,15 30x30 0.981 !1 odos TM sime icos base igonome ica bas e ia ngul al' n°d e un- co a de ex is- n°de un- co e dE ex is - ciones encia ajb ciones encia a/b 2 2.688 2, 3 1. 9/ 4 3.849 2, 5 2.039 5 4.017 2,7 2 .067 30 JGo I VljJ 1 i 2 d O<]J < ~ JGo ll)J 1 12 i:l JGo I u 12 d ( 1) ~ J Go . I u 12 d Si en el dominio n-1 dimensio- nal E de on e a C, el p ime au o alo de -V 2 es 1 y la au o unci6n B (con condici6n de con o n~ B=O en C), se iene u ilizando ~ como unci6n de o ueba u en (1) y en la co espondien e desiqualdad pa a el dominio E, /2/, /6/ ( 2) Denominando E el p ime au o- alo de -V 2 en Go con condici6n de con o no ~=0 en aGo y E se iene /2/ que si E < el p ime au o alo de -V 2 en G (A 1 ), con condici6n de con o no ~=0 en aG, es pun ual, es de~ ci no es a sob e el espec o con i nuo, esul ando las siguien es ela ciones en e los au o alo es - ( 3) y como consecuencia de (2) (4) Las desigualdades an e io es pueden se aplicadas a los modos TM de la con igu aci6n ipo "slo -line" indicada en la igu a 2a y que pue- den se conside ados como sime i- cos o an isime icos segun se im- ponga la cond4 ci6n a~ ; ax =O 6 ~ =0 en x=O; igu a 2b . El espec o con i- nue de es os modo s cub e el 1 n e - alo (( /a} 2,oo}. Si denominamos G& el dominio ec angula de lados 2a y b, c eado median e un co e en el bo de del conduc o cen al, igu a 2c, se iene G&C Go y en consecuencia Jl ~ Jll , E ~E l . Pa a el co e E e- sul a 1 =( /a) 2 . ! : • 2b (~) y a Go Go ' E I b x =O X (b) a GJ' 20 11 ~:...____ E - +o"' (c) Figu a 2. Linea "slo " y pa a los modos an isime icos E!=( /b} 2+( /2a} 2 Jll=( /2b) 2+( /2a} 2 que implica pa a b> 2a/13 , E!~ 1 y en consecuencia A1<( /a} 2, es de- ci la ex is encia de un modo ue a del espec o con inuo. Pa a b< a/ 13 Jll > y A ~( /a) 2 el modo desapa e ce y pasa a in eg a se en el con i nuo. Analogamen e- se deduce la ex is encia de un modo disc e o pa a el- caso sime ico de los alo es E/=( /2b) 2+( /2a} 2 Jll=( /2a) 2 siemp e que b> a/ 1 3. METODO DE LOS MOMENTOS Las co as an e io es pueden se mejo adas ap oximando los au o- alo es E1 •. 111 en un dominio Go a - bi a io, igu a 3 (c+oo) median e el me odo de los memen os /7/. aGo c Figu a 3. Dominio ini e al que se aplica el me odo de los momen os. Las co as de exis encia han de ob ene se del au o alo E1 median e la ecuaci6n de {Amn}=de {Lmn-ElMmn}=O (5) siendo =Jb.+c 2a (- z )d d o o m V n x y habiendose aplicado el me odo de Gale kin a la base o conjun o de unciones de p ueba { n}. Tomando E1=o 1= o(n /a) 2 la exis encia de un modo (3) nece- si a la condici6n <5<1. Se han o nado dos ipos de unciones de p ueba, igonome i- cas y subseccionalmen e iangula- es; pa a las p ime as se han ele- gido miemb os de - la amilia de me- dos TM del dominio G~ y que han si- do modi icados pa a X> b;pa a la a- plicaci6n de bases iangula es se di idi6 el dominio Go en dos ami- lias de mallas, una pa a G~ y o a pa a G 0 -G 0 ', ambas con el emen os ec angula es de 4 nodes a los que se pueden aplica acilmen e las condiciones de con o no. Se inclu- yen a con inuaci6n, en la Tabla 1, algunos de los esul ados nume i- cos ob enidos median e p og amas de calculo en o cenado , pudiendo obse a se la len a con e gencia de la soluci6n pa a las bases disc e- as y la apida de las igonome l cas, ob eniendose la exis encia de un modo TM an isime ico si b>0.9298a y su desapa ici6n pa a b<0.5773a, un modo sime ico exis i a siemp e que b>0.24S9a. En la ac~ ualidad se e~ a modi ica .do el i- po de malla con el in de mejo a la con E gencia y ob ene esul a- dos compa ables a con bases disc e- as a los de las bases con inuas. AGRADECIMIENTO Pa e de es e abajo ue ea- lizada bajo la di ecci6n del P o e- so E. Ko nhause du an e la es an- cia en la Uni e sided de B own d~ uno de los au o es, a quien desea- mos mos a nues o ag adecimien o . BIBLIOGRAFIA 31 /1/ Cou an R., Hilbe H., "Me hods o Ma hema ical Physics", J. Wiley. /2/ Rellich F., "Das Eigenwe p o- blem on 6 u+ Au = 0 in Halb oh en" Cou an Anni e sa y Vol. 1948. /3/ Jones D., P oc. Camb idge Phil. Soc. Vol. 49. /4/ Weins ein A. "Bounds o Eigen- alues and he Me hod o In e media e P oblems", R.E. Lanse Ed., Unii. o Wisconsin P ess 1961. /5/ Ea es R. Ph. D. Disse a ion, B own Uni e si y /6/ Ca dama A. M. Se. Disse a ion, ~ cwn Uni e si y /7/ Ha ing on F. "Field Compu a- ion by Momen Me hods" MacMillan. TABLA 1 Modos TM an isime icos: base igonome ica n °d.e un co a de ex is- ciones dim{A} encia a/b 2 2x2 1. 069 3 3x3 1. 073 4 4x4 1. 075 5 5x5 1. 076