Sumários e Exames de Física 1, 2018

Departamento de Engenharia Física Sumários e Exames de Física 1, 2018 Jaime E. Villate Porto, julho de 2018 Copyright © 2018, Jaime E. Villate E-mail: [email protected] Publicado sob a licença Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Para obter uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. Conteúdo 1 Sumários 1 1.1 Cinemática ...................................... 2 1.2 Cinemática vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Movimento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Mecânica vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6 Trabalho e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.7 Sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.8 Mecânica lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.9 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.10 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.11 Ciclos limite e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.12 Sistemas caóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2 Exames 115 2.1 Exame de época normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.1.3 Cotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2 Exame de época de recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.2.3 Cotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Bibliografia 131 iv CONTEÚDO Capítulo 1 Sumários Disciplina Física 1. Curso Mestrado Integrado em Engenharia Informática e Computação. Segundo semestre do primeiro ano. Ano académico 2017–2018, segundo semestre. Regente Jaime E. Villate. Docentes António Lopes, João Manuel Viana Parente Lopes, Augusto Rodrigues e Jaime E. Villate. Número de alunos 226. Método de avaliação Distribuída (dois testes, 40%) com exame final (60%). 2Sumários 1.1 Cinemática 3 4Sumários 1.1 Cinemática 5 12 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 13 14 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 15 16 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 17 18 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 19 20 Sumários 1.3 Movimento curvilíneo 21 28 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 29 30 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 31 32 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 33 34 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 35 36 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 37 44 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 45 46 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 47 48 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 49 50 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 51 52 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 53 60 Sumários 1.6 Trabalho e energia 61 62 Sumários 1.6 Trabalho e energia 63 64 Sumários 1.7 Sistemas dinâmicos 65 66 Sumários 1.7 Sistemas dinâmicos 67 68 Sumários 1.7 Sistemas dinâmicos 69 76 Sumários 1.8 Mecânica lagrangiana 77 78 Sumários 1.8 Mecânica lagrangiana 79 80 Sumários 1.9 Sistemas lineares 81 82 Sumários 1.9 Sistemas lineares 83 84 Sumários 1.9 Sistemas lineares 85 92 Sumários 1.10 Sistemas não lineares 93 94 Sumários 1.10 Sistemas não lineares 95 96 Sumários 1.11 Ciclos limite e dinâmica populacional 97 98 Sumários 1.11 Ciclos limite e dinâmica populacional 99 100 Sumários 1.11 Ciclos limite e dinâmica populacional 101 108 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 109 110 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 111 112 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 113 114 Sumários Capítulo 2 Exames 2.1 Exame de época normal O exame realizou-se no dia 12 de junho de 2018. Compareceram 