Algoritmo numérico para problemas de elastoplasticidad con endurecimiento mixto

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 6 ,3, 437-448( 1990) ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD CON ENDURECIMIENTO MIXTO JOSE ANGEL HUIDOBRO Y ARTURO ROBLES Depa amen o de Ma emá icas, Escuela T.S.I.I. de Gijón - Uni e sidad de O iedo, Ca e e a de Cas iello s/n, Gijón 33204, As u ias. RESUMEN En es e abajo se p esen a un mé odo numé ico pa a la esolución de un p oblema de elas oplas icidad con endu ecimien o mix o no lineal. El mé odo consis e en un algo i mo basado en écnicas del lag angiano aumen ado combinado con un mé odo de elemen os ini os mix o. La ensión y los pa áme os de endu ecimien o se ap oximan po unciones cons an es a ozos y los desplazamien os median e unciones lineales a ozos. SUMMARY In his pape we p esen a me hod o he nume ical esolu ion o a elas oplas ici y p oblem wi h nonlinea mixed ha dening. The me hod is based on Augmen ed Lang agian hechniques. We use a mixed ini elemen me hod: s ess and ha dening pa ame e s a e app oxiina ed by piecewise cons an unc ions and displacemen s by piecewise linea unc ions. INTRODUCCION La idea de endu ecimien o mix o ue suge ida po P age en 1935 y consis e en combina los concep os de endu ecimien o iso ópico y cinemá ico. Es á especialmen e indicado en la modelización de p ocesos de endu ecimien o en los que no puede p escindi se del e ec o Bauschinge , como sucede po ejemplo en casos de ca ga cíclica. El modelo que se conside a en es e abajo se enma ca en la eo ía inñni esimal y iene de inido po : supe icie de luencia de Von Mises, egla de lujo de P an dl-Reuss, endu ecimien o iso ópico po de o mación y egla de endu ecimien o cinemá ico de P age . Es e modelo ha sido analizado po Axelsson y Samuelsson', donde se o mula el p oblema median e la cons ucción de la ma iz elas oplás ica. Pa a su esolución Recibido: Ene o 1989 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 437 J. HUIDOBRO Y A. ROBLES se iene dh . dF --i) = A- d l d l y pa a la ley de P age 1. dF --a = A- c da ob eniéndose en onces que las ecuaciones (4)-(5)-(6) pueden exp esa se como X>O, FSO, FX=O lo que indica que el ec o (8, -$&, -hl(q)i)) es no mal salien e a la supe icie de luencia en el pun o (a, a, q). A pa i de es a elación y pa a el caso de endu ecimien o iso ópico lineal, Johnsonla o mula a iacional nen e el p oblema y ob iene esul ados de exis encia y unicidad de solución. Pa a el caso no lineal el a amien o del p oblema esul a más complejo an o en el aspec o eó ico como p ác ico. En es e abajo se in oduce un cambio de a iable que simpli ica la condición de no malidad an e io men e mencionada. Sea dh + = g(q) siendo g(7) = 1/' (d;) ds Median e es as elaciones la ley de endu ecimien o iso ópico puede exp esa se como . dF -i = A- con F(a, a, ) = ~(a, a, g-l( )) ay De es a o ma la e olución de las a iables plás icas queda de inida po izo, F~O, FX = O o ambién, .(T-o,p-a,p- )LO V(T,~,~)EB B = {( ,P,p) E M, x M, x R : F(7,P,p) < 0) (11) Es a inecuación pe mi e ob ene ácilmen e una o mulación a iacional del p oblema. ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASSOPLASTICIDAD 441 FORMULACION VARIACIONAL Se conside an los espacios de unciones V = {WE(H'(~))~ : wl l = O) , 1 (V Po la desigualdad de Ko n, pa a w E V, Ic(w)l (no ma en L2(Q, M,) induce sob e V una no ma equi alen e7 a la na u al de V. Se supond á que E ~~(0, T; (~~( l))~) y g E ~~(0, T; (H-~(I'))~) y se de ine sob e V el ope ado lineal con inuolg L (w) = ( ( ), w) + (g( ), w) , w (e, a) p oduc o escala en (L2(Q))3 (-, -) l dualidad en (H +(F))~ Se in oduce el conjun o de equilib io E( ) = {(T, , 3, p) E H : (T, E(w)) = L (w) VW E V) y el subconjun o con exo y ce ado de H J = ((7, P,p) E H : F(7, (x),P(z), ~(2)) 1 O C-P.