Analogové kmitočtové filtry

ANALOGOVÉ KMITOČTOVÉ FILTRY Technika analogo ých ob odů p o . Ing. Kamil V ba, CSc. p o . Ing. Ja osla Ko on, Ph.D. B no 2023 2 Au oři: p o . Ing. Kamil V ba, CSc., p o . Ing. Ja osla Ko on, PhD. Náze : Analogo é kmi oč o é il y Vydání: 1. ydání D uh: e-publikace Rok a měsíc ydání: 2023/06 Poče s an: 91 Náklad: e-publikace pod eřejnou licencí CC BY 4.0 Vědní obo : Elek o echnika, elek onika, audioinžený s í, au oma izační echnika, elekomunikace, adioelek onika, sdělo ací echnika Vyda a el: Vysoké učení echnické B ně, Naklada els í VUTIUM ISBN: 978-80-214-6168-0 DOI: 10.13164/book.analog. il e s ANOTACE: Elek onická publikace u ádí pozna ky z oblas i analogo ých kmi oč o ých il ů. Jsou ys ě leny obecné pos upy p o ná h pasi ních a ak i ních dolních a ho ních kmi oč o ých p opus í, pásmo ých kmi oč o ých p opus í či zád ží a ázo acích článků. Konk é ně jsou pak p esen o ány ná hy kmi oč o ých cha ak e is ik il ů s ap oximací přenoso é unkce dle Bu e wo ha, Bessela a Čebyše a. Jsou aké u edeny speciální nekaskádní s uk u y s ejnosmě ně přesných il ů yššího řádu hodných p o aplikace nepřímých D/A pře odnících. Klíčo á slo a: Ak i ní il , ARC il , kmi oč o ý il , analogo ý il , il y s ope ačními zesilo ači, pasi ní il , il RC, il RCL, kaskádní il , nekaskádní il , il y yššího řádu, ap oximace přenoso é unkce, Bu e wo h, Bessel, Čebyše , dolní p opus , ho ní p opus , pásmo á p opus , pásmo á zád ž, ázo ací článek, šep opus ný il , s ejnosmě ně přesný il , il p o nepřímý D/A pře odník, il s jednoduchou smyčkou zpě né azby, il s oz ě enou smyčkou zpě né azby, il se zesilo ačem s konečným zesílením, KHN il . 3 Ú od 1 TYPY KMITOČTOVÝCH FILTRŮ .............................................................................. 5 2 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI A ZAPOJENÍ FILTRŮ ................................................... 8 2.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI FILTRŮ ....................................................................................... 8 2.2 PASIVNÍ FILTRY................................................................................................................ 9 2.3 AKTIVNÍ FILTRY ............................................................................................................. 10 2.3.1 Ak i ní il s jednoduchou smyčkou zpě né azby ..................................... 10 2.3.2 Ak i ní il s oz ě enou smyčkou zpě né azby ...................................... 13 2.3.3 Ak i ní il y se zesilo ači s konečným zesílením ....................................... 13 2.3.4 Ak i ní il y s několika zesilo ači ............................................................. 14 2.4 AKTIVNÍ FILTRY VYŠŠÍHO ŘÁDU .................................................................................... 15 2.4.1 Kaskádní ak i ní il y yššího řádu .......................................................... 15 2.4.2 Nekaskádní ak i ní il y yššího řádu ....................................................... 17 3 DOLNÍ PROPUSTI ......................................................................................................... 19 3.1 PASIVNÍ DOLNÍ PROPUSTI ............................................................................................... 19 3.1.1 Pasi ní dolní p opus RC 1. řádu .............................................................. 19 3.1.2 Pasi ní dolní p opus RLC 2. řádu ............................................................ 23 3.2 APROXIMACE PŘENOSOVÉ FUNKCE DOLNÍ PROPUSTI ...................................................... 26 3.2.1 Ap oximace přenoso é unkce dle Bu e wo ha ....................................... 28 3.2.2 Ap oximace přenoso é unkce dle Bessela ................................................ 32 3.2.3 Ap oximace přenoso é unkce dle Čebyše a ............................................. 34 3.2.4 Další ypy ap oximací přenoso é unkce ................................................... 39 3.3 AKTIVNÍ DOLNÍ PROPUSTI .............................................................................................. 39 3.3.1 Dolní p opus i 1. řádu ............................................................................... 39 3.3.2 Dolní p opus i 2. řádu ............................................................................... 41 3.3.3 Kaskádní ealizace dolních p opus í yšších řádů .................................... 46 3.3.4 Nekaskádní ealizace dolních p opus í yšších řádů ................................. 48 4 HORNÍ PROPUSTI ........................................................................................................ 56 4.1 PASIVNÍ HORNÍ PROPUSTI ............................................................................................... 56 4.2 TRANSFORMACE DOLNÍ PROPUSTI NA HORNÍ PROPUST ................................................... 60 4.3 AKTIVNÍ HORNÍ PROPUSTI .............................................................................................. 61 4.3.1 Ho ní p opus i 1. řádu ............................................................................... 61 4.3.2 Ho ní p opus i 2. řádu ............................................................................... 62 5 PÁSMOVÉ PROPUSTI .................................................................................................. 64 5.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PÁSMOVÝCH PROPUSTÍ ............................................................. 64 5.2 PASIVNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI .......................................................................................... 66 5.3 AKTIVNÍ PÁSMOVÉ PROPUSTI ......................................................................................... 69 6 PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ..................................................................................................... 71 6.1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI PÁSMOVÝCH ZÁDRŽÍ ................................................................ 71 6.2 PASIVNÍ PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ............................................................................................ 72 6.3 AKTIVNÍ PÁSMOVÉ ZÁDRŽE ........................................................................................... 74 7 FÁZOVACÍ ČLÁNKY ................................................................................................... 77 7.1 PŘENOSOVÁ FUNKCE FÁZOVACÍHO ČLÁNKU .................................................................. 77 4 7.2 AKTIVNÍ FÁZOVACÍ ČLÁNKY ......................................................................................... 80 8 ZÁVĚR.............................................................................................................................. 83 9 LITERATURA ................................................................................................................. 84 5 Ú od Velká ě šina in o mací je zp aco á ána digi ální podobě, ale eálný s ě , k e ý nás obklopuje, je analogo ý, a p o o je nu né spoji é signály před las ním pře odem do digi ální o my nejp e hodně up a i (např. zesíli , nebo kmi oč o ě omezi ). Také p o po řeby zpě né ep odukce se digi ální signály musí pře ádě zpě do analogo é podoby a případě nu nos i je aké následně up a i yuži ím hodných analogo ých ob odů. P o před-zp aco ání (P e-P ocessing) nebo po-zp aco ání (Pos -P ocessing) analogo ých signálů se yuží ají přede ším kmi oč o é il y. Jejich úkolem je ýbě u či ého kmi oč o ého pásma zp aco á aného signálu. Např. dolní p opus se použí á k omezení kmi oč o ého spek a při digi alizaci analogo ého signálu p o zajiš ění podmínky zo ko ání a opě při zpě ném pře odu k obno ení pů odního signálu. S ejnosmě ně přesné dolní p opus i se pak uží ají jako kons ukční bloky nepřímých číslico ě analogo ých pře odníků, nebo jako an ialiasigo é il y. Pásmo é p opus i se použí ají přijímačích p o ýbě kmi oč o ého pásma požado aného ysílače. Pásmo é zád že se pak yuží ají např. p o po lačení uši ého síťo ého kmi oč u. Kmi oč o é il y pa ří do skupiny lineá ních ob odů, k e é požado aným způsobem mění kmi oč o é spek um p ocházejícího signálu. Něk e é kmi oč o é složky signálu jsou p opuš ěny bez či s minimálním ú lumem (p opus né pásmo il u) a jiné kmi oč o é složky jsou po lačeny (pásmo po lačení, pásmo ú lumu či nep opus né pásmo il u). Z láš ním případem kmi oč o ého il u je z . ázo ací článek, k e ý je cha ak e is ický ím, že modul přenoso é cha ak e is iky je kons an ní, kdy edy nedochází ke změně ampli udy jedno li ých ha monických složek zp aco á aného signálu, ale dochází jen k na očení jejich áze, esp. k časo ému zpoždění signálu. 1 Typy kmi oč o ých il ů Rozdělení kmi oč o ých il ů lze p o és dle ůzných hledisek, přičemž p imá ně se dělí dle způsobu zp aco ání kmi oč o ého spek a: • dolní p opus (DP, LP – Low-pass) – p opouš í nižší kmi oč y než mezní m, yšší po lačuje (Ob . 1.1a), • ho ní p opus (HP, HP – High-pass) – p opouš í yšší kmi oč y než mezní m, nižší po lačuje (Ob . 1.1b), • pásmo á p opus (PP, BP – Band-pass) – p opouš í yb anou čás spek a mezi dolním mezím m1 a ho ním mezním kmi oč em m2, zbý ající po lačuje (Ob . 1.1c), • pásmo á zád ž (PZ, BS – Band-s op) – po lačuje yb anou čás spek a mezi dolním mezním m1 a ho ním mezním kmi oč em m2, zbý ající p opouš í (Ob . 1.1d), • ázo ací článek (FC, AP – All-pass) – modulo á přenoso á cha ak e is ika je celém kmi oč o ém pásmu kons an ní, ale ázo á je kmi oč o ě zá islá. Z láš ním ypem jsou ko ekční il y, k e é slouží p o úp a u kmi oč o é cha ak e is iky zp aco á aného signálu ak, aby celko ý přenos sous a y byl kons an ní, nebo naopak, aby se z ý aznily či po lačily něk e é složky kmi oč u. Kmi oč o é il y lze aké děli dle způsobu jejich ealizace do d ou základních skupin: 6 • analogo é il y, k e é se dále člení na: ▪ pasi ní il y RC a RLC ▪ ak i ní il y RC, esp. il y RC s ak i ními p ky, ▪ ak i ní il y SC, esp. se spínanými kapaci o y, • digi ální il y. a K 0 m K K( ) c 0 m1 m2 B K( ) b K 0 m K K( ) d 0 m1 m2 B K( ) Ob . 1.1: Ideální (mod é) a sku ečné (če ené) modulo é cha ak e is iky základních ypů kmi oč o ých il ů: (a) dolní p opus (DP), (b) ho ní p opus (HP), (c) pásmo á p opus (PP), (d) pásmo á zád ž (PZ) Využi í číslico ých il ů má s ůj ýznam okamžiku, kdy použijeme číslico é zp aco ání signálů a použi ý digi ální signálo ý p oces disponuje dos a ečným ýpoče ním ýkonem. V případě nu nos i předzp aco ání signálu před las ní digi alizací či p o zp aco ání ysoko ek enčních signálů, kdy ychlos zp aco ání číslico é čás i by nebyla dos a ečná, či p o zp aco ání slabých a zašuměných signálů je nu né přis oupi k yuži í analogo ých il ů. V é o oblas i je možné yuží p op aco aná a o ěřená řešení podobě in eg o aných il ů či případě speci ických požada ků je nu né na hnou las ní řešení. Podle požado aných las nos í kladených na ako ý analogo ý il je pak možné il y ozděli do několika skupin, podle použi ých s a ebních p ků: • Pasi ní il y RC – yznačují se hodným p opojením ezis o ů (R) a kapaci o ů (C), ynikají s ou jednoduchos í a nízkou cenou. P ak ické yuži í mají jen jednoduché s uk u y il ů 1. a 2. řádů s nízkým čini elem jakos i Q, k e ý je ždy nižší než 0,5. • Pasi ní il y RLC – yuží ají ezis o ů, kapaci o ů a induk o ů (L) a pomocí nich je možné ealizo a obecně jakýkoli yp kmi oč o ého il u. Jsou spíše hodné p o zp aco ání signálů na yšších kmi oč ech, p o ože ealizace induk o ů na nízkých kmi oč ech je dos i nee ek i ní, p o ože ako é induk o y jsou příliš ozmě né, nákladné a z á o é s malým čini elem jakos i. Přes o se lze s nimi se ka , např. audio echnice při ealizaci pasi ních ýhybek u čených p o ep oduk o o é sous a y. • Ak i ní il y ARC – umožňují ealizo a jakýkoli yp il u s ejně jako il y RLC s yuži ím hodného ak i ního p ku, ezis o ů a kapaci o ů a o bez nu nos i použí 7 induk o y, iz např [1] až [5], popř. [22] a [24]. Vzhledem k omezeným kmi oč o ým las nos em ak i ních p ků se nasazení ak o ealizo aných kmi oč o ých il ů nejčas ěji omezuje na kmi oč o é pásmo mHz až s o ky kHz, ale ý ojem oblas i mik oelek oniky a ná hem no ých ypů ak i ních p ků se ho ní h anice použi elnos i ěch o kmi oč o ých il ů posunula i na desí ky až s o ky MHz. • Ak i ní il y ASC – jsou ob ody yuží ající p incipu z . spínaných kapaci o ů. Jde o modi ikaci ARC il ů, kdy klasické ezis o y jsou nah azeny přepínanými kapaci o y, iz např. [24], [26], [20], [30]. Hla ní ýhodou je možnos pomě ně snadného přeladění il ů změnou přepínací ek ence ak o acích pulsů a pomě ně snadné monoli ické in eg ace. Spínací kmi oče musí bý 50x až 100x yšší než mezní kmi oče il u, což do u či é mí y minimalizuje možný aliasingo ý e ek způsobený pe iodizací spek a zp aco á aného signálu. Na d uhou s anu a o okolnos omezuje šířku pásma zp aco á aných signálů. Velkou ýhodou ARC il ů je sku ečnos , že se u ěch o ob odů dá dosáhnou menší ci li os i na změnu pa ame ů použi ých kapaci o ů. • Elek omechanické il y – ycházejí z p incipu pře odu elek ického signálu na mechanický. Podle ypu mechanického ezoná o u lze y o il y děli na ůzné skupiny, kdy nejpouží anější jsou piezoke amické il y. Z láš ním ypem je k ys alo ý il , k e ý lze modelo a složeným ezonančním ob odem s ysokým čini elem jakos i a s ysokou s abili ou ezonančního kmi oč u. Nejčas ěji se yuží á e ysoce s abilních oscilá o ech, oblas i ealizace kmi oč o ých il ů se použí ají p o ná h úzkopásmo ých p opus í. • Fil y s po cho ou akus ickou lnou (PAV) – jsou založeny na p incipu yzařo ání, šíření a ázo ého, kmi oč o ě nezá islého skládání po cho ých akus ických ln. V po o nání s elek omechanickými il y mohou ealizo a ši okopásmo ější ob ody. • Mik o lnné il y – jsou e s é pods a ě pasi ní RLC il y, kdy šak p o použí anou kmi oč o ou oblas (nad 300 MHz) nelze u ažo a pasi ní p ky se sous ředěnými pa ame y, ale je nu né p aco a p ky s ozp os řenými pa ame y. Možnos nasazení ýše zmíněných ypů analogo ých kmi oč o ých il ů s ohledem na kmi oč o é pásmo použi elnos i je naznačeno přehledně na Ob . 1.2. iz [8]. [Hz] 10-1 1001011021031041051061071081091010 Fil y: RC RLC ARC ASC PAV Mik o lnné Ob . 1.2: Kmi oč o á pásma použi elnos i ůzných ypů analogo ých kmi oč o ých il ů V é o publikaci se omezíme jen na základní in o mace o pasi ních il ech RC a RLC a o ak i ních il ech RC s ope ačními zesilo ači. Při zp aco ání publikace jsme yuží ali zejména li e a u u [1] až [38]. 8 P oblema iku il ů jsme é o publikaci zámě ně omezili na základní uspořádání pasi ních il ů RC a RLC a na zapojení ak i ních il ů RC s ope ačními zesilo ači. Použi é ap oximace přenoso é unkce jsou ak éž omezeny na ři základní ap oximace, a o dle Bessela, Bu e wo ha a Čebyše a. Podle našich zkušenos í se d i é ě šině aplikací ys ačí s ěmi o pozna ky. U edené základní znalos i p oblema iky ná hu kmi oč o ých il ů musí mí každý, kdo chce na ho a ak i ní il y s ne adičními ak i ními p ky jako jsou OTA zesilo ače, ansimpedanční zesilo ače, p oudo é kon ejo y nebo napěťo é kon ejo y. Použi í ěch o ak i ních p ků ozšiřuje kmi oč o ou použi elnos ak i ních il ů až do 100 MHz. Zájemce o u o speciální p oblema iku odkazujeme na naše publikace [39] až [149]. 