Re is a In e nacionai de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
6,
1,
81-95( 1990)
LAVINIA BORGES
NESTOR ZOUAIN
Labo a ó io Nacionalde Compu a~~o,
Cien qca-LNCC/CNPq,
Rua Lau o Mülle 455,
CEP
22290
Rio de Janei o,
R J, B asil
RESUMEN
As o mulasoes a iacionais que ca ac e izam
a
Análise Limi e sáo ap esen adas em es
e sóes: Es á ica, Cinemá ica e Mis a. SZo p opos as disc e izacóes pelo MEF pa a cada uma
das o mulasoes, eduzindo o p oblema de Análise Limi e a um p oblema de P og amacáo
Linea . Uma placa com en alhe acionada
é
mos ada como aplicacáo.
SUMMARY
The a ia ional o mula ions o Limi Analysis a e p esen ed in h ee e sions: S a ic,
Kinema ic and Mixed. Fo each one o hese
p incipies
i is p oposed
a
ini e elemen
disc e iza ion o educe he Limi Analysis o
a
Linea P og amming P oblem.
A no ched s ip unde ac ion is conside ad
as
an applica ion.
Es e abalho em po obje i o ap esen a as o mulacóes a iacionais que
ca ac e izam o p oblema de Análise Limi e, assim como ap esen a sua esolucáo
a a és do Mé odo dos Elemen os Fini os e écnicas de P og amacáo Ma emá ica.
T es o mulacóes se áo pa icula men e explo adas, sendo que em odas elas se á
abo dado o p oblema de es u u as sujei as a ca egamen o ex e no e elocidades
p esc i as homogeneas.
Na " o mulacáo es á ica", o p oblema consis e na maximizacáo de
um
uncional
linea de inido num conjun o ca ac e izado po es icoes nao linea es na a iá el do
p oblema: campo de ensóes equilib adas com o ca egamen o de colapso.
Na segunda o mulacáo a iacional, chamada" o mulacáo cinemá ica9', o p oblema
consis e na minimizacáo de
um
uncional gene almen e nao linea , de inido em
un
Recibido: Ma zo 1989
@Uni e si a Poli cnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
8
1
L.
BORGES,
N.
ZOUAIN
Y
R.
FELT~O
conjun o ca ac e izado po es icóes linea es nas a iá eis do p oblema: campo de
elocidades e axa de de o macáo.
A " o mulacáo mis a"co eponde a um p oblema do ipo min-max e es icóes
ge al nen e náo-linea es.
A
ob enc50 de solucóes ap oximadas dos p oblemas an e io es
é
ei a a a és do
Mé odo dos Elemen os Fini os e linea izacáo das es icóes. Com es as ap oximacóes,
as o mulacóes a iacionais sáo eduzidas a p oblemas de P og amacáo Linea .
Em pa icula , ap esen a-se no abalho o desen ol imen o de alguns elemen os
ini os pa a as o mulacóes cinemá ica, es á ica e nis a. Ao inal,
é
discu ida uma
aplicas50 numé ica em
um
p oblema de es ado plano de ensáo.
O
p oblema de análise limi e consis e na de e minacáo da ca ga que p o oca á em
um co po o enomeno do colapso plás ico incipien e.
O
enomeno do colapso plás ico incipien e se ca ac e iza pelo desen ol imen o de
axas de de o macóes a ca egamen o cons an e. Es as de o macóes es áo associadas a
um
campo de ensóes es á ica e plas icamen e admissí eis e sáo pu amen e plás icas.
A de inicáo da cinemá ica, do equilíb io e da lei de escoamen o, pe mi e a
ca ac e izacáo do p oblema de análise limi e a a és de p incípios de ó imo.
Cinemá ica e equilíb io
Seja
um
olume ma e ial
B,
de con o no egula
F.
Conside ando a hipó ese de
pequenas de o macóes, as condicóes cinemá icas e de equilíb io se áo es abelecidas em
elacáo a con igu acáo de e e encia.
Na pa e de con o no
,
es áo p esc ip as elocidades nulas.
