ANALOGOVÉ KMITOČTOVÉ FILTRY
Technika analogo ých ob odů
p o . Ing. Kamil V ba, CSc.
p o . Ing. Ja osla Ko on, Ph.D.
B no
2023
2
Au oři: p o . Ing. Kamil V ba, CSc., p o . Ing. Ja osla Ko on, PhD.
Náze : Analogo é kmi oč o é il y
Vydání: 1. ydání
D uh: e-publikace
Rok a měsíc ydání: 2023/06
Poče s an: 91
Náklad: e-publikace pod eřejnou licencí CC BY 4.0
Vědní obo : Elek o echnika, elek onika, audioinžený s í, au oma izační echnika,
elekomunikace, adioelek onika, sdělo ací echnika
Vyda a el: Vysoké učení echnické B ně, Naklada els í VUTIUM
ISBN: 978-80-214-6168-0
DOI: 10.13164/book.analog. il e s
ANOTACE: Elek onická publikace u ádí pozna ky z oblas i analogo ých kmi oč o ých
il ů. Jsou ys ě leny obecné pos upy p o ná h pasi ních a ak i ních dolních a ho ních
kmi oč o ých p opus í, pásmo ých kmi oč o ých p opus í či zád ží a ázo acích článků.
Konk é ně jsou pak p esen o ány ná hy kmi oč o ých cha ak e is ik il ů s ap oximací
přenoso é unkce dle Bu e wo ha, Bessela a Čebyše a. Jsou aké u edeny speciální
nekaskádní s uk u y s ejnosmě ně přesných il ů yššího řádu hodných p o aplikace
nepřímých D/A pře odnících.
Klíčo á slo a: Ak i ní il , ARC il , kmi oč o ý il , analogo ý il , il y s ope ačními
zesilo ači, pasi ní il , il RC, il RCL, kaskádní il , nekaskádní il , il y yššího řádu,
ap oximace přenoso é unkce, Bu e wo h, Bessel, Čebyše , dolní p opus , ho ní p opus ,
pásmo á p opus , pásmo á zád ž, ázo ací článek, šep opus ný il , s ejnosmě ně přesný
il , il p o nepřímý D/A pře odník, il s jednoduchou smyčkou zpě né azby, il
s oz ě enou smyčkou zpě né azby, il se zesilo ačem s konečným zesílením, KHN il .
3
Ú od
1 TYPY KMITOČTOVÝCH FILTRŮ .............................................................................. 5
2 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI A ZAPOJENÍ FILTRŮ ................................................... 8
2.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FILTRŮ ....................................................................................... 8
2.2 PASIVNÍ FILTRY................................................................................................................ 9
2.3 AKTIVNÍ FILTRY ............................................................................................................. 10
2.3.1 Ak i ní il s jednoduchou smyčkou zpě né azby ..................................... 10
2.3.2 Ak i ní il s oz ě enou smyčkou zpě né azby ...................................... 13
2.3.3 Ak i ní il y se zesilo ači s konečným zesílením ....................................... 13
2.3.4 Ak i ní il y s několika zesilo ači ............................................................. 14
2.4 AKTIVNÍ FILTRY VYŠŠÍHO ŘÁDU .................................................................................... 15
2.4.1 Kaskádní ak i ní il y yššího řádu .......................................................... 15
2.4.2 Nekaskádní ak i ní il y yššího řádu ....................................................... 17
3 DOLNÍ PROPUSTI ......................................................................................................... 19
3.1 PASIVNÍ DOLNÍ PROPUSTI ............................................................................................... 19
3.1.1 Pasi ní dolní p opus RC 1. řádu .............................................................. 19
3.1.2 Pasi ní dolní p opus RLC 2. řádu ............................................................ 23
3.2 APROXIMACE PŘENOSOVÉ FUNKCE DOLNÍ PROPUSTI ...................................................... 26
3.2.1 Ap oximace přenoso é unkce dle Bu e wo ha ....................................... 28
3.2.2 Ap oximace přenoso é unkce dle Bessela ................................................ 32
3.2.3 Ap oximace přenoso é unkce dle Čebyše a ............................................. 34
3.2.4 Další ypy ap oximací přenoso é unkce ................................................... 39
3.3 AKTIVNÍ DOLNÍ PROPUSTI .............................................................................................. 39
3.3.1 Dolní p opus i 1. řádu ............................................................................... 39
3.3.2 Dolní p opus i 2. řádu ............................................................................... 41
3.3.3 Kaskádní ealizace dolních p opus í yšších řádů .................................... 46
3.3.4 Nekaskádní ealizace dolních p opus í yšších řádů ................................. 48
4 HORNÍ PROPUSTI ........................................................................................................ 56
4.1 PASIVNÍ HORNÍ PROPUSTI ............................................................................................... 56
4.2 TRANSFORMACE DOLNÍ PROPUSTI NA HORNÍ PROPUST ................................................... 60
4.3 AKTIVNÍ HORNÍ PROPUSTI .............................................................................................. 61
4.3.1 Ho ní p opus i 1. řádu ............................................................................... 61
4.3.2 Ho ní p opus i 2. řádu ............................................................................... 62
5 PÁSMOVÉ PROPUSTI .................................................................................................. 64
5.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PÁSMOVÝCH PROPUSTÍ ............................................................. 64
5.2 PASIVNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI .......................................................................................... 66
5.3 AKTIVNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI ......................................................................................... 69
6 PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ..................................................................................................... 71
6.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PÁSMOVÝCH ZÁDRŽÍ ................................................................ 71
6.2 PASIVNÍ PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ............................................................................................ 72
6.3 AKTIVNÍ PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ........................................................................................... 74
7 FÁZOVACÍ ČLÁNKY ................................................................................................... 77
7.1 PŘENOSOVÁ FUNKCE FÁZOVACÍHO ČLÁNKU .................................................................. 77
4
7.2 AKTIVNÍ FÁZOVACÍ ČLÁNKY ......................................................................................... 80
8 ZÁVĚR.............................................................................................................................. 83
9 LITERATURA ................................................................................................................. 84
5
Ú od
Velká ě šina in o mací je zp aco á ána digi ální podobě, ale eálný s ě , k e ý nás
obklopuje, je analogo ý, a p o o je nu né spoji é signály před las ním pře odem do digi ální
o my nejp e hodně up a i (např. zesíli , nebo kmi oč o ě omezi ). Také p o po řeby
zpě né ep odukce se digi ální signály musí pře ádě zpě do analogo é podoby a případě
nu nos i je aké následně up a i yuži ím hodných analogo ých ob odů.
P o před-zp aco ání (P e-P ocessing) nebo po-zp aco ání (Pos -P ocessing)
analogo ých signálů se yuží ají přede ším kmi oč o é il y. Jejich úkolem je ýbě
u či ého kmi oč o ého pásma zp aco á aného signálu. Např. dolní p opus se použí á
k omezení kmi oč o ého spek a při digi alizaci analogo ého signálu p o zajiš ění podmínky
zo ko ání a opě při zpě ném pře odu k obno ení pů odního signálu. S ejnosmě ně přesné
dolní p opus i se pak uží ají jako kons ukční bloky nepřímých číslico ě analogo ých
pře odníků, nebo jako an ialiasigo é il y. Pásmo é p opus i se použí ají přijímačích p o
ýbě kmi oč o ého pásma požado aného ysílače. Pásmo é zád že se pak yuží ají např.
p o po lačení uši ého síťo ého kmi oč u.
Kmi oč o é il y pa ří do skupiny lineá ních ob odů, k e é požado aným způsobem
mění kmi oč o é spek um p ocházejícího signálu. Něk e é kmi oč o é složky signálu jsou
p opuš ěny bez či s minimálním ú lumem (p opus né pásmo il u) a jiné kmi oč o é složky
jsou po lačeny (pásmo po lačení, pásmo ú lumu či nep opus né pásmo il u). Z láš ním
případem kmi oč o ého il u je z . ázo ací článek, k e ý je cha ak e is ický ím, že modul
přenoso é cha ak e is iky je kons an ní, kdy edy nedochází ke změně ampli udy jedno li ých
ha monických složek zp aco á aného signálu, ale dochází jen k na očení jejich áze, esp.
k časo ému zpoždění signálu.
1 Typy kmi oč o ých il ů
Rozdělení kmi oč o ých il ů lze p o és dle ůzných hledisek, přičemž p imá ně se
dělí dle způsobu zp aco ání kmi oč o ého spek a:
• dolní p opus (DP, LP – Low-pass) – p opouš í nižší kmi oč y než mezní m, yšší
po lačuje (Ob . 1.1a),
• ho ní p opus (HP, HP – High-pass) – p opouš í yšší kmi oč y než mezní m, nižší
po lačuje (Ob . 1.1b),
• pásmo á p opus (PP, BP – Band-pass) – p opouš í yb anou čás spek a mezi dolním
mezím m1 a ho ním mezním kmi oč em m2, zbý ající po lačuje (Ob . 1.1c),
• pásmo á zád ž (PZ, BS – Band-s op) – po lačuje yb anou čás spek a mezi dolním
mezním m1 a ho ním mezním kmi oč em m2, zbý ající p opouš í (Ob . 1.1d),
• ázo ací článek (FC, AP – All-pass) – modulo á přenoso á cha ak e is ika je celém
kmi oč o ém pásmu kons an ní, ale ázo á je kmi oč o ě zá islá.
Z láš ním ypem jsou ko ekční il y, k e é slouží p o úp a u kmi oč o é cha ak e is iky
zp aco á aného signálu ak, aby celko ý přenos sous a y byl kons an ní, nebo naopak, aby se
z ý aznily či po lačily něk e é složky kmi oč u.
Kmi oč o é il y lze aké děli dle způsobu jejich ealizace do d ou základních skupin:

6
• analogo é il y, k e é se dále člení na:
▪ pasi ní il y RC a RLC
▪ ak i ní il y RC, esp. il y RC s ak i ními p ky,
▪ ak i ní il y SC, esp. se spínanými kapaci o y,
• digi ální il y.
a
K
0 m
K
K( )
c
0 m1 m2
B
K( )
b
K
0 m
K
K( )
d
0 m1 m2
B
K( )
Ob . 1.1: Ideální (mod é) a sku ečné (če ené) modulo é cha ak e is iky základních
ypů kmi oč o ých il ů: (a) dolní p opus (DP), (b) ho ní p opus (HP), (c) pásmo á p opus
(PP), (d) pásmo á zád ž (PZ)
Využi í číslico ých il ů má s ůj ýznam okamžiku, kdy použijeme číslico é zp aco ání
signálů a použi ý digi ální signálo ý p oces disponuje dos a ečným ýpoče ním ýkonem.
V případě nu nos i předzp aco ání signálu před las ní digi alizací či p o zp aco ání
ysoko ek enčních signálů, kdy ychlos zp aco ání číslico é čás i by nebyla dos a ečná,
či p o zp aco ání slabých a zašuměných signálů je nu né přis oupi k yuži í analogo ých
il ů. V é o oblas i je možné yuží p op aco aná a o ěřená řešení podobě in eg o aných
il ů či případě speci ických požada ků je nu né na hnou las ní řešení. Podle
požado aných las nos í kladených na ako ý analogo ý il je pak možné il y ozděli do
několika skupin, podle použi ých s a ebních p ků:
• Pasi ní il y RC – yznačují se hodným p opojením ezis o ů (R) a kapaci o ů (C),
ynikají s ou jednoduchos í a nízkou cenou. P ak ické yuži í mají jen jednoduché
s uk u y il ů 1. a 2. řádů s nízkým čini elem jakos i Q, k e ý je ždy nižší než 0,5.
• Pasi ní il y RLC – yuží ají ezis o ů, kapaci o ů a induk o ů (L) a pomocí nich je
možné ealizo a obecně jakýkoli yp kmi oč o ého il u. Jsou spíše hodné p o
zp aco ání signálů na yšších kmi oč ech, p o ože ealizace induk o ů na nízkých
kmi oč ech je dos i nee ek i ní, p o ože ako é induk o y jsou příliš ozmě né, nákladné
a z á o é s malým čini elem jakos i. Přes o se lze s nimi se ka , např. audio echnice
při ealizaci pasi ních ýhybek u čených p o ep oduk o o é sous a y.
• Ak i ní il y ARC – umožňují ealizo a jakýkoli yp il u s ejně jako il y RLC
s yuži ím hodného ak i ního p ku, ezis o ů a kapaci o ů a o bez nu nos i použí
7
induk o y, iz např [1] až [5], popř. [22] a [24]. Vzhledem k omezeným kmi oč o ým
las nos em ak i ních p ků se nasazení ak o ealizo aných kmi oč o ých il ů
nejčas ěji omezuje na kmi oč o é pásmo mHz až s o ky kHz, ale ý ojem oblas i
mik oelek oniky a ná hem no ých ypů ak i ních p ků se ho ní h anice použi elnos i
ěch o kmi oč o ých il ů posunula i na desí ky až s o ky MHz.
• Ak i ní il y ASC – jsou ob ody yuží ající p incipu z . spínaných kapaci o ů. Jde o
modi ikaci ARC il ů, kdy klasické ezis o y jsou nah azeny přepínanými kapaci o y,
iz např. [24], [26], [20], [30]. Hla ní ýhodou je možnos pomě ně snadného přeladění
il ů změnou přepínací ek ence ak o acích pulsů a pomě ně snadné monoli ické
in eg ace. Spínací kmi oče musí bý 50x až 100x yšší než mezní kmi oče il u, což
do u či é mí y minimalizuje možný aliasingo ý e ek způsobený pe iodizací spek a
zp aco á aného signálu. Na d uhou s anu a o okolnos omezuje šířku pásma
zp aco á aných signálů. Velkou ýhodou ARC il ů je sku ečnos , že se u ěch o
ob odů dá dosáhnou menší ci li os i na změnu pa ame ů použi ých kapaci o ů.
• Elek omechanické il y – ycházejí z p incipu pře odu elek ického signálu na
mechanický. Podle ypu mechanického ezoná o u lze y o il y děli na ůzné skupiny,
kdy nejpouží anější jsou piezoke amické il y. Z láš ním ypem je k ys alo ý il ,
k e ý lze modelo a složeným ezonančním ob odem s ysokým čini elem jakos i a s
ysokou s abili ou ezonančního kmi oč u. Nejčas ěji se yuží á e ysoce s abilních
oscilá o ech, oblas i ealizace kmi oč o ých il ů se použí ají p o ná h
úzkopásmo ých p opus í.
• Fil y s po cho ou akus ickou lnou (PAV) – jsou založeny na p incipu yzařo ání,
šíření a ázo ého, kmi oč o ě nezá islého skládání po cho ých akus ických ln.
V po o nání s elek omechanickými il y mohou ealizo a ši okopásmo ější ob ody.
• Mik o lnné il y – jsou e s é pods a ě pasi ní RLC il y, kdy šak p o použí anou
kmi oč o ou oblas (nad 300 MHz) nelze u ažo a pasi ní p ky se sous ředěnými
pa ame y, ale je nu né p aco a p ky s ozp os řenými pa ame y.
Možnos nasazení ýše zmíněných ypů analogo ých kmi oč o ých il ů s ohledem na
kmi oč o é pásmo použi elnos i je naznačeno přehledně na Ob . 1.2. iz [8].
[Hz]
10-1 1001011021031041051061071081091010
Fil y:
RC
RLC
ARC
ASC
PAV
Mik o lnné
Ob . 1.2: Kmi oč o á pásma použi elnos i ůzných ypů analogo ých kmi oč o ých
il ů
V é o publikaci se omezíme jen na základní in o mace o pasi ních il ech RC a RLC a
o ak i ních il ech RC s ope ačními zesilo ači. Při zp aco ání publikace jsme yuží ali
zejména li e a u u [1] až [38].
8
P oblema iku il ů jsme é o publikaci zámě ně omezili na základní uspořádání
pasi ních il ů RC a RLC a na zapojení ak i ních il ů RC s ope ačními zesilo ači. Použi é
ap oximace přenoso é unkce jsou ak éž omezeny na ři základní ap oximace, a o dle
Bessela, Bu e wo ha a Čebyše a. Podle našich zkušenos í se d i é ě šině aplikací ys ačí
s ěmi o pozna ky. U edené základní znalos i p oblema iky ná hu kmi oč o ých il ů musí
mí každý, kdo chce na ho a ak i ní il y s ne adičními ak i ními p ky jako jsou OTA
zesilo ače, ansimpedanční zesilo ače, p oudo é kon ejo y nebo napěťo é kon ejo y.
Použi í ěch o ak i ních p ků ozšiřuje kmi oč o ou použi elnos ak i ních il ů až do 100
MHz. Zájemce o u o speciální p oblema iku odkazujeme na naše publikace [39] až [149].
2 Základní las nos i a zapojení il ů
2.1 Základní las nos i il ů
Kmi oč o ý il lze chápa jako lineá ní d ojb an (Ob . 2.1), k e ý z kmi oč o ého spek a
s upního signálu yčlení požado anou čás spek a. Obecně je přenos il u de ino án jako
pomě spek álních unkcí ýs upního a s upního signálu získaných Fou ie o ou
ans o mací. P o ože jde o lineá ní ob od, můžeme p o po řeby zjednodušeného popisu
u ažo a na s upu pouze ha monický signál
( )
1 m1 1
( ) cos .u U =+

(2-1)
kmi oč o ý
il u2
u1
Ob . 2.1: Kmi oč o ý il jako d ojb an
Na ýs upu il u pak bude ýs upní napě í
( )
2 m2 2
( ) cos .u U =+

(2-2)
Je zřejmé, že s upní ha monický signál y olá na ýs upu il u opě ha monický
signál se s ejným úhlo ým kmi oč em ω, ale s jinou ampli udou Um2. V důsledku časo ého
zpoždění signálu p ocházejícího il em dojde na íc k posunu áze signálu a ýs upní signál
p o o bude mí jinou počá eční ázi φ2.
Při řešení il ů se ob ykle mís o časo ých p ůběhů p acuje s komplexními eličinami
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12
jj
1 1 2 2
e , e .U U U U==
   
   
(2-3)
Přenoso é las nos i kmi oč o ého il u jsou pak cha ak e izo ány komplexní přenoso ou
unkcí
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
j
2
1
Re jIm e .
U
K K K K
U
= = + =


   

(2-4)
Kmi oč o é las nos i il ů se ob ykle popisují pomocí modulo é kmi oč o é cha ak e is iky
9
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
mod Re ImK K K K= = +
   
(2-5)
a a gumen o é ( ázo é) kmi oč o é cha ak e is iky
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
21
Im
a g a c g .
Re
K
KK
= − = =

       
(2-6)
Modul přenosu K(ω) je obecně bez ozmě né číslo. Čas ěji se šak yjadřuje jako zisk
decibelech
( ) ( )
20log .zK=

(2-7)
Modulo á cha ak e is ika K(ω), esp. z(ω) společně s ázo ou cha ak e is ikou φ(ω) se
označují jako Bodeho diag am.
P o ože p o úhlo ý kmi oče pla í
2π =

, můžeme se se ka aké se zápisem
přenoso é unkce zá islos i na kmi oč u
()K
, nebo na komplexní p oměnné
()Kp
, kde
Laplaceů ope á o
jp=+

