Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos
pa a
Cálculo
y
Diseño
en
Ingenie ía. Vol.
6
,3,
437-448(
1990)
ALGORITMO NUMERICO PARA
PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD
CON ENDURECIMIENTO MIXTO
JOSE ANGEL HUIDOBRO
Y
ARTURO ROBLES
Depa amen o de Ma emá icas,
Escuela
T.S.I.I.
de Gijón
-
Uni e sidad de O iedo,
Ca e e a de Cas iello s/n, Gijón 33204, As u ias.
RESUMEN
En es e abajo se p esen a un mé odo numé ico pa a la esolución de un p oblema de
elas oplas icidad con endu ecimien o mix o no lineal. El mé odo consis e en un algo i mo
basado en écnicas del lag angiano aumen ado combinado con un mé odo de elemen os ini os
mix o. La ensión
y
los pa áme os de endu ecimien o se ap oximan po unciones cons an es
a ozos
y
los desplazamien os median e unciones lineales
a
ozos.
SUMMARY
In his pape we p esen a me hod o he nume ical esolu ion o a elas oplas ici y p oblem
wi h nonlinea mixed ha dening. The me hod is based on Augmen ed Lang agian hechniques.
We use a mixed ini elemen me hod: s ess and ha dening pa ame e s a e app oxiina ed by
piecewise cons an unc ions and displacemen s by piecewise linea unc ions.
INTRODUCCION
La idea de endu ecimien o mix o ue suge ida po P age en
1935
y
consis e en
combina los concep os de endu ecimien o iso ópico
y
cinemá ico. Es á especialmen e
indicado en la modelización de p ocesos de endu ecimien o en los que no puede
p escindi se del e ec o Bauschinge , como sucede po ejemplo en casos de ca ga cíclica.
El
modelo que se conside a en es e abajo se enma ca en la eo ía inñni esimal
y
iene de inido po : supe icie de luencia de Von Mises, egla de lujo de P an dl-Reuss,
endu ecimien o iso ópico po de o mación
y
egla de endu ecimien o cinemá ico de
P age .
Es e modelo ha sido analizado po Axelsson
y
Samuelsson', donde se o mula el
p oblema median e la cons ucción de la ma iz elas oplás ica. Pa a su esolución
Recibido: Ene o 1989
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
437
J.
HUIDOBRO
Y
A.
ROBLES
se iene
dh
.
dF
--i)
=
A-
d l
d l
y pa a la ley de P age
1.
dF
--a
=
A-
c
da
ob eniéndose en onces que las ecuaciones
(4)-(5)-(6)
pueden exp esa se como
X>O,
FSO,
FX=O
lo que indica que el ec o
(8,
-$&,
-hl(q)i))
es no mal salien e a la supe icie de
luencia en el pun o
(a,
a, q).
A
pa i de es a elación y pa a el caso de endu ecimien o iso ópico lineal,
Johnsonla o mula a iacional nen e el p oblema y ob iene esul ados de exis encia
y unicidad de solución. Pa a el caso
no
lineal el a amien o del p oblema esul a
más complejo an o en el aspec o eó ico como p ác ico. En es e abajo se in oduce
un
cambio de a iable que simpli ica la condición de no malidad an e io men e
mencionada. Sea
dh
+
=
g(q)
siendo
g(7)
=
1/'
(d;)
ds
Median e es as elaciones la ley de endu ecimien o iso ópico puede exp esa se
como
.
dF
-i
=
A-
con
F(a, a, )
=
~(a,
a,
g-l( ))
ay
De es a o ma la e olución de las a iables plás icas queda de inida po
izo,
F~O,
FX
=
O
o ambién,
.(T-o,p-a,p- )LO V(T,~,~)EB
B
=
{( ,P,p)
E
M,
x
M,
x R
:
F(7,P,p)
<
0) (11)
Es a inecuación pe mi e ob ene ácilmen e una o mulación a iacional del
p oblema.
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASSOPLASTICIDAD
441
FORMULACION VARIACIONAL
Se conside an los espacios de unciones
V
=
{WE(H'(~))~
:
wl l
=
O)
,
1
(V
Po la desigualdad de Ko n, pa a
w
E
V,
Ic(w)l
(no ma en
L2(Q,
M,)
induce sob e
V
una no ma equi alen e7 a la na u al de
V.
Se supond á que
E
~~(0,
T;
(~~( l))~)
y
g
E
~~(0,
T;
(H-~(I'))~)
y
se de ine sob e
V
el ope ado lineal con inuolg
L (w)
=
( ( ), w)
+
(g( ), w) , w
(e,
a)
p oduc o escala en
(L2(Q))3
(-,
-) l
dualidad en
(H
+(F))~
Se in oduce el conjun o de equilib io
E( )
=
{(T,
, 3,
p)
E
H
:
(T,
E(w))
=
L (w) VW
E
V)
y
el subconjun o con exo
y
ce ado de
H
J
=
((7,
P,p)
E
H
:
F(7, (x),P(z),
~(2))
1
O
C-P.~.
Q)
Finalmen e se conside a la o ma bilineal
a(a,~)
=
Aijkh lij(z)~kh(z)d;i:
,
pa a
U,T
E
L~(Q,
M,),
J,
el ope ado
Aa
=
a(u,
.)
y
la no ma asociada
1
-
1,.
Obsé ese que es a no ma es
equi alen e
a
la na u al de
L2(Q,
M,)
debido a la hipó esis (2b).
Deno ando po
la elocidad de desplazamien o, el p oblema puede o mula se
a iacionalmen e como:
Halla
(a,
a,
,
u)
:
[O,
TI
-+
H
x
V
e i icando c.p.d. en
[O,
T]
J.
HUIDOBRO
Y
A.
ROBLES
a(O)
=
O, a(O)
=
O, u(O)
=
O
(14)
La exis encia
y
unicidad de solución ha sido demos ada en
[lo]
bajo las hipó esis:
H1.
P
l
E( )
#
q5
c.p.d. en [O,T]
H2.
3
X:
R
x
[O,T]
-+
M,
al que
(~( ), (w))
=
L (w) Vw
E
V
Y
121
<
C
c.p.d.
(O,
T)
x
a,
j
=
1,2
H3.
,
i
L2(0, T; (L2( l))3)
PROBLEMA
DISCRETO
Se supond á en lo que sigue que Q es
un
abie o poliéd ico. Se conside a una amilia
egula de elemen os ini os ( iángulos o e aed os):
ñ=
"
T
TETh
y
se in oducen los espacios de dimensión ini a
donde P,,(T) deno a los polinomios de g ado
n
sob e T. Sean además,
Eh( )
=
((7,
P,
p)
E
Hh
:
(7, E@))
=
L (w)
VW
E
Vs)
Ph
=
PnHh
Se o mula el p oblema ap oximado (disc e o en la a iable espacial):
Halla (u~,~~,u~, ~)
:
[O,T]
+
Hh
x
Vh e i icando c.p.d. en [O,T]
La exis encia
y
unicidad de solución se ob ienen de o ma análoga al p oblema en
con inuo si se dispone de hipó esis del ipo H1, H2,
H3
pa a el p oblema ap oximado.
Con es e obje o se p ueba siguiendo a Johnson13, el lema:
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS
DE
ELASTOPLASTICIDAD
443
LEMA:
Sea
lTh
la p oyección o ogonal
de
H
en
Elh.
En onces
nh(P
n
E( ))
c
(Ph
n
(Eh( ))
Demos ación
Sea
(T,/?,
p)
E
P
n
E( ).
Su p oyección sob e
Hh
iene dada po :
(IT
1
medida del elemen o
T)
Pues o que
E(W)
es cons an e en cada elemen o
T,
(7,
~(w))
=
L (w)
*
(~h,
~(w))
=
L (w)
W
E
Vh
Y
po an o
(~h,
Ph
h
)
E
Eh
(
)
Po o a pa e, pues o que
T
=
g-loh
es cónca a, la desigualdad de Jensen conduce
a
lo que p ueba que
(T~,
Ph,
h)
E
Ph.
La con e gencia del mé odo de elemen os ini os queda es ablecida en el siguien e
eo ema:
TEOREMA.
Exis e una cons an e
C
independien e de
h
al que
(gh,
ah, h)
-
(g,a, )12,~
<
C
in
{I
-
~12,~
,
w
E
L2(o,
T;
h))
(1
.
J2,w
no ma en
L~(o,T;
w))
Demos ación
In oduciendo la solución del p oblema ap oximado en
(13)
y la p oyección de
la
solución del p oblema en con inuo en
(16),
y sumando ambas exp esiones se ob iene
1.
a(+)
-
uh( ), ~( )
-
gh( ))
+
-(M
-
i h( ),
-
ah( ))+
C
+(~( )
-
Uh( )> ( )
-
~h( ))
5
(E( (~))
-
~('~h( )), ~( )
-
~h( ))
de donde

J.
HUIDOBRO
Y
A.
ROBLES
5
Ic( ( ))
-
~(w)
l2
+
lu( )
-
uh( )
1
5
y
po la desigualdad de Ko n
<cI~( )-~l:, +U( )-Uh( )1~
VwEVh
(C
c e posi i a)
ob eniéndose la es imación del eo ema aplicando el lema de G onwall
y
eniendo en
cuen a la equi alencia en e la no ma de L2(R,
M,)
y
(
la.
Finalmen e, pa a ob ene el p oblema disc e o en la a iable empo al, se in oduce
un
mé odo en di e encias ini as:
Sea N un núme o na u al
y
k
=
T/N; pa a
n
=
0,1,.
.
.
,
N
se deno a
y
se plan ea el p oblema disc e o:
Halla (u;, a:, u;) E Hh
y
V;
E V pa a
n
=
0,1,.
.
.,N, e i icando
Es e p oblema equi ale a la mini nización sob e el conjun o con exo
y
ce ado
Ph
n
E:
del uncional con exo
y
coe ci o
Pa a asegu a la exis encia del mínimo es su icien e p oba que el conjun o con exo
no es acío
y
es o se ob iene a pa i de las hipó esis H1, H2
'913.
La con e gencia del
p oblema disc e o al p oblema ap oximado se ealiza median e la écnica's anda d de
"es imación a p i~ i"~?"~~.
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS
DE
ELASTOPLASTICIDAD
445
METODO ITERATIVO
An es de in oduci el esquema i e a i o se exp esa á la inecuación
(19)
median e
el concep o de subdi e encial de la unción indicado a del con exo de elas icidad. Con
es e obje o se in oducen algunos esul ados del análisis con exo (pa a más de alles e
[6l).
Sea
W
espacio de Hilbe y
K
un subconjun o ce ado y con exo de
W.
Se de ine
la unción indicado a de
K
po :
Iden i icando
W
con su dual, se dice que z es á en la subdi e encial de
IK
en
x
si:
(z,y
-
x)
5
O
ly
E
K
y
se deno a
E
¿3IK(z) (21)
La ap oximan e Yosida de la subdi e encial de la unción indicado a iene exp esada
po :
donde
I
deno a aplicación iden idad y
TIK
la p oyección de
W
en
K.
Teniendo en cuen a (21) el sis ema (18)-(19)-(20) puede exp esa se como:
Halla (u;,
a;,
u;)
E
Hh
y
u;
E
V
pa a
n
=
0,1,.
.
