Diseño estructural óptimo - Una reseña

Re is a in e nacional de mé odos numé icos pa a cálculo y diseño en ingenie ía, Vol. 1,1,3-20 (1985) DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO - UNA RESEÑA R. H. GALLAGHER Wo ces e Poly echnic Ins i u e Wo ces e . MA 01 609 USA RESUMEN Se p esen a en es e a ículo una pano ámica de las bases undamen ales del diseño es uc u al óp imo. Así, as una b e e eseña his ó ica de los di e en es p ocedimien os desa ollados pa a abo da el p oblema, acompañada de la bibliog a ía co espondien e, se desc iben los é minos undamen ales que in e ienen en un p oblema de diseño óp imo, jun amen e con algunos de los mé odos más popula es pa a su esolución po o denado . SUMMARY In his pape a su ey o he undamen al basis o he op imum s uc u al design is p esen ed. In he i s pa o he pape he di e en exis ing p ocedu es o sol e he p oblems oge he wi h he co esponding li e a u e a e c onologically p esen ed. Finally, he undamen al e minology used in an op imum s uc u al design p oblem. is de ined and some o he mos popula me hods o sol e he p oblem by compu e a e desc ibed. INTRODUCCION Al habla de diseño es uc u al óp imo nos e e imos a un p oceso que, a a és de la mayo pa e de la his o ia de su desa ollo, ha sido en su o alidad de ca ác e analí ico. El obje i o a sa is ace po el diseño -minimiza el cos o o minimiza el peso- es á es ablecido en o ma explíci a. Los mé odos mode nos de diseño óp imo son su icien emen e gene ales como pa a acomoda cualquie can idad de hipó esis de ca ga y modalidades de colapso. El uso de g á icos gene ados po compu ado ha con ibuido en es e p oceso, pe o sólo en o ma limi ada. En is a de la popula idad del "Compu e Aided Design" (CAD), es ú il e lexiona sob e su elación con el diseño es uc u al óp imo. El é mino "Compu e aided design" o "Diseño asis ido po compu ado " se e ie e a un p oceso en el que el analis a abaja en o ma in e ac i a con el compu ado , explo ando al máximo las unidades g á icas pe i é icas del mismo, pa a c ea una con i- gu ación que sa is aga los eque imien os ope acionales, es uc u ales y es é icos del diseño. Aún cuando puede exis i el obje i o de ob ene un diseño con peso mínimo, aquel no apa ece exp esado en o ma explíci a. Además, sólo enemos a nues a disposición p ocedimien os empí icos pa a a a casos en que se especi ca más de un es ado de ca ga. _ Pa a muchos, el ema de diseño es uc u al óp imo ep esen a un e eno poco amilia . Nues o obje i o, es po lo an o, p o ee in o mación básica ace ca del mismo. Empeza emos con una b e e his o ia de su desa ollo, ilus a emos su uso po medio de un ejemplo y e mina emos con algunos comen a ios ace ca de la elación u u a en e diseño ayudado po compu ado y diseño óp imo. Recibido: Sep iemb e 1984 3 RESEÑA HISTORICA I En con as e con la ecnología de análisis es uc u al, como se p esen a en análisis po elemen os ini os a g an escala, o en diseño ayudado po compu ado , el diseño es uc u al óp imo, en gene al, no ha gozado has a hoy de acep ación, aún cuando los concep os y p ocedimien os mode nos da an de 25 años a ás o más. Los mo i os exp esados a es e espec o son nume osos. Uno de ellos es que al ingenie o p ác ico se le ha p esen ado una can idad deso bi ada de posibles écnicas. Muchas de ellas es án basadas en concep os ma emá icos que al ingenie o no le son amilia es. Los cos os de cálculo son mucho más ele ados que pa a un análisis co ien e, y los p og amas disponibles y con iables son escasos. De hecho, el uso gene alizado de p og amas de análisis po elemen os ini os y de p e- y pos -p ocesado es pa a CAD ha es imulado el uso de es as écnicas, No obs an e, a pesa de lo mucho