Depa amen o de Engenha ia Física
Sumá ios e Exames de Física 1, 2018
Jaime E. Villa e
Po o, julho de 2018
Copy igh © 2018, Jaime E. Villa e
E-mail: illa e@ e.up.p
Publicado sob a licença C ea i e Commons A ibuição-Pa ilha ( e são 3.0). Pa a ob e uma
cópia des a licença, isi e
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ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons, 559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305,
USA.
Con eúdo
1 Sumá ios 1
1.1 Cinemá ica ...................................... 2
1.2 Cinemá ica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Mo imen o cu ilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Mecânica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6 T abalho e ene gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.7 Sis emas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.8 Mecânica lag angiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.9 Sis emas linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.10 Sis emas não linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.12 Sis emas caó icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 Exames 115
2.1 Exame de época no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.1.3 Co ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2 Exame de época de ecu so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2.3 Co ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Bibliog a ia 131
i CONTEÚDO
Capí ulo 1
Sumá ios
Disciplina Física 1.
Cu so
Mes ado In eg ado em Engenha ia In o má ica e Compu ação. Segundo semes-
e do p imei o ano.
Ano académico 2017–2018, segundo semes e.
Regen e Jaime E. Villa e.
Docen es
An ónio Lopes, João Manuel Viana Pa en e Lopes, Augus o Rod igues e Jaime
E. Villa e.
Núme o de alunos 226.
Mé odo de a aliação Dis ibuída (dois es es, 40%) com exame inal (60%).

2Sumá ios
1.1 Cinemá ica 3
4Sumá ios
1.1 Cinemá ica 5
12 Sumá ios

1.2 Cinemá ica e o ial 13
14 Sumá ios
1.2 Cinemá ica e o ial 15
16 Sumá ios
1.2 Cinemá ica e o ial 17

18 Sumá ios
1.2 Cinemá ica e o ial 19
20 Sumá ios
1.3 Mo imen o cu ilíneo 21
28 Sumá ios

1.4 Mecânica e o ial 29
30 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 31
32 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 33

34 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 35
36 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 37
44 Sumá ios

1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 45
46 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 47
48 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 49

50 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 51
52 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 53
60 Sumá ios

1.6 T abalho e ene gia 61
62 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 63
64 Sumá ios
1.7 Sis emas dinâmicos 65

66 Sumá ios
1.7 Sis emas dinâmicos 67
68 Sumá ios
1.7 Sis emas dinâmicos 69
76 Sumá ios

1.8 Mecânica lag angiana 77
78 Sumá ios
1.8 Mecânica lag angiana 79
80 Sumá ios
1.9 Sis emas linea es 81

82 Sumá ios
1.9 Sis emas linea es 83
84 Sumá ios
1.9 Sis emas linea es 85
92 Sumá ios

1.10 Sis emas não linea es 93
94 Sumá ios
1.10 Sis emas não linea es 95
96 Sumá ios
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 97

98 Sumá ios
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 99
100 Sumá ios
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 101
108 Sumá ios

