Re is a in e nacional de mé odos numé icos pa a cálculo
y
diseño en ingenie ía,
Vol.
1,1,3-20
(1985)
DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO
-
UNA RESEÑA
R. H. GALLAGHER
Wo ces e Poly echnic Ins i u e
Wo ces e .
MA
01
609
USA
RESUMEN
Se p esen a en es e a ículo una pano ámica de las bases undamen ales del diseño es uc u al
óp imo. Así, as una b e e eseña his ó ica de los di e en es p ocedimien os desa ollados pa a
abo da
el
p oblema, acompañada de la bibliog a ía co espondien e, se desc iben los é minos
undamen ales que in e ienen en un p oblema de diseño óp imo, jun amen e con algunos de
los mé odos más popula es pa a su esolución po o denado .
SUMMARY
In his pape a su ey o he undamen al basis o he op imum s uc u al design is p esen ed.
In
he i s pa o he pape he di e en exis ing p ocedu es o sol e he p oblems oge he wi h
he co esponding li e a u e a e c onologically p esen ed. Finally, he undamen al e minology
used in an op imum s uc u al design p oblem. is de ined and some o he mos popula me hods
o sol e he p oblem by compu e a e desc ibed.
INTRODUCCION
Al habla de diseño es uc u al óp imo nos e e imos a un p oceso que, a a és
de la mayo pa e de la his o ia de su desa ollo, ha sido en su o alidad de ca ác e
analí ico. El obje i o a sa is ace po el diseño -minimiza el cos o o minimiza
el peso- es á es ablecido en o ma explíci a. Los mé odos mode nos de diseño óp imo
son su icien emen e gene ales como pa a acomoda cualquie can idad de hipó esis
de ca ga
y
modalidades de colapso. El uso de g á icos gene ados po compu ado
ha con ibuido en es e p oceso, pe o sólo en o ma limi ada. En is a de la popula idad
del "Compu e Aided Design" (CAD), es ú il e lexiona sob e su elación con el diseño
es uc u al óp imo.
El é mino "Compu e aided design" o "Diseño asis ido po compu ado " se e ie e
a un p oceso en el que el analis a abaja en o ma in e ac i a con el compu ado ,
explo ando al máximo las unidades g á icas pe i é icas del mismo, pa a c ea una con i-
gu ación que sa is aga los eque imien os ope acionales, es uc u ales
y
es é icos
del diseño. Aún cuando puede exis i el obje i o de ob ene un diseño con peso
mínimo, aquel no apa ece exp esado en o ma explíci a. Además, sólo enemos
a nues a disposición p ocedimien os empí icos pa a a a casos en que se especi ca
más de un es ado de ca ga.
_
Pa a muchos, el ema de diseño es uc u al óp imo ep esen a un e eno poco
amilia . Nues o obje i o, es po lo an o, p o ee in o mación básica ace ca del
mismo. Empeza emos con una b e e his o ia de su desa ollo, ilus a emos su uso
po medio de un ejemplo y e mina emos con algunos comen a ios ace ca de la elación
u u a en e diseño ayudado po compu ado
y
diseño óp imo.
Recibido: Sep iemb e
1984
3
RESEÑA HISTORICA
I
En con as e con la ecnología de análisis es uc u al, como se p esen a en análisis
po elemen os ini os a g an escala, o en diseño ayudado po compu ado , el diseño
es uc u al óp imo, en gene al, no ha gozado has a hoy de acep ación, aún cuando
los concep os y p ocedimien os mode nos da an de 25 años a ás o más. Los mo i os
exp esados a es e espec o son nume osos. Uno de ellos es que al ingenie o p ác ico
se le ha p esen ado una can idad deso bi ada de posibles écnicas. Muchas de ellas
es án basadas en concep os ma emá icos que al ingenie o no le son amilia es.
Los cos os de cálculo son mucho más ele ados que pa a un análisis co ien e,
y los p og amas disponibles y con iables son escasos. De hecho, el uso gene alizado
de p og amas de análisis po elemen os ini os
y
de p e- y pos -p ocesado es pa a CAD
ha es imulado el uso de es as écnicas, No obs an e, a pesa de lo mucho que se ha
p og esado, no hay un ni el de p og amas compa able pa a diseño es uc u al óp imo.
I
Se pueden iden i ica cua o á eas p incipales independien es (y has a cie o pun o,
e apas c onológicas), en el desa ollo del diseño es uc u al óp imo. Las ca ac e iza-
emos de la siguien e mane a:
-
Teo ía de dis ibución
-
Modalidades de colapso simul áneo
-
Mé odos de c i e io de op imalidad
-
Mé odos de p og amación ma emá ica.
La
eo ía de dis ibución
busca la disposición de miemb os es uc u ales uniaxiales
que p oduce una es uc u a de olumen mínimo pa a un conjun o especí ico de ca gas
y
de ma e iales. Los eo emas básicos en es e mé odo los es ableció Maxwelll en 1854,
pe o el que amplió las ideas pe inen es y les dio la p ime a aplicación signi ica i a
ue ~ichell~ en 1904. Es os eo emas, como se aplican sin limi aciones que den sen ido
a la o ma geomé ica de la es uc u a, no dan soluciones p ác icas. Conside an una
hipó esis de ca ga solamen e
y
la es uc u a esul an e puede se ines able bajo o os
ipos de ca gas. Sin emba go, la eo ía de dis ibución ha sido es udiada más ecien e-
men e po cox3 y Hemp4 y algunos in es igado es abajan ac ualmen e en desa olla
aún más es os concep os.
El mé odo de
modalidades de colapso simul áneo
(SMF), supone que se log a
op imalidad si cada elemen o componen e de la es uc u a es á en su lími e de esis en-
cia cuando la es uc u a comple a es á al bo de del colapso, Pa a la clase de es uc u as
diseñadas po és e mé odo los lími es de esis encia gene almen e es án dados po
condiciones de es abilidad elás ica, en ez de los de esis encia del ma e ial. El é mino
"simul áneo" ambién implica una sola hipó esis de ca ga, y es a condición es común
a casi odo el abajo que lo eció du an e los años 1940-1950. Es os es ue zos,
en los albo es de la e a del compu ado digi al, se es ingie on
a
o mas es uc u ales
simples y dependen de las ideas clásicas de minimización de unciones. Cox3, Shamley5,
Ge ald6 ue on los in es igado es más a anzados en es a á ea.
Si el concep o de modalidades de colapso simul áneo se ex iende pa a admi i
más de una hipó esis de ca ga, pe o al mismo iempo se es inge a limi aciones en esis-
encia basadas exclusi amen e en es ue zos, se ob iene el mé odo de
diseco de ca ga
comple a
( ully s essed design) (FSD). En gene al, és e mé odo consis e en aplica
análisis sucesi os bajo dis in as hipó esis de ca ga, conduciendo a un diseño en el que
a cada miemb o se le some e al lími e de ca ga en po lo menos una de las hipó esis
de ca ga de inidas. FSD p oduce lo que los diseñado es llaman adicionalmen e
4
-
-
DISEÑO
ESTRUCTURAL
OPTIMO
una es uc u a óp ima. El au o ha p opo cionado una ecopilación de los concep os,
alcance y limi aciones de FSD en la ~ e encia~
.
Los mé odos de
c i e io de op imalidad
apa ecie on a ines de los años 1960 e inclu-
yen el diseño de ca ga comple a como caso especial. En su o ma más gene al u ilizan
los p ocedimien os clásicos pa a de e mina los alo es ex emos de una unción
de a ias a iables suje a a condiciones es ic i as. El abajo inicial en mé odos
de c i e io de op imalidad se limi ó a o mas es uc u ales e hipó esis de ca ga simples.
Sin emba go, en años más ecien es ha sido gene alizado, y aho a se usa jun o con
análisis po elemen os ini os e hipó esis de ca ga múl iples. Una buena in o mación
sob e es e ema puede encon a se en las
e e encia^^,^
Finalmen e llegamos a p ocedimien os ca ac e izados como
o mulaciones de p og a-
mación ma emá ica.
Pa a de ini los en o ma concisa, podemos deci que buscan
el mínimo o máximo de una unción de a ias a iables suje a a limi aciones ( es ic-
ciones) exp esadas po igualdades o desigualdades.
La ep esen ación de es icciones po desigualdades es de g an impo ancia,
ya que pe mi e iden i ica el diseño como aquél en el cual no odos los elemen os es án
suje os a condiciones lími es bajo un sis ema de ca gas, e i ando así una limi ación
inhe en e en algunos de los mé odos an e io es. La o ien ación de las o mulaciones
de p og amación ma emá ica es ácil de combina con el uso de o mulaciones de
elemen os ini os que con ienen g an can idad de incógni as.
Debemos en a iza que, en gene al, los p ocedimien os de p og amación ma emá ica
no es án es ingidos a ningún mé odo de análisis en pa icula .
La p og amación ma emá ica ue aplicada po p ime a ez en op imización es uc-
u al a ines de los años 1950, En e las con ibuciones iniciales des acan las de
Li esley1° y Pea sonll que a a on el diseño lími e como un p oblema de p og ama-
ción lineal, y Schmid 12 quien desc ibió el diseño elás ico como un p oblema más
gene al de p og amación no lineal.
Exis en o os en oques mode nos de la op imización es uc u al que no se pueden
clasi ica den o de las ca ego ías mencionadas. Algunos de és os se engloban
en la eo ía de con ol13, mien as o os14 ienen ca ác e especial y no se pueden
clasi ica en una disciplina ma emá ica pa icula .
LITERATURA BASICA
Pano ámicas sob e diseño es uc u al óp imo han sido esc i as po Wasiu ynski
y. ~ and '~ (en 1963), P age y Sheu16 (en 1968), Nio dson y Pede son17 (en 1973)
y Schmid l8 (en 1981
).
Recopilaciones más es ingidas, con di e en es pun os de is a,
han sido p epa adas po Ba ne lg
,
Roz any y M oz20, ande plaa s2', ~shle~~~,
y Ha ka y
asad^^.
Pope y S~hmid ~~ edi a on una exposición básica sob e écnicas
de diseño es uc u al óp imo. El lib o edi ado po Monis2= iene un p opósi o simila .
Un alioso compendio de in o mación ace ca de diseño es uc u al óp imo ha sido
publicado po la ASCE26
Haug
y
~ o a~~ esc ibie on un ex o que en asiza, an o la p og amación ma emá-
ica, como el pun o de is a de con ol óp imo en diseño es uc u al óp imo. Los lib os
de R~o~~, Majid2' y Ki sch30 desa ollan el diseño es uc u al óp imo desde el pun o
de is a de p ocedimien os de p og amación ma emá ica.
Hay una can idad de publicaciones de con e encias y cong esos en que eó icos
y
diseñado es es uc u ales han compilado es udios de op imización es uc u al.
R.
H.
GALLAGHER
Dos cong esos AGARD sob e op imización es uc u al han sido publicados (Re e en-
cia~~',~'). LOS abajos de un cong eso ealizado en Swansea en ene o de 1972,
ue on edi ados po el au o y Zienkiewicz y publicados en o ma de lib o36. Es e
cong eso consis ió en una se ie de lecciones impa idas po p o eso es in i ados
que de alla on y esumie on, en o ma de ex o, di e en es p ocedimien os de diseño
es uc u al óp imo. Los abajos p esen ados,
y
los esúmenes de las lecciones de
un cong eso pos e io que u o luga en 198.1 han sido ecogidos en la e e encia3*.
Un lib o, ambién el esul ado de es e úl imo cong eso33, con iene las lecciones p inci-
pales comple as y e siones expandidas de una selección de los abajos con ibuidos.
DEFINICION DE TERMINOS
La op imización es uc u al busca selecciona
a iables de diseño
pa a alcanza ,
den o de los lími es ( es icciones) eque idos al compo amien o es uc u al, geome-
ía y o os ac o es, el in de la op imalidad de inida po la
unción obje i o
pa a las ca gas o condiciones gene ales especi icadas. Los es aspec os básicos
- a iables de diseño, unción obje i o y es icciones
-
se combinan pa a o ma
el p oblema de diseño en la geome ía
delespacio de diseño.
A con inuación discu i emos po pa es, cada uno de es os aspec os del p oblema.
Va iables de Diseño
Las
a iables de diseño
en un p oblema de diseño es uc u al óp imo, pueden
consis i en
:
-
Tamaño de los elemen os
-
Pa áme os de con igu ación
-
Pa áme os de p opiedades ísicas o mecánicas
-
O os aspec os cuan i icables del diseño.
La
opología, que no se incluye en es a lis a, es di ícil de ene en cuen a, aunque
se la conside a en o ma limi ada cuando el algo i mo u ilizado pe mi e que los elemen-
os adquie an amaño ce o.
La
ansición de un ipo de compo amien o a o o
(po ejemplo, de una ba a (axial) a iga ( lexión)) no es posible en el con ex o
de un p oceso con ínuo de diseño.
Exis e una je a quía, o un o den de complejidad, en e las dis in as clases de a ia-
bles de diseño. El amaño de cada elemen o es la a iable de diseño más simple. Puede
ep esen a el á ea de la sección de una ba a, el momen o de ine cia de un elemen o
en lexión, o el g oso de una placa.
La
mayo ía de los abajos publicados en diseño
es uc u al óp imo se e ie en exclusi amen e a la de e minación del amaño de
los elemen os, dada la ela i a simplicidad del p oblema, y po que muchas es uc u as
en la p ác ica ienen p opiedades ijas de geome ía y ma e iales.
La
selección de ma e iales p esen a un p oblema especial, ya que los ma e iales
con encionales ienen p opiedades disc e as (los ma e iales compues os p esen an
una excepción). Es e p oblema ambién exis e en la selección de los elemen os es uc-
u ales, pe o no malmen e exis e un ango conside able de secciones y ipos de donde
elegi . Los mé odos pa a la selección de a iables disc e as en diseño óp imo es án
aún en las p ime as e apas de desa ollo.
La
mayo ía de los algo i mos pa a diseño
suponen que con amos con un ango con ínuo de a iables de diseño.
La i-ésima a iable de diseño se designa a po xi(i=l, 2...n). El conjun o comple o
de a iables pa a una es uc u a dada se lis a en el ec o
x.
Quizás el concep o más
impo an e asociado con es a no ación es el de
espacio de diseño,
desc i o po ejes
que ep esen an las dis in as a iables de diseño. Pa a el sis ema de es ba as
de la Figu a
2,
la Figu a ](a) mues a un espacio de diseño de es a iables,
la)
Espacio
de
diseño
X3
b)
Supe icie- unción
de
cos e
X3
(c)
Típicas
es icciones
3
la e ales
y
de
compo amien o
íd)
Supe icie
de
es icciones
comDues a
Figu a
1
.-
Espacio de diseño de es a iables.
y
po lo an o i-dimensional. Po supues o las a iables de diseño son muchas mas
de es en si uaciones p ác icas,
y,
po lo an o, gene almen e no pueden ep esen a se
en el espacio del diseño. Al espacio ndimensional se le llama
hipe espacio.
Un pun o
k
en diseño, es un diseño con a iables
xk
.

R. H. GALLAGHER
Figu a
2.-
Es uc u a de es ba as.
Muchos algo i mos de diseño emplean la es a egia de una
búsqueda di ec a,
en la que se di ige una se ie de cambios en el diseño (mo imien os) en e dos pun os
sucesi os en el espacio de diseño. Un mo imien o ípico en e el pun o
k
y el pun o
k+
1 es á dada po la ecuación
El ec o
dk
( éase la Figu a
1
(a)) de ine la di ección del mo imien o y
ak
la ampli-
ud. El p oceso de diseño óp imo puede e se como el de escoge dis in os alo es
pa a
a
y
d
de mane a que un pun o de diseño inal se puede ob ene en o ma e icien e
desde el pun o de is a de cálculo.
Función
Obje i o
La
unción obje i o,
llamada ambién
unción de cos e
o
unción de mé i o,
es la unción que buscamos minimiza (o maximiza ) en un p oceso de op imización,
y
cons i uye la base pa a selecciona uno de en e los muchos diseños acep ables.
La unción obje i o es una unción escala de las a iables de diseño,
y
la designa emos
po W(x). Rep esen a la p opiedad más impo an e de un diseño, como el cos e
o el peso, pe o ambién es posible ep esen a la unción obje i o como una unción
de a ias de las p opiedades deseables.
Es a úl ima línea, llamada
"diseño de unciones obje i o de c i e io múl iple"
es el obje o de in enso abajo de in es igación en la ac ualidad. Exis e ambién
una g an can idad de o mulaciones al e na i as, algunas han sido discu idas
en las e e encias31 y
35.
El peso es la p opiedad que se emplea en o ma más ecuen e como unción obje i-
o (de ahí el símbolo
W).
Sin emba go, los p ocedimien os que desc ibi emos a con i-
nuación no dependen del ipo conc e o de la unción obje i o. El peso es la medida
signi ica i a más ácil de cuan i ica , y aunque el cos o es de mayo impo ancia
p ác ica, no malmen e es di ícil ob ene su icien es da os pa a pode cons ui
una unción obje i o de cos o.
DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO
La es uc u a de es ba as (Figu a 2) p opo ciona un ejemplo simple de la unción
de peso. Deno ando po pi la densidad po unidad de olumen de la ba a
i,
enemos
y
pa a una es uc u a con n ba as
Como mencionamos an es, el amaño de los elemen os es gene almen e la a iable
de diseño,
y
las densidades
y
la longi ud son cons an es p esc i as. Po lo an o,
es con enien e esc ibi la ecuación
(3)
en la o ma
W=LA=Cx (4
1
donde L es la ma iz [pLl,
.
.
.,
pL,]
y
A es el ec o columna que con iene las a iables
Al, A2
, .
..A,, C
=
[C1, C2, .
.
.C,] c-on iene las p opiedades geomé icas
y
de ma e ia-
les, que son cons an es. Se e cla amen e que la ecuación (4) es una unción lineal
de las a iables de diseño xi o Ai.
Es ú il ilus a la unción obje i o lineal en el espacio de diseño (Figu a I(b)).
Una unción lineal en el espacio i-dimensional es un plano, ep esen ado aquí como
el luga geomé ico de aquellos pun os de diseño con un mismo alo Wj.
En
el espacio
n-dimensional, la supe icie que se de ine es un hipe plano. Cuando la unción obje i o
iene a iables de diseño no-lineales, en el espacio de diseño encon amos una hipe -
supe icie.
En el p oceso de op imización del amaño de los elemen os se ha hecho cada ez
más popula el uso del in e so del amaño del elemen o como la a iable de diseño.
Así pues, pa a una ba a con sección de á ea Ai, el amaño del elemen o
y
la a iable
de diseño sa is acen la elación xi
=
1
/Ai.
La
unción obje i o oma la o ma
donde C se de ine en la ecuación (4).
Un concep o impo an e, que se emplea con inuamen e en p ocesos de op imiza-
ción, es el del
g adien e
de la unción obje i o
V
W. El g adien e es un ec o con
componen es de las de i adas de
W
con espec o a cada una de las a iables de diseño
'P
Así, pa a la unción obje i o lineal dada en la ecuación (4) enemos
Cuando la unción es no-lineal, se puede de i a con espec o al ec o
x
y
calcula cada una de las de i adas en el pun o en que se desea ob ene el g adien e.
El g adien e ep esen a un ec o pe pendicula a la unción en cues ión en el pun o
en que se conside a. La unción lineal de peso (ecuación
(4))
desc ibe un plano,
de mane a que el g adien e de la unción obje i o de ine la di ección de cambio
en el diseño, o de a ance, que es la di ección en que la unción obje i o cambia más
ápidamen e pa a un alo dado de
cx.
Así, pa a educi la unción obje i o omamos
la di ección opues a al ec o g adien e, dk
=
-V
Wk
y
p ocediendo como en
la ecuación (1
)
ob enemos la siguien e exp esión pa a la búsqueda
Es a es la base del mé odo de descenso máximo.
Res icciones
Una
es icción,
en cualquie clase de p oblema, es una limi ación que debe sa is a-
ce se pa a que el diseño sea acep able. hede oma la o ma de una limi ación
impues a di ec amen e en una a iable o g upo de a iables ( es icción explíci a),
o puede ep esen a una limi ación sob e can idades cuya dependencia con las a iables
de diseño no se puede es ablece di ec amen e ( es icción implíci a).
Una
es icción de igualdad,
que puede se explíci a o implíci a, se designa á po
pa a e es icciones de igualdad. En eo ía, cada es icción de igualdad p o ee una
opo unidad pa a elimina del p oceso de op imización una de las a iables de diseño,
y así educi el núme o de dimensiones del p oblema. Sin emba go el p oceso de elimi-
nación puede se di ícil
y
de álgeb a complicada, po lo que no siemp e se hace.
Una
es icción de desigualdad
es de la o ma
cuando hay un o al de s es icciones de desigualdad.
La idea de una es icción de desigualdad es de g an impo ancia en diseño es uc u-
al óp imo. Pa a alcanza op imalidad es esencial pe mi i diseños en que no odas
las es icciones se sa is acen di ec amen e. Una di isión impo an e de las es icciones
es la de
es icciones la e ales
y
es icciones en compo amien o.
Una es icción
la e al es una limi ación especí ica (máximo o mínimo) en una a iable de diseño,
o una elación que ija el alo ela i o de un g upo de a iables de diseño. Gene al-
men e son es icciones
explíci as.
Las de iciencias de muchos mé odos clásicos
de op imización es uc u al se deben a su incapacidad pa a a a piezas de dimensiones
mínimas.
Las es icciones en compo amien o en análisis es uc u al son gene almen e
limi aciones en los es ue zos o en los desplazamien os, pe o ambién pueden oma
la o ma de es icciones en ecuencias de ib ación o esis encia al colapso.
En la p ác ica, encon amos es icciones implíci as
y
explíci as. Típicamen e,
las es icciones en compo amien o explíci as se dan po ó mulas p o enien es
de especi icaciones del diseño. Sin emba go las es icciones en compo amien o
gene almen e son implíci as.
DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO
Cada condición que ep esen a una es icción apa ece en el espacio de diseño como
una supe icie, ep esen ando el luga geomé ico de los pun os de diseño pa a
los que la es icción se sa is ace como igualdad. Pa a a iables con ínuas de diseño
la supe icie es en gene al con ínua, y es cu a pa a el diseño es uc u al clásico
de una es uc u a inde e minada. La Figu a
1
.c mues a una es icción de compo a-
mien o ípica, en el espacio de diseño.
Fo mulación Ma emá ica del P oblema de Diseño Es uc u al Op imo
En é minos algeb áicos, el p oblema de diseño con peso mínimo ep esen ado
en el espacio de diseño en la Figu a
1
.d es el siguien e:
Minimiza W(x), que es una unción obje i o de n a iables de diseño suje a
a las es icciones
T
x
=
[x,, ...,x
,
1
,
gj (x)
<
O, j
=
1, ... s.
que ep esen an e es icciones de igualdad y s es icciones de desigualdad en las a ia-
bles de diseño. Si la unción obje i o debe maximiza se, el p oblema es idén ico a si
se busca minimiza -W(x).
La
ep esen ación geomé ica del p oblema de diseño se mues a en la Figu a
3
.
x0
,
,
I
l
Lími e supe io
especi icado
pa a
x2
( es icción
la e al)
o
x2
Figu a
3.-
Espacio de diseño de dos a iables.
en é minos de sólo dos a iables de diseño pa a mayo simplicidad. Se pueden especi i-
ca lími es supe io es e in e io es pa a la ampli ud de cada es ue zo o desplazamien o
y pa a cada condición de ca ga, de mane a que enemos p esen e una g an can idad
R.
H. GALLAGHER
17. F. 1. Nio dson y P. Pede sen, "A Re iew o Op imal S uc u al Design" en
P oc. o he
Thi een h In . Cong ess o Theo . and Applied Mech., Moscow,
1972.
Publ. by Sp inge -Ve lag,
Be lín, (1 973).
18. L. A. Schmi
,
"S uc u al Op imiza ion, Some Key Ideas and Insigh s" en
New Di ec ions in
Op imum S uc u al Design,
E. A ek, e al., Eds. J. Wiley Book Co., London, (1984).
19, R. Ba ne , "Su ey o Op imum S uc u al Design",
Expe imen al Mechanics,
6, No. 12,
Diciemb e, (1 966).
20. G
.
1. N. Roz any y
Z.
M oz, "Analy ical Me hods in S uc u al Op imiza ion", Applied Mecha-
nics Re iews, V. 30,No. 11, pp. 1461-1470,No . (1977).
2 1. G
.
N. Vande plaa s, "S uc u al Op imiza ion, Pas
,
P esen and Fu u e" AIAA
J.,
V. 20, No. 7,
pp. 992-1000, Julio (1982).
22. H. Ashley, "On Making Things Bes
-
Ae onau ical Uses o Op imiza ion"
J.
Ai c a ,
V. 19,
No. 1, Ene o, (1982).
23. R. T. Ha ka
y
B. P asad, "Op imum S uc u al Design wi h Pla e Bending Elemen s
-
A Su ey"
AIAA
J.,
V. 19, No. 4, pp. 517-522, Ab il (1981).
24. G
.
G
.
Pope y L. A. Sch ni (Eds
.)
,
S uc u al Design Applica ions o Ma hema ical P og amming
Techniques,
AGARDog aph 149, 2nd ed., Ad iso y G oup o Ae o. Res. and De el., NATO,
Feb e o (1972).
25. A.
J.
Mo is (Ed.),
Founda ions o S uc u al Op imiza ion: A Un ied App oach.
J.
Wiley Book
Co., Lond es (1982).
26. 0. Le (Ed.), "S uc u al Op imiza ion: Recen De elopmen s and Applica ions", ASCE Special
Publica ion, N.Y
.,
(198 1).
27. E. Haug y
J.
S.
A o a,Applied Op imal Design,
J. Wiley Book Co., N.Y., (1979).
28. S. S. Rao,
Op imiza ion: Theo y and Applica ions,
Wiley Eas e n L d., New Delhi, (1978).
29. K. Majid,
Op imum Design o S uc u es,
Newnes-Bu en o hs, Lond es, (1 974).
30. U. Ki sch, "Op imum S uc u al Design", McG aw-Hill, N.Y.
31. R. A. Gella ly (Ed.),
Symposium on S uc u al Op imiza ion,
AGARD Con . P oc. No. 36,
Ad iso y G oup o Ae o. Res. and De el,, NATO, Oc ub e, (1970).
32. R. A. Gella ly (Ed.),
Second Symposium on S uc u al Op imiza ion,
AGARD Con . P oc. 123,
Abd, (1973).
33. E. A ek e
al.
(Eds.)
New Di ec ions in Op imum S uc u al Design,
J. Wiley Book Co
.,
Lond es,
(1 984).
34.
P oc. In . Symp. on Op imum S uc u al Design,
Uni . o A izona, Tucson, AZ, Oc ub e, (1981).
35. R. W. Mayne y
K.
M.
Ragsdell, 'T og ess in Engineenng Op i niza ion
-
19813', ASME Special
Publica ion, N.Y
.,
(198 1).
36. R. H. Gallague y O. C. Zienkiewicz,
Op imum S uc u al Design,
J.
Wiley Book. Co., Lond es,
(1973).
37.
H.
Miu a
y
L. A. Schmi , "Second O de App oxima ion o Na u al F equency Cons ain s
in S uc u al Syn hesis" In .
J.
Num. Me h. Eng g.
V.
13, No. 2, pp. 337-352, (1974).
38. V.
B.
Venkayya, "S uc u al Op imiza ion: A Re iew and Some Recommenda ions",
In .
J.
Num. Me hods Eng g.,
V.
13, No. 2, pp. 203-228, (1978).
39. E. J. Haug y J. Cea,
Op imiza ion o Dis ibu ed Pa ame e S uc u es.
Sij ho and Noo dho ,
Países Bajos, (1981).
40. C. Fleu y, "A Uni ied App oach o S uc u al Weigh Minimiza ion", Comp. Me hods in Applied
Mechanics and Eng g., V. 20, No. 1, pp. 17-38, (1979).
41. K. Ragsdell, "The U ili y o Nonlinea P og amming Me hods o Enginee ing Design" en
New
Di ec ions in Op imum S uc u alDesign
E. A ek,e al., Edi o s.
J.
Wiley Book Co., (1984).
42. G. Vande plaa s, "Shape Op imiza ion o Con inuum S uc u es" en
New Di ec ions in Op imum
S uc u alDesign,
E. A ek, e al., Edi o s. J. Wiley Book Co., N.Y. (1984).
43. S.
Y.
Wang, Y.
Sun
y R. H. Galiaghe , "Sensi i i y Analysis in Shape Op i niza ion o Con inuum
S uc u es"
Compu e s and S uc u es.
(To Appea ).

DISENO ESTRUCTURAL OPTIMO
44. S. Bhak i a i y
C.
Ramak ishnan, "Compu a ional E iciency o Imp o ed Mo e Limi Me hod
o Sequen ial Linea P og a nming o S uc u al Op imiza ion"
Comp. and S uc .
V.
11,
pp. 191-196 (1980).
45. C. Fleu y, R. Ramana han, M. Salama y L. A. Schmi ,
ACCESS Compu e P og am o ke
Syn hesis o La ge S uc u al Sys ems in New Di ec ions in Op imum S uc u al Design,
E. A ek, e al., Edi o s.
J.
Wiley Book Co., (1984).
46. C. Fleu y, "La ge Scale S uc u al Op imiza ion by Fini e Elemen s" en
New Di ec ions in
Op imum S uc u alDesign,
E. A ek,e al., Edi o s,
J.
Wiley Book Co., (1984).
47.
J.
Sobieszczansky-Sobieski y
J.
L. Roge s, "A P og amming Sys em o Resea ch and Applica-
ions in S uc u al Op imiza ion"
New Di ec ions in Op imum S uc u al Design,
E. A ek, e al.,
Edi o s.
J.
Wiley Book Co., (1984).
48. P. Ba holomew y A.
J.
Mo is, "STARS-A So wa e Package o S uc u al Op imiza ion"
en
New Di ec ions in Op imum S uc u al Design,
E. A ek, e al., Edi o s.
J.
Wiley Book Co
.,
(1984).
49. M. Bha ,
V.
Ciampi,
K.
Pis e y E. Polak, "An I e ac i e So wa e Sys em o Op imal Design
o Dynamically Loaded S uc u es wi h Nonlinea Response"
New Di ec ions in Op imum S uc-
u alDesign,
E. A ek, e
al.,
Edi o s.
J.
Wiley Book Co., (1984).