(přičemž p o případ kmi oč o ých il ů
0

=
).
Obecně lze přenoso ou unkci il u yjádři jako acionálně lomenou unkci komplexní
p oměnné (podíl d ou polynomů). P o zápis přenoso é unkce il u se ob ykle uží á zápis
( ) ( )
( )
2
212
2
1 1 2
1 ... ,
1 ...
+ + + +
==
+ + + +
m
mn
n
Up d p d p d p
Kp U p c p c p c p
(2-8)
kde řád polynomu či a ele m je menší nebo o en řádu jmeno a ele n, j. m ≤ n. Nej yšší
exponen n komplexní p oměnné
p
polynomu jmeno a ele udá á řád il u. V případě
dolní p opus i s jedno ko ým přenosem bude polynom či a eli o en jedné.
2.2 Pasi ní il y
Základním ob odem řady elemen á ních il ů 1. a 2. řádu je ě šinou impedanční dělič napě í
( iz Ob . 2.2a), u k e ého je alespoň jedna z impedancí kmi oč o ě zá islá. Přenoso á unkce
ako ého o neza íženého impedančního děliče
( ) ( )
( )
22
1 1 2
,
Up Z
Kp U p Z Z
==
+
(2-9)
kde
( ) ( )
12
a U p U p
jsou Laplaceo y ob azy s upního napě í u1( ) a ýs upního napě í u2( ).
Připomeňme, že impedance ezis o u
R
ZR=
, impedance kapaci o u
C1/ 1/ jZ pC C==

a
impedance induk o u
LjZ pL L==

.
16
pasi ních ob odo ých p ků jsou nižší. Dílčí ak i ní il y se dají ob ykle s ýhodou
na hnou ak, aby se dílčí il y na zájem éměř neo li ňo aly. Nas a ení dílčích il ů je pak
možné p o és zcela samos a ně a nezá isle a celý il po ses a ení z předem seřízených
dílčích il ů není řeba dos a o a . Výsledná přenoso á unkce kaskádně řazených dílčích
il ů bude mí přenos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 1
,
I
Ii
i
K p K p K p K p K p
=
=    = 
(2-16)
kde
( )
i
Kp
jsou dílčí přenoso é unkce nej ýše 2. řádu ( ýjimečně 3. řádu).
Aby se sousedící dílčí il y neo li ňo aly, ob ykle dos ačuje, aby s upní impedance
následujícího il u byla alespoň 100 - k á ě ší než ýs upní impedance il u předchozího.
Pokud se použijí zapojení dílčích ak i ních il ů p esen o aná předchozí kapi ole, bude
en o požada ek ždy splněn, p o ože u edená zapojení se díky použi é zápo né zpě né azbě
cho ají éměř jako ideální zd oj napě í a připojení dalšího dílčího il u jejich přenoso ou
unkci neo li ní. Ten o požada ek se při kaskádním řazení pasi ních il ů dá splni jen
ob ížně, dílčí il y se na zájem o li ňují, a p o o ná h pasi ního il u yššího řádu je
ob ykle ná očnější.
u2
u1
( )
1
Kp
( )
2
Kp
u2
( )
I
Kp
. . .
. . .
Ob . 2.7: Kaskádní řazení il ů
Příklad řešení ak i ní dolní p opus i 6. řádu je u eden na Ob . 2.8. Dolní p opus je
ořena kaskádním řazením ří dolních p opus í d uhého řádu a její celko á přenoso á unkce
je dána součinem dílčích přenoso ých unkcí
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ,=  K p K p K p K p
(2-17)
kde příkladně přenoso á unkce p ní dolní p opus i 2. řádu
( ) ( )
12
1 2 2 1 2 1 2
1
1
KR R C R R CC
=+ + +
ppp
.
(2-18)
u2
OZ1
R1R2
u1
+
−
C1
C2
OZ2
R3R4+
−
C3
C4
OZ3
R5R6+
−
C5
C6
Ob . 2.8: Příklad kaskádního řešení ak i ní dolní p opus i 6. řádu Sallen Key

17
P oblema ika syn ézy il ů je elice obsáhlá, a kdybychom ji měli p ob a plné šíři a
ze šech hledisek, po řebo ali bychom na o samos a nou (nepříliš enkou) knihu. V ámci
ěch o sk ip se p o o zaměříme jen na několik hla ních zásad, k e ými se musíme řídi při
ná hu il ů a při jejich ealizaci.
2.4.2 Nekaskádní ak i ní il y yššího řádu
P o ě šinu aplikací kaskádní syn éza ak i ních il ů yho uje a umožňuje dosáhnou
pomě ně jednoduchými p os ředky nízké ci li os i přenoso é unkce na změny pa ame ů
ob odo ých p ků. Pokud šak po řebujeme zařadi ak o na ženou dolní p opus na s up
přesného analogo ě číslico ého pře odníku nebo na ýs up nepřímého číslico ě analogo ého
pře odníku s ysokou ozlišo ací schopnos í, budou zp a idla na zá adu s upní zby ko á
napě í (o se ) použi ých ope ačních zesilo ačů, a zejména pak eplo ní a časo á nes abili a
ěch o zby ko ých napě í (d i ). Ne ýhody kaskádního řešení il ů budeme ilus o a na
dolní p opus i 6. řádu na Ob . 2.8. Na ýs upu každého ope ačního zesilo ače bude ss
chybo é napě í způsobené o se em zesilo ače. Ta o chybo á napě í se dos anou na ýs up
celého il u, p o ože zesilo ače jsou s ejnosmě ně p o ázány. Použi í ako ého il u p o
měřicí účely není p o o hodné. P oblém dolní p opus i s přesným přenosem s ejnosmě né
složky je samozřejmě řeši elný pasi ní ob odo ou s uk u ou, k e á šak přináší šeobecně
známé p oblémy s ealizací induk o ů p o nízké kmi oč y. Kaskádní řazení pasi ních RC
článků pak neposky uje dos a ečné možnos i p o hodné ozložení pólů přenoso é unkce
komplexní o ině, čímž jsou o šem omezeny možnos i olby s anda dních ap oximací
přenoso é unkce, esp. požado aného p ůběhu přechodo é cha ak e is iky. Při ná hu
ak i ní dolní p opus i p o měřicí účely je p o o někdy ýhodné yuží nekaskádní uspořádání
il u, kdy jsou ýs upy ope ačních zesilo ačů s ejnosmě ně odděleny od ces y přenášeného
signálu.
Nekaskádní s uk u y ykazují samozřejmě celou řadu ne ýhod. Vykazují značnou
ci li os přenoso é unkce na ole anci pasi ních ob odo ých p ků. Ne ýhodou aké je
jejich složi é u ádění do chodu či seřizo ání, p o ože nekaskádní il nelze ozděli na dílčí
il y, jak je omu u kaskádního řešení.
V něk e ých případech šak ýhody nekaskádního řešení pře áží nad jeho ne ýhodami.
Použí ají se zejména jako ss přesné dolní p opus i nepřímých číslico ě analogo ých
pře odnících s ozlišením íce než 20 bi ů p o číslico ě řízené kalib ační napěťo é no mály
nebo jako ss přesné an ialiasingo é il y na s upech spek álních analyzá o ů. V dalším se
p o o omezíme pouze na nekaskádní s uk u y ss přesných dolních p opus í.
Obecné uspořádání nekaskádní s uk u y ss přesné dolní p opus i n- ého řádu je
u edeno na Ob .2.9 [31], [32]. Zakončení s uk u y se liší podle oho, zda je il sudého řádu
(Ob .2.9a) nebo lichého řádu (Ob .2.9b). Komplexní přenoso á unkce il u je popsána
z ahem
( )
12
0 1 0 2 0 0
1,
1 ... ...
=+ + + + + +
in
in
Kp R W p R W p R W p R W p
(2-19)
kde členy
, 1,2,...., ,=
i
W i n
přenoso é unkce u čené pa ame y použi ých pasi ních
ob odo ých p ků lze p o il y p ního až desá ého řádu přehledně yhleda Tab.2.4.
18
Je zapo řebí upozo ni , že zá ěž il u může o li ni jeho přenoso é las nos i. P o o je
při p ak ické ealizaci za il zařazen oddělo ací zesilo ač s ysokým s upním odpo em
anebo je zá ěž ýh adně odpo o á a je započ ena do ýsledné přenoso é unkce. Velkou
ýhodou é o nekaskádní s uk u y je, že ope ační zesilo ače jsou od ss signálu odděleny
kapaci o y a jejich o se či d i se na ýs upním il u z p incipu nemůže upla ni . Další
ýhodou e s o nání s kaskádními s uk u ami il ů je, že šum použi ých zesilo ačů se
upla ňuje ím méně, čím je ope ační zesilo ač íce zdálen od ces y ss signálu.
OZn/2
−
+
Rn−1
a
Cn−1CnOZ(n−1)/2
−
+
Rn−2
b
n sudé n liché
Rn−1
Cn
Cn−2Cn−1
. . .
. . .
OZ2
−
+
R3R4
u1
C3C4
R0
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
. . .
. . .
OZ2
−
+
R3R4
u1
C3C4
R0
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
u2
uZ 0

u2
uZ 0

Ob . 2.9: Nekaskádní s uk u a ak i ní dolní p opus n- ého řádu: a) sudého řádu, b) lichého
řádu
19
Tab. 2.4: Členy přenoso é unkce W1, W2, . . . Wn p o dolní p opus i řádu n = 2 až 10
i
p o i < n
p o i = n
1
( )
12
+CC
−
2
( )
1 2 1 2
+CC R R
1 2 1
C C R
3
( )
1 2 3 4 1 2
+CC C C R R
1 2 3 1 2
CC C R R
4
( )
1 2 3 4 1 2 3 4
+CC C C R R R R
1 2 3 4 1 2 3
CC C C R R R
5
( )
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
+CC C C C C R R R R
1 2 3 4 5 1 2 3 4
CC C C C R R R R
6
( )
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
+CC C C C C R R R R R R
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5
CC C C C C R R R R R
7
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6
+CC C C C C C C R R R R R R
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6
CC C C C C C R R R R R R
8
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
CC C C C C C C R R R R R R R R+
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7
CC C C C C C C R R R R R R R
9
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8
CC C C C C C C C C R R R R R R R R+
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8
CC C C C C C C C R R R R R R R R
10
−
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9
CC C C C C C C C C R R R R R R R R R
3 Dolní p opus i
3.1 Pasi ní dolní p opus i
3.1.1 Pasi ní dolní p opus RC 1. řádu
Jak již bylo u edeno, dolní p opus je cha ak e is ická ím, že kmi oč o é složky nižší,
než mezní kmi oče jsou il em p opouš ěny s minimálním ú lumem a yšší kmi oč o é
složky jsou po lačeny. Nejjednodušší dolní p opus je možné ealizo a s uk u ou 1. řádu,
kdy se il skládá z ezis o u R a jednoho akumulačního p ku (L nebo C). Čas ěji se použí á
kapaci o , p o ože jeho ý oba je jednodušší a méně ceno ě ná očná. Zk áceně ako é il y
pak označujeme jako RC il y.
Na Ob . 3.1a je u edeno zapojení dolní p opus i RC 1. řádu, jejíž napěťo ý přenos lze
s přihlédnu ím k o . (2-9) yjádři z ahy
( ) ( )
( )
2C
1 R C
1/ 1 ,
1/ 1
Up ZpC
Kp U p Z Z R pC pRC
= = = =
+ + +
(3-1)
esp.
( ) ( )
( )
2
1
1/ j 1 .
1/ j 1 j
UC
KU R C RC
= = =
++

  
(3-2)
20
b
c
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
0
-45
-90
φ
[deg]
φ(Ω)
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
z[dB]
-20 dB/dek
3 dB
z(Ω)
a
C
R
u1 u2
Ob . 3.1: a) Pasi ní dolní p opus RC 1. řádu a její b) modulo á a c) a gumen o á
cha ak e is ika
Komplexní přenoso ou unkci (3-2) ozložíme na eálnou a imaginá ní čás
( )
2 2 2 2 2 2
1 1 j 1 j
1 j 1 j 1 1
RC RC
KRC RC R C R C
−
= = −
+ − + +

   
(3-3)
a od ud již snadno u číme eálnou a imaginá ní složku přenoso é unkce
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1
Re , Im .
11
RC
KK
R C R C
= = −
++



(3-4)
Modulo á cha ak e is ika dolní p opus i 1. řádu pak
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
2 2 2
1
mod Re Im 1
K K K K RC
= = + = +
    
(3-5)
a a gumen o á cha ak e is ika
( ) ( ) ( )
( )
Re
a g a c an a c an .
Im
K
K RC
K
= = = −

   

(3-6)
P o g a ické znázo nění z . Bodeo ě diag amu se modul přenoso é unkce yjadřuje
jako zisk dle (2-7), zn.
21
( ) ( )
2 2 2
1
20log 20log .
1
zK RC
==
+
 
(3-7)
Ze z ahu (3-7) yplý á, že na elmi nízkých kmi oč ech se modul přenoso é unkce
asymp o icky blíží hodno ě 0 dB. Naopak na elmi ysokých kmi oč ech se modul řídí podle
z ahu
( ) ( )
20log 1/z RC

a je edy nepřímo úmě ný kmi oč u. Pla í edy, že z ě šením
kmi oč u dese k á se hodno a modulu sníží o 20 dB. Modul přenoso é unkce klesá na
ysokých kmi oč ech ( nep opus ném pásmu) o 20 dB s každou dekádou kmi oč u.
Mezní kmi oče il u ωm je de ino án jako kmi oče , při k e ém se modul přenoso é
unkce sníží na hodno u
1/ 2
, j. o 3 dB. Ten o mezní kmi oče můžeme u či s yuži ím
z ahu (3-5)
2 2 2
m
11
.
2
1RC

=
+
(3-8)
Řešením é o o nice lze u či mezní kmi oče ωm dolní p opus i 1. řádu
m m m
11
2π , esp. .
2π
RC RC
= = =

(3-9)
Fázo é na očení ýs upního signálu u2( ) ůči s upnímu signálu u1( ) je při om o
kmi oč u podle o nice (3-6) p á ě – 45°.
Z hlediska obecnějšího přís upu k ná hu il ů je hodné komplexní p oměnnou
p
o . (3-1) dále no mo a zhledem k meznímu kmi oč u ωm, j.:
m
,
p
s=

(3-10)
kde
s
se označuje jako no mo aná komplexní p oměnná, k e ou lze aké yjádři jako
mm
jjj,
s


= = =
(3-11)
P o ože mezní kmi oče ωm dolní p opus i RC z Ob . 3.1a je u čen z ahem (3-9), bude
s pRC=
a přenoso á unkce dolní p opus i RC 1. řádu yjádřená na zá islos i no mo ané
komplexní p oměnné
s
bude mí a
( ) ( )
11
, esp. j .
1 1 j
K s K
s

==
++
(3-12)
No mo aná modulo á a a gumen o á cha ak e is ika bude popsána z ahy
( ) ( )
2
1, a c g .
1
K
   

= = −
+
(3-13)
Zá islos modulu a a gumen u přenoso é unkce kmi oč o ého il u 1. řádu na
no mo aném kmi oč u jsou u edeny na Ob . 3.1b,c. Z Ob . 3.1b je idě , že při jedno ko é
hodno ě no mo aného úhlo ého kmi oč u Ω dochází k poklesu modulu o 3 dB z hodno y
pásmu p opus nos i ( om o případě 0 dB). S ejně ak z Ob . 3.1c je idě , že při hodno ě

22
no mo aného úhlo ého kmi oč u Ω = 1, edy při kmi oč u s upního signálu odpo ídajícího
meznímu kmi oč u ωm dochází k ázo ému posunu p á ě – 45°.
a
U
0
u1
u1( )
U
0
u2
u2( )
τ = RC
b
U
0
u1( )
U
0
u2( )
τ = RC
u1
u2
Ob . 3.2: Odez a dolní p opus i na jedno ko ý skok (přechodo á cha ak e is ika)
P ozkoumáme ješ ě cho ání dolní p opus i 1. řádu časo é oblas i. Při edeme-li na
s up skok napě í z nuly na napě í U (Ob . 3.2a) nebo naopak z napě í U na nulu (Ob . 3.2b),
bude se p ém případě kapaci o nabíje a ýs upní napě í se bude měni podle z ahu
( )
( )
/
21e
RC
u U −
=−
. V d uhém případě se kapaci o bude exponenciálně ybíje podle
z ahu
( )
/
2e RC
u U −
=
. Vlas nos i dolní p opus i časo é oblas i cha ak e izuje časo á
kons an a τ = RC, k e á udá á dobu, za k e ou odez a na jedno ko ý skok dosáhne hodno y
odlišující se od us áleného s a u o
1/e 1/ 2,718 0,37==
, j. o 37 %. Dobu us álení
ýs upního napě í p o požado anou přesnos lze přibližně odhadnou z Tab. 3.1.
Tab. 3.1: Doba us álení ýs upního napě í dolní p opus i RC 1. řádu
Přesnos us álení
37 %
10 %
1 %
0,1 %
Doba us álení
τ
2,3τ
4,6τ
6,9τ
V předchozí čás i bylo ukázáno, že napě í na ýs upu dolní p opus i při buzení
jedno ko ým skokem na ůs á z počá ku přibližně lineá ně čase a je edy in eg álem
s upního napě í čase. Dolní p opus p acuje pak jako z . pasi ní in eg ační článek
( ) ( ) ( )
2 2 1
0
1
0 d ,
u u u
RC
=+

(3-14)
kde in eg ační kons an a u2(0) předs a uje nabi í kapaci o u čase = 0.
Jak již bylo naznačeno předešlé čás i, případě požada ku na ychlejší pokles
modulo é cha ak e is iky z p opus ného do nep opus ného pásma, je možné zapoji n dolních
p opus í RC 1. řádu dle Ob . 3.1a do kaskády. Přenoso ou unkci ako é o sous a y je pak
možné zapsa obecném a u
( ) ( )( ) ( ) ( )
12 1
11
,
1 1 1 1
n
ni
i
Ks d s d s d s ds
=
==
+ + + +

(3-15)
23
kde
( )
1, 2,
i
d i n=
jsou kladné eálné koe icien y. Z oho o z ahu plyne, že p o Ω >> 1
bude
( )
1/ n
K


. Přenoso á unkce se p o o bude asymp o icky blíži k přímce, k e á klesá
se sklonem
20dB/dekn
. Sous a a y ořená kaskádním řazením pasi ních dolních p opus í
s ýmž mezním kmi oč em bude mí k i ické lumení (náze se ýká las nos í přechodo é
cha ak e is iky, j. časo ého p ůběhu odez y na jedno ko ý skok) a koe icien y di budou p o
šechna i shodné
2 1.
n
i
dd= = −
(3-16)
Jedno li é dílčí dolní p opus i, z nichž je ře ězec ses a en, budou mí (1/d) k á yšší mezní
kmi oče , než má celý il .
Označení „ il s k i ickým lumením“ se ýká las nos í il u z pohledu analýzy jeho
přechodo é cha ak e is iky, j. jeho odez y na jedno ko ý skok, kdy nedochází k překmi u
ýs upního napě í. Nedos a kem il u s k i ickým lumením, esp. pasi ních RC il ů je
sku ečnos , že přechod z p opus ného do nep opus ného pásma není dos a ečně os ý. Z oho o
dů odu jsou p o ealizaci ýhodnější s uk u y d uhého řádu ealizo ané p os řednic ím
RLC p ků.
3.1.2 Pasi ní dolní p opus RLC 2. řádu
Jako příklad pasi ní dolní p opus i 2. řádu lze u és zapojení na Ob . 3.2a, např. 19.
Také o o zapojení lze obecně po ažo a za napěťo ý dělič a přenoso ou unkci lze psá e
a u
( )
C2
L R C
1/ 1 .
1/ 1
ZpC
Kp Z Z Z pL R pC RC p LC p
= = =
+ + + + + +
(3-17)
Odpo ídající modulo á a a gumen o á cha ak e is ika dolní p opus i 2. řádu je u edena
na Ob . 3.3b,c.
24
b
c
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
0
-45
-180
φ
[deg]
-90
-135
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
z[dB]
-40 dB/dek
a
C
R
u1 u2
L
φ(Ω)
z(Ω)
Ob . 3.3: a) Pasi ní dolní p opus RLC 2. řádu a její b) modulo á a c) a gumen o á
cha ak e is ika (Q = 0,707)
Využi ím no mo ané komplexní p oměnné
m
/sp=

lze ( o . (3-17)) yjádři z ahem
( )
22
mm
1.
1
Ks RC s LC s
=++

(3-18)
Za edením ezonančního kmi oč u
01/ LC=

známého z eo ie ezonančních ob odů jako
Thomsonů z ah a čini ele jakos i ezonančního RLC ob odu
0/ / /Q L R L C R