que se ha p og esado, no hay un ni el de p og amas compa able pa a diseño es uc u al óp imo. I Se pueden iden i ica cua o á eas p incipales independien es (y has a cie o pun o, e apas c onológicas), en el desa ollo del diseño es uc u al óp imo. Las ca ac e iza- emos de la siguien e mane a: - Teo ía de dis ibución - Modalidades de colapso simul áneo - Mé odos de c i e io de op imalidad - Mé odos de p og amación ma emá ica. La eo ía de dis ibución busca la disposición de miemb os es uc u ales uniaxiales que p oduce una es uc u a de olumen mínimo pa a un conjun o especí ico de ca gas y de ma e iales. Los eo emas básicos en es e mé odo los es ableció Maxwelll en 1854, pe o el que amplió las ideas pe inen es y les dio la p ime a aplicación signi ica i a ue ~ichell~ en 1904. Es os eo emas, como se aplican sin limi aciones que den sen ido a la o ma geomé ica de la es uc u a, no dan soluciones p ác icas. Conside an una hipó esis de ca ga solamen e y la es uc u a esul an e puede se ines able bajo o os ipos de ca gas. Sin emba go, la eo ía de dis ibución ha sido es udiada más ecien e- men e po cox3 y Hemp4 y algunos in es igado es abajan ac ualmen e en desa olla aún más es os concep os. El mé odo de modalidades de colapso simul áneo (SMF), supone que se log a op imalidad si cada elemen o componen e de la es uc u a es á en su lími e de esis en- cia cuando la es uc u a comple a es á al bo de del colapso, Pa a la clase de es uc u as diseñadas po és e mé odo los lími es de esis encia gene almen e es án dados po condiciones de es abilidad elás ica, en ez de los de esis encia del ma e ial. El é mino "simul áneo" ambién implica una sola hipó esis de ca ga, y es a condición es común a casi odo el abajo que lo eció du an e los años 1940-1950. Es os es ue zos, en los albo es de la e a del compu ado digi al, se es ingie on a o mas es uc u ales simples y dependen de las ideas clásicas de minimización de unciones. Cox3, Shamley5, Ge ald6 ue on los in es igado es más a anzados en es a á ea. Si el concep o de modalidades de colapso simul áneo se ex iende pa a admi i más de una hipó esis de ca ga, pe o al mismo iempo se es inge a limi aciones en esis- encia basadas exclusi amen e en es ue zos, se ob iene el mé odo de diseco de ca ga comple a ( ully s essed design) (FSD). En gene al, és e mé odo consis e en aplica análisis sucesi os bajo dis in as hipó esis de ca ga, conduciendo a un diseño en el que a cada miemb o se le some e al lími e de ca ga en po lo menos una de las hipó esis de ca ga de inidas. FSD p oduce lo que los diseñado es llaman adicionalmen e 4 - - DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO una es uc u a óp ima. El au o ha p opo cionado una ecopilación de los concep os, alcance y limi aciones de FSD en la ~ e encia~ . Los mé odos de c i e io de op imalidad apa ecie on a ines de los años 1960 e inclu- yen el diseño de ca ga comple a como caso especial. En su o ma más gene al u ilizan los p ocedimien os clásicos pa a de e mina los alo es ex emos de una unción de a ias a iables suje a a condiciones es ic i as. El abajo inicial en mé odos de c i e io de op imalidad se limi ó a o mas es uc u ales e hipó esis de ca ga simples. Sin emba go, en años más ecien es ha sido gene alizado, y aho a se usa jun o con análisis po elemen os ini os e hipó esis de ca ga múl iples. Una buena in o mación sob e es e ema puede encon a se en las e e encia^^,^ Finalmen e llegamos a p ocedimien os ca ac e izados como o mulaciones de p og a- mación ma emá ica. Pa a de ini los en o ma concisa, podemos deci que buscan el mínimo o máximo de una unción de a ias a iables suje a a limi aciones ( es ic- ciones) exp esadas po igualdades o desigualdades. La ep esen ación de es icciones po desigualdades es de g an impo ancia, ya que pe mi e iden i ica el diseño como aquél en el cual no odos los elemen os es án suje os a condiciones lími es bajo un sis ema de ca gas, e i ando así una limi ación inhe en e en algunos de los mé odos an e io es. La o ien ación de las o mulaciones de p og amación ma emá ica es ácil de combina con el uso de o mulaciones de elemen os ini os que con ienen g an can idad de incógni as. Debemos en a iza que, en gene al, los p ocedimien os de p og amación ma emá ica no es án es ingidos a ningún mé odo de análisis en pa icula . La p og amación ma emá ica ue aplicada po p ime a ez en op imización es uc- u al a ines de los años 1950, En e las con ibuciones iniciales des acan las de Li esley1° y Pea sonll que a a on el diseño lími e como un p oblema de p og ama- ción lineal, y Schmid 12 quien desc ibió el diseño elás ico como un p oblema más gene al de p og amación no lineal. Exis en o os en oques mode nos de la op imización es uc u al que no se pueden clasi ica den o de las ca ego ías mencionadas. Algunos de és os se engloban en la eo ía de con ol13, mien as o os14 ienen ca ác e especial y no se pueden clasi ica en una disciplina ma emá ica pa icula . LITERATURA BASICA Pano ámicas sob e diseño es uc u al óp imo han sido esc i as po Wasiu ynski y. ~ and '~ (en 1963), P age y Sheu16 (en 1968), Nio dson y Pede son17 (en 1973) y Schmid l8 (en 1981 ). Recopilaciones más es ingidas, con di e en es pun os de is a, han sido p epa adas po Ba ne lg , Roz any y M oz20, ande plaa s2', ~shle~~~, y Ha ka y asad^^. Pope y S~hmid ~~ edi a on una exposición básica sob e écnicas de diseño es uc u al óp imo. El lib o edi ado po Monis2= iene un p opósi o simila . Un alioso compendio de in o mación ace ca de diseño es uc u al óp imo ha sido publicado po la ASCE26 Haug y ~ o a~~ esc ibie on un ex o que en asiza, an o la p og amación ma emá- ica, como el pun o de is a de con ol óp imo en diseño es uc u al óp imo. Los lib os de R~o~~, Majid2' y Ki sch30 desa ollan el diseño es uc u al óp imo desde el pun o de is a de p ocedimien os de p og amación ma emá ica. Hay una can idad de publicaciones de con e encias y cong esos en que eó icos y diseñado es es uc u ales han compilado es udios de op imización es uc u al. R. H. GALLAGHER Dos cong esos AGARD sob e op imización es uc u al han sido publicados (Re e en- cia~~',~'). LOS abajos de un cong eso ealizado en Swansea en ene o de 1972, ue on edi ados po el au o y Zienkiewicz y publicados en o ma de lib o36. Es e cong eso consis ió en una se ie de lecciones impa idas po p o eso es in i ados que de alla on y esumie on, en o ma de ex o, di e en es p ocedimien os de diseño es uc u al óp imo. Los abajos p esen ados, y los esúmenes de las lecciones de un cong eso pos e io que u o luga en 198.1 han sido ecogidos en la e e encia3*. Un lib o, ambién el esul ado de es e úl imo cong eso33, con iene las lecciones p inci- pales comple as y e siones expandidas de una selección de los abajos con ibuidos. DEFINICION DE TERMINOS La op imización es uc u al busca selecciona a iables de diseño pa a alcanza , den o de los lími es ( es icciones) eque idos al compo amien o es uc u al, geome- ía y o os ac o es, el in de la op imalidad de inida po la unción obje i o pa a las ca gas o condiciones gene ales especi icadas. Los es aspec os básicos - a iables de diseño, unción obje i o y es icciones - se combinan pa a o ma el p oblema de diseño en la geome ía delespacio de diseño. A con inuación discu i emos po pa es, cada uno de es os aspec os del p oblema. Va iables de Diseño Las a iables de diseño en un p oblema de diseño es uc u al óp imo, pueden consis i en : - Tamaño de los elemen os - Pa áme os de con igu ación - Pa áme os de p opiedades ísicas o mecánicas - O os aspec os cuan i icables del diseño. La opología, que no se incluye en es a lis a, es di ícil de ene en cuen a, aunque se la conside a en o ma limi ada cuando el algo i mo u ilizado pe mi e que los elemen- os adquie an amaño ce o. La ansición de un ipo de compo amien o a o o (po ejemplo, de una ba a (axial) a iga ( lexión)) no es posible en el con ex o de un p oceso con ínuo de diseño. Exis e una je a quía, o un o den de complejidad, en e las dis in as clases de a ia- bles de diseño. El amaño de cada elemen o es la a iable de diseño más simple. Puede ep esen a el á ea de la sección de una ba a, el momen o de ine cia de un elemen o en lexión, o el g oso de una placa. La mayo ía de los abajos publicados en diseño es uc u al óp imo se e ie en exclusi amen e a la de e minación del amaño de los elemen os, dada la ela i a simplicidad del p oblema, y po que muchas es uc u as en la p ác ica ienen p opiedades ijas de geome ía y ma e iales. La selección de ma e iales p esen a un p oblema especial, ya que los ma e iales con encionales ienen p opiedades disc e as (los ma e iales compues os p esen an una excepción). Es e p oblema ambién exis e en la selección de los elemen os es uc- u ales, pe o no malmen e exis e un ango conside able de secciones y ipos de donde elegi . Los mé odos pa a la selección de a iables disc e as en diseño óp imo es án aún en las p ime as e apas de desa ollo. La mayo ía de los algo i mos pa a diseño suponen que con amos con un ango con ínuo de a iables de diseño. La i-ésima a iable de diseño se designa a po xi(i=l, 2...n). El conjun o comple o de a iables pa a una es uc u a dada se lis a en el ec o x. Quizás el concep o más impo an e asociado con es a no ación es el de espacio de diseño, desc i o po ejes que ep esen an las dis in as a iables de diseño. Pa a el sis ema de es ba as de la Figu a 2, la Figu a ](a) mues a un espacio de diseño de es a iables, la) Espacio de diseño X3 b) Supe icie- unción de cos e X3 (c) Típicas es icciones 3 la e ales y de compo amien o íd) Supe icie de es icciones comDues a Figu a 1 .- Espacio de diseño de es a iables. y po lo an o i-dimensional. Po supues o las a iables de diseño son muchas mas de es en si uaciones p ác icas, y, po lo an o, gene almen e no pueden ep esen a se en el espacio del diseño. Al espacio ndimensional se le llama hipe espacio. Un pun o k en diseño, es un diseño con a iables xk . R. H. GALLAGHER Figu a 2.- Es uc u a de es ba as. Muchos algo i mos de diseño emplean la es a egia de una búsqueda di ec a, en la que se di ige una se ie de cambios en el diseño (mo imien os) en e dos pun os sucesi os en el espacio de diseño. Un mo imien o ípico en e el pun o k y el pun o k+ 1 es á dada po la ecuación El ec o dk ( éase la Figu a 1 (a)) de ine la di ección del mo imien o y ak la ampli- ud. El p oceso de diseño óp imo puede e se como el de escoge dis in os alo es pa a a y d de mane a que un pun o de diseño inal se puede ob ene en o ma e icien e desde el pun o de is a de cálculo. Función Obje i o La unción obje i o, llamada ambién unción de cos e o unción de mé i o, es la unción que buscamos minimiza (o maximiza ) en un p oceso de op imización, y cons i uye la base pa a selecciona uno de en e los muchos diseños acep ables. La unción obje i o es una unción escala de las a iables de diseño, y la designa emos po W(x). Rep esen a la p opiedad más impo an e de un diseño, como el cos e o el peso, pe o ambién es posible ep esen a la unción obje i o como una unción de a ias de las p opiedades deseables. Es a úl ima línea, llamada "diseño de unciones obje i o de c i e io múl iple" es el obje o de in enso abajo de in es igación en la ac ualidad. Exis e ambién una g an can idad de o mulaciones al e na i as, algunas han sido discu idas en las e e encias31 y 35. El peso es la p opiedad que se emplea en o ma más ecuen e como unción obje i- o (de ahí el símbolo W). Sin emba go, los p ocedimien os que desc ibi emos a con i- nuación no dependen del ipo conc e o de la unción obje i o. El peso es la medida signi ica i a más ácil de cuan i ica , y aunque el cos o es de mayo impo ancia p ác ica, no malmen e es di ícil ob ene su icien es da os pa a pode cons ui una unción obje i o de cos o. DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO La es uc u a de es ba as (Figu a 2) p opo ciona un ejemplo simple de la unción de peso. Deno ando po pi la densidad po unidad de olumen de la ba a i, enemos y pa a una es uc u a con n ba as Como mencionamos an es, el amaño de los elemen os es gene almen e la a iable de diseño, y las densidades y la longi ud son cons an es p esc i as. Po lo an o, es con enien e esc ibi la ecuación (3) en la o ma W=LA=Cx (4 1 donde L es la ma iz [pLl, . . ., pL,] y A es el ec o columna que con iene las a iables Al, A2 , . ..A,, C = [C1, C2, . . .C,] c-on iene las p opiedades geomé icas y de ma e ia- les, que son cons an es. Se e cla amen e que la ecuación (4) es una unción lineal de las a iables de diseño xi o Ai. Es ú il ilus a la unción obje i o lineal en el espacio de diseño (Figu a I(b)). Una unción lineal en el espacio i-dimensional es un plano, ep esen ado aquí como el luga geomé ico de aquellos pun os de diseño con un mismo alo Wj. En el espacio n-dimensional, la supe icie que se de ine es un hipe plano. Cuando la unción obje i o iene a iables de diseño no-lineales, en el espacio de diseño encon amos una hipe - supe icie. En el p oceso de op imización del amaño de los elemen os se ha hecho cada ez más popula el uso del in e so del amaño del elemen o como la a iable de diseño. Así pues, pa a una ba a con sección de á ea Ai, el amaño del elemen o y la a iable de diseño sa is acen la elación xi = 1 /Ai. La unción obje i o oma la o ma donde C se de ine en la ecuación (4). Un concep o impo an e, que se emplea con inuamen e en p ocesos de op imiza- ción, es el del g adien e de la unción obje i o V W. El g adien e es un ec o con componen es de las de i adas de W con espec o a cada una de las a iables de diseño 'P Así, pa a la unción obje i o lineal dada en la ecuación (4) enemos Cuando la unción es no-lineal, se puede de i a con espec o al ec o x y calcula cada una de las de i adas en el pun o en que se desea ob ene el g adien e. El g adien e ep esen a un ec o pe pendicula a la unción en cues ión en el pun o en que se conside a. La unción lineal de peso (ecuación (4)) desc ibe un plano, de mane a que el g adien e de la unción obje i o de ine la di ección de cambio en el diseño, o de a ance, que es la di ección en que la unción obje i o cambia más ápidamen e pa a un alo dado de cx. Así, pa a educi la unción obje i o omamos la di ección opues a al ec o g adien e, dk = -V Wk y p ocediendo como en la ecuación (1 ) ob enemos la siguien e exp esión pa a la búsqueda Es a es la base del mé odo de descenso máximo. Res icciones Una es icción, en cualquie clase de p oblema, es una limi ación que debe sa is a- ce se pa a que el diseño sea acep able. hede oma la o ma de una limi ación impues a di ec amen e en una a iable o g upo de a iables ( es icción explíci a), o puede ep esen a una limi ación sob e can idades cuya dependencia con las a iables de diseño no se puede es ablece di ec amen e ( es icción implíci a). Una es icción de igualdad, que puede se explíci a o implíci a, se designa á po pa a e es icciones de igualdad. En eo ía, cada es icción de igualdad p o ee una opo unidad pa a elimina del p oceso de op imización una de las a iables de diseño, y así educi el núme o de dimensiones del p oblema. Sin emba go el p oceso de elimi- nación puede se di ícil y de álgeb a complicada, po lo que no siemp e se hace. Una es icción de desigualdad es de la o ma cuando hay un o al de s es icciones de desigualdad. La idea de una es icción de desigualdad es de g an impo ancia en diseño es uc u- al óp imo. Pa a alcanza op imalidad es esencial pe mi i diseños en que no odas las es icciones se sa is acen di ec amen e. Una di isión impo an e de las es icciones es la de es icciones la e ales y es icciones en compo amien o. Una es icción la e al es una limi ación especí ica (máximo o mínimo) en una a iable de diseño, o una elación que ija el alo ela i o de un g upo de a iables de diseño. Gene al- men e son es icciones explíci as. Las de iciencias de muchos mé odos clásicos de op imización es uc u al se deben a su incapacidad pa a a a piezas de dimensiones mínimas. Las es icciones en compo amien o en análisis es uc u al son gene almen e limi aciones en los es ue zos o en los desplazamien os, pe o ambién pueden oma la o ma de es icciones en ecuencias de ib ación o esis encia al colapso. En la p ác ica, encon amos es icciones implíci as y explíci as. Típicamen e, las es icciones en compo amien o explíci as se dan po ó mulas p o enien es de especi icaciones del diseño. Sin emba go las es icciones en compo amien o gene almen e son implíci as. DISEÑO ESTRUCTURAL OPTIMO Cada condición que ep esen a una es icción apa ece en el espacio de diseño como una supe icie, ep esen ando el luga geomé ico de los pun os de diseño pa a los que la es icción se sa is ace como igualdad. Pa a a iables con ínuas de diseño la supe icie es en gene al con ínua, y es cu a pa a el diseño es uc u al clásico de una es uc u a inde e minada. La Figu a 1 .c mues a una es icción de compo a- mien o ípica, en el espacio de diseño. Fo mulación Ma emá ica del P oblema de Diseño Es uc u al Op imo En é minos algeb áicos, el p oblema de diseño con peso mínimo ep esen ado en el espacio de diseño en la Figu a 1 .d es el siguien e: Minimiza W(x), que es una unción obje i o de n a iables de diseño suje a a las es icciones T x = [x,, ...,x , 1 , gj (x) < O, j = 1, ... s. que ep esen an e es icciones de igualdad y s es icciones de desigualdad en las a ia- bles de diseño. Si la unción obje i o debe maximiza se, el p oblema es idén ico a si se busca minimiza -W(x). La ep esen ación geomé ica del p oblema de diseño se mues a en la Figu a 3 . x0 , , I l Lími e supe io especi icado pa a x2 ( es icción la e al) o x2 Figu a 3.- Espacio de diseño de dos a iables. en é minos de sólo dos a iables de diseño pa a mayo simplicidad. Se pueden especi i- ca lími es supe io es e in e io es pa a la ampli ud de cada es ue zo o desplazamien o y pa a cada condición de ca ga, de mane a que enemos p esen e una g an can idad R. H. GALLAGHER 17. F. 1. Nio dson y P. Pede sen, "A Re iew o Op imal S uc u al Design" en P oc. o he Thi een h In . Cong ess o Theo . and Applied Mech., Moscow, 1972. Publ. by Sp inge -Ve lag, Be lín, (1 973). 18. L. A. Schmi , "S uc u al Op imiza ion, Some Key Ideas and Insigh s" en New Di ec ions in Op imum S uc u al Design, E. A ek, e al., Eds. J. Wiley Book Co., London, (1984). 19, R. Ba ne , "Su ey o Op imum S uc u al Design", Expe imen al Mechanics, 6, No. 12, Diciemb e, (1 966). 20. G . 1. N. Roz any y Z. 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