Avialaçao de estratégias computacionais para o método dos elementos finitos em computadores vetorais

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 9, 3, 271-297( 1993) AVALIACÁO DE ESTRATEGIAS COMPUTACIONAIS PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM COMPUTADORES VETORAIS ALVARO L.G.A. COUTINHO JOSE L.D. ALVES LUIZ LANDAU NELSON F.F. EBECKEN Cen o de Compu apío Pa alela e Labo a ó ios de Mé odos Compu acionais em Engenha ia, P og ama de Engenha ia Ci il, COPPE/Uni e sidade Fede al do Rio de Janei o, Cidade Uni e si á ia - Cen o Tecnologia Bloco B - Sala 100, Caixa Pos al 68506, Rio de Janei o, RJ 21945, B asil, Faz: (5521) 290-6626 -*E - mail: coc06001 @ u j.bi ne Es e abalho ap esen a uma a aliacáo de es a égias compu acionais i e a i as pa a a soluciio de sis emas de equacoes linea es p o enien es da aplicacáo do mé odo dos elemen os ini os p oblemas idimensionais de mecanica do con ínuo. Emp ega-se o mé odo dos g adien es conjugados, acele ado po di e sos p econdicionado es, diagonal, bloc* diagonal nodal, elemen o-po -elemen o e mul i-ni el. Discu e-se ambé na implemen acáo em compu ado es e o ais a a és de écnicas elemen o-po -elemen o. Siio ap esen ados di e sos exemplos de in e esse p á ico onde p ocu a-se e idencia o al o desempenho das es a égias p opos as quando compa adas com mé odos di e os de solucáo, ambém e o izados. SUMMARY This wo k p esen s an e alua ion o i e a i e linea equa ion sol e s o ini e elemen sys ems o equa ions a ising om h ee-dimensional con inuum mechanics p oblems. The conjuga e g adien me hod is employed, accele a ed by se e a1 p econdi ione s, diagonal, nodal block diagonal, elemen -by-elemen and mul i-le el. The implemen a ion on ec o compu e s o elemen -by-elemen echniques is also add essed. Some examples o p ac ica1 in e es a e p esen ed, showing he high pe o mance achie ed by he p oposed s a egies, when compa ed o a ec o ized di ec skyline sol e . Recibido: Junio 1992 OUni e si a Poli &cnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 272 A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN A o mulacáo cinemá ica do mé odo dos elemen os ini os pa a a solucáo de p oblemas da meciinica do con ínuo (linea es ou náo-linea es, es á icos ou diniimicos), conduz um sis ema de equacóes algéb ico da o ma (HUGHES, 1987a), onde A é uma ma iz espa sa, usualmen e simé ica posi i a de inida, x é o e o de incógni as nodais e b o e o de e mos independen es (le a em conside acáo a p esenca de o cas de olume, de supe ície e das condicóes de con o no). A Equacáo (1) é esol ida ge almen e po um mé odo di e o de solucáo baseado no p ocesso de eliminacáo de Gauss (GOLUB e VAN LOAN, 1989), onde a ma iz A pode se a mazenada em banda, pe il ou espa so (CAREY e ODEN, 1984). En e an o, as es a égias de solucáo di e a podem se o na in iá eis pa a a análise de p oblemas en ol endo um núme o g ande de equacóes de ido p incipalmen e ao eno me es o co compu acional e demanda de memó ia. Na Tabela 1 encon am-se es ima i as do es o co compu acional e da demanda de memó ia de mé odos di e os de solucáo (AXELSSON e BARKER, 1984). De e-se no a que n é o núme o de equacóes e m a la gu a de banda da ma iz A. ESFORCO COMPUTACIONAL TAREFA MEMÓRIA (FLOPS) Fa o acáo 4 nm2 nm Re o-subs i uicáo 2 nm nm Tabela 1. Es ima i a de Cus os de Mé odos Di e os de Solucáo ( lops = 1 ope acáo em pon o lu uan e po segundo). Os dados da Tabela 1 sáo pa icula men e impo an es em p oblemas idimensionais onde a la gu a de banda pode se da mesma o dem de g andeza do núme o de equacóes. Mé odos i e a i os de solucáo eque em compa a i amen e menos memó ia, no en an o o núme o de ope acóes de pon o lu uan e pa a a ingi a solucáo náo é conhecido a p io i, e depende de ca ac e ís icas p óp ias do sis ema de equacóes. Po ou o lado, es es mé odos siio adequados As no as a qui e u as de compu ado es onde es iio disponí eis acilidades de e o izacáo e e en ualmen e pa alelizacáo das di e en es a e as do p ocesso de solucáo. Sendo assim, es e abalho ap esen a alguns esul ados do desen ol imen o e aplicacáo de mé odos i e a i os pa a a solucáo de g andes p oblemas disc e izados pelo mé odo dos elemen os ini os u ilizando