==
lze
ý az (3-18) up a i do a u
( )
22
mm
2
00
1.
1
Ks
ss
Q
=
++


(3-19)
Přenoso ou unkci dolní p opus i 2. řádu (3-18) lze obecně zapsa e a u
( )
2
11
1,
1
Ks a s b s
=++
(3-20)
přičemž koe icien y přenoso é unkce
25
2
mm
11
2
00
,.ab
Q
==


(3-21)
Z koe icien ů a1, b1 přenoso é unkce lze naopak yjádři z ah mezi ezonančním
kmi oč em ɷ0 a mezním kmi oč em ɷm il u, esp. z ah p o čini el jakos i
1
mm
0
0 1 1
1
,.
b
Qaa
b


= = =
(3-22)
T a modulo é i a gumen o é cha ak e is iky je silně o li něn hodno ou čini ele jakos i
Q, jak je o zřejmé z Ob . 3.4. S os oucí hodno ou jakos i dochází ke s mějšímu přechodu
modulo é cha ak e is iky při přechodu z p opus ného do nep opus ného pásma. Na d uhé
s aně yšší jakos il u způsobuje z ýšení zisku před mezním kmi oč em. Je-li hodno a
1/ 2 0,707Q==
ak, jako je omu případě Ob . 3.3b, pak je modulo á cha ak e is ika
pásmu p opus nos i maximálně plochá.
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
20
10
-10
-20
-30
-50
-60
-70
-80
z[dB]
-40 dB/dek
z(Ω)
0
-40
Q=0,5
Q=1
Q=5
Ob . 3.4: Modulo á cha ak e is ika dolní p opus i 2. řádu p o ůzné čini ele jakos i Q
no mo aná zhledem k meznímu kmi oč u
P o ýpoče hodno R a L můžeme po o náním (3-18) a (3-20) získa z ahy
11
22
mm
,.
2π 4π
ab
RL
C C
==
(3-23)
Dolní p opus 2. řádu s ap oximací přenoso é unkce dle Bu e wo a ( iz dále) bude mí
koe icien y a1 = 1,414 a b1 =1,000. P o mezní kmi oče m = 10 Hz a kapaci u kapaci o u C =
10 μF dos aneme podle u edených o nic R = 2,25 kΩ a L = 25,3 H. Tako ý il by byl
p ak icky ne ealizo a elný z dů odu elké indukčnos i induk o u L. Daleko snadněji lze
ako ý o il ealizo a pomocí ak i ního il u s ope ačním zesilo ačem a RC p ky.
32
3.2.2 Ap oximace přenoso é unkce dle Bessela
Jak již bylo u edeno, kmi oč o é il y ap oximo ané dle Bu e wo ha či Čebyše a
ykazují případě přechodo é cha ak e is iky ýznamný překmi (Ob . 3.5b). Ideální odez a
na obdélníko ý signál je dosažena u il ů, k e é mají kmi oč o ě nezá islé skupino é
zpoždění, j. lineá ně na áčejí ázi zá islos i na kmi oč u. Tako é cho ání ykazují il y
na žené dle Besselo y ap oximace, někdy aké označo ané jako Thomsono y il y.
Pa ame y il u musí bý om o případě s ano eny ak, aby skupino é zpoždění bylo
p o Ω < 1 přibližně kons an ní a na kmi oč u Ω pokud možno nezá islé. Jak bylo již u edeno
(3-24) lze dolní p opus 2. řádu popsa z ahem
( )
02
11
,
1
K
Ks a s b s
=++
(3-33)
esp. po dosazení
js

=
( )
02
11
1j
K
Kab

=+−
(3-34)
Z eálné a imaginá ní složky
( )
K

pak můžeme u či a gumen o ou cha ak e is iku
( ) ( )
( )
12
1
Im
a c g a c g
Re 1
Ka
Kb

 
= = − −
(3-35)
a z ní pak skupino é zpoždění
( ) ( )
( )
2
1
2 2 2 4
1 1 1
d1.
d12
b
a b b
 
 
+
= − = + − +
(3-36)
P o Ω << 1 lze člen s nej yšší mocninou zanedba a pak přibližně
( )
( )
2
1
22
11
1.
12
b
ab

 
+
=+−
(3-37)
Ten o z ah nebude zá ise na kmi oč u, pokud bude splněna podmínka
2
1 1 1
2b a b=−
, j.
2
11
/3ba=
.
Výpoče koe icien ů ai a bi p o dolní p opus i yšších řádů je samozřejmě složi ější.
Hodno y koe icien ů Besselo y ap oximace ai a bi p o kaskádně ealizo ané dolní p opus i
yšších řádů jsou u edeny Tab. 3.4. Koe icien y ci Besselo y ap oximace p o nekaskádně
ealizo ané dolní p opus i jsou pak u edeny Tab.3.5. No mo ané modulo é cha ak e is iky
dolních p opus í 1. až 10. řádu
( ) ( )
( )
0
20log /z K K

=
ap oximo ané dle Bessela jsou
pak nak esleny na Ob . 3.7. Ten o yp ap oximace se uží á zejména u il ů u čených p o
zp aco ání p a oúhlých signálů nebo signálů ykazujících ychlé změny okamži ých hodno .

33
Tab. 3.4: Koe icien y ai a bi přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Bessela
n
i
ai
bi
mi / m
Qi
1
1
1,0000
0,0000
1,000
-
2
1
1,3617
0,6180
1,000
0,58
3
1
2
0,7560
0,9996
0,0000
0,4772
1,323
1,414
-
0,69
4
1
2
1,3397
0,7743
0,4889
0,3890
0,978
1,797
0,52
0,81
5
1
2
3
0,6656
1,1402
0,6216
0,0000
0,4128
0,3245
1,502
1,184
2,138
-
0,56
0,92
6
1
2
3
1,2217
0,9686
0,5131
0,3887
0,3505
0,2756
1,063
1,431
2,447
0,51
0,61
1,02
7
1
2
3
4
0,5937
1,0944
0,8304
0,4332
0,0000
0,3395
0,3011
0,2381
1,684
1,207
1,695
2,731
-
0,53
0,66
1,13
8
1
2
3
4
1,1112
0,9754
0,7202
0,3728
0,3162
0,2979
0,2621
0,2087
1,164
1,381
1,963
2,992
0,51
0,56
0,71
1,23
9
1
2
3
4
5
0,5386
1,0244
0,8710
0,6320
0,3257
0,0000
0,2834
0,2636
0,2311
0,1854
1,857
1,277
1,574
2,226
3,237
-
0,52
0,59
0,76
1,32
10
1
2
3
4
5
1,0215
0,9393
0,7815
0,5604
0,2883
0,2650
0,2549
0,2351
0,2059
0,1665
1,264
1,412
1,780
2,479
3,466
0,50
0,54
0,62
0,81
1,42
34
Tab. 3.5: Koe icien y ci přenoso é unkce dolní p opus i n- ého řádu ap oximo ané dle
Bessela p o nekaskádní syn ézu
n
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
1
1,0000
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2
1,3617
0,6180
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1,7556
1,2329
0,3608
-
-
-
-
-
-
-
4
2,1360
1,9323
0,9083
0,1902
-
-
-
-
-
-
5
2,4274
2,6187
1,5891
0,5510
0,0892
-
-
-
-
-
6
2,7034
3,3220
2,3948
1,0790
0,2917
0,0376
-
-
-
-
7
2,9517
4,0213
3,2972
1,7696
0,6268
0,1371
0,0145
-
-
-
8
3,1796
4,7179
4,2859
2,6206
1,1110
0,3211
0,0583
0,0052
-
-
9
3,3917
5,4135
5,3553
3,6328
1,7602
0,6123
0,1484
0,0229
0,0017
-
10
3,5910
6,1082
6,4990
4,8047
2,5880
1,0326
0,3027
0,0627
0,0083
0,0005
10-1 100101102
Ω [-]
10
-10
-20
-30
-50
-60
-70
z[dB]
z(Ω)
0
-40
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n=10
Ob . 3.7: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i ap oximo ané dle Bessela
3.2.3 Ap oximace přenoso é unkce dle Čebyše a
Fil s přenoso ou unkcí ap oximo anou dle Čebyše a je cha ak e is ický ím, že p o
elmi nízké kmi oč y << m je přenos K0 kons an ní. V okamžiku, kdy se kmi oče
il o aného signálu blíží k meznímu kmi oč u < m, esp. Ω < 1, má modulo á
cha ak e is ika z lněný cha ak e . Maximální hodno a z lnění je dána pa ame y il u a je
možné ji ak nas a i na požado anou ú o eň. Pla í, že zmenšo ání po oleného z lnění
modulo é cha ak e is iky ede na zmenšení ychlos i přechodu modulo é cha ak e is iky do
nep opus ného pásma. Přes o případě Čebyše o y ap oximace je ychlos přechodu do
nep opus ného pásma nej yšší po o nání s ap oximací dle Bu e wo ha či Bessela.
Od ození koe icien ů ai a bi p o požado anou hodno u z lnění přenoso é
cha ak e is iky Δz je dos i ná očné, a p o o je zde neu ádíme. Hodno y koe icien ů přenoso é
unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a jsou p o z lnění Δz o hodno ách 0,5 dB, 1
dB, 2 dB a 3 dB u edeny Tab. 3.6 a Tab. 3.7. Současně jsou u edeny i odpo ídající
pa ame y dílčích il ů, j. mezní kmi oč y dílčích il ů z ažené k meznímu kmi oč u m
35
celého il u, j. mi / m a čini ele jakos i Qi. Koe icien y ci p o nekaskádní syn ézu nejsou
u edeny, p o ože nekaskádní il y s ap oximací přenoso é unkce dle Čebyše a se neuží ají.
Tab. 3.6: Koe icien y ai a bi přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se
z lněním 0,5 dB a 1 dB
z lnění 0,5 dB
z lnění 1 dB
n
i
ai
bi
mi / m
Qi
n
i
ai
bi
mi / m
Qi
1
1
1,0000
0,0000
1,000
-
1
1
1,0000
0,0000
1,000
-
2
1
1,3614
1,3827
1,000
0,86
2
1
1,3022
1,5515
1,000
0,96
3
1
2
1,8636
0,6402
0,0000
1,1931
0,537
1,335
-
1,71
3
1
2
2,2156
0,5442
0,0000
1,2057
0,451
1,353
-
2,02
4
1
2
2,6282
0,3648
3,4341
1,1509
0,538
1,419
0,71
2,94
4
1
2
2,5904
0,3039
4,1301
1,1697
0,540
1,417
0,78
3,56
5
1
2
3
2,9235
1,3025
0,2290
0,0000
2,3534
1,0833
0,342
0,881
1,480
-
1,18
4,54
5
1
2
3
3,5711
1,1280
0,1872
0,0000
2,4896
1,0814
0,280
0,894
1,486
-
1,40
5,56
6
1
2
3
3,8645
0,7528
0,1589
6,9797
1,8573
1,0711
0,366
1,078
1,495
0,68
1,81
6,51
6
1
2
3
3,8437
0,6292
0,1296
8,5529
1,9124
1,0766
0,366
1,082
1,493
0,76
2,20
8,00
7
1
2
3
4
4,0211
1,8729
0,4861
0,1156
0,0000
4,1795
1,5676
1,0443
0,249
0,645
1,208
1,517
-
1,09
2,58
8,84
7
1
2
3
4
4,9520
1,6338
0,3987
0,0937
0,0000
4,4899
1,5834
1,0423
0,202
0,655
1,213
1,520
-
1,30
3,16
10,9
8
1
2
3
4
5,1117
1,0639
0,3439
0,0885
11,961
2,9365
1,4206
1,0407
0,276
0,844
1,284
1,521
0,68
1,61
3,47
11,5
8
1
2
3
4
5,1019
0,8916
0,2806
0,0717
14,761
3,0426
1,4334
1,0432
0,276
0,849
1,285
1,520
0,75
1,96
4,27
14,2
9
1
2
3
4
5
5,1318
2,4283
0,6839
0,2559
0,0695
0,0000
6,6307
2,2908
1,3133
1,0272
0,195
0,506
0,989
1,344
1,532
-
1,06
2,21
4,48
14,6
9
1
2
3
4
5
6,3415
2,1252
0,5624
0,2076
0,0562
0,0000
7,1711
2,3278
1,3166
1,0258
0,158
0,514
0,994
1,346
1,533
-
1,26
2,71
5,53
18,0
10
1
2
3
4
5
6,3648
1,3582
0,4822
0,1994
0,0563
18,369
4,3453
1,9440
1,2520
1,0263
0,222
0,689
1,091
1,381
1,533
0,67
1,53
2,89
5,61
18,0
10
1
2
3
4
5
6,3634
1,1399
0,3939
0,1616
0,0455
22,747
4,5167
1,9665
1,2569
1,0277
0,221
0,694
1,093
1,381
1,532
0,75
1,86
3,56
6,94
22,3
36
Tab. 3.7: Koe icien y ai a bi přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se
z lněním 2 dB a 3 dB
z lnění 2 dB
z lnění 3 dB
n
i
ai
bi
mi / m
Qi
n
i
ai
bi
mi / m
Qi
1
1
1,0000
0,0000
1,000
-
1
1
1,0000
0,0000
1,000
-
2
1
1,1813
1,7775
1,000
1,13
2
1
1,0650
1,9305
1,000
1,30
3
1
2
2,7994
0,4300
0,0000
1,2036
0,357
1,378
-
2,55
3
1
2
3,3496
0,3559
0,0000
1,1923
0,299
1,396
-
3,07
4
1
2
2,4025
0,2374
4,9862
1,1896
0,550
1,413
0,93
4,59
4
1
2
2,1853
0,1964
5,5339
1,2009
0,557
1,410
1,08
5,58
5
1
2
3
4,6345
0,9090
0,1434
0,0000
2,6036
1,0750
0,216
0,908
1,493
-
1,78
7,23
5
1
2
3
5,6334
0,7620
0,1172
0,0000
2,6530
1,0686
0,178
0,917
1,500
-
2,14
8,82
6
1
2
3
3,5880
0,4925
0,0995
10,465
1,9622
1,0826
0,373
1,085
1,491
0,90
2,84
10,5
6
1
2
3
3,2721
0,4077
0,0815
11,677
1,9873
1,0861
0,379
1,086
1,489
1,04
3,46
12,8
7
1
2
3
4
6,4760
1,3258
0,3067
0,0714
0,0000
4,7649
1,5927
1,0384
0,154
0,665
1,218
1,523
-
1,65
4,12
14,3
7
1
2
3
4
7,9064
1,1159
0,2515
0,0582
0,0000
4,8963
1,5944
1,0348
0,126
0,670
1,222
1,523
-
1,98
5,02
17,5
8
1
2
3
4
4,7743
0,6991
0,2153
0,0547
18,151
3,1353
1,4449
1,0461
0,282
0,853
1,285
1,518
0,89
2,53
5,58
18,7
8
1
2
3
4
4,3583
0,5791
0,1765
0,0448
20,295
3,1808
1,4507
1,0478
0,286
0,855
1,285
1,517
1,03
3,08
6,83
22,9
9
1
2
3
4
5
8,3198
1,7299
0,4337
0,1583
0,0427
0,0000
7,6580
2,3549
1,3174
1,0232
0,120
0,522
0,998
1,349
1,536
-
1,60
3,54
7,25
23,7
9
1
2
3
4
5
10,176
1,4585
0,3561
0,1294
0,0348
0,0000
7,8971
2,3651
1,3165
1,0210
0,098
0,526
1,001
1,351
1,537
-
1,93
4,32
8,87
29,0
10
1
2
3
4
5
5,9618
0,8947
0,3023
0,1233
0,0347
28,038
4,6644
1,9858
1,2614
1,0294
0,226
0,697
1,094
1,380
1,531
0,89
2,41
4,66
9,11
29,3
10
1
2
3
4
5
5,4449
0,7414
0,2479
0,1008
0,0283
31,379
4,7363
1,9952
1,2638
1,0304
0,230
0,699
1,094
1,380
1,530
1,03
2,94
5,70
11,2
35,9
37
P ůběhy modulo é cha ak e is iky se z lněním p opus ném pásmu Δz = 2 dB jsou
u edeny na Ob . 3.8 a Ob . 3.9. P o přehlednos jsou na Ob . 3.8a u edeny jen modulo é
cha ak e is iky il ů lichého řádu, kdy na Ob . 3.8b je u eden de ail modulo é cha ak e is iky
pásmu p opus nos i. Podobně na Ob . 3.9a jsou u edeny jen moduly přenoso é
cha ak e is iky dolní p opus i sudého řádu. Na Ob . 3.9b je pak opě de ail p ůběhu modulo é
cha ak e is iky p opus ném pásmu.
Na Ob . 3.10 jsou pak p o po o nání u edeny modulo é cha ak e is iky dolní p opus i
4. řádu ap oximo ané dle Čebyše a p o ůzné elikos i z lnění. Je idě , že p o nižší hodno y
z lnění p opus ném pásmu je aké ychlos změny modulu z p opus ného do nep opus ného
pásma menší. P o po o nání je Ob . 3.10 u edena aké modulo á cha ak e is ika
ap oximo aná dle Bu e wo ha, kdy je idě , že i p o nejnižší u ažo anou hodno u z lnění
( j. Δz = 0,5 dB) u Čebyše o y ap oximace je ychlos přechodu modulo é cha ak e is iky do
nep opus né čás i s ále yšší, než je omu u Bu e wo ho y ap oximace. P o z lnění
Δz = 0 dB Čebyše o a ap oximace přejde ap oximaci dle Bu e wo ha.
a
b
10-2 100101102
Ω [-]
10
-10
-20
-30
-50
-60
-70
z[dB] 0
-40
n=1
n=3
n=5
n=7
n=9
10-1
10-2 100
Ω [-]
3
1
0
-2
-3
z[dB]
2
-1
n=1
n=3
n=5
n=7
n=9
10-1
z(Ω)
z(Ω)
Ob . 3.8: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se
z lněním Δz = 2 dB p o il y lichého řádu

