Simulación numérica de la convección mixta de gases en tubos verticales incluyendo inversiones del flujo

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 7, S, 247-264( 1991) SIMULACION NUMERICA DE LA CONVECCION MIXTA DE GASES EN TUBOS VERTICALES INCLUYENDO INVERSIONES DEL FLUJO JUAN C. MORALES* Y ANTONIO CAMPO * *Dp o. de Mecánica, Uni e sidad Simón Bolí a , Ca acas 1080-A, Venezuela. **Dep . o Mechanical Enginee ing, Pu due Uni e si y, Wes La aye e, Indiana 47907, USA. RESUMEN Es e es udio pa amé ico a a la in luencia de la con ección mix a en el desa ollo simul áneo de la elocidad y la empe a u a de un gas con p opiedades cons an es, desplazándose po una ube ía ci cula en posición e ical. En e an o, la elocidad y la empe a u a se conside an uni o mes a la en ada de la egión de in e cambio é mico pe maneciendo la pa ed del ubo iso é mica. La hipó esis más ele an e u ilizada en es e análisis es la ap oximación de Boussinesq pa a la densidad en el é mino de lo ación, en an o que el es o de las p opiedades e mo isicas pe manecen in a ian es con la empe a u a. El sis ema de ecuaciones en de i adas pa ciales al amen e acoplado que gobie na el ci ado p oblema (conse ación de masa, can idad de mo imien o y ene gía) se esuel e numé icamen e median e el mé odo de los olúmenes de con ol. Un g upo selec o de g á icos ilus a la in luencia de la con ección na u al sob e la con ección o zada: ascenden e con en iamien o y ascenden e con calen amien o. Además, se p esen an cu as ilus a i as que ponen de mani ies o las in e siones del lujo en ambos casos. Es e aspec o cons i uye un apo e inno ado del p esen e abajo. SUMMARY A pa ame ic s udy ad esses he in luence o mixed con ec ion on he simul aneus de elopmen o eloci y and empe a u e o a cons an -p ope y gas h ough a e ical ci cula ube. Bo h eloci y and empe a uie a e conside ed uni o m a he en ance o he hea exchange egion, whe eas he ube wail is iso he mical. The salien hypo hesis o he analysis is he Boussinesq app oxima ion o he gas densi y in he buoyancy e m, while he emaining p ope ies a e assumed cons an . The sys em o highly coupled pa ial di e en ial equa ions (conse a ion o mass, momen um and ene gy) is sol ed nume icaily by he con ol olume app oach. Based on he nume ical esul s, a selec ed g oup o igu es illus a es he in luence o na u al con ec ion on he o ced con ec ion p ocesses: upwa d wi h cooling and upwa d wi h hea ing. Mo eo e , ep esen a i e cu es showing a whole spec um o low in e sions a e also p esen ed. This ea u e cons i u es an inno a i e con ibu ion o he p esen wo k. Recibido: Sep iemb e 1989 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 J.C. MORALES Y A. CAMPO INTRODUCCION Es un hecho sabido que la con ección na u al puede eje ce una acción es imulan e o inhibido a sob e la ansmisión de calo po con ección o zada en lujos in e nos o ex e nos'. Es e enómeno peculia suele ocu i a elocidades pequeñas, di e encias al as de empe a u a o longi udes ca ac e ís icas g andes. Ejemplos palpables de es e p oceso combinado, conocido como con ección mix a en la li e a u a especializada, se encuen an en chimeneas, equipos elec ónicos, eac o es nuclea es, e c. En pa icula , el análisis é mico de los luidos en égimen lamina p opulsados conjun amen e po ue zas iscosas y g a i acionales en duc os e icales equie e la solución de un sis ema de es ecuaciones di e enciales en de i adas pa ciales no lineales y ue emen e acopladas, o sea las ecuaciones de conse ación'. Es a di icul ad inhe en e ocasiona que, con la excepción de casos simplis as, las écnicas de solución pa a es e ipo de p oblema sean o zosamen e numé icas. De aquí que, en si uaciones de con