Programação matemática na análise limite e sua aplicação a problemas planos de tensão e deformação

Re is a In e nacionai de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 6, 1, 81-95( 1990) LAVINIA BORGES NESTOR ZOUAIN Labo a ó io Nacionalde Compu a~~o, Cien qca-LNCC/CNPq, Rua Lau o Mülle 455, CEP 22290 Rio de Janei o, R J, B asil RESUMEN As o mulasoes a iacionais que ca ac e izam a Análise Limi e sáo ap esen adas em es e sóes: Es á ica, Cinemá ica e Mis a. SZo p opos as disc e izacóes pelo MEF pa a cada uma das o mulasoes, eduzindo o p oblema de Análise Limi e a um p oblema de P og amacáo Linea . Uma placa com en alhe acionada é mos ada como aplicacáo. SUMMARY The a ia ional o mula ions o Limi Analysis a e p esen ed in h ee e sions: S a ic, Kinema ic and Mixed. Fo each one o hese p incipies i is p oposed a ini e elemen disc e iza ion o educe he Limi Analysis o a Linea P og amming P oblem. A no ched s ip unde ac ion is conside ad as an applica ion. Es e abalho em po obje i o ap esen a as o mulacóes a iacionais que ca ac e izam o p oblema de Análise Limi e, assim como ap esen a sua esolucáo a a és do Mé odo dos Elemen os Fini os e écnicas de P og amacáo Ma emá ica. T es o mulacóes se áo pa icula men e explo adas, sendo que em odas elas se á abo dado o p oblema de es u u as sujei as a ca egamen o ex e no e elocidades p esc i as homogeneas. Na " o mulacáo es á ica", o p oblema consis e na maximizacáo de um uncional linea de inido num conjun o ca ac e izado po es icoes nao linea es na a iá el do p oblema: campo de ensóes equilib adas com o ca egamen o de colapso. Na segunda o mulacáo a iacional, chamada" o mulacáo cinemá ica9', o p oblema consis e na minimizacáo de um uncional gene almen e nao linea , de inido em un Recibido: Ma zo 1989 @Uni e si a Poli cnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 8 1 L. BORGES, N. ZOUAIN Y R. FELT~O conjun o ca ac e izado po es icóes linea es nas a iá eis do p oblema: campo de elocidades e axa de de o macáo. A " o mulacáo mis a"co eponde a um p oblema do ipo min-max e es icóes ge al nen e náo-linea es. A ob enc50 de solucóes ap oximadas dos p oblemas an e io es é ei a a a és do Mé odo dos Elemen os Fini os e linea izacáo das es icóes. Com es as ap oximacóes, as o mulacóes a iacionais sáo eduzidas a p oblemas de P og amacáo Linea . Em pa icula , ap esen a-se no abalho o desen ol imen o de alguns elemen os ini os pa a as o mulacóes cinemá ica, es á ica e nis a. Ao inal, é discu ida uma aplicas50 numé ica em um p oblema de es ado plano de ensáo. O p oblema de análise limi e consis e na de e minacáo da ca ga que p o oca á em um co po o enomeno do colapso plás ico incipien e. O enomeno do colapso plás ico incipien e se ca ac e iza pelo desen ol imen o de axas de de o macóes a ca egamen o cons an e. Es as de o macóes es áo associadas a um campo de ensóes es á ica e plas icamen e admissí eis e sáo pu amen e plás icas. A de inicáo da cinemá ica, do equilíb io e da lei de escoamen o, pe mi e a ca ac e izacáo do p oblema de análise limi e a a és de p incípios de ó imo. Cinemá ica e equilíb io Seja um olume ma e ial B, de con o no egula F. Conside ando a hipó ese de pequenas de o macóes, as condicóes cinemá icas e de equilíb io se áo es abelecidas em elacáo a con igu acáo de e e encia. Na pa e de con o no , es áo p esc ip as elocidades nulas. Um campo de elocidades é di o cinema icamen e admissí el se pe ence ao conjun o V, de inido po : onde U é o espaco de elocidades su icien emen e egula es. A cinemá ica das de o macóes é desc i a pelo campo de axas de de o macóes D, que é compa í el se es á elacionado a um campo de elocidades u, cinema icamen e admissí el, ou seja: onde D é o ope ado linea de de o macóes e W é o espaco de axas de de o macóes su icien emen e egula es. Um campo de ensóes T es á em equilíb io com o ca ega nen o ex e no se pe ence ao conjun o S, de inido po : onde: W' é o espaco dual de W T é o enso de Cauchy, b as o cas de co po a un as em B e a as o cas de supe ície a uan es no con o no J?,( , = I' - ,). Relasoes cons i u i as O compo amen o de ma e iais elás icos idealmen e plás icos é desc i o pelas elacóes: A uncáo de escoamen o , que de ine o c i é io de plas i icacáo (2)) é e o ial e cada u na de suas componen es ep esen a um modo de escoamen o. Dessa o ma, a desigualdade (2) de e se en endida componen e a componen e. O e o de pa he os de escoamen o em um núme o de componen es igual ao núme o de modos de escoamen o de . Em (3 é de inida a lei de escoamen o, que es abelece que a- axa de de o macáo plás ica DA 6 p opo cional ao g adien e da ungáo de escoamen o ( T). A elacáo de complemen a idade (4) impóe a condicáo de de o macáo plás ica nula pa a os modos ina i os de ( j < 0). Em mui os p oblemas a uncáo de escoamen o , con enien e, é seccionalmen e linea . Nes e caso, o g adien e da uncáo é igual a ma iz cons an e N, cujas colunas sáo os e o es no mais a cada modo de escoamen o. As componen es do e o R sáo as dis hcias dos modos A o igem. Ca ac e izacáo do p oblema de análise limi e No co po onde se p ocessa o colapso plás ico a ua &n campo de ensóes T, es á ica e plas icamen e admissí el, ou seja: L. BORGES, N. ZOUAIN Y R. FELT~O e associado a um campo de elocidades cinema icamen e admissí el, conhecido como mecanismo de colapso, que p oduz um campo de axas de de o macóes pu amen e plás ico, is o é: Pa a um co po sujei o a um p og ama de ca gas p opo cionais a uma dis ibuicáo de e e encia E e a es icóes de elocidades ho nogeneas, o p oblema de análise limi e se eduz ao cálculo de um a o c í ico á, al que: /B T - VwdB = á¿(w) Vw E V (T es á equilib ado com a ca ga ex e na) TE IP (T é plas icamen e admissí el) VV = Ti ( é uma elocidade pu amen e plás ica (8) i20 L =0 associada a T.) Fo mulasáo a iacional Os p incípios a iacionais que no eiam a análise limi e pa a ca gas p opo cionais se áo ap esen ados nas suas e sóes es á ica, cinemá ica e mis a1. Fo mulacáo es á ica Na o mulacáo es á ica, a ca ga de colapso á ¿ é ob ida pela solucáo do p oblema de o imizacáo: á = supa TES, lP a,~ 1 aER onde S, é de inida pela Eq (1) com L( ) = a¿( ); is o é, encon a o maio dos alo es a, á, pa a o qual exis e um campo de ensóes T plas icamen e admissí el, e equilib ado com áL( ). As condicóes de ó imo desse p oblema sáo: em odo B { (T) O. 2) - TX=O i>= .i=o Es a condicóes de ó imo sáo as condicóes impos as sob e o campo de ensóes, de o macóes e elocidades no colapso, con o me de inido em (8). Po an o, a esolucáo PROGRAMA~ÁO MATEMATICA NA ANÁLISE LIMITE do p oblema (9).pe mi e o conhecimen o do pa ame o c í ico & e do campo de ensoes a uan e no co po, nes a si uacáo. Fo mulaciio Mis a In oduzindo no p oblema es á ico (9) a es icáo de equilíb io como e mo de penalizaeáo exa a no uncional a maximiza l, ob em-se a o mulacáo mis a do p oblema de análise Limi e: que é equi alen e a: Fo mulaciio cinemá ica A o mulacáo (12) é equi alen e a: x( ) = SUP inI (T D - (T) i)dB AE ,, 1 TXB ITEW' onde A ={; li 2 O em B) A condicáo necessá ia pa a a solucáo desse p oblema é D = Ti em B. Com es a condicáo e a conside acáo de u na uncáo de escoamen o seccionalmen e linea , como a de inida em (5), o p oblema cinemá ico se eduz a: Ou seja, c5 e o mínimo da po encia dissipada, associada ao campo de elocidades pu amen e plá ica. Análise limi e como um p oblema de p og amacáo linea As o mulacoes a iacionais do p oblema de análise limi e, ap esen ados na secáo an e io , sáo p oblemas de o imizacáo de uncionais. A e sáo disc e a e linea desses p oblemas esul a de u na ede inicáo do campo de uncóes, ap oximados po campos de inidos em,espacos de dimensáo ini a, da suposicáo de uncoes de escoamen o seccionalmen e linea es e de elaxacáo nas es icoes. Pa a a o mulacáo es á ica (9) o campo de ensoes se á ap oximado po uncoes que ga an am o equilíb io em odo co po. Na o mulacáo cinemá ica (14) os campos de elocidades e de pa he os de escoamen o se áo ap oximados po uncoes que espei em as condicoes de compa ibilidade cinemá ica. Se as e soes disc e as des es p oblemas o em en endidas como ap oximacóes do p oblema eal, a e sáo es á ica o nece um limi e in e io e a cinemá ica um limi e supe io pa a a ca ga de colapso eal. Pa a as o mulacoes mis as (11) e (12) os campos ap oximados de ensáo e elocidades sáo acoplados a a és da uncáo dissipacáo in e na. Nes e modelo as condicoes de equilib io e cinemá ica sáo elaxadas. Modelo es á ico A o mulacáo es á ica (9) consis e na maximizacáo de uma uncáo linea sujei a a es icoes náo linea es. Uma in e polacáo de ensóes ob ida a a és do mé odo dos elemen os ini os o nece a ap oximacáo T do campo de ensoes, desc i a, no elemen o i, po : onde $T é ope ado de in e polacáo, T;(x) ep esen a a pe cela e e en e as o cas de co po, e Ti o e o que eune os pa ime os de in e polacáo. A uncáo de in e polacáo $T e o e mo T;(x) sáo escolhidos de o ma que um conjun o ini o de es icoes sejam su icien es pa a impo o equilib io do campo de ensoes ap oximado. Is o implica na exis encia de um conjun o ini o de campos de elocidade i ual que pode se u ilizado como domínio es i o de uncóes de es e no p incípio de po encias i uais pa a impo o equilíb io exa o da classe de ensoes conside ada. Des a o ma, pa a a disc e izacáo do equilib io u ilizam-se as elocidades i uais desc i as no elemen o i, po : onde as colunas de $ sáo os campos de elocidade i ual mencionados e i um e o de pa áme os. As ma izes Booleanas L&, LO e L: o necem a elacao de incidencia en e os pa ime os elemen a es e globais a a és de: onde: T- Ve o que ag upa odos os pa he os de ensáo náo p esc i os. T,- Ve o que ag upa odos os pa ame os de ensáo p esc i os. V- Ve o que ag upa odos os pa áme os de elocidades. Median e a subs i uicáo de (15)) (16)) (17) e (18) nas condicóes de equilib io (1)) ob em-se a o ma local e disc e a do equilíb io: PROGRAMACAO MATEMÁTICA NA ANALISE LIMITE onde: e, n é núme o o al de elemen os. As es icóes de ad nissibilidade plás ica das ensóes, de inida em (6) pelo conjun o con exo IP, é linea se conside a mos o compo amen o do ma e ial desc i o po uncóes seccionalmen e linea es, da o ma de inida em (5). O campo 3, ob ido a pa i da u ilizacáo de (15) em (5) de ine um conjun o in ini o de es icóes linea es. Um conjun o ini o dessas es icóes é ob ido impondo-se a admissibilidade plás ica das ensóes pela écnica de colocacáo. O núme o de pon os escolhidos de e se o mínimo su icien e pa a ga an i a e i icacáo dessas es icóes em odo o co po. Ag upando-se os ' elemen a es no e o , e de posse das ma izes Booleanas L;, L; e L,, ob em-se um conjun o ini o de es icóes linea es de admissibilidade plás ica, pa a odo o co po, dada po : onde: O pa he o n, co esponde ao núme o de pon os xk escolhidos pa a se impo a admissibilidade em cada elemen o. Na no acáo u ilizada pa a a de inicáo das ma izes elemen a es, o símbolo de uniáo sob e k, co esponde A mon agen em blocos adjacen es das ma izes co esponden es a cada xk. O p oblema de o imizacáo náo linea (9) se eduz, des a o ma, a um p oblema de p og amacáo linea : B~T = a(F + Fb + Fa) ¿iE = maxa lNTT -ani-ax <o Modelo cinemá ica A o mulacáo cinemá ica (14) consis e na minimizacáo de um uncional linea sujei o a in ini as es icoes linea es. Median e a disc e izacáo do con ínuo po elemen os ñni os, ob em-se os campos 6 e i ap oximados po : onde i e .Ai sáo e o es de pa iime os de in e polacáo dos elemen os. O campo de pa iime os de escoamen o é in e polado descon ínuo en e elemen os. Pa a a o mulcáo disc e a do p oblema, além da disc e izacáo espacial, de e-se conside a a limi as50 no núme o de es icóes de compa ibilidade cinemá ica. Da mesma o ma que no modelo es á ico, a écnica de colocacáo se á conside ada com es e in ui o. Nes e caso o núme o de pon os escolhidos de e se o mínimo su icien e pa a ga an i a condicáo de compa ibilidade cinemá ica em odo co po. Da subs i uicáo de (26) e (27) em (14) e a conside acáo das ma izes Booleanas L, e LA, associada A écnicas de colocacáo, esul a a o ma linea e disc e a da o mulacáo cinemá ica: onde: A no acáo de uniao na de inicáo &as ma izes elemen a es oi usada com o mesmo signi icado que o modelo es á ico. Modelo mis o A o mulacáo (12) pode ambém se colocada como u n p oblema de p og amacáo linea , a pa i da linea izacáo, disc e izacáo e pos e io dualizaciío da e sáo disc e a do p oblema p imi i o. A in e polacao do campo de ensoes, elocidades e pa he os de escoamen o, ob ida pelo mé odo dos elemen os ini os, o nece em cada elemen o os campos ap oximados: Assim como no modelo cinemá ico, o campo de pa he os de escoamen o é in e polado discon ínuo en e elemen os. A subs i uicáo dessas ap oximacoes em (12) conduz a e sáo disc e a da o mulacáo mis a: onde: