ANíll l :)
30
81N8~1110d
1 11S :l3i
1
Nn
OS9L890017~
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
888¡011q19
IANíllV'l l'.l
30 l'.JIN'.l~lllüd1 111883/ INíl
31
!VIN
eA!ieJedo 9¡:>ec1isaAu ! e:>!lS!pe¡s3,p
~uawe:µedaa
ope:>!lªO
OJPªd
zaw9E) adn1epen :J
uauoN
uoa.ue~
i
1
3
NI
o
1
1
"-
!
i
'-
1
!
'-
.: ..
i
·..¡,_·
1
'--
:-
--
, -
P oblemes
d'Es adís ica
Ma ema ica
2
Diploma u a
d
'Es adís ica
Guadalupe
Gómez
Ramon
N onell Ped o Delicado
2on
Quad imes e
02-03
-,
.
'""'
P oblemes
de
In e encia
Es adís ica
Llicencia u a
de
Ma ema iques
Ramon N onell Guadalupe Gómez Ped o Delicado
2on Quad imes e 02-03
1
u
~,
~
Aques a
col·lecció de p oblemes co espon a les assigna u es
d'
In e encia
Es adís ica
(IE) de
la
Lli-
cencia u a
de Ma ema iques i
d'Es adís ica
Ma ema ica
2 (EM2) de
la
Diploma u a
d'Es adís ica,
de
la
Uni e si a Poli ecnica de Ca alunya.
A es que aques es dues assigna u es, si uades en
el
qua
quad imes e de
la
co esponen
ca e a,
enen
un
p og ama
mol
semblan ,
s'ha
c egu
opo ú
e
una
única llis a de p oblemes. To i així, els
objec ius
d'ambdues
ma e ies no són iden ics i aques e ,
al
com s'indica més a all,
s'ha
con empla
en
l'esmen ada
col-lecció. -
La
col·lecció
es a
subdi idida en cinc emes que co esponen
a:
Tema
1:
Tema
1
d'IE
i
Tema
1 d'EM2
Tema
2:
Tema
3 i 4
d'IE
i
Tema
2
d'EM2
Tema
3:
Tema
5
d'IE
i
Tema
3
d'EM2
Tema
4:
Tema
6
d'IE
i
Tema
4
d'EM2
Tema
5:
Tema
5
d'EM2
Els p oblemes p ecedi s de •
s'han
pensa
onamen almen
pe
als alumnes de
la
Llicencia u a de
l' la ema iques. Els p oblemes p ecedi s de '9 són adien s
pe
a
la
Diploma u a
d'Es adís ica.
To s
els
p oblemes
nume a s
sense cap símbol especial són
ap opia s
pe
a ambdues ca e es.
El
nomb e
de p oblemes de
cada
ema
és mol supe io al que
es
pod a
desen olupa a classe. És,
pe o,
al amen
ecomanable que l'alumne in en i e
el
maxim d'ells i que consul i
amb
el/la
p o esso /a
ele
p oblemes sob e
la
solució
abada.
S'han
inco po a solucions d'alguns p oblemes ep esen a ius de
cada
ema.
Aques a
col·lecció de p oblemes és ui de
la
eina eali zada pels p o esso s
Guadalupe
Gómez,
R.amon Nonell i
Ped o
Delicado des de l'inici de les esmen ades ca e es. Di e ses col·leccions i o ocopies
han
p ecedi
la
que
a a
p esen em. També
s'han
inco po a
la
maja
pa
dels p oblemes
d'examen
dels
da e s
anys. Un nomb e
impo an
de beca is i p o esso s associa s
ha
col·labo a en els
da e s
anys
en
la
impa ició
de les classes de p oblemes i en
maja
o meno mesu a
en
la
elabo ació de
l'esmen ada
c.ol·lecció. A
o s
ells
el
nos e since ag a.imen . Volem ag ai especialmen l'es on; eali za
pe
Ma ia
Alba eda,
Ramon
Cle ies,
Jan
G a elman i Josep An on Sánchez, esponsables de
la
maja
pa
de
solucions.
TEMA
1
P opie a s
d
'una
mos a
alea o ia
1.1
Concep es
basics.
Sumes
de
a iables
alea o ies.
Famílies
exponencials
1.1.1
Suposeu
que les .a. X1,
...
,
Xn
o men
una
mos a
alea o ia
simple
d'una
dis ibució
con ínua
en
la
ec a
eal
amb
unció de
densi a
. T obeu l'espe a n;a del nomb e d'obse acions
en
la
mos a
que
es a an
a dins
d'un
in e al especi ica a
_:::;
x
_:::;
b.
1.1.2
Demos eu
que
la
dis ibució
gamma
pe any
a
la
amília exponencial.
1.1.3
P o eu
que
les següen s són a.mílies exponencials.
l.
Família
no mal
amb
algun dels
pa ame es
µ o u conegu s.
2.
Família
gamma
amb
algun deis
pa ame es
a o
(3
conegu s.
3.
Família
be a
amb
algun deis
pa ame es
a o
(3
conegu s.
4.
Família Poisson.
5.
Binomial
nega i a
amb
el
pa ame e
conegu i
O<
p <
l.
1.1.4
Conside a
la
amília de dis ibucions no ma.is amb espe anc;a 8 y a iancia 82,
on
8
po
p end e
qualse ol alo eal.
P o eu
que
aques a
amília és
una
amília exponencial.
1.1.5
Siguin X1,
...
,
Xn
.a.i.i.d. amb dis ibució dins
d'una
amília exponencial.
P o eu
que
la
dis i-
bució
conjun a
de las n a iables
ambé
pe anye
a la amília exponencial.
1.1.6
La
dis ibució de Weibull,
pe any
a
la
amília exponencial? I la dis ibució U(a,
b)?
1.1.7
Sigui X
una
.a.
amb
dis ibució N(O, 1).
l.
Sigui
A.=
{IX
l.S
0.7} i B =
{IX
12'.
0.7}. Quin conjun
é
p obabili a
més
g an?
2.
Que és més g an:
P(-0.5
_:::;
X
_:::;
0.1) o
P(l
::;
X
::;
2)?
5
6
TEMA
l.
PROPIETATS
D'UNA
MOSTRA
ALEATORIA
1.2
Con e gencia
quasi-segu a
•
1.2.1
Sigui
{Xn,
n
EN}
una
successió de .a. independen s als que
P(Xn
=O)
= 1 -
~
i
P(Xn
=
1)
=
~·
Demos eu que
la
successió con e geix a ze o en
p obabili a
pe o no q.s., i que
la
subsuccessió
{ Xn2, n
EN}
con e geix a ze o q.s.
•
1.2.2
Sigui
{Xn,
n
EN}
una
successió de .a. independen s
als
que
a)
1
P(Xk
=
±k
= 2.
Sigui Sn =
¿7=
1
Xi.
Demos eu que
pe a
o:<
&,
5;
---*O
q.s.
.......
......
......
,...._
•
1.2.3
Sigui
{Xn,n
EN}
una
successió de .a. i.i.d.
amb
dis ibució uni o me a l'in e al
(O,
1].
Sigui
,..._
Zn =
( 17=
1
Xi)~
la
mi jana
geome ica de X1,
...
, Xn. Demos eu que Zn ---* e q.s., on e és
una
ce a
cons an .
1.3
Con e gencia
en
p obabili a .
La
llei
deis
g ans
nomb es
1.3.1
SiguiX
1
,X2,
...
unasuccessióde .a.
independen s alsqueE[Xi]
=µpe a o ii
Va (X;)
=o}.
Demos eu que si ,;2
¿~
1
a
---* O quan n
-+
oo, alesho es alesho es
Xn
---* µ en
p obabili a
quan
n-+
OO.
SOLUCIÓ:
Fe
de/inició:
Xn
con e geix en p obabili a a X si pe a
o
.
2'.
O,
limn-+oo
P(IX,,
-
XI
2:
E)
=
O.
Volem eu e que dona
.
;::::
O,
lim
F(IXn
-
µ¡
2'.
E)
=
O.
n-+oo
Fen se i
la
desigual a
de
Chebyshe
enim
que
-Va (Xn) _ 1
~
/ (
·)
_ 1
~
2
O~
P(IXn
-
µI
2'.
E)~
2 -
22
L.,
i a
X,
-
2?
L.,
a;.
.
E n
i=l
E
n~
i=l
Fe
hipo esi sabem que 1 n
-
'"'
•)
n2
L.,
a¡ ---*
O,
1.=l
i pe
an
lim b .
,.1,,.
"'n
.
n-+oo
n = h n
n-
L.,i=l
a
n-+oo
.2
=O.
--
-
-.
""''
"'
....
""'
-.
-
-
""'
-
.-
-
-
.......
j
,....,
~
~
TEMA
l.
PROPIETATS
D'UNA
MOSTRA
ALEATORIA
Podem
emp a
el següen Teo ema:
OS
an S
bn
bn
~O,
alesho es an
~O.
De i.nin
an =
P(IXn
-µj
2".
E),
conclu.im que
P(jXn
-
µI
2".
E)-----+
O
·i,
pe
an
que
X n
-----+
µ,
en
p obabili a .
1.3.2
Teo ema
de
Slu sky
Si
X,,
-----+
X en llei i
Yn
-----+
e
en
p obabili a ,
on
e
és
una
cons an ,
alesho es:
1.
X.,,
+
1~
1
-----+
X
+e
en llei.
2.
Xnl:,1
-----+
cX
en llei. Indicació: es udieu
p ime
el cas
e=
O.
SOL
U
CIÓ:
APARTAT
1
(Bickel
i
Doksum,
1917, eo ema
A.14.9).
Comencem
pe
esc iu e
F(x,.+Yn¡( ) =
P[Xn
+ Yn S ,
Yn
2::
e -
:]
+
P[Xn
+Y,,
S ,
Yn
<e
-
:].
(1.1)
Sigui
un
pun
de
con inui a
de
F(x
+e).
Dona
que
una
Junció
de
dis ibució
é
com
a
maxim
una
qu.an i a nume able
de
pun s
de
discon inui a ,
pe
cada podem
ia
E posi iu. i
a bi a íamen
pe i
de
mane a
que els dos
pun s
i + E siguin
pun s
de
con inu.i a
de
F x+c).
A a,
pe
(1.1),
F(Xn+Yn)( ) S
P[Xn
S -
e+
:]
+ P(jY,1 -
cj
>
:].
Pe
al a banda,
P[Xn
S -C +
:]
= F(Xn+c)( + é).
Co n que F(xn+c)( ) =
P[Xn
S -
e]=
Fxn
( -e), lla o s
Xn
+e-----+
X+
e
en
llei.
Ai.T{,
lim
sup
F(xn +Yn)( ) S lim F(xn +c)( +
:)
+ lim P[IYn -
cj
>
:]
= Fcx+c) ( +
:).
n n n
A nalogamen ,
1 - F'(xn+YnJ( ) =
P[Xn
+ Yn >
]
S
P[Xn
> -e -
:]
+ P(IY,, -
cj
>
:],
i pe m ,
limin
F(xn+Yn)( )
2".
limF(xn+c)(
- :)
+ limP(jl':,, -el>
:]
=
Fcx+c)( - :).
n n
i
7
8
TEMA
l.
PROPIETATS
D'UNA
MOSTRA
ALEATORIA
D'aixo
es segueix que
F(x+c) ( -
e)
:S
lim
in
F(xn+Yn) ( )
:S
lim
sup
F(Xn
+Yn)
( )
:S
Fcx+c) (
+e).
n n
Dona
que els alo s
de
e poden
ana
cap a O i que F(x+c) és
con inua
a
,
el
esul a
queda p o a .
APARTAT
2:
Conside em
en
p ime
lloc e =
O.
Sigui k > O al que
-k
i k
siguin
pun s
de
con inui a
de
Fx
(k,
-k
E
C(Fx
)). Sigui
E>
O.
AixÍ,
T C C
P[IXnYnl
>e]=
P[IXnYnl
>E,
llnl
:::::
kl
+ P[IXnYnl
>E,
IYnl
>
kl:::;
P[IXnl
>
k]
+
P[IY~,1
>
~]
=
Fxn
(-k)
+
(1
-
Fxn
(k)) + P[IYnl >
~].
Lla o s,
O
:S
limsupP[IXn1~,I
>
s]::::;
Fx(-k)
+
(1-
Fx(k))
=
P( XI
> k),
n
pe
o
k al que
-k
i k siguin
pun s
de
con inui a
de
Fx.
Podem
e
k
na
cap a
l'in ini
i
pe
an
P( X
> k) ani a cap a ze o:
O
:S
limsupP[ XnYnl
>e]
:S
in
P( XI
>
k)
=O.
n
{k:k,-kEC(Fx)}
Lla o s, limn P[IXnYnl
>e]
=O
i es é que X
11
Y,,
-----+O
en
p obabili a , i aixo implica
que X n Yn
-----+
O
en
llei.