153 estudantes e a nota média foi 12.8 valores. A seguir mostra-se o enunciado de uma das cinco versões. Nas outras versões mudam os valores numéricos, a ordem das perguntas e alguns pormenores que não alteram significativamente as perguntas. MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2017/2018 EIC0010 — FÍSICA I — 1ºANO, 2ºSEMESTRE 12 de junho de 2018 Nome: Duração 2 horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador . O formulário pode ocupar apenas uma folha A4 (frente e verso) e o computador pode ser usado unicamente para realizar cálculos e não para consultar apontamentos ou comunicar com outros! Use g=9.8m/s2. 1. (4 valores) Uma esfera homogénea de massa m , raio r e momento de inércia, em relação ao seu centro, I=2 5m r2 , roda sem deslizar numa calha no plano vertical xy , de forma que o centro da esfera descreve uma trajetória com forma de cicloide de 2 m de comprimento, tal como mostra a figura. Como tal, a altura y do centro da esfera é dada pela expressão y=1 2s2 , em que s é o comprimento de arco ao longo da trajetória, com s=±1 nos dois extremos e s=0 no ponto meio ( y e s em metros). O sistema de eixos tem x horizontal, y vertical e origem no ponto meio da trajetória. x y s=−1 s=0 s=1 (a) Encontre as expressões da energia potencial da esfera, em função de s , e da energia cinética em função de Û s . (b) Encontre a equação de movimento para a aceleração Ü s da esfera, desprezando a resistência do ar. (c) Mostre que se trata de um sistema dinâmico linear e diga de que tipo é o ponto de equilíbrio. (d) Explique como será o movimento da esfera quando for largada do repouso numa posição qualquer s diferente de zero. (e) Determine o tempo que demorará a esfera, largada do repouso em s,0 , até chegar ao ponto mais baixo, s=0(observe-se que esse tempo é o mesmo qualquer que for o valor inicial s,0). 2. (4 valores) A curvatura de qualquer função y=f(x) pode ser determinada resolvendo um problema de cinemática. Considere-se, por exemplo, a trajetória y=cos(x) . Admitindo uma partícula que se desloca ao longo dessa trajetória, com componente x da velocidade vx=1 , conclui-se então que x=t . (a) Escreva a expressão do vetor posição da partícula em função de t e encontre as expressões para os vetores velocidade e aceleração. (b) Determine a expressão da aceleração tangencial, derivando o valor da velocidade, v , em ordem ao tempo. (c) Determine a expressão da aceleração normal. (d) Encontre a expressão do raio de curvatura e substitua t=x para obter a expressão em função de x. PERGUNTAS. Respostas certas, 0.8 valores, erradas, −0.2, em branco, 0. 3. Num objeto com massa de 0.4 kg atuam unicamente duas forças externas: 2ˆ ı−6ˆ  e 8ˆ ı+10 ˆ  (ambas em newtons). Determine o módulo da aceleração do centro de massa do objeto. (A) 26.9 m/s2 (B) 23.3 m/s2 (C) 35.0 m/s2 (D) 18.0 m/s2 (E) 53.9 m/s2 Resposta: 4. Num sistema que se desloca no eixo dos x , a força resultante é x2+x−2 . Na lista seguinte, qual dos valores corresponde à posição xdum ponto de equilíbrio estável? (A) 3 (B) 2 (C) -1 (D) 1 (E) -2 Resposta: 5. O vetor posição dum ponto, em função do tempo, é dado pela expressão: 3t3ˆ ı+(t2+2)ˆ  (unidades SI). Calcule o ângulo entre os vetores velocidade e posição, no instante t=1. (A) 68.2◦ (B) 52.0◦ (C) 13.0◦ (D) 42.2◦ (E) 32.5◦ Resposta: 6. As equações de evolução dum sistema linear, são: Û x=a x +yÛ y=x+a(x+y) onde a está no intervalo a>(1+√5)/2 . Que tipo de ponto de equilíbrio é a origem do espaço de fase? (A) foco repulsivo (B) nó atrativo (C) foco atrativo (D) nó repulsivo (E) ponto de sela Resposta: 7. Um ciclista demora 39 s a percorrer 350 m, numa pista reta