2 Základní las nos i a zapojení il ů 2.1 Základní las nos i il ů Kmi oč o ý il lze chápa jako lineá ní d ojb an (Ob . 2.1), k e ý z kmi oč o ého spek a s upního signálu yčlení požado anou čás spek a. Obecně je přenos il u de ino án jako pomě spek álních unkcí ýs upního a s upního signálu získaných Fou ie o ou ans o mací. P o ože jde o lineá ní ob od, můžeme p o po řeby zjednodušeného popisu u ažo a na s upu pouze ha monický signál ( ) 1 m1 1 ( ) cos .u U =+  (2-1) kmi oč o ý il u2 u1 Ob . 2.1: Kmi oč o ý il jako d ojb an Na ýs upu il u pak bude ýs upní napě í ( ) 2 m2 2 ( ) cos .u U =+  (2-2) Je zřejmé, že s upní ha monický signál y olá na ýs upu il u opě ha monický signál se s ejným úhlo ým kmi oč em ω, ale s jinou ampli udou Um2. V důsledku časo ého zpoždění signálu p ocházejícího il em dojde na íc k posunu áze signálu a ýs upní signál p o o bude mí jinou počá eční ázi φ2. Při řešení il ů se ob ykle mís o časo ých p ůběhů p acuje s komplexními eličinami ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 jj 1 1 2 2 e , e .U U U U==         (2-3) Přenoso é las nos i kmi oč o ého il u jsou pak cha ak e izo ány komplexní přenoso ou unkcí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j 2 1 Re jIm e . U K K K K U = = + =        (2-4) Kmi oč o é las nos i il ů se ob ykle popisují pomocí modulo é kmi oč o é cha ak e is iky 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 mod Re ImK K K K= = +     (2-5) a a gumen o é ( ázo é) kmi oč o é cha ak e is iky ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 Im a g a c g . Re K KK = − = =          (2-6) Modul přenosu K(ω) je obecně bez ozmě né číslo. Čas ěji se šak yjadřuje jako zisk decibelech ( ) ( ) 20log .zK=  (2-7) Modulo á cha ak e is ika K(ω), esp. z(ω) společně s ázo ou cha ak e is ikou φ(ω) se označují jako Bodeho diag am. P o ože p o úhlo ý kmi oče pla í 2π =  , můžeme se se ka aké se zápisem přenoso é unkce zá islos i na kmi oč u ()K , nebo na komplexní p oměnné ()Kp , kde Laplaceů ope á o jp=+  (přičemž p o případ kmi oč o ých il ů 0  = ). Obecně lze přenoso ou unkci il u yjádři jako acionálně lomenou unkci komplexní p oměnné (podíl d ou polynomů). P o zápis přenoso é unkce il u se ob ykle uží á zápis ( ) ( ) ( ) 2 212 2 1 1 2 1 ... , 1 ... + + + + == + + + + m mn n Up d p d p d p Kp U p c p c p c p (2-8) kde řád polynomu či a ele m je menší nebo o en řádu jmeno a ele n, j. m ≤ n. Nej yšší exponen n komplexní p oměnné p polynomu jmeno a ele udá á řád il u. V případě dolní p opus i s jedno ko ým přenosem bude polynom či a eli o en jedné. 2.2 Pasi ní il y Základním ob odem řady elemen á ních il ů 1. a 2. řádu je ě šinou impedanční dělič napě í ( iz Ob . 2.2a), u k e ého je alespoň jedna z impedancí kmi oč o ě zá islá. Přenoso á unkce ako ého o neza íženého impedančního děliče ( ) ( ) ( ) 22 1 1 2 , Up Z Kp U p Z Z == + (2-9) kde ( ) ( ) 12 a U p U p jsou Laplaceo y ob azy s upního napě í u1( ) a ýs upního napě í u2( ). Připomeňme, že impedance ezis o u R ZR= , impedance kapaci o u C1/ 1/ jZ pC C==  a impedance induk o u LjZ pL L==  . 16 pasi ních ob odo ých p ků jsou nižší. Dílčí ak i ní il y se dají ob ykle s ýhodou na hnou ak, aby se dílčí il y na zájem éměř neo li ňo aly. Nas a ení dílčích il ů je pak možné p o és zcela samos a ně a nezá isle a celý il po ses a ení z předem seřízených dílčích il ů není řeba dos a o a . Výsledná přenoso á unkce kaskádně řazených dílčích il ů bude mí přenos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 , I Ii i K p K p K p K p K p = =    =  (2-16) kde ( ) i Kp jsou dílčí přenoso é unkce nej ýše 2. řádu ( ýjimečně 3. řádu). Aby se sousedící dílčí il y neo li ňo aly, ob ykle dos ačuje, aby s upní impedance následujícího il u byla alespoň 100 - k á ě ší než ýs upní impedance il u předchozího. Pokud se použijí zapojení dílčích ak i ních il ů p esen o aná předchozí kapi ole, bude en o požada ek ždy splněn, p o ože u edená zapojení se díky použi é zápo né zpě né azbě cho ají éměř jako ideální zd oj napě í a připojení dalšího dílčího il u jejich přenoso ou unkci neo li ní. Ten o požada ek se při kaskádním řazení pasi ních il ů dá splni jen ob ížně, dílčí il y se na zájem o li ňují, a p o o ná h pasi ního il u yššího řádu je ob ykle ná očnější. u2 u1 ( ) 1 Kp ( ) 2 Kp u2 ( ) I Kp . . . . . . Ob . 2.7: Kaskádní řazení il ů Příklad řešení ak i ní dolní p opus i 6. řádu je u eden na Ob . 2.8. Dolní p opus je ořena kaskádním řazením ří dolních p opus í d uhého řádu a její celko á přenoso á unkce je dána součinem dílčích přenoso ých unkcí ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ,=  K p K p K p K p (2-17) kde příkladně přenoso á unkce p ní dolní p opus i 2. řádu ( ) ( ) 12 1 2 2 1 2 1 2 1 1 KR R C R R CC =+ + + ppp . (2-18) u2 OZ1 R1R2 u1 + − C1 C2 OZ2 R3R4+ − C3 C4 OZ3 R5R6+ − C5 C6 Ob . 2.8: Příklad kaskádního řešení ak i ní dolní p opus i 6. řádu Sallen Key 17 P oblema ika syn ézy il ů je elice obsáhlá, a kdybychom ji měli p ob a plné šíři a ze šech hledisek, po řebo ali bychom na o samos a nou (nepříliš enkou) knihu. V ámci ěch o sk ip se p o o zaměříme jen na několik hla ních zásad, k e ými se musíme řídi při ná hu il ů a při jejich ealizaci. 2.4.2 Nekaskádní ak i ní il y yššího řádu P o ě šinu aplikací kaskádní syn éza ak i ních il ů yho uje a umožňuje dosáhnou pomě ně jednoduchými p os ředky nízké ci li os i přenoso é unkce na změny pa ame ů ob odo ých p ků. Pokud šak po řebujeme zařadi ak o na ženou dolní p opus na s up přesného analogo ě číslico ého pře odníku nebo na ýs up nepřímého číslico ě analogo ého pře odníku s ysokou ozlišo ací schopnos í, budou zp a idla na zá adu s upní zby ko á napě í (o se ) použi ých ope ačních zesilo ačů, a zejména pak eplo ní a časo á nes abili a ěch o zby ko ých napě í (d i ). Ne ýhody kaskádního řešení il ů budeme ilus o a na dolní p opus i 6. řádu na Ob . 2.8. Na ýs upu každého ope ačního zesilo ače bude ss chybo é napě í způsobené o se em zesilo ače. Ta o chybo á napě í se dos anou na ýs up celého il u, p o ože zesilo ače jsou s ejnosmě ně p o ázány. Použi í ako ého il u p o měřicí účely není p o o hodné. P oblém dolní p opus i s přesným přenosem s ejnosmě né složky je samozřejmě řeši elný pasi ní ob odo ou s uk u ou, k e á šak přináší šeobecně známé p oblémy s ealizací induk o ů p o nízké kmi oč y. Kaskádní řazení pasi ních RC článků pak neposky uje dos a ečné možnos i p o hodné ozložení pólů přenoso é unkce komplexní o ině, čímž jsou o šem omezeny možnos i olby s anda dních ap oximací přenoso é unkce, esp. požado aného p ůběhu přechodo é cha ak e is iky. Při ná hu ak i ní dolní p opus i p o měřicí účely je p o o někdy ýhodné yuží nekaskádní uspořádání il u, kdy jsou ýs upy ope ačních zesilo ačů s ejnosmě ně odděleny od ces y přenášeného signálu. Nekaskádní s uk u y ykazují samozřejmě celou řadu ne ýhod. Vykazují značnou ci li os přenoso é unkce na ole anci pasi ních ob odo ých p ků. Ne ýhodou aké je jejich složi é u ádění do chodu či seřizo ání, p o ože nekaskádní il nelze ozděli na dílčí il y, jak je omu u kaskádního řešení. V něk e ých případech šak ýhody nekaskádního řešení pře áží nad jeho ne ýhodami. Použí ají se zejména jako ss přesné dolní p opus i nepřímých číslico ě analogo ých pře odnících s ozlišením íce než 20 bi ů p o číslico ě řízené kalib ační napěťo é no mály nebo jako ss přesné an ialiasingo é il y na s upech spek álních analyzá o ů. V dalším se p o o omezíme pouze na nekaskádní s uk u y ss přesných dolních p opus í. Obecné uspořádání nekaskádní s uk u y ss přesné dolní p opus i n- ého řádu je u edeno na Ob .2.9 [31], [32]. Zakončení s uk u y se liší podle oho, zda je il sudého řádu (Ob .2.9a) nebo lichého řádu (Ob .2.9b). Komplexní přenoso á unkce il u je popsána z ahem ( ) 12 0 1 0 2 0 0 1, 1 ... ... =+ + + + + + in in Kp R W p R W p R W p R W p (2-19) kde členy , 1,2,...., ,= i W i n přenoso é unkce u čené pa ame y použi ých pasi ních ob odo ých p ků lze p o il y p ního až desá ého řádu přehledně yhleda Tab.2.4. 18 Je zapo řebí upozo ni , že zá ěž il u může o li ni jeho přenoso é las nos i. P o o je při p ak ické ealizaci za il zařazen oddělo ací zesilo ač s ysokým s upním odpo em anebo je zá ěž ýh adně odpo o á a je započ ena do ýsledné přenoso é unkce. Velkou ýhodou é o nekaskádní s uk u y je, že ope ační zesilo ače jsou od ss signálu odděleny kapaci o y a jejich o se či d i se na ýs upním il u z p incipu nemůže upla ni . Další ýhodou e s o nání s kaskádními s uk u ami il ů je, že šum použi ých zesilo ačů se upla ňuje ím méně, čím je ope ační zesilo ač íce zdálen od ces y ss signálu. OZn/2 − + Rn−1 a Cn−1CnOZ(n−1)/2 − + Rn−2 b n sudé n liché Rn−1 Cn Cn−2Cn−1 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 u2 uZ 0  u2 uZ 0  Ob . 2.9: Nekaskádní s uk u a ak i ní dolní p opus n- ého řádu: a) sudého řádu, b) lichého řádu 19 Tab. 2.4: Členy přenoso é unkce W1, W2, . . . Wn p o dolní p opus i řádu n = 2 až 10 i p o i < n p o i = n 1 ( ) 12 +CC − 2 ( ) 1 2 1 2 +CC R R 1 2 1 C C R 3 ( ) 1 2 3 4 1 2 +CC C C R R 1 2 3 1 2 CC C R R 4 ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 +CC C C R R R R 1 2 3 4 1 2 3 CC C C R R R 5 ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 +CC C C C C R R R R 1 2 3 4 5 1 2 3 4 CC C C C R R R R 6 ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 +CC C C C C R R R R R R 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 CC C C C C R R R R R 7 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 +CC C C C C C C R R R R R R 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 CC C C C C C R R R R R R 8 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 CC C C C C C C R R R R R R R R+ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 CC C C C C C C R R R R R R R 9 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 CC C C C C C C C C R R R R R R R R+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 CC C C C C C C C R R R R R R R R 10 − 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CC C C C C C C C C R R R R R R R R R 3 Dolní p opus i 3.1 Pasi ní dolní p opus i 3.1.1 Pasi ní dolní p opus RC 1. řádu Jak již bylo u edeno, dolní p opus je cha ak e is ická ím, že kmi oč o é složky nižší, než mezní kmi oče jsou il em p opouš ěny s minimálním ú lumem a yšší kmi oč o é složky jsou po lačeny. Nejjednodušší dolní p opus je možné ealizo a s uk u ou 1. řádu, kdy se il skládá z ezis o u R a jednoho akumulačního p ku (L nebo C). Čas ěji se použí á kapaci o , p o ože jeho ý oba je jednodušší a méně ceno ě ná očná. Zk áceně ako é il y pak označujeme jako RC il y. Na Ob . 3.1a je u edeno zapojení dolní p opus i RC 1. řádu, jejíž napěťo ý přenos lze s přihlédnu ím k o . (2-9) yjádři z ahy ( ) ( ) ( ) 2C 1 R C 1/ 1 , 1/ 1 Up ZpC Kp U p Z Z R pC pRC = = = = + + + (3-1) esp. ( ) ( ) ( ) 2 1 1/ j 1 . 1/ j 1 j UC KU R C RC = = = ++     (3-2) 20 b c 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -45 -90 φ [deg] φ(Ω) 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] -20 dB/dek 3 dB z(Ω) a C R u1 u2 Ob . 3.1: a) Pasi ní dolní p opus RC 1. řádu a její b) modulo á a c) a gumen o á cha ak e is ika Komplexní přenoso ou unkci (3-2) ozložíme na eálnou a imaginá ní čás ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 RC RC KRC RC R C R C − = = − + − + +      (3-3) a od ud již snadno u číme eálnou a imaginá ní složku přenoso é unkce ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 Re , Im . 11 RC KK R C R C = = − ++    (3-4) Modulo á cha ak e is ika dolní p opus i 1. řádu pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 mod Re Im 1 K K K K RC = = + = +      (3-5) a a gumen o á cha ak e is ika ( ) ( ) ( ) ( ) Re a g a c an a c an . Im K K RC K = = = −       (3-6) P o g a ické znázo nění z . Bodeo ě diag amu se modul přenoso é unkce yjadřuje jako zisk dle (2-7), zn. 21 ( ) ( ) 2 2 2 1 20log 20log . 1 zK RC == +   (3-7) Ze z ahu (3-7) yplý á, že na elmi nízkých kmi oč ech se modul přenoso é unkce asymp o icky blíží hodno ě 0 dB. Naopak na elmi ysokých kmi oč ech se modul řídí podle z ahu ( ) ( ) 20log 1/z RC  a je edy nepřímo úmě ný kmi oč u. Pla í edy, že z ě šením kmi oč u dese k á se hodno a modulu sníží o 20 dB. Modul přenoso é unkce klesá na ysokých kmi oč ech ( nep opus ném pásmu) o 20 dB s každou dekádou kmi oč u. Mezní kmi oče il u ωm je de ino án jako kmi oče , při k e ém se modul přenoso é unkce sníží na hodno u 1/ 2 , j. o 3 dB. Ten o mezní kmi oče můžeme u či s yuži ím z ahu (3-5) 2 2 2 m 11 . 2 1RC  = + (3-8) Řešením é o o nice lze u či mezní kmi oče ωm dolní p opus i 1. řádu m m m 11 2π , esp. . 2π RC RC = = =  (3-9) Fázo é na očení ýs upního signálu u2( ) ůči s upnímu signálu u1( ) je při om o kmi oč u podle o nice (3-6) p á ě – 45°. Z hlediska obecnějšího přís upu k ná hu il ů je hodné komplexní p oměnnou p o . (3-1) dále no mo a zhledem k meznímu kmi oč u ωm, j.: m , p s=  (3-10) kde s se označuje jako no mo aná komplexní p oměnná, k e ou lze aké yjádři jako mm jjj, s   = = = (3-11) P o ože mezní kmi oče ωm dolní p opus i RC z Ob . 3.1a je u čen z ahem (3-9), bude s pRC= a přenoso á unkce dolní p opus i RC 1. řádu yjádřená na zá islos i no mo ané komplexní p oměnné s bude mí a ( ) ( ) 11 , esp. j . 1 1 j K s K s  == ++ (3-12) No mo aná modulo á a a gumen o á cha ak e is ika bude popsána z ahy ( ) ( ) 2 1, a c g . 1 K      = = − + (3-13) Zá islos modulu a a gumen u přenoso é unkce kmi oč o ého il u 1. řádu na no mo aném kmi oč u jsou u edeny na Ob . 3.1b,c. Z Ob . 3.1b je idě , že při jedno ko é hodno ě no mo aného úhlo ého kmi oč u Ω dochází k poklesu modulu o 3 dB z hodno y pásmu p opus nos i ( om o případě 0 dB). S ejně ak z Ob . 3.1c je idě , že při hodno ě 22 no mo aného úhlo ého kmi oč u Ω = 1, edy při kmi oč u s upního signálu odpo ídajícího meznímu kmi oč u ωm dochází k ázo ému posunu p á ě – 45°. a U 0 u1 u1( ) U 0 u2 u2( ) τ = RC b U 0 u1( ) U 0 u2( ) τ = RC u1 u2 Ob . 3.2: Odez a dolní p opus i na jedno ko ý skok (přechodo á cha ak e is ika) P ozkoumáme ješ ě cho ání dolní p opus i 1. řádu časo é oblas i. Při edeme-li na s up skok napě í z nuly na napě í U (Ob . 3.2a) nebo naopak z napě í U na nulu (Ob . 3.2b), bude se p ém případě kapaci o nabíje a ýs upní napě í se bude měni podle z ahu ( ) ( ) / 21e RC u U − =− . V d uhém případě se kapaci o bude exponenciálně ybíje podle z ahu ( ) / 2e RC u U − = . Vlas nos i dolní p opus i časo é oblas i cha ak e izuje časo á kons an a τ = RC, k e á udá á dobu, za k e ou odez a na jedno ko ý skok dosáhne hodno y odlišující se od us áleného s a u o 1/e 1/ 2,718 0,37== , j. o 37 %. Dobu us álení ýs upního napě í p o požado anou přesnos lze přibližně odhadnou z Tab. 3.1. Tab. 3.1: Doba us álení ýs upního napě í dolní p opus i RC 1. řádu Přesnos us álení 37 % 10 % 1 % 0,1 % Doba us álení τ 2,3τ 4,6τ 6,9τ V předchozí čás i bylo ukázáno, že napě í na ýs upu dolní p opus i při buzení jedno ko ým skokem na ůs á z počá ku přibližně lineá ně čase a je edy in eg álem s upního napě í čase. Dolní p opus p acuje pak jako z . pasi ní in eg ační článek ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 d , u u u RC =+  (3-14) kde in eg ační kons an a u2(0) předs a uje nabi í kapaci o u čase = 0. Jak již bylo naznačeno předešlé čás i, případě požada ku na ychlejší pokles modulo é cha ak e is iky z p opus ného do nep opus ného pásma, je možné zapoji n dolních p opus í RC 1. řádu dle Ob . 