1.12 Sis emas caó icos 109
110 Sumá ios
1.12 Sis emas caó icos 111
112 Sumá ios
1.12 Sis emas caó icos 113

114 Sumá ios
Capí ulo 2
Exames
2.1 Exame de época no mal
O exame ealizou-se no dia 12 de junho de 2018. Compa ece am 153 es udan es e a
no a média oi 12.8 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões.
Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns
po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as.
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2017/2018
EIC0010 — FÍSICA I — 1ºANO, 2ºSEMESTRE 12 de junho de 2018
Nome:
Du ação 2 ho as. P o a com consul a de o mulá io e uso de compu ado
. O o mulá io pode ocupa apenas uma olha
A4 ( en e e e so) e o compu ado pode se usado unicamen e pa a ealiza cálculos e não pa a consul a apon amen os ou
comunica com ou os! Use g=9.8m/s2.
1.
(4 alo es) Uma es e a homogénea de massa
m
, aio
e momen o de iné cia, em elação ao
seu cen o,
I=2
5m 2
, oda sem desliza numa calha no plano e ical
xy
, de o ma que o
cen o da es e a desc e e uma aje ó ia com o ma de cicloide de 2 m de comp imen o, al
como mos a a igu a. Como al, a al u a
y
do cen o da es e a é dada pela exp essão
y=1
2s2
,
em que
s
é o comp imen o de a co ao longo da aje ó ia, com
s=±1
nos dois ex emos e
s=0
no pon o meio (
y
e
s
em me os). O sis ema de eixos em
x
ho izon al,
y
e ical e
o igem no pon o meio da aje ó ia.
x
y
s=−1
s=0
s=1
(a) Encon e as exp essões da ene gia po encial da es e a, em unção de
s
, e da ene gia ciné ica em unção de
Û
s
. (b) Encon e a equação
de mo imen o pa a a acele ação
Ü
s
da es e a, desp ezando a esis ência do a . (c) Mos e que se a a de um sis ema dinâmico linea e
diga de que ipo é o pon o de equilíb io. (d) Explique como se á o mo imen o da es e a quando o la gada do epouso numa posição
qualque
s
di e en e de ze o. (e) De e mine o empo que demo a á a es e a, la gada do epouso em
s,0
, a é chega ao pon o mais
baixo, s=0(obse e-se que esse empo é o mesmo qualque que o o alo inicial s,0).
2.
(4 alo es) A cu a u a de qualque unção
y= (x)
pode se de e minada esol endo um p oblema de cinemá ica. Conside e-se, po
exemplo, a aje ó ia
y=cos(x)
. Admi indo uma pa ícula que se desloca ao longo dessa aje ó ia, com componen e
x
da elocidade
x=1
, conclui-se en ão que
x=
. (a) Esc e a a exp essão do e o posição da pa ícula em unção de
e encon e as exp essões pa a
os e o es elocidade e acele ação. (b) De e mine a exp essão da acele ação angencial, de i ando o alo da elocidade,
, em o dem
ao empo. (c) De e mine a exp essão da acele ação no mal. (d) Encon e a exp essão do aio de cu a u a e subs i ua
=x
pa a ob e a
exp essão em unção de x.
PERGUNTAS. Respos as ce as, 0.8 alo es, e adas, −0.2, em b anco, 0.
3.
Num obje o com massa de 0.4 kg a uam unicamen e duas o ças
ex e nas:
2ˆ
ı−6ˆ

e
8ˆ
ı+10 ˆ

(ambas em new ons). De e mine o
módulo da acele ação do cen o de massa do obje o.
(A) 26.9 m/s2
(B) 23.3 m/s2
(C) 35.0 m/s2
(D) 18.0 m/s2
(E) 53.9 m/s2
Respos a:
4.
Num sis ema que se desloca no eixo dos
x
, a o ça esul an e é
x2+x−2
. Na lis a seguin e, qual dos alo es co esponde à
posição xdum pon o de equilíb io es á el?
(A) 3
(B) 2
(C) -1
(D) 1
(E) -2
Respos a:
5.
O e o posição dum pon o, em unção do empo, é dado pela
exp essão:
3 3ˆ
ı+( 2+2)ˆ

