Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol. 9,
3,
271-297( 1993)
AVALIACÁO DE
ESTRATEGIAS
COMPUTACIONAIS
PARA
O
MÉTODO
DOS
ELEMENTOS
FINITOS
EM COMPUTADORES VETORAIS
ALVARO L.G.A. COUTINHO
JOSE L.D. ALVES
LUIZ
LANDAU
NELSON
F.F.
EBECKEN
Cen o de Compu apío Pa alela e
Labo a ó ios de Mé odos Compu acionais em Engenha ia,
P og ama de Engenha ia Ci il, COPPE/Uni e sidade Fede al do Rio de Janei o,
Cidade Uni e si á ia
-
Cen o Tecnologia Bloco B
-
Sala 100, Caixa Pos al 68506, Rio de Janei o, RJ 21945,
B asil, Faz: (5521) 290-6626 -*E
-
mail: coc06001
@
u j.bi ne
Es e abalho ap esen a uma a aliacáo de es a égias compu acionais i e a i as pa a
a soluciio de sis emas de equacoes linea es p o enien es da aplicacáo do mé odo dos
elemen os ini os p oblemas idimensionais de mecanica do con ínuo. Emp ega-se o
mé odo dos g adien es conjugados, acele ado po di e sos p econdicionado es, diagonal, bloc*
diagonal nodal, elemen o-po -elemen o e mul i-ni el. Discu e-se ambé na implemen acáo em
compu ado es e o ais a a és de écnicas elemen o-po -elemen o. Siio ap esen ados di e sos
exemplos de in e esse p á ico onde p ocu a-se e idencia o al o desempenho das es a égias
p opos as quando compa adas com mé odos di e os de solucáo, ambém e o izados.
SUMMARY
This wo k p esen s an e alua ion o i e a i e linea equa ion sol e s o ini e elemen
sys ems o equa ions a ising om h ee-dimensional con inuum mechanics p oblems. The
conjuga e g adien me hod is employed, accele a ed by se e a1 p econdi ione s, diagonal, nodal
block diagonal, elemen -by-elemen and mul i-le el. The implemen a ion on ec o compu e s
o elemen -by-elemen echniques is also add essed. Some examples o p ac ica1 in e es a e
p esen ed, showing he high pe o mance achie ed by he p oposed s a egies, when compa ed
o a ec o ized di ec skyline sol e .
Recibido:
Junio
1992
OUni e si a Poli &cnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
272
A.L.G.A. COUTINHO,
J.L.D.
ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN
A o mulacáo cinemá ica do mé odo dos elemen os ini os pa a a solucáo de
p oblemas da meciinica do con ínuo (linea es ou náo-linea es, es á icos ou diniimicos),
conduz um sis ema de equacóes algéb ico da o ma (HUGHES, 1987a),
onde
A
é
uma ma iz espa sa, usualmen e simé ica posi i a de inida,
x
é
o e o
de incógni as nodais e
b
o e o de e mos independen es (le a em conside acáo a
p esenca de o cas de olume, de supe ície e das condicóes de con o no). A Equacáo
(1)
é
esol ida ge almen e po um mé odo di e o de solucáo baseado no p ocesso
de eliminacáo de Gauss (GOLUB e VAN LOAN, 1989), onde a ma iz
A
pode se
a mazenada em banda, pe il ou espa so (CAREY
e
ODEN, 1984). En e an o, as
es a égias de solucáo di e a podem se o na in iá eis pa a a análise de p oblemas
en ol endo um núme o g ande de equacóes de ido p incipalmen e ao eno me es o co
compu acional e demanda de memó ia.
Na Tabela
1
encon am-se es ima i as do es o co compu acional e da demanda de
memó ia de mé odos di e os de solucáo (AXELSSON e BARKER, 1984). De e-se no a
que
n
é
o núme o de equacóes e
m
a la gu a de banda da ma iz
A.
ESFORCO COMPUTACIONAL
TAREFA
MEMÓRIA
(FLOPS)
Fa o acáo
4
nm2 nm
Re o-subs i uicáo
2
nm nm
Tabela 1. Es ima i a de Cus os de Mé odos Di e os de Solucáo ( lops
=
1
ope acáo
em pon o lu uan e po segundo).
Os dados da Tabela
1
sáo pa icula men e impo an es em p oblemas
idimensionais onde a la gu a de banda pode se da mesma o dem de g andeza do
núme o de equacóes.
Mé odos i e a i os de solucáo eque em compa a i amen e menos memó ia, no
en an o o núme o de ope acóes de pon o lu uan e pa a a ingi a solucáo náo
é
conhecido a p io i, e depende de ca ac e ís icas p óp ias do sis ema de equacóes. Po
ou o lado, es es mé odos siio adequados As no as a qui e u as de compu ado es onde
es iio disponí eis acilidades de e o izacáo e e en ualmen e pa alelizacáo das di e en es
a e as do p ocesso de solucáo. Sendo assim, es e abalho ap esen a alguns esul ados
do desen ol imen o e aplicacáo de mé odos i e a i os pa a
a
solucáo de g andes
p oblemas disc e izados pelo mé odo dos elemen os ini os u ilizando as acilidades de
AVALIACÁO DE
ESTRAT$GIAS
COMPUT'ACIONAIS
273
e o izacáo disponí eis no compu ado IBM 3090/VF ins alado no Cen o de Pesquisas
da PETROBRÁS S.A. (CENPES).
