Problemes d'Estadística Matemàtica 2

r \f ANíll\fl\f:) 30 \f81N8~1110d 1\f11St:l3i\ 1 Nn OS9L890017~ 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 888¡011q19 \IANíllV'l\l'.l 30\l'.JIN'.l~lllüd1\111883/\INíl 31 !VIN eA!ieJedo 9¡:>ec1isaAut ! e:>!lS!pe¡s3,p ~uawe:µedaa ope:>!lªO OJPªd zaw9E) adn1epent:J uauoN uoa.ue~ i 1 3 NI o 1 1 "- ! i '- 1 ! '- .: .. i ·..¡,_· 1 '-- :- -- , - Problemes d'Estadística Matematica 2 Diplomatura d 'Estadística Guadalupe Gómez Ramon N onell Pedro Delicado 2on Quadrimestre 02-03 -, . '""' Problemes de Inferencia Estadística Llicenciatura de Matematiques Ramon N onell Guadalupe Gómez Pedro Delicado 2on Quadrimestre 02-03 1 u ~, ~ Aquesta col·lecció de problemes correspon a les assignatures d' Inferencia Estadística (IE) de la Llicenciatura de Matematiques i d'Estadística Matematica 2 (EM2) de la Diplomatura d'Estadística, de la Universitat Politecnica de Catalunya. Ates que aquestes dues assignatures, situades en el quart quadrimestre de la corresponent carrera, tenen un programa molt semblant, s'ha cregut oportú fer una única llista de problemes. Tot i així, els objectius d'ambdues materies no són identics i aquest fet, tal com s'indica més avall, s'ha contemplat en l'esmentada col-lecció. - La col·lecció esta subdividida en cinc temes que corresponen a: Tema 1: Tema 1 d'IE i Tema 1 d'EM2 Tema 2: Tema 3 i 4 d'IE i Tema 2 d'EM2 Tema 3: Tema 5 d'IE i Tema 3 d'EM2 Tema 4: Tema 6 d'IE i Tema 4 d'EM2 Tema 5: Tema 5 d'EM2 Els problemes precedits de • s'han pensat fonamentalment per als alumnes de la Llicenciatura de l'vlatematiques. Els problemes precedits de '9 són adients per a la Diplomatura d'Estadística. Tots els problemes numerats sense cap símbol especial són apropiats per a ambdues carreres. El nombre de problemes de cada tema és molt superior al que es podra desenvolupar a classe. És, pero, altament recomanable que l'alumne intenti fer el maxim d'ells i que consulti amb el/la professor/a ele problemes sobre la solució trabada. S'han incorporat solucions d'alguns problemes representatius de cada tema. Aquesta col·lecció de problemes és fruit de la feina realitzada pels professors Guadalupe Gómez, R.amon Nonell i Pedro Delicado des de l'inici de les esmentades carreres. Diverses col·leccions i fotocopies han precedit la que ara presentem. També s'han incorporat la majar part dels problemes d'examen dels darrers anys. Un nombre important de becaris i professors associats ha col·laborat en els darrers anys en la impartició de les classes de problemes i en majar o menor mesura en la elaboració de l'esmentada c.ol·lecció. A tots ells el nostre sincer agra.iment. Volem agrair especialment l'esfon; realitzat per Maria Albareda, Ramon Cleries, Jan Graffelman i Josep Anton Sánchez, responsables de la majar part de solucions. TEMA 1 Propietats d 'una mostra aleatoria 1.1 Conceptes basics. Sumes de variables aleatories. Famílies exponencials 1.1.1 Suposeu que les v.a. X1, ... , Xn formen una mostra aleatoria simple d'una distribució contínua en la recta real amb funció de densitat f. Trobeu l'esperarn;a del nombre d'observacions en la mostra que estaran a dins d'un interval especificat a _:::; x _:::; b. 1.1.2 Demostreu que la distribució gamma pertany a la família exponencial. 1.1.3 Proveu que les següents són fa.mílies exponencials. l. Família normal amb algun dels parametres µ o u coneguts. 2. Família gamma amb algun deis parametres a o (3 coneguts. 3. Família beta amb algun deis parametres a o (3 coneguts. 4. Família Poisson. 5. Binomial negativa amb el parametre r conegut i O< p < l. 1.1.4 Considera la família de distribucions norma.is amb esperanc;a 8 y variancia 82, on 8 pot prendre qualsevol valor real. Proveu que aquesta família és una família exponencial. 1.1.5 Siguin X1, ... , Xn v.a.i.i.d. amb distribució dins d'una família exponencial. Proveu que la distribució conjunta de las n variables també pertanye a la família exponencial. 1.1.6 La distribució de Weibull, pertany a la família exponencial? I la distribució U(a, b)? 1.1.7 Sigui X una v.a. amb distribució N(O, 1). l. Sigui A.= {IX l.S 0.7} i B = {IX 12'. 0.7}. Quin conjunt té probabilitat més gran? 2. Que és més gran: P(-0.5 _:::; X _:::; 0.1) o P(l ::; X ::; 2)? 5 6 TEMA l. PROPIETATS D'UNA MOSTRA ALEATORIA 1.2 Convergencia quasi-segura • 1.2.1 Sigui {Xn, n EN} una successió de v.a. independents tals que P(Xn =O) = 1 - ~ i P(Xn = 1) = ~· Demostreu que la successió convergeix a zero en probabilitat pero no q.s., i que la subsuccessió { Xn2, n EN} convergeix a zero q.s. • 1.2.2 Sigui {Xn, n EN} una successió de v.a. independents tals que a) 1 P(Xk = ±k = 2. Sigui Sn = ¿7= 1 Xi. Demostreu que pera o:< &, 5; ---*O q.s. ....... ...... ...... ,...._ • 1.2.3 Sigui {Xn,n EN} una successió de v.a. i.i.d. amb distribució uniforme a l'interval (O, 1]. Sigui ,..._ Zn = (f17= 1 Xi)~ la mitjana geometrica de X1, ... , Xn. Demostreu que Zn ---* e q.s., on e és una certa constant. 1.3 Convergencia en probabilitat. La llei deis grans nombres 1.3.1 SiguiX 1 ,X2, ... unasuccessiódev.a. independentstalsqueE[Xi] =µperatotii Var(X;) =o}. Demostreu que si ,;2 ¿~ 1 af ---* O quan n -+ oo, aleshores aleshores Xn ---* µ en probabilitat quan n-+ OO. SOLUCIÓ: Fer de/inició: Xn convergeix en probabilitat a X si per a tot f. 2'. O, limn-+oo P(IX,, - XI 2: E) = O. Volem veure que donat f. ;:::: O, lim F(IXn - µ¡ 2'. E) = O. n-+oo Fent servir la desigualtat de Chebyshev tenim que -Var(Xn) _ 1 ~ / ( ·) _ 1 ~ 2 O~ P(IXn - µI 2'. E)~ 2 - 22 L., i ar X, - 2? L., a;. f. E n i=l E n~ i=l Fer hipotesi sabem que 1 n - '"' •) n2 L., a¡ ---* O, 1.=l i per tant lim b . ,.1,,. "'n . n-+oo n = hrn nL.,i=l af n-+oo f.2 =O. -- - -. ""'' "' .... ""' -. - - ""' - .- - - ....... j ,...., ~ ~ TEMA l. PROPIETATS D'UNA MOSTRA ALEATORIA Podem emprar el següent Teorema: OS an S bn bn ~O, aleshores an ~O. Defi.nint an = P(IXn -µj 2". E), conclu.im que P(jXn - µI 2". E)-----+ O ·i, per tant que X n -----+ µ, en probabilitat. 1.3.2 Teorema de Slutsky Si X,, -----+ X en llei i Yn -----+ e en probabilitat, on e és una constant, aleshores: 1. X.,, + 1~ 1 -----+ X +e en llei. 2. Xnl:,1 -----+ cX en llei. Indicació: estudieu primer el cas e= O. SOL U CIÓ: APARTAT 1 (Bickel i Doksum, 1917, teorema A.14.9). Comencem per escriure F(x,.+Yn¡(t) = P[Xn + Yn S t, Yn 2:: e - t:] + P[Xn +Y,, S t, Yn <e - t:]. (1.1) Sigui t un punt de continuitat de F(x +e). Donat que una Junció de distribució té com a maxim una qu.antitat numerable de punts de discontinuitat, per cada t podem triar E positiu. i arbitraríament petit de manera que els dos punts t i t + E siguin punts de continu.itat de Frx+c). Ara, per (1.1), F(Xn+Yn)(t) S P[Xn S t - e+ t:] + P(jY,1 - cj > t:]. Per altra banda, P[Xn S t -C + t:] = F(Xn+c)(t + é). Corn que F(xn+c)(t) = P[Xn S t - e]= Fxn (t -e), llavors Xn +e-----+ X+ e en llei. Ai.T{, lim sup F(xn +Yn)(t) S lim F(xn +c)(t + t:) + lim P[IYn - cj > t:] = Fcx+c) (t + t:). n n n A nalogament, 1 - F'(xn+YnJ(t) = P[Xn + Yn > t] S P[Xn > t -e - t:] + P(IY,, - cj > t:], i per trmt, liminf F(xn+Yn)(t) 2". limF(xn+c)(t -t:) + limP(jl':,, -el> t:] = Fcx+c)(t-t:). n n ri 7 8 TEMA l. PROPIETATS D'UNA MOSTRA ALEATORIA D'aixo es segueix que F(x+c) (t - e) :S lim inf F(xn+Yn) (t) :S lim sup F(Xn +Yn) (t) :S Fcx+c) (t +e). n n Donat que els valors de e poden anar cap a O i que F(x+c) és continua a t, el resultat queda provat. APARTAT 2: Considerem en primer lloc e = O. Sigui k > O tal que -k i k siguin punts de continuitat de Fx (k, -k E C(Fx )). Sigui E> O. AixÍ, T C C P[IXnYnl >e]= P[IXnYnl >E, llnl ::::: kl + P[IXnYnl >E, IYnl > kl:::; P[IXnl > k] + P[IY~,1 > ~] = Fxn (-k) + (1 - Fxn (k)) + P[IYnl > ~]. Llavors, O :S limsupP[IXn1~,I > s]::::; Fx(-k) + (1Fx(k)) = P(\XI > k), n per tot k tal que -k i k siguin punts de continuitat de Fx. Podem fer k nar cap a l'infinit i per tant P(\X\ > k) anira cap a zero: O :S limsupP[\XnYnl >e] :S inf P(\XI > k) =O. n {k:k,-kEC(Fx)} Llavors, limn P[IXnYnl >e] =O i es té que X 11 Y,, -----+O en probabilitat, i aixo implica que X n Yn -----+ O en llei. Veiem ara el cas general, e of. O. Observe·u que XnYn = XnY,, - Xnc + Xnc = Xn(Y,, - e)+ Xnc. Com que (Yn - e) -----+ O en probabilitat, acabem de provar que Xn (Yn - e) -----+ O en probabilitat. Per altra banda, cXn -----+ cX en llei. En efecte, com que Fcx(z) = P[cX :S z] = P[X :S z/c] = Fx(z/c), z és punt de continuitat de Fcx si i nomes si (z /e) és punt de continuitat de Fx. Sigui z punt de continuitat de Fcx. Llavors, Fcxn (z) = P[cXn :S z] = P[Xn :S z/c]-----+ P[X :S z/c] = P[cX :S z] = Fcx(z). Aleshores, aplicant el apartat 1, es té que (Xn(Y;, - e))+ (cX 11 ) -----+O+ cX en llei, com voliem provar. '"""' ,...._ """"' ,..._ -.. ,..... ,,..... """ -. ...... ...... """' -. """ """ """ - ...... ..... """ -. ,.., ,--- ~ ..,,...., TEMA l. PROPIETATS D'UNA MOSTRA ALEATORIA 1.3.3 Sigui {Xn, n EN} una successió de v.a. i.i.d. amb moment de segon ordre finit. Definim Y: -2 n n - n(n+ 1) ¿ixi. i=l Demostreu que 1~,. convergeix a E[X 1] en probabilitat. 1.3.4 Sigui {X 11 , n EN} una successió de v.a. tals que {Xn} convergeix en probabilitat a una constant a. Suposem que g és una funció contínua en a. Demostreu que {g(Xn)} convergeix en probabilitat a g(a). • 1.3.5 Sigui {Xn, n EN} una successió de v.a. i.i.d. amb densitat J (x) = { ~-(:r-a) si x ~a. si x <a. Si 1 ~, = rnin {X 1, ... , X11 }, demostreu que 1~ 1 --+ a en probabilitat. 1.4 Convergencia en distribució. El teorema central del límit 1.4.1 Sigui {Un, n EN} una successió de v.a. i.i.d. definides per P(Un = 1) = p, P(Un = -1) = q, (O::; p::; l,p + q = 1). Definim la successió: l. Calculen E[V;,J. n Vi = U1, Vi= U1U2, ... , v;, = II uk. k=l 2. Trobeu Pn i q11 on Pn = P(Vn = 1) i Qn = P(V,1 = -1). 3. Estudieu la convergencia en llei de la successió {V,1 }n::::1- • 1.4.2 Sigui { Xn, n ~ 1} una successió de v.a. i.i.d. amb distribució N(µ, CJ 2 ). Definim X-1 V ~.r Y1 = -' - v· _ An + L n-l 2 ' ... 'ln -2 Calculeu la funció característica de Y,,. i estudieu la convergencia en llei de la successió {Yn, n ~ l.} • 1.4.3 Sigui {X," n ~ l} una successió de v.a. i.i.d. amb llei N(O, 1). Demostreu que X1 +···+X Vn ,,., . . .,'.~ --+ N(O, 1) <'11 llei. • 1.4.4 Siguin Xn ~ GeomC,~ 1 .), n EN on ,\ és una constant positiva. Demostrar que Xn/n convergeix Pll llei a una distribució exponencial i calculeu el seu parametre . 9 -- .;.:· ... .¡;;.,,._ TEMA 2 ESTIMACIO PUNTUAL 2.1 El principi de la suficiencia. Teorema de factorització 2.1.1 Sigui X1, ... , Xn una mostra d'una distribució geometrica, i sigui T = ¿7= 1 Xi. Demostreu que T és un estadístic suficient per al parametre de la distribució. 2.1.2 Sigui X1, ... , Xn una mostra d'una distribució de Poisson d'esperarn;a >., i sigui T = 2:7= 1 Xi. Demostreu que la distribució X 1, ... , Xn donat T és independent de >., i concloeu que T és suficient per a..\. Demostreu que X1 no és suficient. 2.1.3 Useu el teorema de factorització pera trobar un estadístic suficient peral parametre de la distrihució exponencial. 2.1.4 Useu el teorema de factorització pera trobar un estadístic suficient peral parametre de la distrihució de Rayleigh. SO LUCIÓ: La Junció de densitat d 'una v. a. Rayleigh és 2 (')2 f (x, 8) = 82 :¡;e- " Snposem que es disposa d'una mostra de grandária n. Definim t = 'L7=l x7 i a partir de la m.ostra es calcula n (2)n(n ) f(x1, ... Xn, fJ) = g f(xi, 8) = 82 g Xi e-flt. Si es factoritza f(x1, .... Tn,8) = g(8,t)h(X¡, .. ,.T 11 ), definint h(x1, .. ,Xn) alcshores t és estadístic su.ficient de 8. 17 Il~=l Xi, --:;.:·;~~.:_ TEMA 2 ESTIMACIO PUNTUAL 2.1 El principi de la suficiencia. Teorema de factorització 2.1.1 Sigui X1, ... , X11 una mostra d'una distribució geometrica, i sigui T = L~=l X;. Demostreu que T és un estadístic suficient per al parametre de la distribució. 2.1.2 Sigui X1 ,. . ., X11 una mostra d'una distribució de Poisson d'esperarn;a >., i sigui T = 2::7= 1 X;. Demostreu que la distribució X 1, ... , X 11 donat T és independent de >., i concloeu que T és suficient per a .X. Demostreu que X1 no és suficient. 2.1.3 Useu el teorema de factorització pera trabar un estadístic suficient peral parametre de la distribució exponencial. 2.1.4 Usen el teorema de factorització pera trabar un estadístic suficient peral parametre de la distribució de Rayleigh. SO LUCIÓ: La funció de densitat d'una v.a. Rayleigh és f(x,B) = ; 2 :re+~-l 2 • S'IJ.posem que es disposa d'una mostra de granda:ria n. Definirn t = I:~=l x7 i a partir de la mostra es calcula n (2)n(n ) J(x¡, ... Xn,B)=gf(x;,B)= 82 gx; e-fit. Si es factoritza f(xi, .... Tn,B) = g(B,t)h(x1, .. ,x 11 ), definint h(x¡, .. ,x 11 ) nleshores t és estadístic su.ficient de (). 17 n~=l X;, 18 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 2.1.5 Disposem d'una mostra X1, ... , Xn d'una llei que té per funció de densitat: e f(x;B) = (l + x)O+l' 0 < B < oo 0:::; X< oo. Doneu un estadístic suficient per a e. Raoneu la resposta. 2.2 El metode deis moments. El metode de la maxima versemblan<_:;a 2.2.1 Suposeu que X segueix una distribució lognormal de parametres µ i rY 2. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. l. Trobeu els estimadors de µ i <J 2 pe! metode deis moments. 2. Trobeu els estimadors de µ i rY 2 pel metode de la maxima versemblarn;a. 2.2.2 Suposeu que X segueix una distribució geometrica de parametre p. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. l. Trobeu !'estimador de p pel metode deis moments. 2. Trobeu !'estimador de p pel metode de la maxima versemblarn;a. (Nota: Aquí es diu geometrica a la v.a. que conte el nombre de fracasos fins el primer exit en repeticions independents d'experiemtns de Bernopulli.) SOLUCIÓ: APARTAT 1: Sigui P(X = k) = p(l - p)k, amb k ~ O, s 'obté 1p 1 m1 = E(X) = -- <=? p = --. p 1 + m1 A 1 Per tant, P = 1+x · APARTAT 2: Definim la Junció de versemblanr;a n n L(X1, ... , Xn,P) = I1 f (xi,P) = I1 p(l - pf'' = p"(l - p)Ex,, i=l i=l aleshores n ln(L(x1, ... ,x 11 ,p)) = n(lnp) + (L)ln(l -p). i=l Es cerca un valor que faci ma1:im ln{L). D'aq·u.esta manera rlerivem i ignalern a zen; ln(L): 8ln 3 ~(p) = ~ - !(_~; =O i 8 'obté p = l¡í, arnb 8211 ~~~(íi)) :::; O, per' tant mrlúm .. ....... ...... _.... ...... ,....._ ..... -. ...... ...... ""' """ ..... """ """ ..... ..... -- -.. -.. - ...... ...... -.. ..... ' """ - -, ~,:.@.~;, ',- TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 2.2.3 Suposeu que X segueix una distribució uniforme [O, B]. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. l. Trobeu !'estimador de B pel metode dels moments, així com la seva esperarn;a i variancia. 2. Trobeu !'estimador de() pel metode de la maxima versemblan<;a. 3. Trobeu la funció de densitat de !'estimador de maxima versemblanc;a, i calculeu la seva esperan<;a i la seva variancia. Compareu la variancia, el biaix i !'error quadratic mig amb !'estimador obtingut pel metode dels moments. 4. Trobeu una modificació de !'estimador de maxima versemblan<;a que el faci no esbiaixat. 2.2.4 Si les freqüencies genetiques estan en equilibri, els genotipus AA, Aa i aa ocorren amb probabilitats (1 - ()) 2, 20(1 - ()) i () 2 respectivament. Plato i al. (1964) publicaren les següents dades sobre el tipus d'haptoglobina en una mostra de 190 persones: ti pus freqüencia AA Aa aa 10 68 112 Trobeu !'estimador de maxima versemblan<;a de e. • 2.2.5 Propietat: L'estimador de maxima versemblan<;a no és únic. Suposeu que X segueix una distribució uniforme [(), () + 1]. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. Demostreu que !'estimador de () obtingut pe! metode de la maxima versemblarn;a no queda uní-vocament especificat. SOL U CIÓ: Sigui f(x) = { ~ SÍ () :::; .T :::; () + 1 altrament La junció de versemblan9a és n { 1 L(x 1, ... ,xn,e) = }Jf(x;,()) = 0 O .sigui, () '.S X(1) i X(n) :S () + l. si X(n) -1 '.S () '.S X(l) altrament Ale.shore.s, qual.sevol e.stimador {JE [x(n) - 1, X(l)] é.s de máxima ver.semblan9a. • 2.2.6 Propietat: L'estimador de maxima versemblan<;a no sempre existeix. Considerem una v.a. X que pot provenir d'una distribució N(O, 1) amb probabilitat 0.5 i d'una distribució N(¡L, <T 2 ), amb µ i <T 2 desconeguts, amb probabilitat 0.5. Demostreu que no existeix !'estimador de maxima vcrsemblanc;a. • 2.2. 7 Propietat: L'estimador de maxima versemblan<;a no sempre existeix. Consiclerem una v.a. X que prové d'una clistribució amb funció de densitat f( ()) -a:tl b -ar-b(T-T)l x; = ae (o:<;.r:<;T) + e ., (x>T)' on ;¡;E R i () = (a,b,T) E e= (O,oo)3. Demostreu que no existeix !'estimador de maxima versemblanc;a. 19 20 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 2.2.8 Una variable aleatoria X segueix una distribució normal d'esperarn;a µ i de variarn;a l. Es fan 20 observacions de X pero en comptes d'escriure el valor d'X només s'observa si X és negativa o no. 1. Estimar µ per maxima versemblarn;a basant-se tan sois en la informació disponible. 