~. Q) Finalmen e se conside a la o ma bilineal a(a,~) = Aijkh lij(z)~kh(z)d;i: , pa a U,T E L~(Q, M,), J, el ope ado Aa = a(u, .) y la no ma asociada 1 - 1,. Obsé ese que es a no ma es equi alen e a la na u al de L2(Q, M,) debido a la hipó esis (2b). Deno ando po la elocidad de desplazamien o, el p oblema puede o mula se a iacionalmen e como: Halla (a, a, , u) : [O, TI -+ H x V e i icando c.p.d. en [O, T] J. HUIDOBRO Y A. ROBLES a(O) = O, a(O) = O, u(O) = O (14) La exis encia y unicidad de solución ha sido demos ada en [lo] bajo las hipó esis: H1. P l E( ) # q5 c.p.d. en [O,T] H2. 3 X: R x [O,T] -+ M, al que (~( ), (w)) = L (w) Vw E V Y 121 < C c.p.d. (O, T) x a, j = 1,2 H3. , i L2(0, T; (L2( l))3) PROBLEMA DISCRETO Se supond á en lo que sigue que Q es un abie o poliéd ico. Se conside a una amilia egula de elemen os ini os ( iángulos o e aed os): ñ= " T TETh y se in oducen los espacios de dimensión ini a donde P,,(T) deno a los polinomios de g ado n sob e T. Sean además, Eh( ) = ((7, P, p) E Hh : (7, E@)) = L (w) VW E Vs) Ph = PnHh Se o mula el p oblema ap oximado (disc e o en la a iable espacial): Halla (u~,~~,u~, ~) : [O,T] + Hh x Vh e i icando c.p.d. en [O,T] La exis encia y unicidad de solución se ob ienen de o ma análoga al p oblema en con inuo si se dispone de hipó esis del ipo H1, H2, H3 pa a el p oblema ap oximado. Con es e obje o se p ueba siguiendo a Johnson13, el lema: ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 443 LEMA: Sea lTh la p oyección o ogonal de H en Elh. En onces nh(P n E( )) c (Ph n (Eh( )) Demos ación Sea (T,/?, p) E P n E( ). Su p oyección sob e Hh iene dada po : (IT 1 medida del elemen o T) Pues o que E(W) es cons an e en cada elemen o T, (7, ~(w)) = L (w) * (~h, ~(w)) = L (w) W E Vh Y po an o (~h, Ph h ) E Eh ( ) Po o a pa e, pues o que T = g-loh es cónca a, la desigualdad de Jensen conduce a lo que p ueba que (T~, Ph, h) E Ph. La con e gencia del mé odo de elemen os ini os queda es ablecida en el siguien e eo ema: TEOREMA. Exis e una cons an e C independien e de h al que (gh, ah, h) - (g,a, )12,~ < C in {I - ~12,~ , w E L2(o, T; h)) (1 . J2,w no ma en L~(o,T; w)) Demos ación In oduciendo la solución del p oblema ap oximado en (13) y la p oyección de la solución del p oblema en con inuo en (16), y sumando ambas exp esiones se ob iene 1. a(+) - uh( ), ~( ) - gh( )) + -(M - i h( ), - ah( ))+ C +(~( ) - Uh( )> ( ) - ~h( )) 5 (E( (~)) - ~('~h( )), ~( ) - ~h( )) de donde J. HUIDOBRO Y A. ROBLES 5 Ic( ( )) - ~(w) l2 + lu( ) - uh( ) 1 5 y po la desigualdad de Ko n <cI~( )-~l:, +U( )-Uh( )1~ VwEVh (C c e posi i a) ob eniéndose la es imación del eo ema aplicando el lema de G onwall y eniendo en cuen a la equi alencia en e la no ma de L2(R, M,) y ( la. Finalmen e, pa a ob ene el p oblema disc e o en la a iable empo al, se in oduce un mé odo en di e encias ini as: Sea N un núme o na u al y k = T/N; pa a n = 0,1,. . . , N se deno a y se plan ea el p oblema disc e o: Halla (u;, a:, u;) E Hh y V; E V pa a n = 0,1,. . .,N, e i icando Es e p oblema equi ale a la mini nización sob e el conjun o con exo y ce ado Ph n E: del uncional con exo y coe ci o Pa a asegu a la exis encia del mínimo es su icien e p oba que el conjun o con exo no es acío y es o se ob iene a pa i de las hipó esis H1, H2 '913. La con e gencia del p oblema disc e o al p oblema ap oximado se ealiza median e la écnica's anda d de "es imación a p i~ i"~?"~~. ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 445 METODO ITERATIVO An es de in oduci el esquema i e a i o se exp esa á la inecuación (19) median e el concep o de subdi e encial de la unción indicado a del con exo de elas icidad. Con es e obje o se in oducen algunos esul ados del análisis con exo (pa a más de alles e [6l). Sea W espacio de Hilbe y K un subconjun o ce ado y con exo de W. Se de ine la unción indicado a de K po : Iden i icando W con su dual, se dice que z es á en la subdi e encial de IK en x si: (z,y - x) 5 O ly E K y se deno a E ¿3IK(z) (21) La ap oximan e Yosida de la subdi e encial de la unción indicado a iene exp esada po : donde I deno a aplicación iden idad y TIK la p oyección de W en K. Teniendo en cuen a (21) el sis ema (18)-(19)-(20) puede exp esa se como: Halla (u;, a;, u;) E Hh y u; E V pa a n = 0,1,. . .,N, e i icando 1 (€(VE) - AW, --Sa:, c -Su:) E ¿31~(o:, a:, u:) (23) La ecuación mul i oca (23) ma ca el ca ác e al amen e no lineal de los p oblemas de plas icidad y su a amien o cons i uye un pun o c ucial en la esolución numé ica del p oblema. Di e sos mé odos basados en écnicas de penalización-dualidad han sido desa ollados. Ci emos po ejemplo a Me cie l' y Be mudez Viaño5 pa a p oblemas de plas icidad pe ec a y a Johnsonl', Samuelsson-F oie 18 y Be múdez-Viaño5 en plas icidad con endu ecimien o lineal. El algo i mo que aquí se desa olla aplica es e ipo de écnicas a p oblemas con endu ecimien o mix o no lineal, siendo las elocidades de la de o mación plás ica y de los pa áme os de endu ecimien o las que juegan el papel de mul iplicado de Lag ange. Designando con (ph, qh, S;) el elemen o de la subdi e encial que ealiza la igualdad en (23), es a ecuación puede exp esa se como J. HUIDOBRO Y A. ROBLES Es as ecuaciones pe mi en in oduci el siguien e esquema numé ico (se sup ime el subíndice h en la no ación): Sea (PO, qo, so) a bi a io. Conocidos (pm, q;, S", se de e minan u:, a;, :, ; esol iendo El nue o mul iplicado se calcula median e Se obse a que el sis ema (28)-(29) es básicamen e un p oblema de elas icidad lineal, cuya ma iz de igidez es cons an e en odas las i e aciones, y donde el mul iplicado plás ico juega el papel de un segundo miemb o a iable en cada i e ación. En la esolución de la ecuación (30) hay que ealiza el cálculo de la p oyección; pues o que la ensión y los pa áme os de endu ecimien o son cons an es po elemen o, és a se educe a una p oyección en R6 x R6 x R. El sis ema (28)-(29)-(30) queda incluido en el ma co uncional abs ac o desa ollado en [3], en el que ha sido analizada su con e gencia. EJEMPLO NUMERICO El mé odo numé ico an e io men e desc i o ha sido implemen ado u ilizando la biblio eca de elemen os ini os MODULEF-INRIA, siendo necesa ia la cons ucción de un nue o módulo. Como ejemplo numé ico se ha analizado la p opagación de la zona plás ica en una placa de aluminio en allada (Figu a 1)) que iene un compo amien o elas oplás ico con endu ecimien o mix o no lineal. Pa a un es de ensión uniaxial, la elación ensión-de o mación en el ango plás ico es del ipo Rambe g-Osgoodl: u e=-+- - 3u ( u 1"-' E 7E u0.7 Los alo es .de la ensión de luencia, u0.7 y n han sido analizadas en [2], conside ándose en es e caso 320 MPa, 366 MPa y 37 espec i amen e. Las cons an es elás icas son E = 70000 MPa y = 0.2. En la Figu a 2 se ep esen a la malla u ilizada que cons a de 71 nodos y 105 iángulos. En la Figu a 3 se ep esen a la e olución de la zona plás ica según los alo es de la ca ga. ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 447 Figu a 3. P opagación de la on e a plás ica. AGRADECIMIENTOS Ag adecemos al p o eso Ca los Mo eno sus aliosas suge encias du an e la elabo ación de es e abajo. REFERENCIAS 1. K. Axelsson y A. Sainuelsson, "Fini e Elemen Analysis o elas ic-plas ic nia e ials displaying mixed ha dening", In . J. o Num. Me h. in Eng., Vol. 14, pp. 211-225, (1979). 2. H. A men, A. Pi ko y H.S. Le ine, "Fini e Elemen analysis o s uc u es in he plas ic ange", NASA CR 1649, (1971).