(unidades SI). Calcule o ângulo en e
os e o es elocidade e posição, no ins an e =1.
(A) 68.2◦
(B) 52.0◦
(C) 13.0◦
(D) 42.2◦
(E) 32.5◦
Respos a:
6. As equações de e olução dum sis ema linea , são:
Û
x=a x +yÛ
y=x+a(x+y)
onde
a
es á no in e alo
a>(1+√5)/2
. Que ipo de pon o de
equilíb io é a o igem do espaço de ase?
(A) oco epulsi o
(B) nó a a i o
(C) oco a a i o
(D) nó epulsi o
(E) pon o de sela
Respos a:
7.
Um ciclis a demo a 39 s a pe co e 350 m, numa pis a e a
e ho izon al, com elocidade uni o me. Sabendo que o aio
das odas da bicicle a é 26.8 cm e admi indo que as odas não
deslizam sob e a pis a, de e mine o alo da elocidade angula
das odas.
(A) 28.7 ad/s
(B) 33.5 ad/s
(C) 19.1 ad/s
(D) 23.9 ad/s
(E) 38.3 ad/s
Respos a:
8.
Um sis ema não linea em um cen o no pon o P. Qual das
a i mações seguin es, ace ca da ma iz jacobiana no pon o P, é
e dadei a?
(A) o aço é posi i o
(B) o de e minan e é nega i o
(C) o de e minan e é nulo
(D) o aço é nega i o
(E) o aço é nulo.
Respos a:
9.
A elocidade de um co edo pode ap oxima -se de
=
7.5√1−0.03 s
, na qual
é exp essa em km/h e a posição na
aje ó ia,
s
, é exp essa em km. Sabendo que
s=0
em
=0
,
de e mine quan os quilóme os e á pe co ido o co edo ao im
de ês qua os de ho a.
(A) 3.741
(B) 6.465
(C) 5.388
(D) 7.758
(E) 4.49
Respos a:
10.
No ins an e em que o bloco A desce com elocidade 12 cm/s,
com que elocidade sobe o bloco B?
A
B
(A) 12 cm/s
(B) 24 cm/s
(C) 6 cm/s
(D) 4 cm/s
(E) 36 cm/s
Respos a:
11.
Um ca pin ei o es á a cons ui um a má io o mado po uma
caixa e ical de 2 m de al u a e massa de 15 kg, com cen o de
massa no pon o C indicado na igu a. O a má io em uma ba a
com massa de 6 kg, ligado a um eixo ho izon al no pon o B,
0.1 m à esque da e 0.8 m po cima do pon o C, que lhe pe mi e
oda um ângulo
θ
em elação à e ical. O cen o de massa da
ba a é o pon o A. De e mine o alo máximo do ângulo
θ
que a
ba a pode oda , sem o a má io cai pa a o lado.
θ
0.1 m
0.2 m
0.8 m
1 m
0.8 m
C
B
A
(A) 73.4◦
(B) 61.0◦
(C) 38.7◦
(D) 52.3◦
(E) 48.6◦
Respos a:
12.
O espaço de ase dum sis ema dinâmico é o plano
xy
. Em
coo denadas pola es, as equações de e olução são
Û
θ=−3
,
Û
= 3+2 2+ . Que ipo de pon o de equilíb io é a o igem?
(A) nó a a i o
(B) oco a a i o
(C) oco epulsi o
(D) pon o de sela
(E) nó epulsi o
Respos a:
13.
Se
x≥0
e
y≥0
, qual dos seguin es sis emas é um sis ema de
duas espécies com compe ição?
(A) Û
x=x2−xyÛ
y=y2−xy
(B) Û
x=xy−x2Û
y=y2−x2
(C) Û
x=y2−xyÛ
y=x2+xy
(D) Û
x=y2−xyÛ
y=x2−xy
(E) Û
x=x2+xyÛ
y=y2+xy
Respos a:
14.
A igu a mos a o e a o de ase duma pa ícula, em que
s
é a
posição na aje ó ia e
a elocidade. Exis e um único pon o de
equilíb io em s=3. Qual das seguin es a i mações é co e a?
-5 -2.5 0 2.5 5
-5
-2.5
0
2.5
5
s
(A) Exis em ciclos.
(B) Exis e uma ó bi a he e oclínica.
(C) Exis e uma ó bi a homoclínica.
(D) O pon o de equilíb io é es á el
(E) O pon o de equilíb io é ins á el.
Respos a:
15.
Um co po de
18
kg desloca-se ao longo do eixo dos
x
. A o ça
esul an e sob e o co po é conse a i a, com ene gia po encial
dada pela exp essão
1+7x2
(SI). Se o co po passa pela o igem
com elocidade
8ˆ
ı
, com que ene gia ciné ica chega á ao pon o
x=5m?
(A) 2005.0 J
(B) 1002.5 J
(C) 3408.5 J
(D) 120.3 J
(E) 401.0 J
Respos a:
16.
Um sis ema de pesos e oldanas, conse a i o, em um único
g au de libe dade
y
. A ene gia ciné ica é dada pela exp essão
5mÛ
y2
e a ene gia po encial é:
U=−6mg y
, onde
g
é a acele a-
ção da g a idade e
m
é um pa áme o com unidades de massa.
De e mine o alo da acele ação Ü
y.
(A) 6
5g
(B) 18
5g
(C) 12
5g
(D) 2
5g
(E) 3
5g
Respos a:
17.
O bloco na igu a, com massa igual a 6 kg, desloca-se pa a
a esque da, com elocidade inicial
®
0