3.1a do kaskády. Přenoso ou unkci ako é o sous a y je pak možné zapsa obecném a u ( ) ( )( ) ( ) ( ) 12 1 11 , 1 1 1 1 n ni i Ks d s d s d s ds = == + + + +  (3-15) 23 kde ( ) 1, 2, i d i n= jsou kladné eálné koe icien y. Z oho o z ahu plyne, že p o Ω >> 1 bude ( ) 1/ n K   . Přenoso á unkce se p o o bude asymp o icky blíži k přímce, k e á klesá se sklonem 20dB/dekn . Sous a a y ořená kaskádním řazením pasi ních dolních p opus í s ýmž mezním kmi oč em bude mí k i ické lumení (náze se ýká las nos í přechodo é cha ak e is iky, j. časo ého p ůběhu odez y na jedno ko ý skok) a koe icien y di budou p o šechna i shodné 2 1. n i dd= = − (3-16) Jedno li é dílčí dolní p opus i, z nichž je ře ězec ses a en, budou mí (1/d) k á yšší mezní kmi oče , než má celý il . Označení „ il s k i ickým lumením“ se ýká las nos í il u z pohledu analýzy jeho přechodo é cha ak e is iky, j. jeho odez y na jedno ko ý skok, kdy nedochází k překmi u ýs upního napě í. Nedos a kem il u s k i ickým lumením, esp. pasi ních RC il ů je sku ečnos , že přechod z p opus ného do nep opus ného pásma není dos a ečně os ý. Z oho o dů odu jsou p o ealizaci ýhodnější s uk u y d uhého řádu ealizo ané p os řednic ím RLC p ků. 3.1.2 Pasi ní dolní p opus RLC 2. řádu Jako příklad pasi ní dolní p opus i 2. řádu lze u és zapojení na Ob . 3.2a, např. 19. Také o o zapojení lze obecně po ažo a za napěťo ý dělič a přenoso ou unkci lze psá e a u ( ) C2 L R C 1/ 1 . 1/ 1 ZpC Kp Z Z Z pL R pC RC p LC p = = = + + + + + + (3-17) Odpo ídající modulo á a a gumen o á cha ak e is ika dolní p opus i 2. řádu je u edena na Ob . 3.3b,c. 24 b c 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -45 -180 φ [deg] -90 -135 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] -40 dB/dek a C R u1 u2 L φ(Ω) z(Ω) Ob . 3.3: a) Pasi ní dolní p opus RLC 2. řádu a její b) modulo á a c) a gumen o á cha ak e is ika (Q = 0,707) Využi ím no mo ané komplexní p oměnné m /sp=  lze ( o . (3-17)) yjádři z ahem ( ) 22 mm 1. 1 Ks RC s LC s =++  (3-18) Za edením ezonančního kmi oč u 01/ LC=  známého z eo ie ezonančních ob odů jako Thomsonů z ah a čini ele jakos i ezonančního RLC ob odu 0/ / /Q L R L C R  == lze ý az (3-18) up a i do a u ( ) 22 mm 2 00 1. 1 Ks ss Q = ++   (3-19) Přenoso ou unkci dolní p opus i 2. řádu (3-18) lze obecně zapsa e a u ( ) 2 11 1, 1 Ks a s b s =++ (3-20) přičemž koe icien y přenoso é unkce 25 2 mm 11 2 00 ,.ab Q ==   (3-21) Z koe icien ů a1, b1 přenoso é unkce lze naopak yjádři z ah mezi ezonančním kmi oč em ɷ0 a mezním kmi oč em ɷm il u, esp. z ah p o čini el jakos i 1 mm 0 0 1 1 1 ,. b Qaa b   = = = (3-22) T a modulo é i a gumen o é cha ak e is iky je silně o li něn hodno ou čini ele jakos i Q, jak je o zřejmé z Ob . 3.4. S os oucí hodno ou jakos i dochází ke s mějšímu přechodu modulo é cha ak e is iky při přechodu z p opus ného do nep opus ného pásma. Na d uhé s aně yšší jakos il u způsobuje z ýšení zisku před mezním kmi oč em. Je-li hodno a 1/ 2 0,707Q== ak, jako je omu případě Ob . 3.3b, pak je modulo á cha ak e is ika pásmu p opus nos i maximálně plochá. 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 20 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 -80 z[dB] -40 dB/dek z(Ω) 0 -40 Q=0,5 Q=1 Q=5 Ob . 3.4: Modulo á cha ak e is ika dolní p opus i 2. řádu p o ůzné čini ele jakos i Q no mo aná zhledem k meznímu kmi oč u P o ýpoče hodno R a L můžeme po o náním (3-18) a (3-20) získa z ahy 11 22 mm ,. 2π 4π ab RL C C == (3-23) Dolní p opus 2. řádu s ap oximací přenoso é unkce dle Bu e wo a ( iz dále) bude mí koe icien y a1 = 1,414 a b1 =1,000. P o mezní kmi oče m = 10 Hz a kapaci u kapaci o u C = 10 μF dos aneme podle u edených o nic R = 2,25 kΩ a L = 25,3 H. Tako ý il by byl p ak icky ne ealizo a elný z dů odu elké indukčnos i induk o u L. Daleko snadněji lze ako ý o il ealizo a pomocí ak i ního il u s ope ačním zesilo ačem a RC p ky. 32 3.2.2 Ap oximace přenoso é unkce dle Bessela Jak již bylo u edeno, kmi oč o é il y ap oximo ané dle Bu e wo ha či Čebyše a ykazují případě přechodo é cha ak e is iky ýznamný překmi (Ob . 3.5b). Ideální odez a na obdélníko ý signál je dosažena u il ů, k e é mají kmi oč o ě nezá islé skupino é zpoždění, j. lineá ně na áčejí ázi zá islos i na kmi oč u. Tako é cho ání ykazují il y na žené dle Besselo y ap oximace, někdy aké označo ané jako Thomsono y il y. Pa ame y il u musí bý om o případě s ano eny ak, aby skupino é zpoždění bylo p o Ω < 1 přibližně kons an ní a na kmi oč u Ω pokud možno nezá islé. Jak bylo již u edeno (3-24) lze dolní p opus 2. řádu popsa z ahem ( ) 02 11 , 1 K Ks a s b s =++ (3-33) esp. po dosazení js  = ( ) 02 11 1j K Kab  =+− (3-34) Z eálné a imaginá ní složky ( ) K  pak můžeme u či a gumen o ou cha ak e is iku ( ) ( ) ( ) 12 1 Im a c g a c g Re 1 Ka Kb    = = − − (3-35) a z ní pak skupino é zpoždění ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 4 1 1 1 d1. d12 b a b b     + = − = + − + (3-36) P o Ω << 1 lze člen s nej yšší mocninou zanedba a pak přibližně ( ) ( ) 2 1 22 11 1. 12 b ab    + =+− (3-37) Ten o z ah nebude zá ise na kmi oč u, pokud bude splněna podmínka 2 1 1 1 2b a b=− , j. 2 11 /3ba= . Výpoče koe icien ů ai a bi p o dolní p opus i yšších řádů je samozřejmě složi ější. Hodno y koe icien ů Besselo y ap oximace ai a bi p o kaskádně ealizo ané dolní p opus i yšších řádů jsou u edeny Tab. 3.4. Koe icien y ci Besselo y ap oximace p o nekaskádně ealizo ané dolní p opus i jsou pak u edeny Tab.3.5. No mo ané modulo é cha ak e is iky dolních p opus í 1. až 10. řádu ( ) ( ) ( ) 0 20log /z K K  = ap oximo ané dle Bessela jsou pak nak esleny na Ob . 3.7. Ten o yp ap oximace se uží á zejména u il ů u čených p o zp aco ání p a oúhlých signálů nebo signálů ykazujících ychlé změny okamži ých hodno . 33 Tab. 3.4: Koe icien y ai a bi přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Bessela n i ai bi mi / m Qi 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 2 1 1,3617 0,6180 1,000 0,58 3 1 2 0,7560 0,9996 0,0000 0,4772 1,323 1,414 - 0,69 4 1 2 1,3397 0,7743 0,4889 0,3890 0,978 1,797 0,52 0,81 5 1 2 3 0,6656 1,1402 0,6216 0,0000 0,4128 0,3245 1,502 1,184 2,138 - 0,56 0,92 6 1 2 3 1,2217 0,9686 0,5131 0,3887 0,3505 0,2756 1,063 1,431 2,447 0,51 0,61 1,02 7 1 2 3 4 0,5937 1,0944 0,8304 0,4332 0,0000 0,3395 0,3011 0,2381 1,684 1,207 1,695 2,731 - 0,53 0,66 1,13 8 1 2 3 4 1,1112 0,9754 0,7202 0,3728 0,3162 0,2979 0,2621 0,2087 1,164 1,381 1,963 2,992 0,51 0,56 0,71 1,23 9 1 2 3 4 5 0,5386 1,0244 0,8710 0,6320 0,3257 0,0000 0,2834 0,2636 0,2311 0,1854 1,857 1,277 1,574 2,226 3,237 - 0,52 0,59 0,76 1,32 10 1 2 3 4 5 1,0215 0,9393 0,7815 0,5604 0,2883 0,2650 0,2549 0,2351 0,2059 0,1665 1,264 1,412 1,780 2,479 3,466 0,50 0,54 0,62 0,81 1,42 34 Tab. 3.5: Koe icien y ci přenoso é unkce dolní p opus i n- ého řádu ap oximo ané dle Bessela p o nekaskádní syn ézu n c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 1 1,0000 - - - - - - - - - 2 1,3617 0,6180 - - - - - - - - 3 1,7556 1,2329 0,3608 - - - - - - - 4 2,1360 1,9323 0,9083 0,1902 - - - - - - 5 2,4274 2,6187 1,5891 0,5510 0,0892 - - - - - 6 2,7034 3,3220 2,3948 1,0790 0,2917 0,0376 - - - - 7 2,9517 4,0213 3,2972 1,7696 0,6268 0,1371 0,0145 - - - 8 3,1796 4,7179 4,2859 2,6206 1,1110 0,3211 0,0583 0,0052 - - 9 3,3917 5,4135 5,3553 3,6328 1,7602 0,6123 0,1484 0,0229 0,0017 - 10 3,5910 6,1082 6,4990 4,8047 2,5880 1,0326 0,3027 0,0627 0,0083 0,0005 10-1 100101102 Ω [-] 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 z[dB] z(Ω) 0 -40 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 Ob . 3.7: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i ap oximo ané dle Bessela 3.2.3 Ap oximace přenoso é unkce dle Čebyše a Fil s přenoso ou unkcí ap oximo anou dle Čebyše a je cha ak e is ický ím, že p o elmi nízké kmi oč y << m je přenos K0 kons an ní. V okamžiku, kdy se kmi oče il o aného signálu blíží k meznímu kmi oč u < m, esp. Ω < 1, má modulo á cha ak e is ika z lněný cha ak e . Maximální hodno a z lnění je dána pa ame y il u a je možné ji ak nas a i na požado anou ú o eň. Pla í, že zmenšo ání po oleného z lnění modulo é cha ak e is iky ede na zmenšení ychlos i přechodu modulo é cha ak e is iky do nep opus ného pásma. Přes o případě Čebyše o y ap oximace je ychlos přechodu do nep opus ného pásma nej yšší po o nání s ap oximací dle Bu e wo ha či Bessela. Od ození koe icien ů ai a bi p o požado anou hodno u z lnění přenoso é cha ak e is iky Δz je dos i ná očné, a p o o je zde neu ádíme. Hodno y koe icien ů přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a jsou p o z lnění Δz o hodno ách 0,5 dB, 1 dB, 2 dB a 3 dB u edeny Tab. 3.6 a Tab. 3.7. Současně jsou u edeny i odpo ídající pa ame y dílčích il ů, j. mezní kmi oč y dílčích il ů z ažené k meznímu kmi oč u m 35 celého il u, j. mi / m a čini ele jakos i Qi. Koe icien y ci p o nekaskádní syn ézu nejsou u edeny, p o ože nekaskádní il y s ap oximací přenoso é unkce dle Čebyše a se neuží ají. Tab. 3.6: Koe icien y ai a bi přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se z lněním 0,5 dB a 1 dB z lnění 0,5 dB z lnění 1 dB n i ai bi mi / m Qi n i ai bi mi / m Qi 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 2 1 1,3614 1,3827 1,000 0,86 2 1 1,3022 1,5515 1,000 0,96 3 1 2 1,8636 0,6402 0,0000 1,1931 0,537 1,335 - 1,71 3 1 2 2,2156 0,5442 0,0000 1,2057 0,451 1,353 - 2,02 4 1 2 2,6282 0,3648 3,4341 1,1509 0,538 1,419 0,71 2,94 4 1 2 2,5904 0,3039 4,1301 1,1697 0,540 1,417 0,78 3,56 5 1 2 3 2,9235 1,3025 0,2290 0,0000 2,3534 1,0833 0,342 0,881 1,480 - 1,18 4,54 5 1 2 3 3,5711 1,1280 0,1872 0,0000 2,4896 1,0814 0,280 0,894 1,486 - 1,40 5,56 6 1 2 3 3,8645 0,7528 0,1589 6,9797 1,8573 1,0711 0,366 1,078 1,495 0,68 1,81 6,51 6 1 2 3 3,8437 0,6292 0,1296 8,5529 1,9124 1,0766 0,366 1,082 1,493 0,76 2,20 8,00 7 1 2 3 4 4,0211 1,8729 0,4861 0,1156 0,0000 4,1795 1,5676 1,0443 0,249 0,645 1,208 1,517 - 1,09 2,58 8,84 7 1 2 3 4 4,9520 1,6338 0,3987 0,0937 0,0000 4,4899 1,5834 1,0423 0,202 0,655 1,213 1,520 - 1,30 3,16 10,9 8 1 2 3 4 5,1117 1,0639 0,3439 0,0885 11,961 2,9365 1,4206 1,0407 0,276 0,844 1,284 1,521 0,68 1,61 3,47 11,5 8 1 2 3 4 5,1019 0,8916 0,2806 0,0717 14,761 3,0426 1,4334 1,0432 0,276 0,849 1,285 1,520 0,75 1,96 4,27 14,2 9 1 2 3 4 5 5,1318 2,4283 0,6839 0,2559 0,0695 0,0000 6,6307 2,2908 1,3133 1,0272 0,195 0,506 0,989 1,344 1,532 - 1,06 2,21 4,48 14,6 9 1 2 3 4 5 6,3415 2,1252 0,5624 0,2076 0,0562 0,0000 7,1711 2,3278 1,3166 1,0258 0,158 0,514 0,994 1,346 1,533 - 1,26 2,71 5,53 18,0 10 1 2 3 4 5 6,3648 1,3582 0,4822 0,1994 0,0563 18,369 4,3453 1,9440 1,2520 1,0263 0,222 0,689 1,091 1,381 1,533 0,67 1,53 2,89 5,61 18,0 10 1 2 3 4 5 6,3634 1,1399 0,3939 0,1616 0,0455 22,747 4,5167 1,9665 1,2569 1,0277 0,221 0,694 1,093 1,381 1,532 0,75 1,86 3,56 6,94 22,3 36 Tab. 3.7: Koe icien y ai a bi přenoso é unkce dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se z lněním 2 dB a 3 dB z lnění 2 dB z lnění 3 dB n i ai bi mi / m Qi n i ai bi mi / m Qi 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 1 1 1,0000 0,0000 1,000 - 2 1 1,1813 1,7775 1,000 1,13 2 1 1,0650 1,9305 1,000 1,30 3 1 2 2,7994 0,4300 0,0000 1,2036 0,357 1,378 - 2,55 3 1 2 3,3496 0,3559 0,0000 1,1923 0,299 1,396 - 3,07 4 1 2 2,4025 0,2374 4,9862 1,1896 0,550 1,413 0,93 4,59 4 1 2 2,1853 0,1964 5,5339 1,2009 0,557 1,410 1,08 5,58 5 1 2 3 4,6345 0,9090 0,1434 0,0000 2,6036 1,0750 0,216 0,908 1,493 - 1,78 7,23 5 1 2 3 5,6334 0,7620 0,1172 0,0000 2,6530 1,0686 0,178 0,917 1,500 - 2,14 8,82 6 1 2 3 3,5880 0,4925 0,0995 10,465 1,9622 1,0826 0,373 1,085 1,491 0,90 2,84 10,5 6 1 2 3 3,2721 0,4077 0,0815 11,677 1,9873 1,0861 0,379 1,086 1,489 1,04 3,46 12,8 7 1 2 3 4 6,4760 1,3258 0,3067 0,0714 0,0000 4,7649 1,5927 1,0384 0,154 0,665 1,218 1,523 - 1,65 4,12 14,3 7 1 2 3 4 7,9064 1,1159 0,2515 0,0582 0,0000 4,8963 1,5944 1,0348 0,126 0,670 1,222 1,523 - 1,98 5,02 17,5 8 1 2 3 4 4,7743 0,6991 0,2153 0,0547 18,151 3,1353 1,4449 1,0461 0,282 0,853 1,285 1,518 0,89 2,53 5,58 18,7 8 1 2 3 4 4,3583 0,5791 0,1765 0,0448 20,295 3,1808 1,4507 1,0478 0,286 0,855 1,285 1,517 1,03 3,08 6,83 22,9 9 1 2 3 4 5 8,3198 1,7299 0,4337 0,1583 0,0427 0,0000 7,6580 2,3549 1,3174 1,0232 0,120 0,522 0,998 1,349 1,536 - 1,60 3,54 7,25 23,7 9 1 2 3 4 5 10,176 1,4585 0,3561 0,1294 0,0348 0,0000 7,8971 2,3651 1,3165 1,0210 0,098 0,526 1,001 1,351 1,537 - 1,93 4,32 8,87 29,0 10 1 2 3 4 5 5,9618 0,8947 0,3023 0,1233 0,0347 28,038 4,6644 1,9858 1,2614 1,0294 0,226 0,697 1,094 1,380 1,531 0,89 2,41 4,66 9,11 29,3 10 1 2 3 4 5 5,4449 0,7414 0,2479 0,1008 0,0283 31,379 4,7363 1,9952 1,2638 1,0304 0,230 0,699 1,094 1,380 1,530 1,03 2,94 5,70 11,2 35,9 37 P ůběhy modulo é cha ak e is iky se z lněním p opus ném pásmu Δz = 2 dB jsou u edeny na Ob . 3.8 a Ob . 3.9. P o přehlednos jsou na Ob . 3.8a u edeny jen modulo é cha ak e is iky il ů lichého řádu, kdy na Ob . 3.8b je u eden de ail modulo é cha ak e is iky pásmu p opus nos i. Podobně na Ob . 3.9a jsou u edeny jen moduly přenoso é cha ak e is iky dolní p opus i sudého řádu. Na Ob . 3.9b je pak opě de ail p ůběhu modulo é cha ak e is iky p opus ném pásmu. Na Ob . 3.10 jsou pak p o po o nání u edeny modulo é cha ak e is iky dolní p opus i 4. řádu ap oximo ané dle Čebyše a p o ůzné elikos i z lnění. Je idě , že p o nižší hodno y z lnění p opus ném pásmu je aké ychlos změny modulu z p opus ného do nep opus ného pásma menší. P o po o nání je Ob . 3.10 u edena aké modulo á cha ak e is ika ap oximo aná dle Bu e wo ha, kdy je idě , že i p o nejnižší u ažo anou hodno u z lnění ( j. Δz = 0,5 dB) u Čebyše o y ap oximace je ychlos přechodu modulo é cha ak e is iky do nep opus né čás i s ále yšší, než je omu u Bu e wo ho y ap oximace. P o z lnění Δz = 0 dB Čebyše o a ap oximace přejde ap oximaci dle Bu e wo ha. a b 10-2 100101102 Ω [-] 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 z[dB] 0 -40 n=1 n=3 n=5 n=7 n=9 10-1 10-2 100 Ω [-] 3 1 0 -2 -3 z[dB] 2 -1 n=1 n=3 n=5 n=7 n=9 10-1 z(Ω) z(Ω) Ob . 3.8: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se z lněním Δz = 2 dB p o il y lichého řádu 38 a b 10-2 100101102 Ω [-] 10 -10 -20 -30 -50 -60 -70 z[dB] 0 -40 n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 10-1 10-2 100 Ω [-] 3 1 0 -2 -3 z[dB] 2 -1 10-1 z(Ω) z(Ω) n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 Ob . 3.9: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i ap oximo ané dle Čebyše a se z lněním Δz = 2 dB p o il y sudého řádu 10-2 10-1 100101 Ω [-] 10 5 0 -5 -10 -15 -20 z[dB] z(Ω) Čebyše 2 dB Čebyše 3 dB Čebyše 1 dB Bu e wo h Čebyše 0,5 dB Ob . 