Uma formulação de volumes finitos para a solulção de problemas convectivos-difusivos, para quaisquer números de Peclet

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 11,4, 669-681(1995) UMA FORMULACÁO DE VOLUMES FINITOS PARA A SOLUCÁO DE PROBLEMAS CONVECTIVOS-DIFUSIVOS, PARA QUAISQUER NÚMEROS DE PECLET CARLOS M. FERNANDES e MAURI FORTES Depa amen o de Engenha ia Mecanica Uni e sidade Fede al de Minas Ge ais Belo Ho izon e - Minas Ge ais - B azil Ap esen a-se uma me odologia de olumes ini os pa a solucáo de p oblemas con ec i os- di usi os, que pode se aplicada a escoamen os en ol endo quaisque alo es de núme os locais de Pecle . O mé odo em po base a in eg acáo do e mo de ad eccáo ao longo da linha de co en e e uma in eg as50 especial dos e mos di usi os, pela u ilizaciio de médias de luxos nas on ei as dos olumes de con ole. O mé odo p opos o mos ou-se bas an e e icaz e acu ado pa a esol e p oblemas complexos que no malmen e le am a dispe soes e di usóes numé icas. SUMMARY A ini e olume me hod o he solu ion o con ec i e-di usi e p oblems is p esen ed, which can be applied o lows wi h any Pecle numbe s. The me hod is based on he in eg a ion o he ad ec i e e m along a s eam line and a special in eg a ion o he di usi e e ms, using a e age low a he bounda y a he con ol olumes. The p oposed me hod has shown o be e icien and acu a e in complex applica ions no mally leading o nume ic dispe sion and di usion. O mé odo de olumes ini os, MVF, (Spalding17), desen ol ido isando a solucáo numé ica das equacóes de Na ie -S okes e de p oblemas con ec i os-di usi os, mos ou- se bas an e compe i i o em elacáo aos mé odos de di e encas ini as (MDF) e de elemen os ini os (MEF). As solucóes numé icas ob idas po meio de écnicas do MVF (Pa anka 7, Rai hbyl1~l2, Sha i e Busnaina15; Pa el e MEF (Rice e Schnipke13, B ooks e Hughesl) e MDF (Ho man4), ap esen am p oblemas (e os) numé icos, chamados de alsa di usáo e dispe sáo numé ica. Sha i e Busnaina15 azem dis incáo Recibido: Ene o 1995 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 670 C.M. FERNANDES E M. FORTES en e di usao e dispe sa0 numé icas: pode-se de ini di usa0 numé ica como qualque e ei o que ende a sua iza ou amo ece g adien es ou descon inuidades p esen es na soluciio exa a de um p oblema, enquan o que dispe sa0 numé ica é o e ei o que esul a em oscilacoes na soluqao ap oximada. Um g ande núme o de mé odos ou esquemas isando a diminuicao de di usiio e dispe siio numé icas encon am-se disponí eis, na li e a u a, em e isoes ab angen es aplicadas ao MDF (Ho man4), MVF (Pa anka 7, Pa el e al.', Ma chi5) e MEF (Rice e Schnipke13, B ooks e Hughesl; Zienkiewicz e Taylo 18). As écnicas de MDF, MVF e MEF mais ci adas na li e a u a e e en e a soluqGes de equacoes de con ecciio- di usao, le a am aos esquemas de Di e encas a Mon an e (Upwind Di e ence Scheme ou UDS) (B ooks e Hughesl, Pa anka 7; Pa el e al.') , de Di e encas Cen ais (Cen al Di e ence Scheme ou CDS) (B ooks e Hughesl, Pa anka 7, Pa el e al.'; Nieckele6), Exponencial (Locally-Exac Di e ence Scheme ou LEDS) (Spalding17, Pa anka 7) ; Híb ido (Hyb id Di e ence Scheme ou HDS) (Spalding17); Lei de Po encia (Powe Di e ence Scheme ou PDS) (Pa anka 7, Pa el e al.'); de Di e encas a Mon an e Assimé ico (Ske Ups eam Di e ence Scheme ou