, sob e uma supe ície
ho izon al. Sob e o bloco a ua uma o ça ex e na
®
F
, ho izon al
e cons an e, com módulo igual a 30 N. O coe icien e de a i o
ciné ico en e o bloco e a supe ície é igual a 0.25. Calcule o
módulo da acele ação do bloco.
F
0
m
(A) 7.45 m/s2
(B) 44.7 m/s2
(C) 15.3 m/s2
(D) 5.0 m/s2
(E) 2.55 m/s2
Respos a:
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2017/2018
EIC0010 — FÍSICA I — 1ºANO, 2ºSEMESTRE 27 de junho de 2018
Nome:
Du ação 2 ho as. P o a com consul a de o mulá io e uso de compu ado
. O o mulá io pode ocupa apenas uma olha
A4 ( en e e e so) e o compu ado pode se usado unicamen e pa a ealiza cálculos e não pa a consul a apon amen os ou
comunica com ou os! Use g=9.8m/s2.
1.
(4 alo es) Na igu a, o bloco 1 em massa
m1=1
kg e o bloco 2 em massa
m2=2
kg. Os dois blocos
es ão ligados po uma co da pa alela à supe ície do plano inclinado. En e o bloco 1 e o plano inclinado,
o coe icien e de a i o es á ico é
µ1e =0.35
e o coe icien e de a i o ciné ico
µ1c =0.28
. En e o bloco
2 e o plano inclinado, o coe icien e de a i o es á ico é
µ2e =0.25
e o coe icien e de a i o ciné ico
µ2c =0.20
. (a) Encon e o ângulo
θ
máximo que o plano pode se inclinado, pe manecendo os dois
blocos em epouso. (b) Quando o plano se inclina um ângulo
θ=20◦
, os dois blocos deslizam pa a
baixo do plano; de e mine o alo da ensão na co da nesse caso.
θ
1
2
2. (4 alo es) A co en e num ci cui o elé ico é uma unção con ínua do empo, x( ), que e i ica a seguin e equação di e encial:
Ü
x+x−x3+(a+x)Û
x=0
onde
a
é um pa áme o eal. Analise a equação como sis ema dinâmico, nos dois casos
a<0
e
a>0
. Em cada caso iden i ique os
pon os de equilíb io, de e mine de que ipo são e com base nesses esul ados in e p e e o compo amen o ísico do ci cui o.
PERGUNTAS. Respos as ce as, 0.8 alo es, e adas, −0.2, em b anco, 0.
3.
Lança-se um p ojé il desde uma janela a 3.4 m de al u a, com
elocidade de 10 m/s, inclinada 30
◦
po cima da ho izon al.
Desp ezando a esis ência do a , calcule a al u a máxima a ingida
pelo p ojé il.
(A) 7.2 m
(B) 6.0 m
(C) 4.0 m
(D) 8.5 m
(E) 4.7 m
Respos a:
4.
Um sis ema dinâmico com duas a iá eis de es ado em um único
pon o de equilíb io na o igem e um ciclo limi e. Qual pode á se
a ma iz jacobiana do sis ema na o igem?
(A) 1−1
−2 1 
(B) −1 1
1 1
(C) 1 1
−1 2
(D) −1 1
−1 2
(E) 1 1
2−1
Respos a:
5.
Um bloco com massa
m=6
kg encon a-se sob e a supe ície
de uma mesa ho izon al. Sob e o bloco a ua uma o ça ex e na
®
F
, com módulo de 30 N e di eção que az um ângulo
α=40◦
com a ho izon al, al como mos a a igu a. Calcule o módulo da
eação no mal en e o bloco e a mesa.
F
m
α
(A) 69.06 N
(B) 48.54 N
(C) 78.08 N
(D) 39.52 N
(E) 58.8 N
Respos a:
6. Calcule o momen o de iné cia de uma es e a homogénea com 1
cen íme o de aio e massa igual a 21 g amas, que oda à ol a
dum eixo angen e à supe ície da es e a, sabendo que o momen o
de iné cia duma es e a de aio
R
e massa
m
à ol a do eixo que
passa pelo cen o é 2m R2/5.
(A) 4.20 ×10−7kg·m2
(B) 2.94 ×10−6kg·m2
(C) 1.50 ×10−6kg·m2
(D) 8.40 ×10−7kg·m2
(E) 1.68 ×10−6kg·m2
Respos a:
7.
Quando se liga um PC, o disco ígido demo a 3.6 s, a pa i do
epouso, a é alcança a elocidade no mal de ope ação de 7200
o ações po minu o. Admi indo acele ação angula cons an e
du an e esse in e alo, de e mine o alo da acele ação angula
(A) 279 ad/s2
(B) 419 ad/s2
(C) 209 ad/s2
(D) 182 ad/s2
(E) 838 ad/s2
Respos a:
8.
A igu a mos a o e a o de ase dum sis ema dinâmico com
duas a iá eis de es ado e 4 pon os de equilíb io: A, B, C e D.
Que ipo de cu a de e olução é a ci cun e ência núme o 2?
A
BC
D
1
2
(A) Ó bi a he e oclínica.
(B) Ó bi a homoclínica.
(C) Ciclo.
(D) Nulclina.
(E) Isoclina.
Respos a:

