Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 7,
S,
247-264( 1991)
SIMULACION NUMERICA DE LA CONVECCION
MIXTA DE GASES EN TUBOS VERTICALES
INCLUYENDO INVERSIONES DEL FLUJO
JUAN C. MORALES*
Y
ANTONIO CAMPO *
*Dp o. de Mecánica,
Uni e sidad Simón Bolí a ,
Ca acas 1080-A, Venezuela.
**Dep . o Mechanical Enginee ing,
Pu due Uni e si y, Wes La aye e,
Indiana 47907, USA.
RESUMEN
Es e es udio pa amé ico a a la in luencia de la con ección mix a en el desa ollo
simul áneo de la elocidad y la empe a u a de un gas con p opiedades cons an es,
desplazándose po una ube ía ci cula en posición e ical. En e an o, la elocidad y
la empe a u a se conside an uni o mes a la en ada de la egión de in e cambio é mico
pe maneciendo la pa ed del ubo iso é mica. La hipó esis más ele an e u ilizada en es e
análisis es la ap oximación de Boussinesq pa a la densidad en el é mino de lo ación, en an o
que el es o de las p opiedades e mo isicas pe manecen in a ian es con la empe a u a. El
sis ema de ecuaciones en de i adas pa ciales al amen e acoplado que gobie na el ci ado p oblema
(conse ación de masa, can idad de mo imien o y ene gía) se esuel e numé icamen e median e
el mé odo de los olúmenes de con ol. Un g upo selec o de g á icos ilus a la in luencia de la
con ección na u al sob e la con ección o zada: ascenden e con en iamien o y ascenden e con
calen amien o. Además, se p esen an cu as ilus a i as que ponen de mani ies o las in e siones
del lujo en ambos casos. Es e aspec o cons i uye un apo e inno ado del p esen e abajo.
SUMMARY
A pa ame ic s udy ad esses he in luence o mixed con ec ion on he simul aneus
de elopmen o eloci y and empe a u e o
a
cons an -p ope y gas h ough a e ical ci cula
ube. Bo h eloci y and empe a uie a e conside ed uni o m a he en ance o he hea
exchange egion, whe eas he ube wail
is
iso he mical. The salien hypo hesis o he analysis
is
he Boussinesq app oxima ion o he gas densi y in he buoyancy e m, while he emaining
p ope ies a e assumed cons an . The sys em o highly coupled pa ial di e en ial equa ions
(conse a ion o mass, momen um and ene gy) is sol ed nume icaily by he con ol olume
app oach. Based on he nume ical esul s, a selec ed g oup o igu es illus a es he in luence o
na u al con ec ion on he o ced con ec ion p ocesses: upwa d wi h cooling and upwa d wi h
hea ing. Mo eo e , ep esen a i e cu es showing a whole spec um o low in e sions a e also
p esen ed. This ea u e cons i u es an inno a i e con ibu ion o he p esen wo k.
Recibido: Sep iemb e 1989
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315
J.C.
MORALES
Y
A.
CAMPO
INTRODUCCION
Es un hecho sabido que la con ección na u al puede eje ce una acción es imulan e
o inhibido a sob e la ansmisión de calo po con ección o zada en lujos in e nos
o ex e nos'. Es e enómeno peculia suele ocu i a elocidades pequeñas, di e encias
al as de empe a u a o longi udes ca ac e ís icas g andes. Ejemplos palpables de es e
p oceso combinado, conocido como con ección mix a en la li e a u a especializada, se
encuen an en chimeneas, equipos elec ónicos, eac o es nuclea es, e c.
En pa icula , el análisis é mico de los luidos en égimen lamina p opulsados
conjun amen e po ue zas iscosas
y
g a i acionales en duc os e icales equie e la
solución de un sis ema de es ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales no lineales
y ue emen e acopladas, o sea las ecuaciones de conse ación'. Es a di icul ad inhe en e
ocasiona que, con la excepción de casos simplis as, las écnicas de solución pa a es e ipo
de p oblema sean o zosamen e numé icas. De aquí que, en si uaciones de con ección
mix a in e na puedan emplea se una g an a iedad de mé odos numé icos con el
in
de p edeci los da os expe imen ales exis en es pa a los campos de elocidad y de
empe a u a.