ección mix a in e na puedan emplea se una g an a iedad de mé odos numé icos con el in de p edeci los da os expe imen ales exis en es pa a los campos de elocidad y de empe a u a. Den o del pano ama de la con ección na u al, se sabe que la a iación de la densidad de un luido con la empe a u a ocasiona cambios conside ables en la ue za de la g a edad en el seno de és e. Es o a su ez modi ica no ablemen e el campo de elocidad y po ende, el campo de empe a u a de los luidos en mo imien o ascenden e o descenden e que pasan po una zona de in e cambio é mico en una ube ía e ical. Bajo es as condiciones inusuales, el compo amien o e mohid áulico del luido se des ía ma cadamen e de las soluciones clásicas ya conocidas pa a con ección o zada en conduc os, las cuales apa ecen ecopiladas en la e e encia [2]. El sis ema ísico que se p e ende examina en es e abajo consis e en un ubo e ical en donde an o la elocidad como la empe a u a de un gas en an con alo es conocidos. Además, la zona de in e cambio é mico es á dic ada po una condición iso é mica supe icial. Po lo an o, la o mulación ma emá ica del ci ado p oblema in oluc a las ecuaciones de conse ación, o sea conse ación de masa, can idad de mo imien o y ene gía. De és as, la segunda ecuación inco po a el é mino dominan e de lo ación, que co esponde a la esencia de es e abajo y es á ca ac e izada po la ap oximación clásica de Boussinesql. Una ez o mulado el p oblema en es udio po un sis ema de ecuaciones di e enciales pa ciales, la a ea consis e en ecu i a una écnica numé ica e icien e pa a su solución. Re isión bibliog á ica El p oblema de la con ección mix a ha ecibido g an ímpe u desde el p ime abajo sob e es e ema ealizado po Ma inelli y Boel e 3 en 1942. En es e abajo, los au o es p opusie on una ecuación empí ica pa a el cálculo del núme o de Nussel p omedio, que co elaciona cinco g upos de da os expe imen ales. La co elación esul an e se alidó pa a agua y acei e aba cando lujos ascenden es y descenden es po igual. Pos e io men e, Pig o d4 abo dó el p oblema de o ma ap oximada po ía de una simpli icación de la ecuación de la can idad de mo imien o con mi as a acopla la con la SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES ecuación de la ene gía. Los esul ados p esen ados, an o en la e e encia [3] como en la [4], son aplicables ap oximadamen e pa a luidos con al os núme os de P and l. Jackson e al.5 examina on pos e io men e el e ec o de la con ección mix a en el caso de lujos ascenden es con calen amien o. La co elación ob enida po es os in es igado es ajus ó una gama de da os expe imen ales de ai e solamen e. En cambio, Rosen y Han a y6 u ilizando las mismas suposiciones de la eo ía in eg al de la capa lími e empleadas en la e e encia [4], log a on esol e ap oximadamen e la ecuación de la ene gía simul áneamen e. Su solución p edice sa is ac o iamen e los pun os expe imen ales de in e sión del lujo, pe o no así los coe icien es de ansmisión del calo en la egión de en ada. En e an o, Zeldin y Schmid 7 ecu ie on al cálculo numé ico y es udia on el e ec o de la con ección mix a en la egión de en ada pa a ai e con lujo ascenden e y calen amien o median e una o mulación de na u aleza elíp ica. Po o o lado, Ma ne y McMillane examina on la in luencia de la con ección mix a pa a lujos desa ollados y ascenden es con calen amien o (G lRe = 60) ayudados de un esquema pa abólico. Collinss esol ió el sis ema de ecuaciones elíp icas po un p ocedimien o de ipo semi- explíci o pa a un solo alo de G lRe. Recien emen e, Shaddaylo ob u o algunos esul ados pa ciales po la ía de di e encias ini as pa a Re = 100 solamen e. Los ekl ados emanados de las e e encias [7]-[lo] son