3.10: Modulo é cha ak e is iky dolní p opus i 4. řádu ap oximo ané dle Čebyše a p o ůzné hodno y z lnění Δz p opus ném pásmu Z Ob . 3.11 je pak idě li elikos i z lnění pásmu p opus nos i na skupino é zpoždění, k e é se s os oucí hodno ou z lnění aké ý azně mění a zásadně o li ňuje odez u il u na jedno ko ý skok. 39 10-2 τ/Tm [-] 2,5 2 1,5 1 0,5 010-1 100101102 Ω [-] z(Ω) Čebyše 2 dB Čebyše 3 dB Čebyše 1 dB Bu e wo h Čebyše 0,5 dB Ob . 3.11: Cha ak e is iky skupino ého zpoždění dolní p opus i 4. řádu ap oximo ané dle Čebyše a p o ůzné hodno y z lnění Δz p opus ném pásmu 3.2.4 Další ypy ap oximací přenoso é unkce V případě nu nos i lze přechod přenoso é unkce z p opus ného do nep opus ného pásma uděla ješ ě s mější, kdy ale přenoso á unkce ykazuje omezený a z lněný p ůběh oblas i kmi oč ů nad mezním kmi oč em il u. P o ná h ako ých il ů je hodné yuží z . Caue o u ap oximaci. Ap oximace je cha ak e is ická z lněním pak p opus ném (podobně jako je omu u Čebyše o y ap oximace) ak i nep opus ném pásmu. Tak o na žené il y jsou pak označo ány jako Caue o y či elip ické il y. Mezi další ypy ap oximací pa ří např. in e zní Čebyše o a ap oximace, k e á má plochou modulo ou cha ak e is iku p opus ném pásmu a z lněnou pásmu nep opus ném. Ta o ap oximace ykazuje lepší ázo é las nos i a přechodnou cha ak e is iku, k e á je blízká il ům na ženým dle Bu e wo ho y ap oximace, o šem za cenu yšší složi os i ealizace. Další ap oximací, se k e ou je možné se se ka , je z . Gausso a ap oximace, k e á je de ino ána s ohledem na ideální p ůběh časo é odez y, podobně jako je omu u Besselo y ap oximace. Modulo á přenoso á cha ak e is ika má a Gausso y kři ky a a gumen o á cha ak e is ika je zcela lineá ní. Dále lze zmíni z . Legend o u ap oximaci, kdy modulo á cha ak e is ika dle é o ap oximace klesá s měji než případě Bu e wo ho y ap oximace za cenu ne zcela hladkého p ůběhu p opus ném pásmu. Dalšími ap oximacemi jsou pak anzi i ní Besselo a-Bu e wo ho a ap oximace, či Kas eleino a ap oximace. Koe icien y přenoso ých unkcí p o něk e é další ypy ap oximací lze naléz např. li . [29]. 3.3 Ak i ní dolní p opus i 3.3.1 Dolní p opus i 1. řádu Nein e ující dolní p opus 1. řádu naznačená na Ob . 3.12a oří pasi ní dolní p opus RC z Ob . 3.1a, za k e ou je zařazen nein e ující zesilo ač, k e ý jednak odděluje pasi ní il od zá ěže a jednak ealizuje po řebné zesílení p o ss. signály. Ze z ahu (3-24) je zřejmé, že přenoso á unkce dolní p opus i 1. řádu může bý obecně zapsána e a u 40 ( ) 0 1 . 1 K Ks as =+ (3-38) a b + − u1 u2 OZ R2 R1 C Rz[dB] 0 dB T OZ log [Hz] min 40 dB DP m Ob . 3.12: a) Dolní p opus 1. řádu yuží ající pasi ní článek RC, b) požada ky na kmi oč o ou cha ak e is iku ope ačního zesilo ače Z abulek koe icien ů ap oximačních unkcí Tab. 3.2, Tab. 3.4, Tab. 3.6 a Tab. 3.7 je idě , že koe icien y il ů 1. řádu (n = 1) jsou u šech ypů shodné a hodno a koe icien u a1 je ždy o na jedné. Poznámka: při ealizaci il ů yšších řádů kaskádním řazením dílčích il ů se ysky ují dílčí il y 1. řádu, u k e ých a1 ≠ 1, o znamená, že y o články il u mají mezní kmi oče odlišný od mezního kmi oč u celého il u ak, že m1 = m /a1. Přenoso é las nos i dolní p opus i 1. řádu podle Ob . 3.12 edy budou popsány z ahem ( ) 0, 1 K Ks s =+ (3-39) přičemž komplexní p oměnná s je zde no mo ána podle mezního kmi oč u dolní p opus i m1/RC=  , esp. m1/ 2π RC= . P o ss. signály (kdy C ykazuje elkou impedanci) je přenos il u 0 2 1 1/K R R=+ . Při ná hu pos upujeme ak, že z olíme kapaci u C kapaci o u a pak podle požada ku na mezní kmi oče u číme m 1/ 2πR C= . Podle požada ku na přenos K0 pásmu p opus nos i pak u číme odpo y zpě no azebních ezis o ů OZ. Z olíme-li např. odpo R2, bude ( ) 1 2 0 /1R R K=− . Pokud se ýká olby las ního ope ačního zesilo ače, je zapo řebí, aby použi ý zesilo ač byl dos a ečně ši okopásmo ý a neomezil las nos i dolní p opus i ( iz Ob . 3.12b). In e ující dolní p opus 1. řádu někdy aké označo aná jako z á o ý in eg á o je nak eslena na Ob . 3.13. Využí á obecného p incipu ak i ního il u s jednoduchou smyčkou zpě né azby naznačeného na Ob . 2.3. Abychom přenoso ou unkci získali no mo aném a u, budeme p aco a s no mo anou komplexní p oměnnou m /sp=  , esp. m ps=  . 41 − + u1 u2 OZ R2 C R1 Ob . 3.13: In e ující dolní p opus 1. řádu P o ože podle Tab. 2.1 jsou přenoso é odi os i použi ých d ojb anů 21A 1 1/yR=− a 12B 2 2 m 1/ 1/y R C p R C s= − − = − −  , bude ( ) 21A 1 2 1 12B 2 m m 2 1/ / . 1/ 1 y R R R Ks y R C s R C s = − = − = − ++  (3-40) Z po o nání s o . (3-39) je zřejmé, že daným ob odem můžeme ealizo a přenos p o ss signály pouze zápo ný, 0 2 1 /K R R=− a dále, že musí bý splněna podmínka m2 1RC=  . P o o při z olené kapaci ě C kapaci o u bude 2m 1/ 2πR C= a 1 2 0 /R R K=− . 3.3.2 Dolní p opus i 2. řádu Ak i ní dolní p opus 2. řádu s oz ě enou smyčkou zpě né azby je naznačena na Ob . 3.14. Jde o ak i ní il , jehož uspořádání bylo obecně neznačeno na Ob . 2.4. V daném případě admi ance 1 1 2 2 3 1 4 3 5 2 1/ , 1/ , , 1/ ,Y R Y R Y pC Y R Y pC= = = = = a přenos můžeme podle o . (2-10) u či e a u ( ) 13 21 2 3 1 2 3 21 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1/ 1 1 1 1 /. 1 1 1 1 RR Kp pC pC R R R R R RR C R R p C C R R p R R R = − =  + + + +   =−  + + + +   (3-41) OZ R1− + R3 u1 u2 C2 R2 C1 Ob . 3.14: Ak i ní dolní p opus 2. řádu s oz ě enou smyčkou zpě né azby 48 pořadí by mohlo způsobi přebuzení zesilo ače s upní sekce oblas i překmi u její modulo é cha ak e is iky. Příčina je om, že il y s yšším mezním kmi oč em ob ykle mají ysoký čini el jakos i, a p o o jejich modulo á cha ak e is ika ykazuje blízkos i mezního kmi oč u značný překmi . Tu o sku ečnos můžeme ilus o a na modulo ých cha ak e is ikách pě i článků na ho aného il u s přenoso ou unkcí ap oximo anou dle Čebyše a, nak eslených na Ob . 3.18. Jiný pohled na pořadí dílčích il ů je spojen s požada kem na minimální ú o eň šumu na ýs upu. V om případě musí bý sled il ů p á ě opačný, p o ože zařazení il u s nejnižším kmi oč em na konci kaskády způsobí zeslabení šumů šech předchozích článků kaskády. 3.3.4 Nekaskádní ealizace dolních p opus í yšších řádů Jak bylo již řečeno, u něk e ých ypů nepřímých číslico ě analogo ých pře odníků, k e é umožňují dosaho a íce než d ace ibi o ou ozlišo ací schopnos při ynikající linea i ě a za učené mono ónnos i pře odu, je u il u yžado án přesný přenos s ejnosmě né složky signálu, a p o o zde klasické kaskádní řešení ak i ní dolní p opus i ne yho uje. V něk e ých případech je en o požada ek kladen i na an ialiasingo ý il . Při ná hu ak i ní dolní p opus i p o měřicí účely je p o o někdy ýhodné yuží nekaskádní uspořádání il u, němž jsou ope ační zesilo ače s ejnosmě ně odděleny od ss ces y signálu. Přenoso ou unkci dolní p opus i n- ého řádu můžeme zapsa e a u (3-26), kdy unkce zá isí na komplexní p oměnné /  =m sp . Připomeňme, že no mo ání komplexní p oměnné j  =+p zhledem k meznímu kmi oč u ωm = 2π m (odpo ídajícímu zmenšení modulu přenoso é unkce na hodno u 1/ 2 esp. poklesu zisku o 3 dB) zobecňuje přís up k ná hu il u. P o σ = 0 o iž dos aneme mm j / j / js    = = = ; při om jsme za edli s ejné jako dří e no mo aný úhlo ý kmi oče Ω = ω/ωm. Koe icien y c1, c2, …, cn e z ahu (3-67) u čují s ou elikos í ozmís ění pólů přenoso é unkce komplexní o ině. Poč em a ozmís ěním pólů přenoso é unkce komplexní o ině jsou pak u čeny základní las nos i il ů kmi oč o é i časo é oblas i. Při konk é ním ná hu il u olíme ozmís ění pólů podle něk e é ze známých s anda dních ap oximací ideální přenoso é unkce. Nejčas ěji se p o případ an ialiasingo ého il u uží á ap oximace podle Bu e wo ha, p o nepřímé pře odníky D/A se pak z dů odu ychlého us alo ání po změně s upních da uží á ap oximace dle Bessela. Koe icien y ci p o y o ap oximace jsou u edeny Tab. 3.3 a Tab. 3.5. Zdů azněme, že koe icien y přenoso é unkce jsou obou případech no mo ány k meznímu kmi oč u ωm = 2π m. Základní uspořádání ss přesné dolní p opus i 2. řádu je u edeno na Ob . 3.19a, ozšíření zapojení na 3. řád je pak naznačeno na Ob . 3.19b. Výhodou oho o řešení je ss oddělení ope ačního zesilo ače kapaci o y C1 a C2 od hla ní ces y zp aco ání signálu. Ne ýhodou je ale sku ečnos , že il nesmí bý za ěžo án (iz ≈ 0) a za il je nu no p o o při ealizaci zařadi p o oddělení zá ěže zesilo ač s ysokým s upním odpo em. Přenoso á unkce dolní p opus i 2. řádu z Ob . 3.19a je popsána z ahem ( iz o . 2-19) ( ) 2 0 1 0 2 1, 1 =++ Kp R W p R W p (3-67) přičemž členy W1 a W2 se u čí z Tab. 2.4 p o dolní p opus 2. řádu, j. 1 1 2 =+W C C a 2 1 2 1 =W CC R . Přenoso é unkce pak 49 ( ) ( ) 2 1 2 0 1 2 0 1 1. 1 =+ + + Kp C C R p CC R R p (3-68) Aby bylo možno použí koe icien y ci no mo ané přenoso é unkce, p o edeme no mo ání komplexní p oměnné p zhledem k m  . No mo aná přenoso á unkce má pak a ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 m 1 2 0 1 m 1 2 11 . 11  == + + + + + Ks C C R s CC R R s c s c s (3-69) Např. p o ap oximaci dle Bessela budou podle Tab. 3.5 koe icien y mí hodno u 11,367=c a 20,6180=c . OZ − + u2 R1 a u1 iz ≈ 0 C1C2 R0 OZ − + u2 R1 b u1 iz ≈ 0 C1C2 R0 DP 2. řádu DP 3. řádu R2 C3 Ob . 3.19: S ejnosmě ně přesná dolní p opus : a) 2. řádu, b) 3. řádu. Po o náme-li koe icien y u s ejných mocnin no mo ané komplexní p oměnné s , dos aneme p o ýpoče pa ame ů p ků dolní p opus i sous a u o nic ( ) 1 1 2 0 m  =+c C C R , (3-70) 2 2 1 2 0 1 m  =c CC R R . (3-71) Řešením é o sous a y o nic s ano íme p o z olené kapaci y C1 a C2 odpo y R0 a R1 p o danou ap oximaci u čenou abulko ými koe icien y c1, c2 a p o zadaný mezní úhlo ý kmi oče ωm. Jelikož poče dosud neu čených pa ame ů ob odo ých p ků je d ojnásobkem poč u o nic sous a y (3-70) a (3-71), může bý polo ina z ěch o pa ame ů z olena libo olně. P o zjednodušení p ak ické ealizace il ů je hodné řeši dolní p opus buď se shodnými kapaci ami kapaci o ů, nebo se shodnými odpo y ezis o ů. Jes liže budeme řeši sous a u (3-70) a (3-71) p o shodné kapaci y C na pozicích C1 a C2 ( iz Ob . 3.19a), pak dos aneme bez po íží p o odpo y R0 a R1 z ahy ( ) 0 1 m /2  =R c C , (3-72) ( ) 1 2 21 m 2/  =R c c C . (3-73) Pokud se pokusíme sous a u o nic (3-70) a (3-71) yřeši p o shodný odpo R ezis o ů na pozicích R0 a R1 , musíme řeši sous a u ( ) 1 1 2 m  =+c C C R , (3-74) 50 22 2 1 2 m  =c CC R . (3-75) Nejp e yčíslíme z o nice (3-75) p oměnnou C2 a dosadíme ji do o nice (3-74) a po úp a ě dos aneme k ad a ickou o nici 2 2 2 m 1 1 m 1 2 0  − + =R C c R C c . (3-76) Jejímž řešením lze u či kapaci u C1. Řešení sous a y (3-74) a (3-75) šak můžeme začí aké yčíslením p oměnné C1 z o . (3-75) a jejím dosazením do o . (3-74). Tak získáme podobnou k ad a ickou o nici p o u čení kapaci y C2 2 2 2 m 2 21 m 2 2 0  − + =R C c R C c . (3-77) Jelikož kapaci y C1 a C2 se sous a ě o nic (3-74) a (3-75) ysky ují souč u a součinu, jsou oba kapaci o y C1 a C2 e s ých pozicích e schéma u na Ob . 3.19a zaměni elné. Výpoč em k e ékoli z k ad a ických o nic (3-76), (3-77) získáme d ě o nocenná a na zájem zaměni elná řešení. Z oho dů odu můžeme p o ýpoče C1 a C2 psá pouze jednu společnou k ad a ickou o nici 2 2 2 m 1,2 21 m 1,2 2 0  − + =R C c R C c , (3-78) kde C1,2 zah nuje sobě obě zájemně zaměni elná řešení é o k ad a ické o nice. Ro nice (3-78) má šak řešení obo u eálných čísel pouze případech, kdy je splněna podmínka jejího nezápo ného disk iminan u 2 2 2 2 2 1 m2 2 m2 40  −c R c R , (3-79) k e ou lze up a i do a u 2 21 4 / 1cc . (3-80) Podmínka nezápo ného disk iminan u nám umožňuje jednoduše s ano i , zda je dolní p opus d uhého řádu ealizo a elná p o danou ap oximaci se shodnými odpo y ezis o ů. Vyčíslením podmínky (3-80) p o koe icien y u edené Tab. 3.3, případně Tab. 3.5 p o dané ypy ap oximací 2. řádu můžeme zjis i , že je obou případech ě ší než jedna. To znamená, že dolní p opus 2. řádu u ažo ané s uk u y nelze se shodnými odpo y ezis o ů p o u edené ap oximace ealizo a a musí se použí s uk u a se shodnými kapaci ami kapaci o ů. Rozšiřo áním základních s uk u na Ob . 3.19 můžeme získa dolní p opus i yšších řádů. Na Ob . 3.20 jsou naznačena zapojení ak o nekaskádně koncipo aných ss přesných dolních p opus í 4. a 5. řádu. Na Ob . 3.21 je pak u edena nekaskádní ealizační s uk u a zobecněná p o yšší řády přenoso ých unkcí, a o z lášť p o liché a z lášť p o sudé řády přenoso é unkce. Aby il nebyl za ěžo án je na Ob . 3.21 p o oddělení zá ěže uži zesilo ač s ysokým s upním odpo em s OZ0. Pokud je ako á o dolní p opus uži a na ýs upu nepřímého pře odníku D/A může oddělo ací zesilo ač současně slouži p o přepínání ýs upních ozsahů pře odníku. Na é o pozici šak musí bý použi elmi k ali ní ope ační zesilo ač, p o ože jeho napěťo á nesyme ie a šum u čuje ýsledné las nos i celého pře odníku. Na ozdíl od kaskádní s uk u y il u (např. na Ob . 2.8), kdy šechny použi é ope ační zesilo ače by musely bý nízkošumo é, u nekaskádní s uk u y s ačí, aby nízkošumo é byly pouze ope ační zesilo ače blízko hla ní ces y signálu ( zn. OZ0 a OZ1), p o ože čím dál je ope ační zesilo ač od hla ní ces y signálu, ím se jeho šum upla ňuje méně. Zájemce o pod obnější in o mace odkazujeme na naše publikace [31] až [37]. 51 OZ2 − + u2 R3 a u1 iz ≈ 0 C3C4 R0 OZ2 − + R3 b DP 4. řádu DP 5. řádu R4 C5 C1C2 OZ1 − + R1R2 u2 u1 iz ≈ 0 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 Ob . 3.20: S ejnosmě ně přesná dolní p opus : a) 4. řádu, b) 5. řádu. OZn/2 − + Rn−1 a Cn−1CnOZ(n−1)/2 − + Rn−2 b n sudé n liché Rn−1 Cn Cn−2Cn−1 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u2 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 OZ0 + − . . . . . . OZ2 − + R3R4 u2 u1 C3C4 R0 C1C2 OZ1 − + R1R2 OZ0 + − Ob . 3.21: Realizační s uk u y nekaskádních ak i ních ss přesných dolních p opus í n- ého řádu: a) sudého řádu, b) lichého řádu. 52 Konk é ní yjádření jedno li ých koe icien ů ci přenoso é unkce pomocí pa ame ů ob odo é s uk u y z Ob . 3.21 u ádí Tab. 3.8. Při om jsme yužili p o yčíslení členů Wi přenoso é unkce (2-10) údaje z Tab. 2.4. V abulce 3.8 jsou uspořádány šechny koe icien y přenoso ých unkcí od p ního do desá ého řádu če ně. Při u čení přenoso é unkce dolní p opus i n- ého řádu pomocí Tab. 3.8 pos upujeme ak, že odeč eme pos upně koe icien y z d uhého sloupce až po i = n – 1 a poslední koe icien i = n odeč eme ze sloupce ře ího. Např. no mo aná přenoso á unkce dolní p opus i 3. řádu naznačená na Ob . 3.19b bude mí a ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 0 m 1 2 0 1 2 m 1 2 3 0 1 2 m 1 1    =+ + + + + Ks C C R s C C R R R s C C C R R R s . (3-81) Kde C1 až C3 jsou kapaci y příslušných kapaci o ů a R0 až R2 odpo y odpo ídajících ezis o ů ealizační s uk u y. P o zjednodušení ná hu dolní p opus i se ob ykle olí s uk u a se shodnými odpo y ezis o ů nebo se shodnými kapaci ami kapaci o ů. Tím o šem znikají něk e á omezení, k e á zužují použi í il u n- ého řádu p o u či ý yp ap oximace přenoso é unkce podobně jako omu bylo p o dolní p opus 2. řádu ( iz podmínka (3-80)). Možnos ealizo a kmi oč o ý il daného řádu a dané ap oximace případě shodnos i odpo ů ezis o ů R0 = R1 = … = Rn – 1 nebo shodnos i kapaci kapaci o ů C1 = C2 = … = Cn je sh nu a Tab. 3.9. Tab. 3.8: Koe icien y přenoso ých unkcí cni příslušející i- é mocnině no mo ané komplexní p oměnné s p o n = 2 až 10 i p o i < n p o i = n 1 ( ) 1 2 0 m C C R  + − 2 ( ) 2 1 2 0 1 2 m CC R R R  + 2 1 2 0 1 m CC R R  3 ( ) 3 1 2 3 4 0 1 2 m CC C C R R R  + 3 1 2 3 0 1 2 m CC C R RR  4 ( ) 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 m CC C C R R R R R  + 4 1 2 3 4 0 1 2 3 m CC C C R RR R  5 ( ) 5 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 m CC C C C C R R R R R  + 5 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 m CC C C C R RR R R  6 ( ) 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 m CC C C C C R R R R R R R  + 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 m CC C C C C R RR R R R  7 ( ) 7 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 m CC C C C C C C R R R R R R R  + 7 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 m CC C C C C C R RR R R R R  8 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m C C C C C C C C R R R R R R R R R   + 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 m C C C C C C C C R R R R R R R R    9 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m C C C C C C C C C C R R R R R R R R R  +  1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m C C C C C C C C C R R R R R R R R R    10 − 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m C C C C C C C C C C R R R R R R R R R R    53 Tab. 3.9: Realizo a elnos dolní p opus i dle Ob . 3.21 a) shodné odpo y ezis o ů n Bessel Bu e wo h 2 ne ne 3 ano ano 4 ano ano 5 ano ano 6 ano ano 7 ano ano 8 ano ano 9 ano ano 10 ano ano b) shodné kapaci y kapaci o ů n Bessel Bu e wo h 2 ano ano 3 ano ano 4 ano ano 5 ano ano 6 ano ano 7 ano ano 8 ano ano 9 ano ano 10 ano ano P o usnadnění ná hu s ejnosmě ně přesné dolní p opus i jsou Tab. 3.10 a Tab. 3.11 u edeny ýpoče ní z ahy p o pa ame y jedno li ých pasi ních ob odo ých p ků až do 10. řádu če ně. P o ože ýpoče pa ame ů il ů yššího řádu se liší jen p o p ky s nej yššími pořado ými čísly, k e é nekaskádní s uk u u na spodním konci uza í ají ( iz Ob . 3.21), jsou y o společné ýpoče ní z ahy u edeny Tab. 3.10 če ně podmínek pla nos i, k e é musí bý splněny. Výpoče ní z ahy p o zakončo ací p ky s uk u y jsou pak u edeny Tab.3.11. Tab. 3.10: Výpoč o é z ahy pa ame ů ob odo ých p ků il u n- ého řádu z Ob . 3.21 podmínka pla nos i il se shodnými kapaci ami kapaci o ů podmínka pla nos i il se shodnými odpo y ezis o ů n ≥ 2 1 0 m 2 n c RC  = n ≥ 3 2 1 1 2 1,2 m 2 2 n n n c c c CR  − = n ≥ 4 2 2 2 1 3 1,2 1m n n n n n c c c c RcC  − = n ≥ 5 2 3 3 2 4 3,4 2m n n n n n c c c c CcR  − = n ≥ 6 2 4 4 3 5 3,4 3m n n n n n c c c c RcC  − = n ≥ 7 2 5 5 4 6 5,6 4m n n n n n c c c c CcR  − = n ≥ 8 2 6 6 5 7 5,6 5m n n n n n c c c c RcC  − = n ≥ 9 2 7 7 6 8 7,8 6m n n n n n c c c c CcR  − = n ≥ 10 2 8 8 7 9 7,8 7m n n n n n c c c c RcC  − = − − 54 Např. při ýpoč u pa ame ů dolní p opus i 6. řádu se shodnými kapaci ami kapaci o ů C1 = C2 = … = C6 = C u číme R0, R1,2 a R3,4 z Tab. 3.10 a zbý ající pa ame R5 pak z Tab. 3.11. Vlas nos i dolní p opus i yhodno íme ješ ě z hlediska předpokládaného uži í nepřímém pře odníku D/A s ozlišením 20 až 22 bi ů. P o ože použi á dolní p opus u čuje pře ážné míře celko é las nos i pře odníku, je nu no jejímu cho ání jak kmi oč o é, ak i časo é oblas i ěno a pa řičnou pozo nos . Z ob odo ého řešení dolní p opus i (Ob . 3.21) je zřejmé, že pokud použijeme oddělo ací zesilo ač s jedno ko ým přenosem, je celko ý přenos s ejnosmě ného signálu jedno ko ý. Tole ance pa ame ů pasi ních ob odo ých p ků (R1, R2, …, Rn – 1 a C1, C2, …, Cn) nemůže žádným způsobem přenos s ejnosmě ného signálu o li ni . Na yšších kmi oč ech šak mohou bý přenoso é las nos i o li něny značně. To pak e s ém důsledku ede ke značnému p odloužení přechodo ého děje. Při použi í il u nepřímém pře odníku D/A může a o okolnos nepřízni ě o li ni dobu us álení pře odníku po změně s upních da . Z oho o dů odu je zapo řebí použí ezis o y a kapaci o y s ole ancí pa ame u lepší než ±1 %. Přechodný děj pak není o mnoho delší než přechodný děj dolní p opus i osazené ideálními p ky. P o nepřímé pře odníky D/A se uží á ap oximace dle Bessela. Použi é ope ační zesilo ače musí mí anzi ní kmi oče pods a ně yšší, než je mezní kmi oče samo né dolní p opus i. Jak bylo již řečeno, pouze zesilo ače, k e é jsou nejblíže ke s ejnosmě né ces ě signálu, musí bý yb ány nízkošumo é. Velmi ýhodné aké je, že ope ační zesilo ače las ního il u jsou s ejnosmě ně odděleny (kapaci o y) od ces y s ejnosmě ného signálu, a p o o se li jejich s upních zby ko ých napě í ani jejich ujíždění čase neupla ní. Vysoké ná oky jsou ale kladeny na ýbě ope ačního zesilo ače oddělo acího s upně, k e ý může las nos i dolní p opus i znehodno i . Ten o ope ační zesilo ač musí ykazo a ysoký di e enční s upní odpo , dále musí mí zanedba elnou časo ou i eplo ní nes abili u zby ko ého napě í, musí ykazo a zanedba elný šum, a na íc musí mí ex émně ysoký čini el po lačení souhlasného napě í. 55 Tab. 3.11: Výpoč o é z ahy pa ame ů zakončo acích ob odo ých p ků il u z Ob . 3.21 p o n ≤ 10 n il se shodnými kapaci ami kapaci o ů il se shodnými odpo y ezis o ů 2 22 1 21 m 2c RcC  = 2 21 21 22 1,2 m 4 2 c c c CR  − = 3 2 32 32 31 33 1,2 31 m 2c c c c RcC  − = 33 3 32 m c CcR  = 4 44 3 43 m 2c RcC  = 2 43 43 42 44 3,4 42 m 2c c c c CcR  − = 5 2 54 54 53 55 3,4 53 m 2c c c c RcC  − = 55 5 54 m c CcR  = 6 66 5 65 m 2c RcC  = 2 65 65 64 66 5,6 64 m 2c c c c CcR  − = 7 2 76 76 75 77 5,6 75 m 2c c c c RcC  − = 77 7 76 m c CcR  = 8 88 7 87 m 2c RcC  = 2 87 87 86 88 7,8 86 m 2c c c c CcR  − = 9 2 98 98 97 99 7,8 97 m 2c c c c RcC  − = 99 9 98 m c CcR  = 10 1010 9 109 m 2c RcC  = 2 109 109 108 1010 9,10 108 m 2c c c c CcR  − = V ná očných aplikacích může bý nedokonalé po lačení souhlasného napě í ope ačního zesilo ače OZ0 na zá adu. Jes liže je o iž čini el po lačení souhlasného signálu konečný, zniká li em souhlasného s upního napě í na ýs upu oddělo acího s upně chybo é napě í, k e é je na íc značně nelineá ně zá islé p á ě na elikos i s upního souhlasného napě í. Jak je ale známo, po lačení souhlasného napě í nečiní p oblémy u ope ačního zesilo ače uži ého in e ujícím zapojení. Z ěch o dů odů byla na žena modi ikace, u k e é bylo k oddělení zá ěže yuži o in e ující uspořádání ope ačního zesilo ače. P incipiální uspořádání ako é dolní p opus i je u edeno na Ob . 3.22. 56 OZn/2 − + Rn−1 a Cn−1CnOZ(n−1)/2 − + Rn−2 b n sudé n liché Rn−1 Cn Cn−2Cn−1 . . . . . . OZ2 − + R3R4 u2 u1 C3C4 R01 C1C2 OZ1 − + R1R2 OZ0 − + . . . . . . OZ2 + R3R4 R02 RZ Ob . 3.22: Nekaskádní řešení dolní p opus i, u k e é se neupla ní li souhlasného napě í oddělo acího zesilo ače: a) p o sudý řád, b) zakončení il u p o lichý řád il u. Přenoso á unkce il u je pospána o nicí (3-26), přičemž zesílení p o s ejnosmě né napě í K0 = – RZ/ (R01 + R02). Pokud z olíme R01 = R02 = 2R0 jsou koe icien y přenoso é unkce cni p o n- ý řád il u opě u čeny Tab. 2.4. Výpoč o é z ahy u edené Tab. 3.10 a Tab. 3.11 zůs á ají při z oleném R01 = R02 = 2R0 ak éž pla nos i. 4 Ho ní p opus i 4.1 Pasi ní ho ní p opus i Pasi ní ho ní p opus RC 1. řádu. Zapojení pasi ní ho ní p opus i 1. řádu je u edeno na Ob . 4.1a. Podobně, jako při analýze dolní p opus i 1. řádu, lze přenos zapojení u či jako pomě komplexních napě í ( ) ( ) ( ) 2R 1 R C 1. 1/ 1 1/ = = = = + + + Up ZR Kp U p Z Z R pC pRC (4-1) Mezní kmi oče de ino aný jako pokles modulu přenoso é cha ak e is iky o 3 dB ůči hodno ě modulu přenosu na ysokých kmi oč ech je shodný s mezním kmi oč em dolní p opus i 1. řádu, j. m1/RC=  . Využi ím no mo ané komplexní p oměnné m /sp=  , přechází přenoso á unkce (4-1) do a u 57 ( ) 1 1 1/ Ks s =+ (4-2) Jes liže přejdeme z komplexní p oměnné s na no mo aný úhlo ý kmi oče m j / js    == , bude přenoso á unkce, popř. její modul a a gumen ( áze) u čeny z ahy ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 , , a c g . 1 1/ j 1 1/       = = = ++ KK (4-3) Na Ob . 4.1b,c je u eden Bodeů diag am ho ní p opus i 1. řádu, j. zá islos zisku ( ) ( ) 20logzK  = a a gumen u ( )  na no mo aném kmi oč u Ω. Po o náním přenoso é unkce ho ní p opus i 1. řádu (4-2) a přenoso é unkce dolní p opus i 1. řádu (3-12) je idě , že přenoso ou unkci ho ní p opus i získáme z dolní p opus i jednoduchou ans o mací 1/ss→ . Ta o ans o mace je pa ná i z loga i mického yjádření modulo é cha ak e is iky, kdy z dolní p opus i (Ob . 3.1b) lze získa modulo ou cha ak e is iku ho ní p opus i (Ob . 4.1b) jejím z cadlením kolem mezního kmi oč u m  , esp. 1  = , čemuž odpo ídá ans o mace 1/  → ( esp. 1/ss→ ). Fo málně pak i přenos K0 pásmu p opus nos i dolní p opus i přechází na přenos K∞ pásmu p opus nos i ho ní p opus i. V p axi se šak p o označení přenosu pásmu p opus nos i ho ní p opus i, esp. i pásmu p opus nos i os a ních ypů kmi oč o ých il ů, yuží á označení K0. b c 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 90 45 0 φ [deg] φ(Ω) 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] 20 dB/dek 3 dB z(Ω) a C R u1 u2 Ob . 4.1: a) Pasi ní ho ní p opus RC 1. řádu a jeho b) modulo á a c) a gumen o á cha ak e is ika 64 ( ) 0 11 2 2 2 2 m 2 m 1 2 1. 2 1 1 1 1 1 11 K Ks ab R C s R R C s s s  == + + + + (4-14) Od ud 22 0 1 m 2 1 m 1 2 1, 2/ , 1/K a R C b RR C= = =  . Z olíme-li 12 C C C== , bude 1 1 m 1 /4πR a Cb= a 2 m 1 1/πR Ca= . Ho ní p opus 2. řádu se řemi zesilo ači lze ealizo a ob odem u edeným na Ob . 2.6, yužijeme-li ýs up zesilo ače OZ1. Z olíme-li 12 C C C== a R3 = R4 = R5 = R6 = R, bude mí přenos (2-13) p o komplexní no mo anou p oměnnou m /sp=  a ( ) 0 11 2 2 2 2 m 1 m 1 2 1. 1 1 1 1 1 1 11 K Ks ab RC s R R C s s s == + + + +  (4-15) Z po o nání s obecnou přenoso ou unkcí je zřejmé, že 0 1 m 1 1, 1/ ,K a RC  == 22 1 m 1 2 1/b R R C  = . Od ud pak 1 m 1 1/ 2πR Ca= , 2 1 m 1 /2πR a Cb= . 5 Pásmo é p opus i 5.1 Základní las nos i pásmo ých p opus í Spojíme-li kaskádně za sebou ho ní a dolní p opus 1.řádu získáme pásmo ou p opus . Pásmo á p opus je p o o de ino ána až přenoso ou unkcí d uhého řádu a dále pak p o yšší řády ždy přenoso ou unkcí sudého řádu, j. 2, 4, 6 a d. Pásmo é p opus i se ě šinou cha ak e izují pa ame y kmi a ého ok uhu, j. čini elem přenosu K0 na ezonančním (s ředním) kmi oč u 0 a čini elem jakos i Q. Ob ykle se p o ná h uží á no mo aný a přenoso é unkce, kdy no mo aná komplexní p oměnná s je z ažena zhledem k ezonančnímu kmi oč u 0 0 0 2π , j. / s p  == . Přenoso á unkce pásmo é p opus i 2. řádu pak bude mí obecně a ( ) ( ) ( ) 0 2 /. 1 1/ K Q s Ks Q s s =++ (5-1) Ten o způsob yjádření umožňuje s ano i základní pa ame y pásmo é p opus i přímo z přenoso é unkce. Subs i ucí jsΩ= , kde no mo aný úhlo ý kmi oče 00 / / ,    == lze pak s ano i modulo ou a a gumen o ou cha ak e is iku il u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 22 2 1 /, a c an . 1/ Q KQ KQ        − == −+ (5-2) Příklad p ůběhu modulo é cha ak e is iky ( ) ( ) ( ) 0 20log /z K K  = pásmo ých p opus í s čini elem jakos i Q = 1, Q = 10 a Q = 20 je u eden na Ob .5.1. Je zřejmé, že u pásmo ých p opus í 2. řádu je p ůběh modulo é cha ak e is iky ím os řejší, čím yšší je čini el jakos i Q. Modulo á cha ak e is ika il u na nízkých i ysokých kmi oč ech klesá se 65 sklonem ±20 dB/dek. Na ezonančním kmi oč u má přenos eálnou hodno u a ázo é na očení je na om o kmi oč u nulo é. Čini el jakos i pásmo é p opus i u číme podle analogie s kmi a ým ok uhem jako pomě ezonančního kmi oč u k šířce kmi oč o ého pásma B, j. 00 h d h d 11 , QB = = = = − −     (5-3) kde d značí dolní a h ho ní kmi oče , kdy dojde k poklesu modulu přenoso é unkce pásmo é p opus i o 3 dB, esp. d d 0 /  = značí dolní a n n 0 /  = ho ní no mo aný úhlo ý kmi oče p o pokles o 3 dB a ∆  značí no mo anou šířku pásma hd     = − . P o ože kmi oč y d  a h  jsou z cadlo ě ozloženy kolem osy =1  , pla í p o ně dn 1/  = . Ho ní a dolní mezní kmi oče pásmo é p opus i můžeme u či řešením o nic Ωd = 1/Ωh a hd     = − . Od ud no mo aný dolní mezní kmi oče ( ) 2 d 4 2   − +  + = (5-4) a no mo aný ho ní mezní kmi oče ( ) 2 h 4. 2    +  + = (5-5) 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 10 5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] z(Ω) -5 0 Q=1 Q=10 Q=1 Q=10 Q=20 Ob . 5.1: Modulo é cha ak e is iky pásmo ých p opus í 2. řádu U pásmo ých p opus í 2. řádu je p ůběh modulo é cha ak e is ik ím os řejší, čím yšší je jejich čini el jakos i. Exis ují šak případy, kdy okolí s ředního kmi oč u požadujeme pokud možno plochý p ůběh cha ak e is iky s os ým poklesem za pásmem p opus nos i. Tako ou o úlohu lze řeši kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i s přenoso ou unkcí ap oximo anou něk e ým z dří e u edených způsobů. K omě šířky pásma ΔΩ u čené mezními kmi oč y dolní a ho ní p opus i je edy možno zada i požado aný p ůběh modulo é cha ak e is iky. Na Ob .5.2 jsou u edeny modulo é cha ak e is iky pásmo ých p opus í 4. řádu získané kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i 2. řádu ap oximo aných dle Bu e wo ha a dle Čebyše a se z lněním Δz = 2 dB. P o s o nání je ob ázku čá ko aně naznačena modulo á cha ak e is ika pásmo é p opus i 2. řádu ealizo aná kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i 1. řádu, [15], [16]. 66 a Dolní p opus u1 Ho ní p opus u2 b 10-2 10-1 100102 Ω [-] 10 0 -10 -20 -30 -45 -50 z[dB] z(Ω) PP 2. řádu – Bu e wo h PP 4. řádu – Bu e wo h PP 4. řádu – Čebyše (2 dB) 101 ΩdΩh 3 dB ΔΩ Ob . 5.2: a) Realizace pásmo é p opus i kaskádním řazením dolní a ho ní p opus i, b) modulo é cha ak e is iky pásmo é p opus i 4. řádu ap oximo ané dle Bu e wo ha a Čebyše a se z lněním 2 dB (čá ko aně naznačena pásmo á p opus 2. řádu) 5.2 Pasi ní pásmo é p opus i Pasi ní pásmo á p opus RC 2. řádu Jedna z možných ealizací pásmo é p opus i, k e á znikla kaskádním spojením pasi ní ho ní a dolní p opus i, je u edena na Ob .5.3a. Zapojení se ob ykle u ádí pod označením Wienů článek. Nej yšší čini el jakos i dosahuje p opus při shodných kapaci ách obou kapaci o ů a při shodných odpo ech obou ezis o ů. Přenoso á unkce ako ého o kmi oč o ě zá islého neza íženého impedančního děliče b c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,01 0,1 1 10 100 -90 -60 -30 0 30 60 90 0,01 0,1 1 10 100 Ω [-] φ [deg] φ(Ω) K[-] a C R u1 u2 R C K(Ω) Ω [-] Ob . 5.3: a) Pasi ní pásmo á p opus RC (Wienů článek) a jeho b) modulo á a c) ázo á cha ak e is ika 67 ( ) R C R C R C R C RC RC 1 || , 1 || Z Z Y Y Kp Z Z Z Z ZZYY + == ++ +++ (5-6) kde RR 1/Z Y R== a CC 1/ 1/Z Y pC== a edy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1/ . 111 1/ R pC pRC Kp pRC pRC RpC R pC + == ++ ++ + (5-7) Pokud přenoso ou unkci no mujeme zhledem k ezonančnímu kmi oč u 01/RC=  , j. za edeme no mo anou komplexní p oměnnou 0 /sp  = , esp. p o edeme subs i uci 0/p s s RC  == , dos aneme přenoso ou unkci e a u ( ) ( ) 2 1 s Ks ss = ++ (5-8) Pokud chceme yjádři zá islos přenoso é unkce na no mo aném úhlo ém kmi oč u, p o edeme subs i uci js  = a pak ( ) ( ) 2 j1 . 