Re is a in e nacional de mé odos numé icos pa a cálculo
y
diseño en ingenie ía. Vol.
3,
1,
61 -76(1987)
ANALISIS DINAMICO EN ROTURA
DE ESTRUCTURAS LAMINARES
Y
TRIDIMENSIONALES
DE
HORMIGON ARMADQ
M.
CERVERA*
Y
E. HINTON*"
*
Cen o In e nacional de Mé odos Numé icos en Ingenie ía
Ba celona, Espana
*
*
Depa amen o de Ingenie ía Ci il, Uni e sidad de Gales,
Swansea, Reino Unido
RESUMEN
En es e a ículo se p esen a un modelo compu acional idi nensional pa a el análisis dinámico en
condiciones ex emas de es uc u as de ho migón a mado. El modelo con empla la disc e ización
de la ecuación dinámica de equilib io en el iempo (in eg ación di ec a paso-a-paso), la disc e ización
espacial (elemen os isopa amé icos dlidos con a mado),
y
un modelo cons i u i o que incluye
isu ación a acción, iscoplas icidad y aplas amien o a comp ensión, sensibilidad a la elocidad de
de o mación y deg adación p og esi a po daño acumulado.
SUMMARY
In his pape , a h ee dimensional compu a ional model o he nonlinea ansien dynamic
analysis o ein o ced conc e e s uc u es is p esen ed. The model conside s he disc e iza ion in
he ime domain o he equa ion o equilib ium (di ec in eg a ion), he spa ial disc e iza ion (isopa-
ame ic solid elemen s wi h ein o cemen ), and a cons i u i e model which includes c acking in
ensión, iscoplas ici y and c ushing in comp ession, s ain- a e sensi i i y and s eng h deg ada ion
due o accumula ed damage.
INTRODUCCION
En los úl imos años el campo de aplicación del ho migón como ma e ial de cons uc-
ción se ha is o ex endido a ipologias es uc u ales que an es se ese aban a o os
ma e iales. Hoy se cons uyen en ho migón puen es de g an luz, es uc u as o -sho e,
con enedo es de sus ancias pelig osas, es uc u as de p o ección de eac o es nuclea es,
e c. Las nue as écnicas de cons ucción
y
la pelig osidad po encial de es as es uc u as
cons uidas en ho migón equie en mé odos de diseño y análisis con un índice de
iabilidad que los mé odos clásicos no pueden p opo ciona .
Los p ocedimien os de diseño dis inguen en e es ados de se icio
y
es ados úl imos o
"de o u a". Pa a analiza los es ados de se icio es usual hace hipó esis simpli ica i as,
como compo amien o elás ico, po ejemplo, a la ho a de e alua ensiones de abajo.
Recibido:
Feb e o
1987
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
62
M.
CERVERA
Y
HINTON
En diseno clásico, es as ensiones se elacionan con las ensiones en o u a a a és de
ac o es de segu idad. Es e p ocedimien o es cla amen e inadecuado, ya que en es uc-
u as complejas la edis ibución de ensiones debida a e ec os nolineales puede p oduci
una dis ibución de ensiones en o u a que gua de muy poca elación con la de las
ensiones de se icio. O os mé odos, como los mé odos plás icos, asumen la o mación
de un meca nisnio de colapso y calculan la ca ga úl ima, o un limi e in e io de es a,
usando hipó esis simpli ica i as. Aunque es os me odos si p opo cionan un " ac o
de segu idad" eal, no siemp e es posible usa los. En es uc u as de cie a complejidad
no se puede de e mina con iabilidad el mecanismo de colapso, y menos aún, la dis i-
bución de ensiones en o u a. Además, en el ho migón las ca gas úl imas y ensiones
son no malmen e dependien es de la his o ia y los mé odos an e io es no pueden se
exac os.
Es as conside aciones, álidas pa a análisis es á ico o quasies á ico, so 1 aún nás
c i icas en análisis dinámico. Es uc u as some idas a condiciones de ca ga dinámica
ex emas ales como impac os, explosiones o exci ación sismica equie en un análisis
di ec o no lineal.
El me odo de los elemen os ini os y la exis encia de o denado es elec ónicos ha
pe mi ido a p oyec is as y calculis as es uc u ales ocupa se del amplio ango de
p oblemas de análisis que las nue as écnicas de cons ucción plan ean. Desde que en
1967 se p esen ó el p ime modelo de elemen os ini os pa a una iga de ho migón
a mado, se han desa ollado muchos modelos compu acionales pa a sis emas bi-y idi-
mensionales, igas, placas y láminas de ho migón. P og esi amen e, más y más enóme-
nos del compo amien o mecánico del ho migón se lian incluido en los análisis, haciendo
uso de los modelos cons i u i os exis en es (elas icidad lineal y nolineal, elas oplas i-
cidad,
elas o- iscoplas icidad,
e c.) A medida que se han ido conociendo mejo los
mecanismos esis en es del ho migón, se han desa ollado nue os modelos, como los
basados en las eo ias endoc ónica y de ac u a plás ica, y los modelos imb icados y
mul ilaminados.
El uso del nie odo de los elemen os ini os ha ac uado como ca alizado 2n el
desa ollo cle modelos cons i u i os e idealizaciones es uc u ales a anzados. Aho a es
posible as ea la espues a de un sis ema es uc u al a a és del ango de se icio y
has a la ca ga úl ima. En el campo dinámico es posible in eg a di ec amen e la ecuación
de equilib io y ob ene la espues a paso a paso de la es uc u a. Sin emba go, la
na u aleza al amen e nolineal da la espues a de las.es uc u as de ho migón a mado
ha demos ado se un au én ico e o
a
los m6 odo.s clásicos de esolución de ecuaciones
no lineales.
En es e a iculo p esen amos un modelo compu acional que pe mi e esol e los
di e sos p oblemas que se plan ean en un análisis de es a na u aleza. Las disc e izaciones
empo ales y espaciales u ilizadas son sn kien emen e conocidas y se incluyen sólo
b e es desc ipciones. El modelo cons i u i o se a a en mayo de alle, al se és e,
gene almen e, el eslabón más débil de la cadena que cons i uye el análisis es uc u al.
Se p esen a además un ejemplo de aplicación que demues a las posibilidades del
modelo.
Ecuaci6n de equilib io dinámico
U ilizando el p incipio de los abajos i uales y suponiendo el sis ema es uc u al
disc e izado espacialmen e según el p oceso s anda d1 se puede esc ibi la ecuación
si nidisc e a de equilib io como:
Md
+
p(d,
d)
=
(1
.
..
donde d, d
y
d son ec o es de desplazamien o, elocidades
y
acele aciones nodales,
espec i amen e.
M
es la ma iz de masa del sis ema,
es el ec o de ue zas ex e nas,
y
p ep esen a las ue zas esis en es in e nas.
No se ha incluido en la ecuación (1) el é mino co espondien e a las ue zas iscosas,
C
d. Su e ec o se puede inclui en el modelo que a con inuación se desc ibe sin ninguna
complicación adicional.
Las ue zas in e nas, p, se calculan según la exp esión
p(d,
d)
=
/
13~
g
(E, ;))d~
(2)
donde
B
es la ma iz inc emen al de ans o mación de o mación-desplazamien o,
es el ec o de ensiones,
g
y
son los ec o es de de o mación
y
elocidad de de o -
mación,
y
V
es el olumen o al.
El modelo ma e ial que se desc ibe en es e a iculo, es nolineal, dependien e del
es ado de de o mación
y
la elocidad de de o mación
(o
=
a
(E,
k)).
Además; los
e ec os de nolinealidad ma e ial p oducen una disipación de ene gia que p opo ciona
un modelo con amo igüamien o a ni el cons i u i o.
La ma iz de masa global
M
se ob iene como ensamblaje de las ma ices elemen ales
Me
en la o ma s anda d*. Las ma ices
M
y
Me
se llaman "consis en es" cuando se
calculan según la exp esión
Me
=
/Ve
N;
NdV
(3)
donde
N
es una ma iz de unciones de o ma
y
p
es la densidad del ma e ial. Sin
emba go, a menudo es con enien e desde el pun o de is a compu acional ob ene una
ma iz de masa o malmen e diagonal.
De en e los muchos esquemas p opues os pa a ob ene ma ices de masa diagonales,
en es e abajo se elige el p opues o po Hin on e consis en e en escala el é mino
diagonal de la ma iz consis en e de o ma que se conse e la masa o al del elemen o:
-
M,M
Mi
=
-
ZMU
(4)
Aunque la diagonalización de la ma iz de masa pueda dis o siona las ecuencias
na u ales del sis ema, esul ados p esen ados po Bicanic3 pa a elemen os bidimensio-
nales,
y
su ana4 pa a elemen os de lámina, demues an que las ecuencias mejo an
sensiblemen e con el e inamien o de malla,
y
que incluso mallas ela i amen e g ose as
p opo cionan esul ados acep ables den o de limi es ingenie iles.
DISCRETIZACION ESPACIAL
La modelización del ho migón equie e la adecuada ep esen ación del ho migón
y
del ace o del a mado. En es e abajo el ho migón se modela usando elemen os
ini os hexahéd icos con es desplazamien os como g ados de libe ad po nodo. Se
ANALISIS EN-ROTURA
DE
ESTRUCTURAS LAMINARES
63
64
M.
CERVERA
Y
KINTON
asume adhe encia pe ec a en e el a mado y el ho migón ci cundan e. Es a hipó esis
de compa ibilidad de desplazamien os y de o maciones en e ho migón y ace o pe mi e
que el a mado se incluya como pa e in eg an e del elemen o idimensional. La igidez
y las ue zas in e nas del a mado se suman a las del ho migón pa a ob ene la igidez
y ue zas o ales del elemen o. Cada g upo de ba as se ep esen a como una memb ana
bidimensional de espeso equi alen e, colocada den o del elemen o de al o ma que
una de las coo denadas isopa amé icas sea cons an e. Un ipico elemen o con a mado
se mues a en la Fig. 1.
Figu a
1.
Elemen o idimensional de
20
nodos con a mado.
Aunque es a o ma de ep esen ación del a mado ha demos ado se adecuada en la
mayo ía de las aplicaciones, exis en casos (po ejemplo, en p oblemas de o sión)
en las que es necesa io ep oduci más exac amen e la dis ibución "disc e a" de las
ba as de a mado. Es ac ible inclui den o de .la p esen e o mulación ales casos5?
6,
sin la mayo complejidad que la necesidad de una en ada de da os algo más ediosa.
L)e en e los elemen os ini os hexahed icos disponibles los más popula es son el
ilineal de
8
nodos, y los quad á icos de
20
y
27
nodos (se endipi o y lag angiano,
espec i amen e). Dado que en es e abajo p e endemos disc e iza es uc u as lamina-
es u ilizando un solo elemen o a a es del espeso , el elemen o de
8
nodos no esul a
adecuado. Los elemen os de
20
y
27
nodos, po el con a io, han esul ado se e icien es,
e incluso compe i i os con sus co yespondien es elemen os de lámina "degene ados".
El inc emen o en g ados de libe ad de1 elemen o idimensional queda compensado
po la meno complejidad de su o mulación. Es udios nume icos ealizados con ambos
elemen os5,
'
,
demues an que es os p esen an el conocido
bloque^
pa a elaciones
ANALISIS EN-ROTURA DE ESTRUCTURAS LAMINARES
65
luzlespeso ele adas. De un de allado análisis de es os es udios se desp ende que es
aconsejable limi a la elación luzlespeso de los elemen os de 20 nodos a un máximo
de 25 cuando la lexión es p edominan e. El elemen o de 27 nodos p esen a el mismo
enómeno pa a elaciones mucho más ele adas, del o den de 200, po lo que, a pesa de
su mayo cos e, es necesa io u iliza lo en aquellas si uaciones en que la elación l/h sea
supe io
a
25.
Las in eg ales de olumen que apa ecen en las ecuaciones (ma ices de masa
y
igidez,
ec o de ue zas in e nas) se calculan median e in eg ación numé ica. Una egla especial
con 15 pun os de in eg aci6n8 se u iliza en ez de la adicional egla de Gauss con
3
x
3
x
3
pun os. Con es o se consigue educi casi al50 %el cos e de la e aluación de las
in eg ales sin pe de exac i ud. La dis ibución de los pun os de in eg ación sob e el
olumen se mues a en la Fig. 2.
Figu a
2.
Dis ibución
de
los
pun os de in eg ación
Es de des aca
que.
mien as el elemen o de 20 nodos no p esen a ningún mecanismo
de ene gía nula al se in eg ado u ilizando es a egla especial de 15 pun os, el elemen o
de 27 nodos p esen a es alo es p opios nulos (además de los seis co espondien es
a mo imien os de.sólidos Se ecomienda, po an o, u iliza la clásica egla
gaussiana de 27 pun os con el elemen o lag angiano.
MODELO
DEL
MATERIAL
Modelo elas o/ iscoplás ico pa a ho migón
Resul ados expe imen ales demues an que un modelo del ma e ial análisis dinámico
de ho migón debe se dependien e de la his o ia
y
elocidad de ca ga. Bicanic3 p opuso
un modelo elas o/ iscoplás ico dependien e de la elocidad de de o mación y con
deg adación p og esi a de la esis encia debida al daño acumulado. Es e modelo se
di e encia del modelo elas o/ iscoplás ico clásico de Pe zyna9 en dos aspec os:

66
M.
CERVERA
Y
HINTON
a) el pa áme o de luencia no es cons an e, sino que depende de la elocidad de
de o mación elás ica, y
b) se in oduce el concep o. de supe icie limi e pa a con ola el daño causado po el
lujo iscoplás ico.
Las supe icies de luencia, F,, y limi e, F,, se desc iben en es e abajo en unción
de los dos p ime os in a ian es de ensi6n,
4,
y J2, de la o ma:
(u,
m
u,)
=
cIl
+
(c2
<
+
30~2)'
-
%
=
0
(5)
4
(O, O,)
=
cI,
+
(c2
1:
+
30~~)'
-
o
=
0
w
Los alo es c
=
0.355 y
/3
=
1.355 concue dan bien con los esul ados expe imen ales
de ~up e " .
Mien as la ayec o ia de ensiones pe manece den o de la supe icie de luencia
el compo amien o del.ho mig6n es elás ico. Cuando la ayec o ia de ensiones sale
ue a de la supe icie de luencia empieza el compo amien o iscoplás ico,
y
las supe -
icies
F,
y
F
a ían, 'al ya ia las ensiones o, y o que de inen su posición. Si se consi-
de a endu ecimien o, o, c ece con el abajo icoplás ico, y
F,
se expande. Po el
con a io o dec ece con el daño acumulado, y
F
se con ae. La supe icie limi e es
s610 un elemen o de con ol pa a de ini cuando ocu e el colapso del ma e ial. Cuando
la ensión alcanza es a supe icie se inicia la deg adación p og esi a del ma e ial, y la
supe icie de luencia empieza a con ae se. La Fig.
3
ilus a el p oceso.
Elas icidad lineal Elas o/ iscoplas icidad
Fo
y
F* en posiciones iniciales Fo
F
se con ae
Colapso Pos -colapso
Fo se con ae
Figu a
3.
E oluci6n de las supe icies de luencia
y
de colapso.
ANALISIS EN-ROTURA DE ESTRUCTURAS LAMINARES
67
En es e abajo no se incluye endu ecimien o, y se escoge una unción exponencial
pa a ep esen a el compo amien o pos -colapso. Po an o, la ensión o, iene dada
po :
donde
al
de ine el limi e del compo amien o elás ico ( ipicamen e
al
=0.3
-
0.4)
y
q
modela la elocidad de deg adación pos -colapso.
l,
es la esis e icia a comp ensión
del ho migón.
Wp
es el abajo iscoplás ico acum~ilado y
Wi
su alo en el elemen o
de colapso. El pa áme o
k
es igual al abajo iscoplás ico as el colapso, es deci ,
k
=
Wp
-Uí .
La ensión limi e, o , se supone unción lineal del abajo iscoplás ico:
donde
Po
y
P1
se de e minan expe imen almen e. La egla de lujo .'iscoplás ico puede
esc ibi se:
donde no es un ec o no mal a la supe icie de luencia,
y
$
(F,) se de ine como
El pa áme o de luencia depende de la elocidad de de o mación elás ica a a és de
la unción exponencial
donde
a,
y
al
se de e minan expe imen almen e. La de o mación elás ica e ec i a se
de ine como
La de o mación iscoplás ica con inua has a el aplas amien o del ho migón. El aplas-
amien o es un ipo de ac u a con olado po la de o mación.
A
al a de da os expe i-
men ales sob e la de o mación Iil ima del ho migón en es ados mul iaxiales de
de o macibn, se sele~ciona el siguien e c i e io:
donde
J,'
es el segundo in a ian e de de o mación y
E,
es un alo de de o mación
úl ima ex apolable de es s uniaxiales. Cuando el ho migón alcanza la supe icie de
aplas amien o pie de ' oda su igidez y es incapaz de ansmi i ensiones.
68
M.
CERVEKA
Y
WIN'TON
Modelo
de
isu acibii
El ho migón a acción se modela en es e es udio como un ma e ial elas ol ágil con
una ama de desca ga. El c i e io de n-iáxima de o mación de acción se u iliza pa a
dis ingui en e égimen elás ico
y
isu ación. Si la máxima de o mación p incipal supe a
un alo lími e, se o ma una isu a en el plano pe pendicula a dicha
de o mación.
