Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol. 11,4, 669-681(1995)
UMA
FORMULACÁO
DE
VOLUMES
FINITOS
PARA A SOLUCÁO DE PROBLEMAS
CONVECTIVOS-DIFUSIVOS,
PARA
QUAISQUER
NÚMEROS
DE
PECLET
CARLOS M. FERNANDES
e
MAURI FORTES
Depa amen o de Engenha ia Mecanica
Uni e sidade Fede al de Minas Ge ais
Belo Ho izon e
-
Minas Ge ais
-
B azil
Ap esen a-se uma me odologia de olumes ini os pa a solucáo de p oblemas con ec i os-
di usi os, que pode se aplicada a escoamen os en ol endo quaisque alo es de núme os locais
de Pecle . O mé odo em po base a in eg acáo do e mo de ad eccáo ao longo da linha de
co en e e uma in eg as50 especial dos e mos di usi os, pela u ilizaciio de médias de luxos nas
on ei as dos olumes de con ole. O mé odo p opos o mos ou-se bas an e e icaz e acu ado
pa a esol e p oblemas complexos que no malmen e le am a dispe soes e di usóes numé icas.
SUMMARY
A ini e olume me hod o he solu ion o con ec i e-di usi e p oblems is p esen ed, which
can be applied o lows wi h any Pecle numbe s. The me hod is based on he in eg a ion o he
ad ec i e e m along a s eam line and a special in eg a ion o he di usi e e ms, using a e age
low a he bounda y a he con ol olumes. The p oposed me hod has shown o be e icien
and acu a e in complex applica ions no mally leading o nume ic dispe sion and di usion.
O
mé odo de olumes ini os, MVF, (Spalding17), desen ol ido isando a solucáo
numé ica das equacóes de Na ie -S okes e de p oblemas con ec i os-di usi os, mos ou-
se bas an e compe i i o em elacáo aos mé odos de di e encas ini as (MDF) e de
elemen os ini os (MEF). As solucóes numé icas ob idas po meio de écnicas do MVF
(Pa anka 7,
Rai hbyl1~l2, Sha i e Busnaina15; Pa el e MEF (Rice e Schnipke13,
B ooks e Hughesl) e MDF (Ho man4), ap esen am p oblemas (e os) numé icos,
chamados de alsa di usáo e dispe sáo numé ica. Sha i e Busnaina15 azem dis incáo
Recibido: Ene o 1995
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
670
C.M.
FERNANDES E
M.
FORTES
en e di usao e dispe sa0 numé icas: pode-se de ini di usa0 numé ica como qualque
e ei o que ende a sua iza ou amo ece g adien es ou descon inuidades p esen es na
soluciio exa a de um p oblema, enquan o que dispe sa0 numé ica
é
o e ei o que esul a
em oscilacoes na soluqao ap oximada.
Um g ande núme o de mé odos ou esquemas isando a diminuicao de di usiio e
dispe siio numé icas encon am-se disponí eis, na li e a u a, em e isoes ab angen es
aplicadas ao MDF (Ho man4), MVF (Pa anka 7, Pa el e al.', Ma chi5) e MEF (Rice e
Schnipke13, B ooks e Hughesl; Zienkiewicz e Taylo 18). As écnicas de MDF, MVF
e MEF mais ci adas na li e a u a e e en e a soluqGes de equacoes de con ecciio-
di usao, le a am aos esquemas de Di e encas a Mon an e (Upwind Di e ence Scheme
ou UDS) (B ooks e Hughesl, Pa anka 7; Pa el e al.')
,
de Di e encas Cen ais (Cen al
Di e ence Scheme ou CDS) (B ooks e Hughesl, Pa anka 7, Pa el e al.'; Nieckele6),
Exponencial (Locally-Exac Di e ence Scheme ou LEDS) (Spalding17, Pa anka 7)
;
Híb ido (Hyb id Di e ence Scheme ou HDS) (Spalding17); Lei de Po encia (Powe
Di e ence Scheme ou PDS) (Pa anka 7, Pa el e al.'); de Di e encas
a
Mon an e
Assimé ico (Ske Ups eam Di e ence Scheme ou SUDS) (Rai hbyl1,l2); de Di e encas
Ponde adas a Mon an e (Weigh ed-Ups eam Di e ence Scheme ou WUDS) (Rai hby
e To ancel0); de In e polaqk Quad á ica a Mon an e pa a Cinemá ica Con ec i a
(Quad a ic Ups eam In e pola ion o Con ec i e Kinema ics ou QUICK); Di e encial
Adap á el (Adap able Di e ence Scheme ou ADS) (Ma chi5); MEF com o mulacao
de Gale kin (B ooks e Hughesl); MEF do ipo mon an e (Upwind) na di eeso das
linhas de co en e, que u ilizam a omulacao de Pe o -Gale kin, mínimos quad ados,
esquemas de in e polacao de al a o dem e ou as ap oximacoes (B ooks e Hughesl, Rice
e Schnipke13)
Como em sido e idenciado na li e a u a (B ooks e Hughesl, Smi h e Hu on16,
Pa el e Ma chi5; Zienkiewicz e Taylo 18), p a icamen e odos os esquemas
numé icos de MDF, MEF e MVF in oduzem di usa0 e dispe siio numé icas nas
solucoes.
Tendo po base a e isa0 sucin a ap esen ada acima e os seguin e a gumen os:
nao oi encon ado, na li e a u a e is a, um esquema que pudesse se conside ado
ó imo, em e mos de minimizacao de alsa di usao e dispe sa0 numé ica pa a uma
as a gama de núme os de Pecle ;
m
que exis e
a
possibilidade de explo a$io de écnicas en ol endo odos ou dois dos
MVF, MEF e MDF;
m
que exis em p oblemas que 6m sido acei o, pela li e a u a de di e encas, olumes
e elemen os ini os como pad oes (benchma k), que, embo a nao pe mi am in e i
que um mé odo
é
"ó imo", pe mi em, po ou o lado, compa a os esul ados a
se em ob idos po um de e minado esquema com á ios ou os p opos os e em uso
co en e, os obje i os especí icos des e abalho sao:
-
ap esen a uma me odologia de olumes ini os pa a a soluciio de p oblemas
con ec i os-di usi os, endo po base um esquema a mon an e, na di eeso das
linhas de co en e;
-
ap esen a um conjun o de solucoes de p oblemas pad oes (benchma k) e
compa a as solucoes ob idas pelo mé odo p opos o com ou as soluq6es
numé icas disponí eis na li e a u a.
O obje i o des e abalho
é
a soluciio numé ica da equaciio de di usiio-con ecciio
ou equaciio de anspo e
em que u e s5o as componen es da elocidade nas di esoes das coo denadas
x
e
y,
p
é
a massa especi ica,
4
é
a a iá el dependen e, S
é
o e mo on e e
é
o coe icien e
di usi o.
Ob encao de a iá eis a mon an e
Nes e abalho, desen ol eu-se uma écnica de disc e izaciio dos e mos de
ad ecciio, que possui algumas semelhancas com a écnica desen ol ida po Rice e
Schnipke13, num esquema do MEF, isando a sua aplicaciio po meio do MVF.
Os e mos con ec i os da equaciio
(1)
podem se eesc i os em coo denadas de
linha de co en e (s,n), Figu a
1
,
na o ma
em que
S
é
uma coo denada de linha de co en e e u,, o e o elocidade angen e
a
linha de co en e,
é
dado po : u,
=
dw
Figu a
1.
Coo denadas de linhas de co en e
Subs i uindo a equac5o (2) na equac5o
(l),
em-se
672
C.M.
FERNANDES E
M.
FORTES
A malha compu acional mos ada na Figu a 2 de ine qua o olumes de con ole,
que possuem, em comum, o pon o nodal P. Admi e-se, a p io i, que o pon o P seja
um pon o nodal "downwind"
,
is o
é,
um pon o a jusan e de uma linha de co en e do
campo de escoamen o. Supóe-se se conhecido o e o elocidade no pon o
P.
O
c i é io
de escolha do olume de con ole e e en e ao pon o nodal P pode se exempli icado
como segue.
Se
o e o elocidade no pon o
P
es i e di igido pa a o quad an e
1
da
malha compu acional, Figu a 2, as coo denadas (x',y') es a 20, necessa iamen e, nos
lados
S
ou w do quad an e
111
(ou coincidi 20 com
S
ou
W).
Nes e caso, o quad an e
111
o na-se o olume de con ole pa a a in eg as50 da equa~iio
(2).
Raciocínio análogo
pode se aplicado no caso das ou as di ecóes plausí eis de
V.
LID01
Figu a
2.