9.
A igu a mos a o e a o de ase dum sis ema conse a i o com
um único g au de libe dade,
x
. Qual das exp essões na lis a é a
exp essão co e a pa a a acele ação ax?
-3 -2 -1 0 1
-2
-1
0
1
2
3
x
x
(A) −2x+x2
(B) x−x2
(C) −2x−x2
(D) 2x−x2
(E) 2x+x2
Respos a:
10.
Pa a de e mina a posição do seu cen o de g a idade, uma
ba a e angula oi pendu ada de dois ios e icais, icando em
epouso na posição ho izon al que mos a a igu a. Sabendo
que a ensão no io ligado no pon o A é 3.4 N, a ensão no io
ligado em B é 1.8 N e o comp imen o da ba a, desde A a é B, é
30 cm, de e mine a dis ância desde a a es a AC a é o cen o de
g a idade.
A B
C
(A) 15.0 cm
(B) 12.5 cm
(C) 10.4 cm
(D) 18.0 cm
(E) 21.6 cm
Respos a:
11.
Uma pa ícula desloca-se ao longo duma calha ci cula com
acele ação angula a aumen a em unção do empo, de aco do
com a exp essão
α=8
(unidades SI). No ins an e
=0
, a
pa ícula encon a-se em epouso na posição em que o ângulo
θ
é
igual a 0. Calcule o alo do ângulo, em adianos, em
=2.5
s.
(A) 10.42
(B) 52.08
(C) 20.83
(D) 129.17
(E) 62.5
Respos a:
12.
Quando uma pa ícula passa po um pon o P, a sua elocidade é
7ˆ
ı+2ˆ

(SI) e a o ça esul an e é
6ˆ
ı+6ˆ

(SI). Calcule o alo
da componen e angencial da o ça esul an e nesse pon o.
(A) 54 N
(B) 7.42 N
(C) 8.49 N
(D) 0 N
(E) 53 N
Respos a:
13.
Quando um a ião acele a desde o epouso, na pis a de descola-
gem, a exp essão da sua acele ação angencial é
3.5−3×10−5 2
(em unidades SI), onde
é o alo da elocidade do a ião. Pa a
consegui le an a oo, a elocidade mínima do a ião no im da
pis a de e se de 250 km/h. De e mine o comp imen o mínimo,
em me os, que de e á e a pis a de descolagem.
(A) 704
(B) 614
(C) 827
(D) 1260
(E) 999
Respos a:
14. As equações de e olução de dois sis emas dinâmicos são:
(Û
x=2xy−y
Û
y=3x−y2(Û
x=3x−y
Û
y=2x−2y
Qual das seguin es a i mações é e dadei a?
(A) Nenhum dos dois é linea .
(B) Ambos são conse a i os.
(C) O 1ºé conse a i o e o 2ºnão é conse a i o.
(D) Nenhum dos dois é conse a i o.
(E) O 1ºnão é conse a i o e o 2ºé conse a i o.
Respos a:
15.
O sis ema de Lo ka-Vol e a consegue explica mui o bem a
e olução dum sis ema p edado p esa mas em uma g ande
des an agem que ou os sis emas en am co igi . Qual é essa
des an agem?
(A)
Nenhuma das duas populações pode chega a ex ingui -se
o almen e.
(B) Cada uma das populações pode aumen a inde inidamen e.
(C)
Cada uma das populações pode oscila en e um alo mui o
baixo e um alo mui o ele ado.
(D)
Nenhuma das duas populações a inge nunca um alo cons-
an e.
(E) Cada uma das populações oscila inde inidamen e.
Respos a:
16.
A exp essão da ene gia ciné ica dum sis ema conse a i o é
1
2Û
s2+5s2
, onde
s
é a posição na aje ó ia, e a exp essão da
ene gia po encial o al é
−10 s
. O sis ema em um único pon o
de equilíb io; de e mine o alo de
s
nesse pon o de equilíb io.
(A) -2
(B) 2
(C) 1
(D) -1
(E) 3
Respos a:
17.
No sis ema da igu a, a ba a pe manece semp e ho izon al. De-
e mine a elocidade da ba a num ins an e em que a elocidade
do ca inho é 50 m/s, pa a a esque da, e a elocidade do cilind o
é 10 m/s, pa a cima.
(A) 12 m/s
(B) 9 m/s
(C) 15 m/s
(D) 10 m/s
(E) 8 m/s
Respos a:
126 Exames
2.2.2 Resolução
P oblema 1. A igu a seguin e mos a os diag amas de co po li e dos dois blocos
N1
Fa1
m1g
T
θ
N2
Fa2
m2g
T
θ
Té a ensão na co da, N1eN2as eações no mais e Fa1eFa1as o ças de a i o.
(a) Como os blocos es ão em epouso, as somas das componen es das o ças angen es
e pe pendicula es ao plano inclinado são:
(m1gsinθ+T−Fa1=0
N1−m1gcosθ=0(m2gsinθ−T−Fa2=0
N2−m2gcosθ=0
Como o coe icien e de a i o es á ico do plano com o bloco 2 é meno do que o com o
bloco 1, se os blocos não es i essem ligados pela co da, o bloco 2 começa a a desliza a
um ângulo meno do que o bloco 1. A ensão na co da pe mi e que o ângulo possa se
maio do que o ângulo ao qual o bloco 2 começa a a desliza e o conjun o só começa á
a desliza quando as o ças de a i o es á ico sejam máximas nos dois blocos. Como al,
Fa1=µe1N1eFa1=µe1N1e as equações an e io es conduzem a
m1gsinθ+T−µ1em1gcosθ=0m2gsinθ−T−µ2em2gcosθ=0