e horizontal, com velocidade uniforme. Sabendo que o raio das rodas da bicicleta é 26.8 cm e admitindo que as rodas não deslizam sobre a pista, determine o valor da velocidade angular das rodas. (A) 28.7 rad/s (B) 33.5 rad/s (C) 19.1 rad/s (D) 23.9 rad/s (E) 38.3 rad/s Resposta: 8. Um sistema não linear tem um centro no ponto P. Qual das afirmações seguintes, acerca da matriz jacobiana no ponto P, é verdadeira? (A) o traço é positivo (B) o determinante é negativo (C) o determinante é nulo (D) o traço é negativo (E) o traço é nulo. Resposta: 9. A velocidade de um corredor pode aproximar-se de v= 7.5√1−0.03 s , na qual v é expressa em km/h e a posição na trajetória, s , é expressa em km. Sabendo que s=0 em t=0 , determine quantos quilómetros terá percorrido o corredor ao fim de três quartos de hora. (A) 3.741 (B) 6.465 (C) 5.388 (D) 7.758 (E) 4.49 Resposta: 10. No instante em que o bloco A desce com velocidade 12 cm/s, com que velocidade sobe o bloco B? A B (A) 12 cm/s (B) 24 cm/s (C) 6 cm/s (D) 4 cm/s (E) 36 cm/s Resposta: 11. Um carpinteiro está a construir um armário formado por uma caixa vertical de 2 m de altura e massa de 15 kg, com centro de massa no ponto C indicado na figura. O armário tem uma barra com massa de 6 kg, ligado a um eixo horizontal no ponto B, 0.1 m à esquerda e 0.8 m por cima do ponto C, que lhe permite rodar um ângulo θ em relação à vertical. O centro de massa da barra é o ponto A. Determine o valor máximo do ângulo θ que a barra pode rodar, sem o armário cair para o lado. θ 0.1 m 0.2 m 0.8 m 1 m 0.8 m C B A (A) 73.4◦ (B) 61.0◦ (C) 38.7◦ (D) 52.3◦ (E) 48.6◦ Resposta: 12. O espaço de fase dum sistema dinâmico é o plano xy . Em coordenadas polares, as equações de evolução são Û θ=−3 , Û r=r3+2r2+r. Que tipo de ponto de equilíbrio é a origem? (A) nó atrativo (B) foco atrativo (C) foco repulsivo (D) ponto de sela (E) nó repulsivo Resposta: 13. Se x≥0 e y≥0 , qual dos seguintes sistemas é um sistema de duas espécies com competição? (A) Û x=x2−xyÛ y=y2−xy (B) Û x=xy−x2Û y=y2−x2 (C) Û x=y2−xyÛ y=x2+xy (D) Û x=y2−xyÛ y=x2−xy (E) Û x=x2+xyÛ y=y2+xy Resposta: 14. A figura mostra o retrato de fase duma partícula, em que s é a posição na trajetória e v a velocidade. Existe um único ponto de equilíbrio em s=3. Qual das seguintes afirmações é correta? -5 -2.5 0 2.5 5 -5 -2.5 0 2.5 5 v s (A) Existem ciclos. (B) Existe uma órbita heteroclínica. (C) Existe uma órbita homoclínica. (D) O ponto de equilíbrio é estável (E) O ponto de equilíbrio é instável. Resposta: 15. Um corpo de 18 kg desloca-se ao longo do eixo dos x . A força resultante sobre o corpo é conservativa, com energia potencial dada pela expressão 1+7x2 (SI). Se o corpo passa pela origem com velocidade 8ˆ ı , com que energia cinética chegará ao ponto x=5m? (A) 2005.0 J (B) 1002.5 J (C) 3408.5 J (D) 120.3 J (E) 401.0 J Resposta: 16. Um sistema de pesos e roldanas, conservativo, tem um único grau de liberdade y . A energia cinética é dada pela expressão 5mÛ y2 e a energia potencial é: U=−6mg y , onde g é a aceleração da gravidade e m é um parámetro com unidades de massa. Determine o valor da aceleração Ü y. (A) 6 5g (B) 18 5g (C) 12 5g (D) 2 5g (E) 3 5g Resposta: 17. O bloco na figura, com massa igual a 6 kg, desloca-se para a esquerda, com velocidade inicial ® v0 , sobre uma superfície horizontal. Sobre o bloco atua uma força externa ® F , horizontal e constante, com módulo igual a 30 N. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é igual a 0.25. Calcule o módulo da aceleração do bloco. F v0 m (A) 7.45 m/s2 (B) 44.7 m/s2 (C) 15.3 m/s2 (D) 5.0 m/s2 (E) 2.55 m/s2 Resposta: MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2017/2018 EIC0010 — FÍSICA I — 1ºANO, 2ºSEMESTRE 27 de junho de 2018 Nome: Duração 2 horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador . O formulário pode ocupar apenas uma folha A4 (frente e verso) e o computador pode ser usado unicamente para realizar cálculos e não para consultar apontamentos ou comunicar com outros! Use g=9.8m/s2. 1. (4 valores) Na figura, o bloco 1 tem massa m1=1 kg e o bloco 2 tem massa m2=2 kg. Os dois blocos estão ligados por uma corda paralela à superfície do plano inclinado. Entre o bloco 1 e o plano inclinado, o coeficiente de atrito estático é µ1e =0.35 e o coeficiente de atrito cinético µ1c =0.28 . Entre o bloco 2 e o plano inclinado, o coeficiente de atrito estático é µ2e =0.25 e o coeficiente de atrito cinético µ2c =0.20 . (a) Encontre o ângulo θ máximo que o plano pode ser inclinado, permanecendo os dois blocos em repouso. (b) Quando o plano se inclina um ângulo θ=20◦ , os dois blocos deslizam para baixo do plano; determine o valor da tensão na corda nesse caso. θ 1 2 2. (4 valores) A corrente num circuito elétrico é uma função contínua do tempo, x(t), que verifica a seguinte equação diferencial: Ü x+x−x3+(a+x)Û x=0 onde a é um parámetro real. Analise a equação como sistema dinâmico, nos dois casos a<0 e a>0 . Em cada caso identifique os pontos de equilíbrio, determine de que tipo são e com base nesses resultados interprete o comportamento físico do circuito. PERGUNTAS. Respostas certas, 0.8 valores, erradas, −0.2, em branco, 0. 3. Lança-se um projétil desde uma janela a 3.4 m de altura, com velocidade de 10 m/s, inclinada 30 ◦ por cima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, calcule a altura máxima atingida pelo projétil. (A) 7.2 m (B) 6.0 m (C) 4.0 m (D) 8.5 m (E) 4.7 m Resposta: 4. Um sistema dinâmico com duas variáveis de estado tem um único ponto de equilíbrio na origem e um ciclo limite. Qual poderá ser a matriz jacobiana do sistema na origem? (A) 1−1 −2 1  (B) −1 1 1 1 (C) 1 1 −1 2 (D) −1 1 −1 2 (E) 1 1 2−1 Resposta: 5. Um bloco com massa m=6 kg encontra-se sobre a superfície de uma mesa horizontal. Sobre o bloco atua uma força externa ® F , com módulo de 30 N e direção que faz um ângulo α=40◦ com a horizontal, tal como mostra a figura. Calcule o módulo da reação normal entre o bloco e a mesa. F m α (A) 69.06 N (B) 48.54 N (C) 78.08 N (D) 39.52 N (E) 58.8 N Resposta: 6. Calcule o momento de inércia de uma esfera homogénea com 1 centímetro de raio e massa igual a 21 gramas, que roda à volta dum eixo tangente à superfície da esfera, sabendo que o momento de inércia duma esfera de raio R e massa m à volta do eixo que passa pelo centro é 2m R2/5. (A) 4.20 ×10−7kg·m2 (B) 2.94 ×10−6kg·m2 (C) 1.50 ×10−6kg·m2 (D) 8.40 ×10−7kg·m2 (E) 1.68 ×10−6kg·m2 Resposta: 7. Quando se liga um PC, o disco rígido demora 3.6 s, a partir do repouso, até alcançar a velocidade normal de operação de 7200 rotações por minuto. Admitindo aceleração angular constante durante esse intervalo, determine o valor da aceleração angular (A) 279 rad/s2 (B) 419 rad/s2 (C) 209 rad/s2 (D) 182 rad/s2 (E) 838 rad/s2 Resposta: 8. A figura mostra o retrato de fase dum sistema dinâmico com duas variáveis de estado e 4 pontos de equilíbrio: A, B, C e D. Que tipo de curva de evolução é a circunferência número 2? A BC D 1 2 (A) Órbita heteroclínica. (B) Órbita homoclínica. (C) Ciclo. (D) Nulclina. (E) Isoclina. Resposta: 9. A figura mostra o retrato de fase dum sistema conservativo com um único grau de liberdade, x . Qual das expressões na lista é a expressão correta para a aceleração ax? -3 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 3 vx x (A) −2x+x2 (B) x−x2 (C) −2x−x2 (D) 2x−x2 (E) 2x+x2 Resposta: 10. Para determinar a posição do seu centro de gravidade, uma barra retangular foi pendurada de dois fios verticais, ficando em repouso na posição horizontal que mostra a figura. Sabendo que a tensão no fio ligado no ponto A é 3.4 N, a tensão no fio ligado em B é 1.8 N e o comprimento da barra, desde A até B, é 30 cm, determine a distância desde a aresta AC até o centro de gravidade. A B C (A) 15.0 cm (B) 12.5 cm (C) 10.4 cm (D) 18.0 cm (E) 21.6 cm Resposta: 11. Uma partícula desloca-se ao longo duma calha circular com aceleração angular a aumentar em função do tempo, de acordo com a expressão α=8t (unidades SI). No instante t=0 , a partícula encontra-se em repouso na posição em que o ângulo θ é igual a 0. Calcule o valor do ângulo, em radianos, em t=2.5 s. (A) 10.42 (B) 52.08 (C) 20.83 (D) 129.17 (E) 62.5 Resposta: 12. Quando uma partícula passa por um ponto P, a sua velocidade é 7ˆ ı+2ˆ  (SI) e a força resultante é 6ˆ ı+6ˆ  (SI). Calcule o valor da componente tangencial da força resultante nesse ponto. (A) 54 N (B) 7.42 N (C) 8.49 N (D) 0 N (E) 53 N Resposta: 13. Quando um avião acelera desde o repouso, na pista de descolagem, a expressão da sua aceleração tangencial é 3.5−3×10−5v2 (em unidades SI), onde v é o valor da velocidade do avião. Para conseguir levantar voo, a velocidade mínima do avião no fim da pista deve ser de 250 km/h. Determine o comprimento mínimo, em metros, que deverá ter a pista de descolagem. (A) 704 (B) 614 (C) 827 (D) 1260 (E) 999 Resposta: 14. As equações de evolução de dois sistemas dinâmicos são: (Û x=2xy−y Û y=3x−y2(Û x=3x−y Û y=2x−2y Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) Nenhum dos dois é linear. (B) Ambos são conservativos. (C) O 1ºé conservativo e o 2ºnão é conservativo. (D) Nenhum dos dois é conservativo. (E) O 1ºnão é conservativo e o 2ºé conservativo. Resposta: 15. O sistema de Lotka-Volterra consegue explicar muito bem a evolução dum sistema predador presa mas tem uma grande desvantagem que outros sistemas tentam corrigir. Qual é essa desvantagem? (A) Nenhuma das duas populações pode chegar a extinguir-se totalmente. (B) Cada uma das populações pode aumentar indefinidamente. (C) Cada uma das populações pode oscilar entre um valor muito baixo e um valor muito elevado. (D) Nenhuma das duas populações atinge nunca um valor constante. (E) Cada uma das populações oscila indefinidamente. Resposta: 16. A expressão da energia cinética dum sistema conservativo é 1 2Û s2+5s2 , onde s é a posição na trajetória, e a expressão da energia potencial total é −10 s . O sistema tem um único ponto de equilíbrio; determine o valor de s nesse ponto de equilíbrio. (A) -2 (B) 2 (C) 1 (D) -1 (E) 3 Resposta: 17. No sistema da figura, a barra permanece sempre horizontal. Determine a velocidade da barra num instante em que a velocidade do carrinho é 50 m/s, para a esquerda, e a velocidade do cilindro é 10 m/s, para cima. (A) 12 m/s (B) 9 m/s (C) 15 m/s (D) 10 m/s (E) 8 m/s Resposta: 126 Exames 2.2.2 Resolução Problema 1. A figura seguinte mostra os diagramas de corpo livre dos dois blocos N1 Fa1 m1g T θ N2 Fa2 m2g T θ Té a tensão na corda, N1eN2as reações normais e Fa1eFa1as forças de atrito. (a) Como os blocos estão em repouso, as somas das componentes das forças tangentes e perpendiculares ao plano inclinado são: (m1gsinθ+T−Fa1=0 N1−m1gcosθ=0(m2gsinθ−T−Fa2=0 N2−m2gcosθ=0 Como o coeficiente de atrito estático do plano com o bloco 2 é menor do que o com o bloco 1, se os blocos não estivessem ligados pela corda, o bloco 2 começava a deslizar a um ângulo menor do que o bloco 1. A tensão na corda permite que o ângulo possa ser