Es e abalho
é
o ganizado da seguin e o ma: na sesgo seguin e ap esen a-
se o mé odo i e a i o dos G adien es Conjugados (MGC), u ilizado nes e abalho.
A penúl ima secáo eúne algumas conside acóes sob e o ambien e compu acional
e as écnicas de e o izacáo u iizadas. Finalmen e, a úl ima se550 ap esen a
algumas aplicasoes numé icas que e idenciem a e iciencia compu acional das es a égias
ado adas.
O Mé odo dos G adien es Conjugados oi inicialmen e ap esen ado po HESTENES
e STIEFEL (1952) e explo a o a o de que a solucáo do sis ema de equacóes
(l),
equi ale
i
minimizacáo do uncional quad á ico,
Assim, p ocessos i e a i os u ilizados pa a minimiza o uncional Q, conduzem
i
solucáo do sis ema de equacóes algéb icas associado a es e uncional (GOLUB e
VAN LOAN, 1989). Nos algo i mos de solucáo que emp egam o Mé odo I e a i o
dos G adien es Conjugados a ma iz dos coe icien es a ua unicamen e como ope ado
linea o necendo uma manei a ex emamen e elegan e de explo a a espa sidade des a
ma iz. A e iciencia do mé odo es á in insicamen e elacionada com as ca ac e ís icas
p óp ias do ope ado
A
(AXELSSON e BARKER, 1984), is o
é,
seus au o alo es.
Como a ma iz
A
é
posi i a de inida, as supe ícies ep esen adas pela equacáo (2) sáo
elipsóides. Mé odos numé icos pa a minimizaeáo de um uncional endem a se mais
e icien es quando as supe ícies se ap oxima da o ma es é ica. Nes e caso a azáo en e
o maio e o meno au o alo es do espec o,
A,
e
Al
espec i amen e,
é
denominada azáo espec al ou núme o de condicionamen o espec al, se ap oxima
da unidade. Caso con á io, quando a azáo espec al se ap esen a mui o maio que a
unidade, o na-se necessá io a u ilizacáo de uma écnica de p é-condicionamen o que
em como e ei o esul a em um uncional onde as supe ícies na izinhanca da solucáo
sejam signi ica i amen e menos excen icas que a o iginal. Pode-se dize en áo que pa a
ma izes simé icas posi i as de inidas a axa de con e gencia de um esquema i e a i o
pode se a aliada a a és da azáo espec al.
Logo, com o obje i o de a ingi uma con e gencia mais ápida, o Mé odo dos
G adien es Conjugados pode se aplicado a um sis ema equi alen e ao o iginal, mas
que enha sido p é-condicionado. P é-mul iplicando-se a equacáo o iginal do sis ema
pela ma iz náo singula B,
274
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU,
N.F.F.
EBECKEN
e aplicando-se
o
Mé odo do G adien es Conjugados ao sis ema p é-condicionado acima,
ob ém-se o algo i mo dos G adien es Conjugados P é-condicionado, cujos p incipais
passos sáo ap esen ados na abela a segui :
Tabela 11.2.1
-
Algo i mo dos G adien es Conjugados P é-condicionado
Passo
1:
Inicializa
k=
o
xo
=
Dado (usualmen e
xo
=
0)
0
=
b
-
Axo
PO
=
zo
=
~-' ~
Passo 2: A ualiza solucao
e
esiduo
,
.
zk
(Yk
=
P:
A Pk
Xk+l
=
Xk
+
(Yk
Pk
k+l
=
k
-
akAPk
Passo
3:
Ve i ica con e gencia
Se
( :+,
.
k+l)
<
6
( k
.
o)'
3
im
Passo
4:
A ualiza di ecáo conjugada
Zk+l
=
~-l k+l
,+*
Zk
Pk
=
k
Zk
Pk+l
=
Zk+l
+
Pk
Pk
k =k
+
1
á pa a o passo
2
Em ge al, u na ma iz de p é-condicionamen o
B
pa a se e icien e, de e a ende
alguns equisi os básicos: seus componen es de em se acilmen e de e minados além
de náo necessi a a mazenamen o excessi o em elacáo
2
ma iz
A;
a solucáo do sis ema
Bzk
=
k
de e se mais e icien e que a solucáo do sis ema
A x
=
b,
já que o mesmo
se á esol ido a cada i e acáo do algo i mo. Finalmen e, de e o igina um núme o de
condicionamen o espec al eduzido em elacáo a k(A).
Pode-se mos a , segundo GOLUB e VAN LOAN
(1989),
que a axa de
con e gencia do Mé odo dos G adien es Conjugados P é-condicionado
é
p opo cional
ao quocien e,
AVALIA~ÁO DE ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS
Sendo
A
=
B-'A
P é-Condicionado Diagonal
De inindo-se como ma iz
B
a diagonal da ma iz dos coe icien es
A
emos o P é-condicionamen o Diagonal, que de ido
ii
sua simplicidade de
implemen acáo, baixo núme o de ope ac;óes en ol idas e e ei o a o á el de
escalonamen o de a iá eis de g andezas dimensionais di e en es
é
mui o u ilizado,
empo a na maio ia dos casos náo enha um e ei o mui o sa is a ó io na educáo de
k(A).
P é-Condicionado Bloco-Diagonal Nodal
De o ma a de ini p ecisamen e es e p é-condicionado
é
necessá io especi ica
co e amen e uma es u u a de dados. Seja o a anjo
ID
(NNODE, NDOF) onde NNODE
é
o núme o de pon os nodais da malha e NDOF o núme o de g aus de libe dade po nó.
Es e a anjo mapeia g aus de libe dade globais (HUGHES, 1987a). Com isso, pode-se
de ini o p é-condicionado bloco-diagonal nodal da seguin e o ma,
A,'
se k
=
1
B~A
=
1
5
k,¿
<
NNODE
O
sek#Z (7)
onde
A:'
é
a
in e sa da subma iz de A co esponden e aos nós
i
=
ID
(k,i),
J
=
ID
(1,
j),
1
<
i,
j
<
NDOF. A ma iz BBD
é
simé ica, posi i a de inida e eque
uma á ea de a mazenamen o de
112
NDOFX(NDOF+~)XNNODE. Cada subma iz
Aij
é
mon ada a pa i de con ibucóes indi iduais dos elemen os e sua in e sa
é
a mazenada
pa a uso pos e io du an e as i e acóes do Mé odo dos G adien es Conjugados.
P é-Condicionado es Elemen o-po -Elemen o
Os p é-condiconado es Elemen o-po -Elemen o, ou EPE, o am p oje ados pa a
man e a es u u a de dados ípica do mé odo dos elemen os ini os. Eles o am
ap esen ados inicialmen e po HUGHES e al, (1983) e se baseiam na ap oximacáo
da in e sa de
A
po um p odu o de ma izes. Além disso, de o ma a p ese a o pos o
das ma izes que compóem o p odu o, os p é-condicionado es EPE sáo aplicados ao
sis ema ans o mado de equacóes,

onde
sendo
Dii
=
A:/~,
i
=
1,2,.
. .
n.
Es e escalonamen o diagonal pode ambém se
in e p e ado com um p é-p econdicionamen o do sis ema de equacóes o iginal. Des a
o ma, os p é-condicionado es EPE u ilizados sáo de inidos pelo p odu o,
onde
Nel
é
O
núme o de elemen os da malha. O duplo p odu o
é
pa a p ese a
a sime ia do p é-condicionado . As ma izes Le e
Ue
sáo ob idas da pa iciio
Gauss-Seidel de uma ma iz de elemen o egula izada da seguin e o ma (WINGET
E
HUGHES, 1985, HUGHES e
al,
1987b),
Com es a escolha, a solucáo do sis ema de equacóes auxilia do MGC,
z
=
B-l ,
é
e e uada em dois passos. O p imei o na o dem c escen e dos elemen os e o segundo na
o dem in e sa, de aco do com a Equacáo (12). Além disso, de e-se no a que es e p é-
condicionado náo necessi a de nenhuma á ea adicional de memó ia pa a a mazena a
ma iz B-AE.
P é-Condicionado es Mul i-Ní el
a)
Gene alidades
Um dos p oblemas elacionados com os p é-condicionado es expos os an e io men e
é
que a o dem do núme o de condicionamen o espec al, k(A), náo diminui
A
medida
que o pa ame o de malha ambém diminui. Em ou as pala as, se e ina mos uma
dada malha e a soluciona mos a a és do MGC com quaisque dos p é-condicionado es
expos os an e io men e, o núme o de i e acóes necessá ias pa a a ingi a con e gencia
se á maio do que aquele ob ido pa a a malha inicial. Uma das manei as de se
ul apassa es a di icul ade
é
a u ilizacáo de es a égias mul i-ní el de solucáo. Es as
se baseiam no a o de que equen emen e um de e minado p oblema
é
solucionado
p imei amen e em uma malha g ossa e po e inamen o (uni o me ou adap a i o),
cons ói-se uma sequencia de malhas,
1
{Ak)k=l
(14)
onde Al
é
ma iz de coe icien es co esponden e
A
malha inicial (g ossa) e A,
i
malha ina, onde se deseja compu a a solucgo. Os undamen os ma emá icos dos
AVALIACÁO
DE
ESTRATEGIAS
COMPUTACIONAIS
277
mé odos mul i-ní el podem se encon ados, po exemplo, em HACKBUSH, (1985) e
McCORMICK, (1987).
O
p opósi o dessas écnicas
é
desen ol e um mé odo i e a i o
no qual a quan idade de abalho compu acional seja di e amen e p opo cional ao
núme o de incógni as do sis ema de equacóes. A Tabela
11
ap esen a uma es ima i a do
abalho compu acional (AXELSSON e BARKER, 1984) de mé odos de soluc5.o di e a
ipo Gauss, mé odos MGC (com e sem p é-condicionamen o) e mé odos mul iní el,
pa a p oblemas de elemen os ini os em duas e es dimensóes.
Tabela
11.
Compa aciio de Es ima i as de T abalho Compu acional.
Di e o
MGC
MGC c/ p é-cond.
Mul i-ní el
Con o me oi e i icada na p á ica, po exemplo em PARSONS e HALL, (1990a,
1990b), a ob enc5.0 de p opo cionalidade en e es o co compu acional e núme o
de incógni as depende de a o es elacionados
A
i nplemen ac5.0, e
A
pla a o ma
compu acional u ilizada nos expe imen os. En e an o, a écnica mul i-ní el pa ece
se de a o um solucionado mui o e icien e quando compa ado a ou os mé odos, an o
di e os quan o i e a i os.
Um ou o pon o impo an e
é
que ao in és de u iliza -se a base nodal pad zo
pa a ge a as ma izes de elemen os ini os,
Ak,
k
=
1,
2,
.
.