38
a
b
10-2 100101102
Ω [-]
10
-10
-20
-30
-50
-60
-70
z[dB] 0
-40
n=2
n=4
n=6
n=8
n=10
10-1
10-2 100
Ω [-]
3
1
0
-2
-3
z[dB]
2
-1
10-1
z(Ω)
z(Ω)
n=2
n=4
n=6
n=8
n=10
Ob . 3.9: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se
z lněním Δz = 2 dB p o il y sudého řádu
10-2 10-1 100101
Ω [-]
10
5
0
-5
-10
-15
-20
z[dB]
z(Ω)
Čebyše 2 dB
Čebyše 3 dB
Čebyše 1 dB
Bu e wo h
Čebyše 0,5 dB
Ob . 3.10: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i 4. řádu ap oximo ané dle Čebyše a
p o ůzné hodno y z lnění Δz p opus ném pásmu
Z Ob . 3.11 je pak idě li elikos i z lnění pásmu p opus nos i na skupino é
zpoždění, k e é se s os oucí hodno ou z lnění aké ý azně mění a zásadně o li ňuje odez u
il u na jedno ko ý skok.
39
10-2
τ/Tm
[-]
2,5
2
1,5
1
0,5
010-1 100101102
Ω [-]
z(Ω)
Čebyše 2 dB
Čebyše 3 dB
Čebyše 1 dB
Bu e wo h
Čebyše 0,5 dB
Ob . 3.11: Cha ak e is iky skupino ého zpoždění dolní p opus i 4. řádu ap oximo ané
dle Čebyše a p o ůzné hodno y z lnění Δz p opus ném pásmu
3.2.4 Další ypy ap oximací přenoso é unkce
V případě nu nos i lze přechod přenoso é unkce z p opus ného do nep opus ného
pásma uděla ješ ě s mější, kdy ale přenoso á unkce ykazuje omezený a z lněný p ůběh
oblas i kmi oč ů nad mezním kmi oč em il u. P o ná h ako ých il ů je hodné yuží
z . Caue o u ap oximaci. Ap oximace je cha ak e is ická z lněním pak p opus ném
(podobně jako je omu u Čebyše o y ap oximace) ak i nep opus ném pásmu. Tak o na žené
il y jsou pak označo ány jako Caue o y či elip ické il y.
Mezi další ypy ap oximací pa ří např. in e zní Čebyše o a ap oximace, k e á má
plochou modulo ou cha ak e is iku p opus ném pásmu a z lněnou pásmu nep opus ném.
Ta o ap oximace ykazuje lepší ázo é las nos i a přechodnou cha ak e is iku, k e á je blízká
il ům na ženým dle Bu e wo ho y ap oximace, o šem za cenu yšší složi os i ealizace.
Další ap oximací, se k e ou je možné se se ka , je z . Gausso a ap oximace, k e á je
de ino ána s ohledem na ideální p ůběh časo é odez y, podobně jako je omu u Besselo y
ap oximace. Modulo á přenoso á cha ak e is ika má a Gausso y kři ky a a gumen o á
cha ak e is ika je zcela lineá ní. Dále lze zmíni z . Legend o u ap oximaci, kdy modulo á
cha ak e is ika dle é o ap oximace klesá s měji než případě Bu e wo ho y ap oximace za
cenu ne zcela hladkého p ůběhu p opus ném pásmu. Dalšími ap oximacemi jsou pak
anzi i ní Besselo a-Bu e wo ho a ap oximace, či Kas eleino a ap oximace.
Koe icien y přenoso ých unkcí p o něk e é další ypy ap oximací lze naléz např. li .
[29].
3.3 Ak i ní dolní p opus i
3.3.1 Dolní p opus i 1. řádu
Nein e ující dolní p opus 1. řádu naznačená na Ob . 3.12a oří pasi ní dolní p opus
RC z Ob . 3.1a, za k e ou je zařazen nein e ující zesilo ač, k e ý jednak odděluje pasi ní
il od zá ěže a jednak ealizuje po řebné zesílení p o ss. signály. Ze z ahu (3-24) je zřejmé,
že přenoso á unkce dolní p opus i 1. řádu může bý obecně zapsána e a u
40
( )
0
1
.
1
K
Ks as
=+
(3-38)
a b
+
−
u1 u2
OZ
R2
R1
C
Rz[dB]
0 dB
T
OZ
log [Hz]
min 40 dB
DP
m
Ob . 3.12: a) Dolní p opus 1. řádu yuží ající pasi ní článek RC, b) požada ky na
kmi oč o ou cha ak e is iku ope ačního zesilo ače
Z abulek koe icien ů ap oximačních unkcí Tab. 3.2, Tab. 3.4, Tab. 3.6 a Tab. 3.7 je
idě , že koe icien y il ů 1. řádu (n = 1) jsou u šech ypů shodné a hodno a koe icien u a1 je
ždy o na jedné. Poznámka: při ealizaci il ů yšších řádů kaskádním řazením dílčích il ů
se ysky ují dílčí il y 1. řádu, u k e ých a1 ≠ 1, o znamená, že y o články il u mají mezní
kmi oče odlišný od mezního kmi oč u celého il u ak, že m1 = m /a1.
Přenoso é las nos i dolní p opus i 1. řádu podle Ob . 3.12 edy budou popsány
z ahem
( )
0,
1
K
Ks s
=+
(3-39)
přičemž komplexní p oměnná
s
je zde no mo ána podle mezního kmi oč u dolní p opus i
m1/RC=

, esp.
m1/ 2π RC=
. P o ss. signály (kdy C ykazuje elkou impedanci) je
přenos il u
0 2 1
1/K R R=+
.
Při ná hu pos upujeme ak, že z olíme kapaci u C kapaci o u a pak podle požada ku
na mezní kmi oče u číme
m
1/ 2πR C=
. Podle požada ku na přenos K0 pásmu
p opus nos i pak u číme odpo y zpě no azebních ezis o ů OZ. Z olíme-li např. odpo R2,
bude
( )
1 2 0
/1R R K=−
. Pokud se ýká olby las ního ope ačního zesilo ače, je zapo řebí,
aby použi ý zesilo ač byl dos a ečně ši okopásmo ý a neomezil las nos i dolní p opus i ( iz
Ob . 3.12b).
In e ující dolní p opus 1. řádu někdy aké označo aná jako z á o ý in eg á o je
nak eslena na Ob . 3.13. Využí á obecného p incipu ak i ního il u s jednoduchou smyčkou
zpě né azby naznačeného na Ob . 2.3. Abychom přenoso ou unkci získali no mo aném
a u, budeme p aco a s no mo anou komplexní p oměnnou
m
/sp=

, esp.
m
ps=

.
41
−
+
u1 u2
OZ
R2
C
R1
Ob . 3.13: In e ující dolní p opus 1. řádu
P o ože podle Tab. 2.1 jsou přenoso é odi os i použi ých d ojb anů
21A 1
1/yR=−
a
12B 2 2 m
1/ 1/y R C p R C s= − − = − −

, bude
( )
21A 1 2 1
12B 2 m m 2
1/ / .
1/ 1
y R R R
Ks y R C s R C s
= − = − = −
++

(3-40)
Z po o nání s o . (3-39) je zřejmé, že daným ob odem můžeme ealizo a přenos p o ss
signály pouze zápo ný,
0 2 1
/K R R=−
a dále, že musí bý splněna podmínka
m2 1RC=

.
P o o při z olené kapaci ě C kapaci o u bude
2m
1/ 2πR C=
a
1 2 0
/R R K=−
.
3.3.2 Dolní p opus i 2. řádu
Ak i ní dolní p opus 2. řádu s oz ě enou smyčkou zpě né azby je naznačena na Ob .
3.14. Jde o ak i ní il , jehož uspořádání bylo obecně neznačeno na Ob . 2.4. V daném
případě admi ance
1 1 2 2 3 1 4 3 5 2
1/ , 1/ , , 1/ ,Y R Y R Y pC Y R Y pC= = = = =
a přenos můžeme podle
o . (2-10) u či e a u
( )
13
21
2 3 1 2 3
21
2
2 2 3 1 2 2 3
1 2 3
1/
1 1 1 1
/.
1 1 1
1
RR
Kp
pC pC
R R R R R
RR
C R R p C C R R p
R R R
= − =

+ + + +


=− 
+ + + +


(3-41)
OZ
R1−
+
R3
u1
u2
C2
R2
C1
Ob . 3.14: Ak i ní dolní p opus 2. řádu s oz ě enou smyčkou zpě né azby
48
pořadí by mohlo způsobi přebuzení zesilo ače s upní sekce oblas i překmi u její
modulo é cha ak e is iky. Příčina je om, že il y s yšším mezním kmi oč em ob ykle
mají ysoký čini el jakos i, a p o o jejich modulo á cha ak e is ika ykazuje blízkos i
mezního kmi oč u značný překmi . Tu o sku ečnos můžeme ilus o a na modulo ých
cha ak e is ikách pě i článků na ho aného il u s přenoso ou unkcí ap oximo anou dle
Čebyše a, nak eslených na Ob . 3.18.
Jiný pohled na pořadí dílčích il ů je spojen s požada kem na minimální ú o eň šumu
na ýs upu. V om případě musí bý sled il ů p á ě opačný, p o ože zařazení il u
s nejnižším kmi oč em na konci kaskády způsobí zeslabení šumů šech předchozích článků
kaskády.
3.3.4 Nekaskádní ealizace dolních p opus í yšších řádů
Jak bylo již řečeno, u něk e ých ypů nepřímých číslico ě analogo ých pře odníků,
k e é umožňují dosaho a íce než d ace ibi o ou ozlišo ací schopnos při ynikající
linea i ě a za učené mono ónnos i pře odu, je u il u yžado án přesný přenos s ejnosmě né
složky signálu, a p o o zde klasické kaskádní řešení ak i ní dolní p opus i ne yho uje.
V něk e ých případech je en o požada ek kladen i na an ialiasingo ý il . Při ná hu ak i ní
dolní p opus i p o měřicí účely je p o o někdy ýhodné yuží nekaskádní uspořádání il u,
němž jsou ope ační zesilo ače s ejnosmě ně odděleny od ss ces y signálu.
Přenoso ou unkci dolní p opus i n- ého řádu můžeme zapsa e a u (3-26), kdy
unkce zá isí na komplexní p oměnné
/

=m
sp
. Připomeňme, že no mo ání komplexní
p oměnné
j

=+p
zhledem k meznímu kmi oč u ωm = 2π m (odpo ídajícímu zmenšení
modulu přenoso é unkce na hodno u 1/
2
esp. poklesu zisku o 3 dB) zobecňuje přís up
k ná hu il u. P o σ = 0 o iž dos aneme
mm
j / j / js
  
= = =
; při om jsme za edli
s ejné jako dří e no mo aný úhlo ý kmi oče Ω = ω/ωm.
Koe icien y c1, c2, …, cn e z ahu (3-67) u čují s ou elikos í ozmís ění pólů
přenoso é unkce komplexní o ině. Poč em a ozmís ěním pólů přenoso é unkce
komplexní o ině jsou pak u čeny základní las nos i il ů kmi oč o é i časo é oblas i.
Při konk é ním ná hu il u olíme ozmís ění pólů podle něk e é ze známých s anda dních
ap oximací ideální přenoso é unkce. Nejčas ěji se p o případ an ialiasingo ého il u uží á
ap oximace podle Bu e wo ha, p o nepřímé pře odníky D/A se pak z dů odu ychlého
us alo ání po změně s upních da uží á ap oximace dle Bessela. Koe icien y ci p o y o
ap oximace jsou u edeny Tab. 3.3 a Tab. 3.5. Zdů azněme, že koe icien y přenoso é unkce
jsou obou případech no mo ány k meznímu kmi oč u ωm = 2π m.
Základní uspořádání ss přesné dolní p opus i 2. řádu je u edeno na Ob . 3.19a, ozšíření
zapojení na 3. řád je pak naznačeno na Ob . 3.19b. Výhodou oho o řešení je ss oddělení
ope ačního zesilo ače kapaci o y C1 a C2 od hla ní ces y zp aco ání signálu. Ne ýhodou je
ale sku ečnos , že il nesmí bý za ěžo án (iz ≈ 0) a za il je nu no p o o při ealizaci zařadi
p o oddělení zá ěže zesilo ač s ysokým s upním odpo em.
Přenoso á unkce dolní p opus i 2. řádu z Ob . 3.19a je popsána z ahem ( iz o . 2-19)
( )
2
0 1 0 2
1,
1
=++
Kp R W p R W p
(3-67)
přičemž členy W1 a W2 se u čí z Tab. 2.4 p o dolní p opus 2. řádu, j.
1 1 2
=+W C C
a
2 1 2 1
=W CC R
. Přenoso é unkce pak

49
( ) ( )
2
1 2 0 1 2 0 1
1.
1
=+ + +
Kp C C R p CC R R p
(3-68)
Aby bylo možno použí koe icien y ci no mo ané přenoso é unkce, p o edeme no mo ání
komplexní p oměnné
p
zhledem k
m

. No mo aná přenoso á unkce má pak a
( ) ( )
2 2 2
1 2 0 m 1 2 0 1 m 1 2
11
.
11

==
+ + + + +
Ks C C R s CC R R s c s c s
(3-69)
Např. p o ap oximaci dle Bessela budou podle Tab. 3.5 koe icien y mí hodno u
11,367=c
a
20,6180=c
.
OZ
−
+
u2
R1
a
u1
iz ≈ 0
C1C2
R0
OZ
−
+
u2
R1
b
u1
iz ≈ 0
C1C2
R0
DP 2. řádu DP 3. řádu
R2
C3
Ob . 3.19: S ejnosmě ně přesná dolní p opus : a) 2. řádu, b) 3. řádu.
Po o náme-li koe icien y u s ejných mocnin no mo ané komplexní p oměnné
s
,
dos aneme p o ýpoče pa ame ů p ků dolní p opus i sous a u o nic
( )
1 1 2 0 m

=+c C C R
,
(3-70)
2
2 1 2 0 1 m

=c CC R R
.
(3-71)
Řešením é o sous a y o nic s ano íme p o z olené kapaci y C1 a C2 odpo y R0 a R1 p o
danou ap oximaci u čenou abulko ými koe icien y c1, c2 a p o zadaný mezní úhlo ý kmi oče
ωm. Jelikož poče dosud neu čených pa ame ů ob odo ých p ků je d ojnásobkem poč u
o nic sous a y (3-70) a (3-71), může bý polo ina z ěch o pa ame ů z olena libo olně. P o
zjednodušení p ak ické ealizace il ů je hodné řeši dolní p opus buď se shodnými
kapaci ami kapaci o ů, nebo se shodnými odpo y ezis o ů.
Jes liže budeme řeši sous a u (3-70) a (3-71) p o shodné kapaci y C na pozicích C1 a
C2 ( iz Ob . 3.19a), pak dos aneme bez po íží p o odpo y R0 a R1 z ahy
( )
0 1 m
/2

=R c C
,
(3-72)
( )
1 2 21 m
2/

=R c c C
.
(3-73)
Pokud se pokusíme sous a u o nic (3-70) a (3-71) yřeši p o shodný odpo R ezis o ů na
pozicích R0 a R1 , musíme řeši sous a u
( )
1 1 2 m

=+c C C R
,
(3-74)
50
22
2 1 2 m

=c CC R
.
(3-75)
Nejp e yčíslíme z o nice (3-75) p oměnnou C2 a dosadíme ji do o nice (3-74) a po
úp a ě dos aneme k ad a ickou o nici
2 2 2
m 1 1 m 1 2 0

− + =R C c R C c
.
(3-76)
Jejímž řešením lze u či kapaci u C1.
Řešení sous a y (3-74) a (3-75) šak můžeme začí aké yčíslením p oměnné C1 z o .
(3-75) a jejím dosazením do o . (3-74). Tak získáme podobnou k ad a ickou o nici p o
u čení kapaci y C2
2 2 2
m 2 21 m 2 2 0

− + =R C c R C c
.
(3-77)
Jelikož kapaci y C1 a C2 se sous a ě o nic (3-74) a (3-75) ysky ují souč u a součinu,
jsou oba kapaci o y C1 a C2 e s ých pozicích e schéma u na Ob . 3.19a zaměni elné.
Výpoč em k e ékoli z k ad a ických o nic (3-76), (3-77) získáme d ě o nocenná a
na zájem zaměni elná řešení. Z oho dů odu můžeme p o ýpoče C1 a C2 psá pouze jednu
společnou k ad a ickou o nici
2 2 2
m 1,2 21 m 1,2 2 0

− + =R C c R C c
,
(3-78)
kde C1,2 zah nuje sobě obě zájemně zaměni elná řešení é o k ad a ické o nice. Ro nice
(3-78) má šak řešení obo u eálných čísel pouze případech, kdy je splněna podmínka
jejího nezápo ného disk iminan u
2 2 2 2 2
1 m2 2 m2
40

−c R c R
,
(3-79)
k e ou lze up a i do a u
2
21
4 / 1cc
.
(3-80)
Podmínka nezápo ného disk iminan u nám umožňuje jednoduše s ano i , zda je dolní
p opus d uhého řádu ealizo a elná p o danou ap oximaci se shodnými odpo y ezis o ů.
Vyčíslením podmínky (3-80) p o koe icien y u edené Tab. 3.3, případně Tab. 3.5 p o
dané ypy ap oximací 2. řádu můžeme zjis i , že je obou případech ě ší než jedna. To
znamená, že dolní p opus 2. řádu u ažo ané s uk u y nelze se shodnými odpo y ezis o ů
p o u edené ap oximace ealizo a a musí se použí s uk u a se shodnými kapaci ami
kapaci o ů.
Rozšiřo áním základních s uk u na Ob . 3.19 můžeme získa dolní p opus i yšších
řádů. Na Ob . 3.20 jsou naznačena zapojení ak o nekaskádně koncipo aných ss přesných
dolních p opus í 4. a 5. řádu. Na Ob . 3.21 je pak u edena nekaskádní ealizační s uk u a
zobecněná p o yšší řády přenoso ých unkcí, a o z lášť p o liché a z lášť p o sudé řády
přenoso é unkce. Aby il nebyl za ěžo án je na Ob . 3.21 p o oddělení zá ěže uži zesilo ač
s ysokým s upním odpo em s OZ0. Pokud je ako á o dolní p opus uži a na ýs upu
nepřímého pře odníku D/A může oddělo ací zesilo ač současně slouži p o přepínání
ýs upních ozsahů pře odníku. Na é o pozici šak musí bý použi elmi k ali ní ope ační
zesilo ač, p o ože jeho napěťo á nesyme ie a šum u čuje ýsledné las nos i celého
pře odníku. Na ozdíl od kaskádní s uk u y il u (např. na Ob . 2.8), kdy šechny použi é
ope ační zesilo ače by musely bý nízkošumo é, u nekaskádní s uk u y s ačí, aby
nízkošumo é byly pouze ope ační zesilo ače blízko hla ní ces y signálu ( zn. OZ0 a OZ1),
p o ože čím dál je ope ační zesilo ač od hla ní ces y signálu, ím se jeho šum upla ňuje méně.
Zájemce o pod obnější in o mace odkazujeme na naše publikace [31] až [37].
51
OZ2
−
+
u2
R3
a
u1
iz ≈ 0
C3C4
R0
OZ2
−
+
R3
b
DP 4. řádu DP 5. řádu
R4
C5
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
u2
u1
iz ≈ 0
C3C4
R0
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
Ob . 3.20: S ejnosmě ně přesná dolní p opus : a) 4. řádu, b) 5. řádu.
OZn/2
−
+
Rn−1
a
Cn−1CnOZ(n−1)/2
−
+
Rn−2
b
n sudé n liché
Rn−1
Cn
Cn−2Cn−1
. . .
. . .
OZ2
−
+
R3R4
u2
u1
C3C4
R0
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
OZ0
+
−
. . .
. . .
OZ2
−
+
R3R4
u2
u1
C3C4
R0
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
OZ0
+
−
Ob . 3.21: Realizační s uk u y nekaskádních ak i ních ss přesných dolních p opus í n- ého
řádu: a) sudého řádu, b) lichého řádu.
52
Konk é ní yjádření jedno li ých koe icien ů ci přenoso é unkce pomocí pa ame ů
ob odo é s uk u y z Ob . 3.21 u ádí Tab. 3.8. Při om jsme yužili p o yčíslení členů Wi
přenoso é unkce (2-10) údaje z Tab. 2.4. V abulce 3.8 jsou uspořádány šechny koe icien y
přenoso ých unkcí od p ního do desá ého řádu če ně. Při u čení přenoso é unkce dolní
p opus i n- ého řádu pomocí Tab. 3.8 pos upujeme ak, že odeč eme pos upně koe icien y
z d uhého sloupce až po i = n – 1 a poslední koe icien i = n odeč eme ze sloupce ře ího.
Např. no mo aná přenoso á unkce dolní p opus i 3. řádu naznačená na Ob . 3.19b bude mí
a
( ) ( ) ( )
2 2 3 3
1 2 0 m 1 2 0 1 2 m 1 2 3 0 1 2 m
1
1
  