Esquema pa a isualizac50 do pon o a mon an e (upwind) de um pon o nodal
P
A localizaqáo do pon o (x',y') a mon an e da linha de co en e pode se a aliada
a
pa i de a o es de in e polac20, como ei o po Schnipke e Rice13. Os alo es de Fp e
Fn s2o de inidos pelas exp essóes abaixo, em unc2o das azoes mássicas nas on ei as
do olume de con ole (Figu a
3):
F4
F2
Lado 1:
Fp
=
max(min(abs(-,
l),
0) e Fn
=
max(min(abs(-,
l),
0)
(4)
F3
Fl
As azóes mássicas podem se a aliadas po exp essoes da o ma (Figu a
3)
Y
S
YS
F~
=
J
pu
dy
-
J
p
dx
YSW YSW
Nes e abalho supóe-se que oda p op iedade ( a iá el) dependen e (u, ,+ po
exemplo) pode se in e polada po um polinomio linea em odo o olume de con ole
e em sua supe ície. Pa a o caso de luidos incomp essí eis, a in eg aciio da exp ess50
acima le a a
FORMULACAO
DE
V.
F.
PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER
N.
DE PECLET
673
A Figu a
3
mos a como Fp e Fn sáo o ien ados no olume de con ole em elaqiio
ao nó "downwind"
P.
Os a o es de in e polaqáo a iam de ze o a um. Se o pon o a
mon an e es i e no lado
1,
o alo Fn se á um núme o en e ze o e um e Fp se á igual
a um. Se o pon o a mon an e es i e no lado qua o Fn se á igual a um e Fp e á alo
en e ze o e um. Se o pon o a mon an e coincidi com o pon o nodal SW, en áo, Fp e
Fn se áo iguais
a
um.
"
',
4
"
SW.
x'."',
a'
Figu a
3.
Vazoes mássicas e a o es de in e polacao ela i os a um olume de con ole
no e cei o quad an e
Após calcula os a o es de in e polaqáo, podem-se de e mina as coo denadas (x,y)
do pon o "ups eam" e o alo da p op iedade
qi
nes e pon o. Se o pon o nodal P o um
pon o "downwind" pa a a linha de co en e que passa pelo e cei o quad an e, en iio,
sup6e-se, nes e abalho, que
4'
=
(1
-
Fp)qiw
+
(1
-
Fn)qis
+
FpFnqisw
(9)
Exp essoes simila es podem se ob idas pa a ou os nós si uados em quad an es
di e en es.
Disc e izaciio da equacáo de anspo e
A im de ob e um algo i mo de disc e izaqáo da equaqáo (4), de e-se de ini o
quad an e no qual se á ei a a in eg aqáo. Pa a isso analisa-se a di eqiio e o sen ido
do e o elocidade. Conside e a malha compu acional ap esen ada na Figu a
2.
In eg ando a equaqáo (4), no e cei o quad an e dessa igu a, em-se
e
n
e
n
e
n
dxdy
=
a
aqi
aqi
J J
-( -)
dxdy
+
J J
aay( -) dxdy
+
JJ
S
dxd~ (10)
dx dx
W
S
W
S
ws
ay
WS

674
C.M.
FERNANDES E
M.
FORTES
Nes a equaqiio, o e mo ad ec i o pode se ap oximado po
sendo
Ax
e
Ay
siio as dimensoes do olume de con ole e
In eg ando a equaqiio (lo), em-se
onde
e
n
S'
=
//S;
dxdy
W
S
Admi indo-se que as p op iedades nas on ei as em e,
w,
n e s sejam ob idas pela
média a i mé ica das p op iedades nos pon os nodais adjacen es, a equaqiio
(13)
pode
se eesc i a na o ma
Fazendo
Dn
=
Ax(~P
+
w)
Ds
=
(
w s
+
sw)
4(S~)n
~(SY),
onde
(sx),
=
XE
-
xp
e
(sx),
=
xp
-
xw
(18)
Subs i uindo as equacóes
(16)
e
(17)
em
(15)
em-se
Reag upando os e mos nes a equaciio, ob ém-se
ap4p
=
UE~E
+
aw4w
+
UN~N
+
as+s
+
b
em que
b
=
(AFpFn
+
DW
+
D.s)~sw
+
D~~Nw
+
De4SE-
-
(Dn
+
Ds)4~
-
(De
+
DW)4s
+
S'
A
im de alida o modelo p opos o, soluciona am-se dois p oblemas que em sido
conside ados como pad óes (benchma k) pa a se a alia a capacidade de um mé odo
qualque (MDF, MEF ou MVF) minimiza alsa di usiio e dispe sa0 numé icas.