maior do que o ângulo ao qual o bloco 2 começava a deslizar e o conjunto só começará a deslizar quando as forças de atrito estático sejam máximas nos dois blocos. Como tal, Fa1=µe1N1eFa1=µe1N1e as equações anteriores conduzem a m1gsinθ+T−µ1em1gcosθ=0m2gsinθ−T−µ2em2gcosθ=0 Somando essas duas equações elimina-se a tensão, e dividindo por gcosθ encontra-se uma expressão para a tangente do ângulo máximo tanθ=µ1em1+µ2em2 m1+m2 Substituindo os valores dados, obtém-se o ângulo máximo: θ=tan−1µ0.35+0.25×2 1+2¶=15.8◦ (b) As forças de atrito são atrito cinético e a aceleração a dos dois blocos é a mesma. Como tal, as componentes tangencial e perpendicular das forças resultantes nos dois blocos são: (m1gsinθ+T−µ1cN1=m1a N1−m1gcosθ=0(m2gsinθ−T−µ2cN2=m2a N2−m2gcosθ=0 2.2 Exame de época de recurso 127 Ou seja, m1gsinθ+T−µ1cm1gcosθ=m1a m2gsinθ−T−µ2cm2gcosθ=m2a Multiplicando a primeira equação por m2 , a segunda por m1 , e igualando as duas expressões obtém-se m1m2gsinθ+m2T−µ1cm1m2gcosθ=m2m1gsinθ−m1T−µ2cm1m2gcosθ E a tensão no fio é T=m1m2g¡µ1c−µ2c¢cosθ m1+m2=2×9.8(0.28−0.2)cos20◦ 1+2=0.491 N Observe-se que se µ1c não fosse maior que µ2c , a corda não permanecia esticada e aparecia uma força de contacto entre os dois blocos. Problema 2 . Definindo a função y , igual à derivada de x , as equações de evolução do sistema são: ˙ x=y˙ y=x3−x−(a+x)y Os pontos de equilíbrio são as soluções das equações y=0x3−x−(a+x)y=x¡x2−1¢=0 Como tal, há três pontos de equilíbrio (x,y): P1=(0,0) P2=(1,0) P3=(−1,0) Derivando os lados direitos das equações de evolução, em ordem a x e a y , obtém-se a matriz jacobiana: J=·0 1 3x2−y−1−x−a¸ No ponto P1, a matriz da aproximação linear é então, A1=·0 1 −1a¸ que tem traço −a e determinante igual a 1. Como tal, se a for positiva, P 1 é um ponto de equilíbrio estável e se a for negativa, esse ponto é instável. Será nó quando |a|≥ 2 (determinante menor que o traço ao quadrado sobre 4) ou foco quando |a|<2. 128 Exames As matrizes das aproximações lineares próximo dos pontos P2e P3são A2=·0 1 2−1−a¸A3=·0 1 2 1−a¸ ambas com determinante igual a − 2. Como tal, P 2 e P 3 são ambos pontos de sela, independentemente do valor de a. Se a< 0, como todos os pontos de equilíbrio são instáveis, a corrente aumenta indefinidamente, que não é fisicamente possível. Se a> 0, como a origem é ponto de equilíbrio atrativo, para alguns valores iniciais da corrente e da sua derivada, a corrente aproximar-se-á de 0, que é fatível, mas para alguns valores iniciais a corrente também aumenta indefinidamente. Perguntas 3. E 4. C 5. C 6. B 7. C 8. A 9. C 10. C 11. C 12. B 13. A 14. C 15. C 16. A 17. D 2.2.3 Cotações Problema 1 • Diagramas de corpo livre e equações das somas das forças na alínea a1.2 • Resolução das equações para encontrar o ângulo máximo 0.8 • Equações das somas das forças na alínea b1.2 • Resolução das equações para encontrar a tensão 0.8 Problema 2 • Obtenção das equações de evolução 0.8 2.2 Exame de época de recurso 129 • Determinação dos 3 pontos de equilíbrio 0.8 • Obtenção da matriz jacobiana 0.4 • Obtenção das 3 matrizes das aproximações lineares 0.8 • Caraterização dos pontos de equilíbrio 0.8 • Interpretação dos resultados 0.4 130 Exames Bibliografia Acheson, D. (1997). From calculus to chaos. Oxford, UK: Oxford University Press. Alonso, M., & Finn, E. J. (1999). Física. Reading, MA, USA: Addison-Wesley. Antunes, F. (2012). Mecânica Aplicada. Uma Abordagem Prática. Lisboa, Portugal: Lidel, edições técnicas, Lda. Arnold, V. I. (1987). Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica. Editora Mir: Moscovo, Rússia. Banks, B. W. (2000). 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