Um campo de elocidades
é
di o cinema icamen e admissí el se pe ence ao
conjun o V, de inido po :
onde
U
é
o espaco de elocidades su icien emen e egula es.
A cinemá ica das de o macóes
é
desc i a pelo campo de axas de de o macóes D,
que
é
compa í el se es á elacionado a um campo de elocidades u, cinema icamen e
admissí el, ou seja:
onde
D
é
o ope ado linea de de o macóes e
W
é
o espaco de axas de de o macóes
su icien emen e egula es.
Um campo de ensóes
T
es á em equilíb io com o ca ega nen o ex e no se pe ence
ao conjun o
S,
de inido po :
onde:
W'
é
o espaco dual de
W
T
é
o enso de Cauchy,
b
as o cas de co po a un as em
B
e a as o cas de supe ície
a uan es no con o no J?,( ,
=
I'
-
,).
Relasoes cons i u i as
O
compo amen o de ma e iais elás icos idealmen e plás icos
é
desc i o pelas
elacóes:
A uncáo de escoamen o , que de ine o c i é io de plas i icacáo (2))
é
e o ial
e
cada u na de suas componen es ep esen a
um
modo de escoamen o. Dessa o ma, a
desigualdade
(2)
de e se en endida componen e a componen e.
O
e o de pa he os
de escoamen o em
um
núme o de componen es igual ao núme o de modos de
escoamen o de
.
Em
(3
é
de inida a lei de escoamen o, que es abelece que a- axa de de o macáo
plás ica
DA
6
p opo cional ao g adien e da ungáo de escoamen o ( T).
A
elacáo de complemen a idade
(4)
impóe a condicáo de de o macáo plás ica nula
pa a os modos ina i os de
(
j
<
0).
Em mui os p oblemas a uncáo de escoamen o , con enien e,
é
seccionalmen e
linea .
Nes e caso, o g adien e da uncáo
é
igual a ma iz cons an e N, cujas colunas sáo
os e o es no mais a cada modo de escoamen o. As componen es do e o
R
sáo as
dis hcias dos modos
A
o igem.
Ca ac e izacáo do p oblema de análise limi e
No co po onde se p ocessa o colapso plás ico a ua
&n
campo de ensóes T, es á ica
e plas icamen e admissí el,
ou
seja:
L.
BORGES,
N.
ZOUAIN
Y
R.
FELT~O
e associado a um campo de elocidades cinema icamen e admissí el, conhecido como
mecanismo de colapso, que p oduz
um
campo de axas de de o macóes pu amen e
plás ico, is o
é:
Pa a um co po sujei o a um p og ama de ca gas p opo cionais a uma dis ibuicáo
de e e encia
E
e a es icóes de elocidades ho nogeneas, o p oblema de análise limi e
se eduz ao cálculo de um a o c í ico
á,
al que:
/B
T
-
VwdB
=
á¿(w) Vw
E
V
(T
es á equilib ado com a ca ga ex e na)
TE
IP
(T
é
plas icamen e admissí el)
VV
=
Ti
(
é
uma elocidade pu amen e plás ica (8)
i20
L =0 associada a
T.)
Fo mulasáo a iacional
Os p incípios a iacionais que no eiam a análise limi e pa a ca gas p opo cionais
se áo ap esen ados nas suas e sóes es á ica, cinemá ica e mis a1.
Fo mulacáo es á ica
Na o mulacáo es á ica, a ca ga de colapso
á
¿
é
ob ida pela solucáo do p oblema
de o imizacáo:
á
=
supa TES, lP
a,~
1
aER
onde
S,
é
de inida pela Eq
(1)
com L( )
=
a¿( ); is o
é,
encon a o maio dos alo es
a,
á,
pa a o qual exis e
um
campo de ensóes T plas icamen e admissí el, e equilib ado
com áL( ).
As condicóes de ó imo desse p oblema sáo:
em odo
B
{
(T)
O.