as acilidades de AVALIACÁO DE ESTRAT$GIAS COMPUT'ACIONAIS 273 e o izacáo disponí eis no compu ado IBM 3090/VF ins alado no Cen o de Pesquisas da PETROBRÁS S.A. (CENPES). Es e abalho é o ganizado da seguin e o ma: na sesgo seguin e ap esen a- se o mé odo i e a i o dos G adien es Conjugados (MGC), u ilizado nes e abalho. A penúl ima secáo eúne algumas conside acóes sob e o ambien e compu acional e as écnicas de e o izacáo u iizadas. Finalmen e, a úl ima se550 ap esen a algumas aplicasoes numé icas que e idenciem a e iciencia compu acional das es a égias ado adas. O Mé odo dos G adien es Conjugados oi inicialmen e ap esen ado po HESTENES e STIEFEL (1952) e explo a o a o de que a solucáo do sis ema de equacóes (l), equi ale i minimizacáo do uncional quad á ico, Assim, p ocessos i e a i os u ilizados pa a minimiza o uncional Q, conduzem i solucáo do sis ema de equacóes algéb icas associado a es e uncional (GOLUB e VAN LOAN, 1989). Nos algo i mos de solucáo que emp egam o Mé odo I e a i o dos G adien es Conjugados a ma iz dos coe icien es a ua unicamen e como ope ado linea o necendo uma manei a ex emamen e elegan e de explo a a espa sidade des a ma iz. A e iciencia do mé odo es á in insicamen e elacionada com as ca ac e ís icas p óp ias do ope ado A (AXELSSON e BARKER, 1984), is o é, seus au o alo es. Como a ma iz A é posi i a de inida, as supe ícies ep esen adas pela equacáo (2) sáo elipsóides. Mé odos numé icos pa a minimizaeáo de um uncional endem a se mais e icien es quando as supe ícies se ap oxima da o ma es é ica. Nes e caso a azáo en e o maio e o meno au o alo es do espec o, A, e Al espec i amen e, é denominada azáo espec al ou núme o de condicionamen o espec al, se ap oxima da unidade. Caso con á io, quando a azáo espec al se ap esen a mui o maio que a unidade, o na-se necessá io a u ilizacáo de uma écnica de p é-condicionamen o que em como e ei o esul a em um uncional onde as supe ícies na izinhanca da solucáo sejam signi ica i amen e menos excen icas que a o iginal. Pode-se dize en áo que pa a ma izes simé icas posi i as de inidas a axa de con e gencia de um esquema i e a i o pode se a aliada a a és da azáo espec al. Logo, com o obje i o de a ingi uma con e gencia mais ápida, o Mé odo dos G adien es Conjugados pode se aplicado a um sis ema equi alen e ao o iginal, mas que enha sido p é-condicionado. P é-mul iplicando-se a equacáo o iginal do sis ema pela ma iz náo singula B, 274 A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN e aplicando-se o Mé odo do G adien es Conjugados ao sis ema p é-condicionado acima, ob ém-se o algo i mo dos G adien es Conjugados P é-condicionado, cujos p incipais passos sáo ap esen ados na abela a segui : Tabela 11.2.1 - Algo i mo dos G adien es Conjugados P é-condicionado Passo 1: Inicializa k= o xo = Dado (usualmen e xo = 0) 0 = b - Axo PO = zo = ~-' ~ Passo 2: A ualiza solucao e esiduo , . zk (Yk = P: A Pk Xk+l = Xk + (Yk Pk k+l = k - akAPk Passo 3: Ve i ica con e gencia Se ( :+, . k+l) < 6 ( k . o)' 3 im Passo 4: A ualiza di ecáo conjugada Zk+l = ~-l k+l ,+* Zk Pk = k Zk Pk+l = Zk+l + Pk Pk k =k + 1 á pa a o passo 2 Em ge al, u na ma iz de p é-condicionamen o B pa a se e icien e, de e a ende alguns equisi os básicos: seus componen es de em se acilmen e de e minados além de náo necessi a a mazenamen o excessi o em elacáo 2 ma iz A; a solucáo do sis ema Bzk = k de e se mais e icien e que a solucáo do sis ema A x = b, já que o mesmo se á esol ido a cada i e acáo do algo i mo. Finalmen e, de e o igina um núme o de condicionamen o espec al eduzido em elacáo a k(A). Pode-se mos a , segundo GOLUB e VAN LOAN (1989), que a axa de con e gencia do Mé odo dos G adien es Conjugados P é-condicionado é p opo cional ao quocien e, AVALIA~ÁO DE ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS Sendo A = B-'A P é-Condicionado Diagonal De inindo-se como ma iz B a diagonal da ma iz dos coe icien es A emos o P é-condicionamen o Diagonal, que de ido ii sua simplicidade de implemen acáo, baixo núme o de ope ac;óes en ol idas e e ei o a o á el de escalonamen o de a iá eis de g andezas dimensionais di e en es é mui o u ilizado, empo a na maio ia dos casos náo enha um e ei o mui o sa is a ó io