Veiem a a el cas gene al, e
o .
O.
Obse e·u que
XnYn
=
XnY,,
-
Xnc
+
Xnc
=
Xn(Y,,
-
e)+
Xnc.
Com
que
(Yn
-
e)
-----+
O
en
p obabili a , acabem de p o a que
Xn
(Yn
-
e)
-----+
O
en
p obabili a .
Pe
al a banda,
cXn
-----+
cX
en
llei.
En
e ec e,
com
que
Fcx(z)
=
P[cX
:S
z]
=
P[X
:S
z/c] =
Fx(z/c),
z és
pun
de
con inui a
de
Fcx
si i
nomes
si
(z
/e) és
pun
de
con inui a
de
Fx.
Sigui
z
pun
de
con inui a
de
Fcx.
Lla o s,
Fcxn (z) =
P[cXn
:S
z]
=
P[Xn
:S
z/c]-----+
P[X
:S
z/c] =
P[cX
:S
z]
=
Fcx(z).
Alesho es, aplican el apa a
1,
es
é
que
(Xn(Y;,
-
e))+
(cX
11
)
-----+O+
cX
en
llei,
com
oliem
p o a .
'"""'
,...._
""""'
,..._
-..
,.....
,,.....
"""
-.
......
......
"""'
-.
"""
"""
"""
-
......
.....
"""
-.
,..,
,---
~
..,,....,
TEMA
l.
PROPIETATS
D'UNA
MOSTRA
ALEATORIA
1.3.3
Sigui {Xn, n
EN}
una
successió de .a. i.i.d.
amb
momen
de segon
o d e
ini . De inim
Y:
-2 n
n -
n(n+
1)
¿ixi.
i=l
Demos eu
que
1~,.
con e geix a
E[X
1] en p obabili a .
1.3.4
Sigui
{X
11
, n
EN}
una
successió de .a.
als
que
{Xn}
con e geix
en
p obabili a
a
una
cons an
a.
Suposem que g és
una
unció con ínua en
a.
Demos eu que {g(Xn)} con e geix
en
p obabili a
a g(a).
•
1.3.5
Sigui
{Xn,
n
EN}
una
successió de .a. i.i.d.
amb
densi a
J (x) = {
~-(: -a)
si x
~a.
si x
<a.
Si 1
~,
= nin
{X
1,
...
, X11
},
demos eu que
1~
1
--+ a en
p obabili a .
1.4
Con e gencia
en
dis ibució.
El
eo ema
cen al
del
lími
1.4.1
Sigui {Un, n
EN}
una
successió de .a. i.i.d. de inides
pe
P(Un =
1)
= p, P(Un =
-1)
= q,
(O::;
p::;
l,p
+ q = 1). De inim
la
successió:
l.
Calculen
E[V;,J.
n
Vi
=
U1,
Vi=
U1U2,
...
,
;,
=
II
uk.
k=l
2.
T obeu
Pn i q11
on
Pn = P(Vn =
1)
i
Qn
= P(V,1 =
-1).
3.
Es udieu
la
con e gencia en llei de
la
successió {V,1
}n::::1-
•
1.4.2
Sigui { Xn, n
~
1}
una
successió de .a. i.i.d.
amb
dis ibució N(µ,
CJ
2
).
De inim
X-1
V
~.
Y1
=
-'
-
·
_
An
+ L
n-l
2 '
...
'ln
-2
Calculeu
la
unció
ca ac e ís ica
de
Y,,.
i es udieu
la
con e gencia en llei de
la
successió {Yn, n
~
l.}
•
1.4.3
Sigui
{X,"
n
~
l}
una
successió de .a. i.i.d.
amb
llei N(O, 1). Demos eu que
X1
+···+X
Vn
,,.,
. .
.,'.~
--+ N(O, 1)
<'11
llei.
•
1.4.4
Siguin Xn
~
GeomC,~
1
.),
n
EN
on ,
és
una
cons an
posi i a.
Demos a
que
Xn/n
con e geix
Pll
llei a
una
dis ibució exponencial i calculeu el seu
pa ame e
.
9
--
.;.:·
...
.¡;;.,,._
TEMA
2
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.1 El p incipi
de
la su iciencia.
Teo ema
de
ac o i zació
2.1.1
Sigui X1,
...
,
Xn
una
mos a
d'una
dis ibució geome ica, i sigui T =
¿7=
1 Xi.
Demos eu
que
T és
un
es adís ic
su icien
pe
al
pa ame e
de
la
dis ibució.
2.1.2
Sigui X1,
...
,
Xn
una
mos a
d'una
dis ibució de Poisson d'espe a n;a
>.,
i sigui T =
2:7=
1
Xi.
Demos eu
que
la
dis ibució X 1,
...
,
Xn
dona
T és
independen
de
>.,
i concloeu
que
T és su icien
pe
a.. .
Demos eu
que X1 no és su icien .
2.1.3
Useu el
eo ema
de ac o i zació
pe a
oba
un
es adís ic
su icien
pe al
pa ame e
de
la
dis i-
hució exponencial.
2.1.4
Useu el
eo ema
de ac o i zació
pe a
oba
un
es adís ic
su icien
pe al
pa ame e
de
la
dis i-
hució
de
Rayleigh.
SO
LUCIÓ:
La
Junció
de
densi a
d 'una
.
a.
Rayleigh és
2
(')2
(x,
8)
=
82
:¡;e-
"
Snposem
que es disposa
d'una
mos a
de
g andá ia
n.
De inim
=
'L7=l
x7 i a
pa i
de
la m.os a es calcula
n
(2)n(n
)
(x1,
...
Xn,
J)
= g
(xi,
8)
=
82
g
Xi
e- l .
Si
es ac o i za
(x1,
....
Tn,8)
=
g(8, )h(X¡,
..
,.T
11
),
de inin
h(x1,
..
,Xn)
alcsho es és es adís ic su. icien
de
8.
17
Il~=l
Xi,
--:;.:·;~~.:_
TEMA
2
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.1
El
p incipi
de
la su iciencia.
Teo ema
de
ac o i zació
2.1.1
Sigui X1,
...
, X11
una
mos a
d'una
dis ibució geome ica, i sigui T =
L~=l
X;.
Demos eu
que
T és
un
es adís ic
su icien
pe
al
pa ame e
de
la
dis ibució.
2.1.2
Sigui X1
,.
.
.,
X11
una
mos a
d'una
dis ibució de Poisson d'espe a n;a
>.,
i sigui T =
2::7=
1 X;.
Demos eu
que
la
dis ibució X 1,
...
, X
11
dona
T és
independen
de
>.,
i concloeu
que
T és su icien
pe
a
.X.
Demos eu
que X1 no és su icien .
2.1.3
Useu el
eo ema
de ac o i zació
pe a
aba
un es adís ic su icien
pe al
pa ame e
de
la
dis i-
bució exponencial.
2.1.4
Usen el
eo ema
de ac o i zació
pe a
aba
un
es adís ic
su icien
pe al
pa ame e
de
la
dis i-
bució
de
Rayleigh.
SO
LUCIÓ:
La
unció
de
densi a
d'una
.a. Rayleigh és
(x,B)
=
;
2
: e+~-l
2
•
S'IJ.posem
que es disposa
d'una
mos a
de
g anda: ia
n.
De ini n =
I:~=l
x7 i a
pa i
de
la
mos a
es calcula
n
(2)n(n
)
J(x¡,
...
Xn,B)=g (x;,B)=
82
gx;
e- i .
Si
es
ac o i za
(xi,
.... Tn,B) =
g(B, )h(x1,
..
,x
11
),
de inin
h(x¡,
..
,x
11
)
nlesho es és es adís ic su. icien
de
().
17
n~=l
X;,
18
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.1.5
Disposem
d'una
mos a X1,
...
,
Xn
d'una
llei que
é
pe
unció de densi a :
e
(x;B) =
(l
+ x)O+l' 0 < B < oo 0:::;
X<
oo.
Doneu
un
es adís ic su icien pe a
e.
Raoneu
la
espos a.
2.2
El
me ode
deis
momen s.
El
me ode
de
la
maxima
e sem-
blan<_:;a
2.2.1
Suposeu que X segueix
una
dis ibució logno mal de
pa ame es
µ i
Y
2.
P enem
una
mos a
de
g anda ia
n
d'aques a
dis ibució.
l.
T obeu els es imado s de µ i
<J
2 pe! me ode deis momen s.
2.
T obeu els es imado s de µ i
Y
2 pel me ode de
la
maxima
e sembla n;a.
2.2.2
Suposeu que X segueix
una
dis ibució geome ica de
pa ame e
p.
P enem
una
mos a
de
g anda ia
n
d'aques a
dis ibució.
l.
T obeu !'es imado de p pel me ode deis momen s.
2.
T obeu !'es imado de p pel me ode de
la
maxima
e sembla n;a.
(No a: Aquí es diu geome ica a
la
.a. que con e
el
nomb e de acasos ins el p ime exi en epe icions
independen s d'expe iem ns de Be nopulli.)
SOLUCIÓ:
APARTAT
1:
Sigui
P(X
= k) =
p(l
-
p)k,
amb k
~
O,
s 'ob é
1-
p 1
m1
=
E(X)
=
--
<=?
p =
--.
p 1 +
m1
A 1
Pe
an , P = 1+x ·
APARTAT
2:
De inim
la Junció
de
e semblan ;a
n n
L(X1, ... , Xn,P) =
I1
(xi,P) =
I1
p(l
-
p ''
=
p"(l
-
p)Ex,,
i=l i=l
alesho es n
ln(L(x1,
...
,x
11
,p)) =
n(lnp)
+
(L)ln(l
-p).
i=l
Es
ce ca
un
alo que aci ma1:im ln{L). D'aq·u.es a
mane a
le i em i ignale n a zen;
ln(L):
8ln
3
~(p)
=
~
-
!(_~;
=O
i 8 'ob é p =
l¡í,
a nb
8211
~~~(íi))
:::;
O,
pe '
an
m lúm
..
.......
......
_....
......
,....._
.....
-.
......
......
""'
"""
.....
"""
"""
.....
.....
--
-..
-..
-
......
......
-..
.....
'
"""
-
-,
~,:.@.~;,
',-
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.2.3
Suposeu
que X segueix
una
dis ibució uni o me
[O,
B].
P enem
una
mos a
de
g anda ia
n
d'a-
ques a
dis ibució.
l.
T obeu
!'es imado
de B pel
me ode
dels momen s, així com
la
se a espe a n;a i a iancia.
2.
T obeu
!'es imado
de()
pel
me ode
de
la
maxima
e semblan<;a.
3.
T obeu
la
unció de
densi a
de
!'es imado
de
maxima
e semblanc;a, i calculeu
la
se a espe an<;a i
la
se a a iancia.
Compa eu
la
a iancia, el biaix i !'e o
quad a ic
mig amb
!'es imado
ob ingu
pel
me ode
dels momen s.
4.
T obeu
una
modi icació de !'es imado de
maxima
e semblan<;a que el aci no esbiaixa .
2.2.4
Si les eqüencies gene iques
es an
en equilib i, els geno ipus AA,
Aa
i
aa
oco en
amb
p obabili a s
(1
-
())
2, 20(1 -
())
i
()
2 espec i amen .
Pla o
i
al.
(1964) publica en les següen s dades sob e el
ipus
d'hap oglobina
en
una
mos a
de 190 pe sones:
i pus
eqüencia AA
Aa
aa
10
68 112
T obeu
!'es imado
de
maxima
e semblan<;a de
e.
•
2.2.5
P opie a :
L'es imado
de
maxima
e semblan<;a no
és
únic.
Suposeu que X segueix
una
dis ibució uni o me
[(),
()
+
1].
P enem
una
mos a
de
g anda ia
n
d'aques a
dis ibució. Demos eu que !'es imado de
()
ob ingu
pe!
me ode
de
la
maxima
e sembla n;a
no
queda
uní- ocamen especi ica .
SOL
U
CIÓ:
Sigui
(x)
= {
~
SÍ
()
:::;
.T :::; () + 1
al amen
La
junció
de
e semblan9a
és
n { 1
L(x
1,
...
,xn,e)
=
}J (x;,())
= 0
O .sigui,
()
'.S
X(1)
i
X(n)
:S
()
+
l.
si
X(n)
-1
'.S
()
'.S
X(l)
al amen
Ale.sho e.s, qual.se ol e.s imado
{JE
[x(n) -
1,
X(l)]
é.s
de
máxima
e .semblan9a.
•
2.2.6
P opie a :
L'es imado
de
maxima
e semblan<;a no semp e exis eix.
Conside em
una
.a. X que
po
p o eni
d'una
dis ibució N(O,
1)
amb
p obabili a
0.5 i
d'una
dis ibució
N(¡L,
<T
2
),
amb
µ i
<T
2 desconegu s, amb
p obabili a
0.5. Demos eu que no exis eix
!'es imado
de
maxima
c semblanc;a.