Den o del pano ama de la con ección na u al, se sabe que la a iación de la
densidad de un luido con la empe a u a ocasiona cambios conside ables en la ue za
de la g a edad en el seno de és e. Es o a su ez modi ica no ablemen e el campo de
elocidad y po ende, el campo de empe a u a de los luidos en mo imien o ascenden e
o descenden e que pasan po una zona de in e cambio é mico en una ube ía e ical.
Bajo es as condiciones inusuales, el compo amien o e mohid áulico del luido se
des ía ma cadamen e de las soluciones clásicas ya conocidas pa a con ección o zada
en conduc os, las cuales apa ecen ecopiladas en la e e encia
[2].
El sis ema ísico que se p e ende examina en es e abajo consis e en un ubo
e ical en donde an o la elocidad como la empe a u a de un gas en an con alo es
conocidos. Además, la zona de in e cambio é mico es á dic ada po una condición
iso é mica supe icial. Po lo an o, la o mulación ma emá ica del ci ado p oblema
in oluc a las ecuaciones de conse ación, o sea conse ación de masa, can idad de
mo imien o y ene gía.
De
és as, la segunda ecuación inco po a el é mino dominan e
de lo ación, que co esponde
a
la esencia de es e abajo y es á ca ac e izada po la
ap oximación clásica de Boussinesql. Una ez o mulado el p oblema en es udio po un
sis ema de ecuaciones di e enciales pa ciales, la a ea consis e en ecu i a una écnica
numé ica e icien e pa a su solución.
Re isión bibliog á ica
El p oblema de la con ección mix a ha ecibido g an ímpe u desde el p ime abajo
sob e es e ema ealizado po Ma inelli y Boel e 3 en
1942.
En es e abajo, los au o es
p opusie on una ecuación empí ica pa a el cálculo del núme o de Nussel p omedio,
que co elaciona cinco g upos de da os expe imen ales. La co elación esul an e
se alidó pa a agua y acei e aba cando lujos ascenden es y descenden es po igual.
Pos e io men e, Pig o d4 abo dó el p oblema de o ma ap oximada po ía de una
simpli icación de la ecuación de la can idad de mo imien o con mi as
a
acopla la con la
SIMULACION NUMERICA
DE
GASES EN TUBOS VERTICALES
ecuación de la ene gía. Los esul ados p esen ados, an o en la e e encia
[3]
como en la
[4], son aplicables ap oximadamen e pa a luidos con al os núme os de P and l. Jackson
e al.5 examina on pos e io men e el e ec o de la con ección mix a en el caso de lujos
ascenden es con calen amien o. La co elación ob enida po es os in es igado es ajus ó
una gama de da os expe imen ales de ai e solamen e. En cambio, Rosen y Han a y6
u ilizando las mismas suposiciones de la eo ía in eg al de la capa lími e empleadas
en la e e encia [4], log a on esol e ap oximadamen e la ecuación de la ene gía
simul áneamen e. Su solución p edice sa is ac o iamen e los pun os expe imen ales
de in e sión del lujo, pe o no así los coe icien es de ansmisión del calo en la egión
de en ada.
En e an o, Zeldin y Schmid 7 ecu ie on
al
cálculo numé ico y es udia on el
e ec o de la con ección mix a en la egión de en ada pa a ai e con lujo ascenden e y
calen amien o median e una o mulación de na u aleza elíp ica. Po o o lado, Ma ne
y McMillane examina on la in luencia de la con ección mix a pa a lujos desa ollados
y ascenden es con calen amien o (G lRe
=
60) ayudados de un esquema pa abólico.
Collinss esol ió el sis ema de ecuaciones elíp icas po un p ocedimien o de ipo semi-
explíci o pa a un solo alo de G lRe. Recien emen e, Shaddaylo ob u o algunos
esul ados pa ciales po la ía de di e encias ini as pa a
Re
=
100 solamen e.
Los ekl ados emanados de las e e encias [7]-[lo] son muy limi ados en alcance
en el sen ido de que no cub en el espec o comple o (posi i o y nega i o) del
pa áme o de con ección mix a G l
Re.