SUDS) (Rai hbyl1,l2); de Di e encas Ponde adas a Mon an e (Weigh ed-Ups eam Di e ence Scheme ou WUDS) (Rai hby e To ancel0); de In e polaqk Quad á ica a Mon an e pa a Cinemá ica Con ec i a (Quad a ic Ups eam In e pola ion o Con ec i e Kinema ics ou QUICK); Di e encial Adap á el (Adap able Di e ence Scheme ou ADS) (Ma chi5); MEF com o mulacao de Gale kin (B ooks e Hughesl); MEF do ipo mon an e (Upwind) na di eeso das linhas de co en e, que u ilizam a omulacao de Pe o -Gale kin, mínimos quad ados, esquemas de in e polacao de al a o dem e ou as ap oximacoes (B ooks e Hughesl, Rice e Schnipke13) Como em sido e idenciado na li e a u a (B ooks e Hughesl, Smi h e Hu on16, Pa el e Ma chi5; Zienkiewicz e Taylo 18), p a icamen e odos os esquemas numé icos de MDF, MEF e MVF in oduzem di usa0 e dispe siio numé icas nas solucoes. Tendo po base a e isa0 sucin a ap esen ada acima e os seguin e a gumen os: nao oi encon ado, na li e a u a e is a, um esquema que pudesse se conside ado ó imo, em e mos de minimizacao de alsa di usao e dispe sa0 numé ica pa a uma as a gama de núme os de Pecle ; m que exis e a possibilidade de explo a$io de écnicas en ol endo odos ou dois dos MVF, MEF e MDF; m que exis em p oblemas que 6m sido acei o, pela li e a u a de di e encas, olumes e elemen os ini os como pad oes (benchma k), que, embo a nao pe mi am in e i que um mé odo é "ó imo", pe mi em, po ou o lado, compa a os esul ados a se em ob idos po um de e minado esquema com á ios ou os p opos os e em uso co en e, os obje i os especí icos des e abalho sao: - ap esen a uma me odologia de olumes ini os pa a a soluciio de p oblemas con ec i os-di usi os, endo po base um esquema a mon an e, na di eeso das linhas de co en e; - ap esen a um conjun o de solucoes de p oblemas pad oes (benchma k) e compa a as solucoes ob idas pelo mé odo p opos o com ou as soluq6es numé icas disponí eis na li e a u a. O obje i o des e abalho é a soluciio numé ica da equaciio de di usiio-con ecciio ou equaciio de anspo e em que u e s5o as componen es da elocidade nas di esoes das coo denadas x e y, p é a massa especi ica, 4 é a a iá el dependen e, S é o e mo on e e é o coe icien e di usi o. Ob encao de a iá eis a mon an e Nes e abalho, desen ol eu-se uma écnica de disc e izaciio dos e mos de ad ecciio, que possui algumas semelhancas com a écnica desen ol ida po Rice e Schnipke13, num esquema do MEF, isando a sua aplicaciio po meio do MVF. Os e mos con ec i os da equaciio (1) podem se eesc i os em coo denadas de linha de co en e (s,n), Figu a 1 , na o ma em que S é uma coo denada de linha de co en e e u,, o e o elocidade angen e a linha de co en e, é dado po : u, = dw Figu a 1. Coo denadas de linhas de co en e Subs i uindo a equac5o (2) na equac5o (l), em-se 672 C.M. FERNANDES E M. FORTES A malha compu acional mos ada na Figu a 2 de ine qua o olumes de con ole, que possuem, em comum, o pon o nodal P. Admi e-se, a p io i, que o pon o P seja um pon o nodal "downwind" , is o é, um pon o a jusan e de uma linha de co en e do campo de escoamen o. Supóe-se se conhecido o e o elocidade no pon o P. O c i é io de escolha do olume de con ole e e en e ao pon o nodal P pode se exempli icado como segue. Se o e o elocidade no pon o P es i e di igido pa a o quad an e 1 da malha compu acional, Figu a 2, as coo denadas (x',y') es a 20, necessa iamen e, nos lados S ou w do quad an e 111 (ou coincidi 20 com S ou W). Nes e caso, o quad an e 111 o na-se o olume de con ole pa a a in eg as50 da equa~iio (2). Raciocínio análogo pode se aplicado no caso das ou as di ecóes plausí eis de V. LID01 Figu a 2. Esquema pa a isualizac50 do pon o a mon an e (upwind) de um pon o nodal P A localizaqáo do pon o (x',y') a mon an e da linha de co en e pode se a aliada a pa i de a o es de in e polac20, como ei o po Schnipke e Rice13. Os alo es de Fp e Fn s2o de inidos pelas exp essóes abaixo, em unc2o das azoes mássicas nas on ei as do olume de con ole (Figu a 3): F4 F2 Lado 1: Fp = max(min(abs(-, l), 0) e Fn = max(min(abs(-, l), 0) (4) F3 Fl As azóes mássicas podem se a aliadas po exp essoes da o ma (Figu a 3) Y S YS F~ = J pu dy - J p dx YSW YSW Nes e abalho supóe-se que oda p op iedade ( a iá el) dependen e (u, ,+ po exemplo) pode se in e polada po um polinomio linea em odo o olume de con ole e em sua supe ície. Pa a o caso de luidos incomp essí eis, a in eg aciio da exp ess50 acima le a a FORMULACAO DE V. F. PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N. DE PECLET 673 A Figu a 3 mos a como Fp e Fn sáo o ien ados no olume de con ole em elaqiio ao nó "downwind" P. Os a o es de in e polaqáo a iam de ze o a um. Se o pon o a mon an e es i e no lado 1, o alo Fn se á um núme o en e ze o e um e Fp se á igual a um. Se o pon o a mon an e es i e no lado qua o Fn se á igual a um e Fp e á alo en e ze o e um. Se o pon o a mon an e coincidi com o pon o nodal SW, en áo, Fp e Fn se áo iguais a um. " ', 4 " SW. x'."', a' Figu a 3. Vazoes mássicas e a o es de in e polacao ela i os a um olume de con ole no e cei o quad an e Após calcula os a o es de in e polaqáo, podem-se de e mina as coo denadas (x,y) do pon o "ups eam" e o alo da p op iedade qi nes e pon o. Se o pon o nodal P o um pon o "downwind" pa a a linha de co en e que passa pelo e cei o quad an e, en iio, sup6e-se, nes e abalho, que 4' = (1 - Fp)qiw + (1 - Fn)qis + FpFnqisw (9) Exp essoes simila es podem se ob idas pa a ou os nós si uados em quad an es di e en es. Disc e izaciio da equacáo de anspo e A im de ob e um algo i mo de disc e izaqáo da equaqáo (4), de e-se de ini o quad an e no qual se á ei a a in eg aqáo. Pa a isso analisa-se a di eqiio e o sen ido do e o elocidade. Conside e a malha compu acional ap esen ada na Figu a 2. In eg ando a equaqáo (4), no e cei o quad an e dessa igu a, em-se e n e n e n dxdy = a aqi aqi J J -( -) dxdy + J J aay( -) dxdy + JJ S dxd~ (10) dx dx W S W S ws ay WS 674 C.M. FERNANDES E M. FORTES Nes a equaqiio, o e mo ad ec i o pode se ap oximado po sendo Ax e Ay siio as dimensoes do olume de con ole e In eg ando a equaqiio (lo), em-se onde e n S' = //S; dxdy W S Admi indo-se que as p op iedades nas on ei as em e, w, n e s sejam ob idas pela média a i mé ica das p op iedades nos pon os nodais adjacen es, a equaqiio (13) pode se eesc i a na o ma Fazendo Dn = Ax(~P + w) Ds = ( w s + sw) 4(S~)n ~(SY), onde (sx), = XE - xp e (sx), = xp - xw (18) Subs i uindo as equacóes (16) e (17) em (15) em-se Reag upando os e mos nes a equaciio, ob ém-se ap4p = UE~E + aw4w + UN~N + as+s + b em que b = (AFpFn + DW + D.s)~sw + D~~Nw + De4SE- - (Dn + Ds)4~ - (De + DW)4s + S' A im de alida o modelo p opos o, soluciona am-se dois p oblemas que em sido conside ados como pad óes (benchma k) pa a se a alia a capacidade de um mé odo qualque (MDF, MEF ou MVF) minimiza alsa di usiio e dispe sa0 numé icas. 676 C.M. FERNANDES E M. FORTES Escoamen o lamina pu amen e con ec i o Es e p oblema e e o obje i o de analisa a capacidade de o mé odo p opos o nes e abalho p edize o anspo e pu amen e con ec i o de uma p op iedade ao longo de uma linha de co en e. O domínio do p oblema é uma egia0 quad ada, como mos ado na Figu a 4. P esume-se que o campo de elocidade seja uni o me no d~míniol~~~~~; ii en ada da egiáo, em y < y,, a p op iedade 4 do luido ale 1 e em y 2 y,, 4 = 0. Figu a 4. Esquema do p oblema de escoamen o pu amen e con ec i o Sendo nulo o coe icien e di usi o , a equacáo de anspo e pa a o p oblema, equacao (4) o na-se 84 PUS- = O em que u = cos 8 e = seno as (23) em que u e si50 os componen es do e o elocidade e 8 é o angulo de inclinacáo do e o elocidade em elacáo eixo de coo denadas x. As condicoes de con o no sáo As condicoes de con o no nos lados de saída do escoamen o nao de em, em p incípio, se especi icadas, pois a equacao (23) é uma equacáo di e encial hipe bólica de p imei a o dem. O p oblema oi simulado pa a alo es de 8 iguais a 22.5, 45 e 67.5'. A egia0 do escoamen o oi disc e izada numa malha com 21x21 pon os nodais. Os esul ados es áo plo ados nos g á icos das Figu as 5 e 6; os dados pa a 67.5' nao o am mos ados pois coincidi am (sime icamen e) com os dados pa a 22.5'. Vá ios au o es (B ooks e Hughesl, Rice e Schnipkel4, Fe nandes e Lemos2, Zienkiewicz e Taylo 18; Pa anka 7) publica am solucoes numé icas pa a es e p oblema, ob idas pela aplicacao de á ios esquemas dos MEF e MVF pa a o a amen o do e mo con ec i o da equaqao de anspo e. A maio pa e dos esquemas, neles incluidos o de Gale kin e Pe o -Gale kin (Zienkiewicz e Taylo 18) e SCDS, ap esen a am FORMULA~AO DE V. F. PARA PROBL. CONV.-DIF., PARA QUAISQUER N. DE PECLET 677 oscilacoes espaciais náo ísicas e os modelos CDS, UDS, LEDS e seus assemelhados (Pa anka 7, B ooks e Hughesl) ap esen a am p oblemas de di usáo numé ica. O modelo, ap esen ado nes e abalho, náo mos ou p oblemas de oscilacoes espaciais nao ísicas. Pa a o Angulo O = 45O, a solucáo numé ica coincidiu com a exa a, náo oco endo qualque di usáo numé ica. Pa a O = 22.5O e 67.5O oco eu uma pequena alsa di usáo, que, no en an o, oi igual ou meno que o ap esen ado po odos os esquemas ci ados. Figu a 5. SolucCio do p oblema pu amen e con ec i o pa a = 22.5' Figu a 6. Soluciio do p oblema pu amen e con ec i o pa a = 45' O p oblema de Smi h e Hu on16 Es e caso- es e oi p opos o po Smi h e Hu on16 com a inalidade de a alia a pe o mance de á ios mé odos numé icos ao se em aplicados pa a ob e ap oximacoes pa a a soluqáo de p oblemas con ec i os-di usi os com linhas de co en e cu as ( eci culacáo), condicoes complexas de con o no e sob oda a aixa de núme os de Pecle (Figu a 7) O p oblema de Smi h e Hu on, po an o, pe mi e a alia o desempenho de esquemas compu acionais quando da soluciio de p oblemas al amen e di usi os e p oblemas pu amen e con ec i os. A equacáo (3) oi a aliada no domínio mos ado na Figu a 7, onde o campo de elocidade é dado pelas elaqoes abaixo: 2 2 u = 2y(l- x ) e = -2x(1- 9 ) pa a - 15 x 5 1 e O 5 y 5 1 (25)