muy limi ados en alcance en el sen ido de que no cub en el espec o comple o (posi i o y nega i o) del pa áme o de con ección mix a G l Re. Adicionalmen e, odas las e e encias, sin excepción de ninguna, descansan sob e écnicas numé icas adicionales, o sea usan las disc e izaciones basadas en la se ie de Taylo uncada. Sin emba go, una u a de solución numé ica, adicalmen e di e en e a las ci adas ya, ue concebida po Campo y Pé ez" ecien emen e. Es e p ocedimien o híb ido inspi ado en el n~é odo de las líneas (MOL) equie e una disc e ización adicional de las de i adas adiales, en an o que las de i adas axiales pe manecen con inuas. Además, un aspec o no edoso de es e p ocedimien o es que pe mi e un acoplamien o especial en e la elocidad axial y la caída de p esión. Es a ans o mación ma emá ica da o igen a una e o mulación del p oblema que la con ie e en un sis ema de ecuaciones di e enciales o dina ias de p ime o den. Dado el ca ác e no lineal del sis ema, és e se esol ió con un algo i mo de Runge-Ku a de cua o o den con paso a iable. En i ud de lo an e io , el obje i o undamen al de es e abajo consis e en es udia exhaus i amen e el compo amien o de la con ección mix a de gases en ubos colocados en posición e ical. Las dos posibilidades isicas son: a) la con ección na u al ayuda a la con ección o zada y b) la con ección na u al se opone a la con ección o zada. Pa a ealiza el análisis pa amé ico se adop a á la me odología que disc e iza las de i adas pa ciales median e los olúmenes de con ol in en ada po Pa anka y Spalding". Es e p ocedimien o goza de g andes a ibu os como lo demues a su al a popula idad en la li e a u a de dinámica de luidos compu acional. Los esul ados ob enidos (locales y globales) pa a los campos de elocidad y empe a u a se p esen a án en o ma g á ica y abulada en unción del pa áme o de con ección mix a G lRe. De mane a simila , se epo a án las condiciones que p o ocan in e siones del lujo. J.C. MORALES Y A. CAMPO MODELO MATEMATICO El ema del p esen e abajo co esponde a la si uación isica esquema izada en la Figu a 1, en la cual un gas luye den o de una ube ía de sección ci cula dispues a en posición e jcal. El gas en a a una zona de in e cambio é mico ca ac e izada po la imposición de una empe a u a cons an e en la pa ed del ubo T,, can idad que es di e en e a la empe a u a de en ada del gas T,. La elocidad del gas a la en ada de la ube ía se supone uni o me. La ma cada desuni o midad de los pe ñies de elocidad den o de la zona de in e cambio é mico pe mi e que la con ección na u al in e ac úe con la con ección o zada en o ma simul ánea. Figu a 1. Sis ema ísico. Ampa ados en la suposición del lujo axisimé ico se escoge el sis ema de coo denadas cilínd icas ( e Figu a 1) en donde z ep esen a la coo denada axial medida desde la en ada de la zona de in e cambio y la posición adial medida desde el eje del ubo, espec i amen e. El modelo ma emá ico pa a es udia la con ección mix a descansa sob e las ecuaciones undamen ales de conse ación de masa, can idad de mo imien o y ene gía1. Es e conjun o de ecuaciones se simpli ica en i ud de las siguien es suposiciones: - el lujo es lamina - el luido es New oniano - la eo ía de la capa lími e p e alece - la conducción axial y la disipación iscosa son desp eciables - no exis en eacciones químicas - las p opiedades son cons an es, excep o en el é mino de lo ación - el gas no es un medio pa icipan e In ocando es e g upo de suposiciones y u ilizando el sis ema de coo denadas seleccionado p e iamen e, las ecuaciones adimensionales que desc iben el enómeno SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES de con ección combinada quedan de la siguien