•
2.2.
7
P opie a :
L'es imado
de
maxima
e semblan<;a no semp e exis eix.
Consicle em
una
.a. X que p o é
d'una
clis ibució amb unció de
densi a
(
())
-a: l
b
-a -b(T-T)l
x; =
ae
(o:<;. :<;T) + e
.,
(x>T)'
on
;¡;E
R i
()
= (a,b,T) E
e=
(O,oo)3. Demos eu que no exis eix !'es imado de
maxima
e semblanc;a.
19
20
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.2.8
Una
a iable alea o ia X segueix
una
dis ibució no mal d'espe a n;a µ i de a ia n;a
l.
Es
an
20
obse acions de X pe o en comp es d'esc iu e el alo
d'X
només s'obse a si X és nega i a o no.
1.
Es ima
µ
pe
maxima
e sembla n;a
basan -se
an
sois en
la
in o mació disponible.
2.
Suposan
que l'esde enimen
{X
<
O}
ha
oco egu
exac amen
14 egades,
obeu
el
alo de
!'es imado
de
maxima
e semblaH<;a
deµ.
2.2.9
Un
cien í ic
p en
n mesu es X1
,X
2,
...
,Xn
d'una
cons an
µ en se i
la
ecnica
T1
amb
una
a iancia
de
!'e o
coneguda igual a u2. També
p en
m mesu es addicionals
Yi,
Y2,
...
,
Y~n
de µ en se i
la
ecnica
T2
amb
a iancia de
!'e o
coneguda igual a
ku
2, éssen k
una
cons- an
posi i a coneguda.
Les mesu es es suposen independen s i amb dis ibució no mal.
l.
Esc i iu
la
unció de e semblan<;a pe al
pa ame e
µbasada
en
les
n+m
obse acions
Xi,
X
2,
...
,
Xn,
Y1, Y2,
...
,
Ym.
2.
T obeu
!'es imado de
maxima
e se nblan¡;a
deµ.
Anomeneu-lo
P,.
3. Calculeu
la
dis ibució de
µ.
4.
Demos eu
que
sin=
mi
k > 1, alesho es
µes a
més a
p op
de
X que
de
Y i expliqueu pe
que
és aixó desi jable.
•
2.2.10
Conside em
una
mos a
de
midan
d'una
.a. amb densi a :
(x)
=
~exp(-
1 x -
(}
1),
x E R,
on
(}
E R és un
pa ame e
desconegu .
En
els casos n = 2 i n = 3,
es udieu
!'exis encia i
unici a
d'es imado s del maxim de e semblan<;a de
8.
•
2.2.11
Un llac
é
N peixos,
un
bioleg en pesca , els
ma ca
i els
o na
al llac. Desp és
d'un
ce
emps
en el qua! es suposa que els peixos
ma ca s
s'han
ba ega
amb
els al es, el bioleg pesca s pci-
xos, i eu
que
x
es an
ma ca s. Demos eu que !'es imado del
maxim
de e semblan<;a
d'N
és:
N*
= [7,].
lndicació:
Si
L(x,
N)
és la Junció
de
e semblan ;a, conside eu
R(N)
=
,, Jx:'._l
11
.
Es udieu
en
quina egió R <
1,
i en quina R >
l.
•
2.2.12
Sigui X1,
...
,
Xn
una
mos a
d'una
a iable
alea o ia
uni o me
amb
pa ame es
o:
-
/J.
n +
,3.
l.
Esc i iu
la
unció de e se nblan<;a associada a les obse acions x1,
...
, x,, i dibuixeu la egió del
pla
R = {(o:,¡3) E R2 1 L(o:,¡3) "#O}.
2.
T obeu
els es imado s deis
pa ame es
o:
i
3
pe!
me ode
de
la
maxi na e se nblan¡;a.
2. 3
El
me o
de de
Bayes
4'
2.3.1
Suposem que la p opo ció
(J
de componen s de ec uoses
d'un
g an
lo és o bé 0.1 o bé 0.2, i la
unció de
p obabili a
a p io i de
(J
és
'!j!(O.l)
= 0.7 i
'lj;(0.2)
= 0.3. Es seleccionen 8 componc11 s del lo a
l'a za
i es
oben
2 de ec uoses. De e nineu
la
unció de
p obabili a
a pos e io i de
B.
4'
2.3.2
Suposem que la p opo ció e de componen s de ec uoses
d'un
g an
lo és desconeguda, i
la
dis ibució a p io i de
(}
és uni o me en l'in e al
(O,
1). Es seleccionen 8 co nponen s del lo a
!'
a za
i es
oben
3 de ec uoses. De e mineu
la
llei a pos e io i de
(}.
-.
-..
.....
.....
....
-.
-..
-..
-..
.....
""'
"""'
""""
"""'
"""'
""
""'
.....
.-.
'"'
""
.-.,
"'""
......
......
.....
,...,
,~
TEMA
2.
ESTIMACIO PUNTUAL
-"
2.3.3
Suposem que
enim
una
obse ació X
d'una
dis ibució uni o me a l'in e al
(B
-0.5, B + 0.5);
suposem que el alo de B és desconegu i que la llei a p io i de B
és
l'uni o me en l'in e al (10, 20).
l.
Si el alo obse a de X és x = 12,
quina
és la dis ibució a pos e io i de
B?.
2.
Si
a a
seleccionem sis obse acions i obse em x1 =
ll.O,x
2 =
ll.5,x
3 =
ll.7,x
4
11.4, x6 = 10.9,
quina
és
la
dis ibució a
pos~e io i
de
B?.
11.1,
X5
-"
2.3.4
Suposem que
la
p opo ció B de componen s de ec uoses
d'un
g an
lo és desconeguda, i
la
clis ibució a p io i de B és
Be a(
o:
=
2,
J
= 200). Es seleccionen 100 componen s del lo a
l'a za
i es
oben
3 cle ec uoses.
1.
De e mineu
la
llei a pos e io i de
B.
2.
Suposem que clesp és d'obse a 3 peces de ec uoses
la
dis ibució a pos e io i és
una
be a
de
mi jana
.0392 i
ele
a iancia 3.658 x
10-
4. De e mineu
la
llei a p io i de
B.
-"
2.3.5
Sigui B el nomb e mig de de ec es
pe
cada
100 peus
d'una
cin a
magne ica. Se
suposa
que el
alo de B és desconegu i que
la
dis ibució a p io i de B és
una
gamma
de
pa ame es
o:
= 2 i
J
= 10.
Desp és d'inspecciona
una
cin a
de 1200 peus es
oben
4 de ec es. De e mineu
la
llei a pos e io i de
B.
-"
2.3.6
Les
al<;acles
dels indi idus
d'una
ce a
població segueixen
una
dis ibució no mal
amb
mi jana
desconeguda
()
i
amb
des iació
es anda
5 cm. Se suposa que
la
dis ibució a p io i de B és
una
no mal
de
mi jana
170 cm i de des iació
es anda
2.5 cm.
l.
La
mi jana
de 10 pe sones seleccionades a
l'a za
és de 174 cm. De e mineu
la
llei a pos e io i de
().
2.
Calculeu l'in e al
d'amplada
2.5 cm que con ingui
el
alo de B
amb
la
maxima
p obabili a
a
p io i i doneu
aques a
p obabili a .
3. Calculeu l'in e al
d'amplada
2.5 cm que con ingui
el
alo de B
amb
la
maxima
p obabili a
a
pos e io i i doneu
aques a
p obabili a .
-"
2.3.
7 El
emps
(en minu s) que es
iga
en
a end a
un clien en
una
bo iga
segueix
una
llei exponencial
de
pa ame e
B desconegu .
la
dis ibució a p io i de B és
una
gamma
amb
mi jana
0.2 i des iació
es anda
igual a
l.
Si el
emps
que
s'ha
iga
en
a end e
a
20
clien s
ha
sigu de 3.8 minu s,
quina
és
la
dis ibució
a pos e io i de
().?
-"
2.3.8
Suposem que
la
p opo ció B de componen s de ec uoses
d'un
g an
lo és desconeguda, i
la
<lis ibució a p io i de B és
Be a(
o:
=
5,
{3
= 10). Es seleccionen
20
componen s del lo a
l'a za
i es
aben
1 sola componen de ec uosa. De e minen !'es imado de Bayes de B si em se i com a unció de
pe dua
!'e o
quad a ic.
-"
2.3.9
Les al<;ades dels indi idus
d'una
ce a
població segueixen
una
dis ibució no mal
amb
mi jana
desconeguda
()
i amb des iació
es anda
5 cm. Se suposa que la dis ibució a p io i de B és
una
no mal
de
mi jana
170 cm i de des iació
es anda
2.5 cm. La
mi jana
de
10
pe sones seleccionades a
l'a za
és
de 174 cm.
l.
De e mineu !'es imado de Bayes de
()
si em se i com a unció de
pe dua
l'e o
quad a ic.
21
22
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.
De e mineu
!'es imado
de Bayes de e si em se i
coma
unció de
pe dua
!'e o
absolu .
4
2.3.10
Deno em
pe
e
la
p opo ció de o an s
d'una
g an
ciu a
que
es an
d'aco d
amb
una
ce a
!leí.
Suposem que aques alo e és desconegu i que dos es adís ics A i B assignen a e les següen s
densi a s
a p io i
'l ;A(e)
i
'lj;
8(8), espec i amen ;.,
'l ;A(B)
= 28
pe
0 < 8 < 1
'l ;n(B)
=
48
3
pe
O < e <
l.
En
una
mos a
de 1000
o an s
hi
han
710 en a o de
la
!leí.
l.
De e mineu
la
llei a pos e io i de e que
cada
es adís ic assigna a
e.
2.
De e mineu !'es imado de Bayes de e que
cada
es adís ic calcula ia si essim se i com a unció
de
pe dua
!'e o
quad a ic.
3. Demos eu
que
desp és de coneixe les opinions de 1000
o an s
els
es imado s
de
Bayes
p oposa s
pels dos es adís ics no
poden
di e i en més de 0.002 amb
independencia
del
nomb e
de
o an s
que
haguessin
o a
en a o de
la
llei.
4
2.3.11
Suposem
que
la
.a. X segueix
una
llei geome ica
de
pa ame e
p;
ésa
di ,
J(x;p) =
(1
-
p)x-lp
X=
1,
2,
...
Suposem
que a p li assignem
una
llei a p io i uni o me a l'in e al (0,1).
l.
Calculeu
la
dis ibució a pos e io i de p.
2.
Quin és !'es imado de Bayes de
psi
em se i com a unció de
pe dua
!'e o
quad a íc.
4
2.3.12
Deno em
pe
T
la
p opo ció de nens
d'un
casal
d'es iu
que
es an
d'aco d
amb
ana
d'excu sió .
Suposem
que
aques
alo T és desconegu i que els dos moni o s A i B assignen a T les següen s
densi a s
a
p io i
'l ;A(T)
i 'l ;n(T), espec i amen :
'lj;
A (
T)
=
3T
2 pe o < T < 1
'lj;
B (
T)
=
4T
3 pe o < T <
l.
En
aques
casal
s'han
apun a
100 nens i
d'aques s
60
olen
ana
d'excu sió.
l.
De e mineu
la
llei a pos e io i de T que
cada
moni o assigna a
T.
2.
De e mineu !'es imado de Bayes de T que
cada
moni o calcula ía si essim se i com a uuc:ió de
pe dua
!'e o quad a ic.
3. Demos eu que desp és de coneixe les p e e encies deis 100 nens els
es imado s
de Bayes
p oposa s
pels dos moni o s no
poden
di e i en més de 0.01 amb independencia del
nomb e
de nens que
p e e eíxin
ana
d'excu sió.
--
--
--
-.
,..._
....._
'""
.....
.....
....
'""
....
....
....
-
.....
-.
/'"'.
,,,._
,....,
--
.......
.....
-
-
-
--
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
•
2.3.13
Suposem que el nomb e de minu s que
una
pe sona
ha
d'espe a
l'au obus
cada
ma í
é
una
dis ibució uni o me a l'in e al
(O,
B),
a on el alo de() és desconegu . Suposem que
la
unció de
densi a
a p io ·i de
()
e
donada
pe :
~(B)
= {
Jl
si()>
4
...
al amen
Si els
emps
espe a s
en es
ma ins
successius,j)Ón de 5, 3, 8 minu s.
l.
Calculeu
la
unció de
densi a
a
pos e io i
de
e.
Especi iqueu el domini de de inició
d'aques a
unció
i les
cons an s
que en ella apa eixen.
2.
Si
es ol
es ima
el alo de
()
usan com a unció de
pe dua
l'e o
quad a ic,
quina
és
la
o ma de
!'es imado
de
Bayes de
e.