.,
1,
pode-se usa
bases hie á quicas.
A
Figu a
1
ap esen a as bases nodais e as bases hie á guicas pa a
elemen os quad ilá e os.
O aspec o p incipal das bases hie á quicas
é
o a o de que quando uma
malha co esponden e a uma ce o ní el
é
e inada, a disc e izac5.0 esul an e
p ese a as in o macóes cons an es das disc e izac9es an e io es. Além disso, as
ma izes esul an es das bases hie á quicas sZo melho es condicionadas do que aquelas
compu adas com a base nodal. Po exemplo, pa a malhas uni o mes em duas dimensóes
com um amanho médio de elemen o h, o núme o de condicionamen o espec al das
ma izes ob idas com bases hie á quicas
é
p opo cional a
1
log hI2, enquan o que pa a
bases nodais a es ima i a
é
de h-2, (BANK e al, 1988,1989 e YSERENTANT, 1986).
Bidimensionais
o(n2)
O(nl.')
0(n1.25)
o(n>
T idimensionais
0(n2.33)
O(n1,33)
O(n1.17)
o(n)
(a) Base Nodal (b) Base Hie á quica
Figu a
1.
Funcóes de in e polacao bidimensionais
b)
P op iedades Geomé icas das Bases Hie á quicas
Nes a secáo ap esen a-se a elacáo en e as bases hie á quicas de di e en es malhas,
conside ando o a o de que es as sáo e inamen os sucessi os de uma malha g ossa,
con o me mos ado na Figu a
2.
Malha
O
Malha
1
Figu a
2.
Sequencia de Malhas.
Malha
2
AVALIA~ÁO
DE
ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS
279
Deno ando-se po
p;'
a i-ésima uncáo de in e polacáo da malha
1,
e
como o espaco
de ap oximacáo da malha
1
inclui o espaco da malha
O,
as uncóes de in e polacáo do
ní el
O
podem se esc i as como uma combinacáo linea das uncóes de in e polacáo
da malha
1.
Po exemplo, conside e um elemen o da malha
O
e os qua o elemen os
p oduzidos po e inamen o uni o me desies, que pe enecem
A
malha
1.
Usando o
esquema de nume acáo da Figu a
3,
sáo álidas as seguin es elacóes
Apesa des as elacóes se em álidas somen e pa a um elemen o, es as podem se
acilmen e ex endidas pa a odo o dominio. Relacóes simila es podem se cons uídas
pa a ou os ipos de elemen os:
Hexaed os
O
1
92
=
92
+
e..
(23)
De o ma ge al as elacóes en e unc8es de in e polacáo de malhas g ossas e uncóes
de in e polacáo de malhas inas podem se esc i as como,
99
=
x,j
9:
j
(24)
onde
Xi,j
é
o peso en e a uncáo
cpp
e
~3.
Se
i
=
j,
en áo
Xij
=
1,
po exemplo.
Apesa des as elacóes se em complexas, sua implemen ac5.0 pode se conside a elmen e
simpli icada pela u ilizac5.0 de uma es u u a de dados ap op iada. Es as podem se
encon adas em DEVLOO (1985), pa a elemen os quad ilá e os, RIBEIRO (1991) pa a
iangulos e DEVLOO (1991) pa a hexaed os.
286
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU,
N.F.F.
EBECKEN
de um bloco compa ilham um ou mais nós (e g aus de libe dade).
A
solucáo pa a es a ecu siio global, suge ida po HUGHES e al (1987b),
é
de se
ag upa os elemen os em blocos in e namen e disjun os, onde nenhum elemen o possua
um nó (g au de libe dade) comum. Com isso, os elemen os se % ag upados em
NBLOCK
blocos de amanho máximo
NSIZE,
co espondendo a um pad áo ilus ado na Figu a
6,
pa a uma malha de elemen os quad ilá e os em duas dimensóes.
elemen os de mesma "co "
nao possuem nó em comun
Figu a
6.
Reo denacáo dos Elemen os em Blocos.
O amanho ó imo do bloco
(NSIZE)
pa a uma máquina
IBM
3090/VF modelo
E
6
128, em uncáo das ca ac e ís icas do p ocessado e o ial ("Vec o Sec ion Size7'),
como comp o ado em um es udo pa amé ico an e io (COUTINHO e al, 1988). Caso
o núme o de elemen os em um de e minado bloco seja in e io
i.
12, os cálculos sáo
e e uados
em
modo escala .
Ve o izaqáo da
Soluqiío do Sis ema de Equaqóes Auxilia do MGC
a)
P é-Condicionamen o Diagonal
Nes e caso, a solucáo do sis ema de equacóes
é
ex emadamen e simples,
co espondendo a uma única ins ucáo e o ial, con o me o echo de código,
DO 1
=
1,
N
Z(I)
=
R(I)
*
DIAG(I)
ENDDO
onde o a anjo
DIAG(1:N)
con ém os in e sos dos e mos da diagonal de A. De e-se
no a que as en adas
DIAG(1)
sáo esul ado de con ibuicóes indi iduais dos elemen os.
Po an o, es e a anjo
é
calculado u ilizando
a
mesma es u u a de blocos de elemen os
usada an e io men e.

AVALIACÁO
DE
ESTRAT$GIAS
COMPUTACIONAIS
287
I
b)
P é-Condicionamen o Bloco-Diagonal Nodal
Os blocos-diagonais nodais sáo compu ados a pa i da con ibuicáo de cada
elemen o e a mazenados em um a anjo
BD(NNOS, KND)
sendo
KND
=
0.5*NDOF
*
(NDOF
+
1)
e
NNOS
o núme o de nós da malha. Uma ez que pa a elas icidade plana
e elas icidade i-dimensional os blocos-diagonais nodais sáo espec i amen e ma izes
2x2 e 3x3, a in e sáo dos blocos-diagonais pode se e e uada acilmen e po meio de
ó mulas echadas. Des a o ma, a solucáo do sis ema de equacóes
é
compu ada pa a
cada bloco-diagonal em um único Loop, o almen e e o izado, sob e odos os nós da
malha.
c) P é-Condicionamen o Elemen o-po Elemen o
A
u ilizacáo do
MGC
com p é-condicionamen o EPE en ol e a ans o macáo do
sis ema o iginal de equacóes, con o me exp esso nas elasoes (8)-(11). Do pon o de
is a da implemen acáo, es as ope acóes salo basicamen e as seguin es:
(i) Cálculo da ma iz diagonal
Es a ope acáo
é
e e uada de o ma análoga
ii
desc i a no i em 4.4.a, com a única
di e enca que sáo a mazenados os in e sos das aízes quad adas dos e mos da diagonal
de
A.
Po an o, es a ope acáo ambém
é
comple amen e e o izada.
(ii) Regula izacáo das ma izes de elemen os:
xe
=
(D;')~A,
e
De1
Es a ope acáo
é
e e uada com a mesma es u u a do p odu o ma iz e o ,
obse ando-se que os e mos de D-' co esponden es aos g aus de libe dade do elemen o
sáo eplicados no e o local
VE1.
A
ope acáo de egula izacáo
é
en áo e e uada pa a
cada elemen o no bloco. E iden emen e, náo
é
necessá io o passo de espalhamen o dos
esul ados.
(iii) Solucáo do Sis ema Auxilias
A
soluciio do sis ema auxilia
B
*PEZ
=
,
com
B
EpE
dado pela exp essáo (12),
comp eende os seguin es passos:
-
Soluciio dos sis emas iangula es in e io es a ní el de elemen os, ou seja,
Nel
1
n(~,)
=
,
onde
=
n
(ue)
z
Es a ope acáo
é
e e uada com a mesma es u u a do p odu o ma iz- e o , sendo
po an o e o izada.
-
Solucáo dos sis emas iangula es supe io es a ní el de elemen o,
288
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN
Es a ope acáo
é
o malmen e iden ica
ii
an e io , obse ando-se apenas a o dem
in e sa das ope acóes, an o a ní el local, du an e a solucáo de
u"
z,
=
e, quan o a
ní el global.
(i ) Recupe acáo da solucao:
X
=
D-1X
Es a ope acáo
é
equi alen e
A
desc i a no i em que a a sob e p é-condicionamien o
diagonal e po an o
é
o almen e e o izada. Des a o ma, odo o p ocesso de solucáo
do sis ema auxilia de equacóes
é
e o izá el.
Cabe essal a que, de ido
A
es u u a de blocos disjun os, náo há ecu sáo alguma
no acúmulo das solucóes dos sis emas iangula es a ní el de elemen o, uma ez que os
elemen os náo possuem g au de libe dade em comum. Além disso, náo
há
necessidade
do a anjo in e mediá io , podendo os esul ados das ope acóes se em acumulados
di e amen e em z, mais uma ez, de ido ao a o dos elemen os em cada bloco náo
possui em g aus de libe dade comuns.
d) P é-Condicionamen o Mul i-Ni el
Pa a os p é-condicionado es de inidos a a és das exp essóes (32) e (33)) a solucáo
do sis ema auxilia de equacóes do MGC
é
e e uada a a és das elasoes (34) a (38).
Es as sáo undamen almen e a solucáo di e a do sis ema de equacóes co esponden e
A
malha g ossa, a ep esen acáo de um e o na base hie á quica e a solucáo pa a os bloco-
diagonais nodais. Es a Úl ima
é
o malmen e iden ica
A
desc i a no i em que a a sob e
p é-condicionamien o bloco-diagonal nodal. As duas p imei as, podem causa algumas
di icul ades
ii
e o izacáo e sáo examinadas
ii
segui .
(i) Soluqiio di e a do sis ema de equacoes
Nes e abalho
é
u ilizado um solucionado di e o pa a ma izes a mazenadas
em pe il. A e o izacáo da a o acáo da ma iz na o ma de C ou (LDL ), segue
as écnicas desc i as po LOZUPONE (1989). Pa a a implemen acáo da a o acáo
incomple a de C ou , de e-se no a
que
um pon ei o adicional
é
necessá io pa a
de inicáo dos e mos nao-nulos em cada coluna a i a. En e an o, endo em is a
que se á e e uada uma e osubs i uicáo a cada i e acáo do MGC, em ambos os casos a
e apa de ob encáo da solucáo po a an e e e osubs i uicáo oi e o izada. Na maio ia
das implemen acóes e o iais de solucionado es di e os, es a e apa
é
desp ezada, ou
seja, náo e o izada, de ido ao a o de que a a o acáo da ma iz
é
mui o mais cus osa
que a solucáo.
(ii) Mudanca da base nodal pa a base hie á quica
(e
ice- e sa)
As mudancas de base le am em conside acáo a es u u a al amen e espa sa
da ma iz
S.
Os algo i mos sáo undamen almen e os mesmos ap esen ados po
YSERENTANT (1986), e en ol em uma ecu sáo,
já
que os alo es das incógni as
co esponden es
ao
ní el
K
sáo dependen es do ní el
K
-
1.
Consequen emen e, náo
é
possí el, com a es u u a de dados u ilzada, e o iza as ope acóes de mudanca de
base.
P elimina es
Se áo ap esen adas a segui algumas aplicacóes que isam exempli ica o
desempenho das es a égias compu acionais desc i as an e io men e. A seguin e
nomencla u a se á u ilizada pa a iden i ica os di e en es mé odos i e a i os
emp egados:
(D-MGC)
-
Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é-
Condicionado Diagonal.
(BD-MGC)
-
Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é-
Condicionado Bloco-Diagonal Nodal.
(EPE-MGC)
-
Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é-
Condicionado Elemen o-po Elemen o Gauss-Seidel.
(LDL-MGC)
-
Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é-
Condicionado Mul i-Ní el co n Fa o acáo de C ou pa a o
Ní el G osso e Bloco Diagonal Nodal pa a os demais.
(IC-MGC)
-
Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é-
Condicionado Mul i-Ní el co n Fa o acáo Incomple a de C ou
pa a o Ní el G osso e Bloco-Diagonal Nodal pa a os demais.
Todas as medicóes de desempenho o am e e uadas du an e pe íodos de ca ga
compu acional no mal do sis ema em p oducáo, sem ecu so a um ambien e dedicado.
Dessa o ma, o esul ado das medicóes pode se conside ado, bas an e ep esen a i o
pa a o sis ema em ques áo.
P oblema de Boussinesq T idimensional
Nes e p oblema clássico de elas icidade, uma ca ga concen ada
é
aplicada na
di ecáo no mal
A
supe ície de um semi-espaco homogeneo e iso ópico.
O
p oblema
oi modelado po meio de malhas uni o mes de elemen os sólidos isopa amé icos co n
8
nós, ado ando-se condicóes de sime ia nas es aces o ogonais. As p op iedades
elás icas do ma e ial sáo: Módulo de Elas icidade,
2.08 x
lo6
e coe icien e de Poisson,
0.3.
Es e p oblema oi selecionado pa a in es iga o desempenho das es a égias de
e o izacáo ap esen adas an e io men e. Sendo assim, u ilizou-se o mé odo (D-MGC),
conside ando uma sé ie de malhas uni o mes, co n um núme o c escen e de elemen os
ao longo de cada eixo o ogonal. Ado ou-se como ole ancia pa a o c i é io de pa ada
dado na Tabela
11,
6
=
,Os dados opológicos pa a cada malha encon am-se na
Tabela IV, onde
N
é
o núme o de elemen os ao longo de cada eixo o ogonal.
A Figu a
7
ap esen a a malha esul an e pa a
N
=
24,
mos ando ambém as
isocu as loga i micas da dis ibuicao de p essóes ob ida.
Na Tabela V es áo suma izados núme o de i e acóes pa a cada análise, empo de
A.L.G.A. COUTINHO,
J.L.D.
ALVES,
L.
LANDAU, N.F.F. EBECKEN
N
NÚMERO
DE
NÚMERO
DE
SEMI-LARGURA
ELEMENTOS
EQUACOES
DE
BANDA
15 3375 11520 789
16 4096 13872 889
20 8000 26460 1349
24 13824 45000 1905
Tabela IV. Dados Topológicos pa a
o
P oblema de Boussinesq T idimensional.
Figu a
7.
Malha
24
x
24
x
24
pa a o P oblema de Boussinesq T idi nensional.
N
ITERAC~ES
CPU
(S)
CPU
VET.
(%)
MFLOPS
15 64 12 92 19
16 68 20 95 19
20 83 39 95 19
24 96 81 94 19
Tabela
V.
Desempenho do (D-MGC) pa a o P oblema de Boussinesq T idimensional.
p ocessamen o em segundos pa a a solucáo do sis ema de equacóes, pe cen agem desse
empo dispendido no p ocessado e o ial e o núme o de MFLOPS.
O núme o de MFLOPS pa a cada análise oi a aliado segundo os c i é ios suge idos
po DONGARRA e
al
(1991).
Na mesma e e encia encon a-se um es udo de
desempenho semelhan e, po ém pa a um p oblema em que o sis ema de equacóes
é
pen a-diagonal. Os esul ados ob idos encon am-se ep oduzidos na Tabela VI.
Tabela VI. Desempenho do
MGC
nao P é-Condicionado pa a Sis ema Pen a-
Diagonal com 10.000 Equacoes (DONGARRA e al, 1991).
MÁQUINA
NEC SX-2
FUJITSU VP-200
HITACHI 5810120
CRAY X-MP (1 p oc.)
CYBER 205
CRAY 2 (1 p oc.)
IBM 3090/VF (1 p oc.)
CONVEX C-210
ALLIANT FX/4 (1 p oc.)
De e-se no a que pa a a es u u a egula do p oblema abo dado po
DONGARRA a a aliacáo do p odu o ma iz- e o
é
mui o simples. Es e a o,
aliado
a
u ilizas50 de um mé odo náo p é-condicionado, conduz a um algo i mo de
meno complexidade compu acional, a o ecendo um al o desempenho em e mos de
MFLOPS. Sendo assim, as medic9es ap esen adas na Tabela VI podem se omadas
como um limi e supe io do desempenho em MFLOPS pa a o mé odo dos G adien es
Conjugados.
Tendo em is a a complexidade da es a égia elemen o-po -elemen o aplicada ao
(D-MGC) na solucáo do p oblema de Boussinesq, pode-se obse a que o núme o
de MFLOPS ob ido se ap oxima bas an e do limi e ap esen ado po DONGARRA.
Po ou o lado, de e-se e em men e que
a
u iliza550 de p é-condicionado es mais
complexos, examinados
2
segui , apesa de esul a em um núme o de MFLOPS
sensi elemen e meno implica numa educáo conside á el do empo de p ocessamen o,
que
é
de a o o obje i o a se alcancado.
P oblema de Boussinesq Axisim6 ico
DESEMPENHO
EM
MFLOPS
643
300
240
134
106
82
23
19.5
1.8
Nes e caso, o p oblema an e io oi modelado po malhas uni o mes compos as
po
N
x
N
elemen os ini os isopa amé icos bilinea es como mos ado na Figu a
8.
A
ap oximacáo axisimé ica conduz
a
ma izes nao 5o bem condicionadas quan o
DESEMPENHO
MÁXIMO
EM MFLOPS
1333
533
800
235
200
480
108
50
11

292
A.L.G.A.
COUTINHO,
J.L.D.
ALVES,
L.
LANDAU,
N.F.F.
EBECKEN
2 modelagem idimensional, de ido
A
p esenca do e mo adial nas in eg ais dos
elemen os. Sendo assim, o obje i o des as análises
é
es uda o desempenho do MGC
com di e en es p é-condicionado es pa a dimensóes c escen es de disc e izacáo.
E
=
2.08e06.
Poisson
=
03
.
TOL
=l.e-06
Figu a
8.
Malha
N
x
N
pa a o P oblema de Boussinesq Axisimé ico.
Os dados ela i os 2s disc e izacóes emp egadas e a demanda de memó ia, em
Mby es, pa a os di e en es mé odos i e a i os emp egados, assim como pa a um mé odo
di e o com a mazenamen o em pe il, encon am-se suma izados na Tabela
VII.
Tabela VII. Demanda de Mémo ia pa a o P oblema de Boussinesq Axisimé ico.
De o ma ge al, os mé odos i e a i os eque e am signi ica i amen e menos
mémo ia que o mé odo di e o.
A
educáo obse ada a ia en e
9
ezes, pa a o
(EPE-
MGC), a é 4 ezes pa a o (LDL-MGC). Cabe obse a que conside ou-se apenas 2 ní eis
pa a os p é-condicionado es mul iní el. Sendo assim, o núme o de equacóes pa a as
ma izes co esponden es
2s
malhas g ossas pa a
N
=
30,60 e 120
é
de espec i amen e
480, 1860 e 7320. Po an o, nos mé odos mul iní el,
a
necessidade de se compu a a
a o acáo (comple a ou incomple a) da ma iz co esponden e ao ní el g osso aumen a
conside a elmen e a demanda de memó ia desses mé odos.
DIRETO
1.0
7.4
57.6
(IC-MGC)
NiVEIC
0.5
1.8
8.3
(LDL-MGC)
NiVEIS
0.6
2.7
14.0
N
30
60
120
(BD-MGC)
0.4
1.7
6.8
NÚMERo
DE
EQUACÓES
1860
7320
29040
(EPE-MGC)
0.4
1.7
6.5
AVALIACÁO
DE
ESTRAT~GIAS COMPUTACIONAIS
293
Tabela VIII. Cus os Compu acionais pa a o P oblema de Boussinesq Axisimé ico.
Os cus os compu acionais, ou seja, núme o de i e acóes pa a con e gencia da
solucáo i e a i a e empo de p ocessamen o em segundos (CPU), encon am-se dados
na Tabela VIII. Como ole ancia pa a e i icacáo de con e gencia, ado ou-se
6
=
Con o me aumen a a dimensáo da malha os mé odos i e a i os o nam-se cada ez
mais e icien es. Além disso, o mé odo (LDL-MGC) eque um núme o de i e acóes
independen e da malha, o que pe mi e o nece a solucáo mais ápida em odas as
malhas analisadas, chegando a um a o de educáo de 3.5, em compa acáo com a
solucáo di e a, pa a
N
=
120.
G upo
de
Es acas
(IC-MGC)
3.7
34
17.3
51
103.3
99
Nes a aplicacáo sáo analisados os e ei os de g upo em duas es acas ubula es
me álicas iden icas solici adas la e almen e. A geome ia e ca egamen o da es u u a
de undacáo
é
simila iquela encon ada na Pla a o ma de Boni o, uma jaque a me álica
p oje ada pa a uma lamina de água de 200 m e ins alada na Bacia de Campos, Rio de
Janei o, B asil. O solo adjacen e is es acas
é
conside ado como uma única camada de
a gila, cujos pa ame os elás icos sáo: módulo de elas icidade, 0.5 MPa e coe icien e
de Poisson,
0.4.
Os dados geomé icos e p op iedades elás icas do ma e ial das es acas
sáo: comp imen o, 45 m; diame o ex e no 2.13 m; espessu a, 0.0508 m; módulo de
elas icidade 210.88 GPa; coe icien e de Poisson 0.3. De ido
i
sime ia, apenas me ade
do conjun o solo-es aca oi disc e izado. Além disso, uma ez que a in e acáo solo-
es aca
é
um enomeno localizado em o no das es acas e na egiáo en e elas, a massa
de solo oi disc e izada a é 9 m de cada eixo das es acas, onde p esc e eu-se condicóes de
con o no de deslocamen os nulos. Na pa e in e io o am es ingidos os deslocamen os
nodais na di ecáo e ical.