e o ma: Masa Can idad de mo imien o axial Can idad de mo imien o adial Masa ( o mulación in eg al) Ene gáa El signo posi i o o nega i o en el e mino de lo ación 4G OIRe de la ecuación (2) co esponde a los casos de en iamien o con lujo ascenden e o descenden e, espec i amen e. En e an o, se puede obse a en la ecuación (3) que la p esión adimensional P es unción de la coo denada axial Z solamen e; y po lo an o se hace imp escindible una ecuación que pe mi a calcula el g adien e de p esión a lo la go del ubo. En es e sen ido, la ecuación adicional necesa ia se ob iene a la luz de que el lujo se encuen a conhado den o del duc o, y po consiguien e, es o equi ale a esc ibi : IA pu dA = cons an e = m en donde A designa la sección ans e sal del ubo. Finalmen e, con el obje o de comple a la o mulación, las condiciones de bo de que con o man el modelo ma emá ico pa a el p oblema en es udio se pueden sepa a en dos pa es de la siguien e o ma: Condiciones pa a el campo hid odinámico J.C. MORALES Y A. CAMPO Condiciones pam el campo é mico El modelo ma emá ico p opues o en es a sección co esponde a las siguien es can idades adimensionales: METODO DE SOLUCION NUMERICA En es a sección se esbozan los de alles más ele an es del algo i mo de solución (de ca ác e pa abólico) que se emplean en es e abajo. Una e isión de la li e a u a especializada e leja que el mé odo de los olúmenes de con ol p opues o po Pa anka y Spaldingl' ha sido empleado con g an éxi o en los Úl imos años pa a esol e p oblemas de dinámica de luidos con ansmisión de calo . Po consiguien e, és a es una azón de peso su icien e pa a escoge es e algo i mo de solución en es e abajo. El p oceso consis e en subdi idi el dominio de in eg ación en egiones hi as, sob e las cuales se in eg an las ecuaciones di e enciales, pa a así ob ene exp esiones disc e izadas más simples. Es as egiones son denominadas olúmenes de con ol y se escoge su cen o geomé ico como el pun o ep esen a i o de cada egión. El sis ema de ecuaciones de conse ación puede se esc i o en o ma gene al pa a una a iable escala 4 median e la siguien e ecuación en donde ~4 ep esen a el lujo o al de la a iable 4 SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES y S4 designa el é mino de uen e o mado po aquellos é minos que no pueden se aba cados po ~4. La Tabla 1 p esen a los alo es ca ac e ís icos de 4, I' y S4 pa a las di e sas a iables in oluc adas en es e p oblema. Cabe señala que el p ocedimien o de disc e ización a u iliza en es e abajo es idén ico al expues o po Pa anka ". Tabla 1. Valo es de 4, p, I' y S@ pa a las ecuaciones de conse ación. Cálculo del g adien e de p esión La p incipal di icul ad que se suele p esen a en Pos p oblemas de lujo in e no en los cuales se desea de e mina el campo de elocidad es que el g adien e de p esión que apa ece en la ecuación de can idad de mo imien o axial como é mino de uen e se desconoce. Además, ampoco se dispone de una ecuación independien e que pe mi a halla lo en o ma di ec a. Aho a bien, el g adien e de p esión se encuen a exp esado indi ec amen e po la ecuación de conse ación de masa en o ma in eg al, ecuación (6). Es o es debido a que el g adien e de p esión no es cualquie a, sino uno en especi ico, al que los pe iles de elocidad que de él se ob engan (median e la solución de las ecuaciones de can idad de mo imien o y de masa di e encial) sa is agan la ecuación de conse ación de masa in eg al. Sin luga a dudas, el pun o más álgido en dinámica de luidos compu acional lo cons i uye el cálculo del g adien e de p esión, al como se ha mencionado an e io men e. En la li e a u a sob e es e ema abundan di e sos mé odos pa a de e mina el g adien e de p