2) - TX=O
i>=
.i=o
Es a condicóes de ó imo sáo as condicóes impos as sob e o campo de ensóes,
de o macóes e elocidades no colapso, con o me de inido em (8). Po an o, a esolucáo
PROGRAMA~ÁO
MATEMATICA
NA ANÁLISE LIMITE
do p oblema (9).pe mi e o conhecimen o do pa ame o c í ico
&
e do campo de ensoes
a uan e no co po, nes a si uacáo.
Fo mulaciio Mis a
In oduzindo no p oblema es á ico (9) a es icáo de equilíb io como e mo de
penalizaeáo exa a no uncional a maximiza l, ob em-se a o mulacáo mis a do p oblema
de análise Limi e:
que
é
equi alen e a:
Fo mulaciio cinemá ica
A
o mulacáo
(12)
é
equi alen e a:
x( )
=
SUP
inI (T D
-
(T) i)dB
AE
,,
1
TXB
ITEW'
onde
A
={; li
2
O
em
B)
A condicáo necessá ia pa a a solucáo desse p oblema
é
D
=
Ti
em B.
Com es a condicáo e a conside acáo de u na uncáo de escoamen o seccionalmen e
linea , como a de inida em
(5),
o p oblema cinemá ico se eduz a:
Ou seja,
c5
e o mínimo da po encia dissipada, associada ao campo de elocidades
pu amen e plá ica.
Análise limi e como um p oblema
de
p og amacáo linea
As o mulacoes a iacionais do p oblema de análise limi e, ap esen ados na secáo
an e io , sáo p oblemas de o imizacáo de uncionais.
A
e sáo disc e a e linea desses
p oblemas esul a de u na ede inicáo do campo de uncóes, ap oximados po campos
de inidos em,espacos de dimensáo ini a, da suposicáo de uncoes de escoamen o
seccionalmen e linea es e de elaxacáo nas es icoes.
Pa a
a
o mulacáo es á ica (9) o campo de ensoes se á ap oximado po uncoes
que ga an am o equilíb io em odo co po. Na o mulacáo cinemá ica (14) os campos
de elocidades e de pa he os de escoamen o se áo ap oximados po uncoes que

espei em as condicoes de compa ibilidade cinemá ica. Se as e soes disc e as des es
p oblemas o em en endidas como ap oximacóes do p oblema eal, a e sáo es á ica
o nece
um
limi e in e io e a cinemá ica
um
limi e supe io pa a a ca ga de colapso
eal.
Pa a as o mulacoes mis as
(11)
e
(12)
os campos ap oximados de ensáo e
elocidades sáo acoplados a a és da uncáo dissipacáo in e na. Nes e modelo as
condicoes de equilib io e cinemá ica sáo elaxadas.
Modelo
es á ico
A o mulacáo es á ica
(9)
consis e na maximizacáo de uma uncáo linea sujei a
a es icoes náo linea es. Uma in e polacáo de ensóes ob ida a a és do mé odo dos
elemen os ini os o nece a ap oximacáo
T
do campo de ensoes, desc i a, no elemen o
i, po :
onde
$T
é
ope ado de in e polacáo,
T;(x)
ep esen a a pe cela e e en e as o cas de
co po, e Ti o e o que eune os pa ime os de in e polacáo.
A uncáo de in e polacáo
$T
e o e mo
T;(x)
sáo escolhidos de o ma que um
conjun o ini o de es icoes sejam su icien es pa a impo o equilib io do campo de
ensoes ap oximado. Is o implica na exis encia de um conjun o ini o de campos de
elocidade i ual que pode se u ilizado como domínio es i o de uncóes de es e
no p incípio de po encias i uais pa a impo o equilíb io exa o da classe de ensoes
conside ada.
Des a o ma, pa a a disc e izacáo do equilib io u ilizam-se as elocidades i uais
desc i as no elemen o
i,
po :
onde as colunas de
$
sáo os campos de elocidade i ual mencionados e
i
um e o
de pa áme os.
As ma izes Booleanas
L&,
LO
e
L:
o necem a elacao de incidencia en e os
pa ime os elemen a es e globais a a és de:
onde:
T- Ve o que ag upa odos os pa he os de ensáo náo p esc i os.