2. Suposant que l'esdeveniment {X < O} ha ocorregut exactament 14 vegades, trobeu el valor de !'estimador de maxima versemblaH<;a deµ. 2.2.9 Un científic pren n mesures X1 ,X 2, ... ,Xn d'una constant µ fent servir la tecnica T1 amb una variancia de !'error coneguda igual a u2. També pren m mesures addicionals Yi, Y2, ... , Y~n de µ fent servir la tecnica T2 amb variancia de !'error coneguda igual a ku 2, éssent k una cons-tant positiva coneguda. Les mesures es suposen independents i amb distribució normal. l. Escriviu la funció de versemblan<;a per al parametre µbasada en les n+m observacions Xi, X 2, ... , Xn, Y1, Y2, ... , Ym. 2. Trobeu !'estimador de maxima versernblan¡;a deµ. Anomeneu-lo P,. 3. Calculeu la distribució de µ. 4. Demostreu que sin= mi k > 1, aleshores µesta més a prop de X que de Y i expliqueu per que és aixó desitjable. • 2.2.10 Considerem una mostra de midan d'una v.a. amb densitat: f(x) = ~exp(- 1 x - (} 1), x E R, on (} E R és un parametre desconegut. En els casos n = 2 i n = 3, estudieu !'existencia i unicitat d'estimadors del maxim de versemblan<;a de 8. • 2.2.11 Un llac té N peixos, un bioleg en pesca r, els marca i els torna al llac. Després d'un cert temps en el qua! es suposa que els peixos marcats s'han barregat amb els altres, el bioleg pesca s pcixos, i veu que x estan marcats. Demostreu que !'estimador del maxim de versemblan<;a d'N és: N* = [7,]. lndicació: Si L(x, N) és la Junció de versemblanr;a, considereu R(N) = ,,fJx:'._l 11 . Estudieu en quina regió R < 1, i en quina R > l. • 2.2.12 Sigui X1, ... , Xn una mostra d'una variable aleatoria uniforme amb parametes o: - /J. n + ,3. l. Escriviu la funció de versernblan<;a associada a les observacions x1, ... , x,, i dibuixeu la regió del pla R = {(o:,¡3) E R2 1 L(o:,¡3) "#O}. 2. Trobeu els estimadors deis parametres o: i f3 pe! metode de la maxirna versernblan¡;a. 2. 3 El meto de de Bayes 4' 2.3.1 Suposem que la proporció (J de components defectuoses d'un gran lot és o bé 0.1 o bé 0.2, i la funció de probabilitat a priori de (J és '!j!(O.l) = 0.7 i 'lj;(0.2) = 0.3. Es seleccionen 8 componc11ts del lot a l'atzar i es troben 2 defectuoses. Deterrnineu la funció de probabilitat a posteriori de B. 4' 2.3.2 Suposem que la proporció e de components defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la distribució a priori de (} és uniforme en l'interval (O, 1). Es seleccionen 8 cornponents del lot a !' atzar i es troben 3 defectuoses. Determineu la llei a posteriori de (}. -. -.. ..... ..... .... -. -.. -.. -.. ..... ""' """' """" """' """' "" ""' ..... .-. '"' "" .-., "'"" ...... ...... ..... ,..., ,~ TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL -" 2.3.3 Suposem que tenim una observació X d'una distribució uniforme a l'interval (B -0.5, B + 0.5); suposem que el valor de B és desconegut i que la llei a priori de B és l'uniforme en l'interval (10, 20). l. Si el valor observat de X és x = 12, quina és la distribució a posteriori de B?. 2. Si ara seleccionem sis observacions i observem x1 = ll.O,x 2 = ll.5,x 3 = ll.7,x 4 11.4, x6 = 10.9, quina és la distribució a pos~eriori de B?. 11.1, X5 -" 2.3.4 Suposem que la proporció B de components defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la clistribució a priori de B és Beta( o: = 2, fJ = 200). Es seleccionen 100 components del lot a l'atzar i es troben 3 clefectuoses. 1. Determineu la llei a posteriori de B. 2. Suposem que clesprés d'observar 3 peces defectuoses la distribució a posteriori és una beta de mitjana .0392 i ele variancia 3.658 x 104. Determineu la llei a priori de B. -" 2.3.5 Sigui B el nombre mig de defectes per cada 100 peus d'una cinta magnetica. Se suposa que el valor de B és desconegut i que la distribució a priori de B és una gamma de parametres o: = 2 i fJ = 10. Després d'inspeccionar una cinta de 1200 peus es troben 4 defectes. Determineu la llei a posteriori de B. -" 2.3.6 Les al<;acles dels individus d'una certa població segueixen una distribució normal amb mitjana desconeguda () i amb desviació estandar 5 cm. Se suposa que la distribució a priori de B és una normal de mitjana 170 cm i de desviació estandar 2.5 cm. l. La mitjana de 10 persones seleccionades a l'atzar és de 174 cm. Determineu la llei a posteriori de (). 2. Calculeu l'interval d'amplada 2.5 cm que contingui el valor de B amb la maxima probabilitat a priori i doneu aquesta probabilitat. 3. Calculeu l'interval d'amplada 2.5 cm que contingui el valor de B amb la maxima probabilitat a posteriori i doneu aquesta probabilitat. -" 2.3. 7 El temps (en minuts) que es triga en atendra un client en una botiga segueix una llei exponencial de parametre B desconegut. la distribució a priori de B és una gamma amb mitjana 0.2 i desviació estandar igual a l. Si el temps que s'ha trigat en atendre a 20 clients ha sigut de 3.8 minuts, quina és la distribució a posteriori de ().? -" 2.3.8 Suposem que la proporció B de components defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la <listribució a priori de B és Beta( o: = 5, {3 = 10). Es seleccionen 20 components del lot a l'atzar i es traben 1 sola component defectuosa. Determinen !'estimador de Bayes de B si fem servir com a funció de perdua !'error quadratic. -" 2.3.9 Les al<;ades dels individus d'una certa població segueixen una distribució normal amb mitjana desconeguda () i amb desviació estandar 5 cm. Se suposa que la distribució a priori de B és una normal de mitjana 170 cm i de desviació estandar 2.5 cm. La mitjana de 10 persones seleccionades a l'atzar és de 174 cm. l. Determineu !'estimador de Bayes de () si fem servir com a funció de perdua l'error quadratic. 21 22 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 2. Determineu !'estimador de Bayes de e si fem servir coma funció de perdua !'error absolut. 4 2.3.10 Denotem per e la proporció de votants d'una gran ciutat que estan d'acord amb una certa !leí. Suposem que aquest valor e és desconegut i que dos estadístics A i B assignen a e les següents densitats a priori 'lf;A(e) i 'lj; 8(8), respectivament;., 'lf;A(B) = 28 per 0 < 8 < 1 'lf;n(B) = 48 3 per O < e < l. En una mostra de 1000 votants hi han 710 en favor de la !leí. l. Determineu la llei a posteriori de e que cada estadístic assigna a e. 2. Determineu !'estimador de Bayes de e que cada estadístic calcularia si fessim servir com a funció de perdua !'error quadratic. 3. Demostreu que després de coneixer les opinions de 1000 votants els estimadors de Bayes proposats pels dos estadístics no poden diferir en més de 0.002 amb independencia del nombre de votants que haguessin votat en favor de la llei. 4 2.3.11 Suposem que la v.a. X segueix una llei geometrica de parametre p; ésa dir, J(x;p) = (1 - p)x-lp X= 1, 2, ... Suposem que a p li assignem una llei a priori uniforme a l'interval (0,1). l. Calculeu la distribució a posteriori de p. 2. Quin és !'estimador de Bayes de psi fem servir com a funció de perdua !'error quadratíc. 4 2.3.12 Denotem per T la proporció de nens d'un casal d'estiu que estan d'acord amb anar d'excursió . Suposem que aquest valor T és desconegut i que els dos monitors A i B assignen a T les següents densitats a priori 'lf;A(T) i 'lf;n(T), respectivament: 'lj; A ( T) = 3T 2 per o < T < 1 'lj; B ( T) = 4T 3 per o < T < l. En aquest casal s'han apuntat 100 nens i d'aquests 60 volen anar d'excursió. l. Determineu la llei a posteriori de T que cada monitor assigna a T. 2. Determineu !'estimador de Bayes de T que cada monitor calcularía si fessim servir com a fuuc:ió de perdua !'error quadratic. 3. Demostreu que després de coneixer les preferencies deis 100 nens els estimadors de Bayes proposats pels dos monitors no poden diferir en més de 0.01 amb independencia del nombre de nens que prefereíxin anar d'excursió. -- -- -- -. ,..._ ....._ '"" ..... ..... .... '"" .... .... .... - ..... -. /'"'. ,,,._ ,...., -- ....... ..... - - - -- TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL • 2.3.13 Suposem que el nombre de minuts que una persona ha d'esperar l'autobus cada matí té una distribució uniforme a l'interval (O, B), a on el valor de() és desconegut. Suposem que la funció de densitat a prior·i de () ve donada per: ~(B) = { Jl si()> 4 ... altrament Si els temps esperats en tres matins successius,j)Ón de 5, 3, 8 minuts. l. Calculeu la funció de densitat a posteriori de e. Especifiqueu el domini de definició d'aquesta funció i les constants que en ella apareixen. 2. Si es vol estimar el valor de () usant com a funció de perdua l'error quadratic, quina és la forma de !'estimador de Bayes de e. Calculeu el valor estimat de e a partir dels tres temps esperats donats més amunt. • 2.3.14 Suposem que X1, ... , Xn són variables aleatories independents que segueixen una llei de Poisson de parametre () i suposem que la llei a priori sobre () pertany a la famí lia gamma. 1. Demostreu que la llei a priori gamma és conjugada de la Poisson. 2. Determinen !'estimador de Bayes de () sota una funció de perdua quadratica. • 2.3.15 La variable aleatoria que compta el nombre de morts per asma cada 100.000 habitants en un any es suposa que segueix una llei de Poisson de parametre B, on () representa la veritable taxa de mortalitat per asma cada 100.000 habitants. A la ciutat C deis Estats Units, amb una població de 200.000 persones, es revisen les causes de mort durant l'any 1994, i es denota per Y94 la variable aleatoria que compta el nombre de morts per asma a C durant l'any 1994. l. Quina llei segueix la variable aleatoria Y94?. 2. Quina llei a priori proposarieu per B, la taxa de mortalitat per asma? Raoneu la resposta. 3. Sa.bem que la ta.xa de mortalitat per asma arreu del monté mitjana 0.6 i variancia 0.12. Basant-vos en la llei a priori proposada a l'apartat 2., calculen el seus parametres. 4. Es troba que hi han hagut 3 persones que moriren d'asma a C l'any 1994, (i.e., Y94 = 3). Deriveu la llei a posteriori per la ta.xa de mortalitat per asma? En particular, doneu la mitjana a posteriori i discutiu aquest resultat comparant-lo amb la mitjana a priori. 5. L'any 1995 es repeteix l'estudi i es tornen a donar 3 morts (i.e., Y95 = 3). Feu servir els calculs de l'aparta.t 4. per a calcular la mitjana a posteriori? Que podeu concloure? 2.4 Biaix d'un estimador. L'error quadratic mig 2.4.1 Sigui X una v.a. normal d'esperarn;a () i de va.riancia l. Definim Ta,b(X) = aX + b per a i b nombres rea.Is qualsevols. l. Calculeu !'error quadratic mig, R(B, Ta,b), de Ta.,b· 2. Comparen R(B, T0 5,o) amb R(B, T1,0 ). Quina conclusió en treieu? 3. Existeix a.lgun estimador de la forma aX + b que sigui millor que X per a tot B? 4. Proveu que X és l'únic estimador no esbiaxa.t de () de la forma aX + b. 23 ·.·.· 24 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL SOLUCIÓ: APARTAT 1: Sigui Re(T) = E((T(X) - q(X)) 2) = E((aX + b - 8) 2 ). Donat que Var(X) = E(X 2) - (E(X) )2, aleshores Re(T) = E((aX + b8)2) = Var(aX + b - 8) + (E(aX + b))2 = a2 +((a -1)8 + b) 2. APARTAT 2: Sigui Re¡T.,o = a2 +((a -1)8)2. Per tant, tenim que 1 1 ') 1+8 2 Re¡T, = - + ((- -1)8)- = -- o.s,o 4 2 4 Re¡T1,o =l. Per tant, l±t S 1 {:} 82 ::::; 3 {:} -J3::::; 8 S )3. APARTAT 4: E(aX + b) = aE(X) + b = a8 + b. Si ha de ser no esbiaixat, es té que E(aX + b) = 8. Llavors a8 + b = 8 {::==} (a -1)8 + b =O, VB. L 'únic polinomi en 8 que és identicament null, és el polinomi que té tots els sens coeficients iguals a zero. Llavors a= 1 i b = O. 2.4.2 Aquest problema fa referencia a l'estimació de la variancia d'una distribució normal de mitjana desconeguda a partir d'una mostra X1, ... , Xn de v.a. normals. Considerem tres possibles estimadors de la variancia poblacional: s2 = _1_ ~(X; -X)2 n-lL..,. i=l A') 1 n -? a-= - ~(X.; -X)- n L.,. i=l n a; = p L(X;. _ ,y)2 i=l l. Calculeu el biaix de cadascun d'aquests tres estimadors. Quins d'aquests són no esbiaixat.s'? 2. Calculeu la variarn;a de cadascun d'aquests tres estimadors. 3. Calculeu !'error quadratic mig dels dos primers estimadors. 4. Per a quin valor de p !'estimador a; té error quadratic mig més petit? 5. Quin estimador escolliríeu i per que? '""' ,.-._ ---- ---- ,.-._ .-, -. - ""' """" ""'I """" """" """ .... - ,.... ,..., - ""' - -. -. ,.... -. il TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 2.4.3 Considerem una mostra de midan, X1, ... , Xn d'una població amb moment d'ordre k finit. l. Demostreu que ~ ¿:~ 1 Xf és un estimador sense biaix del moment d'ordre k. 2. Determineu el valor de e per tal que e ¿;~ 1 (Xi+i -Xi)2 sigui un estimador sense biaix de a2. SOLUCIÓ: APARTAT 1: n k) ( n ) 1 n 1 n E (¿i=l xi =~E L xik = ;;:L E(Xik) = :;;:~ µk = µk n i=l i=l •-1 APARTAT 2: ( n-1 ) n-1 a2 = cE ~(Xi+i - Xi) 2 =e~ (Var(Xi+1 - Xi)+ (E(Xi+i -Xi))2) = c2a2 (n-l). Aleshores es pot veure que e= 1 2(n-l)' n;:::2. 2.4.4 Demostrar que si X és v.a. amb esperanc;a µ -::JO i Var(X) > O, d'entre tots els estimadors lineals sense biaix U= a1X 1 + ... + anXn deµ, el de variancia mínima és la mitjana mostral X. • 2.4.5 Siguin f)¡ i 82 dos estimadors independents sense biaix d'un parametre desconegut 8, amb variáncies conegudes a-f > O, a-5 > O respectivament. l. Demostreu que 83 = (1 -a)81 + a8 2 també és un estimador sense biaix, per tot a E R. 2. Trobeu el valor de a que minimitza la variancia de 83. SO LUCIÓ: APARTAT 1: E(83) = E((l - a)e1 + a82) = (1 -a)E(81) + aE(8 2) = (1 - a)B + a8 = 8. 25 32 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 2. Trobeu l'estimador de (} pel metode de la maxima versemblarn;a. 3. Calculeu la variancia asimptotica de l'estimador de maxima versemblanc;a. 2.8.5 Disposem d'una mostra X1, ... ,Xn d'una llei que té per densitat: f (x; (}) = e-(x-e)' (} E R, e :::; X < OO. l. Trobeu l'estimador {jl de e pel metode dels moments. 2. Trobeu l'estimador {j 2 de B pel metode de la maxima versemblanc;a. ~. 3. Calculeu la funció de densitat de l'estimador de maxima versemblanc;a, {j2· És {j2 suficient? Raoneu ,...... la resposta. ""' SOLUCIÓ: APARTAT 1: E(X) = / 00 xf(x)dx = r= xe-(x-e)dx = ... =(}+l. -oo le Aleshores m1 = B + 1 =} B1 = Xn - l. APARTAT 2: n n L(x¡, ... ,Xn,B) = IT!(x;,B) = rr e-(x¡-0) = e-(~x,)+ne. i=l i=l Aplicant logaritmes, logL = - "2:: Xi + nB, 8logL --a¡¡-= n. Peró es pot veure que n n L(x1, ... ,xn, B) = rr f(x;, B) = en(e-xn) rr l¡e,=)(x;) i=l i=l on B:::; X;, \:/i = 1..n {::}e:::; Xul, i per tant n L( e) n(l!-x ) rr 1 (e) X¡, ... ,:r;n, =e n [-=,X(l) ' i=l amb ()2 = X1. """ "' -- ,...._ - ...... ...... .... "" .... .... ...... ...... - ,...... -. ...... - - - -. ¡"'. ·"' TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL APARTAT 3: Utilitzant que l'estadístic d'ordre X1 té per distribució Fx(1) (Z) = 1 - (1 -Fx, (Z))n Íx(l)(Z) = nfx,(Z)(l - Fx,(Z))n1. Aleshores Fx(x) = P(X::; x) = r fx(x)dX = r e-(x-e)dX = (1e-(x-e))le, 00 (x). J_oo Je D 'aquesta manera, fx(l¡(x) = ne-n(x-e)lo, 00 (x), Í.P. fxui(Z) = ne-n(Z-O)lo,=(Z). Falta veu:re que 82 és suficient. Donat que T(X) és estadístic suficient per e {::} la distr"ibució condicional de X donat T( X) = t no depén de e, i. e. P(X = xjT = t) no depén de e. Vejem que f (x1, ... , Xn) fr(t) Tif(xi) Jr(t) e-n(X-8) ne-n(t-8) e-n(X-t) n o:m/J t = X0 ), ion per tant P(X = xlT = t) no depén de e. 2.8.6 Sigui X1, ... , Xn vv.aa. independents i identicament distribu'ides amb funció de densitat: f(x; e) = 6~4 x3 exp{ -x/B} per o< X < 00 i e> o. l. Obtingueu, mitjanc;ant el metode dels moments, un estimador pera e. 2. Calculeu la variancia de !'estimador obtingut a l'apartat l. 3. Trobeu un estadístic suficient per a e. 4. Utilitzant el Teorema de Rao-Blackwell, trobeu un estadístic suficient que millori la variancia. 5. Obtingueu, mitjanc;ant el metode de la maxima versemblanc;a, un estimador pera e. 6. Doneu la llei asimptotica de !'estimador de maxima versemblanc;a. 7. Podeu concloure que !'estimador de maxima versemblanc;a és eficient? Raoneu la resposta. 2.8. 7 Disposem d'una mostra X1, ... , X 11 d'una distribució de Pareto. La distribució de Pareto s'utilitza en ciencies economiques com a model per a una funció ele densitat amb una cua que clecreix a poc a poc. Aquesta llei té per clensitat (e > o, T > O): { liTB f(x;e,r) = ó"+' X;::: T x<r 33 34 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL l. Calculeu l'esperanc;a d'una v.a. X que segueix una distribució de Pareto. 2. Suposem que el valor T és conegut. (a) Trobeu l'estimador B1 de e pel metode dels moments. (b) Trobeu l'estimador {h de e pel metode de la maxima versemblarn;a. (c) Quina llei asimptotica segueix 02? Preciseu en particular la seva variancia. (d) És l'estimador 82 suficient peral parametre e. 3. Suposem ara que el valor de T és desconegut i el de e conegut. (a) Calculeu l'estimador f-1 de maxima versemblanc;a de T. (b) És l 'estimador f1 suficient per al parametre T. 4. Suposem que els dos valor de T i de () són desconeguts. (a) Calculeu els estimadors de maxima versemblanc;a de e i de T. 2.8.8 Considerem la variable aleatoria T que mesura el temps de supervivencia en mesos d'un pacient després d'un tractament. Suposem que Tes distribueix segons un model exponencial traslladat. El model exponencial traslladat de parametres >. (>.>O) i G (G >O) té per funció de densitat: f(t;>.,G) = { ~exp{->.(t-G)} si t 2: G 2: O si t < G G s'interpreta com el temps de garantia o el míinim temps de vida abans del qual no hi ha morts. Hem fet un estudi amb 11 pacients i llurs temps de supervivencia han estat: 11,13,13,13,13,13,14,14,15, 15,17. Suposem que aquests pacients són una mostra d'una llei exponencial traslladada de parametres >. i G. l. Calculeu la funció de versemblanc;a d'aquestes dades en funció deis parametres desconeguts. 2. Suposeu G conegut. (a) Estimeu la taxa de fallida >. mitjanc;ant el metode de la maxima versemblanc;a. (b) Calculeu el valor de !'estimador de>. en funció de G pels pacients de l'estudi. (c) Trobeu !'estimador de maxima versemblanc;a de la mediana del temps de supervivencia anomeneu-lo m. Calculeu la mediana del temps de supervivencia dels 11 pacients. (d) Determineu la distribució asimptotica de l'estimador m. Calculeu la variancia asimptotica ele m. 3. Suposeu >. conegut. (a) Estimeu G mitjanc;ant el metode de la maxima versemblanc;a. (b) Calculeu el valor de !'estimador ele G pels pacients de l'estudi. 4. Suposeu >. i G desconeguts. (a) Trobeu els estimadors de maxima versemblanc;a per a >. i G. Calculeu-los pels pacients de l'estudi. '""' '"" -.. ,...... ,...., '"" ...... ~ ,....._ ,..... -. """ .... .... .... .... .... """ -. ...... '"""' ,..., ....... """ -. ...... -. ...... -- """ - ,.,. .. ~~ .. ,....,, TEMA. 2. ESTIMA.OJO PUNTUAL (b) Feu servir les estimacions obtingudes per estimar la probabilitat de sobreviure 18 mesos després del tractament. 2.8.9 Considerem una mostra X1, ... , Xn d'una llei que té per densitat 38 3 J(x;8) = r - . rnA X> O, i l'espai de parametres és n = {8: 8 >O} l. Cerqueu un estimador de 8 pel metode deis moments. Anomeneu-lo 01. 2. Calculeu la variancia de 01. Indicació: Pot resultar més senzill comenr;ar calculant E(X + 0)2. 3. Cerqueu un estimador de O pel metode de la máxima versemblanc;a. Anomeneu-lo 02. Deixeu-lo indicat si no podeu resoldre les eqüacions de versemblanc;a. 4. Calculeu la informació de Fisher continguda en la mostra X 1, ... , X n. 5. És !'estimador 01 eficient? G. Doneu la distribució asimptotica de 02 i calculeu la seva variancia asimptotica. 7. Compareu B 1 i 02. Quin deis dos estimadors és asimptoticament més eficient? 8. Calculeu la mediana poblacional en funció de O i anomeneu-la M(O). 9. Doneu un estimador pera M(8) i determineu la seva distribució asimptotica. 2.8.10 Considerem una mostra X1, ... , Xn d'una llei que té per funció de densitat: f (x; a, (3) = { 8 exp -(rª-/3) i l'espai de parametres és n = {(a,(3): a> 0,(3 >O}. si X ~ (3 altrament 1. Escriviu la funció de versemblanc;a L( a, (3) donat els valors mostrals x1, ... , Xn· 2. Suposant a= a0 conegut, (a) Cerqueu !'estimador de maxima versemblanc;a de (3 i anomeneu-lo $. (b) Caracteritzeu la llei de $. 3. Suposant ,B = f3o conegut (a) Cerqueu un estimador de a pel metode de la maxima versemblanc;a i anomeneu-lo á. (b) Quina distribució segueix á quan n és prou gran? (e) Calculen la informació de Fisher pe! parametre a continguda en la mostra X1, ... ,Xn. (d) Trobeu un estimador sense biaix i eficient pera a. (e) És !'estimador á eficient? 35 36 TEMA 2. ESTIMACIO PUNTUAL 4. Suposeu que (&, S) és el maxim de versemblarn;a conjuntament de (a, (3). (a) Calculeu la mediana poblacional en funció de a i f3 i anomeneu-la M. (b) Calculeu l'estimador de maxima versemblarn;a de Mi anomeneu-lo M. - 2.8.11 Disposem d'n variables aleatories, Y1, ... , 1~ 1 independents i uniformement distribu"ides a l'interval [O, B]. Imaginem que enviem un observador cada dia, durant n dies successius, amb l'encarrec de que observi, i anoti, els valors de les Yj pera un subconjunt d'm (1 S m S n) d'elles; ésa dir, anotara els m valors lj,, ... , ljm, on j1, ... , im E {l, ... , n }. Aquest observador, amb bons coneixements d'estadística, decideix anotar tan sols el maxim de lj, ' ... ' ljm . l. Per quina raó decideix l'observador anotar tan sols el maxim d' Yh, ... , Yjm. 2. Sigui Xi el maxim calculat el dia i. Anomenem m el número d'observacions d'entre les observacions lj, 1 S j $ n, que ha escollit. Les n variables aleatories X1, ... ,Xn descrites més amunt són independents i tenen per funció de densitat (no cal que ho demostreu) f(x1; m, B) = { ~-mmx7 1 -1 on m > o,e >o. si Ü < X1 $ {;I altrament, (a) Cerqueu l'estimador de maxima versemblánca per {;I suposant que l'observador ens ha dit el valor de m. Anomeneu-lo e. (b) Per desgracia aquest observador és molt despistat i s'oblida de dir-nos el valor de m, així que ,,..., -.. -.. ,...,_ -... -. ,...... ,....._ ara m també és desconegut. Cerqueu l'estimador de maxima versemblanca per m suposant ,.._ que el valor de {;I és conegut. Anomeneu-lo m. -. (e) Sabent que (m, O) és el maxim de versemblarn;a de (m, 8), calculeu el maxim de versemblanc;a de Prob{ X1 > 1 }. Raoneu la resposta. -. """ """' ..... ..... .... -. """' .... '"' ---- ,.._ -. - -. """' ...... ~ ,..._ ~ ,...... -. '"' -. - ...... ~·i·.~~;;: -. -. -. ,..... .-. "" ""' ·' "' ..... ,-, - ,.... - - ....... - -.. .... """ .... - ""' '"\ """" ....._ ""' """' -, """"' ,,....,_ .....,, ~ ~ ""' ~ ,, TEMA 3 Proves d'Hipotesi i Intervals de Confian~a. 3.1 Conceptes basics per avaluar les proves d'hipotesis: Errors de tipus I i II. Fundó de potencia. El valor p 3.1.1 Suposeu que la variable aleatoria X segueix una distribució binomial de parametres n = 100 i p desconegut. Considereu el procediment que rebutja H0 : p = 0.5 en favor de HA : p i0.5 quan 1 X -50 I> 10. Utilitzeu l'a.proximació normal a la binomial amb la correcció per continuitat per a fer tots els calculs. l. Calculeu la probabilitat d'un error de tipus l. 2. Feu una grafica de la funció de potencia en funció de p. 3.1.2 Suposeu que es pren una observació X d'una distribució uniforme en l'interval [B -0.5, (} + 0.5], i suposeu que voleu resoldre la següent prova d'hipotesi: H0: B :S 3, HA: B 2'. 4. Doneu un procediment que tingui una funció de potencia que prengui els següents valors: 7r( B) = O per B :S 3 i 7r(B) = 1 per B 2'. 4. 3.1.3 Suposeu que la proporció p de items defectuosos en una gran població és desconeguda i que volem rnalitzar la següent prova d 'hipotesi: Ha: p = 0.2, HA: p-:/:- 0.2. Suposeu que s'ha agafat una mostra de grandaria 20 d'aquesta població. Denoteu per X el nombre rl'itr~rns defectuosos en la mostra, i considereu un procediment ó que rebutja quan X 2'. 7 o X :S l. l. Calc:uleu la probabilitat d'un error de tipus l. 37 38 TEMA 3. PROVES D'HIPÓTESI I INTERVALS DE CONFIANQA. 2. Calculeu la potencia en els punts p =o, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, l. Feu una taula de la funció de potencia en funció de p. 3. És aquest procediment no esbiaixat? SOLUCIÓ: APARTAT 1: Es fara servir que X segueix Bin(20, 0.2) i llavors: o: 1 ( ó) =P[error tipus l] =P[rebutjar HolHo certa]= P[X ;::: 7 o X ::; 1p = 0.2] = P[X 2: 7lp = 0.2] + P[X::; llp = 0.2] = 1 - P[X::; 6] + P[X ::; 1] = 0.1559. APARTAT 2: Prob. Pat. APARTAT 3: 0.1 0.3941 0.2 0.3 0.1559 0.3996 Un procediment és no esbiaixat si: 0.4 o. 7505 0.5 0.9423 0.6 0.7 0.99 1 P[rebutjar HolP = Po]2: P[rebutjar H0IH0 certaj si p0 .::¡. 0.2, i aixó és cert si la Junció de potencia té un mínim en 0.2. Per tant en aquest cas ó és no esbiaixat. 3.1.4 Sigui X1, ... ,Xn una mostra de la distribució uniforme en l'irrterval (O,B). Volem resoldre Ho : B 2: 2 versus H1 : B < 2. Sigui Yn = max(X 1, ... , Xn) i considerem aquell procediment que té per regió crítica tots aquells resultats tals que 1·:, 1 ::; 1.5. l. Determineu la funció de potencia d'aquest procediment. 2. Determineu la talla del procediment. 3.1.5 Suposeu que X 1, ... , X 11 és una mostra d 'una distribució normal de mitjana 11 desconegucla i de variancia 1 i es desitja resoldre la prova d'hipotesi: H0 : 0.1 ::; µ ::; 0.2 versus H1 : µ < 0.1 o µ > 0.2. Considerem un procediment ó que rebutja l'hipotesi nul.la si X 11 ::; c1 o si Xn 2: c2, i sigui 7r(µló) la funció de potencia de ó. Suposeu que n = 25. 1. Determineu els valors de c1 i de c2 per tal que 7r(O.lló) = 7r(0.2ló) = 0.07. 2. Determineu els valors de c1 i de c2 per tal que 7r(0.1 ló) = 0.02 7r(0.2ló) = 0.05. 3.1.6 Suposeu que X1, ... , X 11 és una mostra d'una distribució uniforme en l'interval (O, B), a on el valor de B és desconegut i es desitja realitzar la prova d'hipotesi: H0 : B::; 3 versus HA : B > 3. l. Demostreu que per a qualsevol nivell de significació o: 0 E (O, 1), existeix un procediment U.M.P. que rebutja H0 si max {X;} > e, per alguna constant c. t '"""- _,, ~ ;.. ~ ,,.. ~J '·""'. ~-~ t~ ~'.