.,N,
e i icando
1
(€(VE)
-
AW, --Sa:,
c
-Su:)
E
¿31~(o:, a:, u:) (23)
La ecuación mul i oca (23) ma ca el ca ác e al amen e no lineal de los p oblemas
de plas icidad y su a amien o cons i uye un pun o c ucial en la esolución numé ica
del p oblema. Di e sos mé odos basados en écnicas de penalización-dualidad han sido
desa ollados. Ci emos po ejemplo a Me cie l'
y
Be mudez Viaño5 pa a p oblemas
de plas icidad pe ec a
y
a Johnsonl', Samuelsson-F oie 18
y
Be múdez-Viaño5 en
plas icidad con endu ecimien o lineal. El algo i mo que aquí se desa olla aplica es e
ipo de écnicas a p oblemas con endu ecimien o mix o no lineal, siendo las elocidades
de la de o mación plás ica
y
de los pa áme os de endu ecimien o las que juegan el
papel de mul iplicado de Lag ange.
Designando con
(ph,
qh,
S;)
el elemen o de la subdi e encial que ealiza la igualdad
en (23), es a ecuación puede exp esa se como
J.
HUIDOBRO
Y
A.
ROBLES
Es as ecuaciones pe mi en in oduci el siguien e esquema numé ico (se sup ime el
subíndice
h
en la no ación):
Sea
(PO,
qo, so) a bi a io. Conocidos (pm, q;,
S",
se de e minan u:,
a;,
:,
;
esol iendo
El nue o mul iplicado se calcula median e
Se obse a que el sis ema (28)-(29) es básicamen e
un
p oblema de elas icidad
lineal, cuya ma iz de igidez es cons an e en odas las i e aciones, y donde el
mul iplicado plás ico juega el papel de un segundo miemb o a iable en cada i e ación.
En la esolución de la ecuación (30) hay que ealiza el cálculo de la p oyección; pues o
que la ensión y los pa áme os de endu ecimien o son cons an es po elemen o, és a se
educe a una p oyección en
R6
x
R6
x
R.
El sis ema (28)-(29)-(30) queda incluido en el ma co uncional abs ac o desa ollado
en [3], en el que ha sido analizada su con e gencia.
EJEMPLO NUMERICO
El mé odo numé ico an e io men e desc i o ha sido implemen ado u ilizando la
biblio eca de elemen os ini os MODULEF-INRIA, siendo necesa ia la cons ucción de
un nue o módulo. Como ejemplo numé ico se ha analizado la p opagación de la zona
plás ica en una placa de aluminio en allada (Figu a
1))
que iene un compo amien o
elas oplás ico con endu ecimien o mix o no lineal. Pa a un es de ensión uniaxial, la
elación ensión-de o mación en el ango plás ico es del ipo Rambe g-Osgoodl:
u
e=-+-
-
3u
(
u
1"-'
E
7E
u0.7
Los alo es .de la ensión de luencia, u0.7 y
n
han sido analizadas en [2],
conside ándose en es e caso 320 MPa, 366 MPa y 37 espec i amen e. Las cons an es
elás icas son
E
=
70000 MPa y
=
0.2.
En la Figu a
2
se ep esen a la malla u ilizada que cons a de
71
nodos y 105
iángulos.
En la Figu a 3 se ep esen a la e olución de la zona plás ica según los alo es de
la ca ga.
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD
447
Figu a
3.
P opagación de la on e a plás ica.
AGRADECIMIENTOS
Ag adecemos
al
p o eso Ca los Mo eno sus aliosas suge encias du an e
la
elabo ación de es e abajo.
REFERENCIAS
1.
K.
Axelsson
y
A. Sainuelsson, "Fini e Elemen Analysis o elas ic-plas ic nia e ials
displaying mixed ha dening",
In .
J.
o
Num.
Me h.
in
Eng.,
Vol.
14,
pp. 211-225,
(1979).
2.
H.
A men, A. Pi ko
y
H.S. Le ine, "Fini e Elemen analysis o s uc u es in he plas ic
ange", NASA
CR
1649, (1971).