=+ + + + +
Ks C C R s C C R R R s C C C R R R s
.
(3-81)
Kde C1 až C3 jsou kapaci y příslušných kapaci o ů a R0 až R2 odpo y odpo ídajících
ezis o ů ealizační s uk u y.
P o zjednodušení ná hu dolní p opus i se ob ykle olí s uk u a se shodnými odpo y
ezis o ů nebo se shodnými kapaci ami kapaci o ů. Tím o šem znikají něk e á omezení,
k e á zužují použi í il u n- ého řádu p o u či ý yp ap oximace přenoso é unkce podobně
jako omu bylo p o dolní p opus 2. řádu ( iz podmínka (3-80)). Možnos ealizo a
kmi oč o ý il daného řádu a dané ap oximace případě shodnos i odpo ů ezis o ů R0 = R1
= … = Rn – 1 nebo shodnos i kapaci kapaci o ů C1 = C2 = … = Cn je sh nu a Tab. 3.9.
Tab. 3.8: Koe icien y přenoso ých unkcí cni příslušející i- é mocnině no mo ané komplexní
p oměnné s p o n = 2 až 10
i
p o i < n
p o i = n
1
( )
1 2 0 m
C C R

+
−
2
( )
2
1 2 0 1 2 m
CC R R R

+
2
1 2 0 1 m
CC R R

3
( )
3
1 2 3 4 0 1 2 m
CC C C R R R

+
3
1 2 3 0 1 2 m
CC C R RR

4
( )
4
1 2 3 4 0 1 2 3 4 m
CC C C R R R R R

+
4
1 2 3 4 0 1 2 3 m
CC C C R RR R

5
( )
5
1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 m
CC C C C C R R R R R

+
5
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 m
CC C C C R RR R R

6
( )
6
1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 m
CC C C C C R R R R R R R

+
6
1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 m
CC C C C C R RR R R R

7
( )
7
1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 m
CC C C C C C C R R R R R R R

+
7
1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 m
CC C C C C C R RR R R R R

8
( )
1 2 3 4 5 6 7 8
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 m
C C C C C C C C
R R R R R R R R R


+
1 2 3 4 5 6 7 8
8
0 1 2 3 4 5 6 7 m
C C C C C C C C
R R R R R R R R



9
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 m
C C C C C C C C C C
R R R R R R R R R

+

1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 m
C C C C C C C C C
R R R R R R R R R



10
−
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m
C C C C C C C C C C
R R R R R R R R R R



53
Tab. 3.9: Realizo a elnos dolní p opus i dle Ob . 3.21
a) shodné odpo y ezis o ů
n
Bessel
Bu e wo h
2
ne
ne
3
ano
ano
4
ano
ano
5
ano
ano
6
ano
ano
7
ano
ano
8
ano
ano
9
ano
ano
10
ano
ano
b) shodné kapaci y kapaci o ů
n
Bessel
Bu e wo h
2
ano
ano
3
ano
ano
4
ano
ano
5
ano
ano
6
ano
ano
7
ano
ano
8
ano
ano
9
ano
ano
10
ano
ano
P o usnadnění ná hu s ejnosmě ně přesné dolní p opus i jsou Tab. 3.10 a Tab. 3.11
u edeny ýpoče ní z ahy p o pa ame y jedno li ých pasi ních ob odo ých p ků až do 10.
řádu če ně. P o ože ýpoče pa ame ů il ů yššího řádu se liší jen p o p ky s nej yššími
pořado ými čísly, k e é nekaskádní s uk u u na spodním konci uza í ají ( iz Ob . 3.21), jsou
y o společné ýpoče ní z ahy u edeny Tab. 3.10 če ně podmínek pla nos i, k e é musí
bý splněny. Výpoče ní z ahy p o zakončo ací p ky s uk u y jsou pak u edeny Tab.3.11.
Tab. 3.10: Výpoč o é z ahy pa ame ů ob odo ých p ků il u n- ého řádu z Ob . 3.21
podmínka
pla nos i
il se shodnými
kapaci ami kapaci o ů
podmínka pla nos i
il se shodnými odpo y
ezis o ů
n ≥ 2
1
0
m
2
n
c
RC

=
n ≥ 3
2
1 1 2
1,2
m
2
2
n n n
c c c
CR

−
=
n ≥ 4
2
2 2 1 3
1,2
1m
n n n n
n
c c c c
RcC

−
=
n ≥ 5
2
3 3 2 4
3,4
2m
n n n n
n
c c c c
CcR

−
=
n ≥ 6
2
4 4 3 5
3,4
3m
n n n n
n
c c c c
RcC

−
=
n ≥ 7
2
5 5 4 6
5,6
4m
n n n n
n
c c c c
CcR

−
=
n ≥ 8
2
6 6 5 7
5,6
5m
n n n n
n
c c c c
RcC

−
=
n ≥ 9
2
7 7 6 8
7,8
6m
n n n n
n
c c c c
CcR

−
=
n ≥ 10
2
8 8 7 9
7,8
7m
n n n n
n
c c c c
RcC

−
=
−
−

54
Např. při ýpoč u pa ame ů dolní p opus i 6. řádu se shodnými kapaci ami kapaci o ů
C1 = C2 = … = C6 = C u číme R0, R1,2 a R3,4 z Tab. 3.10 a zbý ající pa ame R5 pak
z Tab. 3.11.
Vlas nos i dolní p opus i yhodno íme ješ ě z hlediska předpokládaného uži í
nepřímém pře odníku D/A s ozlišením 20 až 22 bi ů. P o ože použi á dolní p opus u čuje
pře ážné míře celko é las nos i pře odníku, je nu no jejímu cho ání jak kmi oč o é, ak
i časo é oblas i ěno a pa řičnou pozo nos .
Z ob odo ého řešení dolní p opus i (Ob . 3.21) je zřejmé, že pokud použijeme
oddělo ací zesilo ač s jedno ko ým přenosem, je celko ý přenos s ejnosmě ného signálu
jedno ko ý. Tole ance pa ame ů pasi ních ob odo ých p ků (R1, R2, …, Rn – 1 a C1, C2, …,
Cn) nemůže žádným způsobem přenos s ejnosmě ného signálu o li ni . Na yšších
kmi oč ech šak mohou bý přenoso é las nos i o li něny značně. To pak e s ém důsledku
ede ke značnému p odloužení přechodo ého děje. Při použi í il u nepřímém pře odníku
D/A může a o okolnos nepřízni ě o li ni dobu us álení pře odníku po změně s upních
da . Z oho o dů odu je zapo řebí použí ezis o y a kapaci o y s ole ancí pa ame u lepší než
±1 %. Přechodný děj pak není o mnoho delší než přechodný děj dolní p opus i osazené
ideálními p ky. P o nepřímé pře odníky D/A se uží á ap oximace dle Bessela.
Použi é ope ační zesilo ače musí mí anzi ní kmi oče pods a ně yšší, než je mezní
kmi oče samo né dolní p opus i. Jak bylo již řečeno, pouze zesilo ače, k e é jsou nejblíže ke
s ejnosmě né ces ě signálu, musí bý yb ány nízkošumo é.
Velmi ýhodné aké je, že ope ační zesilo ače las ního il u jsou s ejnosmě ně
odděleny (kapaci o y) od ces y s ejnosmě ného signálu, a p o o se li jejich s upních
zby ko ých napě í ani jejich ujíždění čase neupla ní. Vysoké ná oky jsou ale kladeny na
ýbě ope ačního zesilo ače oddělo acího s upně, k e ý může las nos i dolní p opus i
znehodno i . Ten o ope ační zesilo ač musí ykazo a ysoký di e enční s upní odpo , dále
musí mí zanedba elnou časo ou i eplo ní nes abili u zby ko ého napě í, musí ykazo a
zanedba elný šum, a na íc musí mí ex émně ysoký čini el po lačení souhlasného napě í.
55
Tab. 3.11: Výpoč o é z ahy pa ame ů zakončo acích ob odo ých p ků il u z Ob . 3.21
p o n ≤ 10
n
il se shodnými kapaci ami
kapaci o ů
il se shodnými odpo y ezis o ů
2
22
1
21 m
2c
RcC

=
2
21 21 22
1,2
m
4
2
c c c
CR

−
=
3
2
32 32 31 33
1,2
31 m
2c c c c
RcC

−
=
33
3
32 m
c
CcR

=
4
44
3
43 m
2c
RcC

=
2
43 43 42 44
3,4
42 m
2c c c c
CcR

−
=
5
2
54 54 53 55
3,4
53 m
2c c c c
RcC

−
=
55
5
54 m
c
CcR

=
6
66
5
65 m
2c
RcC

=
2
65 65 64 66
5,6
64 m
2c c c c
CcR

−
=
7
2
76 76 75 77
5,6
75 m
2c c c c
RcC

−
=
77
7
76 m
c
CcR

=
8
88
7
87 m
2c
RcC

=
2
87 87 86 88
7,8
86 m
2c c c c
CcR

−
=
9
2
98 98 97 99
7,8
97 m
2c c c c
RcC

−
=
99
9
98 m
c
CcR

=
10
1010
9
109 m
2c
RcC

=
2
109 109 108 1010
9,10
108 m
2c c c c
CcR

−
=
V ná očných aplikacích může bý nedokonalé po lačení souhlasného napě í ope ačního
zesilo ače OZ0 na zá adu. Jes liže je o iž čini el po lačení souhlasného signálu konečný,
zniká li em souhlasného s upního napě í na ýs upu oddělo acího s upně chybo é napě í,
k e é je na íc značně nelineá ně zá islé p á ě na elikos i s upního souhlasného napě í. Jak
je ale známo, po lačení souhlasného napě í nečiní p oblémy u ope ačního zesilo ače uži ého
in e ujícím zapojení. Z ěch o dů odů byla na žena modi ikace, u k e é bylo k oddělení
zá ěže yuži o in e ující uspořádání ope ačního zesilo ače. P incipiální uspořádání ako é
dolní p opus i je u edeno na Ob . 3.22.
56
OZn/2
−
+
Rn−1
a
Cn−1CnOZ(n−1)/2
−
+
Rn−2
b
n sudé n liché
Rn−1
Cn
Cn−2Cn−1
. . .
. . .
OZ2
−
+
R3R4
u2
u1
C3C4
R01
C1C2
OZ1
−
+
R1R2
OZ0
−
+
. . .
. . .
OZ2
+
R3R4
R02 RZ
Ob . 3.22: Nekaskádní řešení dolní p opus i, u k e é se neupla ní li souhlasného napě í
oddělo acího zesilo ače: a) p o sudý řád, b) zakončení il u p o lichý řád il u.
Přenoso á unkce il u je pospána o nicí (3-26), přičemž zesílení p o s ejnosmě né napě í
K0 = – RZ/ (R01 + R02). Pokud z olíme R01 = R02 = 2R0 jsou koe icien y přenoso é unkce cni
p o n- ý řád il u opě u čeny Tab. 2.4. Výpoč o é z ahy u edené Tab. 3.10 a Tab. 3.11
zůs á ají při z oleném R01 = R02 = 2R0 ak éž pla nos i.
4 Ho ní p opus i
4.1 Pasi ní ho ní p opus i
Pasi ní ho ní p opus RC 1. řádu.
Zapojení pasi ní ho ní p opus i 1. řádu je u edeno na Ob . 4.1a. Podobně, jako při
analýze dolní p opus i 1. řádu, lze přenos zapojení u či jako pomě komplexních napě í
( ) ( )
( )
2R
1 R C
1.
1/ 1 1/
= = = =
+ + +
Up ZR
Kp U p Z Z R pC pRC
(4-1)
Mezní kmi oče de ino aný jako pokles modulu přenoso é cha ak e is iky o 3 dB ůči
hodno ě modulu přenosu na ysokých kmi oč ech je shodný s mezním kmi oč em dolní
p opus i 1. řádu, j.
m1/RC=

. Využi ím no mo ané komplexní p oměnné
m
/sp=

,
přechází přenoso á unkce (4-1) do a u
57
( )
1
1 1/
Ks s
=+
(4-2)
Jes liže přejdeme z komplexní p oměnné
s
na no mo aný úhlo ý kmi oče
m
j / js
  
==
, bude přenoso á unkce, popř. její modul a a gumen ( áze) u čeny z ahy
( ) ( ) ( )
2
1 1 1
, , a c g .
1 1/ j 1 1/
   


= = =
++
KK
(4-3)
Na Ob . 4.1b,c je u eden Bodeů diag am ho ní p opus i 1. řádu, j. zá islos zisku
( ) ( )
20logzK

=
a a gumen u
( )

na no mo aném kmi oč u Ω.
Po o náním přenoso é unkce ho ní p opus i 1. řádu (4-2) a přenoso é unkce dolní
p opus i 1. řádu (3-12) je idě , že přenoso ou unkci ho ní p opus i získáme z dolní p opus i
jednoduchou ans o mací
1/ss→
. Ta o ans o mace je pa ná i z loga i mického
yjádření modulo é cha ak e is iky, kdy z dolní p opus i (Ob . 3.1b) lze získa modulo ou
cha ak e is iku ho ní p opus i (Ob . 4.1b) jejím z cadlením kolem mezního kmi oč u
m

, esp.
1

=
, čemuž odpo ídá ans o mace
1/

→
( esp.
1/ss→
). Fo málně pak i přenos
K0 pásmu p opus nos i dolní p opus i přechází na přenos K∞ pásmu p opus nos i ho ní
p opus i. V p axi se šak p o označení přenosu pásmu p opus nos i ho ní p opus i, esp. i
pásmu p opus nos i os a ních ypů kmi oč o ých il ů, yuží á označení K0.
b
c
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
90
45
0
φ
[deg]
φ(Ω)
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
z[dB]
20 dB/dek
3 dB
z(Ω)
a
C
R
u1 u2
Ob . 4.1: a) Pasi ní ho ní p opus RC 1. řádu a jeho b) modulo á a c) a gumen o á
cha ak e is ika
64
( )
0
11
2 2 2 2
m 2 m 1 2
1.
2 1 1 1 1 1
11
K
Ks ab
R C s R R C s s s

==
+ + + +
(4-14)
Od ud
22
0 1 m 2 1 m 1 2
1, 2/ , 1/K a R C b RR C= = =

. Z olíme-li
12
C C C==
, bude
1 1 m 1
/4πR a Cb=
a
2 m 1
1/πR Ca=
.
Ho ní p opus 2. řádu se řemi zesilo ači lze ealizo a ob odem u edeným na Ob .
2.6, yužijeme-li ýs up zesilo ače OZ1. Z olíme-li
12
C C C==
a R3 = R4 = R5 = R6 = R,
bude mí přenos (2-13) p o komplexní no mo anou p oměnnou
m
/sp=

a
( )
0
11
2 2 2 2
m 1 m 1 2
1.
1 1 1 1 1 1
11
K
Ks ab
RC s R R C s s s
==
+ + + +

(4-15)
Z po o nání s obecnou přenoso ou unkcí je zřejmé, že
0 1 m 1
1, 1/ ,K a RC

==
22
1 m 1 2
1/b R R C

=
. Od ud pak
1 m 1
1/ 2πR Ca=
,
2 1 m 1
/2πR a Cb=
.
5 Pásmo é p opus i
5.1 Základní las nos i pásmo ých p opus í
Spojíme-li kaskádně za sebou ho ní a dolní p opus 1.řádu získáme pásmo ou p opus .
Pásmo á p opus je p o o de ino ána až přenoso ou unkcí d uhého řádu a dále pak p o yšší
řády ždy přenoso ou unkcí sudého řádu, j. 2, 4, 6 a d.
Pásmo é p opus i se ě šinou cha ak e izují pa ame y kmi a ého ok uhu, j. čini elem
přenosu K0 na ezonančním (s ředním) kmi oč u 0 a čini elem jakos i Q. Ob ykle se p o
ná h uží á no mo aný a přenoso é unkce, kdy no mo aná komplexní p oměnná
s
je
z ažena zhledem k ezonančnímu kmi oč u
0 0 0
2π , j. / s p

==
. Přenoso á unkce
pásmo é p opus i 2. řádu pak bude mí obecně a
( ) ( )
( )
0
2
/.
1 1/
K Q s
Ks Q s s
=++
(5-1)
Ten o způsob yjádření umožňuje s ano i základní pa ame y pásmo é p opus i přímo
z přenoso é unkce. Subs i ucí
jsΩ=
, kde no mo aný úhlo ý kmi oče
00
/ / ,
  
==
lze pak s ano i modulo ou a a gumen o ou cha ak e is iku il u
( )
( )
( ) ( )
( )
2
0
22
2
1
/, a c an .
1/
Q
KQ
KQ


   

−
==
−+
(5-2)
Příklad p ůběhu modulo é cha ak e is iky
( ) ( )
( )
0
20log /z K K

=
pásmo ých
p opus í s čini elem jakos i Q = 1, Q = 10 a Q = 20 je u eden na Ob .5.1. Je zřejmé, že u
pásmo ých p opus í 2. řádu je p ůběh modulo é cha ak e is iky ím os řejší, čím yšší je
čini el jakos i Q. Modulo á cha ak e is ika il u na nízkých i ysokých kmi oč ech klesá se

65
sklonem ±20 dB/dek. Na ezonančním kmi oč u má přenos eálnou hodno u a ázo é na očení
je na om o kmi oč u nulo é. Čini el jakos i pásmo é p opus i u číme podle analogie
s kmi a ým ok uhem jako pomě ezonančního kmi oč u k šířce kmi oč o ého pásma B, j.
00
h d h d
11
,
QB
= = = =
− − 
  
(5-3)
kde d značí dolní a h ho ní kmi oče , kdy dojde k poklesu modulu přenoso é unkce pásmo é
p opus i o 3 dB, esp.
d d 0
/

=
značí dolní a
n n 0
/

=
ho ní no mo aný úhlo ý kmi oče
p o pokles o 3 dB a ∆

značí no mo anou šířku pásma
hd
  
 = −
. P o ože kmi oč y
d

a
h

jsou z cadlo ě ozloženy kolem osy
=1

, pla í p o ně
dn
1/

=
. Ho ní a dolní mezní
kmi oče pásmo é p opus i můžeme u či řešením o nic Ωd = 1/Ωh a
hd
  
 = −
. Od ud
no mo aný dolní mezní kmi oče
( )
2
d
4
2


− +  +
=
(5-4)
a no mo aný ho ní mezní kmi oče
( )
2
h
4.
2


 +  +
=
(5-5)
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
10
5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
z[dB]
z(Ω)
-5
0
Q=1
Q=10
Q=1
Q=10
Q=20
Ob . 5.1: Modulo é cha ak e is iky pásmo ých p opus í 2. řádu
U pásmo ých p opus í 2. řádu je p ůběh modulo é cha ak e is ik ím os řejší, čím yšší
je jejich čini el jakos i. Exis ují šak případy, kdy okolí s ředního kmi oč u požadujeme
pokud možno plochý p ůběh cha ak e is iky s os ým poklesem za pásmem p opus nos i.
Tako ou o úlohu lze řeši kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i s přenoso ou unkcí
ap oximo anou něk e ým z dří e u edených způsobů. K omě šířky pásma ΔΩ u čené
mezními kmi oč y dolní a ho ní p opus i je edy možno zada i požado aný p ůběh modulo é
cha ak e is iky. Na Ob .5.2 jsou u edeny modulo é cha ak e is iky pásmo ých p opus í 4.
řádu získané kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i 2. řádu ap oximo aných dle
Bu e wo ha a dle Čebyše a se z lněním Δz = 2 dB. P o s o nání je ob ázku čá ko aně
naznačena modulo á cha ak e is ika pásmo é p opus i 2. řádu ealizo aná kaskádním
řazením dolní a ho ní p opus i 1. řádu, [15], [16].
66
a
Dolní
p opus
u1 Ho ní
p opus u2
b
10-2 10-1 100102
Ω [-]
10
0
-10
-20
-30
-45
-50
z[dB]
z(Ω)
PP 2. řádu – Bu e wo h
PP 4. řádu – Bu e wo h
PP 4. řádu – Čebyše (2 dB)
101
ΩdΩh
3 dB
ΔΩ
Ob . 5.2: a) Realizace pásmo é p opus i kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i, b)
modulo é cha ak e is iky pásmo é p opus i 4. řádu ap oximo ané dle Bu e wo ha a
Čebyše a se z lněním 2 dB (čá ko aně naznačena pásmo á p opus 2. řádu)
5.2 Pasi ní pásmo é p opus i
Pasi ní pásmo á p opus RC 2. řádu
Jedna z možných ealizací pásmo é p opus i, k e á znikla kaskádním spojením pasi ní
ho ní a dolní p opus i, je u edena na Ob .5.3a. Zapojení se ob ykle u ádí pod označením
Wienů článek. Nej yšší čini el jakos i dosahuje p opus při shodných kapaci ách obou
kapaci o ů a při shodných odpo ech obou ezis o ů.
Přenoso á unkce ako ého o kmi oč o ě zá islého neza íženého impedančního děliče
b
c
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,01 0,1 1 10 100
-90
-60
-30
0
30
60
90
0,01 0,1 1 10 100
Ω [-]
φ
[deg]
φ(Ω)
K[-]
a
C
R
u1 u2
R
C
K(Ω)
Ω [-]
Ob . 5.3: a) Pasi ní pásmo á p opus RC (Wienů článek) a jeho b) modulo á a c)
ázo á cha ak e is ika
67
( )
R C R C
R C R C RC
RC
1
|| ,
1
||
Z Z Y Y
Kp Z Z Z Z ZZYY
+
==
++ +++
(5-6)
kde
RR
1/Z Y R==
a
CC
1/ 1/Z Y pC==
a edy
( ) ( )
( ) ( )
2
1
1/ .
111
1/
R pC pRC
Kp pRC pRC
RpC R pC
+
==
++
++ +
(5-7)
Pokud přenoso ou unkci no mujeme zhledem k ezonančnímu kmi oč u
01/RC=