esión de lujos in e nos, en e ellos los más conocidos son los p opues os po Pa anka y Spaldingll, B ileyl' y Rai hby y Schneide 13. La na u aleza no i e a i a del esquema de Pa anka y Spalding no ga an iza comple amen e la conse ación de masa. Sin emba go, el esquema p opues o po B iley, basado en el mé odo de la secan e, pe mi e halla el alo exac o, pe o se hace necesa io esol e la ecuación de can idad de mo imien o al menos es eces. En es e sen ido, Rai hby y Scheneide 13 desa olla on un p ocedimien o no edoso de cálculo pa a lujos de ipo pa abólico, el cual es á basado en el mé odo de los olúmenes de con ol de Pa anka y Spalding12. En dicho abajo los au o es elabo a on una me odología i e a i a al amen e e icien e pa a de e mina el g adien e de p esión axial a pa i de la ecuación de can idad de mo imien o y de la condición de lujo con inado, ecuación (6). La en aja que b inda el algo i mo de Rai hby y Scheneide es que emplea un e cio del abajo del de B iley y más impo an e aún, pe mi e halla el alo exac o del g adien e de p esión. Es as ca ac e ís icas son lo J.C. MORALES Y A. CAMPO su icien emen e impo an es pa a esal a es e algo i mo sob e los o os y po lo an o es el que se u iliza en es e abajo. ANALISIS DE LOS RESULTADOS A con inuación se p esen an los esul ados ob enidos empleando el mé odo numé ico p opues os en la sección an e io , el cual ue codi icado en FORTRAN y adap ado a un compu ado DEC-10. Los esul ados iniciales que se epo an en es e abajo co esponden a 20 olúmenes de con ol de igual amaño, en donde los iempos de compu ación (CPU) no supe an los 25 segundos pa a cada caso. A mane a de e i icación, se ob u ie on esul ados con una malla más ina eniendo 40 olúmenes de con ol, ele ándose los iempos p omedios de compu ación lige amen e a 50 segundos. La compa ación a oja que los esul ados son in a ian es con la malla. En p ime é mino, los esul ados del campo pu amen e hid odinámica se p esen an empleando la elocidad máxima en el cen o del ubo U, y el g adien e de p esión local dP/dZ. En segunda ins ancia, pa a el campo é mico se u ilizan las dis ibuciones de la empe a u a olumé ica media y del núme o de Nussel local, las cuales se de e minan con las exp esiones espec i amen e. El calo o al ansmi ido QT en e la en ada z = O y una es ación cualquie a z = L del ubo se puede halla di ec amen e po Es a ecuación descansa en el P ime P incipio de la Te modinámica. El caso lími e de es a ecuación p opo ciona un calo o al ideal Qj, álido pa a un ubo ilimi ado, o sea In oduciendo el concep o de e iciencia é mica R, dado po el cocien e y combinando las ecuaciones (23) y (24) esul a que En cambio, ale la pena esal a que la mane a adicional de calcula el calo ansmi ido en lujos in e nos equie e el uso indi ec o de la dis ibución del núme o de Nussel . Con el p opósi o exp eso de es udia independien emen e la in luencia de cada mecanismo, es a sección se di ide en dos subsecciones: SIMULACION NUMERICA DE GASES EN TUBOS VERTICALES a) Validación del mé odo numé ico b) In luencia de la con ección na u al sob e la con ección o zada a) Validación del mé odo numé ico Las Figu as 2-5 se p epa a on con el p opósi o de mos a los esul ados pa a el p oblema del desa ollo simul áneo de elocidad y empe a u a (sin con ección na u al) en un ubo iso é mico. En es as igu as se ilus a la con e gencia del algo i mo p opues o en unción del núme o de olúmenes de con ol empleados. Aquí se ap ecia que los esul ados ob enidos, an o hid odinámicos como é micos, con 20 y 40 olúmenes no se di e encian en e sí en o ma ap eciable. Igualmen e, se indican las compa aciones pa a el mismo p oblema en e los esul ados numé icos epo ados po Ho