na educáo de k(A). P é-Condicionado Bloco-Diagonal Nodal De o ma a de ini p ecisamen e es e p é-condicionado é necessá io especi ica co e amen e uma es u u a de dados. Seja o a anjo ID (NNODE, NDOF) onde NNODE é o núme o de pon os nodais da malha e NDOF o núme o de g aus de libe dade po nó. Es e a anjo mapeia g aus de libe dade globais (HUGHES, 1987a). Com isso, pode-se de ini o p é-condicionado bloco-diagonal nodal da seguin e o ma, A,' se k = 1 B~A = 1 5 k,¿ < NNODE O sek#Z (7) onde A:' é a in e sa da subma iz de A co esponden e aos nós i = ID (k,i), J = ID (1, j), 1 < i, j < NDOF. A ma iz BBD é simé ica, posi i a de inida e eque uma á ea de a mazenamen o de 112 NDOFX(NDOF+~)XNNODE. Cada subma iz Aij é mon ada a pa i de con ibucóes indi iduais dos elemen os e sua in e sa é a mazenada pa a uso pos e io du an e as i e acóes do Mé odo dos G adien es Conjugados. P é-Condicionado es Elemen o-po -Elemen o Os p é-condiconado es Elemen o-po -Elemen o, ou EPE, o am p oje ados pa a man e a es u u a de dados ípica do mé odo dos elemen os ini os. Eles o am ap esen ados inicialmen e po HUGHES e al, (1983) e se baseiam na ap oximacáo da in e sa de A po um p odu o de ma izes. Além disso, de o ma a p ese a o pos o das ma izes que compóem o p odu o, os p é-condicionado es EPE sáo aplicados ao sis ema ans o mado de equacóes, onde sendo Dii = A:/~, i = 1,2,. . . n. Es e escalonamen o diagonal pode ambém se in e p e ado com um p é-p econdicionamen o do sis ema de equacóes o iginal. Des a o ma, os p é-condicionado es EPE u ilizados sáo de inidos pelo p odu o, onde Nel é O núme o de elemen os da malha. O duplo p odu o é pa a p ese a a sime ia do p é-condicionado . As ma izes Le e Ue sáo ob idas da pa iciio Gauss-Seidel de uma ma iz de elemen o egula izada da seguin e o ma (WINGET E HUGHES, 1985, HUGHES e al, 1987b), Com es a escolha, a solucáo do sis ema de equacóes auxilia do MGC, z = B-l , é e e uada em dois passos. O p imei o na o dem c escen e dos elemen os e o segundo na o dem in e sa, de aco do com a Equacáo (12). Além disso, de e-se no a que es e p é- condicionado náo necessi a de nenhuma á ea adicional de memó ia pa a a mazena a ma iz B-AE. P é-Condicionado es Mul i-Ní el a) Gene alidades Um dos p oblemas elacionados com os p é-condicionado es expos os an e io men e é que a o dem do núme o de condicionamen o espec al, k(A), náo diminui A medida que o pa ame o de malha ambém diminui. Em ou as pala as, se e ina mos uma dada malha e a soluciona mos a a és do MGC com quaisque dos p é-condicionado es expos os an e io men e, o núme o de i e acóes necessá ias pa a a ingi a con e gencia se á maio do que aquele ob ido pa a a malha inicial. Uma das manei as de se ul apassa es a di icul ade é a u ilizacáo de es a égias mul i-ní el de solucáo. Es as se baseiam no a o de que equen emen e um de e minado p oblema é solucionado p imei amen e em uma malha g ossa e po e inamen o (uni o me ou adap a i o), cons ói-se uma sequencia de malhas, 1 {Ak)k=l (14) onde Al é ma iz de coe icien es co esponden e A malha inicial (g ossa) e A, i malha ina, onde se deseja compu a a solucgo. Os undamen os ma emá icos dos AVALIACÁO DE ESTRATEGIAS COMPUTACIONAIS 277 mé odos mul i-ní el podem se encon ados, po exemplo, em HACKBUSH, (1985) e McCORMICK, (1987). O p opósi o dessas écnicas é desen ol e um mé odo i e a i o no qual a quan idade de abalho compu acional seja di e amen e p opo cional ao núme o de incógni as do sis ema de equacóes. A Tabela 11 ap esen a uma es ima i a do abalho compu acional (AXELSSON e BARKER, 1984) de mé odos de soluc5.o di e a ipo Gauss, mé odos MGC (com e sem p é-condicionamen o) e mé odos mul iní el, pa a p oblemas de elemen os ini os em duas e es dimensóes. Tabela 11. Compa aciio de Es ima i as de T abalho Compu acional. Di e o MGC MGC c/ p é-cond. Mul i-ní el Con o me oi e i icada na p á ica, po exemplo em PARSONS e HALL, (1990a, 1990b), a ob enc5.0 de p opo cionalidade en e es o co compu acional e núme o de incógni as depende de a o es elacionados A i nplemen ac5.0, e A pla a o ma compu acional u ilizada nos expe imen os. En e an o, a écnica mul i-ní el pa ece se de a o um solucionado mui o e icien e quando compa ado a ou os mé