, j.
za edeme no mo anou komplexní p oměnnou
0
/sp

=
, esp. p o edeme subs i uci
0/p s s RC

==
, dos aneme přenoso ou unkci e a u
( ) ( )
2
1
s
Ks ss
=
++
(5-8)
Pokud chceme yjádři zá islos přenoso é unkce na no mo aném úhlo ém kmi oč u,
p o edeme subs i uci
js

=
a pak
( ) ( )
2
j1
.
1
1 j j 3j
K

 

==

++ +−


(5-9)
Od ud u číme modulo ou cha ak e is iku
( )
2
1,
1
9
K



=

+−


(5-10)
a ázo ou cha ak e is iku
( )
2
1
a c g .
3

 
−
=
(5-11)
Výs upní napě í je maximální při Ω = 1, esp. při kmi oč u
00
/2π 1/ 2π RC==

, kdy bude
přenos K0 = 1/3 a ázo é na očení je nulo é ( iz Ob .5.3b,c). Selek i ní las nos i pásmo é
p opus i, jak bylo již řečeno, se de inují čini elem jakos i Q = 0/B, kde B je kmi oč o é
pásmo, na jehož ok ajích poklesne modul přenoso é unkce na hodno u
0/2K
ůči
hodno ě při ezonančním kmi oč u, esp. zisk poklesne o 3 dB. V případě, že odpo y ezis o ů
a kapaci y kapaci o ů jsou shodné, pak hodno a čini ele jakos i je pouze Q = 1/3, což ale
zá o eň předs a uje i maximální dosaži elnou hodno u pa ame u Q é o pásmo é p opus i.
68
Pasi ní pásmo é p opus i RLC 2. řádu
Lepších las nos í lze dosáhnou použi ím RLC p ků. V p ém případě (Ob .5.4a) je
pásmo á p opus ealizo ána s yuži ím sé io ého ezonančního ob odu LC. Přenoso á
unkce je dána z ahem
( )
R2
LCR
.
1
ZRC p
Kp Z Z Z RC p LC p
==
+ + + +
(5-12)
Rezonanční kmi oče
0

je dán Thomsono ým z ahem
01/ LC=

a čini el jakos i
//Q L C R=
.
c
d
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
80
40
φ
[deg]
0
-40
φ(Ω)
Q=1
Q=10
60
20
-20
-80
-60
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
10
5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
z[dB]
z(Ω)
-5
0
Q=1
Q=10
a
C
R
u1 u2
L
b
C
R
u1 u2
L
Ob . 5.4: Pasi ní RLC pásmo á p opus 2. řádu: a) se sé io ým ezonančním ob odem,
b) s pa alelním ezonančním ob odem a jejich c) modulo á a d) a gumen o á cha ak e is ika
(Q = 1, Q = 10)
V d uhém případě (Ob .5.4b) pásmo á p opus yuží á pa alelního ezonančního
ob odu LC a její přenos
( ) ( )
CL 2
R C L
|| ,
|| 1 /
ZZ RC p
Kp Z Z Z L R p LC p
==
+ + +
(5-13)
Rezonanční kmi oče je i om o případě
01/ LC=

a čini el jakos i
/Q R C L=
.
69
Při ná hu pasi ní pásmo é p opus i dos ačuje de ino a ezonanční kmi oče
( )
00
esp.

a požado aný čini el jakos i Q. Příklad p ůběhů modulo é a a gumen o é
cha ak e is iky pásmo é p opus i 2. řádu p o čini el jakos i Q = 1 a Q = 10 je u eden na
Ob .5.5c,d.
5.3 Ak i ní pásmo é p opus i
Pásmo á p opus se složi ou zápo nou zpě nou azbou je uspořádána podle Ob .5.5a.
Přenoso ou unkci u číme podle o . (2-11) pla ící p o obecný ob od na Ob . 2.4. P o ože
1 1 2 1 3 2 4 2 5 3
1/ , , 1/ , , 1/Y R Y pC Y R Y pC Y R= = = = =
, bude
( )
( )
2
1
21 2 1 2
3 1 2
2 3 2
12
2
1 2 1 2 1 2 3 1 2
1 2 1 2
1 1 1
1
pC
R
Kp
p C C pC pC
R R R
R R C p
RR
R R C C R R R C C
pp
R R R R
= − =

+ + + +


−+
=
+
++
++
(5-14)
a b
OZ
R1
−
+
R2
u1
u2
C1R3
C2
z[dB]
0 dB
0
OZ
log [Hz]
B
min 40 dB
PP
Ob . 5.5: a) Pásmo á p opus se složi ou zápo nou zpě nou azbou, b) požada ky na
kmi oč o ou cha ak e is iku ope ačního zesilo ače
Za edeme-li no mo anou komplexní p oměnnou nyní no mo anou zhledem
k ezonančnímu kmi oč u
00
2π =

, j.
0
/sp=

a z olíme-li
12
C C C==
, dos aneme
( ) ( )
( )
23 00
12 22
22
1 2 3
12 00
1 2 1 2
/.
21 1/
1
R R C sK Q s
RR
Ks R R R C
R R C Q s s
ss
R R R R


−+
==
++
++
++
(5-15)
S o náme-li ýsledek s obecnou přenoso ou unkcí pásmo é p opus i, idíme, že člen před
2
s
musí bý o en jedné. Z é o podmínky můžeme s ano i ezonanční kmi oče

70
12
00
1 2 3
1
2π.
RR
C R R R
+
==

(5-16)
Dále je zřejmé, že
( )
1 2 1 2
0
1 2 3 1 2
122
R R R R
C
Q R R R R R

==
++
(5-17)
a edy
( )
3 1 2 12
3 0 3 0 3
1 2 1 2 3
1 1 1 π
2 2 2
R R R RR
Q R R C R C
R R R R R

++
= = = =
(5-18)
a aké, že
0 3 1
/2K R R=−
. Je idě , že ezonanční kmi oče , čini el jakos i a čini el přenosu při
ezonanci se mohou oli libo olně, nezá isle na sobě.
Vz ah p o šířku pásma můžeme s ano i z o . (5-3), j. B = 0/Q, kdy po dosazení z o .
(5-18) dos aneme
3
1/πB R C=
. P o ože eličina B nezá isí na R1 a R2 a dále, p o ože K0
nezá isí na R2, je možno ezonanční kmi oče 0 měni změnou odpo u ezis o u R2, aniž se
změní šířka p opus ného pásma B či přenos při ezonanci K0.
Při ná hu pos upujeme ak, že z olíme
12
C C C==
a p o požado anou šířku pásma B
= 0/Q yčíslíme
30
1/π / πR BC Q C==
. Dále u číme
1 3 0
/2R R K=−
p o z olený (zápo ný)
přenos K0. Z o . (5-16) pak yčíslíme odpo
( )
22
2 1 0 1 3
/4π1R R CR R=−
.
P obí aná pásmo á p opus má u ýhodu, že nemá sklon k oscilacím na ezonančním
kmi oč u při ne zcela přesně yb aných hodno ách jedno li ých p ků. Samozřejmě se
předpokládá, že ope ační zesilo ač má p o edenu s anda dní ko ekci kmi oč o é
cha ak e is iky, jinak mohou zniknou ysoko ek enční kmi y. Další samozřejmos í pak je,
že ope ační zesilo ač má dos a ečnou eze u zesílení při ezonančním kmi oč u ( iz
Ob .5.5b), jinak dojde ke zk eslení kmi oč o é cha ak e is iky il u.
Zapojení p opus i na Ob .5.5a bude unkční i p o R2 = ∞. V om případě
31
/ /2Q R R=
a
2
02KQ=−
. Ob od šak om o případě klade z ýšené ná oky na ýbě
ope ačního zesilo ače, p o ože en při ezonančním kmi oč u 0, musí mí zesílení s eze ou
ě ší než 2Q2. Např. p o Q = 100, musí mí ope ační zesilo ač při kmi oč u 0 zesílení ě ší
než 20 000.
Pásmo á p opus se zesilo ačem s konečným zesílením. Příklad yuži í slabé kladné
zpě né azby p o řešení pásmo é p opus i ilus uje zapojení na Ob .5.6. P incipiálně se jedná
o zapojení obecného il u z Ob . 2.5 a můžeme edy p o s ano ení přenosu yuží o . (2-12).
Zesílení nein e ujícího zesilo ače je dáno děličem zařazeným do zápo né zpě né azby OZ,
j.
U 5 4
1/A R R=+
. Aby se řešení zjednodušilo, je možno předpokláda R1 = R2 = R, R3 = 2R,
12
C C C==
a edy admi ance z o . (2-12) budou
1 2 3 4
1/ , ,Y Y R Y Y pC= = = =
51/2YR=
.
Pak přenoso á unkce
( ) ( )
U2 2 2
U
13
A RC p
Kp A RC p R C p
=+ − +
(5-19)
a po za edení komplexní p oměnné
0
/sp

=
bude přenos pásmo é p opus i
71
( ) ( ) ( )
( )
0
U0
2 2 2 2 2
U 0 0
/.
1 3 1 1/
K Q s
A RC s
Ks A RC s R C s Q s s
==
+ − + + +


(5-20)
R4
R3
R2−
+
u1
u2
C1
C2
OZ
R5
R1
Ob . 5.6: Ak i ní pásmo á p opus se zesilo ačem s konečným zesílením
Ze s o nání s obecným z ahem p o přenoso ou unkci pásmo é p opus i můžeme s ano i
pa ame y il u. P o ože člen před
2
s
se musí o na jedné, bude
01/RC=

, esp.
ezonanční kmi oče
01/ 2π RC=
. Dále p o il pla í
( )
U
1/ 3QA=−
a
( )
0 U U
/3K A A=−
.
Je zřejmé, že ne ýhodou il u je zájemná zá islos eličin K0 a Q. Čás ečnou ýhodou
je, že změnou zesílení AU lze měni čini el jakos i, aniž dojde ke změně ezonančního
kmi oč u, p o ože en na AU nezá isí. Při ná hu je dále zapo řebí počí a s ím, že p o AU = 3
je čini el přenosu nekonečně elký a ob od se ozkmi á. Čím íce se AU blíží k hodno ě 3, ím
pečli ěji musí bý nas a ena jeho hodno a.
Pásmo á p opus se řemi zesilo ači je u edena na Ob . 2.6, přičemž se om o případě
yužije ýs up OZ2. Ob ykle se olí R3 = R4 = R5 = R6 = R a
12
C C C==
a pak o . (2-14)
bude mí p o komplexní p oměnnou
0
/sp=

a
( ) ( )
( )
0
20 2 2 2 2
2 0 1 2 0
/.
1 1 1/
K Q s
R C s
Ks R C s R R C s Q s s


−
==
+ + + +
(5-21)
Po o náním s obecnou přenoso ou unkcí p o pásmo ou p opus pak dos aneme
0 0 1 2
2π 1/ C RR==

,
2 0 0
1/ , 1

= = −Q R C K
. Rezonanční kmi oče 0 lze dos a i pomocí
odpo u R1, aniž se změní čini el jakos i Q, nebo přenos při ezonanci K0.
Další zapojení pásmo ých p opus í lze např. dohleda li . [13], [14], [17].
6 Pásmo é zád že
6.1 Základní las nos i pásmo ých zád ží
Další ze základních il ačních unkcí ealizuje pásmo á zád ž. Podobně jako pásmo á
p opus je de ino ána až přenoso ou unkcí 2. řádu, a dále pak p o yšší řády přenoso ou
unkcí sudého řádu. P ak ické yuži í pásmo é zád že spočí á od il o ání uši é složky
uži ečném signálu, kdy obecně na ezonančním kmi oč u il u je jeho přenos nulo ý a p o
72
nízké a ysoké kmi oč y má kons an ní hodno u K0. S ejně jako omu je u pásmo ých
p opus í, ak i u pásmo ých zád ží lze ho oři o míře jejich selek i i y, kdy se za ádí e mín
čini el jakos i po lačení signálu Q = 0/B, kde B de inuje kmi oč o é pásmo zad žení, na jehož
ok ajích poklesne modul přenoso é unkce na hodno u
0/2K
, esp. zisk poklesne o 3 dB.
S ejně jako u pásmo é p opus i pak aké pla í, že čím ě ší je čini el jakos i, ím s měji se
mění modul přenosu při přechodu z p opus ného do nep opus ného pásma.
Pokud za edeme no mo ání komplexní p oměnné zhledem ke kmi oč u po lačení
00
2π

=
, zn.
0
/sp

=
, bude přenoso á unkce pásmo é zád že
( )
( )
2
0
2
1
1/
Ks
Ks s Q s
+
=++
(6-1)
Od ud po dosazení za
js

=
snadno yčíslíme z ahy p o modulo ou a a gumen o ou
cha ak e is iku il u
( )
( )
( )
( )
2
0
2
24
2
1, a c g .
1
1
12
K
KQ
Q

   

−
==
−

+ − +


(6-2)
P ůběh modulo é kmi oč o é cha ak e is iky pásmo é zád že
( ) ( )
( )
0
20log /z K K

=
je
p o Q = 1, Q = 3 a Q = 10 u eden na Ob .6.1.
10-2 10-1 100101102
Ω [-]
10
5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
z[dB]
z(Ω)
-5
0
Q=1
Q=3
Q=10
Ob . 6.1: Modulo é cha ak e is iky pásmo ých zád ží 2. řádu
6.2 Pasi ní pásmo é zád že
Pasi ní pásmo é zád že RC 2. řádu
D a příklady pasi ní zád že RC 2. řádu jsou u edeny na Ob .6.2a,b. Budou-li odpo y
ezis o ů a kapaci y kapaci o ů shodné, bude přenoso á unkce obou případech
73
c
d
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,01 0,1 1 10 100
Ω [-]
K[-]
K(Ω)
-10
-5
0
5
10
0,01 0,1 1 10 100
Ω [-]
φ
[deg] φ(Ω)
b
C
R
u1 u2
R
C
a
R
u1 u2
R
C C
Ob . 6.2: a), b) Pasi ní pásmo é zád že RC 2. řádu a jejich c) modulo á a d) ázo á
cha ak e is ika
( )
2 2 2
2 2 2
21
.
31
p R C pRC
Kp p R C pRC
++
=++
(6-3)
P o obě a ian y aké bude shodný kmi oče po lačení
01/RC=

i čini el jakos i po lačení Q
= 1/3, což je maximální hodno a čini ele po lačení, k e ou lze ěmi o zapojeními dosáhnou .
Výs upní napě í je minimální při Ω = 1, esp. při kmi oč u
00
/2π 1/ 2π RC==

a na
nízkých a na ysokých kmi oč ech se bude přenos blíži jedné K0 = 1. P ůběh modulo é a
ázo é cha ak e is iky je nak eslen na Ob .6.2c,d.
Pasi ní pásmo é zád že RLC 2. řádu
Lepší po lačení signálu okolí kmi oč u 0 lze samozřejmě dosáhnou pasi ními
pásmo ými zád žemi RLC u edenými na Ob .6.3a,b. Zapojení zád že z Ob .6.3a yuží á e
s é s uk uře pa alelní ezonanční ob od, zapojení z Ob .6.3b pak sé io ý ezonanční ob od.
V případě zapojení z Ob .6.3a lze napěťo ou přenoso ou unkci yjádři e a u
( )
2
R2
L C R
1
|| / 1
Zp LC
Kp Z Z Z p LC pL R
+
==
+ + +
(6-4)
a u zapojení z Ob .6.3b je přenoso á unkce u čena ý azem
( )
2
LC 2
R L C
1.
1
ZZ p LC
Kp Z Z Z p LC pCR
++
==
+ + + +
(6-5)
V případě zapojení z Ob .6.3 se edy jedná již o pásmo é zád že p a ém slo a smyslu,
kdy čini el jakos i může eo e icky nabý a libo olných hodno a přenos il u je na kmi oč u
0 nulo ý.
80
( ) ( )
zm 1
1
0 0 .
π
I
i
i
T a
=
==


(7-12)
Hodno y no mo aného skupino ého zpoždění ázo acích článků n- ého řádu je edy
možné u či pouze z koe icien ů ai, k e é jsou u edeny Tab. 7.1. V Tab. 7.1 jsou k omě
koe icien ů ai a bi a no mo aného skupino ého zpoždění Tz (0) u edeny i hodno y pomě ů
kmi oč ů i/ m, kde i odpo ídá kmi oč u, při k e ém na očení áze dílčího il u je -90°
případě dílčího ázo acího článku 1. řádu, esp. -180° p o ázo ací článek 2. řádu. Zná
hodno u kmi oč u i je ýhodné přede ším případě p ak ické ealizace, neboť daný kmi oče
lze změři mnohem snadněji než mezní kmi oče skupino ého zpoždění m.
Na Ob .7.1 jsou u edeny no mo ané kmi oč o é cha ak e is iky skupino ého zpoždění
ázo acích článků 1. až 10. řádu.
0,01 0,03 0,1 0,3
Ω [-]
2,5
2,0
1,0
Tz[-] 3,0
3,5
1,5
0,5
01 3 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
n=1
Tz(Ω)
Ob . 7.1: Skupino é zpoždění ázo acích článků 1. až 10. řádu zá islos i na kmi oč u
P incip ná hu ázo acího článku ukážeme na příkladu. Předpokládejme, že máme
ealizo a zpoždění s upního signálu s kmi oč o ým spek em od 0 do 1 kHz o čas
( )
0 2 ms=

. Aby bylo časo é zpoždění šech spek álních složek signálu kons an ní, musí
bý mezní kmi oče ázo acího článku yšší nebo o en 1 kHz. P o ože
( ) ( ) ( )
z m m
/T T
    
==
, musí pla i že
( )
z0 1kHz 2 ms 2,0T  =
. Z Tab. 7.1 je idě ,
že p o u edený případ je nu né použí ázo ací článek 7. řádu, p o k e ý
( )
z0 2,1737T=
.
Mezní kmi oče m, při k e ém skupino é zpoždění poklesne na
1/ 2
ůči hodno ě Tz(0),
edy bude
( ) ( )
mz
0 / 0 2,1737/ 2 ms 1,087 kHz T= = =

.
7.2 Ak i ní ázo ací články
Fázo ací článek 1. řádu
Fázo ací článek p ního řádu naznačený na Ob .7.2a [16] ykazuje p o nízké kmi oč y
(kdy kapaci o C ykazuje éměř nekonečnou impedanci) přenos +1 a p o ysoké kmi oč y
(kdy kapaci o C ykazuje éměř nulo ou impedanci) přenos -1, přičemž předpokládáme
R1 = R2 = R0. A gumen přenoso é unkce se p o o mění zá islos i na kmi oč u od 0 do
-180°. Ob od bude p aco a jako ázo ací článek, jes liže i při s ředních kmi oč ech je modul
čini ele přenosu o en jedné.

81
a b
OZ
R1
−
+
R2
u1 u2
C
R
R1 = R2 = R0OZ
R1
−
+
R2
u1 u2
C
R
R1 = R2 = R0
Ob . 7.2: Fázo ací články 1. řádu
Přenoso ou unkci článku z Ob .7.2a lze s ano i e a u
( ) ( )
1 1 j
, esp. j .
1 1 j
pRC RC
K p K
pRC RC
−−
==
++


(7-13)
Podobně jako případě přenoso é unkce (7-1) můžeme s ano i od ud modulo ou
cha ak e is iku
( )
1K=

a ázo ou cha ak e is iku
( )
2a c g .RC=−
  
(7-14)
Skupino é zpoždění po om
( ) ( )
2 2 2
d2.
d1
RC
RC
= − = +

 
(7-15)
Na nízkých kmi oč ech bude hodno a skupino ého zpoždění
( )
02RC=

.
Za edeme-li no mo ané přenoso é unkce zhledem ke kmi oč u
mm
2π =

, kdy
skupino é zpoždění ázo acího článku poklesne na
1/ 2
ůči hodno ě na nízkých
kmi oč ech, zn. Za edeme subs i uci
m
sp=

bude
( )
m
m
1
1
RCs
Ks RCs
−
=
+


Ze s o nání s obecnou přenoso ou unkcí ( iz o . (7-1)) je zřejmé, že
1m
.a RC=

No mo ané skupino é zpoždění ázo acího článku 1.řádu je pak na nízkých kmi oč ech podle
o . (7-12) dáno z ahem
( )
1m
zm
0 2 .
ππ
a RC
T RC= = =

(7-16)
Fázo ací článek p ního řádu, jehož schéma je naznačeno na Ob .7.2a, může bý edy
s úspěchem použi jako ši okopásmo ý posou ač áze. Měníme-li odpo R, je možno nas a i
požado anou elikos posunu í áze ozmezí od 0 do -180°, esp. nas a i skupino é
zpoždění, přičemž ampli uda ýs upního signálu zůs á á beze změny.
Fázo ací článek na Ob .7.2b, [10] ykazuje p o nízké kmi oč y (kdy kapaci o ykazuje
éměř nekonečnou impedanci) přenos -1, přičemž předpokládáme R1 = R2 = R0. P o ysoké
kmi oč y (kdy kapaci o C ykazuje éměř nulo ou impedanci) bude přenos +1. Ob od edy
na áčí ázi signálu od -180° (na nízkých kmi oč ech) do 0° (na ysokých kmi oč ech), přičemž
82
ampli uda ýs upního signálu se nezmění. Skupino é zpoždění lze i zde dos a i změnou
odpo u R.
Fázo ací článek 2. řádu.
Příklad řešení ak i ního ázo acího článku 2. řádu je nak eslen na Ob .7.3. Bude-li p o
zjednodušení řešení p o pasi ní p ky pla i C1 = C2 = C, R4 = R5 = R, R3 = RR2/4R1 bude
přenos článku
( )
22
1 1 2 22
1 1 2
12 .
12
RC p R R C p
Kp RC p R R C p
−+
=− ++
(7-17)
R4
−
+
R5
u2
OZ1
R1−
+
R2
u1
C1
C2
OZ2
R3
Ob . 7.3: Ak i ní ázo ací článek 2. řádu ealizo aný pomocí pásmo é p opus i a
sumačního zesilo ače
Za edeme-li no mo anou komplexní p oměnnou
m
/sp=

, kde
m

je kmi oče , při
k e ém skupino é zpoždění článku poklesne na hodno u
1/ 2
ůči hodno ě na nízkých
kmi oč ech, bude
( )
2 2 2 2
1 m 1 2 m 1 1
2 2 2 2
1 m 1 2 m 1 1
1 2 1
1 2 1
RC s R R C s a s b s
Ks RC s R R C s a s b s
− + − +
= − = −
+ + + +


(7-18)
Z po o nání yplý á
1 1 m
2a RC=

esp.
1 1 m 1 m
/ 2 / 4πR a C a C==

a dále
22
1 1 2 m
b R R C=

,
esp.
2 1 1 m 1 m 1
2 / / πR b a C b aC==

. Je aké zřejmé, že díky zápo nému znaménku o .
(7-18) bude základní ázo é na očení na nízkých kmi oč ech -180° a se z yšujícím se
kmi oč em se bude o o ázo é na očení z yšo a podle z ahu (7-6), j. ýsledné na očení
áze bude
( )
12
1
180 2a c g .
1
a
b

 
= − − −
(7-19)
83
8 Zá ě
P oblema iku il ů jsme é o publikaci zámě ně omezili na základní uspořádání
pasi ních il ů RC a RLC a na zapojení ak i ních il ů RC s ope ačními zesilo ači. Při
zp aco ání publikace jsme yuží ali zejména li e a u u [1] až [38]. Použi é ap oximace
přenoso é unkce jsou é o publikaci omezeny na ři základní ap oximace, a o dle Bessela,
Bu e wo ha a Čebyše a. Podle našich zkušenos í se d i é ě šině aplikací ys ačí s ěmi o
pozna ky.
Jde o základní znalos i p oblema iky ná hu kmi oč o ých il ů, k e é musí mí každý, kdo
chce na ho a ak i ní il y RC s ne adičními ak i ními p ky jako jsou OTA zesilo ače,
ansimpedanční zesilo ače, p oudo é kon ejo y nebo napěťo é kon ejo y. Použi í ěch o
ak i ních p ků ozšiřuje kmi oč o ou použi elnos ak i ních il ů až do 100 MHz. Zájemce
o u o speciální p oblema iku odkazujeme na naše publikace [39] až [149].
V publikaci jsou aké p ezen o ány ná ho é pos upy p o kons ukci s ejnosmě ně přesných
il ů, k e é se použí ají p o kons ukci nepřímých D/A pře odníků, k e é p acují s ozlišením
až 23 bi ů. Další pod obnos i k ěm o speciálním il ům lze dohleda našich publikacích
[31] až [37].
84
9 Li e a u a
[1] TIETZE, U., Ch SCHENK a E. GAMM. Elec onic ci cui s: handbook o design and applica ion. 2nd
ed. New Yo k: Sp inge -Ve lag Be lin Heidelbe g, 2008. ISBN 978-3-540-00429-5.
[2] TIETZE, Ul ich a Ch is oph SCHENK. Elec onic ci cui s: design and applica ions. Be lin: Sp inge -
Ve lag, 1991. ISBN 354050608x.
[3] TIETZE, Ul ich a Ch is oph SCHENK. Halblei e -Schal ungs echnik. 5. Au l. Be lin: Sp inge , 1980.
ISBN 3540098488.
[4] TIETZE, U. a Ch SCHENK. Halblei e -Schal ungs echnik. 2., neu bea b. und wesen lich e w. Au l.
New Yo k: Sp inge -Ve lag, 1971. ISBN 3540052852.
[5] HUELSMAN, Law ence P. Ac i e and passi e analog il e design: an in oduc ion. New Yo k:
McG aw-Hill, c1993. ISBN 0070308608.
[6] SU, Kendall L. Analog il e s. Bos on: Kluwe Academic Publishe s, 1996. ISBN 0412638401.
[7] KULARATNA, Nihal. Elec onic ci cui design: om concep o implemen a ion. Boca Ra on, FL:
CRC P ess, c2008. ISBN 9780849376177.
[8] HÁJEK, Ka el a Jiří SEDLÁČEK. Kmi oč o é il y. P aha: BEN - echnická li e a u a, 2002. ISBN
8073000237.
[9] GRAEME, Je ald G. Designing wi h ope a ional ampli ie s: applica ions al e na i es. New Yo k:
McG aw-Hill, c1977. ISBN 007023891x.
[10] GRAEME, Je ald G. Applica ions o ope a ional ampli ie s: hi d-gene a ion echniques. New Yo k:
McG aw-Hill, [1973]. ISBN 0070238901.
[11] GRAEME, Je ald G., TOBEY, Gene E. and HUELSMAN, Law ence P. Ope a ional ampli ie s: Design
and Applica ions. New Yo k: McG aw-Hill, c1971. ISBN 070649170.
[12] HUIJSING, Johan H. Ope a ional ampli ie s: heo y and design. Bos on, MA: Kluwe Academic
Publishe s, c2001. ISBN 0792372840.
[13] STOUT, Da id a Mil on KAUFAMN. Handbook o ampli ie ci cui design. New Yo k: McG aw-Hill
Book Company, 1976. ISBN 007061797x.
[14] CLAYTON, G. B. Ope a ional ampli ie s. London: Bu e wo hs, 1971. ISBN 0408702028.
[15] DOSTÁL, Jiří. Ope a ional ampli ie s. New Yo k: dis ibu ion o he USA, Else ie /No h-Holland,
1981. ISBN 0444417133.
[16] DOSTÁL, Jiří. Ope ační zesilo ače. P aha: BEN - echnická li e a u a, 2005. ISBN 8073000490.
[17] DOSTÁL, Jiří. Analogo é a hyb idní počí ače. P aha: SNTL – Naklada els í echnické li e a u y,
1971.
[18] DOSTÁL, Jiří. Ope ační zesilo ače. P aha: SNTL – Naklada els í echnické li e a u y, 1981.
[19] VEDRAL, Jose a Jan FISCHER. Elek onické ob ody p o měřicí echniku. P aha: Vyda a els í
ČVUT, 1999. ISBN 8001019500.
[20] NEUMANN, Přemek a Jan UHLÍŘ. Elek onické ob ody a unkční bloky 1. P aha: Vyda a els í
ČVUT, 1999. ISBN 8001019810.
[21] NEUMANN, Přemek a Jan UHLÍŘ. Elek onické ob ody a unkční bloky 2. P aha: Vyda a els í
ČVUT, 2001. ISBN 800102394x.
[22] VRBA, K. Analogo á echnika. B no: Vysoké učení echnické B ně, 2012. s. 1-202. ISBN: 978-80-
214-4458-4.
[23] VRBA, K. Analogo á echnika - nume ická c ičení. B no: Vysoké učení echnické B ně, 2013. s. 1-
82. ISBN: 978-80-214-4727-1.
[24] DOSTÁL, T., FILKA, M., SKLENÁŘ, J., VRBA, K., VRBA, R. Diplomní semináře - elekomunikace.
B no: Vysoké učení echnické, 1989.
[25] PUNČOCHÁŘ, Jose . Ope ační zesilo ače elek onice. 2. yd. P aha: BEN - echnická li e a u a,
1996. ISBN 8090198430.
[26] JOHNS, Da id a Kenne h W MARTIN. Analog in eg a ed ci cui design. New Yo k: John Wiley,
c1997. ISBN 0471144487.
[27] CHEN, Wai-Kai. The ci cui s and il e s handbook. 2nd ed. Boca Ra on, FL: CRC P ess, c2003. ISBN
0849309123.
[28] FRANCO, Se gio. Design wi h ope a ional ampli ie s and analog in eg a ed ci cui s. 3 d ed. New
Yo k: McG aw-Hill, c2002. ISBN 0072320842.
85
[29] HERPY, Miklós a Jean-Claude BERKA. Ak i e RC-Fil e : Ein Leh buch, ak i e Fil e schal ungen zu
en we en. München: F anzis, 1984. ISBN 377237011x.
[30] RAUT, Rabind ana h a M.N.S SWAMI. Mode n analog il e analysis and design: a p ac ical
app oach. Weinheim: Wiley-VCH, 2010. ISBN 9783527407668.
[31] TOBOLA, P., VRBA, K. Nekaskádní syn éza ak i ní dolní p opus i. Slabop oudý obzo , 50, 1989.
[32] TOBOLA, P., VRBA, K. Ná h ak i ní dolní p opus i p o měřicí účely. Sdělo ací echnika, 37, 1989.
[33] VRBA, K. Vs upní ob ody číslico ých spek álních analyzá o ů a měřičů čini ele přenosu. B no: VUT,
1991. Knižnice odbo ných a ědeckých spisů Vysokého učení echnického B ně. ISBN 8021404922.
[34] VRBA K., VRBA R. An ialiasing Lowpass Fil e wi h a T ansimpedance Opamp o ECG Signal
P ocessing. In Biosignal 1994. B no: 1994. p. 150 ( p.)
[35] VRBA K., VRBA R. Low-Noise Bandpass Fil e o ECG Analyze . In In e na ional con e ence
Biosignal. B no: 1992. p. 89 ( p.)
[36] VRBA K., VRBA R. Syn e ic ci cui elemen s o highe o de in a low-noise highpass il e design. In
SYS 1994. Lyon: 1994. p. 303 ( p.)
[37] VRBA K., VRBA R. DC p ecision LP il e employing ansimpedance ope a ional ampli ie . In SYS
1995. B no: 1995. p. 64 ( p.)
[38] HERPY, Miklós. Analoge in eg ie e Schal ungen: (ein Leh buch Schal ungen mi
Ope a ions e s  ken und analogen Mul iplizie e n zu en we en). 2. Au l. Budapes : Akadémiai
Kiadó, 1979. ISBN 9630518317.
[39] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Pseudo-Di e en ial
Elec onically Con ollable Second-O de Band-Pass Fil e Using Modi ied Cu en
Di e encing/Summing Uni s. In P oceedings o he 40 h In e na ional Con e ence on
Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP 2017). 2017. p. 320-324. ISBN: 978-1-5090-3981-4.
[40] KOTON, J.; KUBÁNEK, D.; SLÁDOK, O.; VRBA, K.; SHADRIN, A.; USHAKOV, P. F ac ional-
O de Low- and High-Pass Fil e s Using UVCs. JOURNAL OF CIRCUITS SYSTEMS AND
COMPUTERS, 2017, ol. 26, no. 12, p. 1-22. ISSN: 0218-1266.
[41] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; POLÁK, J.; VRBA, K.; DOSTÁL, T. Reconnec ion-Less Elec onically
Recon igu able Fil e wi h Adjus able Gain Using Vol age Di e encing Cu en Con eyo . Elek onika
I Elek o echnika, 2016, ol. 22, no. 6, p. 39-45. ISSN: 1392-1215.
[42] JEŘÁBEK, J.; DVOŘÁK, J.; ŠOTNER, R.; METIN, B.; VRBA, K. Mul i unc ional cu en -mode il e
wi h dual-pa ame e con ol o he pole equency. ADV ELECTR COMPUT EN, 2016, ol. 16, no. 3, p.
31-36. ISSN: 1582-7445.
[43] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Z-copy Vol age Con olled Cu en Followe
Di e en ial Inpu T ansconduc ance Ampli ie in Con ollable Biquad a ic Band-Pass Fil e .
Elek onika I Elek o echnika, 2016, ol. 22, no. 4, p. 32-36. ISSN: 1392-1215.
[44] HERENCSÁR, N.; LAHIRI, A.; KOTON, J.; VRBA, K. Fi s -O de Mul i unc ion Fil e Design Using
Cu en Ampli ie s. In P oceedings o 2016 39 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and
Signal P ocessing (TSP). Vienna, Aus ia: 2016. p. 279-282. ISBN: 978-1-5090-1287-9.
[45] KOTON, J.; KUBÁNEK, D.; VRBA, K.; SHADRIN, A.; USHAKOV, P. Uni e sal Vol age Con eyo s
in F ac ional-O de Fil e Design. In P oc. 39 In . Con . Telecommunica ions and Signal P ocessing -
TSP 2016. 2016. p. 1-5. ISBN: 978-1-5090-1288-6.
[46] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; HERENCSÁR, N.; PROKOP, R.; LAHIRI, A.; DOSTÁL, T.; VRBA, K.
Fi s -o de ans e sec ions wi h econnec ion-less elec onically econ igu able high-pass, all-pass and
di ec ans e cha ac e . Jou nal o Elec ical Enginee ing, 2016, ol. 67, no. 1, p. 12-20. ISSN: 1335-
3632.
[47] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; HAVLÍKOVÁ, R.; VRBA, K.; VENCLOVSKÝ, M. Vol age-Mode
CFTA-C Fi h-O de Low-Pass Fil e Design and Op imiza ion. In P oc. 9 h In . Con . Elec ical and
Elec onics Enginee ing. Bu sa, Tu ecko: EMO YAYIN, 2015. p. 936-939. ISBN: 978-605-01-0737-1.
[48] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. C. Vol age-Mode All-Pass
Fil e Passi e Scheme Based on Floa ing Nega i e Resis o and G ounded Capaci o . In P oceedings o
he 2015 22nd Eu opean Con e ence on Ci cui Theo y and Design (ECCTD2015). 2015. p. 400-
403. ISBN: 978-1-4799-9876-0.
[49] HERENCSÁR, N.; JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. C. Pole
F equency and Pass-Band Gain Tunable No el Fully-Di e en ial Cu en -Mode All-Pass Fil e . In
P oceedings o he IEEE In e na ional Symposium on Ci cui s and Sys ems (ISCAS). Lisbon, Po ugal:
2015. p. 2668-2671. ISBN: 978-1-4799-8391-9.
[50] ŠOTNER, R.; PETRŽELA, J.; JEŘÁBEK, J.; VRBA, K.; DOSTÁL, T. Solu ions o Reconnec ion-less
OTA-based Biquads wi h Elec onical T ans e Response Recon igu a ion. In P oceedings o 25 h