Adicionalmen e, odas las e e encias, sin
excepción de ninguna, descansan sob e écnicas numé icas adicionales, o sea usan
las disc e izaciones basadas en la se ie de Taylo uncada. Sin emba go, una u a de
solución numé ica, adicalmen e di e en e a las ci adas ya, ue concebida po Campo
y Pé ez" ecien emen e. Es e p ocedimien o híb ido inspi ado en el n~é odo de las
líneas
(MOL)
equie e una disc e ización adicional de las de i adas adiales, en an o
que las de i adas axiales pe manecen con inuas. Además, un aspec o no edoso de
es e p ocedimien o es que pe mi e un acoplamien o especial en e la elocidad axial y
la caída de p esión. Es a ans o mación ma emá ica da o igen
a
una e o mulación
del p oblema que la con ie e en
un
sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias de
p ime o den. Dado el ca ác e no lineal del sis ema, és e se esol ió con un algo i mo
de Runge-Ku a de cua o o den con paso a iable.
En i ud de lo an e io , el obje i o undamen al de es e abajo consis e en es udia
exhaus i amen e el compo amien o de la con ección mix a de gases en ubos colocados
en posición e ical. Las dos posibilidades isicas son: a) la con ección na u al ayuda a
la con ección o zada y b) la con ección na u al se opone
a
la con ección o zada. Pa a
ealiza el análisis pa amé ico se adop a á la me odología que disc e iza las de i adas
pa ciales median e los olúmenes de con ol in en ada po Pa anka y Spalding". Es e
p ocedimien o goza de g andes a ibu os como lo demues a su al a popula idad en la
li e a u a de dinámica de luidos compu acional. Los esul ados ob enidos (locales
y
globales) pa a los campos de elocidad
y
empe a u a se p esen a án en o ma g á ica
y abulada en unción del pa áme o de con ección mix a G lRe. De mane a simila ,
se epo a án las condiciones que p o ocan in e siones del lujo.
J.C. MORALES
Y
A. CAMPO
MODELO MATEMATICO
El
ema del p esen e abajo co esponde a la si uación isica esquema izada en la
Figu a
1,
en la cual un gas luye den o de
una
ube ía de sección ci cula dispues a
en posición e jcal. El gas en a a una zona de in e cambio é mico ca ac e izada po
la imposición de una empe a u a cons an e en la pa ed del ubo T,, can idad que es
di e en e a la empe a u a de en ada del gas T,.
La
elocidad del gas a la en ada de
la ube ía se supone uni o me. La ma cada desuni o midad de los pe ñies de elocidad
den o de la zona de in e cambio é mico pe mi e que la con ección na u al in e ac úe
con la con ección o zada en o ma simul ánea.
Figu a
1.
Sis ema ísico.
Ampa ados en la suposición del lujo axisimé ico se escoge el sis ema de
coo denadas cilínd icas ( e Figu a
1)
en donde
z
ep esen a la coo denada axial medida
desde la en ada de la zona de in e cambio
y
la posición adial medida desde el eje
del ubo, espec i amen e. El modelo ma emá ico pa a es udia la con ección mix a
descansa sob e las ecuaciones undamen ales de conse ación de masa, can idad de
mo imien o
y
ene gía1. Es e conjun o de ecuaciones se simpli ica en i ud de las
siguien es suposiciones:
-
el lujo es lamina
-
el luido es New oniano
-
la eo ía de la capa lími e p e alece
-
la conducción axial
y
la disipación iscosa son desp eciables
-
no exis en eacciones químicas
-
las p opiedades son cons an es, excep o en el é mino de lo ación
-
el gas no es un medio pa icipan e
In ocando es e g upo de suposiciones
y
u ilizando el sis ema de coo denadas
seleccionado p e iamen e, las ecuaciones adimensionales que desc iben el enómeno
SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES
de con ección combinada quedan de la siguien e o ma:
Masa
Can idad de mo imien o axial
Can idad de mo imien o adial
Masa ( o mulación in eg al)
Ene gáa
El signo posi i o o nega i o en el e mino de lo ación
4G OIRe
de la ecuación
(2)
co esponde a los casos de en iamien o con lujo ascenden e o descenden e,
espec i amen e.