odos, an o di e os quan o i e a i os. Um ou o pon o impo an e é que ao in és de u iliza -se a base nodal pad zo pa a ge a as ma izes de elemen os ini os, Ak, k = 1, 2, . . ., 1, pode-se usa bases hie á quicas. A Figu a 1 ap esen a as bases nodais e as bases hie á guicas pa a elemen os quad ilá e os. O aspec o p incipal das bases hie á quicas é o a o de que quando uma malha co esponden e a uma ce o ní el é e inada, a disc e izac5.0 esul an e p ese a as in o macóes cons an es das disc e izac9es an e io es. Além disso, as ma izes esul an es das bases hie á quicas sZo melho es condicionadas do que aquelas compu adas com a base nodal. Po exemplo, pa a malhas uni o mes em duas dimensóes com um amanho médio de elemen o h, o núme o de condicionamen o espec al das ma izes ob idas com bases hie á quicas é p opo cional a 1 log hI2, enquan o que pa a bases nodais a es ima i a é de h-2, (BANK e al, 1988,1989 e YSERENTANT, 1986). Bidimensionais o(n2) O(nl.') 0(n1.25) o(n> T idimensionais 0(n2.33) O(n1,33) O(n1.17) o(n) (a) Base Nodal (b) Base Hie á quica Figu a 1. Funcóes de in e polacao bidimensionais b) P op iedades Geomé icas das Bases Hie á quicas Nes a secáo ap esen a-se a elacáo en e as bases hie á quicas de di e en es malhas, conside ando o a o de que es as sáo e inamen os sucessi os de uma malha g ossa, con o me mos ado na Figu a 2. Malha O Malha 1 Figu a 2. Sequencia de Malhas. Malha 2 AVALIA~ÁO DE ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS 279 Deno ando-se po p;' a i-ésima uncáo de in e polacáo da malha 1, e como o espaco de ap oximacáo da malha 1 inclui o espaco da malha O, as uncóes de in e polacáo do ní el O podem se esc i as como uma combinacáo linea das uncóes de in e polacáo da malha 1. Po exemplo, conside e um elemen o da malha O e os qua o elemen os p oduzidos po e inamen o uni o me desies, que pe enecem A malha 1. Usando o esquema de nume acáo da Figu a 3, sáo álidas as seguin es elacóes Apesa des as elacóes se em álidas somen e pa a um elemen o, es as podem se acilmen e ex endidas pa a odo o dominio. Relacóes simila es podem se cons uídas pa a ou os ipos de elemen os: Hexaed os O 1 92 = 92 + e.. (23) De o ma ge al as elacóes en e unc8es de in e polacáo de malhas g ossas e uncóes de in e polacáo de malhas inas podem se esc i as como, 99 = x,j 9: j (24) onde Xi,j é o peso en e a uncáo cpp e ~3. Se i = j, en áo Xij = 1, po exemplo. Apesa des as elacóes se em complexas, sua implemen ac5.0 pode se conside a elmen e simpli icada pela u ilizac5.0 de uma es u u a de dados ap op iada. Es as podem se encon adas em DEVLOO (1985), pa a elemen os quad ilá e os, RIBEIRO (1991) pa a iangulos e DEVLOO (1991) pa a hexaed os. 286 A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN de um bloco compa ilham um ou mais nós (e g aus de libe dade). A solucáo pa a es a ecu siio global, suge ida po HUGHES e al (1987b), é de se ag upa os elemen os em blocos in e namen e disjun os, onde nenhum elemen o possua um nó (g au de libe dade) comum. Com isso, os elemen os se % ag upados em NBLOCK blocos de amanho máximo NSIZE, co espondendo a um pad áo ilus ado na Figu a 6, pa a uma malha de elemen os quad ilá e os em duas dimensóes. elemen os de mesma "co " nao possuem nó em comun Figu a 6. Reo denacáo dos Elemen os em Blocos. O amanho ó imo do bloco (NSIZE) pa a uma máquina IBM 3090/VF modelo E 6 128, em uncáo das ca ac e ís icas do p ocessado e o ial ("Vec o Sec ion Size7'), como comp o ado em um es udo pa amé ico an e io (COUTINHO e al, 1988). Caso o núme o de elemen os em um de e minado bloco seja in e io i. 12, os cálculos sáo e e uados em modo escala . Ve o izaqáo da Soluqiío do Sis ema de Equaqóes Auxilia do MGC a) P é-Condicionamen o Diagonal Nes e caso, a solucáo do sis ema de equacóes é ex emadamen e simples, co espondendo a uma única ins ucáo e o ial, con o me o echo de código, DO 1 = 1, N Z(I) = R(I) * DIAG(I) ENDDO onde o a anjo DIAG(1:N) con ém os in e sos dos e mos da diagonal de A. De e-se no a que as en adas DIAG(1) sáo esul ado de con ibuicóes indi iduais dos elemen os. Po an o, es e a anjo é calculado u ilizando a mesma es u u a de blocos de elemen os usada an e io men e. AVALIACÁO DE ESTRAT$GIAS COMPUTACIONAIS 287 I b) P é-Condicionamen o Bloco-Diagonal Nodal Os blocos-diagonais nodais sáo compu ados a pa i da con ibuicáo de cada elemen o e a mazenados em um a anjo BD(NNOS, KND) sendo KND = 0.5*NDOF * (NDOF + 1) e NNOS o núme o de nós da malha. Uma ez que pa a elas icidade plana e elas icidade i-dimensional os blocos-diagonais nodais sáo espec i amen e ma izes 2x2 e 3x3, a in e sáo dos blocos-diagonais pode se e e uada acilmen e po meio de ó mulas echadas. Des a o ma, a solucáo do sis ema de equacóes é compu ada pa a cada bloco-diagonal em um único Loop, o almen e e o izado, sob e odos os nós da malha. c) P é-Condicionamen o Elemen o-po Elemen o A u ilizacáo do MGC com p é-condicionamen o EPE en ol e a ans o macáo do sis ema o iginal de equacóes, con o me exp esso nas elasoes (8)-(11). Do pon o de is a da implemen acáo, es as ope acóes salo basicamen e as seguin es: (i) Cálculo da ma iz diagonal Es a ope acáo é e e uada de o ma análoga ii desc i a no i em 4.4.a, com a única di e enca que sáo a mazenados os in e sos das aízes quad adas dos e mos da diagonal de A. Po an o, es a ope acáo ambém é comple amen e e o izada. (ii) Regula izacáo das ma izes de elemen os: xe = (D;')~A, e De1 Es a ope acáo é e e uada com a mesma es u u a do p odu o ma iz e o , obse ando-se que os e mos de D-' co esponden es aos g aus de libe dade do elemen o sáo eplicados no e o local VE1. A ope acáo de egula izacáo é en áo e e uada pa a cada elemen o no bloco. E iden emen e, náo é necessá io o passo de espalhamen o dos esul ados. (iii) Solucáo do Sis ema Auxilias A soluciio do sis ema auxilia B *PEZ = , com B EpE dado pela exp essáo (12), comp eende os seguin es passos: - Soluciio dos sis emas iangula es in e io es a ní el de elemen os, ou seja, Nel 1 n(~,) = , onde = n (ue) z Es a ope acáo é e e uada com a mesma es u u a do p odu o ma iz- e o , sendo po an o e o izada. - Solucáo dos sis emas iangula es supe io es a ní el de elemen o, 288 A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN Es a ope acáo é o malmen e iden ica ii an e io , obse ando-se apenas a o dem in e sa das ope acóes, an o a ní el local, du an e a solucáo de u" z, = e, quan o a ní el global. (i ) Recupe acáo da solucao: X = D-1X Es a ope acáo é equi alen e A desc i a no i em que a a sob e p é-condicionamien o diagonal e po an o é o almen e e o izada. Des a o ma, odo o p ocesso de solucáo do sis ema auxilia de equacóes é e o izá el. Cabe essal a que, de ido A es u u a de blocos disjun os, náo há ecu sáo alguma no acúmulo das solucóes dos sis emas iangula es a ní el de elemen o, uma ez que os elemen os náo possuem g au de libe dade em comum. Além disso, náo há necessidade do a anjo in e mediá io , podendo os esul ados das ope acóes se em acumulados di e amen e em z, mais uma ez, de ido ao a o dos elemen os em cada bloco náo possui em g aus de libe dade comuns. d) P é-Condicionamen o Mul i-Ni el Pa a os p é-condicionado es de inidos a a és das exp essóes (32) e (33)) a solucáo do sis ema auxilia de equacóes do MGC é e e uada a a és das elasoes (34) a (38). Es as sáo undamen almen e a solucáo di e a do sis ema de equacóes co esponden e A malha g ossa, a ep esen acáo de um e o na base hie á quica e a solucáo pa a os bloco- diagonais nodais. Es a Úl ima é o malmen e iden ica A desc i a no i em que a a sob e p é-condicionamien o bloco-diagonal nodal. As duas p imei as, podem causa algumas di icul ades ii e o izacáo e sáo examinadas ii segui . (i) Soluqiio di e a do sis ema de equacoes Nes e abalho é u ilizado um solucionado di e o pa a ma izes a mazenadas em pe il. A e o izacáo da a o acáo da ma iz na o ma de C ou (LDL ), segue as écnicas desc i as po LOZUPONE (1989). Pa a a implemen acáo da a o acáo incomple a de C ou , de e-se no a que um pon ei o adicional é necessá io pa a de inicáo dos e mos nao-nulos em cada coluna a i a. En e an o, endo em is a que se á e e uada uma e osubs i uicáo a cada i e acáo do MGC, em ambos os casos a e apa de ob encáo da solucáo po a an e e e osubs i uicáo oi e o izada. Na maio ia das implemen acóes e o iais de solucionado es di e os, es a e apa é desp ezada, ou seja, náo e o izada, de ido ao a o de que a a o acáo da ma iz é mui o mais cus osa que a solucáo. (ii) Mudanca da base nodal pa a base hie á quica (e ice- e sa) As mudancas de base le am em conside acáo a es u u a al amen e espa sa da ma iz S. Os algo i mos sáo undamen almen e os mesmos ap esen ados po YSERENTANT (1986), e en ol em uma ecu sáo, já que os alo es das incógni as co esponden es ao ní el K sáo dependen es do ní el K - 1. Consequen emen e, náo é possí el, com a es u u a de dados u ilzada, e o iza as ope acóes de mudanca de base. P elimina es Se áo ap esen adas a segui algumas aplicacóes que isam exempli ica o desempenho das es a égias compu acionais desc i as an e io men e. A seguin e nomencla u a se á u ilizada pa a iden i ica os di e en es mé odos i e a i os emp egados: (D-MGC) - Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é- Condicionado Diagonal. (BD-MGC) - Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é- Condicionado Bloco-Diagonal Nodal. (EPE-MGC) - Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é- Condicionado Elemen o-po Elemen o Gauss-Seidel. (LDL-MGC) - Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é- Condicionado Mul i-Ní el co n Fa o acáo de C ou pa a o Ní el G osso e Bloco Diagonal Nodal pa a os demais. (IC-MGC) - Mé odo de G adien es Conjugados P é-Condicionado co n P é- Condicionado Mul i-Ní el co n Fa o acáo Incomple a de C ou pa a o Ní el G osso e Bloco-Diagonal Nodal pa a os demais. Todas as medicóes de desempenho o am e e uadas du an e pe íodos de ca ga compu acional no mal do sis ema em p oducáo, sem ecu so a um ambien e dedicado. Dessa o ma, o esul ado das medicóes pode se conside ado, bas an e ep esen a i o pa a o sis ema em ques áo. P oblema de Boussinesq T idimensional Nes e p oblema clássico de elas icidade, uma ca ga concen ada é aplicada na di ecáo no mal A supe ície de um semi-espaco homogeneo e iso ópico. O p oblema oi modelado po meio de malhas uni o mes de elemen os sólidos isopa amé icos co n 8 nós, ado ando-se condicóes de sime ia nas es aces o ogonais. As p op iedades elás icas do ma e ial sáo: Módulo de Elas icidade, 2.08 x lo6 e coe icien e de Poisson, 0.3. Es e p oblema oi selecionado pa a in es iga o desempenho das es a égias de e o izacáo ap esen adas an e io men e. Sendo assim, u ilizou-se o mé odo (D-MGC), conside ando uma sé ie de malhas uni o mes, co n um núme o c escen e de elemen os ao longo de cada eixo o ogonal. Ado ou-se como ole ancia pa a o c i é io de pa ada dado na Tabela 11, 6 = ,Os dados opológicos pa a cada malha encon am-se na Tabela IV, onde N é o núme o de elemen os ao longo de cada eixo o ogonal. A Figu a 7 ap esen a a malha esul an e pa a N = 24, mos ando ambém as isocu as loga i micas da dis ibuicao de p essóes ob ida. Na Tabela V es áo suma izados núme o de i e acóes pa a cada análise, empo de A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN N NÚMERO DE NÚMERO DE SEMI-LARGURA ELEMENTOS EQUACOES DE BANDA 15 3375 11520 789 16 4096 13872 889 20 8000 26460 1349 24 13824 45000 1905 Tabela IV. Dados Topológicos pa a o P oblema de Boussinesq T idimensional. Figu a 7. Malha 24 x 24 x 24 pa a o P oblema de Boussinesq T idi nensional. N ITERAC~ES CPU (S) CPU VET. (%) MFLOPS 15 64 12 92 19 16 68 20 95 19 20 83 39 95 19 24 96 81 94 19 Tabela V. Desempenho do (D-MGC) pa a o P oblema de Boussinesq T idimensional. p ocessamen o em segundos pa a a solucáo do sis ema de equacóes, pe cen agem desse empo dispendido no p ocessado e o ial e o núme o de MFLOPS. O núme o de MFLOPS pa a cada análise oi a aliado segundo os c i é ios suge idos po DONGARRA e al (1991). Na mesma e e encia encon a-se um es udo de desempenho semelhan e, po ém pa a um p oblema em que o sis ema de equacóes é pen a-diagonal. Os esul ados ob idos encon am-se ep oduzidos na Tabela VI. Tabela VI. Desempenho do MGC nao P é-Condicionado pa a Sis ema Pen a- Diagonal com 10.000 Equacoes (DONGARRA e al, 1991). MÁQUINA NEC SX-2 FUJITSU VP-200 HITACHI 5810120 CRAY X-MP (1 p oc.) CYBER 205 CRAY 2 (1 p oc.) IBM 3090/VF (1 p oc.) CONVEX C-210 ALLIANT FX/4 (1 p oc.) De e-se no a que pa a a es u u a egula do p oblema abo dado po DONGARRA a a aliacáo do p odu o ma iz- e o é mui o simples. Es e a o, aliado a u ilizas50 de um mé odo náo p é-condicionado, conduz a um algo i mo de meno complexidade compu acional, a o ecendo um al o desempenho em e mos de MFLOPS. Sendo assim, as medic9es ap esen adas na Tabela VI podem se omadas como um limi e supe io do desempenho em MFLOPS pa a o mé odo dos G adien es Conjugados. Tendo em is a a complexidade da es a égia elemen o-po -elemen o aplicada ao (D-MGC) na solucáo do p oblema de Boussinesq, pode-se obse a que o núme o de MFLOPS ob ido se ap oxima bas an e do limi e ap esen ado po DONGARRA. Po ou o lado, de e-se e em men e que a u iliza550 de p é-condicionado es mais complexos, examinados 2 segui , apesa de esul a em um núme o de MFLOPS sensi elemen e meno implica numa educáo conside á el do empo de p ocessamen o, que é de a o o obje i o a se alcancado. P oblema de Boussinesq Axisim6 ico DESEMPENHO EM MFLOPS 643 300 240 134 106 82 23 19.5 1.8 Nes e caso, o p oblema an e io oi modelado po malhas uni o mes compos as po N x N elemen os ini os isopa amé icos bilinea es como mos ado na Figu a 8. A ap oximacáo axisimé ica conduz a ma izes nao 5o bem condicionadas quan o DESEMPENHO MÁXIMO EM MFLOPS 1333 533 800 235 200 480 108 50 11 292 A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN 2 modelagem idimensional, de ido A p esenca do e mo adial nas in eg ais dos elemen os. Sendo assim, o obje i o des as análises é es uda o desempenho do MGC com di e en es p é-condicionado es pa a dimensóes c escen es de disc e izacáo. E = 2.08e06. Poisson = 03 . TOL =l.e-06 Figu a 8. Malha N x N pa a o P oblema de Boussinesq Axisimé ico. Os dados ela i os 2s disc e izacóes emp egadas e a demanda de memó ia, em Mby es, pa a os di e en es mé odos i e a i os emp egados, assim como pa a um mé odo di e o com a mazenamen o em pe il, encon am-se suma izados na Tabela VII. Tabela VII. Demanda de Mémo ia pa a o P oblema de Boussinesq Axisimé ico. De o ma ge al, os mé odos i e a i os eque e am signi ica i amen e menos mémo ia que o mé odo di e o. A educáo obse ada a ia en e 9 ezes, pa a o (EPE- MGC), a é 4 ezes pa a o (LDL-MGC). Cabe obse a que conside ou-se apenas 2 ní eis pa a os p é-condicionado es mul iní el. Sendo assim, o núme o de equacóes pa a as ma izes co esponden es 2s malhas g ossas pa a N = 30,60 e 120 é de espec i amen e 480, 1860 e 7320. Po an o, nos mé odos mul iní el, a necessidade de se compu a a a o acáo (comple a ou incomple a) da ma iz co esponden e ao ní el g osso aumen a conside a elmen e a demanda de memó ia desses mé odos. DIRETO 1.0 7.4 57.6 (IC-MGC) NiVEIC 0.5 1.8 8.3 (LDL-MGC) NiVEIS 0.6 2.7 14.0 N 30 60 120 (BD-MGC) 0.4 1.7 6.8 NÚMERo DE EQUACÓES 1860 7320 29040 (EPE-MGC) 0.4 1.7 6.5 AVALIACÁO DE ESTRAT~GIAS COMPUTACIONAIS 293 Tabela VIII. Cus os Compu acionais pa a o P oblema de Boussinesq Axisimé ico. Os cus os compu acionais, ou seja, núme o de i e acóes pa a con e gencia da solucáo i e a i a e empo de p ocessamen o em segundos (CPU), encon am-se dados na Tabela VIII. Como ole ancia pa a e i icacáo de con e gencia, ado ou-se 6 = Con o me aumen a a dimensáo da malha os mé odos i e a i os o nam-se cada ez mais e icien es. Além disso, o mé odo (LDL-MGC) eque um núme o de i e acóes independen e da malha, o que pe mi e o nece a solucáo mais ápida em odas as malhas analisadas, chegando a um a o de educáo de 3.5, em compa acáo com a solucáo di e a, pa a N = 120. G upo de Es acas (IC-MGC) 3.7 34 17.3 51 103.3 99 Nes a aplicacáo sáo analisados os e ei os de g upo em duas es acas ubula es me álicas iden icas solici adas la e almen e. A geome ia e ca egamen o da es u u a de undacáo é simila iquela encon ada na Pla a o ma de Boni o, uma jaque a me álica p oje ada pa a uma lamina de água de 200 m e ins alada na Bacia de Campos, Rio de Janei o, B asil. O solo adjacen e is es acas é conside ado como uma única camada de a gila, cujos pa ame os elás icos sáo: módulo de elas icidade, 0.5 MPa e coe icien e de Poisson, 0.4. Os dados geomé icos e p op iedades elás icas do ma e ial das es acas sáo: comp imen o, 45 m; diame o ex e no 2.13 m; espessu a, 0.0508 m; módulo de elas icidade 210.88 GPa; coe icien e de Poisson 0.3. De ido i sime ia, apenas me ade do conjun o solo-es aca oi disc e izado. Além disso, uma ez que a in e acáo solo- es aca é um enomeno