86
In e na ional Con e ence RADIOELEKTRONIKA 2015. Pa dubice: Uni e si y o Pa dubice, Facul y o
Elec ical Enginee ing and In o ma ics, 2015. p. 40-45. ISBN: 978-1-4799-8117-5.
[51] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; HORNG, J.-W.; VRBA, K.; VENCLOVSKÝ, M. Vol age-Mode
CFTA-C Thi d-O de Ellip ic Low-Pass Fil e Design and Op imiza ion Using Signal Flow G aph
App oach. Elek onika I Elek o echnika, 2015, ol. 21, no. 2, p. 24-29. ISSN: 1392-1215.
[52] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. A Modi ied CFTA (MCFTA) and I s Applica ion o SITO-
Type Cu en -Mode Uni e sal Ac i e-C Fil e . Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2015,
ol. x, no. x, p. 1-9. ISSN: 1555-0281.
[53] KOTON, J.; VRBA, K. Fil ační analogo é ob ody p o in eg o anou ýuku VUT a VŠB-TUO. VUT
B ně. 2014. s. 1-147. ISBN: 978-80-214-5067-7.
[54] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Low-Vol age Fully Cascadable
Resis o less T ansadmi ance-Mode All-Pass Fil e . In P oceedings o he 2014 IEEE 57 h In e na ional
Midwes Symposium on Ci cui s and Sys ems (MWSCAS 2014). College S a ion, Texas, USA: 2014. p.
185-188. ISBN: 978-1-4799-4132-2.
[55] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. New Low-Vol age Low-Powe
VM All-Pass Fil e Using Cu en Followe wi h Non-Uni y Gain. In P oceedings o he 2014 IEEE
57 h In e na ional Midwes Symposium on Ci cui s and Sys ems (MWSCAS 2014). College S a ion,
Texas, USA: 2014. p. 571-574. ISBN: 978-1-4799-4132-2.
[56] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Elec onically Adjus able T iple-Inpu Single-Ou pu Fil e
wi h Vol age Di e encing T ansconduc ance Ampli ie . Re ue Roumaine des Sciences Techniques -
Se ie Élec o echnique e Éne gé ique, 2014, ol. 59, no. 2, p. 163-172. ISSN: 0035-4066.
[57] HERENCSÁR, N.; MINAEI, S.; KOTON, J.; VRBA, K. Vol age-Mode All-Pass Fil e Design Using
Simple CMOS T ansconduc o : Non-Ideal Case S udy. In P oceedings o he 2015 38 h In e na ional
Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP). Be lin, Ge many: 2014. p. 677-
681. ISBN: 978-1-4799-8497-8.
[58] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; METIN, B. Vol age-mode mul i unc ion il e wi h
mu ually independen Q and w0 con ol ea u e using VDDDAs. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS
AND SIGNAL PROCESSING, 2014, ol. 2014, no. 1, p. 1-8. ISSN: 0925-1030.
[59] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; METIN, B. The VDDDA in Mul i unc ion Fil e Wi h
Mu ually Independen Q and w0 Con ol Fea u e. In P oc. 8 h In . Con . Elec ical and Elec onics
Enginee ing - ELECO 2013. Tu ecko: 2013. p. 53-56. ISBN: 978-605-01-0504-9.
[60] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. New Cu en -Mode All-Pass Fil e Wi h
G ounded Capaci o Based on Gain-Va iable CCIII. In P oceedings o he IEEE Region 8 AFRICON
2013. Poin e Aux Pimen s, Mau i ius: IEEE, 2013. p. 559-562. ISBN: 978-1-4673-5943-6.
[61] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Gene al Cu en -Mode Fil e ing S uc u e wi h Con ollable
Cu en Ac i e Elemen s. In P oceedings o he 36 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions
and Signal P ocessing (TSP 2013). 2013. p. 402-406. ISBN: 978-1-4799-0403-7.
[62] HERENCSÁR, N.; MINAEI, S.; KOTON, J.; YUCE, E.; VRBA, K. New Resis o less and
Elec onically Tunable Realiza ion o Dual-Ou pu VM All-Pass Fil e Using VDIBA. ANALOG
INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2013, ol. 74, no. 1, p. 141-154. ISSN: 0925-
1030.
[63] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Adjus able band-pass il e wi h cu en ac i e
elemen s: wo ully-di e en ial and single-ended solu ions. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND
SIGNAL PROCESSING, 2013, ol. 74, no. 1, p. 129-139. ISSN: 0925-1030.
[64] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; LAHIRI, A.; METIN, B.; VRBA, K. A Vol age Gain-Con olled
Modi ied CFOA And I s Applica ion in Elec onically Tunable Fou -Mode All-Pass Fil e Design.
In e na ional Jou nal o Ad ances in Telecommunica ions, Elec o echnics, Signals and Sys ems, 2012,
ol. 1, no. 1, p. 20-25. ISSN: 1805-5443.
[65] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; METIN, B. Fully Cascadable Dual-Mode All-Pass Fil e
Based on Single DBTA. In P oceedings o he 2012 35 h In e na ional Con e ence on
Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP). P ague, Czech Republic: 2012. p. 374-377. ISBN:
978-1-4673-1118-2.
[66] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Compa ison o he SITO Cu en -Mode Uni e sal Fil e s
Using Mul iple-Ou pu Cu en Followe s. In P oceedings o he 35 h In e na ional Con e ence on
Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP 2012). 2012. p. 406-410. ISBN: 978-1-4673-1118-2.
[67] METIN, B.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. A CMOS DCCII wi h a G ounded Capaci o Based
Cascadable All-Pass Fil e Applica ion. Radioenginee ing, 2012, ol. 21, no. 2, p. 718-724. ISSN:
1210-2512.
[68] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A.; METIN, B. No el Dual-Mode Elec onically
Tunable All-Pass Fil e Using Vol age Gain-Con olled MCFOA. In P oceeding o he 13 h
87
In e na ional Con e ence on Op imiza ion o Elec ical and Elec onic Equipmen (OPTIM 2012).
B aso : 2012. p. 1199-1202. ISBN: 978-1-4673-1653-8.
[69] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A.; METIN, B. No el Dual-Mode Elec onically
Tunable All-Pass Fil e Using Vol age Gain-Con olled MCFOA. Book o Abs ac s o he 13 h
In e na ional Con e ence on Op imiza ion o Elec ical and Elec onic Equipmen (OPTIM 2012).
B aso : 2012. p. 219-219. ISBN: 1842-0133.
[70] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; METIN, B.; CICEKOGLU, O. Low-Vol age Two NMOS
IVB-Based Vol age-Mode Fi s -O de All-Pass Fil e Wi h Tuning. In P oceedings o he 11 h
In e na ional Con e ence on De elopmen and Applica ion Sys ems (DAS 2012). Sucea a: 2012. p. 119-
121. ISBN: 978-606-571-815-9.
[71] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J. A No el Cu en -Mode KHN-Equi alen Biquad Using
Th ee CFTAs. Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2012, ol. 7, no. 3, p. 201-208. ISSN:
1555-0281.
[72] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Compa ison o he Fully-Di e en ial and Single-Ended Solu ions o he
F equency Fil e wi h Cu en Followe s and Adjus able Cu en Ampli ie . In ICN 2012 : The Ele en h
In e na ional Con e ence on Ne wo ks. Reunion, F ance: IARIA, 2012. p. 50-54. ISBN: 978-1-61208-
183-0.
[73] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A. Single GCFDITA and G ounded Passi e
Elemen s Based Gene al Topology o Analog Signal P ocessing Applica ions. In P oceedings o he
Ele en h In e na ional Con e ence on Ne wo ks - ICN 2012. 2012. p. 59-62. ISBN: 978-1-61208-183-0.
[74] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I. Vol age-Con olled Cu en -Mode
Mul i unc ion Fil e Employing CFTAs and PCAs. Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices,
2012, ol. 7, no. 1-2, p. 61-69. ISSN: 1555-0281.
[75] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Tunable uni e sal il e wi h cu en ollowe and
ansconduc ance ampli ie s and s udy o pa asi ic in luences. Jou nal o Elec ical Enginee ing, 2011,
ol. 62, no. 6, p. 317-326. ISSN: 1335-3632.
[76] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Compa ison o Fully-Di e en ial and Single-
Ended Cu en -Mode Band-Pass Fil e s wi h Cu en Ac i e Elemen s. In P oceedings o 7 h
In e na ional Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing - ELECO 2011, Volume 2. Bu sa,
Tu key: EMO, 2011. p. 100-104. ISBN: 978-605-01-0208-6.
[77] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. PWL Func ion App oxima ion Ci cui wi h Diodes and Cu en Inpu and
Ou pu . In P oceedings o he 10 h WSEAS In e na ional Con e ence on Sys em Science and Simula ion
in Enginee ing (ICOSSSE 11). Penang, Malaysia: WSEAS P ess, 2011. p. 235-239. ISBN: 978-1-
61804-042-8.
[78] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; ŠEVČÍK, B.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. No el Solu ion o No ch/All-pass
Fil e wi h Special Elec onic Adjus ing o A enua ion in he S op Band. Elek onika I
Elek o echnika, 2011, ol. 17 (2011), no. 7 (113), p. 37-42. ISSN: 1392-1215.
[79] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K.; JELÍNEK, M. Uni e sal Fully-Di e en ial Adjus able Fil e wi h Cu en
Con eyo s and Cu en Ampli ie in Compa ison wi h Single-Ended Solu ion. In 2011 In e na ional
Con e ence on Applied Elec onics. Plzeň: Uni e si y o Wes Bohemia, 2011. p. 189-192. ISBN: 978-
80-7043-987-6.
[80] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Design o Fully-Di e en ial Fil e s wi h n h-o de Syn he ic Elemen s and
Compa ison wi h Single-Ended Solu ion. In P oceedings o he 2011 IEEE 3 d In e na ional
Con e ence on Communica ion So wa e and Ne wo ks (ICCSN 2011). Xi'an, China: IEEE, 2011. p.
437-441. ISBN: 978-1-61284-485-5.
[81] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S. Elec onically Tunable MOSFET-C Vol age-
Mode All-Pass Fil e Based on Uni e sal Vol age Con eyo . In P oceedings o 2011 In e na ional
Con e ence on Compu e and Communica ion De ices (ICCCD 2011). Bali Island, Indonesia: IEEE,
2011. p. 53-56. ISBN: 978-1-4244-9831-4.
[82] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; LATTENBERG, I.; VRBA, K. Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e
Using Single Mul i-Ou pu Cu en Ampli ie . Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2011,
ol. 6, No. 3-4, p. 209-215. ISSN: 1555-0281.
[83] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. KHN-equi alen ol age-mode il e s using uni e sal
ol age con eyo s. AEU - In e na ional Jou nal o Elec onics and Communica ions, 2011, ol. 2011,
no. 2, p. 154-160. ISSN: 1434-8411.
[84] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Cu en -mode unable and adjus able il e wi h digi ally adjus able cu en
ampli ie and ansconduc ance ampli ie s. In P oceedings o he Eu opean Con e ence o Ci cui s
Technology and De ices (ECCTD'10). NAUN, 2010. p. 101-104. ISBN: 978-960-474-250-9.
88
[85] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. Realiza ion o Cu en -Mode KHN-Equi alen Biquad
Using Cu en Followe T ansconduc ance Ampli ie s (CFTAs). IEICE TRANSACTIONS ON
FUNDAMENTALS OF ELECTRONICS COMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCES, 2010,
ol. 93, no. 10, p. 1816-1819. ISSN: 0916-8508.
[86] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A. No el mixed-mode KHN-equi alen il e
using z-copy CFTAs and g ounded capaci o s. In In P oceedings o he 4 h In e na ional Con e ence on
Ci cui s, Sys ems and Signals (CSS'10). WSEAS, 2010. p. 87-90. ISBN: 978-960-474-208-0.
[87] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Fully-Di e en ial Uni e sal Fil e wi h Cu en Ac i e
Elemen s. In In P oceedings o he 4 h In e na ional Con e ence on Ci cui s, Sys ems and Signals
(CSS'10). WSEAS, 2010. p. 83-86. ISBN: 978-960-474-208-0.
[88] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Mul i unc ional adjus able CM biquads based on
dis ibu ed eedback VM p o o ype wi h OTA-s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS,
2010, ol. 97, no. 7, p. 797-809. ISSN: 0020-7217.
[89] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Single-inpu h ee-ou pu a iable Q and w0 il e s using
uni e sal ol age con eyo s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, ol. 97, No.
5, p. 531-538. ISSN: 0020-7217.
[90] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. SIMO ype low-inpu and high-ou pu impedance cu en -mode uni e sal
il e employing h ee uni e sal cu en con eyo s. AEU - In e na ional Jou nal o Elec onics and
Communica ions, 2010, ol. 64, no. 6, p. 588-593. ISSN: 1434-8411.
[91] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I. New ol age-mode uni e sal il e and
sinusoidal oscilla o using only single DBTA. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010,
ol. 97, no. 4, p. 365-379. ISSN: 0020-7217.
[92] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Single-Inpu Th ee-Ou pu Cu en -Mode Fil e Using
Dual-Ou pu Cu en Con eyo s. In In . Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing -
ELECO 2009. Vol. 2. Tu key: EMO Yayinla i, 2009. p. 263-266. ISBN: 978-9944-89-820-1.
[93] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Second-O de Mul i unc ion Fil e wi h Fully Di e en ial Cu en
Followe . In P oceedings o he 6 h In e na ional Con e ence on Elec ical and Elec onics
Enginee ing. 2. Bu sa, Tu key: UCTEA, 2009. p. 252-255. ISBN: 978-9944-89-820-1.
[94] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Elec onically Tunable Cu en -Mode Low-Pass Fil e . In
In . Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing - ELECO 2009. Vol. 2. Tu key: EMO
Yayinla i, 2009. p. 260-262. ISBN: 978-9944-89-820-1.
[95] (h p://www.elek o e ue.cz), 2009, ol. 2009, no. 45, p. 1-4. ISSN: 1213-1539.
[96] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J. A new elec onically unable ol age-mode ac i e-C phase
shi e using UVC and OTA. IEICE Elec onics Exp ess, 2009, ol. 6, no. 17, p. 1212-1218. ISSN:
1349-2543.
[97] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Single UCC-N1B 0520 De ice as a
Modi ied CFOA and I s Applica ion o Vol age- and Cu en -Mode Uni e sal Fil e s. In P oceedings o
he In e na ional Con e ence Applied Elec onics 2009. Pilsen: ZČU Plzni, 2009. p. 127-130. ISBN:
978-80-7043-781-0.
[98] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. Single CCTA-Based Vol age- and Cu en -Mode Uni e sal
Biquad a ic Fil e s Employing Minimum Componen s. In e na ional Jou nal o Compu e and
Elec ical Enginee ing, 2009, ol. 1, no. 3, p. 316-319. ISSN: 1793-8163.
[99] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Tuneable il e using ol age con eyo s and cu en ac i e
elemen s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2009, ol. 96, no. 8, p. 787-794. ISSN:
0020-7217.
[100] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J.; LATTENBERG, I. The concep ion o di e en ial-inpu
bu e ed and ansconduc ance ampli ie (DBTA) and i s applica ion. IEICE Elec onics Exp ess, 2009,
ol. 6, no. 6, p. 329-334. ISSN: 1349-2543.
[101] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Va iable Q and w0 Mul i unc ion Fil e Using Uni e sal
Vol age Con eyo s. In P oceedings o he 2009 RISP In e na ional Wo kshop on Nonlinea Ci cui s
and Signal P ocessing. 2009. p. 597-600. ISBN: 978-4-9902856-1-6.
[102] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Fil e wi h Di e en ial Inpu /Ou pu Cu en Followe s Based on Passi e
RLC P o o ype. In P oceedings o he 2009 RISP In e na ional Wo kshop on Nonlinea Ci cui s and
Signal P ocessing. Japonsko: RISP, 2009. p. 1-4. ISBN: 978-4-9902856-1-6.
[103] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Tunable Uni e sal Fil e Using Mul iple-Ou pu Cu en Followe s. In
P oceedings o he 2009 RISP In e na ional Wo kshop on Nonlinea Ci cui s and Signal P ocessing.
Japonsko: Resea ch Ins i u e o Signal P ocessing Japan, 2009. p. 601-604. ISBN: 978-4-9902856-1-6.
[104] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MIŠUREC, J. A No el Cu en -Mode SIMO Type
Uni e sal Fil e Using CFTAs. Con empo a y Enginee ing Sciences, 2009, ol. 2, no. 2, p. 59-
66. ISSN: 1313-6569.
89
[105] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J.; LATTENBERG, I. Six-Inpu One-Ou pu Cu en -Mode
Uni e sal Fil e Using CMIs and CFTAs. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and
Enginee ing, 2008, ol. 50, no. 1, p. 55-62. ISSN: 1738-6438.
[106] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I.; MIŠUREC, J. Gene alized Design
Me hod o Vol age-Con olled Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e s. In P oceedings o he 16 h
Telecommunica ions Fo um TELFOR 2008. Belg ade, Se bia: 2008. p. 400-403. ISBN: 978-86-7466-
337-0.
[107] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. F equency Fil e s Syn hesis Based on he Signal-Flow
G aphs. In P oceedings o he 16 h Telecommunica ions Fo um TELFOR 2008. Belg ade, Se bia:
2008. p. 404-407. ISBN: 978-86-7466-337-0.
[108] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; VRBA, K. Gene alized Design Me hod o Mul i unc ional F equency
Fil e s. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 49, no. 1, p. 85-
92. ISSN: 1738-6438.
[109] MINARČÍK, M.; VRBA, K. Vol age Con eyo s and I s Applica ions. In e na ional T ansac ions on
Communica ion and Signal P ocessing, 2008, ol. 19, no. 10, p. 1-9. ISSN: 1738-9682.
[110] KOTON, J.; VRBA, K. Designing Pu e Cu en -Mode F equency Fil e Using he MCMI. In e na ional
T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 49, no. 1, p. 197-203. ISSN: 1738-6438.
[111] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. S a e-Va iable Highe -O de Fil e s wi h Di e en ial Inpu /Ou pu Cu en
Followe s. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 49, no. 1, p.
186-196. ISSN: 1738-6438.
[112] MINARČÍK, M.; VRBA, K. Single-Inpu Six-Ou pu Vol age-Mode Fil e Using Uni e sal Vol age
Con eyo s - IF 0,287. IEICE TRANSACTIONS ON FUNDAMENTALS OF ELECTRONICS
COMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCES, 2008, ol. E91-A, no. 8, p. 2035-2037. ISSN:
0916-8508.
[113] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Tunable Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e Using Uni e sal Cu en
Con eyo s. In P oceedings o he Thi d In e na ional Con e ence on Sys ems, ICONS 2008. Cancun,
Mexico: IEEE Compu e Socie y, 2008. p. 1-6. ISBN: 978-0-7695-3105-2.
[114] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. No el Uni e sal Fil e Using Only Two Cu en Ac i e Elemen s. In
P oceedings o he Thi d In e na ional Con e ence on Sys ems, ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE
Compu e Socie y, 2008. p. 285-289. ISBN: 978-0-7695-3105-2.
[115] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Second-O de S a e-Va iable Fil e wi h Cu en Ope a ional Ampli ie s. In
In e na ional Con e ence on Sys ems ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE, Compu e Socie y, 2008. p.
1-5. ISBN: 978-0-7695-3105-2.
[116] LATTENBERG, I.; VRBA, K. Fil e s elimina ing inpu impedance o inpu cu en e minal o high-
speed analog signal p ocessing. In P oc. o The Se en h In e na ional Con e ence on Ne wo king (ICN
2008). Cancun, Mexico: IEEE Compu e socie y, 2008. p. 567-571. ISBN: 978-0-7695-3106-9.
[117] KOTON, J.; VRBA, K. Elec onically Tunable F equency Fil e s Based on T ans o ma ion Cells. In
The Thi d In e na ional Con e ence on Sys ems. Cancun: 2008. p. 260-264. ISBN: 978-0-7695-3105-2.
[118] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Cu en con eyo s-based ci cui s using no el ans o ma ion me hod.
IEICE Elec onics Exp ess, 2007, ol. 4, no. 21, p. 650-656. ISSN: 1349-2543.
[119] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Ci cui T ans o ma ion Me hod om BOTA Ci cui s in o UCC-based
Ci cui s. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2007, ol. 43, no. 1, p. 9-
16. ISSN: 1738-6438.
[120] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. In luence o he Ampli ie Non-Ideali ies on he Cu en -Mode MFB Low-
Pass Fil e . In e na ional T ansac ions on Communica ion and Signal P ocessing, 2007, ol. 10, no.
8, p. 114-121. ISSN: 1738-9682.
[121] KOTON, J.; VRBA, K. Mul i unc ional F equency Fil e Using Fou Cu en Con eyo s CCII. In
P oceedings o he 12 h IFIP In e na ional Con e ence, P ague. 2007. p. 1-9. ISBN: 978-0-387-74158-
1.
[122] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Mul i unc ion Fil e s. In P oceedings o he 12 h IFIP In e na ional
Con e ence on Pe sonal Wi eless Communica ions. 2007. p. 1-12. ISBN: 978-0-387-74158-1.
[123] KOTON, J.; VRBA, K. New Mul i unc ional F equency Fil e Wo king in Cu en -mode. Mobile and
Wi eless Communica ion Ne wo ks, 2007, ol. 2007, no. 245, p. 569-577. ISSN: 1571-5736.
[124] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. RF Pu e Cu en -Mode Fil e s using Cu en Mi o s and In e e s. Mobile
and Wi eless Communica ion Ne wo ks, 2007, ol. 2007, no. 9, p. 545-556. ISSN: 1571-5736.
[125] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Mul i unc ion RF Fil e s Using OTA. Mobile and Wi eless
Communica ion Ne wo ks, 2007, ol. 245, no. 1, p. 557-568. ISSN: 1571-5736.