Calculeu
el
alo es ima de e a
pa i
dels es emps
espe a s
dona s
més
amun .
•
2.3.14
Suposem que X1,
...
,
Xn
són a iables alea o ies independen s que segueixen
una
llei de Poisson
de
pa ame e
()
i suposem que
la
llei a
p io i
sob e
()
pe any
a
la
amí lia gamma.
1.
Demos eu
que
la
llei a
p io i
gamma
és conjugada de
la
Poisson.
2.
De e minen
!'es imado de Bayes de
()
so a
una
unció de
pe dua
quad a ica.
•
2.3.15
La
a iable alea o ia que
comp a
el
nomb e de mo s
pe
asma
cada
100.000
habi an s
en
un
any es
suposa
que segueix
una
llei de Poisson de
pa ame e
B,
on
()
ep esen a
la
e i able
axa
de
mo ali a
pe
asma
cada
100.000
habi an s.
A
la
ciu a
C deis
Es a s
Uni s,
amb
una
població de 200.000
pe sones, es e isen les causes de
mo
du an
l'any 1994, i
es
deno a
pe Y94
la
a iable
alea o ia
que
comp a
el
nomb e
de
mo s
pe
asma
a C
du an
l'any 1994.
l.
Quina
llei segueix
la
a iable alea o ia Y94?.
2.
Quina
llei a
p io i
p oposa ieu
pe
B,
la
axa
de
mo ali a
pe
asma? Raoneu
la
espos a.
3. Sa.bem que
la
a.xa de
mo ali a
pe
asma
a eu del
mon é
mi jana
0.6 i a iancia 0.12. Basan - os
en
la
llei a
p io i
p oposada
a
l'apa a
2., calculen
el
seus pa ame es.
4.
Es
oba
que hi
han
hagu
3 pe sones que mo i en
d'asma
a C l'any 1994, (i.e., Y94 = 3). De i eu
la
llei a
pos e io i
pe
la
a.xa de
mo ali a
pe
asma?
En
pa icula , doneu
la
mi jana
a
pos e io i
i discu iu
aques
esul a
compa an -lo
amb
la
mi jana
a p io i.
5.
L'any
1995 es epe eix l'es udi i es o nen a dona 3 mo s (i.e., Y95 = 3). Feu se i els calculs de
l'apa a. 4.
pe
a calcula
la
mi jana
a pos e io i? Que podeu conclou e?
2.4
Biaix
d'un
es imado .
L'e o
quad a ic
mig
2.4.1
Sigui X
una
.a. no mal d'espe a n;a
()
i de a. iancia
l.
De inim Ta,b(X) =
aX
+ b
pe
a i b
nomb es ea.Is qualse ols.
l.
Calculeu
!'e o
quad a ic
mig,
R(B,
Ta,b),
de
Ta.,b·
2.
Compa en
R(B,
T0
5,o)
amb
R(B,
T1,0
).
Quina
conclusió en eieu?
3. Exis eix a.lgun es imado de
la
o ma
aX
+ b que sigui millo que X
pe
a
o
B?
4.
P o eu que X és l'únic es imado no esbiaxa. de
()
de la o ma
aX
+
b.
23
·.·.·
24
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
SOLUCIÓ:
APARTAT
1:
Sigui
Re(T)
=
E((T(X)
-
q(X))
2) =
E((aX
+ b -
8)
2
).
Dona
que
Va (X)
=
E(X
2) -
(E(X)
)2, alesho es
Re(T)
=
E((aX
+
b-
8)2) =
Va (aX
+ b -
8)
+
(E(aX
+ b))2 = a2
+((a
-1)8 +
b)
2.
APARTAT
2:
Sigui Re¡T.,o = a2
+((a
-1)8)2.
Pe
an ,
enim
que
1 1
')
1+8
2
Re¡T,
= - + ((- -1)8)- =
--
o.s,o 4 2 4
Re¡T1,o
=l.
Pe
an ,
l±
S 1
{:}
82
::::;
3
{:}
-J3::::;
8 S
)3.
APARTAT
4:
E(aX
+
b)
=
aE(X)
+ b = a8 +
b.
Si
ha
de
se
no
esbiaixa ,
es
é
que
E(aX
+
b)
= 8.
Lla o s
a8 + b = 8 {::==}
(a
-1)8 + b
=O,
VB.
L 'únic polinomi
en
8 que
és
iden icamen null,
és
el polinomi que
é
o s els sens
coe icien s iguals a ze o. Lla o s
a=
1 i b =
O.
2.4.2
Aques
p oblema
a e e encia a l'es imació
de
la
a iancia
d'una
dis ibució
no mal
de
mi jana
desconeguda
a
pa i
d'una
mos a
X1,
...
,
Xn
de .a. no mals. Conside em
es
possibles
es imado s
de
la
a iancia
poblacional:
s2
=
_1_
~(X;
-X)2
n-lL..,.
i=l
A')
1 n -?
a-=
-
~(X.;
-X)-
n
L.,.
i=l
n
a;
= p
L(X;.
_ ,y)2
i=l
l.
Calculeu el
biaix
de
cadascun
d'aques s
es
es imado s.
Quins
d'aques s
són
no esbiaixa .s'?
2. Calculeu
la
a ia n;a de
cadascun
d'aques s
es
es imado s.
3. Calculeu
!'e o
quad a ic
mig dels dos p ime s es imado s.
4.
Pe
a
quin
alo
de
p
!'es imado
a;
é
e o
quad a ic
mig més
pe i ?
5.
Quin
es imado
escolli íeu i
pe
que?
'""'
,.-._
----
----
,.-._
.-,
-.
-
""'
""""
""'I
""""
""""
"""
....
-
,....
,...,
-
""'
-
-.
-.
,....
-.
il
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.4.3
Conside em
una
mos a
de
midan,
X1,
...
, Xn
d'una
població amb
momen
d'o d e
k ini .
l.
Demos eu
que
~
¿:~
1
X
és
un
es imado sense biaix del momen
d'o d e
k.
2.
De e mineu
el alo
de
e
pe
al
que e
¿;~
1
(Xi+i -Xi)2 sigui
un
es imado
sense biaix de
a-
2.
SOLUCIÓ:
APARTAT
1:
n
k)
( n ) 1 n 1 n
E
(¿i=l
xi
=~E
L xik =
;;:L
E(Xik) =
:;;:~
µk = µk
n
i=l
i=l
•-1
APARTAT
2:
(
n-1
) n-1
a-
2 =
cE
~(Xi+i
-
Xi)
2
=e~
(Va (Xi+1 -
Xi)+
(E(Xi+i
-Xi))2) =
c2a-
2
(n-l).
Alesho es
es
po eu e
que
e=
1
2(n-l)'
n;:::2.
2.4.4
Demos a
que si X és .a.
amb
espe anc;a µ
-::JO
i
Va (X)
>
O,
d'en e
o s
els
es imado s
lineals
sense biaix
U=
a1X
1 + ... +
anXn
deµ,
el de a iancia
mínima
és
la
mi jana
mos al
X.
•
2.4.5
Siguin
)¡
i
82
dos es imado s independen s sense biaix
d'un
pa ame e
desconegu
8,
amb
a iáncies conegudes
a-
>
O,
a-5
> O espec i amen .
l.
Demos eu
que
83
=
(1
-a)81 +
a8
2
ambé
és un
es imado
sense biaix,
pe
o
a E
R.
2.
T obeu
el alo de a que
minimi za
la a iancia de 83.
SO
LUCIÓ:
APARTAT
1:
E(83) =
E((l
-
a)e1
+
a82)
=
(1
-a)E(81) +
aE(8
2) =
(1
-
a)B
+
a8
=
8.
25
32
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
2.
T obeu l'es imado de
(}
pel me ode de
la
maxima
e sembla n;a.
3.
Calculeu
la
a iancia asimp o ica de l'es imado de
maxima
e semblanc;a.
2.8.5
Disposem
d'una
mos a
X1,
...
,Xn
d'una
llei que
é
pe
densi a :
(x;
(})
=
e-(x-e)'
(}
E
R,
e
:::;
X < OO.
l.
T obeu l'es imado
{jl
de e pel me ode dels momen s.
2.
T obeu l'es imado
{j
2 de B pel me ode de
la
maxima
e semblanc;a.
~.
3. Calculeu
la
unció de
densi a
de l'es imado de
maxima
e semblanc;a,
{j2·
És
{j2
su icien ? Raoneu
,......
la
espos a.
""'
SOLUCIÓ:
APARTAT
1:
E(X)
= /
00
x (x)dx
=
=
xe-(x-e)dx
=
...
=(}+l.
-oo
le
Alesho es
m1
= B + 1
=}
B1
=
Xn
-
l.
APARTAT
2:
n n
L(x¡,
... ,Xn,B) =
IT!(x;,B)
=
e-(x¡-0)
=
e-(~x,)+ne.
i=l
i=l
Aplican loga i mes,
logL = -
"2::
Xi
+
nB,
8logL
--a¡¡-=
n.
Pe ó
es
po eu e
que
n n
L(x1,
...
,xn,
B)
=
(x;,
B)
=
en(e-xn)
l¡e,=)(x;)
i=l
i=l
on
B:::;
X;,
:/i
= 1..n
{::}e:::;
Xul, i pe an
n
L(
e)
n(l!-x
)
1
(e)
X¡,
...
,: ;n,
=e
n
[-=,X(l)
'
i=l
amb
()2 = X1.
"""
"'
--
,...._
-
......
......
....
""
....
....
......
......
-
,......
-.
......
-
-
-
-.
¡"'.
·"'
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
APARTAT
3:
U ili zan
que l'es adís ic d'o d e X1
é
pe
dis ibució
Fx(1) (Z) = 1 -
(1
-Fx, (Z))n
Íx(l)(Z)
=
n x,(Z)(l
-
Fx,(Z))n-
1.
Alesho es
Fx(x)
=
P(X::;
x) =
x(x)dX
=
e-(x-e)dX
=
(1-
e-(x-e))le,
00
(x).
J_oo
Je
D 'aques a
mane a,
x(l¡(x)
=
ne-n(x-e)lo,
00
(x),
Í.P.
xui(Z)
= ne-n(Z-O)lo,=(Z).
Fal a eu: e que
82
és su icien .
Dona
que
T(X)
és
es adís ic
su icien
pe
e
{::}
la
dis "ibució condicional de X
dona
T(
X)
= no depén de
e,
i.
e.
P(X
=
xjT
= )
no
depén
de
e.
Vejem
que (x1, ... ,
Xn)
( )
Ti (xi)
J ( )
e-n(X-8)
ne-n( -8)
e-n(X- )
n
o:m/J
= X0
),
ion
pe
an
P(X
=
xlT
= ) no depén de
e.
2.8.6
Sigui X1,
...
,
Xn
.aa. independen s i iden icamen dis ibu'ides
amb
unció
de
densi a :
(x;
e)
=
6~4
x3 exp{
-x/B}
pe
o<
X <
00
i
e>
o.
l.
Ob ingueu,
mi janc;an el
me ode
dels momen s, un
es imado
pe a
e.
2.
Calculeu
la
a iancia de
!'es imado
ob ingu
a
l'apa a
l.
3.
T obeu
un
es adís ic su icien
pe
a
e.
4.
U ili zan
el Teo ema de Rao-Blackwell,
obeu
un es adís ic su icien
que
millo i
la
a iancia.
5.
Ob ingueu,
mi janc;an el
me ode
de
la
maxima
e semblanc;a,
un
es imado
pe a
e.
6. Doneu
la
llei
asimp o ica
de
!'es imado
de
maxima
e semblanc;a.
7.
Podeu
conclou e que
!'es imado
de
maxima
e semblanc;a és e icien ?
Raoneu
la
espos a.
2.8.
7 Disposem
d'una
mos a
X1,
...
, X
11
d'una
dis ibució de
Pa e o.
La
dis ibució de
Pa e o
s'u ili za
en ciencies economiques com a model
pe
a
una
unció
ele
densi a
amb
una
cua
que clec eix a
poc
a poc.
Aques a
llei
é
pe
clensi a
(e
>
o,
T >
O):
{
liTB
(x;e, )
=
ó"+'
X;:::
T
x<
33
34
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
l.
Calculeu l'espe anc;a
d'una
.a. X que segueix
una
dis ibució de
Pa e o.
2. Suposem que el alo T és conegu .
(a)
T obeu
l'es imado
B1
de e pel
me ode
dels momen s.
(b)
T obeu
l'es imado
{h
de e pel
me ode
de
la
maxima
e sembla n;a.
(c)
Quina
llei
asimp o ica
segueix 02? P eciseu
en
pa icula
la
se a a iancia.
(d) És
l'es imado
82
su icien
pe al
pa ame e
e.
3. Suposem
a a
que el alo de T
és
desconegu i el
de
e conegu .
(a) Calculeu
l'es imado
-1
de
maxima
e semblanc;a de
T.
(b) És l
'es imado
-
1 su icien
pe
al
pa ame e
T.
4. Suposem que els dos alo de T i de
()
són desconegu s.
(a) Calculeu els es imado s de
maxima
e semblanc;a de e i de
T.
2.8.8
Conside em
la
a iable
alea o ia
T que
mesu a
el
emps
de
supe i encia
en
mesos
d'un
pacien
desp és
d'un
ac amen .
Suposem que
Tes
dis ibueix segons
un
model
exponencial
asllada .
El
model exponencial
asllada
de
pa ame es
>.
(>.>O)
i G
(G
>O)
é
pe
unció de
densi a :
( ;>.,G) = {
~exp{->.( -G)}
si
2:
G
2:
O
si < G
G
s'in e p e a
com el
emps
de
ga an ia
o el míinim
emps
de
ida
abans
del
qual
no hi
ha
mo s.
Hem
e
un
es udi
amb
11
pacien s i llu s
emps
de
supe i encia
han
es a :
11,13,13,13,13,13,14,14,15, 15,17.
Suposem
que
aques s
pacien s són
una
mos a
d'una
llei exponencial
aslladada
de
pa ame es
>.
i G.
l.
Calculeu
la
unció de e semblanc;a
d'aques es
dades en unció deis
pa ame es
desconegu s.
2.
Suposeu G conegu .
(a)
Es imeu
la
axa
de allida
>.
mi janc;an el
me ode
de
la
maxima
e semblanc;a.
(b) Calculeu el alo de
!'es imado
de>.
en
unció de G pels
pacien s
de
l'es udi.
(c)
T obeu
!'es imado
de
maxima
e semblanc;a de
la
mediana
del
emps
de
supe i encia
anomeneu-lo
m.
Calculeu la
mediana
del
emps
de
supe i encia
dels
11
pacien s.
(d)
De e mineu
la dis ibució
asimp o ica
de
l'es imado
m.
Calculeu
la
a iancia
asimp o ica
ele
m.
3. Suposeu
>.
conegu .
(a)
Es imeu
G mi janc;an el
me ode
de
la
maxima
e semblanc;a.
(b) Calculeu el alo de
!'es imado
ele
G pels pacien s de l'es udi.
4. Suposeu
>.
i G desconegu s.
(a)
T obeu
els
es imado s
de
maxima
e semblanc;a
pe
a
>.
i
G.
Calculeu-los
pels pacien s de
l'es udi.
'""'
'""
-..
,......
,....,
'""
......
~
,....._
,.....
-.
"""
....
....
....
....
....
"""
-.
......
'"""'
,...,
.......
"""
-.
......
-.
......
--
"""
-
,.,.
..
~~
..
,....,,
TEMA.
2.
ESTIMA.OJO
PUNTUAL
(b) Feu se i les es imacions ob ingudes
pe
es ima
la
p obabili a de sob e iu e
18
mesos desp és
del
ac amen .
2.8.9
Conside em
una
mos a
X1,
...
,
Xn
d'una
llei que
é
pe
densi a
38
3
J(x;8) = - .
nA
X>
O,
i l'espai de
pa ame es
és n = {8: 8
>O}
l.
Ce queu
un
es imado de 8 pel me ode deis momen s. Anomeneu-lo 01.
2.
Calculeu
la
a iancia de 01. Indicació:
Po
esul a més senzill comen ;a calculan
E(X
+ 0)2.
3. Ce queu
un
es imado de O pel me ode de
la
máxima
e semblanc;a.
Anomeneu-lo
02. Deixeu-lo
indica si no
podeu
esold e les eqüacions de e semblanc;a.
4. Calculeu
la
in o mació de Fishe con inguda en
la
mos a
X 1,
...
, X
n.
5.
És
!'es imado
01 e icien ?
G.
Doneu
la
dis ibució
asimp o ica
de 02 i calculeu
la
se a a iancia asimp o ica.
7.
Compa eu
B
1 i 02. Quin deis dos es imado s és asimp o icamen més e icien ?
8. Calculeu
la
mediana
poblacional en unció de O i
anomeneu-la
M(O).
9. Doneu
un
es imado
pe a
M(8) i de e mineu la se a dis ibució asimp o ica.
2.8.10
Conside em
una
mos a
X1,
...
,
Xn
d'una
llei que
é
pe
unció de densi a :
(x;
a,
(3)
= { 8 exp
-( ª-/3)
i l'espai de
pa ame es
és n =
{(a,(3):
a>
0,(3
>O}.
si X
~
(3
al amen
1.
Esc i iu
la
unció de e semblanc;a
L(
a,
(3)
dona
els alo s mos als x1,
...
,
Xn·
2.
Suposan
a=
a0 conegu ,
(a) Ce queu !'es imado de
maxima
e semblanc;a de
(3
i anomeneu-lo
$.
(b)
Ca ac e i zeu
la
llei de
$.
3.
Suposan
,B
=
3o
conegu
(a) Ce queu
un
es imado de a pel me ode de
la
maxima
e semblanc;a i
anomeneu-lo
á.
(b)
Quina
dis ibució segueix á quan n és p ou g an?
(e) Calculen
la
in o mació de Fishe pe!
pa ame e
a con inguda en
la
mos a
X1,
...
,Xn.
(d) T obeu
un
es imado sense biaix i e icien
pe a
a.
(e) És !'es imado á e icien ?
35
36
TEMA
2.
ESTIMACIO
PUNTUAL
4. Suposeu que
(&,
S)
és
el
maxim de e sembla n;a conjun amen de (a,
(3).
(a) Calculeu
la
mediana poblacional en unció de a i
3
i
anomeneu-la
M.
(b) Calculeu l'es imado de maxima e sembla n;a de
Mi
anomeneu-lo
M.
-
2.8.11
Disposem
d'n
a iables alea o ies, Y1,
...
,
1~
1
independen s i uni o memen dis ibu"ides a l'in e -
al
[O,
B].
Imaginem que en iem
un
obse ado
cada
dia,
du an
n dies successius,
amb
l'enca ec
de que
obse i, i ano i, els alo s de les Yj
pe a
un
subconjun
d'm
(1
S m S n) d'elles;
ésa
di ,
ano a a
els m
alo s
lj,,
...
,
ljm,
on j1,
...
,
im
E
{l,
...
, n }. Aques obse ado ,
amb
bons coneixemen s
d'es adís ica,
decideix
ano a
an
sols
el
maxim de
lj,
'
...
' ljm .
l.
Pe
quina
aó decideix l'obse ado
ano a
an
sols el maxim
d'
Yh,
...
, Yjm.
2.
Sigui
Xi
el maxim calcula el
dia
i. Anomenem m el núme o d'obse acions
d'en e
les obse acions
lj,
1 S j $
n,
que
ha
escolli . Les n a iables alea o ies X1,
...
,Xn
desc i es més
amun
són
independen s i enen
pe
unció de
densi a
(no cal que ho demos eu)
(x1;
m,
B)
= {
~-mmx7
1
-1
on m >
o,e
>o.
si Ü <
X1
$
{;I
al amen ,
(a) Ce queu l'es imado de maxima e semblánca
pe
{;I
suposan
que l'obse ado ens
ha
di
el
alo de
m.
Anomeneu-lo
e.
(b)
Pe
desg acia aques obse ado és mol despis a i s'oblida de
di -nos
el alo de
m,
així que
,,...,
-..
-..
,...,_
-...
-.
,......
,....._
a a
m
ambé
és desconegu . Ce queu l'es imado de
maxima
e semblanca
pe
m
suposan
,.._
que el alo de
{;I
és conegu . Anomeneu-lo
m.
-.
(e)
Saben
que
(m,
O)
és
el
maxim de e sembla n;a de (m,
8),
calculeu el
maxim
de e semblanc;a
de P ob{ X1 > 1
}.
Raoneu la espos a. -.
"""
"""'
.....
.....
....
-.
"""'
....
'"'
----
,.._
-.
-
-.
"""'
......
~
,..._
~
,......
-.
'"'
-.
-
......
~·i·.~~;;:
-.
-.
-.
,.....
.-.
""
""'
·'
"'
.....
,-,
-
,....
-
-
.......
-
-..
....
"""
....
-
""'
'"
""""
....._
""'
"""'
-,
""""'
,,....,_
.....,,
~
~
""'
~
,,
TEMA
3
P o es
d'Hipo esi
i
In e als
de
Con ian~a.
3.1
Concep es
basics
pe
a alua
les
p o es
d'hipo esis:
E o s
de
ipus
I i II.
Fundó
de
po encia.
El
alo
p
3.1.1
Suposeu
que
la
a iable
alea o ia
X segueix
una
dis ibució
binomial
de
pa ame es
n = 100 i
p desconegu . Conside eu el p ocedimen que
ebu ja
H0 : p = 0.5
en
a o de
HA
: p i- 0.5
quan
1 X -50
I>
10. U ili zeu l'a.p oximació
no mal
a
la
binomial
amb
la
co ecció
pe
con inui a
pe
a e
o s
els calculs.
l.
Calculeu
la
p obabili a
d'un
e o
de
ipus
l.
2.
Feu
una
g a ica de
la
unció de
po encia
en
unció de p.
3.1.2
Suposeu
que es
p en
una
obse ació X
d'una
dis ibució uni o me
en
l'in e al
[B
-0.5,
(}
+ 0.5], i
suposeu que oleu esold e
la
següen p o a d'hipo esi:
H0: B
:S
3,
HA:
B
2'.
4.
Doneu
un
p ocedimen
que ingui
una
unció de
po encia
que p engui els següen s alo s:
7 (
B)
= O
pe
B
:S
3 i
7 (B)
= 1
pe
B
2'.
4.
3.1.3
Suposeu
que
la
p opo ció p de i ems de ec uosos en
una
g an
població és
desconeguda
i
que
olem
nali za
la
següen
p o a
d 'hipo esi:
Ha:
p = 0.2,
HA:
p-:/:-
0.2.
Suposeu que
s'ha
aga a
una
mos a
de
g anda ia
20
d'aques a
població.
Deno eu
pe
X el
nomb e
l'i ~ ns
de ec uosos
en
la
mos a,
i conside eu
un
p ocedimen ó que
ebu ja
quan
X
2'.
7 o X
:S
l.
l.
Calc:uleu
la
p obabili a
d'un
e o
de
ipus
l.
37
38
TEMA
3.
PROVES
D'HIPÓTESI
I
INTERVALS
DE
CONFIANQA.
2.
Calculeu
la
po encia
en els
pun s
p
=o,
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,
l.
Feu
una
aula
de
la
unció de po encia en unció de p.
3.
És
aques
p ocedimen no esbiaixa ?
SOLUCIÓ:
APARTAT
1:
Es
a a se i que X segueix
Bin(20,
0.2) i lla o s:
o:
1 (
ó)
=P[e o ipus
l]
=P[ ebu ja
HolHo
ce a]=
P[X
;:::
7 o X
::;
1-
p = 0.2] =
P[X
2:
7lp = 0.2] +
P[X::;
llp
= 0.2] = 1 -
P[X::;
6]
+
P[X
::;
1]
= 0.1559.
APARTAT
2:
P ob.
Pa .
APARTAT
3:
0.1
0.3941 0.2 0.3
0.1559 0.3996
Un
p ocedimen és no esbiaixa si:
0.4
o.
7505 0.5
0.9423 0.6 0.7
0.99 1
P[ ebu ja HolP = Po]2: P[ ebu ja H0IH0 ce aj si p0
.::¡.
0.2, i aixó és ce si la Junció
de
po encia
é
un
mínim
en 0.2.
Pe
an
en aques
cas
ó
és
no esbiaixa .
3.1.4
Sigui X1,
...
,Xn
una
mos a
de la dis ibució uni o me en l'i e al
(O,B).
Volem esold e
Ho
: B
2:
2 e sus
H1
: B <
2.
Sigui
Yn
=
max(X
1,
...
, Xn) i conside em aquell
p ocedimen
que
é
pe
egió c í ica
o s
aquells
esul a s
als que
1·:,
1
::;
1.5.
l.
De e mineu
la
unció de
po encia
d'aques
p ocedimen .
2.
De e mineu
la
alla
del p ocedimen .
3.1.5
Suposeu que X 1,
...
, X
11
és
una
mos a
d
'una
dis ibució
no mal
de
mi jana
11
desconegucla i de
a iancia 1 i es desi ja esold e la p o a d'hipo esi: H0 : 0.1
::;
µ
::;
0.2 e sus H1 : µ < 0.1 o µ > 0.2.
Conside em
un
p ocedimen ó que
ebu ja
l'hipo esi nul.la si X
11
::;
c1 o si
Xn
2:
c2, i sigui
7 (µló)
la
unció de
po encia
de
ó.
Suposeu que n = 25.
1.
De e mineu els alo s de c1 i de c2 pe
al
que
7 (O.lló) = 7 (0.2ló) = 0.07.
2.
De e mineu els alo s de c1 i de c2 pe
al
que
7 (0.1
ló)
= 0.02 7 (0.2ló) = 0.05.
3.1.6
Suposeu que X1,
...
, X
11
és
una
mos a
d'una
dis ibució uni o me en l'in e al
(O,
B),
a
on
el
alo
de B és desconegu i
es
desi ja eali za
la
p o a d'hipo esi: H0 :
B::;
3 e sus HA : B >
3.
l.
Demos eu que pe a qualse ol ni ell de signi icació
o:
0 E
(O,
1), exis eix
un
p ocedimen
U.M.P.
que
ebu ja
H0 si
max
{X;} >
e,
pe
alguna
cons an
c.
'"""-
_,,
~
;..
~
,,..
~J
'·""'.
~-~
~
~'.<!
..,....
..,.._
?><'
.....
.
-1
?-
·~
~
,....i
,':':
;i--.
,,.....
,
..
""'1
~·
- .,...
'
~"
.,..
1:;
~
~~
~-
-;...
j:
'
__
';.,.....,........
,-..
'"""'
.-
"""
""'
""'
""'
~
,-..
,.....,_
-""',
""
...,.i
.
......
,
....
~:·,-
-....
'~
"'
-;.
,....
-,
----
~-
,,
TEMA
3.
PROVES
D'HIPOTESI
I
INTERVALS
DE
CONFIANQA.
2.
T obeu el alo de e
pe
cada
alo possible de a0.
3.
Pe
a
una
g anda ia
n dibuixeu
la
unció de po encia del p ocedimen an e io .
3.1.7
Suposeu que X1,
...
,Xs
és
una
mos a
d'una
dis ibució no mal de
mi jana
µ i de a iancia a2
ambdues
desconegudes. Volem
con as a
H0 : µ=-O e sus
HA
: µ'/:O. Suposem que les dades mos als
són als que
I.:;~=l
X;=
-11.2
i
I.:;~=l
X
= 42.7
l.
Resold e
aques a
p o a d'hipo esi
pe a=
0.10.
2.
Fem
una
p o a
al
que H0
es
ebu ja
si l'es adís ic
U =
a(Xn
-
µo)
s
és
al
que U < c1 o U > c2, a on P ob(U < c1) = 0.01 i P ob(U > c2) = 0.09.
Ambles
dades de
l'apa a
an e io , hau iem de
ebu ja
H0
?.
3.1.8
La
.a. X segueix
una
dis ibució exponencial de
pa ame e
>.
= 1 o
>.
= 2. Volem
con as a
amb
una
mos a
de
mida
1 les hipó esis H0 :
>.
= 1
con a
H1 :
>.
=
2.
l.
Calculeu les p obabili a s dels e o s de i pus I i de
i
pus II quan
la
egió d 'accep ació és A0 = { x
:S
1
}.
2.
Calculen les
p obabili a s
dels e o s de ipus I i de ipus
II
quan
la
egió d'accep ació és A1 = { x
:::::
0.07}.
3.
Quina
de les dues p o es de inides
pe
les egions d'accep ació dels
apa a s
1 i 2 ia ieu?
4.
T obeu
el alo de k
pe
al
que
la
suma
dels e o s sigui mínima
quan
la
egió d'accep ació és
A~,=
{x:::::
k}.
3.1.9
La
V.a.
X segueix
una
dis ibució exponencial amb
mi jana
e = 1 o e = 0.5. Volem
con as a
amb
una
mos a
de
mida
1 les hipó esis H0 : e = 1
con a
H1 : e = 0.5.
l.
2.
3.
4.
Calculeu les p obabili a s dels e o s de i pus I i de i pus
II
quan
la
egió de ebuig
és
Ro = { x
:::::
1}.
Calculeu les
p obabili a s
dels e o s de ipus I i
la
unció de po encia
quan
la
egió de ebuig és
R1 = {x:::; 0.07}.
Quina
de les dues p o es de inides
pe
les egions de ebuig dels
apa a s
1 i 2 ia ieu?
T obcu
el alo de e
pe
al
que
la
suma
dels e o s sigui mínima quan
la
egió de ebuig és
R,={x::;c}.
39
40
TEMA
3.
PROVES
D'HIPÓTESI
I
INTERVALS
DE
CONFIAN(:A.
3.2
El
lema
de
N
eyman-Pea son
3.2.1
La
.a. X segueix
una
de les següen s dis ibucions:
X
H1
H2
X1 0.2 0.1
X2
0.3 0.4
X3
0.3 0.1
X4
0.2 0.4
l.
Compa eu
la
aó de e sembla n;a
pe a
cada
alo possible de X i o deneu els alo s de X
d'aco d
amb
aques a
aó.
2.
U ili zeu el me ode de
la
aó de e sembla n;a de H1 e sus H2 a
un
ni ell a = 0.2.
De e mineu
la
egió de ebuig
ambé
pe
un
a = 0.5.
3.2.2
Donada
una
.a. X
amb
unció de
densi a
(x;B)={
0
~.x
3
e-x e
Ho:
B =
2,
H1
: B =
3.
basan -se
en
una
mos a
X1,
...
, X
11
d'aques a
població.
Si
X>
0
al amen
l.
De e mineu
un
p ocedimen ó que minimi zi
aa(ó)
+ b¡J(ó),
on
a(ó)
i
¡3(8)
són les
p obabili a s
d'un
e o
de
ipus
I i de
ipus
II, espec i amen , si
s'u ili za
el
p ocedimen
8.
2.
Calculeu el alo de
a(8)
pe a=
11
, b = 2 , n = 3.
3. Es
desi ja
a a
eali za
la
següen p o a d'hip6 esis:
Ho
: B
2:
2,
H1 : B < 2.
De e mineu un p ocedimen
UMP
amb ni ell de signi icació a0 = 0.05
pe
n = 3.
3.2.3
Sigui X1,
...
,
Xn
una
mos a
de
la
dis ibució de Poisson.
l.
U ili zeu el
me ode
de la
aó
de e sembla n;a pe a
con as a
H0 :
>.
=
>.
0 e sus
H1
:
..
= .. 1, a
on
>.1
>>.o.
Indicació
: La
suma
de
.a. independen s
de
Poisson
seguei:J;
una
dis ibució
de
Poisson.
2.
Feu els calculs
pe
n = 20,
>.
0 = 0.25 i
>.
1 = 0.5.
3.
Demos eu que el p ocedimen
oba
a
l'apa a
1 és uni o men més
po en
pe
a
con as a
Ho
:
>.
=
..
0, e sus
HA
: , >
>.
0.
......
-
-...
,.....
.-.
""
.....
.-
-
.....
.....
...
""
.....
--
~./
..-..·
....._
""·
-
"""'
"""'
-
""""
,....,
~
11
~¡
:¡
/
~,
/"'-
TEMA
3.
PROVES
D'HIPOTESI
I
INTERVALS
DE CONFIANQA.
•
3.2.4
l.
A
pa i
d'una
mos a
de
mida
n
10
d'una
dis ibució de Poisson de
pa ame e
,
desconegu , es ol
con as a
Ha:, =
0.3,
H1
: , = 0.4.
Cons ui"u
un
es
amb
ni ell a = 0.05. Calculeu la
po encia
d'aques
es .
És
UMP
pe
con as a
Ha:, =
0.3,
H1
: , > 0.3?
2.
En
una
mos a
d'una
dis ibució de Poisson
s'ha
obse a :
Con as eu:
dades O 1
eqüencies 38 36
Ha:, =
0.3,
H1
: , > 0.3.
2 3 4
17 8 1
3.2.5
En
base a
una
obse ació
d'una
.a. X olem e
un
es
pe
a
con as a
1
Ha: X
,..__,
N(O,
2),
H1
:
X,....,
N(O,
1),
amb
ni ell a = 0.01.
Quina
po encia
é
aques
es ?
3.2.6
Amb
una
obse ació
d'una
.a. X olem
con as a
les hipó esis
Ha
: X
é
densi a
1 1 2
a(x) =
J2"7[
exp-2x
,
H1 : X
é
densi a
1
Ji (x) = y'2 exp{ -Vz I x
J}.
Es udieu
pels di e en s alo s de a E
(O,
1)
quina
és la egió d'accep ació
d'un
es
UMP.
•
3.2.
7 Fem
una
obse ació
d'una
a iable
alea o ia
amb unció de
densi a
2
(.T,8) =
82
(8
-x)l(a,o)(x),
on
8 >
O.
olem
con as a
les hipó esis
on
Ha
< 81.
Ha:8=8a,
H1
: 8 = 81,
l.
Blisqueu
un
es
UMP
de ni ell a = 0.01. Calculeu la
po encia
d'aques
es .
41
48
TEMA
3.
PROVES
D'HIPÓTESI I
INTERVALS
DE CONFIAN(:A.
H1
:
µx
= .
µy
+
.6..
Especi iqueu
l'es adís ic
que u ili zeu, la dis ibució nul.la
d'aques
es adís ic,
la
egió de ebuig,i doneu
exp essions
pe
a
la
alla
de
la
p o a i
pe
a
la
po encia
de la p o a.
SOLUCIÓ:
L 'es adís ic que s 'u ili za a és:
.X-1-: -.6.
T=
(2
'
Spy
;:¡
que se
su
posa que segueix
una
dis ibució 2(
n-l),
i on
S 2 _ (n -
l)Sx
2 + (n -
l)S
2
p -y
2(n -
1)
So a
Ho : E(X -Y -
.6.)
= µx -
µy
-
.6.
=O
i V
a (
X -Y -
.6.)
=
~a
2
,
X -
'
-
.6.
segueix
una
dis ibució N(O,
~a
2
),
a
més
es po eu e que
S/
segueix
una
dis ibució
x2 amb
2(n-1)
g.
de
ll.
Pe
an :
T
so a
Ho segueix
una
2
(n-l).
Es
ebu ja Ho amb ni ell a si
JTI
2:
e =
2(n-l);a/2.
a=
P( eb. Ho -
Ho
ce ) =
P(ITI
2:
cJµx
=µy
+
.6.)
(J= P(accep. Ho -Ho als).
3.5.3
Siguin X1,
...
,Xm
i Y1,
...
,
Yn
dues mos es independen s
d'una
dis ibució
no mal
ambla
ma-
eixa
a iancia
desconeguda a2 i
amb
mi janes µ1 i µ2, espec i amen ,
ambé
desconegudes.
l.
Dona
un
alo
cons an
, (
-oo
<
,
< oo), cons ui:u
una
p o a
de
la
amb
m + n -2
g aus
de
llibe a
pe
a:
Ho
:
µ1
-
µ2
=
>.
e sus HA : µ1 -
µ2
:-
>..
2.
Hem
dona
una
ce a
d oga
A a 8 malal s selecciona s a
l'a za ,
i desp és
d'una
es ona
hem
mesu a
la
concen ació
d'aques a
d oga
en
la
sang, ob enin :
1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60,
1,
76.
Suposem
que
adminis em
una
al a
d oga
B a sis
malal s
di e en s i els
esul a s
ob ingu s
són:
1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.
Suposan
que
o es
les obse acions p o enen
d'una
dis ibució
no mal
amb
la
ma eixa
a iancia,
eu
una
p o a
d'hipo esi
pe
a
sabe
si
podem
conclou e que
la
mi jana
de
la
concen ació
de
la
d oga
B és més
g an
que
la
de la
d oga
A.
3.5.4
Conside em dues poblacions no mals
amb
mi janes µ1 i µ2 i a iances
a
i
ai
desconegudes i
suposem
que olem e
la
següen p o a d'hipo esi:
Ho
:
ai
::;
a~
e sus HA :
a
> a Supose n
que
p enem
una
mos a
de
g anda ia
16 de
la
p ime a
població
donan
com
a
esul a s
¿¡!1 X; = 84 i
2=!!
1
X[=
563, i
una
mos a
de
g anda ia
10 de la segona població
al
que
¿;~
1
Y;= 18 i
¿;~L
Y/=
72
l.
De e mineu
els es imado s de
maxima
e semblan ;a de a i de
a~.
2.
Feu
una
p o a de la F
amb
a = 0.05 i concluiu si H0
po
o no
ebu ja -se.
'""
""'
'""
'""
,......
'""
'""'
,....._
,..._
......
......
......
......
......
.....
.....
.....
'"'
·"""'
'""
""'
"""
....
-.
"""
,..,..
'"""
,-.,
,,...,_
TEMA
3.
PROVES
D'HIPÓTESI
I
INTERVALS
DE
CONFIAN<;A.
3.
Suposem
a a
que olem
con as a
H0 :
uí
::::;
3u~
e sus
HA
: u? >
3u~.
Desc iu e com
du a
e me
un
es
F
pe
aques es hipo esis.
3.
6
In e als
de
con ianc_;a
3.6.1
Con inuació
p oblema
2.8.1
Suposeu que X segueix
una
dis ibució exponencial d'espe anc;a
T.
P enem
una
mos a
de
g anda ia
n
d'aques a
dis ibució. Doneu
un
in e al de con ianc;a
pe
a
T.
3.6.2
Con inuació
p oblema
2.8.2
Suposeu que X segueix
una
dis ibució exponencial amb
axa
de allida
>..
P enem
una
mos a
de
g anda ia
n
d'aques a
dis ibució. Doneu
un
in e al de con ianc;a
pe
a
>..
3.6.3
Con inuació
p oblema
3.5.3
Siguin X1,
...
,
Xm
i Y1,
...
,
Yn
dues mos es independen s
d'una
dis ibució no mal
amb
la
ma eixa
a iancia desconeguda u2 i amb mi janes µ1 i µ2, espec i amen ,
ambé
desconegudes. Feu se i els
esul a s
de
la
p ime a
pa
de 3.5.3
pe
a
dona
un
in e al de con ianc;a
pe
a
la
di e encia
en e
les
dues mi janes de les dues concen acions amb
un
ni ell de con ianc;a del
903.
3.6.4
Con inuació
del
p oblema
2.2.4
i
2.7.3.
Si les eqüencies gene iques
es an
en equilib i, els geno ipus AA,
Aa
i
aa
oco en
amb
p obabili a s
(1
-8)2, 28(1 -
B)
i 82 espec i amen . A
pa i
de les dades del
p oblema
2.2.4, i basan - os en
la
llei
asimp o ica
de !'es imado de maxima e semblanc;a de
e,
doneu
un
in e al de con ianc;a
ap oxima
al
99%
pe
a
e.
3.6.5
Desp és
d'un
ac amen
con a
l'obesi a , els pesos en Kg. de ui dones e en 58, 50, 60, 65, 64,
62, 56, 57. Suposeu
no mali a .
l.
T obeu
un
in e al de con ianc;a al 0.95 pe
la
mi jana
saben que u = 3.
2.
T obeu
un
in e al de con ianc;a al 0.9 pe
la
mi jana
si u és
clesconeguda.
3.6.6
Conside em
una
mos a
de
midan,
X1,
...
, X
11
d'una
llei no mal de
mi jana
µ i a iancia u2 = 16.
T obeu
el
meno alo
den
pe que [X -
1,
X+
1]
sigui
un
in e al de con ianc;a
pe aµ
de ni ell 0.95.
3.6.
7 Es an 5 de e minacions de les
quan i a s
d'a gen
d'un
mine al i
s'ob é
5.2, 4.8, 5.3, 5.7 i 5.0 mg.
d'a gen .
De e mineu in e als de con ianc;a amb ni ell de 0.95 de la
mi jana
eo ica
(quan i a
d'a gen )
i de
la
a ianc;a eo ica (p ecisió de l'expe imen ). Suposeu no mali a .
3.6.8
Es calcula que
la
quan i a
de nico ina que enen els ciga e s de
de e minada
ma ca
segueix
una
dis ibució N(30, u2
).
Aga em deu ciga e s
d'aques a
ma ca
a
l'a za
i ob enim 1
1
0
I:~=l
(Xi
-30)
2 = 12.4
T obeu
un
in e al de con ianc;a pe a u
amb
ni ell de con ianc;a de 0.9.
3.6.9
Es p en
una
mos a
de mida 3
d'una
a iable alea o ia no mal i
dóna
3, 4 i
5.
De e minen
un
i11 0 al
de con ianc;a de u2 al
90
pe cen .
49
50
TEMA
3.
PROVES
D'HIPÓTESI I
INTERVALS
DE
CONFIANQA.
3.6.10
Un
ma e ial
s'empaque a
en
caixes
pe
dos p o eedo s A i
B.
Els pesos de les caixes
d'
A p esen en
una
dis ibució
N(µ
1, 0.072) i les de B
una
N (µ2, 0.042
).
Una
mos a
de 100 caixes
d'
A
dóna
una
mi jana
de 0.99 Kg., i
una
mos a
de 300 caixes de B dóna
una
mi jana
de 1.01 Kg. De e mineu
un
in e al de
con ian ;a
pe
a µ1 -µ2 al 95
pe
cen .
3.6.11
Conside em dues mos es inde¡¡enden s X1,
...
, Xn, Y1,
...
,
Yn
de dues poblacions de lleis
N(µ
1, u2)
i
N(µ
2, u2) espec i amen . T obeu
un
in e al de con ian ;a
pe
µ1 -µ2
amb
un
ni ell de con ian ;a del
0.95 si
Sl
= 3.42, S} = 2.57, X = 23.36, Y = 25.2, n = 40.
3.6.12
Sigui X1,
...
,
Xn
una
mos a
de
midan
d'una
llei uni o me
U(O,
B),
B
>O.
Designem
pe
X(n)
el máxim de X1,
...
, Xn. Calculeu
la
dis ibució de X(n)/B, i
u ili zeu
aques
esul a
pe
a cons ui
un
in e al de con ian ;a de 8 de ni ell 0.9.
3.6.13
Sigui X1,
...
, Xn
una
mos a
d'una
exponencial
de
mi jana
A desconeguda.
Quan
ha
de
ale n
pe
al
que l'in e al de con ian ;a al ni ell 95% ob ingu u ili zan
la
desigual a de
Txebi xe
pe
a
la
mi J"ana poblacional sigui [2ªXn 2
axn
]?
21
'
19
.
3.7
Exe cicis
i
p oblemes
de
epas
3.
7.1
Sigui X1,
...
, X25
una
mos a
de
la
dis ibució no mal
amb
mi jana
µ desconeguda i a iáncia
igual a 100.
l.
T obeu
la
egió de ebuig
pe a
un
p ocedimen
ambo:=
0.10 de
Ha
:
µ=O
e sus
HA
: ¡ = 1.5.
2.
Quina
és
la
po encia
d'aques
p ocedimen ?
3.
Repe iu
el ma eix
pe
o:
= 0.01.
4. Feu
la
p o a de
la
aó de e semblan ;a gene ali zada
pe
a
con as a
Ha
: µ = O e sus
HA
:
p.
-:/=
O
pe
a
o:
= 0.10.
5. Feu
una
g á ica de
la
undó
de po encia en unció de
µ.
6.
Repe iu
el
ma eix
pe
o:
= 0.05.
7.
Repe iu
el
ma eix
pe
n = 100.
3.
7
.2
El
nomb e X de ega.des que es
po
encend e i
apaga
un
endoll ins que alla segueix
una
dis i-
bució geome ica amb
pa áme e
p.
Donada
una
mos a
alea o ia de 10 endolls i
dona
que la
suma
de
egades del
o al
dels
10
endolls que es an pogue encend e i
apaga
ins que an alla a se de 15169
egades, ebu ja ieu l'hipo esi
Ha
: p = 0.00005 en a o de
!'al e na i a
H1 : p > 0.00005
amb
un
ni ell
de signi icació del 0.05?
3.
7.3
Sigui X1,
...
,
Xn
una
mos a
d'una
dis ibució que é
pe
unció de densi a :
(x;
B)
=
Bx
11
-1 O < x < 1
a on el
pa áme e
B > O és desconegu . Es desi ja sabe
si
es
po
conclou e que B > 1 basan .-nos en
una
mos a
de
g andá ia
8.
l.
Plan ejeu
o malmen
el
p oblema.
""'·
,....,
....._
'""'
--
"'
'""'
'"'"'
"""'
-.
.....
....
""'
""'
.....
....
....
......
.....
,...__
'"'
....
""'
....
......
......
......
·'""'
""'
TEMA
3.
PROVES
D'HIPOTESI
I
INTERVALS
DE
CONFIAN(JA.
2.
Demos eu
que
la
unció de
densi a
conjun a
de
la
mos a
é
una
aó
de e sembla n;a
mono ona
en l'es adís ic
T.
P ecisseu l'exp essió
d'aques
es adís ic.
3.
Demos eu
que exis eix
una
p o a que és uni o memen més
po en
(UMP) i de e mineu gene icamen
la
egió de ebuig
d'aques a
p o a.
4.
Es
desi ja
conc e a
la
egió de ebuig
pe
un
ni el! de signi icació a0 = 0.05. Indicació: Sigui X
una
.a.
dis ibuida
segons
una
llei
gamma
de pa ame es (n, ). Cal u ili za
la
següen elació:
P ob(X
:::;
a)
= P ob(Y;:::: n)
on Y és
una
.a. que es dis ibueix segons
la
llei
d'una
Poisson de
pa ame e
a , i u ili za les aules
de
la
Poisson.
3.
7.4
Quan
les
mo s
a
causa
d'una
malal ia
a a, pe o no con agiosa, esde enen
alea o iamen
i uni-
o memen dins
d'una
població, el nomb e de
mo s
en
una
egió
amb
població igual a P
(ésa
di ,
amb
un
nomb e
d'habi an s
igual a
P)
es
dis ibueix con
una
llei de Poisson de
mi jana
µP.
l.
Suposem que el nomb e de
mo s
obse ades en n egions
amb
poblacions P1, P2,
.••
, Pn són
Y1, Y2,
...
,
Y;,.
De i en
una
exp essió pel maxim de e sembla n;a de µ. Anomeneu-lo {l.
2.
La
següen
aula
dóna
el nomb e d'homes mo s de cance de e ge (el cance de e ge es
po
con-
side a
una
malal ia
a a)
du an
4 anys a les egions
d'On a io.
Regio ns pi Mo s
Regió 1 423.447 37
Regió 2 175.685
11
Regió 3 1.245.379
72
Regió 4 413.465 40
Regió 5 216.476
12
Regió 6 242.810
14
Regió 7 213.591
16
Regió 8 166.045 9
Regió 9 265.880
15
Regió
10
116.371
12
T obeu
{l
pe
aques es dades i calculen
el
nomb e de mo s espe ades a
cada
egió. C eieu que
aques es dades són consis en s
amb
les suposicions e es a
l'apa a
1?.
3. Suposem
a a
que
Y1,
Y2,
...
,
Y;,
són a iables alea o ies de Poisson de mi janes
>.
1,
>.2,
...
,
An
i siguin
P1,P2,
...
, Pn
cons an s
posi i es conegudes. Conside en la hipo esi:
Ho:
>.1
= µP1,
>.2
= µP2,
...
,
An
=
µPn
on µ és desconegu . Demos eu que
la
p o a de la aó de e sembla n;a gene ali zada
pe
con as a
aques a
hipo esi és n
-2logA
=
2I::Y;log(Y;/~i)
i=l
cm
~i
=
¡1Pi
i {l és !'es imado de
maxima
e semblan<_;a
oba
a
l'apa a
l.
51
52
TEMA
3.
PROVES
D'HIPÓTESI
I IN'TERVALS
DE
CONFIANQA.
4.
Apliqueu
aques
úl im
esul a
pe
conclou e si les axes de
mo
(p opo ció de
mo s
a
cada
població) de les
10
egions són p opo cionals a les poblacions de les egions.
3.7.5
Disposem de 100 maquines, cadascuna de les quals ab ica
un
lo de 40 peces. Les peces
poden
se
de dues classes: A i B; i
cada
maquina
ab ica
un
30
pe
cen de peces de ipus
B.
P enem
una
mos a
de deu peces de
cada
lo i
s'ano a
el nomb e de peces de ipus B. Els esul a s són:
núme o de peces ipus B O 1 2 3 4 5
~
6
núme o de mos es 1
10
27 36
25
1 O
Dona
que no
sabem
si les mos es es a en p end e amb eposicio o sense,
con as eu
amb
un
ni ell
a=
0.1
cadascuna
d'aques es hipo esis.
•
3.
7.6
Tenim
una
mos a
de
midan
d'una
.a. X
amb
dis ibució uni o me en {1,
...
,
N}
on N
és
un
nomb e
na u al
desconegu .
Dona
un
na u al
N0, cons uiu
un
es
pe
a con as a :
Ho: N
=No,
H1:
N
:/:-No.
~
""
--
........
........
""
""
--
,..._
-
""'
......
......
......
""
""
......
-
........
,.....,
"'"'
,....
,....
.....
......
-
-
~
,,...,,
,--_
,_...,,
TEMA4
P o es
pe a
la
alidesa
d'un
model
4.1
La
p o a
d'ajus amen
de
la
x2
4.1.1
La
dis ibució de Poisson es
po
u ili za
coma
model de a ic quan aques és lleuge ,
ja
que es
basa ia
en
el e que si
la
axa
d'a ibada
és ap oximadamaen cons an i el a ic
no
és gai e dens
(ésa
di , els co xes
poden
ci cula
independen men
un
dels al es),
la
dis ibució del nomb e de co xes
en
un
in e al de
emps
dona ,
o en
una
a ea
donada, és ap oximadamen Poisson. A con inuació
donem
una
aula
que
mos a
el
nomb e de gi s a
la
d e a
du an
300 in e als de 3 minu s a
un
enc euamen
dona .
Aques s 300 in e als
es an
dis ibu1 s
du an
a ies ho es del
dia
i a is dies de
la
se mana.
Ajus eu
una
dis ibució de Poisson i eu
una
p o a
d'ajus amen
usan l'es adís ic x2 de Pea son.
11
equencia o 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
14 30 36
68
43 43
30 14
10
6 4 1
12
13+
1 o
4.1.2
En
un
es udi
ecologic sob e
el
compo amen alimen ici dels ocells, es a
comp a
el
nomb e
de
sal s
(n)
en e
ols
pe
a uns
quan s
ocells. A
pa i
de les dades següen s,
ajus eu
la
dis ibució
geome ica,
obeu
un
in e al de con ia n;a pe a
pi
eu
una
p o a
d'ajus amen .
n
equencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
48
31
20
9 6 5 4 2 1 1 2 1
4.1.3
La
següen
aula
dóna
el
núme o
de mo s degu a caigudes acciden als
pe a
cada
mes de
l'any
1970.
T obeu
alguna
e idencia
pe
a
pensa
que
el
núme o de
mo s
pe mes no es dis ibueix uni o me-
men ?
T obeu
alguna
endencia
es acional?
mes Gene Feb e Man; Ab il Maig
Juny
núm.
mo s
1668 1407 1370 1309 1341 1338
mes Juliol Agos Se emb e
Oc ub e
No emb e Decemb e
núm.
mo s
1406 1446 1332 1363 1410 1526
53
54
TEMA
4.
PROVES
PERA
LA
VALIDESA
D'UN
MODEL
4.1.4
Conside eu
una
p o a
d'ajus amen
pe a
una
dis ibució mul inomial
amb
dues classes.
Deno em
el
núme o
d'obse acions a
cada
classe
pe
XI
i X2 i les
p obabili a s
de
cada
classe
pe
PI
i
P2-
L'es adís ic
x2 de
Pea son
e
dona
pe
2
Q = L (Xi -
npi)2
np;
Demos eu
que
i que
so a
Ho:
PI=
p~,
Q
'""xi-
i=I
Q = (XI -
npI)
2
npI
(1
-
PI)
4.1.5
Al 1965,
un
dia i
a publica
una
his o ia
sob e
un
es udian
que a i ma a que
ha ia
lle n;a
una
moneda
17950 egades i que
ha ia
ob ingu
9207 ca es i 87 43 c eus.
l.
Rep esen a
aques
esul a
una
disc epancia
impo an
sob e
la
hipo esi H0 : p = 0.5?
2.
Un
es adís ic
es a
posa
en
con ac e
amb
ell i
li
a
p egun a
que com
ha ia
e
l'expe imen .
L'es-
udian
pe
es al ia -se
emps
ha ia
e
g ups
de 5 monedes i
ha ia
egis a
els següen s
esul a s:
núme o
ca es
eqüencia o 1
100 524 2 3 4 5
1080 1126 655 105
Són
aques es
dades
consis en s
amb
l'hipo esi que les monedes
e en
equilib ades?
3.
Són aques es
dades
consis en s
amb
l'hipo esi que les 5 monedes enien
la
ma eixa
p obabili a
de
ca es
enca a
que
aques a
no
os necessa iamen 0.5?
4.1.6
En
una
mos a
alea o ia
de 1800 alo s
d'una
dis ibució uni o me a
l'in e al
(O,
1), es a
oha
que
391 alo s es a en
en e
O i 0.2; 490 alo s
en e
0.2 i 0.5; 580 alo s
en e
0.5 i 0.8; i 339 alo s
en e
0.8 i
l.
Con as eu
l'hipo esi nul.la H0:
La
mos a
p o é
d'una
U(O,
1), mi janc;an
una
p o a
d'ajus amen
de
x2
amb
p obabili a
d'un
e o
de
ipus
I igual a 0.01.
4.1.
7
La
dis ibució de les alc;ades deis homes
d'una
g an
ciu a
se
suposa
que es
dis ibueix
no malmen
amb
mi jana
173 cm. i des iació
es anda
2.54 cm. Vam aga a
una
mos a
de 500 homes
d'aques a
ciu a
i am
ob eni
la
següen dis ibució: 18 homes
mesu a
en menys de 168 cm.; 177 homes
mesu a
en
en e
168 cm i 171 cm.; 198 homes mesu a en
en e
171 cm i 174 cm.; 102 homes
mesu a en
en e
174 cm i
178 cm.; 5 homes mesu a en més de 178 cm.
l.
Penseu
que
aques a
mos a
és
ep esen a i a
deis homes que iuen
en
aques a
cin a
en el que a
e e encia a l'alc;ada?.
2.
Abans
d'ha e
ag upa
en
in e als aques es alc;ades
es
a
oba
que
la
mi jana
d'aques .s 500 homes
e a
Xn
= 171.7
cm
i la a ianc;a
mos al
"'.'.:I
S2 = 2.54cm2.
To neu
a
con es a
la
p egun a
de
l'apa a
a) en se i
a a
la
no a in o mació.
-.
-.
.....
-.
"""
-.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
""'
.....
-.
.....
.....
.....
.....
.....
-
'"'
-.
,.;.,.::·
..
,
.~
.~
"
TEMA
4.
PROVES
PERA
LA
VALIDESA
D'UN
MODEL
4.1.8
La
següen
aula
dóna
els comp a ges obse a s
en
in e als
d'un
segon a l'expe imen
du
a
e me
pe
Be kson sob e l'emissió de pa ícules
a.
Es
ac a
de comp a a
si
la
dis ibució de Poisson
ajus a
be aques es dades.
Les dades són les següen s:
n
obse a o
5267 1
4436 2
1800 3
534
4.2
La
p o a
de
Kolmogo o -Smi no
4
111
5+
21
4.2.1
La
següen
aula
dóna
50 alo s. Feu se i
la
p a a
de Kolmogo a -Smi no
pe
a
con as a
que:
l.
Les 50 dades p a enen
d'una
dis ibució no mal de
mi jana
26
i de a ian<;a
4.
2.
Les 50
dades
p a enen
d'una
dis ibució no mal de
mi jana
24 i de a ian<;a
4.
25.088 26.615 25.468 27.453 23.845
25.996 26.516 28.240 25.980 30.432
26.560 25.844 26.964 23.382 25.282
24.432 23.593 24.644 26.849 26.801
26.303 23.016 27.378 25.351 23.601
24.317 29.778 29.585 22.147 28.352
29.263 27.924 21.579 25.320 28.129
28.478 23.896 26.020 23.750 24.904
24.078 27.228 27.433 23.341 28.923
24.466 25.153 25.893 26.796 24.743
Mos a
1,
Dades exe cici 4.2.1
4.2.2
Se seleccionen
25
obse acions (Mos a
2)
a
l'a za
de
la
població 1
amb
dis ibució desconeguda
F.
També
seleccionem 20 obse acions
(Mos a
3) de
la
població 2
amb
unció de dis ibució desconeguda
G.
Feu se i
la
p a a
de Kolmogo a -Smi no
pe a
con as a
que:
l.
Les dues poblacions
enen
la
ma eixa
dis ibució.
2.
Si X
deno a
la
.a. que ep esen a
la
població 1 i Y la .a. que ep esen a
la
població
2,
eu
la
p a a
d'hipo esi
que les uncions de dis ibució de X + 2 i de Y són iden iques.
3. Amb
la
ma eixa
no ació que a
l'apa a
an e io , eu la p a a d'hipo esi que les uncions de dis i-
lmció de X i de
3Y
són iden iques.
061 0.29 0.06 0.59 -1.73
-0.74 0.51 -0.56 -0.39 1.64
0.05 -0.06 0.64 -0.82 0.31
1.77 1.09 -1.28 2.36 1.31
1.05 -0.32 -0.40 1.06 -2.47
2.20 1.66 1.38 0.20 0.36
0.00 0.96 1.56 0.44 1.50
-0.30 0.66 2.31 3.29 -0.27
-0.37 0.38 0.70 0.52 -071
Mos a
2,
Dades exe cici 4.2.2 Mos a
3,
Dades exe cici 4.2.2
55
56
TEMA
4.
PROVES
PERA
LA
VALIDESA
D'UN
MODEL
4.2.3
Un
g up
de
23
a es que
s'ha
u ili za
amb
inali a expe imen al
é
un
pes mig de µ0 = 370.6 g
i
una
des iació
es anda
a0 =
29.l
g . Les dades són les següen s:
356.4
346.6
365.9
362.5
314.2
384.4
394.7
394.8
297.4
356.0
370.7
404.3
387.6
370.8
412.0
305.1
434.2
349.1
385.l
365.2
344.5
383.2
377.l
U ili zeu
la
p o a de Kolmogo o -Smi no
pe
a decidi si
la
dis ibució dels pes d'aques es a. es és
N(µo,ao).
4.2.4
Una
agencia de ia ges ol
de e mina
si
la
du ada
de les
ucades
ele oniques dels seus clien s
segueix
una
dis ibució exponencial.
La
da e a
se mana
aques a
agencia a en egis a les
du ades
de
o es
les
ucades
i ob ingué els següen s esul a s en segons:
4 6 5 8 9
10 12
8
16
20
24 27
33 37
43
50 58
68
70 78
88 100 120 130.
C eieu que aques es dades indiquen que
la
du ada
de les ucades ele oniques queden go e nades
pe
una
dis ibució exponencial.? U ili zeu
la
p o a de Kolmogo o -Smi no
pe a
esold e-ho.
4.3
Pape s
i g a ics
de
p obabili a
4.3.1
Els
emps
de alla en ho es
d'una
componen
d'un
a ió són les següen s:
0.88 1.33
1.00 2.50 1.32
0.50 0.22
3.00 1.54
1.76
l.
C eieu que el model de Weibull és ap opia ? Raoneu la espos a.
2.
En
cas a i ma iu, es imeu el alo deis
pa ame es
a i
(3.
3.
Quina
p opo ció de componen s uncionen co ec amen més
d'una
ho a?
4.
Quin
és el pe cen il del
103?
4.3.2
Les du acions en ho es de 37 componen s
han
sigu les següen s:
10
15
20 22
32 40
42 46
48
51
60
71
76
87
93
105 112 116 127
131
172 195 207 219 238 260 300 342 382 435
460 490 520 600 630 670 770
......
......
-.
.-._
.-._
.....,
......
....
....
....
....
....
-.
......
......
~.
~.
.......
~
""'
......
......
.....
-
....
"'
TEMA
4.
PROVES
PERA
LA
VALIDESA
D'UN
MODEL
l.
Feu se i
un
pape
de
p obabili a
semiloga í mic
pe
a eu e si aques es du acions són
una
mos a
d'una
llei exponencial de
pa ame e
e.
Calculeu amb
l'ajuda
del g a ic el alo del
pa ame e
e .
2.
Calculeu
a a
el alo del
pa ame e
e mi jam;an
el
me ode de
la
maxima
e sembla n;a.
3. Feu
una
p a a
x2
p enen
com a alo de e el
oba
a
l'apa a
an e io .
4.
Discu iu les di e encies
en e
c)
i d) i aoneu quina de les dues p o es és més adequada.
4.3.3
Es conside en els cicles de uncionamen de
15
elés elec ics obse a s ins a alla ,
on
el c i e i
de alla consis eix
en
supe a
un
de e mina
ni ell de esis encia al con ac e. Els
emps
de alla obse a s
són:
6.2
14.4
20.6
9.0
14.7
23.0
10.2
16.l
26.7
12.l
12.6
18.6 20.5
27.6 34.3
Ajus eu
un
model de Weibull
pe
aques es dades mi ja n;an :
l.
Un
pape
de
p obabili a
2.
El
me ode
de
la
maxima
e sembla n;a
(i
l'aju
del
paque
es adís ic que p e e iu). Calculeu
en
ambdós
casos els
pa ame es
a i
J.
4.4
Exe cicis
i
p oblemes
de
epas
4.4.1
Les dades següen s ep esen en
la
du ació en ho es de
20
al ules elec iques:
7.2
3.8
29.8
37.8
8.1
57.8
49.6
23.2
84.6
21.4
72.1
12.8
67.2 41.1
11.4 17.5
2.9 42.7
Mos a
4,
Exe cici
4.4.1
7.4
33.4
Podem
accep a
amb
e o de
p ime a
especie meno que 0.01 que
la
du ació d'aques es al ules
segueix
una
dis ibució exponencial?
4.4.2
Con as eu
mi jan ;an
un
es de Kolmogo o si les dades del p oblema
4.4.l
p o enen
d'una
dis ibució exponencial de
pa ame e
0.03.
57