<! ..,.... ..,.._ ?><' ..... . -1 ?- ·~ ~ ,....i ,':': ;i--. ,,..... , .. ""'1 ~· -f.,... ' ~" .,.. 1:; ~ ~~ ~- -;... j: ' __ ';.,.....,........ ,-.. '"""' .- """ ""' ""' ""' ~ ,-.. ,.....,_ -""', "" ...,.i . ...... , .... ~:·,- -.... '~ "' -;. ,.... -, ---- ~- ,, TEMA 3. PROVES D'HIPOTESI I INTERVALS DE CONFIANQA. 2. Trobeu el valor de e per cada valor possible de a0. 3. Per a una grandaria n dibuixeu la funció de potencia del procediment anterior. 3.1.7 Suposeu que X1, ... ,Xs és una mostra d'una distribució normal de mitjana µ i de variancia a2 ambdues desconegudes. Volem contrastar H0 : µ=-O versus HA : µ'/:O. Suposem que les dades mostrals són tals que I.:;~=l X;= -11.2 i I.:;~=l Xf = 42.7 l. Resoldre aquesta prova d'hipotesi pera= 0.10. 2. Fem una prova t tal que H0 es rebutja si l'estadístic U = fa(Xn - µo) s és tal que U < c1 o U > c2, a on Prob(U < c1) = 0.01 i Prob(U > c2) = 0.09. Ambles dades de l'apartat anterior, hauriem de rebutjar H0 ?. 3.1.8 La v.a. X segueix una distribució exponencial de parametre >. = 1 o >. = 2. Volem contrastar amb una mostra de mida 1 les hipótesis H0 : >. = 1 contra H1 : >. = 2. l. Calculeu les probabilitats dels errors de ti pus I i de ti pus II quan la regió d 'acceptació és A0 = { x :S 1 }. 2. Calculen les probabilitats dels errors de tipus I i de tipus II quan la regió d'acceptació és A1 = { x ::::: 0.07}. 3. Quina de les dues proves definides per les regions d'acceptació dels apartats 1 i 2 triarieu? 4. Trobeu el valor de k per tal que la suma dels errors sigui mínima quan la regió d'acceptació és A~,= {x::::: k}. 3.1.9 La V.a. X segueix una distribució exponencial amb mitjana e = 1 o e = 0.5. Volem contrastar amb una mostra de mida 1 les hipótesis H0 : e = 1 contra H1 : e = 0.5. l. 2. 3. 4. Calculeu les probabilitats dels errors de ti pus I i de ti pus II quan la regió de rebuig és Ro = { x ::::: 1}. Calculeu les probabilitats dels errors de tipus I i la funció de potencia quan la regió de rebuig és R1 = {x:::; 0.07}. Quina de les dues proves definides per les regions de rebuig dels apartats 1 i 2 triarieu? Trobcu el valor de e per tal que la suma dels errors sigui mínima quan la regió de rebuig és R,={x::;c}. 39 40 TEMA 3. PROVES D'HIPÓTESI I INTERVALS DE CONFIAN(:A. 3.2 El lema de N eyman-Pearson 3.2.1 La v.a. X segueix una de les següents distribucions: X H1 H2 X1 0.2 0.1 X2 0.3 0.4 X3 0.3 0.1 X4 0.2 0.4 l. Compareu la raó de versemblarn;a pera cada valor possible de X i ordeneu els valors de X d'acord amb aquesta raó. 2. Utilitzeu el metode de la raó de versemblarn;a de H1 versus H2 a un nivell a = 0.2. Determineu la regió de rebuig també per un a = 0.5. 3.2.2 Donada una v.a. X amb funció de densitat f(x;B)={ 0 ~.x 3 e-xfe Ho: B = 2, H1 : B = 3. basant-se en una mostra X1, ... , X 11 d'aquesta població. Si X> 0 altrament l. Determineu un procediment ó que minimitzi aa(ó) + b¡J(ó), on a(ó) i ¡3(8) són les probabilitats d'un error de tipus I i de tipus II, respectivament, si s'utilitza el procediment 8. 2. Calculeu el valor de a(8) pera= 11 , b = 2 , n = 3. 3. Es desitja ara realitzar la següent prova d'hip6tesis: Ho : B 2: 2, H1 : B < 2. Determineu un procediment UMP amb nivell de significació a0 = 0.05 per n = 3. 3.2.3 Sigui X1, ... , Xn una mostra de la distribució de Poisson. l. Utilitzeu el metode de la raó de versemblarn;a per a contrastar H0 : >. = >. 0 versus H1 : ..\ = ..\1, a on >.1 >>.o. Indicació : La suma de v.a. independents de Poisson seguei:J; una distribució de Poisson. 2. Feu els calculs per n = 20, >. 0 = 0.25 i >. 1 = 0.5. 3. Demostreu que el procediment trobat a l'apartat 1 és uniforment més potent per a contrastar Ho : >. = ..\ 0, versus HA : ,\ > >. 0. ...... - -... ,..... .-. "" ..... .- - ..... ..... ... "" ..... -- ~./ ..-..· ....._ ""· - """' """' - """" ,...., ~ 11 ~¡ :¡ / ~, /"'- TEMA 3. PROVES D'HIPOTESI I INTERVALS DE CONFIANQA. • 3.2.4 l. A partir d'una mostra de mida n 10 d'una distribució de Poisson de parametre ,\ desconegut, es vol contrastar Ha:,\= 0.3, H1 : ,\ = 0.4. Construi"u un test amb nivell a = 0.05. Calculeu la potencia d'aquest test. És UMP per contrastar Ha:,\= 0.3, H1 : ,\ > 0.3? 2. En una mostra d'una distribució de Poisson s'ha observat: Contrasteu: dades O 1 freqüencies 38 36 Ha:,\= 0.3, H1 : ,\ > 0.3. 2 3 4 17 8 1 3.2.5 En base a una observació d'una v.a. X volem fer un test per a contrastar r 1 Ha: X ,..__, N(O, 2), H1 : X,...., N(O, 1), amb nivell a = 0.01. Quina potencia té aquest test? 3.2.6 Amb una observació d'una v.a. X volem contrastar les hipótesis Ha : X té densitat 1 1 2 fa(x) = J2"7[ exp-2x , H1 : X té densitat 1 Ji (x) = y'2 exp{ -Vz I x J}. Estudieu pels diferents valors de a E (O, 1) quina és la regió d'acceptació d'un test UMP. • 3.2. 7 Fem una observació d'una variable aleatoria amb funció de densitat 2 f(.T,8) = 82 (8 -x)l(a,o)(x), on 8 > O. volem contrastar les hipótesis on Ha < 81. Ha:8=8a, H1 : 8 = 81, l. Blisqueu un test UMP de nivell a = 0.01. Calculeu la potencia d'aquest test. 41 48 TEMA 3. PROVES D'HIPÓTESI I INTERVALS DE CONFIAN(:A. H1 : µx =f. µy + .6.. Especifiqueu l'estadístic que utilitzeu, la distribució nul.la d'aquest estadístic, la regió de rebuig,i doneu expressions per a la talla de la prova i per a la potencia de la prova. SOLUCIÓ: L 'estadístic que s 'utilitzara és: .X-1-:r-.6. T= (2 ' Spy ;:¡ que se su posa que segueix una distribució t2( n-l), i on S 2 _ (n - l)Sx 2 + (n - l)S 2 p -y 2(n - 1) Sota Ho : E(X -Y - .6.) = µx - µy - .6. =O i V ar( X -Y - .6.) = ~a 2 , X - f' - .6. segueix una distribució N(O, ~a 2 ), a més es pot veure que S/ segueix una distribució x2 amb 2(n-1) g. de ll. Per tant: T sota Ho segueix una t2 (n-l). Es rebutja Ho amb nivell a si JTI 2: e = t2(n-l);a/2. a= P(reb. Ho - Ho cert) = P(ITI 2: cJµx =µy + .6.) (J= P(accep. Ho -Ho fals). 3.5.3 Siguin X1, ... ,Xm i Y1, ... , Yn dues mostres independents d'una distribució normal ambla mateixa variancia desconeguda a2 i amb mitjanes µ1 i µ2, respectivament, també desconegudes. l. Donat un valor constant ,\ ( -oo < ,\ < oo), construi:u una prova de la t amb m + n -2 graus de llibertat per a: Ho : µ1 - µ2 = >. versus HA : µ1 - µ2 f:- >.. 2. Hem donat una certa droga A a 8 malalts seleccionats a l'atzar, i després d'una estona hem mesurat la concentració d'aquesta droga en la sang, obtenint: 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1, 76. Suposem que administrem una altra droga B a sis malalts diferents i els resultats obtinguts són: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81. Suposant que totes les observacions provenen d'una distribució normal amb la mateixa variancia, feu una prova d'hipotesi per a saber si podem concloure que la mitjana de la concentració de la droga B és més gran que la de la droga A. 3.5.4 Considerem dues poblacions normals amb mitjanes µ1 i µ2 i variances ar i ai desconegudes i suposem que volem fer la següent prova d'hipotesi: Ho : ai ::; a~ versus HA : af > ar Suposern que prenem una mostra de grandaria 16 de la primera població donant com a resultats ¿¡!1 X; = 84 i 2=!! 1 X[= 563, i una mostra de grandaria 10 de la segona població tal que ¿;~ 1 Y;= 18 i ¿;~L Y/= 72 l. Determineu els estimadors de maxima versemblanr;a de af i de a~. 2. Feu una prova de la F amb a = 0.05 i concluiu si H0 pot o no rebutjar-se. '"" ""' '"" '"" ,...... '"" '""' ,....._ ,..._ ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... '"' ·"""' '"" ""' """ .... -. """ ,..,.. '""" ,-., ,,...,_ TEMA 3. PROVES D'HIPÓTESI I INTERVALS DE CONFIAN<;A. 3. Suposem ara que volem contrastar H0 : uí ::::; 3u~ versus HA : u? > 3u~. Descriure com dura terme un test F per aquestes hipotesis. 3. 6 Intervals de confianc_;a 3.6.1 Continuació problema 2.8.1 Suposeu que X segueix una distribució exponencial d'esperanc;a T. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. Doneu un interval de confianc;a per a T. 3.6.2 Continuació problema 2.8.2 Suposeu que X segueix una distribució exponencial amb taxa de fallida >.. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. Doneu un interval de confianc;a per a >.. 3.6.3 Continuació problema 3.5.3 Siguin X1, ... , Xm i Y1, ... , Yn dues mostres independents d'una distribució normal amb la mateixa variancia desconeguda u2 i amb mitjanes µ1 i µ2, respectivament, també desconegudes. Feu servir els resultats de la primera part de 3.5.3 per a donar un interval de confianc;a per a la diferencia entre les dues mitjanes de les dues concentracions amb un nivell de confianc;a del 903. 