Inicialmen e, oi e e uada uma análise com a malha da Figu a 8, que comp eende
1376 elemen os sólidos isopa amé icos ilinea es a 1938 pon os nodais, o alizando
4232 g aus de libe dade. Após
a
eo denacáo da malha pelo algo i mo de Cu hill-
McKee e e so (GEORGE e LIU, 1981) a máxima semi-la gu a de banda ob ida oi
2354 e a semi-la gu a de banda média, 303.
(EPE-MGC)
4.1
87
23.3
168
148.3
328
DIRETO
4.9
-
33.0
-
314.5
-
(BD-MGC)
4.8
213
29.5
422
197.8
838
N
30
60
120
(LDL-MGC)
3.7
26
16.2
26
84.7
26
CUSTO
CPU
I e s.
CPU
I e s.
CPU
I e s.
294
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES,
L.
LANDAU, N.F.F. EBECKEN
MÉTODO
(BD-MCG)
(EPE-MCG)
Di e o
Tabela IX. Cus os Compu acionais pa a Análise T idimensional do E ei o de G upo
(4232 equacóes).
0s cus os compu acionais pa a os mé odos i e a i os (BD-MGC), (EPE-MGC) e
pa a o mé odo di e o encon am-se na Tabela IX. Nes e p oblema, em odas as análises
i e a i as oi ado ado como c i é io de pa ada
6
=
De ido
2
p esenca de ma e iais com p op iedades ísicas bas an e di e en es e
elemen os com azáo de aspec o ele ada ( elacáo en e maio e meno dimensáo
do elemen o), o condicionamen o da ma iz esul an e nao
é
a o á el aos mé odos
i e a i os. Po an o, con o me mos ado na Tabela
IX,
os mé odos i e a i os o am
mais len os que o mé odo di e o. O mau condicionamen o do sis ema de equacoes pode
se medido a a és da elacáo en e o maio (Dmax) e o meno (Dmin) alo dos
e mos da diagonal da ma iz de igidez,
D
max /D min
=
1.113
x
lo9.
En e an o, a
demanda de memó ia a o ece as solucoes i e a i as.
De o ma a p opo ciona uma melho modelagem da in e acáo solo-es aca, a malha
da Figu a
9
oi e inada uni o memen e, o iginando o modelo da Figu a 10. Es e modelo
possui 11008 elemen os sólidos, 13204 pon os nodais
e
33610 g aus de libe dade.
Os gus os compu acionais ob idos nes a análise encon am-se na Tabela X,
incluindo ago a esul ados pa a os p é-condiconado es mul iní el, que no caso, u ilizam
2 ní eis, a malha o iginal e a malha e inada. O mesmo c i é io da pa ada da análise
an e io oi u ilizado em odos os mé odos i e a i os.
Es e p oblema oi solucionado apenas pelo (LDL-MGC). Is o pode se
comp eendido no ando-se que na análise do p oblema com a malha g ossa, a solucáo
di e a oi a mais ápida, e eque ia uma quan idade acei á el de á ea de a mazanamen o.
Po an o, a u ilizacáo des a ma iz como p é-condicionado pa a a malha ina o nou a
solucáo com o mé odo p é-condicionado em dois ní eis mui o e icien e. Em con a
pa ida, náo oi possí el de se ob e a a o acáo incomple a da ma iz da malha
g ossei a, o que in iabilizou a solucáo pelo mé odo (IC-MGC). Os ou os mé odos
i e a i os náo ob i e am a con e gencia den o de um empo de p ocessamen o acei á el
e con o me pode se e i icado na Tabela
X,
ainda se encon a am longe disso.
A
soluciio di e a des e p oblema náo oi ob ida de ido
2
eno me demanda de mémo ia,
mesmo após a eo denacáo da malha, que conduziu a um sis ema com semi-la gu a de
banda 2101 e semi-la gu a de banda média 1305, co espondendo ao alo de á ea de
a mazenamen o indicado na Tabela
X.
NÚMERO
DE
ITERACOES
5119
1793
----
CPU
(S)
756.8
528.3
58.8
MEMÓRIA
(Mby es)
3.85
3.78
10.45
AVALIACÁO
DE
ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS
Figu a 9. Malha pa a Análise T idimen- Figu a 10. Malha pa a Análise T idi-
sional do E ei o do G upo mensional do E ei o do G upo
(4232 equacoes)
.
(33610 equa~oes).
NUMERO
DE CPU
MEMORIA
NORMAL RELATIVA DO RESÍ-
MÉToDo
ITERAC~ES
(min) (Mby es) DUO NA ÚLTIMA
ITERACAO
(LDL-MGC) 1124 99 40.7 9.970 E4
(IC-MGC)
- -
-
-
(EPEMCG) 3603 120 29.8 2.181
El
(BD-MGC) 7098 120 30.5 5.711
El
Di e o
- -
351.5
-
Tabela
X.
Cus os Compu acionais pa a Análise T idimensional do E ei o de G upo
(33610 equacoes).
P ocu ou-se nes e abalho a alia di e sas al e na i as de p econdicionamen o
pa a o mé odo i e a i o dos g adien es conjugados, com o obje i o de seleciona
aqueles que melho desempenho de e áo e na solucáo numé ica de g andes p oblemas