2_04_c_01
Xa ie , J.P., "Geome ia e p opo ção".
In Ta a es, Domingos, An ónio Rod igues. Renascimen o em Po ugal.
Po o: Da ne Edi o a, 2007, pp. 103-120. 
In odução
Cidades da Renascença
Um a qui ec o disc e o
Cul u a de p íncipes
Onze Mil Vi gens
Rigo e a iações
Lições de A qui ec u a
Geome ia e p opo ção
(João Ped o Xa ie )
Úl imo capí ulo
Re e ências bibliog á icas
9
15
31
43
61
77
91
103
121
134
Sumá io
103
Se espe o na Geome ia, já que não se pode aze nada sem
hela, e sabe de Música, pa a en ende as p opo ções das ozes,
po que po es as po posoyse ˜e emde a as p oposois que am
de e seus ede isios,* são, segundo An ónio Rod igues, duas
das condições indispensá eis, ou pa es, pa a quem hou e de
aze p o ição de a qui e o. Ou as, são as demais disciplinas
do quad i ium, a A i mé ica e a As onomia, e que, com es as,
compõem a A e Ma emá ica. Mas, de odas, é iniludí el o p i-
mado da Geome ia no conhecimen o e exe cício des a A e.
Gyome ia não he ou a couza que egu as, as quais nam se
podem aze sem linhas, e amgulos, e pom o…, e e e An ónio
Rod igues. E é p ecisamen e pelo pon o que se iniciam as de i-
nições do Capi olo (ou Li o) em que se decla a que couza he
Giome ia. Depois a linha. A segui , duas linhas… que podem
se pa alelas mas que, caso o não sejam, o ma ão um ângulo.
No e-se um caso pa icula : o ângulo di ei o (ou ec o). Com
ês linhas, o mando ângulos, chega-se ao iângulo, a p imei a
das igu as poligonais ou di ei as. Po que há as con exas e as
cônca as no âmbi o das quais se enquad a o cí culo. Es e só
se á pe ei o se obedece a ês condições: e um cen o, se
de inido po uma ci cun e ência (ha qual não em p emsypio
n˜e im) e se desse cen o a qualque pon o da ci cun e ência co -
esponde a mesma dis ância, ou seja, o aio. Pe ei o se á am-
bém o iângulo, de ês lados iguais e ês ângulos iguais, bem
como quad ado, de qua o lados iguais e qua o ângulos iguais.
Geome ia e p opo ção
João Ped o Xa ie
* Códice 3675 da
Biblio eca Nacional

od igues · enascimen o em po ugal
104
Po que o ombo (ou losango) já não o se á, po não cump i a
condição da igualdade dos ângulos, nem ampouco o e ágono
longo (ou ec ângulo), po al a de igualdade dos seus lados.
Mas ela i amen e às igu as, mais do que conhecê-las,
impo a sabe cons uí-las com égua e compasso, p imei o no
papel de desenho, depois, mul iplicada a escala, sob e o e -
eno dando cump imen o à ‘p am a’, ou en ão, ma e ializadas
em ios desenhados sob e um plano e ical ic ício que da á
luga a uma achada delineada na ‘mon ea’ e/ou à secção do
edi ício de inida no ‘pe ice’. Po que é a inalidade p á ica da
Geome ia, a a e de cons ui no caso, que comanda a o de-
nação dos sabe es: a a emos daquelas egu as que pa a es e
a ado são nesessa ias com ha decla assão de cada h˜ua e o
pe a que se em. Euclides sim, mas quan o bas e. Pa a quem
quise sabe mais ica a ecomendação: quem o co iozo des a
ha e es ude Hoclides, e nele acha á bem couza em que se
desem ade.
O cí culo, sabemo-lo bem, de ine-se com uma ol a com-
ple a do compasso. Assumimo-lo na mão de Deus enquan o
a qui ec o do uni e so* e emp es ámo-lo ao homem pa a, como
a qui ec o e eno, desenha a cidade ideal e a casa di ina.
Assim e á desenhado Rod igues, em plan a, a p ojecção da
cúpula, qual abóbada celes e, do espaço sepulc al da capela
das Onze Mil Vi gens, bem como o semicí culo co espon-
den e à sua secção ans e sal. Pa a a ingi a anslucidez que
a o na mágica, e á sido dece o o co e, a pa e e di den o
como di ia Ra aello, que o ajudou a de ini o calib e da con-
cha de má mo e osa de Es emoz de que é ei a, a é mínimos
quase impensá eis. Assim, ambém, Diogo Cas ilho e João de
Ruão p e igu a am a ig eja de São Sal ado dos Agos inhos da
Se a do Pila e o seu claus o, alinhando dois espaços cilínd i-
cos, num sábio jogo de complemen a idade, o p imei o co o-
* Mu inho,
Ví o , Compasso
e P udência, in
Ta a es, Domingos,
Philibe Delo me,
p o issão de
a qui ec o.
Po o 2004
105
ado com uma cúpula celes e ic ícia, ei a à imagem do Pan eão
de Roma, o segundo abe o pa a o céu eal, enquan o To al a
i ia a p e e i explo a a ambiguidade esul an e da in e sec-
ção de dois espaços ci cula es cupulados na capela de San o
Ama o em Alcân a a.
No cí culo, como sabemos, podemos insc e e odo o
polígono egula , que es a á condenado à cen alidade po
iliação gené ica, desde um núme o in ini o de lados, si uação
em que o polígono coincide com o p óp io cí culo, ao núme o
mínimo de ês, onde o polígono é o iângulo pe ei o (ou
equilá e o).
Sabemos como é ácil insc e e o iângulo pe ei o no cí -
culo. Bas a man e a abe u a do compasso. Mas ambém é
possí el cons uí-lo a pa i de um lado, con o me desc e e
An ónio Rod igues, seguindo Euclides (c.360-300 a.C.), dese-
nhando dois cí culos com cen o nos seus ex emos e aio igual
ao lado, ga an indo, des e modo, a equidis ância dos é ices.
A o ma esul an e da in e secção desses cí culos ge ado es do
iângulo pe ei o, que pode se cons uído pa a um ou pa a o
ou o lado da base, eio a chama -se esica piscis o nando-se
De inição 13 do
Li o de Geome ia
do Códice 3675 BN
geome i a e p opo ção
od igues · enascimen o em po ugal
106
um símbolo de Deus, como o iângulo, aliás, se associou desde
logo à T indade. Daí que a esica enha se ido pa a da o ma
à na e de mui as basílicas, sob e udo medie ais, a a és do ec-
ângulo que a ci cunsc e e, cuja elação dos lados é de 1:√3, se
bem que, gene icamen e, odas as con igu ações de i adas do
iângulo equilá e o e, em pa icula , as hexagonais, enham
semp e implíci as es a azão. Não é o caso de nenhum dos em-
plos p ojec ados po Rod igues. Mas, ainda assim, é possí el
de ec a a p esença signi ica i a do iângulo equilá e o na
capela das Onze Mil Vi gens na de inição do pe il do cone ci -
cunsc i o do zimbó io que co oa a cúpula do sepulc o.
A segui ao iângulo em o quad ado pe ei o. Rod igues
não explica o p ocedimen o pa a a sua insc ição no cí culo.
Tal ez po que a cons ução, a pa i das linhas deangula es
(ou diagonais), deco e das an e io es. E, cu iosamen e, ai se
a diagonal do quad ado que lhe ai se i pa a comp o a o
eo ema undamen al da geome ia euclidiana e e en e à soma
dos ângulos in e nos de um iângulo. Rod igues diz-nos que
uma diagonal co a um quad ado em dois iângulos. T a am-
-se, na e dade, de dois iângulos ec ângulos isósceles, di í-
amos hoje. Como a diagonal é a bissec iz do ângulo o mado
po dois lados do quad ado esul a que os ângulos iguais do
iângulo e ão necessa iamen e 45º, sendo a soma dos ângulos
in e nos, 2 x 45º + 90º, igual a 180º. No caso ge al, expos o
na p oposição imedia amen e an e io , é in e essan e e i ica
que a p o a é dada com base na ansposição e soma das medi-
das dos ês ângulos com o compasso pa a um semicí culo, de
modo a pe aze dois ângulos ec os. Ou seja, a demons ação
eó ica, acessí el nos Elemen os de Euclides, é p e e ida ace à
comp o ação empí ica, colhida nos manuais de geome ia p á-
ica. Nes a mesma linha se enquad a o ecu so a cons uções
ap oximadas, ine i á eis quando se in en a da solução a p o-
107
geome i a e p opo ção
blemas insolú eis, como sejam, a do açado da igu a hep á-
gona insc i a no cí culo ou da quad a u a do cí culo.
O quad ado, o ma claus al po excelência e po eg a,
podendo se a excepção que a con i ma o claus o ci cula de
Ruão e Cas ilho e, po ex ensão, da p aça cen al da cidade
quando não da p óp ia cidade, se á po en u a, ambém, a
o ma-base mais p ocu ada pa a con igu a emplos de plan a
cen alizada. P imei o, de ido à sua ligação especial com o cí -
culo que começa á, p o a elmen e, no mi o da sua quad a u a.