3.6.4 Continuació del problema 2.2.4 i 2.7.3. Si les freqüencies genetiques estan en equilibri, els genotipus AA, Aa i aa ocorren amb probabilitats (1 -8)2, 28(1 - B) i 82 respectivament. A partir de les dades del problema 2.2.4, i basant-vos en la llei asimptotica de !'estimador de maxima versemblanc;a de e, doneu un interval de confianc;a aproximat al 99% per a e. 3.6.5 Després d'un tractament contra l'obesitat, els pesos en Kg. de vuit dones eren 58, 50, 60, 65, 64, 62, 56, 57. Suposeu normalitat. l. Trobeu un interval de confianc;a al 0.95 per la mitjana sabent que u = 3. 2. Trobeu un interval de confianc;a al 0.9 per la mitjana si u és clesconeguda. 3.6.6 Considerem una mostra de midan, X1, ... , X 11 d'una llei normal de mitjana µ i variancia u2 = 16. Trobeu el menor valor den perque [X - 1, X+ 1] sigui un interval de confianc;a peraµ de nivell 0.95. 3.6. 7 Es fan 5 determinacions de les quantitats d'argent d'un mineral i s'obté 5.2, 4.8, 5.3, 5.7 i 5.0 mg. d'argent. Determineu intervals de confianc;a amb nivell de 0.95 de la mitjana teorica (quantitat d'argent) i de la varianc;a teorica (precisió de l'experiment). Suposeu normalitat. 3.6.8 Es calcula que la quantitat de nicotina que tenen els cigarrets de determinada marca segueix una distribució N(30, u2 ). Agafem deu cigarrets d'aquesta marca a l'atzar i obtenim 1 1 0 I:~=l (Xi -30) 2 = 12.4 Trobeu un interval de confianc;a per a u amb nivell de confianc;a de 0.9. 3.6.9 Es pren una mostra de mida 3 d'una variable aleatoria normal i dóna 3, 4 i 5. Determinen un i11t0rval de confianc;a de u2 al 90 per cent. 49 50 TEMA 3. PROVES D'HIPÓTESI I INTERVALS DE CONFIANQA. 3.6.10 Un material s'empaqueta en caixes per dos proveedors A i B. Els pesos de les caixes d' A presenten una distribució N(µ 1, 0.072) i les de B una N (µ2, 0.042 ). Una mostra de 100 caixes d' A dóna una mitjana de 0.99 Kg., i una mostra de 300 caixes de B dóna una mitjana de 1.01 Kg. Determineu un interval de confianr;a per a µ1 -µ2 al 95 per cent. 3.6.11 Considerem dues mostres inde¡¡endents X1, ... , Xn, Y1, ... , Yn de dues poblacions de lleis N(µ 1, u2) i N(µ 2, u2) respectivament. Trobeu un interval de confianr;a per µ1 -µ2 amb un nivell de confianr;a del 0.95 si Sl = 3.42, S} = 2.57, X = 23.36, Y = 25.2, n = 40. 3.6.12 Sigui X1, ... , Xn una mostra de midan d'una llei uniforme U(O, B), B >O. Designem per X(n) el máxim de X1, ... , Xn. Calculeu la distribució de X(n)/B, i utilitzeu aquest resultat per a construir un interval de confianr;a de 8 de nivell 0.9. 3.6.13 Sigui X1, ... , Xn una mostra d'una exponencial de mitjana A desconeguda. Quan ha de valer n per tal que l'interval de confianr;a al nivell 95% obtingut utilitzant la desigualtat de Txebitxev per a la mitJ"ana poblacional sigui [2ªXn 2 axn ]? 21 ' 19 . 3.7 Exercicis i problemes de repas 3. 7.1 Sigui X1, ... , X25 una mostra de la distribució normal amb mitjana µ desconeguda i variáncia igual a 100. l. Trobeu la regió de rebuig pera un procediment ambo:= 0.10 de Ha : µ=O versus HA : ¡t = 1.5. 2. Quina és la potencia d'aquest procediment? 3. Repetiu el mateix per o: = 0.01. 4. Feu la prova de la raó de versemblanr;a generalitzada per a contrastar Ha : µ = O versus HA : p. -:/= O per a o: = 0.10. 5. Feu una gráfica de la fundó de potencia en funció de µ. 6. Repetiu el mateix per o: = 0.05. 7. Repetiu el mateix per n = 100. 3. 7 .2 El nombre X de vega.des que es pot encendre i apagar un endoll fins que falla segueix una distribució geometrica amb parámetre p. Donada una mostra aleatoria de 10 endolls i donat que la suma de vegades del total dels 10 endolls que es van poguer encendre i apagar fins que van fallar va ser de 15169 vegades, rebutjarieu l'hipotesi Ha : p = 0.00005 en favor de !'alternativa H1 : p > 0.00005 amb un nivell de significació del 0.05? 3. 7.3 Sigui X1, ... , Xn una mostra d'una distribució que té per funció de densitat: f (x; B) = Bx 11 -1 O < x < 1 a on el parámetre B > O és desconegut. Es desitja saber si es pot concloure que B > 1 basant.-nos en una mostra de grandária 8. l. Plantejeu formalment el problema. ""'· ,...., ....._ '""' -- "' '""' '"'"' """' -. ..... .... ""' ""' ..... .... .... ...... ..... ,...__ '"' .... ""' .... ...... ...... ...... ·'""' ""' TEMA 3. PROVES D'HIPOTESI I INTERVALS DE CONFIAN(JA. 2. Demostreu que la funció de densitat conjunta de la mostra té una raó de versemblarn;a monotona en l'estadístic T. Precisseu l'expressió d'aquest estadístic. 3. Demostreu que existeix una prova que és uniformement més potent (UMP) i determineu genericament la regió de rebuig d'aquesta prova. 4. Es desitja concretar la regió de rebuig per un nivel! de significació a0 = 0.05. Indicació: Sigui X una v.a. distribuida segons una llei gamma de parametres (n,t). Cal utilitzar la següent relació: Prob(X :::; a) = Prob(Y;:::: n) on Y és una v.a. que es distribueix segons la llei d'una Poisson de parametre at, i utilitzar les taules de la Poisson. 3. 7.4 Quan les morts a causa d'una malaltia rara, pero no contagiosa, esdevenen aleatoriament i uniformement dins d'una població, el nombre de morts en una regió amb població igual a P (ésa dir, amb un nombre d'habitants igual a P) es distribueix con una llei de Poisson de mitjana µP. l. Suposem que el nombre de morts observades en n regions amb poblacions P1, P2, .•• , Pn són Y1, Y2, ... , Y;,. Deriven una expressió pel maxim de versemblarn;a de µ. Anomeneu-lo {l. 2. La següent taula dóna el nombre d'homes morts de cancer de fetge (el cancer de fetge es pot considerar una malaltia rara) durant 4 anys a les regions d'Ontario. Regio ns pi Morts Regió 1 423.447 37 Regió 2 175.685 11 Regió 3 1.245.379 72 Regió 4 413.465 40 Regió 5 216.476 12 Regió 6 242.810 14 Regió 7 213.591 16 Regió 8 166.045 9 Regió 9 265.880 15 Regió 10 116.371 12 Trobeu {l per aquestes dades i calculen el nombre de morts esperades a cada regió. Creieu que aquestes dades són consistents amb les suposicions fetes a l'apartat 1?. 3. Suposem ara que Y1, Y2, ... , Y;, són variables aleatories de Poisson de mitjanes >. 1, >.2, ... , An i siguin P1,P2, ... , Pn constants positives conegudes. Consideren la hipotesi: Ho: >.1 = µP1, >.2 = µP2, ... , An = µPn on µ és desconegut. Demostreu que la prova de la raó de versemblarn;a generalitzada per contrastar aquesta hipotesi és n -2logA = 2I::Y;log(Y;/~i) i=l cm ~i = ¡1Pi i {l és !'estimador de maxima versemblan<_;a trobat a l'apartat l. 51 52 TEMA 3. PROVES D'HIPÓTESI I IN'TERVALS DE CONFIANQA. 4. Apliqueu aquest últim resultat per concloure si les taxes de mort (proporció de morts a cada població) de les 10 regions són proporcionals a les poblacions de les regions. 3.7.5 Disposem de 100 maquines, cadascuna de les quals fabrica un lot de 40 peces. Les peces poden ser de dues classes: A i B; i cada maquina fabrica un 30 per cent de peces de tipus B. Prenem una mostra de deu peces de cada lot i s'anota el nombre de peces de tipus B. Els resultats són: número de peces tipus B O 1 2 3 4 5 ~ 6 número de mostres 1 10 27 36 25 1 O Donat que no sabem si les mostres es varen prendre amb reposicio o sense, contrasteu amb un nivell a= 0.1 cadascuna d'aquestes hipotesis. • 3. 7.6 Tenim una mostra de midan d'una v.a. X amb distribució uniforme en {1, ... , N} on N és un nombre natural desconegut. Donat un natural N0, construiu un test per a contrastar: Ho: N =No, H1: N :/:-No. ~ "" -- ........ ........ "" "" -- ,..._ - ""' ...... ...... ...... "" "" ...... - ........ ,....., "'"' ,.... ,.... ..... ...... - - ~ ,,...,, ,--_ ,_...,, TEMA4 Proves pera la validesa d'un model 4.1 La prova d'ajustament de la x2 4.1.1 La distribució de Poisson es pot utilitzar coma model de trafic quan aquest és lleuger, ja que es basaria en el fet que si la taxa d'arribada és aproximadamaent constant i el trafic no és gaire dens (ésa dir, els cotxes poden circular independentment un dels altres), la distribució del nombre de cotxes en un interval de temps donat, o en una area donada, és aproximadament Poisson. A continuació donem una taula que mosra el nombre de girs a la dreta durant 300 intervals de 3 minuts a un encreuament donat. Aquests 300 intervals estan distribu1ts durant varies hores del dia i varis dies de la setmana. Ajusteu una distribució de Poisson i feu una prova d'ajustament usant l'estadístic x2 de Pearson. 