1 1 j j 3j K     ==  ++ +−   (5-9) Od ud u číme modulo ou cha ak e is iku ( ) 2 1, 1 9 K    =  +−   (5-10) a ázo ou cha ak e is iku ( ) 2 1 a c g . 3    − = (5-11) Výs upní napě í je maximální při Ω = 1, esp. při kmi oč u 00 /2π 1/ 2π RC==  , kdy bude přenos K0 = 1/3 a ázo é na očení je nulo é ( iz Ob .5.3b,c). Selek i ní las nos i pásmo é p opus i, jak bylo již řečeno, se de inují čini elem jakos i Q = 0/B, kde B je kmi oč o é pásmo, na jehož ok ajích poklesne modul přenoso é unkce na hodno u 0/2K ůči hodno ě při ezonančním kmi oč u, esp. zisk poklesne o 3 dB. V případě, že odpo y ezis o ů a kapaci y kapaci o ů jsou shodné, pak hodno a čini ele jakos i je pouze Q = 1/3, což ale zá o eň předs a uje i maximální dosaži elnou hodno u pa ame u Q é o pásmo é p opus i. 68 Pasi ní pásmo é p opus i RLC 2. řádu Lepších las nos í lze dosáhnou použi ím RLC p ků. V p ém případě (Ob .5.4a) je pásmo á p opus ealizo ána s yuži ím sé io ého ezonančního ob odu LC. Přenoso á unkce je dána z ahem ( ) R2 LCR . 1 ZRC p Kp Z Z Z RC p LC p == + + + + (5-12) Rezonanční kmi oče 0  je dán Thomsono ým z ahem 01/ LC=  a čini el jakos i //Q L C R= . c d 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 80 40 φ [deg] 0 -40 φ(Ω) Q=1 Q=10 60 20 -20 -80 -60 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 10 5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] z(Ω) -5 0 Q=1 Q=10 a C R u1 u2 L b C R u1 u2 L Ob . 5.4: Pasi ní RLC pásmo á p opus 2. řádu: a) se sé io ým ezonančním ob odem, b) s pa alelním ezonančním ob odem a jejich c) modulo á a d) a gumen o á cha ak e is ika (Q = 1, Q = 10) V d uhém případě (Ob .5.4b) pásmo á p opus yuží á pa alelního ezonančního ob odu LC a její přenos ( ) ( ) CL 2 R C L || , || 1 / ZZ RC p Kp Z Z Z L R p LC p == + + + (5-13) Rezonanční kmi oče je i om o případě 01/ LC=  a čini el jakos i /Q R C L= . 69 Při ná hu pasi ní pásmo é p opus i dos ačuje de ino a ezonanční kmi oče ( ) 00 esp.  a požado aný čini el jakos i Q. Příklad p ůběhů modulo é a a gumen o é cha ak e is iky pásmo é p opus i 2. řádu p o čini el jakos i Q = 1 a Q = 10 je u eden na Ob .5.5c,d. 5.3 Ak i ní pásmo é p opus i Pásmo á p opus se složi ou zápo nou zpě nou azbou je uspořádána podle Ob .5.5a. Přenoso ou unkci u číme podle o . (2-11) pla ící p o obecný ob od na Ob . 2.4. P o ože 1 1 2 1 3 2 4 2 5 3 1/ , , 1/ , , 1/Y R Y pC Y R Y pC Y R= = = = = , bude ( ) ( ) 2 1 21 2 1 2 3 1 2 2 3 2 12 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 pC R Kp p C C pC pC R R R R R C p RR R R C C R R R C C pp R R R R = − =  + + + +   −+ = + ++ ++ (5-14) a b OZ R1 − + R2 u1 u2 C1R3 C2 z[dB] 0 dB 0 OZ log [Hz] B min 40 dB PP Ob . 5.5: a) Pásmo á p opus se složi ou zápo nou zpě nou azbou, b) požada ky na kmi oč o ou cha ak e is iku ope ačního zesilo ače Za edeme-li no mo anou komplexní p oměnnou nyní no mo anou zhledem k ezonančnímu kmi oč u 00 2π =  , j. 0 /sp=  a z olíme-li 12 C C C== , dos aneme ( ) ( ) ( ) 23 00 12 22 22 1 2 3 12 00 1 2 1 2 /. 21 1/ 1 R R C sK Q s RR Ks R R R C R R C Q s s ss R R R R   −+ == ++ ++ ++ (5-15) S o náme-li ýsledek s obecnou přenoso ou unkcí pásmo é p opus i, idíme, že člen před 2 s musí bý o en jedné. Z é o podmínky můžeme s ano i ezonanční kmi oče 70 12 00 1 2 3 1 2π. RR C R R R + ==  (5-16) Dále je zřejmé, že ( ) 1 2 1 2 0 1 2 3 1 2 122 R R R R C Q R R R R R  == ++ (5-17) a edy ( ) 3 1 2 12 3 0 3 0 3 1 2 1 2 3 1 1 1 π 2 2 2 R R R RR Q R R C R C R R R R R  ++ = = = = (5-18) a aké, že 0 3 1 /2K R R=− . Je idě , že ezonanční kmi oče , čini el jakos i a čini el přenosu při ezonanci se mohou oli libo olně, nezá isle na sobě. Vz ah p o šířku pásma můžeme s ano i z o . (5-3), j. B = 0/Q, kdy po dosazení z o . (5-18) dos aneme 3 1/πB R C= . P o ože eličina B nezá isí na R1 a R2 a dále, p o ože K0 nezá isí na R2, je možno ezonanční kmi oče 0 měni změnou odpo u ezis o u R2, aniž se změní šířka p opus ného pásma B či přenos při ezonanci K0. Při ná hu pos upujeme ak, že z olíme 12 C C C== a p o požado anou šířku pásma B = 0/Q yčíslíme 30 1/π / πR BC Q C== . Dále u číme 1 3 0 /2R R K=− p o z olený (zápo ný) přenos K0. Z o . (5-16) pak yčíslíme odpo ( ) 22 2 1 0 1 3 /4π1R R CR R=− . P obí aná pásmo á p opus má u ýhodu, že nemá sklon k oscilacím na ezonančním kmi oč u při ne zcela přesně yb aných hodno ách jedno li ých p ků. Samozřejmě se předpokládá, že ope ační zesilo ač má p o edenu s anda dní ko ekci kmi oč o é cha ak e is iky, jinak mohou zniknou ysoko ek enční kmi y. Další samozřejmos í pak je, že ope ační zesilo ač má dos a ečnou eze u zesílení při ezonančním kmi oč u ( iz Ob .5.5b), jinak dojde ke zk eslení kmi oč o é cha ak e is iky il u. Zapojení p opus i na Ob .5.5a bude unkční i p o R2 = ∞. V om případě 31 / /2Q R R= a 2 02KQ=− . Ob od šak om o případě klade z ýšené ná oky na ýbě ope ačního zesilo ače, p o ože en při ezonančním kmi oč u 0, musí mí zesílení s eze ou ě ší než 2Q2. Např. p o Q = 100, musí mí ope ační zesilo ač při kmi oč u 0 zesílení ě ší než 20 000. Pásmo á p opus se zesilo ačem s konečným zesílením. Příklad yuži í slabé kladné zpě né azby p o řešení pásmo é p opus i ilus uje zapojení na Ob .5.6. P incipiálně se jedná o zapojení obecného il u z Ob . 2.5 a můžeme edy p o s ano ení přenosu yuží o . (2-12). Zesílení nein e ujícího zesilo ače je dáno děličem zařazeným do zápo né zpě né azby OZ, j. U 5 4 1/A R R=+ . Aby se řešení zjednodušilo, je možno předpokláda R1 = R2 = R, R3 = 2R, 12 C C C== a edy admi ance z o . (2-12) budou 1 2 3 4 1/ , ,Y Y R Y Y pC= = = = 51/2YR= . Pak přenoso á unkce ( ) ( ) U2 2 2 U 13 A RC p Kp A RC p R C p =+ − + (5-19) a po za edení komplexní p oměnné 0 /sp  = bude přenos pásmo é p opus i 71 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 U0 2 2 2 2 2 U 0 0 /. 1 3 1 1/ K Q s A RC s Ks A RC s R C s Q s s == + − + + +   (5-20) R4 R3 R2− + u1 u2 C1 C2 OZ R5 R1 Ob . 5.6: Ak i ní pásmo á p opus se zesilo ačem s konečným zesílením Ze s o nání s obecným z ahem p o přenoso ou unkci pásmo é p opus i můžeme s ano i pa ame y il u. P o ože člen před 2 s se musí o na jedné, bude 01/RC=  , esp. ezonanční kmi oče 01/ 2π RC= . Dále p o il pla í ( ) U 1/ 3QA=− a ( ) 0 U U /3K A A=− . Je zřejmé, že ne ýhodou il u je zájemná zá islos eličin K0 a Q. Čás ečnou ýhodou je, že změnou zesílení AU lze měni čini el jakos i, aniž dojde ke změně ezonančního kmi oč u, p o ože en na AU nezá isí. Při ná hu je dále zapo řebí počí a s ím, že p o AU = 3 je čini el přenosu nekonečně elký a ob od se ozkmi á. Čím íce se AU blíží k hodno ě 3, ím pečli ěji musí bý nas a ena jeho hodno a. Pásmo á p opus se řemi zesilo ači je u edena na Ob . 2.6, přičemž se om o případě yužije ýs up OZ2. Ob ykle se olí R3 = R4 = R5 = R6 = R a 12 C C C== a pak o . (2-14) bude mí p o komplexní p oměnnou 0 /sp=  a ( ) ( ) ( ) 0 20 2 2 2 2 2 0 1 2 0 /. 1 1 1/ K Q s R C s Ks R C s R R C s Q s s   − == + + + + (5-21) Po o náním s obecnou přenoso ou unkcí p o pásmo ou p opus pak dos aneme 0 0 1 2 2π 1/ C RR==  , 2 0 0 1/ , 1  = = −Q R C K . Rezonanční kmi oče 0 lze dos a i pomocí odpo u R1, aniž se změní čini el jakos i Q, nebo přenos při ezonanci K0. Další zapojení pásmo ých p opus í lze např. dohleda li . [13], [14], [17]. 6 Pásmo é zád že 6.1 Základní las nos i pásmo ých zád ží Další ze základních il ačních unkcí ealizuje pásmo á zád ž. Podobně jako pásmo á p opus je de ino ána až přenoso ou unkcí 2. řádu, a dále pak p o yšší řády přenoso ou unkcí sudého řádu. P ak ické yuži í pásmo é zád že spočí á od il o ání uši é složky uži ečném signálu, kdy obecně na ezonančním kmi oč u il u je jeho přenos nulo ý a p o 72 nízké a ysoké kmi oč y má kons an ní hodno u K0. S ejně jako omu je u pásmo ých p opus í, ak i u pásmo ých zád ží lze ho oři o míře jejich selek i i y, kdy se za ádí e mín čini el jakos i po lačení signálu Q = 0/B, kde B de inuje kmi oč o é pásmo zad žení, na jehož ok ajích poklesne modul přenoso é unkce na hodno u 0/2K , esp. zisk poklesne o 3 dB. S ejně jako u pásmo é p opus i pak aké pla í, že čím ě ší je čini el jakos i, ím s měji se mění modul přenosu při přechodu z p opus ného do nep opus ného pásma. Pokud za edeme no mo ání komplexní p oměnné zhledem ke kmi oč u po lačení 00 2π  = , zn. 0 /sp  = , bude přenoso á unkce pásmo é zád že ( ) ( ) 2 0 2 1 1/ Ks Ks s Q s + =++ (6-1) Od ud po dosazení za js  = snadno yčíslíme z ahy p o modulo ou a a gumen o ou cha ak e is iku il u ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 24 2 1, a c g . 1 1 12 K KQ Q       − == −  + − +   (6-2) P ůběh modulo é kmi oč o é cha ak e is iky pásmo é zád že ( ) ( ) ( ) 0 20log /z K K  = je p o Q = 1, Q = 3 a Q = 10 u eden na Ob .6.1. 10-2 10-1 100101102 Ω [-] 10 5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 z[dB] z(Ω) -5 0 Q=1 Q=3 Q=10 Ob . 6.1: Modulo é cha ak e is iky pásmo ých zád ží 2. řádu 6.2 Pasi ní pásmo é zád že Pasi ní pásmo é zád že RC 2. řádu D a příklady pasi ní zád že RC 2. řádu jsou u edeny na Ob .6.2a,b. Budou-li odpo y ezis o ů a kapaci y kapaci o ů shodné, bude přenoso á unkce obou případech 73 c d 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,01 0,1 1 10 100 Ω [-] K[-] K(Ω) -10 -5 0 5 10 0,01 0,1 1 10 100 Ω [-] φ [deg] φ(Ω) b C R u1 u2 R C a R u1 u2 R C C Ob . 6.2: a), b) Pasi ní pásmo é zád že RC 2. řádu a jejich c) modulo á a d) ázo á cha ak e is ika ( ) 2 2 2 2 2 2 21 . 31 p R C pRC Kp p R C pRC ++ =++ (6-3) P o obě a ian y aké bude shodný kmi oče po lačení 01/RC=  i čini el jakos i po lačení Q = 1/3, což je maximální hodno a čini ele po lačení, k e ou lze ěmi o zapojeními dosáhnou . Výs upní napě í je minimální při Ω = 1, esp. při kmi oč u 00 /2π 1/ 2π RC==  a na nízkých a na ysokých kmi oč ech se bude přenos blíži jedné K0 = 1. P ůběh modulo é a ázo é cha ak e is iky je nak eslen na Ob .6.2c,d. Pasi ní pásmo é zád že RLC 2. řádu Lepší po lačení signálu okolí kmi oč u 0 lze samozřejmě dosáhnou pasi ními pásmo ými zád žemi RLC u edenými na Ob .6.3a,b. Zapojení zád že z Ob .6.3a yuží á e s é s uk uře pa alelní ezonanční ob od, zapojení z Ob .6.3b pak sé io ý ezonanční ob od. V případě zapojení z Ob .6.3a lze napěťo ou přenoso ou unkci yjádři e a u ( ) 2 R2 L C R 1 || / 1 Zp LC Kp Z Z Z p LC pL R + == + + + (6-4) a u zapojení z Ob .6.3b je přenoso á unkce u čena ý azem ( ) 2 LC 2 R L C 1. 1 ZZ p LC Kp Z Z Z p LC pCR ++ == + + + + (6-5) V případě zapojení z Ob .6.3 se edy jedná již o pásmo é zád že p a ém slo a smyslu, kdy čini el jakos i může eo e icky nabý a libo olných hodno a přenos il u je na kmi oč u 0 nulo ý. 80 ( ) ( ) zm 1 1 0 0 . π I i i T a = ==   (7-12) Hodno y no mo aného skupino ého zpoždění ázo acích článků n- ého řádu je edy možné u či pouze z koe icien ů ai, k e é jsou u edeny Tab. 7.1. V Tab. 7.1 jsou k omě koe icien ů ai a bi a no mo aného skupino ého zpoždění Tz (0) u edeny i hodno y pomě ů kmi oč ů i/ m, kde i odpo ídá kmi oč u, při k e ém na očení áze dílčího il u je -90° případě dílčího ázo acího článku 1. řádu, esp. -180° p o ázo ací článek 2. řádu. Zná hodno u kmi oč u i je ýhodné přede ším případě p ak ické ealizace, neboť daný kmi oče lze změři mnohem snadněji než mezní kmi oče skupino ého zpoždění m. Na Ob .7.1 jsou u edeny no mo ané kmi oč o é cha ak e is iky skupino ého zpoždění ázo acích článků 1. až 10. řádu. 0,01 0,03 0,1 0,3 Ω [-] 2,5 2,0 1,0 Tz[-] 3,0 3,5 1,5 0,5 01 3 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 n=1 Tz(Ω) Ob . 7.1: Skupino é zpoždění ázo acích článků 1. až 10. řádu zá islos i na kmi oč u P incip ná hu ázo acího článku ukážeme na příkladu. Předpokládejme, že máme ealizo a zpoždění s upního signálu s kmi oč o ým spek em od 0 do 1 kHz o čas ( ) 0 2 ms=  . Aby bylo časo é zpoždění šech spek álních složek signálu kons an ní, musí bý mezní kmi oče ázo acího článku yšší nebo o en 1 kHz. P o ože ( ) ( ) ( ) z m m /T T      == , musí pla i že ( ) z0 1kHz 2 ms 2,0T  = . Z Tab. 7.1 je idě , že p o u edený případ je nu né použí ázo ací článek 7. řádu, p o k e ý ( ) z0 2,1737T= . Mezní kmi oče m, při k e ém skupino é zpoždění poklesne na 1/ 2 ůči hodno ě Tz(0), edy bude ( ) ( ) mz 0 / 0 2,1737/ 2 ms 1,087 kHz T= = =  . 7.2 Ak i ní ázo ací články Fázo ací článek 1. řádu Fázo ací článek p ního řádu naznačený na Ob .7.2a [16] ykazuje p o nízké kmi oč y (kdy kapaci o C ykazuje éměř nekonečnou impedanci) přenos +1 a p o ysoké kmi oč y (kdy kapaci o C ykazuje éměř nulo ou impedanci) přenos -1, přičemž předpokládáme R1 = R2 = R0. A gumen přenoso é unkce se p o o mění zá islos i na kmi oč u od 0 do -180°. Ob od bude p aco a jako ázo ací článek, jes liže i při s ředních kmi oč ech je modul čini ele přenosu o en jedné. 81 a b OZ R1 − + R2 u1 u2 C R R1 = R2 = R0OZ R1 − + R2 u1 u2 C R R1 = R2 = R0 Ob . 7.2: Fázo ací články 1. řádu Přenoso ou unkci článku z Ob .7.2a lze s ano i e a u ( ) ( ) 1 1 j , esp. j . 1 1 j pRC RC K p K pRC RC −− == ++   (7-13) Podobně jako případě přenoso é unkce (7-1) můžeme s ano i od ud modulo ou cha ak e is iku ( ) 1K=  a ázo ou cha ak e is iku ( ) 2a c g .RC=−    (7-14) Skupino é zpoždění po om ( ) ( ) 2 2 2 d2. d1 RC RC = − = +    (7-15) Na nízkých kmi oč ech bude hodno a skupino ého zpoždění ( ) 02RC=  . Za edeme-li no mo ané přenoso é unkce zhledem ke kmi oč u mm 2π =  , kdy skupino é zpoždění ázo acího článku poklesne na 1/ 2 ůči hodno ě na nízkých kmi oč ech, zn. Za edeme subs i uci m sp=  bude ( ) m m 1 1 RCs Ks RCs − = +   Ze s o nání s obecnou přenoso ou unkcí ( iz o . (7-1)) je zřejmé, že 1m .a RC=  No mo ané skupino é zpoždění ázo acího článku 1.řádu je pak na nízkých kmi oč ech podle o . (7-12) dáno z ahem ( ) 1m zm 0 2 . ππ a RC T RC= = =  (7-16) Fázo ací článek p ního řádu, jehož schéma je naznačeno na Ob .7.2a, může bý edy s úspěchem použi jako ši okopásmo ý posou ač áze. Měníme-li odpo R, je možno nas a i požado anou elikos posunu í áze ozmezí od 0 do -180°, esp. nas a i skupino é zpoždění, přičemž ampli uda ýs upního signálu zůs á á beze změny. Fázo ací článek na Ob .7.2b, [10] ykazuje p o nízké kmi oč y (kdy kapaci o ykazuje éměř nekonečnou impedanci) přenos -1, přičemž předpokládáme R1 = R2 = R0. P o ysoké kmi oč y (kdy kapaci o C ykazuje éměř nulo ou impedanci) bude přenos +1. Ob od edy na áčí ázi signálu od -180° (na nízkých kmi oč ech) do 0° (na ysokých kmi oč ech), přičemž 82 ampli uda ýs upního signálu se nezmění. Skupino é zpoždění lze i zde dos a i změnou odpo u R. Fázo ací článek 2. řádu. Příklad řešení ak i ního ázo acího článku 2. řádu je nak eslen na Ob .7.3. Bude-li p o zjednodušení řešení p o pasi ní p ky pla i C1 = C2 = C, R4 = R5 = R, R3 = RR2/4R1 bude přenos článku ( ) 22 1 1 2 22 1 1 2 12 . 12 RC p R R C p Kp RC p R R C p −+ =− ++ (7-17) R4 − + R5 u2 OZ1 R1− + R2 u1 C1 C2 OZ2 R3 Ob . 