En e an o, se puede obse a en la ecuación
(3)
que
la
p esión adimensional
P
es unción de la coo denada
axial
Z
solamen e;
y
po lo an o se hace imp escindible
una ecuación que pe mi a calcula el g adien e de p esión a lo la go del ubo. En es e
sen ido, la ecuación adicional necesa ia se ob iene a la luz de que el lujo se encuen a
conhado den o del duc o,
y
po consiguien e, es o equi ale a esc ibi :
IA
pu
dA
=
cons an e
=
m
en donde
A
designa la sección ans e sal del ubo.
Finalmen e, con el obje o de comple a la o mulación, las condiciones de bo de
que con o man el modelo ma emá ico pa a el p oblema en es udio se pueden
sepa a
en dos pa es de la siguien e o ma:
Condiciones pa a el campo hid odinámico

J.C.
MORALES
Y
A. CAMPO
Condiciones pam el campo é mico
El modelo ma emá ico p opues o en es a sección co esponde a las siguien es
can idades adimensionales:
METODO DE SOLUCION NUMERICA
En es a sección se esbozan los de alles más ele an es del algo i mo de solución (de
ca ác e pa abólico) que se emplean en es e abajo.
Una e isión de la li e a u a especializada e leja que el mé odo de los olúmenes
de con ol p opues o po Pa anka
y
Spaldingl' ha sido empleado con g an éxi o en los
Úl imos años pa a esol e p oblemas de dinámica de luidos con ansmisión de calo .
Po consiguien e, és a es una azón de peso su icien e pa a escoge es e algo i mo de
solución en es e abajo. El p oceso consis e en subdi idi el dominio de in eg ación en
egiones hi as, sob e las cuales se in eg an las ecuaciones di e enciales, pa a así ob ene
exp esiones disc e izadas más simples. Es as egiones son denominadas olúmenes de
con ol
y
se escoge su cen o geomé ico como el pun o ep esen a i o de cada egión.
El sis ema de ecuaciones de conse ación puede se esc i o en o ma gene al pa a
una a iable escala
4
median e la siguien e ecuación
en donde
~4
ep esen a el lujo o al de la a iable
4
SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES
y
S4
designa el é mino de uen e o mado po aquellos é minos que no pueden se
aba cados po
~4.
La
Tabla
1
p esen a los alo es ca ac e ís icos de
4,
I'
y
S4
pa a las
di e sas a iables in oluc adas en es e p oblema. Cabe señala que el p ocedimien o
de disc e ización a u iliza en es e abajo es idén ico
al
expues o po Pa anka ".
Tabla
1.
Valo es
de
4,
p,
I'
y
S@
pa a las ecuaciones de conse ación.
Cálculo
del g adien e de p esión
La p incipal di icul ad que se suele p esen a en Pos p oblemas de lujo in e no en
los cuales se desea de e mina el campo de elocidad es que el g adien e de p esión
que apa ece en la ecuación de can idad de mo imien o axial como é mino de uen e se
desconoce. Además, ampoco se dispone de una ecuación independien e que pe mi a
halla lo en o ma di ec a. Aho a bien, el g adien e de p esión se encuen a exp esado
indi ec amen e po la ecuación de conse ación de masa en o ma in eg al, ecuación
(6).
Es o es debido a que el g adien e de p esión no es cualquie a, sino uno en especi ico,
al que los pe iles de elocidad que de él se ob engan (median e la solución de las
ecuaciones de can idad de mo imien o
y
de masa di e encial) sa is agan la ecuación de
conse ación de masa in eg al.
Sin luga a dudas, el pun o más álgido en dinámica de luidos compu acional lo
cons i uye el cálculo del g adien e de p esión, al como se ha mencionado an e io men e.
En la li e a u a sob e es e ema abundan di e sos mé odos pa a de e mina el g adien e
de p esión de lujos in e nos, en e ellos los más conocidos son los p opues os po
Pa anka y Spaldingll, B ileyl' y Rai hby
y
Schneide 13. La na u aleza no i e a i a
del esquema de Pa anka
y
Spalding no ga an iza comple amen e la conse ación de
masa.
Sin
emba go, el esquema p opues o po B iley, basado en el mé odo de la secan e,
pe mi e halla el alo exac o, pe o se hace necesa io esol e la ecuación de can idad de
mo imien o
al
menos es eces. En es e sen ido, Rai hby y Scheneide 13 desa olla on
un
p ocedimien o no edoso de cálculo pa a lujos de ipo pa abólico, el cual es á basado
en el mé odo de los olúmenes de con ol
de
Pa anka
y
Spalding12. En dicho abajo
los au o es elabo a on una me odología i e a i a al amen e e icien e pa a de e mina
el g adien e de p esión axial a pa i de la ecuación de can idad de mo imien o y de
la condición de lujo con inado, ecuación
(6).
La en aja que b inda el algo i mo de
Rai hby y Scheneide es que emplea un e cio del abajo del de B iley y más impo an e
aún, pe mi e halla el alo exac o del g adien e de p esión. Es as ca ac e ís icas son lo
J.C.
MORALES
Y
A. CAMPO
su icien emen e impo an es pa a esal a es e algo i mo sob e los o os
y
po lo an o
es el que se u iliza en es e abajo.
ANALISIS DE LOS RESULTADOS
A con inuación se p esen an los esul ados ob enidos empleando el mé odo
numé ico p opues os en la sección an e io , el cual ue codi icado en FORTRAN
y
adap ado a un compu ado DEC-10. Los esul ados iniciales que se epo an en es e
abajo co esponden a 20 olúmenes de con ol de igual amaño, en donde los iempos
de compu ación (CPU) no supe an los 25 segundos pa a cada caso.
A
mane a de
e i icación, se ob u ie on esul ados con una malla más ina eniendo 40 olúmenes de
con ol, ele ándose los iempos p omedios de compu ación lige amen e a 50 segundos.
La compa ación a oja que los esul ados son in a ian es con la malla.
En p ime é mino, los esul ados del campo pu amen e
hid odinámica
se p esen an
empleando la elocidad máxima en el cen o del ubo
U,
y
el g adien e de p esión local
dP/dZ.
En segunda ins ancia, pa a el campo é mico se u ilizan las dis ibuciones de la
empe a u a olumé ica media
y
del núme o de Nussel local, las cuales se de e minan
con las exp esiones
espec i amen e.
El calo o al ansmi ido QT en e la en ada
z
=
O
y
una es ación cualquie a
z
=
L
del ubo se puede halla di ec amen e po
Es a ecuación descansa en el P ime P incipio de la Te modinámica. El caso lími e de
es a ecuación p opo ciona un calo o al ideal Qj, álido pa a un ubo ilimi ado, o sea
In oduciendo el concep o de e iciencia é mica R, dado po el cocien e
y
combinando las ecuaciones (23)
y
(24) esul a que
En cambio, ale la pena esal a que la mane a adicional de calcula el calo
ansmi ido en lujos in e nos equie e el uso indi ec o de la dis ibución del núme o de
Nussel
.
Con el p opósi o exp eso de es udia independien emen e la in luencia de cada
mecanismo, es a sección se di ide en dos subsecciones:
SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES
a)
Validación del mé odo numé ico
b)
In luencia de la con ección na u al sob e la con ección o zada
a)
Validación del mé odo numé ico
Las Figu as 2-5 se p epa a on con el p opósi o de mos a los esul ados pa a
el p oblema del desa ollo simul áneo de elocidad
y
empe a u a (sin con ección
na u al) en un ubo iso é mico. En es as igu as se ilus a la con e gencia del
algo i mo p opues o en unción del núme o de olúmenes de con ol empleados. Aquí
se ap ecia que los esul ados ob enidos, an o hid odinámicos como é micos, con 20
y
40 olúmenes no se di e encian en e sí en o ma ap eciable. Igualmen e, se indican las
compa aciones pa a el mismo p oblema en e los esul ados numé icos epo ados po
Ho nbeck16, Liu"
y
Manoha 18
y
los nues os u ilizando una malla con 20 olúmenes
de con ol. Una inspección de allada de es os esul ados p elimina es e leja una buena
conco dancia en e ellos, an o en el campo
hid odinámica,
como en el é mico.
b)
In luencia de la con ección na u al sob e la con ección o zada
La acción que eje ce la con ección na u al sob e la con ección o zada en ubos
e icales puede se di idida en dos pa es:
lujo ascenden e con en iamien o
=
lujo descenden e con calen amien o
lujo ascenden e con calen amien o
=
lujo descenden e con en iamien o
Es a clasi icación da o igen a dos combinaciones posibles, las cuales es án
iduenciadas po el pe il de elocidad a la en ada de la zona de in e cambio é mico,
el núme o de P and l
y
el pa áme o de con ección mix a
G l Re.
En es e con ex o
y
con el p opósi o de economiza espacio en la e is a, es e abajo se limi a al caso de
lujos de gases
(PT
=
0.7) con elocidad uni o me impues a a la en ada.
En las Figu as 6-10 se concen an los esul ados ob enidos pa a el caso de lujo
ascenden e con en iamien o
(G lRe
>
O). En la Figu a 6 se obse a que la elocidad
en el cen o de la ube ía ( elocidad máxima) iende a inc emen a se en unción de
G lRe
desde un alo uni a io a la en ada
y
desciende pos e io men e has a alcanza
el alo asin ó ico de
U,
=
2. Cuando el pa áme o de con ección mix a llega a 40,
el pe il, de elocidad se in ie e en la egión ce cana a la pa ed del ubo. Es o ae
como consecuencia que la capa lími e se in alide a pa i de es e pun o
(Z
=
0.005)
ap oximadamen e.
Tocan e al g adien e de p esión de la Figu a
7,
és e mues a su clásico
compo amien o monó ono dec ecien e en ausencia de con ección na u al
(G
=
0).
A
medida que el cocien e
G lRe
aumen a, el g adien e de p esión iende
a
disminui
en la en ada
y
las cu as pasan po
un
mínimo, ca ac e izado po un pa ón cónca o.
Desde es os alo es mínimos, las cu as adquie en pendien es posi i as co espondien es
a un aumen o sus ancial de p esión en e dos es aciones del ubo e ical. Como es
e iden e, es e compo amien o se e leja en una disminución del coe icien e de icción.
La e olución de la elocidad axial co espondien e a la p ime a cu a de la Figu a
6
pa a
G lRe
=
30 (sin in e sión) se dibuja en la Figu a
8.
Es e caso ilus a las dis o siones
J.C. MORALES
Y
A.
CAMPO
O o01 O 010 0.100
m
Figu a 14. Desa ollo de la empe a u a olumé ica media.
O 001 O 010 O 100 1 000
U2
Figu a
15.
Va iación del núme o de Nussel local.
Tabla
11.
Valo es c í icos de
G IRe.
Es e abajo
G /Re
Z
+46.5 0.0053
-65.0 0.0036
capacidad p edic i a del modelo ma emá ico (pa abólico)
y
del algo i mo de solución
numé ica u ilizados en es e abajo.
Campo
y
Pé ez"
G /Re
Z
36.5 0.0043
-65.0 0.0034

SIMULACION NUMEMCA DE GASES EN TUBOS VERTICALES
NOMENCLATURA
á ea seccional del ubo
calo especí ico a p esión cons an e
acele ación de la g a edad
núme o de G asho
conduc i idad é mica
lujo másico
núme o de Nussel
núme o de olúmenes de con ol
p esión
p esión dinámica
p esión a la en ada
núme o de P and l
densidad del lujo de calo en la pa ed
calo o al ansmi ido
calo ideal ansmi ido
coo denada adial
adio del ubo
coo denada adial adimensional
núme o de Reynolds
empe a u a
empe a u a a la en ada
empe a u a de la pa ed del ubo
elocidad axial
elocidad
axial
media
elocidad axial adimensional
elocidad adial
elocidad adial adimensional
coo denada axial
coo denada axial adimensiond
Le as g iegas
S
p
coe icien e de expansión é mica
0
empe a u a adimensional
p
iscosidad dinámica
p
densidad
Subíndices
b
olumé ica media
o
en ada
P
nodo ca ac e ís ico del olumen de con ol
w
pa ed del ubo
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