localizado em o no das es acas e na egiáo en e elas, a massa de solo oi disc e izada a é 9 m de cada eixo das es acas, onde p esc e eu-se condicóes de con o no de deslocamen os nulos. Na pa e in e io o am es ingidos os deslocamen os nodais na di ecáo e ical. Inicialmen e, oi e e uada uma análise com a malha da Figu a 8, que comp eende 1376 elemen os sólidos isopa amé icos ilinea es a 1938 pon os nodais, o alizando 4232 g aus de libe dade. Após a eo denacáo da malha pelo algo i mo de Cu hill- McKee e e so (GEORGE e LIU, 1981) a máxima semi-la gu a de banda ob ida oi 2354 e a semi-la gu a de banda média, 303. (EPE-MGC) 4.1 87 23.3 168 148.3 328 DIRETO 4.9 - 33.0 - 314.5 - (BD-MGC) 4.8 213 29.5 422 197.8 838 N 30 60 120 (LDL-MGC) 3.7 26 16.2 26 84.7 26 CUSTO CPU I e s. CPU I e s. CPU I e s. 294 A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES, L. LANDAU, N.F.F. EBECKEN MÉTODO (BD-MCG) (EPE-MCG) Di e o Tabela IX. Cus os Compu acionais pa a Análise T idimensional do E ei o de G upo (4232 equacóes). 0s cus os compu acionais pa a os mé odos i e a i os (BD-MGC), (EPE-MGC) e pa a o mé odo di e o encon am-se na Tabela IX. Nes e p oblema, em odas as análises i e a i as oi ado ado como c i é io de pa ada 6 = De ido 2 p esenca de ma e iais com p op iedades ísicas bas an e di e en es e elemen os com azáo de aspec o ele ada ( elacáo en e maio e meno dimensáo do elemen o), o condicionamen o da ma iz esul an e nao é a o á el aos mé odos i e a i os. Po an o, con o me mos ado na Tabela IX, os mé odos i e a i os o am mais len os que o mé odo di e o. O mau condicionamen o do sis ema de equacoes pode se medido a a és da elacáo en e o maio (Dmax) e o meno (Dmin) alo dos e mos da diagonal da ma iz de igidez, D max /D min = 1.113 x lo9. En e an o, a demanda de memó ia a o ece as solucoes i e a i as. De o ma a p opo ciona uma melho modelagem da in e acáo solo-es aca, a malha da Figu a 9 oi e inada uni o memen e, o iginando o modelo da Figu a 10. Es e modelo possui 11008 elemen os sólidos, 13204 pon os nodais e 33610 g aus de libe dade. Os gus os compu acionais ob idos nes a análise encon am-se na Tabela X, incluindo ago a esul ados pa a os p é-condiconado es mul iní el, que no caso, u ilizam 2 ní eis, a malha o iginal e a malha e inada. O mesmo c i é io da pa ada da análise an e io oi u ilizado em odos os mé odos i e a i os. Es e p oblema oi solucionado apenas pelo (LDL-MGC). Is o pode se comp eendido no ando-se que na análise do p oblema com a malha g ossa, a solucáo di e a oi a mais ápida, e eque ia uma quan idade acei á el de á ea de a mazanamen o. Po an o, a u ilizacáo des a ma iz como p é-condicionado pa a a malha ina o nou a solucáo com o mé odo p é-condicionado em dois ní eis mui o e icien e. Em con a pa ida, náo oi possí el de se ob e a a o acáo incomple a da ma iz da malha g ossei a, o que in iabilizou a solucáo pelo mé odo (IC-MGC). Os ou os mé odos i e a i os náo ob i e am a con e gencia den o de um empo de p ocessamen o acei á el e con o me pode se e i icado na Tabela X, ainda se encon a am longe disso. A soluciio di e a des e p oblema náo oi ob ida de ido 2 eno me demanda de mémo ia, mesmo após a eo denacáo da malha, que conduziu a um sis ema com semi-la gu a de banda 2101 e semi-la gu a de banda média 1305, co espondendo ao alo de á ea de a mazenamen o indicado na Tabela X. NÚMERO DE ITERACOES 5119 1793 ---- CPU (S) 756.8 528.3 58.8 MEMÓRIA (Mby es) 3.85 3.78 10.45 AVALIACÁO DE ESTRATÉGIAS COMPUTACIONAIS Figu a 9. Malha pa a Análise T idimen- Figu a 10. Malha pa a Análise T idi- sional do E ei o do G upo mensional do E ei o do G upo (4232 equacoes) . (33610 equa~oes). NUMERO DE CPU MEMORIA NORMAL RELATIVA DO RESÍ- MÉToDo ITERAC~ES (min) (Mby es) DUO NA ÚLTIMA ITERACAO (LDL-MGC) 1124 99 40.7 9.970 E4 (IC-MGC) - - - - (EPEMCG) 3603 120 29.8 2.181 El (BD-MGC) 7098 120 30.5 5.711 El Di e o - - 351.5 - Tabela X. Cus os Compu acionais pa a Análise T idimensional do E ei o de G upo (33610 equacoes). P ocu ou-se nes e abalho a alia di e sas al e na i as de p econdicionamen o pa a o mé odo i e a i o dos g adien es conjugados, com o obje i o de seleciona aqueles que melho desempenho de e áo e na solucáo numé ica de g andes p oblemas