7.3: Ak i ní ázo ací článek 2. řádu ealizo aný pomocí pásmo é p opus i a sumačního zesilo ače Za edeme-li no mo anou komplexní p oměnnou m /sp=  , kde m  je kmi oče , při k e ém skupino é zpoždění článku poklesne na hodno u 1/ 2 ůči hodno ě na nízkých kmi oč ech, bude ( ) 2 2 2 2 1 m 1 2 m 1 1 2 2 2 2 1 m 1 2 m 1 1 1 2 1 1 2 1 RC s R R C s a s b s Ks RC s R R C s a s b s − + − + = − = − + + + +   (7-18) Z po o nání yplý á 1 1 m 2a RC=  esp. 1 1 m 1 m / 2 / 4πR a C a C==  a dále 22 1 1 2 m b R R C=  , esp. 2 1 1 m 1 m 1 2 / / πR b a C b aC==  . Je aké zřejmé, že díky zápo nému znaménku o . (7-18) bude základní ázo é na očení na nízkých kmi oč ech -180° a se z yšujícím se kmi oč em se bude o o ázo é na očení z yšo a podle z ahu (7-6), j. ýsledné na očení áze bude ( ) 12 1 180 2a c g . 1 a b    = − − − (7-19) 83 8 Zá ě P oblema iku il ů jsme é o publikaci zámě ně omezili na základní uspořádání pasi ních il ů RC a RLC a na zapojení ak i ních il ů RC s ope ačními zesilo ači. Při zp aco ání publikace jsme yuží ali zejména li e a u u [1] až [38]. Použi é ap oximace přenoso é unkce jsou é o publikaci omezeny na ři základní ap oximace, a o dle Bessela, Bu e wo ha a Čebyše a. Podle našich zkušenos í se d i é ě šině aplikací ys ačí s ěmi o pozna ky. Jde o základní znalos i p oblema iky ná hu kmi oč o ých il ů, k e é musí mí každý, kdo chce na ho a ak i ní il y RC s ne adičními ak i ními p ky jako jsou OTA zesilo ače, ansimpedanční zesilo ače, p oudo é kon ejo y nebo napěťo é kon ejo y. Použi í ěch o ak i ních p ků ozšiřuje kmi oč o ou použi elnos ak i ních il ů až do 100 MHz. Zájemce o u o speciální p oblema iku odkazujeme na naše publikace [39] až [149]. V publikaci jsou aké p ezen o ány ná ho é pos upy p o kons ukci s ejnosmě ně přesných il ů, k e é se použí ají p o kons ukci nepřímých D/A pře odníků, k e é p acují s ozlišením až 23 bi ů. Další pod obnos i k ěm o speciálním il ům lze dohleda našich publikacích [31] až [37]. 84 9 Li e a u a [1] TIETZE, U., Ch SCHENK a E. GAMM. Elec onic ci cui s: handbook o design and applica ion. 2nd ed. New Yo k: Sp inge -Ve lag Be lin Heidelbe g, 2008. ISBN 978-3-540-00429-5. [2] TIETZE, Ul ich a Ch is oph SCHENK. Elec onic ci cui s: design and applica ions. Be lin: Sp inge - Ve lag, 1991. ISBN 354050608x. [3] TIETZE, Ul ich a Ch is oph SCHENK. Halblei e -Schal ungs echnik. 5. Au l. Be lin: Sp inge , 1980. ISBN 3540098488. [4] TIETZE, U. a Ch SCHENK. Halblei e -Schal ungs echnik. 2., neu bea b. und wesen lich e w. Au l. New Yo k: Sp inge -Ve lag, 1971. ISBN 3540052852. [5] HUELSMAN, Law ence P. Ac i e and passi e analog il e design: an in oduc ion. New Yo k: McG aw-Hill, c1993. ISBN 0070308608. [6] SU, Kendall L. Analog il e s. Bos on: Kluwe Academic Publishe s, 1996. ISBN 0412638401. [7] KULARATNA, Nihal. Elec onic ci cui design: om concep o implemen a ion. Boca Ra on, FL: CRC P ess, c2008. ISBN 9780849376177. [8] HÁJEK, Ka el a Jiří SEDLÁČEK. Kmi oč o é il y. P aha: BEN - echnická li e a u a, 2002. ISBN 8073000237. [9] GRAEME, Je ald G. Designing wi h ope a ional ampli ie s: applica ions al e na i es. New Yo k: McG aw-Hill, c1977. ISBN 007023891x. [10] GRAEME, Je ald G. Applica ions o ope a ional ampli ie s: hi d-gene a ion echniques. New Yo k: McG aw-Hill, [1973]. ISBN 0070238901. [11] GRAEME, Je ald G., TOBEY, Gene E. and HUELSMAN, Law ence P. Ope a ional ampli ie s: Design and Applica ions. New Yo k: McG aw-Hill, c1971. ISBN 070649170. [12] HUIJSING, Johan H. Ope a ional ampli ie s: heo y and design. Bos on, MA: Kluwe Academic Publishe s, c2001. ISBN 0792372840. [13] STOUT, Da id a Mil on KAUFAMN. Handbook o ampli ie ci cui design. New Yo k: McG aw-Hill Book Company, 1976. ISBN 007061797x. [14] CLAYTON, G. B. Ope a ional ampli ie s. London: Bu e wo hs, 1971. ISBN 0408702028. [15] DOSTÁL, Jiří. Ope a ional ampli ie s. New Yo k: dis ibu ion o he USA, Else ie /No h-Holland, 1981. ISBN 0444417133. [16] DOSTÁL, Jiří. Ope ační zesilo ače. P aha: BEN - echnická li e a u a, 2005. ISBN 8073000490. [17] DOSTÁL, Jiří. Analogo é a hyb idní počí ače. P aha: SNTL – Naklada els í echnické li e a u y, 1971. [18] DOSTÁL, Jiří. Ope ační zesilo ače. P aha: SNTL – Naklada els í echnické li e a u y, 1981. [19] VEDRAL, Jose a Jan FISCHER. Elek onické ob ody p o měřicí echniku. P aha: Vyda a els í ČVUT, 1999. ISBN 8001019500. [20] NEUMANN, Přemek a Jan UHLÍŘ. Elek onické ob ody a unkční bloky 1. P aha: Vyda a els í ČVUT, 1999. ISBN 8001019810. [21] NEUMANN, Přemek a Jan UHLÍŘ. Elek onické ob ody a unkční bloky 2. P aha: Vyda a els í ČVUT, 2001. ISBN 800102394x. [22] VRBA, K. Analogo á echnika. B no: Vysoké učení echnické B ně, 2012. s. 1-202. ISBN: 978-80- 214-4458-4. [23] VRBA, K. Analogo á echnika - nume ická c ičení. B no: Vysoké učení echnické B ně, 2013. s. 1- 82. ISBN: 978-80-214-4727-1. [24] DOSTÁL, T., FILKA, M., SKLENÁŘ, J., VRBA, K., VRBA, R. Diplomní semináře - elekomunikace. B no: Vysoké učení echnické, 1989. [25] PUNČOCHÁŘ, Jose . Ope ační zesilo ače elek onice. 2. yd. P aha: BEN - echnická li e a u a, 1996. ISBN 8090198430. [26] JOHNS, Da id a Kenne h W MARTIN. Analog in eg a ed ci cui design. New Yo k: John Wiley, c1997. ISBN 0471144487. [27] CHEN, Wai-Kai. The ci cui s and il e s handbook. 2nd ed. Boca Ra on, FL: CRC P ess, c2003. ISBN 0849309123. [28] FRANCO, Se gio. Design wi h ope a ional ampli ie s and analog in eg a ed ci cui s. 3 d ed. New Yo k: McG aw-Hill, c2002. ISBN 0072320842. 85 [29] HERPY, Miklós a Jean-Claude BERKA. Ak i e RC-Fil e : Ein Leh buch, ak i e Fil e schal ungen zu en we en. München: F anzis, 1984. ISBN 377237011x. [30] RAUT, Rabind ana h a M.N.S SWAMI. Mode n analog il e analysis and design: a p ac ical app oach. Weinheim: Wiley-VCH, 2010. ISBN 9783527407668. [31] TOBOLA, P., VRBA, K. Nekaskádní syn éza ak i ní dolní p opus i. Slabop oudý obzo , 50, 1989. [32] TOBOLA, P., VRBA, K. Ná h ak i ní dolní p opus i p o měřicí účely. Sdělo ací echnika, 37, 1989. [33] VRBA, K. Vs upní ob ody číslico ých spek álních analyzá o ů a měřičů čini ele přenosu. B no: VUT, 1991. Knižnice odbo ných a ědeckých spisů Vysokého učení echnického B ně. ISBN 8021404922. [34] VRBA K., VRBA R. An ialiasing Lowpass Fil e wi h a T ansimpedance Opamp o ECG Signal P ocessing. In Biosignal 1994. B no: 1994. p. 150 ( p.) [35] VRBA K., VRBA R. Low-Noise Bandpass Fil e o ECG Analyze . In In e na ional con e ence Biosignal. B no: 1992. p. 89 ( p.) [36] VRBA K., VRBA R. Syn e ic ci cui elemen s o highe o de in a low-noise highpass il e design. In SYS 1994. Lyon: 1994. p. 303 ( p.) [37] VRBA K., VRBA R. DC p ecision LP il e employing ansimpedance ope a ional ampli ie . In SYS 1995. B no: 1995. p. 64 ( p.) [38] HERPY, Miklós. Analoge in eg ie e Schal ungen: (ein Leh buch Schal ungen mi Ope a ions e s  ken und analogen Mul iplizie e n zu en we en). 2. Au l. Budapes : Akadémiai Kiadó, 1979. ISBN 9630518317. [39] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Pseudo-Di e en ial Elec onically Con ollable Second-O de Band-Pass Fil e Using Modi ied Cu en Di e encing/Summing Uni s. In P oceedings o he 40 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP 2017). 2017. p. 320-324. ISBN: 978-1-5090-3981-4. [40] KOTON, J.; KUBÁNEK, D.; SLÁDOK, O.; VRBA, K.; SHADRIN, A.; USHAKOV, P. F ac ional- O de Low- and High-Pass Fil e s Using UVCs. JOURNAL OF CIRCUITS SYSTEMS AND COMPUTERS, 2017, ol. 26, no. 12, p. 1-22. ISSN: 0218-1266. [41] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; POLÁK, J.; VRBA, K.; DOSTÁL, T. Reconnec ion-Less Elec onically Recon igu able Fil e wi h Adjus able Gain Using Vol age Di e encing Cu en Con eyo . Elek onika I Elek o echnika, 2016, ol. 22, no. 6, p. 39-45. ISSN: 1392-1215. [42] JEŘÁBEK, J.; DVOŘÁK, J.; ŠOTNER, R.; METIN, B.; VRBA, K. Mul i unc ional cu en -mode il e wi h dual-pa ame e con ol o he pole equency. ADV ELECTR COMPUT EN, 2016, ol. 16, no. 3, p. 31-36. ISSN: 1582-7445. [43] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Z-copy Vol age Con olled Cu en Followe Di e en ial Inpu T ansconduc ance Ampli ie in Con ollable Biquad a ic Band-Pass Fil e . Elek onika I Elek o echnika, 2016, ol. 22, no. 4, p. 32-36. ISSN: 1392-1215. [44] HERENCSÁR, N.; LAHIRI, A.; KOTON, J.; VRBA, K. Fi s -O de Mul i unc ion Fil e Design Using Cu en Ampli ie s. In P oceedings o 2016 39 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP). Vienna, Aus ia: 2016. p. 279-282. ISBN: 978-1-5090-1287-9. [45] KOTON, J.; KUBÁNEK, D.; VRBA, K.; SHADRIN, A.; USHAKOV, P. Uni e sal Vol age Con eyo s in F ac ional-O de Fil e Design. In P oc. 39 In . Con . Telecommunica ions and Signal P ocessing - TSP 2016. 2016. p. 1-5. ISBN: 978-1-5090-1288-6. [46] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; HERENCSÁR, N.; PROKOP, R.; LAHIRI, A.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Fi s -o de ans e sec ions wi h econnec ion-less elec onically econ igu able high-pass, all-pass and di ec ans e cha ac e . Jou nal o Elec ical Enginee ing, 2016, ol. 67, no. 1, p. 12-20. ISSN: 1335- 3632. [47] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; HAVLÍKOVÁ, R.; VRBA, K.; VENCLOVSKÝ, M. Vol age-Mode CFTA-C Fi h-O de Low-Pass Fil e Design and Op imiza ion. In P oc. 9 h In . Con . Elec ical and Elec onics Enginee ing. Bu sa, Tu ecko: EMO YAYIN, 2015. p. 936-939. ISBN: 978-605-01-0737-1. [48] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. C. Vol age-Mode All-Pass Fil e Passi e Scheme Based on Floa ing Nega i e Resis o and G ounded Capaci o . In P oceedings o he 2015 22nd Eu opean Con e ence on Ci cui Theo y and Design (ECCTD2015). 2015. p. 400- 403. ISBN: 978-1-4799-9876-0. [49] HERENCSÁR, N.; JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. C. Pole F equency and Pass-Band Gain Tunable No el Fully-Di e en ial Cu en -Mode All-Pass Fil e . In P oceedings o he IEEE In e na ional Symposium on Ci cui s and Sys ems (ISCAS). Lisbon, Po ugal: 2015. p. 2668-2671. ISBN: 978-1-4799-8391-9. [50] ŠOTNER, R.; PETRŽELA, J.; JEŘÁBEK, J.; VRBA, K.; DOSTÁL, T. Solu ions o Reconnec ion-less OTA-based Biquads wi h Elec onical T ans e Response Recon igu a ion. In P oceedings o 25 h 86 In e na ional Con e ence RADIOELEKTRONIKA 2015. Pa dubice: Uni e si y o Pa dubice, Facul y o Elec ical Enginee ing and In o ma ics, 2015. p. 40-45. ISBN: 978-1-4799-8117-5. [51] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; HORNG, J.-W.; VRBA, K.; VENCLOVSKÝ, M. Vol age-Mode CFTA-C Thi d-O de Ellip ic Low-Pass Fil e Design and Op imiza ion Using Signal Flow G aph App oach. Elek onika I Elek o echnika, 2015, ol. 21, no. 2, p. 24-29. ISSN: 1392-1215. [52] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. A Modi ied CFTA (MCFTA) and I s Applica ion o SITO- Type Cu en -Mode Uni e sal Ac i e-C Fil e . Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2015, ol. x, no. x, p. 1-9. ISSN: 1555-0281. [53] KOTON, J.; VRBA, K. Fil ační analogo é ob ody p o in eg o anou ýuku VUT a VŠB-TUO. VUT B ně. 2014. s. 1-147. ISBN: 978-80-214-5067-7. [54] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Low-Vol age Fully Cascadable Resis o less T ansadmi ance-Mode All-Pass Fil e . In P oceedings o he 2014 IEEE 57 h In e na ional Midwes Symposium on Ci cui s and Sys ems (MWSCAS 2014). College S a ion, Texas, USA: 2014. p. 185-188. ISBN: 978-1-4799-4132-2. [55] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S.; GÖKNAR, I. New Low-Vol age Low-Powe VM All-Pass Fil e Using Cu en Followe wi h Non-Uni y Gain. In P oceedings o he 2014 IEEE 57 h In e na ional Midwes Symposium on Ci cui s and Sys ems (MWSCAS 2014). College S a ion, Texas, USA: 2014. p. 571-574. ISBN: 978-1-4799-4132-2. [56] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Elec onically Adjus able T iple-Inpu Single-Ou pu Fil e wi h Vol age Di e encing T ansconduc ance Ampli ie . Re ue Roumaine des Sciences Techniques - Se ie Élec o echnique e Éne gé ique, 2014, ol. 59, no. 2, p. 163-172. ISSN: 0035-4066. [57] HERENCSÁR, N.; MINAEI, S.; KOTON, J.; VRBA, K. Vol age-Mode All-Pass Fil e Design Using Simple CMOS T ansconduc o : Non-Ideal Case S udy. In P oceedings o he 2015 38 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP). Be lin, Ge many: 2014. p. 677- 681. ISBN: 978-1-4799-8497-8. [58] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; METIN, B. Vol age-mode mul i unc ion il e wi h mu ually independen Q and w0 con ol ea u e using VDDDAs. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2014, ol. 2014, no. 1, p. 1-8. ISSN: 0925-1030. [59] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; METIN, B. The VDDDA in Mul i unc ion Fil e Wi h Mu ually Independen Q and w0 Con ol Fea u e. In P oc. 8 h In . Con . Elec ical and Elec onics Enginee ing - ELECO 2013. Tu ecko: 2013. p. 53-56. ISBN: 978-605-01-0504-9. [60] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. New Cu en -Mode All-Pass Fil e Wi h G ounded Capaci o Based on Gain-Va iable CCIII. In P oceedings o he IEEE Region 8 AFRICON 2013. Poin e Aux Pimen s, Mau i ius: IEEE, 2013. p. 559-562. ISBN: 978-1-4673-5943-6. [61] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Gene al Cu en -Mode Fil e ing S uc u e wi h Con ollable Cu en Ac i e Elemen s. In P oceedings o he 36 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP 2013). 2013. p. 402-406. ISBN: 978-1-4799-0403-7. [62] HERENCSÁR, N.; MINAEI, S.; KOTON, J.; YUCE, E.; VRBA, K. New Resis o less and Elec onically Tunable Realiza ion o Dual-Ou pu VM All-Pass Fil e Using VDIBA. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2013, ol. 74, no. 1, p. 141-154. ISSN: 0925- 1030. [63] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Adjus able band-pass il e wi h cu en ac i e elemen s: wo ully-di e en ial and single-ended solu ions. ANALOG INTEGRATED CIRCUITS AND SIGNAL PROCESSING, 2013, ol. 74, no. 1, p. 129-139. ISSN: 0925-1030. [64] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; LAHIRI, A.; METIN, B.; VRBA, K. A Vol age Gain-Con olled Modi ied CFOA And I s Applica ion in Elec onically Tunable Fou -Mode All-Pass Fil e Design. In e na ional Jou nal o Ad ances in Telecommunica ions, Elec o echnics, Signals and Sys ems, 2012, ol. 1, no. 1, p. 20-25. ISSN: 1805-5443. [65] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; METIN, B. Fully Cascadable Dual-Mode All-Pass Fil e Based on Single DBTA. In P oceedings o he 2012 35 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP). P ague, Czech Republic: 2012. p. 374-377. ISBN: 978-1-4673-1118-2. [66] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Compa ison o he SITO Cu en -Mode Uni e sal Fil e s Using Mul iple-Ou pu Cu en Followe s. In P oceedings o he 35 h In e na ional Con e ence on Telecommunica ions and Signal P ocessing (TSP 2012). 2012. p. 406-410. ISBN: 978-1-4673-1118-2. [67] METIN, B.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. A CMOS DCCII wi h a G ounded Capaci o Based Cascadable All-Pass Fil e Applica ion. Radioenginee ing, 2012, ol. 21, no. 2, p. 718-724. ISSN: 1210-2512. [68] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A.; METIN, B. No el Dual-Mode Elec onically Tunable All-Pass Fil e Using Vol age Gain-Con olled MCFOA. In P oceeding o he 13 h 87 In e na ional Con e ence on Op imiza ion o Elec ical and Elec onic Equipmen (OPTIM 2012). B aso : 2012. p. 1199-1202. ISBN: 978-1-4673-1653-8. [69] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A.; METIN, B. No el Dual-Mode Elec onically Tunable All-Pass Fil e Using Vol age Gain-Con olled MCFOA. Book o Abs ac s o he 13 h In e na ional Con e ence on Op imiza ion o Elec ical and Elec onic Equipmen (OPTIM 2012). B aso : 2012. p. 219-219. ISBN: 1842-0133. [70] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; METIN, B.; CICEKOGLU, O. Low-Vol age Two NMOS IVB-Based Vol age-Mode Fi s -O de All-Pass Fil e Wi h Tuning. In P oceedings o he 11 h In e na ional Con e ence on De elopmen and Applica ion Sys ems (DAS 2012). Sucea a: 2012. p. 119- 121. ISBN: 978-606-571-815-9. [71] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J. A No el Cu en -Mode KHN-Equi alen Biquad Using Th ee CFTAs. Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2012, ol. 7, no. 3, p. 201-208. ISSN: 1555-0281. [72] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Compa ison o he Fully-Di e en ial and Single-Ended Solu ions o he F equency Fil e wi h Cu en Followe s and Adjus able Cu en Ampli ie . In ICN 2012 : The Ele en h In e na ional Con e ence on Ne wo ks. Reunion, F ance: IARIA, 2012. p. 50-54. ISBN: 978-1-61208- 183-0. [73] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A. Single GCFDITA and G ounded Passi e Elemen s Based Gene al Topology o Analog Signal P ocessing Applica ions. In P oceedings o he Ele en h In e na ional Con e ence on Ne wo ks - ICN 2012. 2012. p. 59-62. ISBN: 978-1-61208-183-0. [74] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I. Vol age-Con olled Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e Employing CFTAs and PCAs. Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2012, ol. 7, no. 1-2, p. 61-69. ISSN: 1555-0281. [75] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Tunable uni e sal il e wi h cu en ollowe and ansconduc ance ampli ie s and s udy o pa asi ic in luences. Jou nal o Elec ical Enginee ing, 2011, ol. 62, no. 6, p. 317-326. ISSN: 1335-3632. [76] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Compa ison o Fully-Di e en ial and Single- Ended Cu en -Mode Band-Pass Fil e s wi h Cu en Ac i e Elemen s. In P oceedings o 7 h In e na ional Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing - ELECO 2011, Volume 2. Bu sa, Tu key: EMO, 2011. p. 100-104. ISBN: 978-605-01-0208-6. [77] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. PWL Func ion App oxima ion Ci cui wi h Diodes and Cu en Inpu and Ou pu . In P oceedings o he 10 h WSEAS In e na ional Con e ence on Sys em Science and Simula ion in Enginee ing (ICOSSSE 11). Penang, Malaysia: WSEAS P ess, 2011. p. 235-239. ISBN: 978-1- 61804-042-8. [78] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; ŠEVČÍK, B.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. No el Solu ion o No ch/All-pass Fil e wi h Special Elec onic Adjus ing o A enua ion in he S op Band. Elek onika I Elek o echnika, 2011, ol. 17 (2011), no. 7 (113), p. 37-42. ISSN: 1392-1215. [79] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K.; JELÍNEK, M. Uni e sal Fully-Di e en ial Adjus able Fil e wi h Cu en Con eyo s and Cu en Ampli ie in Compa ison wi h Single-Ended Solu ion. In 2011 In e na ional Con e ence on Applied Elec onics. Plzeň: Uni e si y o Wes Bohemia, 2011. p. 189-192. ISBN: 978- 80-7043-987-6. [80] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Design o Fully-Di e en ial Fil e s wi h n h-o de Syn he ic Elemen s and Compa ison wi h Single-Ended Solu ion. In P oceedings o he 2011 IEEE 3 d In e na ional Con e ence on Communica ion So wa e and Ne wo ks (ICCSN 2011). Xi'an, China: IEEE, 2011. p. 437-441. ISBN: 978-1-61284-485-5. [81] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MINAEI, S. Elec onically Tunable MOSFET-C Vol age- Mode All-Pass Fil e Based on Uni e sal Vol age Con eyo . In P oceedings o 2011 In e na ional Con e ence on Compu e and Communica ion De ices (ICCCD 2011). Bali Island, Indonesia: IEEE, 2011. p. 53-56. ISBN: 978-1-4244-9831-4. [82] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; LATTENBERG, I.; VRBA, K. Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e Using Single Mul i-Ou pu Cu en Ampli ie . Jou nal o Ac i e and Passi e Elec onic De ices, 2011, ol. 6, No. 3-4, p. 209-215. ISSN: 1555-0281. [83] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. KHN-equi alen ol age-mode il e s using uni e sal ol age con eyo s. AEU - In e na ional Jou nal o Elec onics and Communica ions, 2011, ol. 2011, no. 2, p. 154-160. ISSN: 1434-8411. [84] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Cu en -mode unable and adjus able il e wi h digi ally adjus able cu en ampli ie and ansconduc ance ampli ie s. In P oceedings o he Eu opean Con e ence o Ci cui s Technology and De ices (ECCTD'10). NAUN, 2010. p. 101-104. ISBN: 978-960-474-250-9. 88 [85] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. Realiza ion o Cu en -Mode KHN-Equi alen Biquad Using Cu en Followe T ansconduc ance Ampli ie s (CFTAs). IEICE TRANSACTIONS ON FUNDAMENTALS OF ELECTRONICS COMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCES, 2010, ol. 93, no. 10, p. 1816-1819. ISSN: 0916-8508. [86] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LAHIRI, A. No el mixed-mode KHN-equi alen il e using z-copy CFTAs and g ounded capaci o s. In In P oceedings o he 4 h In e na ional Con e ence on Ci cui s, Sys ems and Signals (CSS'10). WSEAS, 2010. p. 87-90. ISBN: 978-960-474-208-0. [87] JEŘÁBEK, J.; ŠOTNER, R.; VRBA, K. Fully-Di e en ial Uni e sal Fil e wi h Cu en Ac i e Elemen s. In In P oceedings o he 4 h In e na ional Con e ence on Ci cui s, Sys ems and Signals (CSS'10). WSEAS, 2010. p. 83-86. ISBN: 978-960-474-208-0. [88] ŠOTNER, R.; JEŘÁBEK, J.; DOSTÁL, T.; VRBA, K. Mul i unc ional adjus able CM biquads based on dis ibu ed eedback VM p o o ype wi h OTA-s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, ol. 97, no. 7, p. 797-809. ISSN: 0020-7217. [89] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Single-inpu h ee-ou pu a iable Q and w0 il e s using uni e sal ol age con eyo s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, ol. 97, No. 5, p. 531-538. ISSN: 0020-7217. [90] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. SIMO ype low-inpu and high-ou pu impedance cu en -mode uni e sal il e employing h ee uni e sal cu en con eyo s. AEU - In e na ional Jou nal o Elec onics and Communica ions, 2010, ol. 64, no. 6, p. 588-593. ISSN: 1434-8411. [91] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I. New ol age-mode uni e sal il e and sinusoidal oscilla o using only single DBTA. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2010, ol. 97, no. 4, p. 365-379. ISSN: 0020-7217. [92] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Single-Inpu Th ee-Ou pu Cu en -Mode Fil e Using Dual-Ou pu Cu en Con eyo s. In In . Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing - ELECO 2009. Vol. 2. Tu key: EMO Yayinla i, 2009. p. 263-266. ISBN: 978-9944-89-820-1. [93] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Second-O de Mul i unc ion Fil e wi h Fully Di e en ial Cu en Followe . In P oceedings o he 6 h In e na ional Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing. 2. Bu sa, Tu key: UCTEA, 2009. p. 252-255. ISBN: 978-9944-89-820-1. [94] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Elec onically Tunable Cu en -Mode Low-Pass Fil e . In In . Con e ence on Elec ical and Elec onics Enginee ing - ELECO 2009. Vol. 2. Tu key: EMO Yayinla i, 2009. p. 260-262. ISBN: 978-9944-89-820-1. [95] (h p://www.elek o e ue.cz), 2009, ol. 2009, no. 45, p. 1-4. ISSN: 1213-1539. [96] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J. A new elec onically unable ol age-mode ac i e-C phase shi e using UVC and OTA. IEICE Elec onics Exp ess, 2009, ol. 6, no. 17, p. 1212-1218. ISSN: 1349-2543. [97] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Single UCC-N1B 0520 De ice as a Modi ied CFOA and I s Applica ion o Vol age- and Cu en -Mode Uni e sal Fil e s. In P oceedings o he In e na ional Con e ence Applied Elec onics 2009. Pilsen: ZČU Plzni, 2009. p. 127-130. ISBN: 978-80-7043-781-0. [98] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K. Single CCTA-Based Vol age- and Cu en -Mode Uni e sal Biquad a ic Fil e s Employing Minimum Componen s. In e na ional Jou nal o Compu e and Elec ical Enginee ing, 2009, ol. 1, no. 3, p. 316-319. ISSN: 1793-8163. [99] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Tuneable il e using ol age con eyo s and cu en ac i e elemen s. INTERNATIONAL JOURNAL OF ELECTRONICS, 2009, ol. 96, no. 8, p. 787-794. ISSN: 0020-7217. [100] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J.; LATTENBERG, I. The concep ion o di e en ial-inpu bu e ed and ansconduc ance ampli ie (DBTA) and i s applica ion. IEICE Elec onics Exp ess, 2009, ol. 6, no. 6, p. 329-334. ISSN: 1349-2543. [101] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Va iable Q and w0 Mul i unc ion Fil e Using Uni e sal Vol age Con eyo s. In P oceedings o he 2009 RISP In e na ional Wo kshop on Nonlinea Ci cui s and Signal P ocessing. 2009. p. 597-600. ISBN: 978-4-9902856-1-6. [102] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Fil e wi h Di e en ial Inpu /Ou pu Cu en Followe s Based on Passi e RLC P o o ype. In P oceedings o he 2009 RISP In e na ional Wo kshop on Nonlinea Ci cui s and Signal P ocessing. Japonsko: RISP, 2009. p. 1-4. ISBN: 978-4-9902856-1-6. [103] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. Tunable Uni e sal Fil e Using Mul iple-Ou pu Cu en Followe s. In P oceedings o he 2009 RISP In e na ional Wo kshop on Nonlinea Ci cui s and Signal P ocessing. Japonsko: Resea ch Ins i u e o Signal P ocessing Japan, 2009. p. 601-604. ISBN: 978-4-9902856-1-6. [104] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; MIŠUREC, J. A No el Cu en -Mode SIMO Type Uni e sal Fil e Using CFTAs. Con empo a y Enginee ing Sciences, 2009, ol. 2, no. 2, p. 59- 66. ISSN: 1313-6569. 89 [105] HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; KOTON, J.; LATTENBERG, I. Six-Inpu One-Ou pu Cu en -Mode Uni e sal Fil e Using CMIs and CFTAs. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 50, no. 1, p. 55-62. ISSN: 1738-6438. [106] HERENCSÁR, N.; KOTON, J.; VRBA, K.; LATTENBERG, I.; MIŠUREC, J. Gene alized Design Me hod o Vol age-Con olled Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e s. In P oceedings o he 16 h Telecommunica ions Fo um TELFOR 2008. Belg ade, Se bia: 2008. p. 400-403. ISBN: 978-86-7466- 337-0. [107] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K. F equency Fil e s Syn hesis Based on he Signal-Flow G aphs. In P oceedings o he 16 h Telecommunica ions Fo um TELFOR 2008. Belg ade, Se bia: 2008. p. 404-407. ISBN: 978-86-7466-337-0. [108] JEŘÁBEK, J.; KOTON, J.; VRBA, K. Gene alized Design Me hod o Mul i unc ional F equency Fil e s. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 49, no. 1, p. 85- 92. ISSN: 1738-6438. [109] MINARČÍK, M.; VRBA, K. Vol age Con eyo s and I s Applica ions. In e na ional T ansac ions on Communica ion and Signal P ocessing, 2008, ol. 19, no. 10, p. 1-9. ISSN: 1738-9682. [110] KOTON, J.; VRBA, K. Designing Pu e Cu en -Mode F equency Fil e Using he MCMI. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 49, no. 1, p. 197-203. ISSN: 1738-6438. [111] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. S a e-Va iable Highe -O de Fil e s wi h Di e en ial Inpu /Ou pu Cu en Followe s. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2008, ol. 49, no. 1, p. 186-196. ISSN: 1738-6438. [112] MINARČÍK, M.; VRBA, K. Single-Inpu Six-Ou pu Vol age-Mode Fil e Using Uni e sal Vol age Con eyo s - IF 0,287. IEICE TRANSACTIONS ON FUNDAMENTALS OF ELECTRONICS COMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCES, 2008, ol. E91-A, no. 8, p. 2035-2037. ISSN: 0916-8508. [113] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Tunable Cu en -Mode Mul i unc ion Fil e Using Uni e sal Cu en Con eyo s. In P oceedings o he Thi d In e na ional Con e ence on Sys ems, ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE Compu e Socie y, 2008. p. 1-6. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [114] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. No el Uni e sal Fil e Using Only Two Cu en Ac i e Elemen s. In P oceedings o he Thi d In e na ional Con e ence on Sys ems, ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE Compu e Socie y, 2008. p. 285-289. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [115] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. Second-O de S a e-Va iable Fil e wi h Cu en Ope a ional Ampli ie s. In In e na ional Con e ence on Sys ems ICONS 2008. Cancun, Mexico: IEEE, Compu e Socie y, 2008. p. 1-5. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [116] LATTENBERG, I.; VRBA, K. Fil e s elimina ing inpu impedance o inpu cu en e minal o high- speed analog signal p ocessing. In P oc. o The Se en h In e na ional Con e ence on Ne wo king (ICN 2008). Cancun, Mexico: IEEE Compu e socie y, 2008. p. 567-571. ISBN: 978-0-7695-3106-9. [117] KOTON, J.; VRBA, K. Elec onically Tunable F equency Fil e s Based on T ans o ma ion Cells. In The Thi d In e na ional Con e ence on Sys ems. Cancun: 2008. p. 260-264. ISBN: 978-0-7695-3105-2. [118] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Cu en con eyo s-based ci cui s using no el ans o ma ion me hod. IEICE Elec onics Exp ess, 2007, ol. 4, no. 21, p. 650-656. ISSN: 1349-2543. [119] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Ci cui T ans o ma ion Me hod om BOTA Ci cui s in o UCC-based Ci cui s. In e na ional T ansac ion on Compu e Science and Enginee ing, 2007, ol. 43, no. 1, p. 9- 16. ISSN: 1738-6438. [120] KUBÁNEK, D.; VRBA, K. In luence o he Ampli ie Non-Ideali ies on he Cu en -Mode MFB Low- Pass Fil e . In e na ional T ansac ions on Communica ion and Signal P ocessing, 2007, ol. 10, no. 8, p. 114-121. ISSN: 1738-9682. [121] KOTON, J.; VRBA, K. Mul i unc ional F equency Fil e Using Fou Cu en Con eyo s CCII. In P oceedings o he 12 h IFIP In e na ional Con e ence, P ague. 2007. p. 1-9. ISBN: 978-0-387-74158- 1. [122] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Mul i unc ion Fil e s. In P oceedings o he 12 h IFIP In e na ional Con e ence on Pe sonal Wi eless Communica ions. 2007. p. 1-12. ISBN: 978-0-387-74158-1. [123] KOTON, J.; VRBA, K. New Mul i unc ional F equency Fil e Wo king in Cu en -mode. Mobile and Wi eless Communica ion Ne wo ks, 2007, ol. 2007, no. 245, p. 569-577. ISSN: 1571-5736. [124] JEŘÁBEK, J.; VRBA, K. RF Pu e Cu en -Mode Fil e s using Cu en Mi o s and In e e s. Mobile and Wi eless Communica ion Ne wo ks, 2007, ol. 2007, no. 9, p. 545-556. ISSN: 1571-5736. [125] HERENCSÁR, N.; VRBA, K. Mul i unc ion RF Fil e s Using OTA. Mobile and Wi eless Communica ion Ne wo ks, 2007, ol. 245, no. 1, p. 557-568. ISSN: 1571-5736.