T,- Ve o que ag upa odos os pa ame os de ensáo p esc i os.
V- Ve o que ag upa odos os pa áme os de elocidades.
Median e a subs i uicáo de
(15))
(16)) (17) e (18) nas condicóes de equilib io
(1))
ob em-se a o ma local e disc e a do equilíb io:
PROGRAMACAO
MATEMÁTICA NA
ANALISE
LIMITE
onde:
e,
n
é
núme o o al de elemen os.
As es icóes de ad nissibilidade plás ica das ensóes, de inida em
(6)
pelo conjun o
con exo
IP,
é
linea se conside a mos o compo amen o do ma e ial desc i o po uncóes
seccionalmen e linea es, da o ma de inida em (5).
O
campo
3,
ob ido a pa i da u ilizacáo de (15) em (5) de ine
um
conjun o in ini o
de es icóes linea es. Um conjun o ini o dessas es icóes
é
ob ido impondo-se a
admissibilidade plás ica das ensóes pela écnica de colocacáo.
O
núme o de pon os
escolhidos de e se o mínimo su icien e pa a ga an i a e i icacáo dessas es icóes em
odo o co po.
Ag upando-se os
'
elemen a es no e o , e de posse das ma izes Booleanas
L;,
L;
e L,, ob em-se
um
conjun o ini o de es icóes linea es de admissibilidade plás ica,
pa a odo o co po, dada po :
onde:
O
pa he o
n,
co esponde ao núme o de pon os
xk
escolhidos pa a se impo a
admissibilidade em cada elemen o.
Na no acáo u ilizada pa a a de inicáo das ma izes elemen a es, o símbolo de uniáo
sob e
k,
co esponde
A
mon agen em blocos adjacen es das ma izes co esponden es a
cada
xk.
O
p oblema de o imizacáo náo linea
(9)
se eduz, des a o ma, a
um
p oblema de
p og amacáo linea :
B~T
=
a(F
+
Fb
+
Fa)
¿iE
=
maxa
lNTT
-ani-ax <o
Modelo
cinemá ica
A
o mulacáo cinemá ica
(14)
consis e na minimizacáo de
um
uncional linea
sujei o a in ini as es icoes linea es.
Median e a disc e izacáo do con ínuo po elemen os ñni os, ob em-se os campos
6
e
i
ap oximados po :
onde
i
e
.Ai
sáo e o es de pa iime os de in e polacáo dos elemen os.
O
campo de
pa iime os de escoamen o
é
in e polado descon ínuo en e elemen os.
Pa a a o mulcáo disc e a do p oblema, além da disc e izacáo espacial, de e-se
conside a a limi as50 no núme o de es icóes de compa ibilidade cinemá ica. Da
mesma o ma que no modelo es á ico, a écnica de colocacáo se á conside ada com es e
in ui o. Nes e caso o núme o de pon os escolhidos de e se o mínimo su icien e pa a
ga an i a condicáo de compa ibilidade cinemá ica em odo co po.
Da subs i uicáo de (26) e (27) em
(14)
e a conside acáo das ma izes Booleanas
L,
e
LA,
associada
A
écnicas de colocacáo, esul a a o ma linea e disc e a da o mulacáo
cinemá ica:
onde:
A no acáo de uniao na de inicáo &as ma izes elemen a es oi usada com o mesmo
signi icado que o modelo es á ico.
Modelo
mis o
A
o mulacáo
(12)
pode ambém se colocada como
u n
p oblema de p og amacáo
linea , a pa i da linea izacáo, disc e izacáo e pos e io dualizaciío da e sáo disc e a
do p oblema p imi i o.
A in e polacao do campo de ensoes, elocidades e pa he os de escoamen o,
ob ida pelo mé odo dos elemen os ini os, o nece em cada elemen o os campos
ap oximados:
Assim como no modelo cinemá ico, o campo de pa he os de escoamen o
é
in e polado discon ínuo en e elemen os.
A subs i uicáo dessas ap oximacoes em
(12)
conduz a e sáo disc e a da o mulacáo
mis a:
onde: