scieee Science in your language
[en] (orig)

Vagueness and its representations: a unifying look

Abstract

Using the notion of a vaguely defined object, we systematize and unify different existing approaches to vagueness and its mathematical representations, including fuzzy sets and derived concepts. Moreover, a new, approximative approach to vaguely defined objects will be introduced and investigated.

Read accessible full text

Vagueness and its representations: a unifying look

Author: Wygralak, Maciej
Publisher: Universitat Politècnica de Catalunya. Secció de Matemàtiques i Informàtica
Year: 1998
Source: https://upcommons.upc.edu/bitstream/2099/3509/1/Wygralak.pdf
      
   
   
 
  
     
  !"# $%&'$" (# (

             
      
         
          
        
  
    

           
             


          

   
         Æ        
!     

     
 

  "   
 
" "   
 
 #"
"  

" !   

  
 

 $%       
       



     
     &       
'           %   


    


 
 "      "  "
  "(            
      !       


   !      
    )*   ) *
+      

 

  ,
       
   

   $  -. ,           
   -. ,       
 

       , 

        
#/#
#//
 
        -. , 
        0    
1 -. , 1   2        
)*          

  
"      %



#

3"  "       #
 #" !          


        *. 



 
  

 4*         
&  2         
'               
             ! Æ  
     

"    

     
Æ 5  

" 6    
              
          (       
  &    7    
  
 
 8           
  %  "   
     
 
'        &      
    -. ,    
    -. ,        
      ) *    
 9   -. ,        

     






  1 

3

#

 '       
        '  
         
-. ,          $%
              
 
 


         :;<
!              

  !
     
  
     ! 







    



   
        -. ,  



   






=
















=















 
=










! 



       
   

    ,  ,
   =   "%  "  "" 6
!"" # $" %""& ' ( ) 
#/>
   -. ,        
       

   

 :;<
8                
 -. ,          
  6             
 !           
'
"   
'#
#   
'##
#        
$


= :3

#<

=  ?  ?


$%

= &

=  



= #

#


@


 

:3

#<
-. ,   
 
 :/3< :>< +   
  

=    
  
  :#3<


= :3

#<

=  
7

= & 

=  



= # 



 


-. ,  
  
 :#A<


=  2 

=   $%



=


 

 


=


 

 


=











 



-. ,   
% 

&   

:A< :B< :C< :#><


= :3

#<

=   
!

=  



=  



=











-. ,  
  '  
 :;<
'#/
#      


= :3

#<



( -. ,  
 (  
 :D<


=

:
 
<
 

:3

#<

( -. ,  
   
  
 :#/<
 &  -. ,     
&         
  '        7 >
#/A
 
'/
)   
'            
 -. ,   Æ   9   /    
              
  8            -. ,
      ' :#;<      
  0EF           
                   
      , G  -. , 

    
H              
  !           
     )* !     
       
''
"   
' '#
* 
+        G  

 

 
   &  
       +         
        I&
' '/
* 
    



   



 
 

+


 :/< :J< :C< 8  





! 

   

 

      
 

 F           
   6        



3

#

/

#

    >  
    &        +
      
 
    
      :##< K    
 



 





   2



   
               
 

  %  !    
           
   >     &  
    
    



  
 '  
  
 
! *
         0G= :3

#<

  


#







=






=#




0G
















!"" # $" %""& ' ( ) 
#/;
 #

=    



 :#< !   
  



        
             

9




 &      

 

 



 &  &   

 

 ! 


#



        

  
    ""    


      

'          &   -.
 ,      :#J #D<  :#C<     
     +      
  0      -. ,    
    ,      
!

= :3

#<  ?

    :#B<   
   !            -. ,
          
 ,-
+     -. , 

     


0G       !

  &
    







 
 
0G

0G
           
 





0G
G7=

3

#


 L= ,

=  , =  

#











/


G7










G7
>






















L













A 
 


=


0G

G7


0G

G7
8







         &




   &





    ! 
          




 > F  &           / 6
     
 
 =  #>     
  

'

   ,   &   
 1    2    ""  
         

 +  
   



       % 
  









3   & 



"   %  #

#/B
 
       5   %   
 



 





#   & 



"  %  3  
      !        & 
 -. ,  

          ""  ,
    A !     
 
  #A 
   

 &    
 
=
 
 

= #



= #


$     
 


     
    

 6       & 
 

 !              
  %     #A  ! >#  $
>/
 # 0G

0G      
#

=#



 

=#







=








3




0G

 
%

 




 

0G
- #  '  
  .













L









-






=















=









 
 




-



G7




=



=

 







-
 
 


=


/







= #







=
-
*-
G    >  

=

 6    >




=










=





L





=





   
    %  /  > 6    # 
A

 
0 

 




 

0G
  '  
.


=





=



L



=




-
 #
















 







-
 



 = 







 =


 







-






#





 

 
 = 
-
!"" # $" %""& ' ( ) 
#/J
*-
' %  ! >#  #A

+    ! >#     

 
 

=

 


 






 
= #


 






 


=


H         &   


!           



 #
 




 #

 #
7  -. , 

     



0G        







  
 



 ! 
       
   
 
 =
    
 


=(  $ >/
  
 
=
 




#





#



F          :#< :J<




























L








 








 = 












=



L



=



 %


















 = 

















 







    










= 















=#




 
'   ! >#  


















 






















 = 











 
 





$      &   -. ,  
       -. ,     M
   
 



 &       ,

   -. , 
    


0G     

    
       
::



 ,

<<=



  
 ,




 ,

=









 ,







 , 

 
 
 ,

 =

 ,

=  ,




 ,

 L

 , 




 ,

 
 %
#/D
 
 ,



 ,






 
 ,

 =  ,




=

 %
 ,



 ,

=,









  
  
 ::

<<=     



=   



=   %


=   L

= ,
  ?

 8  ,

   1


G7 ( 

= ,#






 -. ,      




   ,

   ,

    0G





  
     '       % 
! >#     

















   ,



 ,


   
 



      ,



 ,


 ,

=,

       


















 







 = 







 '       
 




 

= 

= '     ! ># 
$ >/        %    
 

















 1



   







 = 








1

=


+          -. ,   &
        -. , +   
      
 ,



=  ,



     









  










=









 



0G
 
%

 



- 1 



=










=






 


0G
2

 

  


# 
-
*-
F  

7        -. ,   









  
 
  %    #
6              
-. ,      &  

  
  



0G  




 



    










=




















=



















=












!"" # $" %""& ' ( ) 
#/C










 




 ,


=,








 





 








=











        
 



(  ! ># 8  
         
 
 =




 (-
'        -. , 

     

 
  
 

0G 


#




!  
 
   
   
(    
      

7









3




 = #  




! -. ,  
 
     ,
 
 ! 
   
 
    
* -

 
             



            
' '/  7 /  ,
 
       


 -
8   

=





=







0G    
 
 0G

0G'  



     &     

 +
  

=


 

G7 7 

=

,
 
     
       ,
 
     -. , 

    

        
    

         




    3






#        
3















#
 

:3

#<   

(  -#
!  



 = 3 5



 = #  



  %
 


#



 7       
             &     
 
 



 



 !        
          :#<  -#

 



 





L




 
=
 



=

L

=


 



 
=


 










 


= 