nbeck16, Liu" y Manoha 18 y los nues os u ilizando una malla con 20 olúmenes de con ol. Una inspección de allada de es os esul ados p elimina es e leja una buena conco dancia en e ellos, an o en el campo hid odinámica, como en el é mico. b) In luencia de la con ección na u al sob e la con ección o zada La acción que eje ce la con ección na u al sob e la con ección o zada en ubos e icales puede se di idida en dos pa es: lujo ascenden e con en iamien o = lujo descenden e con calen amien o lujo ascenden e con calen amien o = lujo descenden e con en iamien o Es a clasi icación da o igen a dos combinaciones posibles, las cuales es án iduenciadas po el pe il de elocidad a la en ada de la zona de in e cambio é mico, el núme o de P and l y el pa áme o de con ección mix a G l Re. En es e con ex o y con el p opósi o de economiza espacio en la e is a, es e abajo se limi a al caso de lujos de gases (PT = 0.7) con elocidad uni o me impues a a la en ada. En las Figu as 6-10 se concen an los esul ados ob enidos pa a el caso de lujo ascenden e con en iamien o (G lRe > O). En la Figu a 6 se obse a que la elocidad en el cen o de la ube ía ( elocidad máxima) iende a inc emen a se en unción de G lRe desde un alo uni a io a la en ada y desciende pos e io men e has a alcanza el alo asin ó ico de U, = 2. Cuando el pa áme o de con ección mix a llega a 40, el pe il, de elocidad se in ie e en la egión ce cana a la pa ed del ubo. Es o ae como consecuencia que la capa lími e se in alide a pa i de es e pun o (Z = 0.005) ap oximadamen e. Tocan e al g adien e de p esión de la Figu a 7, és e mues a su clásico compo amien o monó ono dec ecien e en ausencia de con ección na u al (G = 0). A medida que el cocien e G lRe aumen a, el g adien e de p esión iende a disminui en la en ada y las cu as pasan po un mínimo, ca ac e izado po un pa ón cónca o. Desde es os alo es mínimos, las cu as adquie en pendien es posi i as co espondien es a un aumen o sus ancial de p esión en e dos es aciones del ubo e ical. Como es e iden e, es e compo amien o se e leja en una disminución del coe icien e de icción. La e olución de la elocidad axial co espondien e a la p ime a cu a de la Figu a 6 pa a G lRe = 30 (sin in e sión) se dibuja en la Figu a 8. Es e caso ilus a las dis o siones J.C. MORALES Y A. CAMPO O o01 O 010 0.100 m Figu a 14. Desa ollo de la empe a u a olumé ica media. O 001 O 010 O 100 1 000 U2 Figu a 15. Va iación del núme o de Nussel local. Tabla 11. Valo es c í icos de G IRe. Es e abajo G /Re Z +46.5 0.0053 -65.0 0.0036 capacidad p edic i a del modelo ma emá ico (pa abólico) y del algo i mo de solución numé ica u ilizados en es e abajo. Campo y Pé ez" G /Re Z 36.5 0.0043 -65.0 0.0034 SIMULACION NUMEMCA DE GASES EN TUBOS VERTICALES NOMENCLATURA á ea seccional del ubo calo especí ico a p esión cons an e acele ación de la g a edad núme o de G asho conduc i idad é mica lujo másico núme o de Nussel núme o de olúmenes de con ol p esión p esión dinámica p esión a la en ada núme o de P and l densidad del lujo de calo en la pa ed calo o al ansmi ido calo ideal ansmi ido coo denada adial adio del ubo coo denada adial adimensional núme o de Reynolds empe a u a empe a u a a la en ada empe a u a de la pa ed del ubo elocidad axial elocidad axial media elocidad axial adimensional elocidad adial elocidad adial adimensional coo denada axial coo denada axial adimensiond Le as g iegas S p coe icien e de expansión é mica 0 empe a u a adimensional p iscosidad dinámica p densidad Subíndices b olumé ica media o en ada P nodo ca ac e ís ico del olumen de con ol w pa ed del ubo J.C. MORALES Y A. CAMPO REFERENCIAS 1. B. 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