A pa i de ese momen o, el ho migón deja de se isó opo
y
se conside a o 6 opo
con los ejes ma e iales coincidiendo con las di ecciones p incipales de de o mación.
Al isu a se el ho migón no elaja la ensión no mal a la isu a de o ma ins an ánea.
Los p inii i os modelos que suponían al elajaci6n ins an ánea no dan esul ados
con e gen es, es deci no son independien es del amaño de elemen o u ilizado. Es a
di icul ad se e i a si el modelo de desca ga inco po a una medida obje i a de la ene gia
disipada en el p oceso de ac u a. En el p esen e modelo, el elajamien o de ensión
en la isu a se nodela con una unción exponencial (Fig. 4).
Figu a
4.
Pos - isu ación. Cu a unidi nensional ensi6n-de omaci6 i.
donde
e,,
es la de o mación de isu aci4n,
'
es una esis encia nominal a acción
u,'=
E,
E,,),
E
es la de o mación nominal en la zona isu ada
y
cu
es un pa áme o de
desca ga. Dicho pa áme o se calcula como
1
"
=
(G,
-
p,,
'
1,)
/
lc
'
>
0
donde
G
es ia ene gia de ac u a del ho migón
y
1, es una longi ud ca ac e ís ica
asociada al pu o de in eg ación conside ado
y
la di ección de isu aci6 il1. Como
p ime a ap oximación no di eccional, dicha longi ud ca ac e ís ica puede oma se
conlo la aiz cúbica del olumen asociado al pun o conside ado.
L,a isu ación del ho migón a ec a ainbien a su capacidad de ans e i ensiones de
co an e. Debido a enómenos ales como la icci6n en e los á idos
y
la p esencia del
ANALISIS EN-ROTURA DE ESTRUCTURAS LAMINARES
69
a mado, el ho migón isu ado e iene un módulo de co an e que puede elaciona se
con el módulo inicial de o ma
donde
0,
es un alo en e
O
y 1 que puede oma se como cons an e o elaciona lo a
la de o mación no mal a la isu a de o ma que el alo de
B,
dec ezca a medida que
la isu a se ab e7.
Du an e el p oceso de'ca ga una isu a p e iamen e abie a puede empeza a ce a se
y
e en ualmen e ce a se comple amen e o ab i se de nue o. El modelo que aqui
se desc ibe pe mi e ce a
Y
eab i las isu as exis en es según la ayec o ia secan e
ep esen ada en la Fig.
4.
Una ez que una isu a se cie a comple aimen e el ho migón
ecupe a su igidez inicial en la di ección no mal a la isu a.
Compo amien o a comp esión del ho migón isu ado
En el p esen e modelo la isu ación se conside a un allo pa cial y no a ec a a la
igidez
y
ensiones en las di ecciones pa alelas al plano de la isu a. En ales di ecciones
puede apa ece isu ación secunda ia si las de o maciones de acción exceden el alo
limi e. Po el con a io, si dichas di ecciones es án comp imidas, el ma e ial puede
en a en egimen iscoplás ico.
Pa a cada pun o de in eg ación se siguen los siguien es pasos pa a de e mina los
inc emen os de ensión co espondien es a un inc emen o de de o mación dado:
a) se e alúan las de o maciones o ales, las de o maciones elás icas
y
las ensiones
o ales,
b) se e i ica la o maci6n de isu as p ima ias o secunda ias según el es ado de de o -
mación. Si el pun o isu a se modi ican las ensiones en conco dancia,
c) se e i ica la condición de luencia
-
si se es á en egimen iscoplás ico se modi ican
las a iables de es ado en conco dancia,
y
d)
se e i ica la condición de aplas amien o
-
si la de o mación equi alen e supe a el
alo máximo admisible se anulan. odas las componen es de ensión.
Modelo elas o/ iscoplás ico pa a el ace o
Se conside a que el ace o sólo puede esis i ensiones en la di ección de las ba as.
Po lo an o, el modelo cons i u i o pa a el ace o es uniaxial. El niodelo elas o/ isco-
plás ico seleccionado depende de la elocidad de de o mación. La elocidad de
de o mación iscoplás ica se calcula:
g,,
=
17
(E,)
(JO,~
-
y
I
y
donde
o,
.es la ensión en el ace o
y
y
es la ensión de luencia. La dependencia del
pa áme s de luencia con la elocidad de de o mación es análoga a la del ho migón,
ecuación (10).
76
M.
CERVERA
Y
HINTON
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