11 frequencia o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 30 36 68 43 43 30 14 10 6 4 1 12 13+ 1 o 4.1.2 En un estudi ecologic sobre el comportament alimentici dels ocells, es va comptar el nombre de salts (n) entre vols per a uns quants ocells. A partir de les dades següents, ajusteu la distribució geometrica, trobeu un interval de confiarn;a per a pi feu una prova d'ajustament. n frequencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 31 20 9 6 5 4 2 1 1 2 1 4.1.3 La següent taula dóna el número de morts degut a caigudes accidentals pera cada mes de l'any 1970. Trobeu alguna evidencia per a pensar que el número de morts per mes no es distribueix uniformement? Trobeu alguna tendencia estacional? mes Gener Febrer Man; Abril Maig Juny núm. morts 1668 1407 1370 1309 1341 1338 mes Juliol Agost Setembre Octubre Novembre Decembre núm. morts 1406 1446 1332 1363 1410 1526 53 54 TEMA 4. PROVES PERA LA VALIDESA D'UN MODEL 4.1.4 Considereu una prova d'ajustament pera una distribució multinomial amb dues classes. Denotem el número d'observacions a cada classe per XI i X2 i les probabilitats de cada classe per PI i P2L'estadístic x2 de Pearson ve donat per 2 Q = L (Xi - npi)2 np; Demostreu que i que sota Ho: PI= p~, Q '""xii=I Q = (XI - npI) 2 npI (1 - PI) 4.1.5 Al 1965, un diari va publicar una historia sobre un estudiant que afirmava que havia llern;at una moneda 17950 vegades i que havia obtingut 9207 cares i 87 43 creus. l. Representa aquest resultat una discrepancia important sobre la hipotesi H0 : p = 0.5? 2. Un estadístic es va posar en contacte amb ell i li va preguntar que com havia fet l'experiment. L'estudiant per estalviar-se temps havia fet grups de 5 monedes i havia registrat els següents resultats: número cares freqüencia o 1 100 524 2 3 4 5 1080 1126 655 105 Són aquestes dades consistents amb l'hipotesi que les monedes eren equilibrades? 3. Són aquestes dades consistents amb l'hipotesi que les 5 monedes tenien la mateixa probabilitat de cares encara que aquesta no fos necessariament 0.5? 4.1.6 En una mostra aleatoria de 1800 valors d'una distribució uniforme a l'interval (O, 1), es va trohar que 391 valors estaven entre O i 0.2; 490 valors entre 0.2 i 0.5; 580 valors entre 0.5 i 0.8; i 339 valors entre 0.8 i l. Contrasteu l'hipotesi nul.la H0: La mostra prové d'una U(O, 1), mitjanc;ant una prova d'ajustament de x2 amb probabilitat d'un error de tipus I igual a 0.01. 4.1. 7 La distribució de les alc;ades deis homes d'una gran ciutat se suposa que es distribueix normalment amb mitjana 173 cm. i desviació estandar 2.54 cm. Vam agafar una mostra de 500 homes d'aquesta ciutat i vam obtenir la següent distribució: 18 homes mesura ven menys de 168 cm.; 177 homes mesura ven entre 168 cm i 171 cm.; 198 homes mesuraven entre 171 cm i 174 cm.; 102 homes mesuraven entre 174 cm i 178 cm.; 5 homes mesuraven més de 178 cm. l. Penseu que aquesta mostra és representativa deis homes que viuen en aquesta cintat en el que fa referencia a l'alc;ada?. 2. Abans d'haver agrupat en intervals aquestes alc;ades es va trobar que la mitjana d'aquest.s 500 homes era Xn = 171.7 cm i la varianc;a mostral "'.'.:I S2 = 2.54cm2. Torneu a contestar la pregunta de l'apartat a) fent servir ara la nova informació. -. -. ..... -. """ -. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ""' ..... -. ..... ..... ..... ..... ..... - '"' -. ,.;.,.::· .. , .~ .~ " TEMA 4. PROVES PERA LA VALIDESA D'UN MODEL 4.1.8 La següent taula dóna els comptatges observats en intervals d'un segon a l'experiment dut a terme per Berkson sobre l'emissió de partícules a. Es tracta de compravar si la distribució de Poisson ajusta be aquestes dades. Les dades són les següents: n observat o 5267 1 4436 2 1800 3 534 4.2 La prova de Kolmogorov-Smirnov 4 111 5+ 21 4.2.1 La següent taula dóna 50 valors. Feu servir la prava de Kolmogorav-Smirnov per a contrastar que: l. Les 50 dades pravenen d'una distribució normal de mitjana 26 i de varian<;a 4. 2. Les 50 dades pravenen d'una distribució normal de mitjana 24 i de varian<;a 4. 25.088 26.615 25.468 27.453 23.845 25.996 26.516 28.240 25.980 30.432 26.560 25.844 26.964 23.382 25.282 24.432 23.593 24.644 26.849 26.801 26.303 23.016 27.378 25.351 23.601 24.317 29.778 29.585 22.147 28.352 29.263 27.924 21.579 25.320 28.129 28.478 23.896 26.020 23.750 24.904 24.078 27.228 27.433 23.341 28.923 24.466 25.153 25.893 26.796 24.743 Mostra 1, Dades exercici 4.2.1 4.2.2 Se seleccionen 25 observacions (Mostra 2) a l'atzar de la població 1 amb distribució desconeguda F. També seleccionem 20 observacions (Mostra 3) de la població 2 amb funció de distribució desconeguda G. Feu servir la prava de Kolmogorav-Smirnov pera contrastar que: l. Les dues poblacions tenen la mateixa distribució. 2. Si X denota la v.a. que representa la població 1 i Y la v.a. que representa la població 2, feu la prava d'hipotesi que les funcions de distribució de X + 2 i de Y són identiques. 3. Amb la mateixa notació que a l'apartat anterior, feu la prava d'hipotesi que les funcions de distrilmció de X i de 3Y són identiques. 061 0.29 0.06 0.59 -1.73 -0.74 0.51 -0.56 -0.39 1.64 0.05 -0.06 0.64 -0.82 0.31 1.77 1.09 -1.28 2.36 1.31 1.05 -0.32 -0.40 1.06 -2.47 2.20 1.66 1.38 0.20 0.36 0.00 0.96 1.56 0.44 1.50 -0.30 0.66 2.31 3.29 -0.27 -0.37 0.38 0.70 0.52 -071 Mostra 2, Dades exercici 4.2.2 Mostra 3, Dades exercici 4.2.2 55 56 TEMA 4. PROVES PERA LA VALIDESA D'UN MODEL 4.2.3 Un grup de 23 rates que s'ha utilitzat amb finalitat experimental té un pes mig de µ0 = 370.6 gr i una desviació estandar a0 = 29.l gr. Les dades són les següents: 356.4 346.6 365.9 362.5 314.2 384.4 394.7 394.8 297.4 356.0 370.7 404.3 387.6 370.8 412.0 305.1 434.2 349.1 385.l 365.2 344.5 383.2 377.l Utilitzeu la prova de Kolmogorov-Smirnov per a decidir si la distribució dels pes d'aquestes ra.tes és N(µo,ao). 4.2.4 Una agencia de viatges vol determinar si la durada de les trucades telefoniques dels seus clients segueix una distribució exponencial. La darrera setmana aquesta agencia va enregistrar les durades de totes les trucades i obtingué els següents resultats en segons: 4 6 5 8 9 10 12 8 16 20 24 27 33 37 43 50 58 68 70 78 88 100 120 130. Creieu que aquestes dades indiquen que la durada de les trucades telefoniques queden governades per una distribució exponencial.? Utilitzeu la prova de Kolmogorov-Smirnov pera resoldre-ho. 4.3 Papers i grafics de probabilitat 4.3.1 Els temps de falla en hores d'una component d'un avió són les següents: 0.88 1.33 1.00 2.50 1.32 0.50 0.22 3.00 1.54 1.76 l. Creieu que el model de Weibull és apropiat? Raoneu la resposta. 2. En cas afirmatiu, estimeu el valor deis parametres a i (3. 3. Quina proporció de components funcionen correctament més d'una hora? 4. Quin és el percentil del 103? 4.3.2 Les duracions en hores de 37 components han sigut les següents: 10 15 20 22 32 40 42 46 48 51 60 71 76 87 93 105 112 116 127 131 172 195 207 219 238 260 300 342 382 435 460 490 520 600 630 670 770 ...... ...... -. .-._ .-._ ....., ...... .... .... .... .... .... -. ...... ...... ~. ~. ....... ~ ""' ...... ...... ..... - .... "' TEMA 4. PROVES PERA LA VALIDESA D'UN MODEL l. Feu servir un paper de probabilitat semilogarítmic per a veure si aquestes duracions són una mostra d'una llei exponencial de parametre e. Calculeu amb l'ajuda del grafic el valor del parametre e . 2. Calculeu ara el valor del parametre e mitjam;ant el metode de la maxima versemblarn;a. 3. Feu una prava x2 prenent com a valor de e el trobat a l'apartat anterior. 4. Discutiu les diferencies entre c) i d) i raoneu quina de les dues proves és més adequada. 4.3.3 Es consideren els cicles de funcionament de 15 relés electrics observats fins a fallar, on el criteri de falla consisteix en superar un determinat nivell de resistencia al contacte. Els temps de falla observats són: 6.2 14.4 20.6 9.0 14.7 23.0 10.2 16.l 26.7 12.l 12.6 18.6 20.5 27.6 34.3 Ajusteu un model de Weibull per aquestes dades mitjarn;ant: l. Un paper de probabilitat 2. El metode de la maxima versemblarn;a (i l'ajut del paquet estadístic que preferiu). Calculeu en ambdós casos els parametres a i fJ. 4.4 Exercicis i problemes de repas 4.4.1 Les dades següents representen la duració en hores de 20 valvules electriques: 7.2 3.8 29.8 37.8 8.1 57.8 49.6 23.2 84.6 21.4 72.1 12.8 67.2 41.1 11.4 17.5 2.9 42.7 Mostra 4, Exercici 4.4.1 7.4 33.4 Podem acceptar amb error de primera especie menor que 0.01 que la duració d'aquestes valvules segueix una distribució exponencial? 4.4.2 Contrasteu mitjanr;ant un test de Kolmogorov si les dades del problema 4.4.l provenen d'una distribució exponencial de parametre 0.03. 57