676
C.M.
FERNANDES E
M.
FORTES
Escoamen o lamina pu amen e con ec i o
Es e p oblema e e o obje i o de analisa a capacidade de o mé odo p opos o nes e
abalho p edize o anspo e pu amen e con ec i o de uma p op iedade ao longo de
uma linha de co en e.
O
domínio do p oblema
é
uma egia0 quad ada, como mos ado
na Figu a
4.
P esume-se que o campo de elocidade seja uni o me no d~míniol~~~~~;
ii
en ada da egiáo, em y
<
y,, a p op iedade
4
do luido ale
1
e em y
2
y,,
4
=
0.
Figu a
4.
Esquema do p oblema de escoamen o pu amen e con ec i o
Sendo nulo o coe icien e di usi o
,
a equacáo de anspo e pa a o p oblema,
equacao (4) o na-se
84
PUS-
=
O
em que
u
=
cos 8
e
=
seno
as
(23)
em que u e si50 os componen es do e o elocidade e 8
é
o angulo de inclinacáo do
e o elocidade em elacáo eixo de coo denadas x.
As condicoes de con o no sáo
As condicoes de con o no nos lados de saída do escoamen o nao de em, em
p incípio, se especi icadas, pois a equacao (23)
é
uma equacáo di e encial hipe bólica
de p imei a o dem.
O
p oblema oi simulado pa a alo es de 8 iguais a 22.5, 45 e 67.5'.
A
egia0 do escoamen o oi disc e izada numa malha com 21x21 pon os nodais.
Os esul ados es áo plo ados nos g á icos das Figu as
5
e 6; os dados pa a 67.5'
nao o am mos ados pois coincidi am (sime icamen e) com os dados pa a 22.5'.
Vá ios au o es (B ooks e Hughesl, Rice e Schnipkel4, Fe nandes e Lemos2,
Zienkiewicz e Taylo 18; Pa anka 7) publica am solucoes numé icas pa a es e p oblema,
ob idas pela aplicacao de á ios esquemas dos MEF e MVF pa a o a amen o do e mo
con ec i o da equaqao de anspo e. A maio pa e dos esquemas, neles incluidos
o de Gale kin e Pe o -Gale kin (Zienkiewicz e Taylo 18) e SCDS, ap esen a am
FORMULA~AO
DE
V.
F. PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N.
DE
PECLET
677
oscilacoes espaciais náo ísicas e os modelos CDS,
UDS,
LEDS e seus assemelhados
(Pa anka 7, B ooks e Hughesl) ap esen a am p oblemas de di usáo numé ica.
O
modelo, ap esen ado nes e abalho, náo mos ou p oblemas de oscilacoes espaciais nao
ísicas. Pa a o Angulo
O
=
45O, a solucáo numé ica coincidiu com a exa a, náo oco endo
qualque di usáo numé ica. Pa a
O
=
22.5O e 67.5O oco eu uma pequena alsa di usáo,
que, no en an o, oi igual ou meno que o ap esen ado po odos os esquemas ci ados.
Figu a 5. SolucCio do p oblema pu amen e con ec i o pa a
=
22.5'
Figu a
6.
Soluciio do p oblema pu amen e con ec i o pa a
=
45'
O
p oblema
de
Smi h
e
Hu on16
Es e caso- es e oi p opos o po Smi h e Hu on16 com a inalidade de a alia a
pe o mance de á ios mé odos numé icos ao se em aplicados pa a ob e ap oximacoes
pa a a soluqáo de p oblemas con ec i os-di usi os com linhas de co en e cu as
( eci culacáo), condicoes complexas de con o no e sob oda a aixa de núme os de Pecle
(Figu a 7)
O
p oblema de Smi h e Hu on, po an o, pe mi e a alia o desempenho
de esquemas compu acionais quando da soluciio de p oblemas al amen e di usi os e
p oblemas pu amen e con ec i os.
A
equacáo
(3)
oi a aliada no domínio mos ado na Figu a 7, onde o campo de
elocidade
é
dado pelas elaqoes abaixo:
2
2
u
=
2y(l- x
)
e
=
-2x(1-
9
)
pa a
-
15
x
5
1
e
O
5
y
5
1
(25)