Somando essas duas equações elimina-se a ensão, e di idindo po
gcosθ
encon a-se
uma exp essão pa a a angen e do ângulo máximo
anθ=µ1em1+µ2em2
m1+m2
Subs i uindo os alo es dados, ob ém-se o ângulo máximo:
θ= an−1µ0.35+0.25×2
1+2¶=15.8◦
(b) As o ças de a i o são a i o ciné ico e a acele ação
a
dos dois blocos é a mesma.
Como al, as componen es angencial e pe pendicula das o ças esul an es nos dois
blocos são:
(m1gsinθ+T−µ1cN1=m1a
N1−m1gcosθ=0(m2gsinθ−T−µ2cN2=m2a
N2−m2gcosθ=0
2.2 Exame de época de ecu so 127
Ou seja,
m1gsinθ+T−µ1cm1gcosθ=m1a m2gsinθ−T−µ2cm2gcosθ=m2a
Mul iplicando a p imei a equação po
m2
, a segunda po
m1
, e igualando as duas
exp essões ob ém-se
m1m2gsinθ+m2T−µ1cm1m2gcosθ=m2m1gsinθ−m1T−µ2cm1m2gcosθ
E a ensão no io é
T=m1m2g¡µ1c−µ2c¢cosθ
m1+m2=2×9.8(0.28−0.2)cos20◦
1+2=0.491 N
Obse e-se que se
µ1c
não osse maio que
µ2c
, a co da não pe manecia es icada e
apa ecia uma o ça de con ac o en e os dois blocos.
P oblema 2
. De inindo a unção
y
, igual à de i ada de
x
, as equações de e olução do
sis ema são:
˙
x=y˙
y=x3−x−(a+x)y
Os pon os de equilíb io são as soluções das equações
y=0x3−x−(a+x)y=x¡x2−1¢=0
Como al, há ês pon os de equilíb io (x,y):
P1=(0,0) P2=(1,0) P3=(−1,0)
De i ando os lados di ei os das equações de e olução, em o dem a
x
e a
y
, ob ém-se a
ma iz jacobiana:
J=·0 1
3x2−y−1−x−a¸
No pon o P1, a ma iz da ap oximação linea é en ão,
A1=·0 1
−1a¸
que em aço
−a
e de e minan e igual a 1. Como al, se
a
o posi i a, P
1
é um pon o
de equilíb io es á el e se
a
o nega i a, esse pon o é ins á el. Se á nó quando
|a|≥
2
(de e minan e meno que o aço ao quad ado sob e 4) ou oco quando |a|<2.
128 Exames
As ma izes das ap oximações linea es p óximo dos pon os P2e P3são
A2=·0 1
2−1−a¸A3=·0 1
2 1−a¸
ambas com de e minan e igual a
−
2. Como al, P
2
e P
3
são ambos pon os de sela,
independen emen e do alo de a.
Se
a<
0, como odos os pon os de equilíb io são ins á eis, a co en e aumen a in-
de inidamen e, que não é isicamen e possí el. Se
a>
0, como a o igem é pon o de
equilíb io a a i o, pa a alguns alo es iniciais da co en e e da sua de i ada, a co en e
ap oxima -se-á de 0, que é a í el, mas pa a alguns alo es iniciais a co en e ambém
aumen a inde inidamen e.
Pe gun as
3. E
4. C
5. C
6. B
7. C
8. A
9. C
10. C
11. C
12. B
13. A
14. C
15. C
16. A
17. D
2.2.3 Co ações
P oblema 1
• Diag amas de co po li e e equações das somas das o ças na alínea a1.2
• Resolução das equações pa a encon a o ângulo máximo 0.8
• Equações das somas das o ças na alínea b1.2
• Resolução das equações pa a encon a a ensão 0.8
P oblema 2
• Ob enção das equações de e olução 0.8
2.2 Exame de época de ecu so 129
• De e minação dos 3 pon os de equilíb io 0.8
• Ob enção da ma iz jacobiana 0.4
• Ob enção das 3 ma izes das ap oximações linea es 0.8
• Ca a e ização dos pon os de equilíb io 0.8
• In e p e ação dos esul ados 0.4

130 Exames
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