Depois, de ido à sua capacidade de a iculação, sob e udo
associa i a, assumindo-se como módulo e e encial de es u-
u as mais complexas. Todo o polígono egula se elaciona
com o cí culo, es á is o. Tal como odo o polied o egula
(ou pla ónico) e semi- egula (ou a quimediano) se elaciona
com a es e a. Mas o quad ado e o cí culo, e as suas ex ensões
idimensionais, o cubo e a es e a, êm de ac o uma ligação
mis e iosa e sec e a que oi ampli icada pela sua associação às
dimensões do co po humano, endo sido Vi ú io o ansmisso
desse ínculo que ganhou dimensão uni e sal sob e udo com a
a adís ica do Renascimen o e a sucessi a apa ição de edições
imp essas, a almen e in e p e a i as, do De A chi ec u a, a
que não al a am igu ações bem di e sas pa a o homem i u-
iano. De en e elas me ece des aque a da majes osa edição de
Cæsa e Cesa iano de 1521, não só pela sua qualidade g á ica
e pe inência geomé ica como pelo comen á io que a acom-
panha em que se a i ma que, com a igu a i u iana, a a és
da sime ia dos memb os do co po humano, é possí el medi
odas as coisas do mundo e, na u almen e, o emplo.
O a a capela das Onze Mil Vi gens e, conc e amen e, o
espaço do sepulc o de Ped o Masca enhas, é um espécime
pe ei o de uma amília de ob as-p imas – que inclui, en e
ou as, as capelas Medicis em San Lo enzo, de B unelleschi e
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no o, se á p oduzido um som si uado uma quin a, ou diapen e,
acima do p imei o; a di isão 4:3 da á uma qua a, ou dia es-
se ão; a 5:4 uma e cei a maio ; a 5:3 uma sex a maio ; a 2:1
uma oi a a, ou diapasão.
É nes e sen ido que se pe cebe o apelo de Rod igues pa a
que o a qui ec o osse músico. Po que ao en ende a p opo -
ção das ozes en ende ia as p opo ções que ha e iam de e
os seus edi ícios! E a es e o objec i o: dimensiona os espaços
segundo de e minados in e alos musicais. Desse modo se con-
e i ia musicalidade aos edi ícios, em linha com a adição que
ai de Albe i a F ied ich Schelling (1775-1854) de conside a a
a qui ec u a como música congelada ou pe i icada, sendo es a
musicalidade, ademais, um dos ac o es de e minan es da sua
beleza, po se ambém a o ma de e lec i a ha monia musical
ine en e ao p óp io uni e so.
Se é indiscu í el que a linguagem dos a qui ec os e a a dos
músicos, e ice- e sa, se não eja-se o Memo andum do ade
eneziano F ancesco Gio gi (1466-1540) pa a San F ancesco
della Vigna (1535), a e dade é que, apa e aquele apelo, não se
deno a nos Li os de Rod igues qualque explo ação explíci a
des a in e dependência, se bem que exis a uma e e ência e e-
lado a, logo na p imei a de inição do “Li o de Geome ia”
de 79, ao amoso eó ico enascen is a da música F anchino
Ga u io (1451-1522), conside ado um especialis a em ques-
ões de a qui ec u a pelos seus con empo âneos. Lemb e-se a
sua equisição como consul o das ob as da ca ed al de Milão.
Da sua ob a Theo ie musice, de 1492, icou céleb e a g a u a
quad ipa ida ilus a i a da descobe a das consonâncias musi-
cais. Es as são as consonâncias que Albe i adop ou, no Re
Aedi ica o ia, no elenco das a eae a segui pa a ga an i a con-
sonância dos espaços, selando, po es a ia, o casamen o da
música e da a qui ec u a. No e-se po ém que, pa a além do

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geome i a e p opo ção
uníssono, do diapasão, do diapen e e do dia esse ão que en ol-
em os núme os musicais, 1, 2, 3 e 4, e cons i uem o e ac ys*
pi agó ico, a que Pla ão (427-347 a.C.) emp es ou oda a sua
au o idade, Rod igues conside a ambém a e cei a e a sex a
maio es, que implicam o núme o 5, in e alos igualmen e con-
sonan es que não es ão con emplados no sis ema musical g ego
mas são acilmen e explicá eis à luz dos no os desen ol imen-
os da eo ia musical oco idos no século XVI.
A capela das Onze Mil Vi gens é um excelen e exemplo de
aplicação des as consonâncias. Em p imei o luga das conso-
nâncias pi agó ico-pla ónicas. De ac o, é a pa i dessas con-
sonâncias que se joga o dimensionamen o ma icial da capela
e, conc e amen e, a elação da na e com o sepulc o. De ac o,
a endendo a que a na e é um quad ado duplo e o sepulc o um
quad ado, no que se p essen e a somb a do Templo de Salomão,
podemos dize que es amos em p esença de uma na e-diapasão
e de um sepulc o-uníssono e de que a elação en e a na e e o
Demons ação
das consonâncias
pi agó ico-
-pla ónicas
* Pa a os
pi agó icos o
e ac ys é a
igu a numé ica
que exp essa a
soma dos qua o
p imei os núme os
(1+2+3+4=10)
sendo en endida
como a o igem de
odas as coisas.
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sepulc o pode se is a, ou ou ida, como um diapen e, bas a
que conside emos o comp imen o do emplo, excluído o al a ,
como a co da de um monocó dio e a di isão desse comp i-
men o a 2:3, como o momen o de pa agem de um pe cu so
iniciado à en ada sob o a co iun al. Das ou as consonân-
cias em pe inência o ecu so à e cei a maio , igu a i amen e
o ec ângulo 5:4, que encon amos na secção ans e sal da
na e, na planime ia do al a e da sac is ia, e no dimensiona-
men o de algumas abelas e ãos. A sex a maio , o ec ângulo
5:3, limi a-se ao ão do pó ico de en ada.
Cu iosamen e, nem es e, nem o pó ico p incipal da ig eja
de San a Ma ia da G aça de Se úbal, êm a mesma p opo ção
do pó ico que Rod igues desenhou no “Li o de Geome ia”
de 79, o qual, po sua ez, é subsidiá io do céleb e pó ico do
T a ado de Se lio. Apesa das pequenas di e enças, a iden i i-
cação do pó ico do T a ado de 79 com o de Se lio começa na
P oposição 8 do
Li o de Geome ia
do Códice 3675 BN
117
geome i a e p opo ção
cons ução geomé ica que o es u u a e di a as elações p o-
po cionais das suas medidas. T a a-se do diag ama do helikon*
de Cláudio P olomeo (c.90-c.168), um ins umen o concebido
pa a ilus a a azão dos aco des aos iniciados na ma emá ica.
Pe mi e a isecção do quad ado e de qualque igu a ec angu-
la , pelo que ambém pode se i pa a, num duplo quad ado,
aze h ˜u olho pa a da luz num emplo dedicado a nosso senho
ou a qualque dos seus sanc os. Aplicado ao pó ico insc i o
no quad ado cujo lado se omou pa a la gu a da na e, di a que
a igu a do ão seja um ec ângulo 2:1, ou seja, um diapasão.
E assim, po es a eg a, ica aa em sua debi a p opo ção, cõ al
que os m˜eb os de que o o nado o po al não saya o a das
linhas deãngula es .a.b.c.d, e o a chi e o não se á i upe ado
das uins lingoas.
Vol ando a Alcáce con ém no a que as elações musi-
cais não são exclusi as po que, como já mos ámos, exis em
Es u u a ma icial
da capela das Onze
Mil Vi gens
* O helikon e a um
an igo ins umen o
musical g ego, cujo
nome de i a do
Mon e Helikon,
a Casa das Musas.
od igues · enascimen o em po ugal
118
elações ad quad a um, incomensu á eis, que nos le am a é à
dimensão do pila , cuja secção quad ada cons i ui o módulo
base do emplo. Módulo a que se chega e de que se não pa e,
dada a necessidade de ajus amen o à p eexis en e ig eja do con-
en o de San o An ónio. De qualque modo, podemos dize
que a es u u a p imá ia da capela das Onze Mil Vi gens obe-
dece a uma pa i u a musical de consonan es, à qual se sob e-
põe uma es u u a secundá ia que en e eda em elações es i-
amen e ma emá icas baseadas na duplicação do quad ado que,
caso osse líci o p olonga a analogia musical, se iam conside-
adas dissonâncias. Mas há, pelo menos, um ema e a iações.
Em San a Ma ia da G aça, ao con á io, pa ece e osímil que
seja o dimensionamen o global do edi ício que em essa ma iz
ad quad a um.
A o igem des a cons ução p opo cional, a ada em ês
p oposições do “Li o de Geome ia” de 76, e em qua o do
Análise geomé ica
da plan a de San a
Ma ia da G aça
de Se úbal
119
geome i a e p opo ção
* Wa s, Ca ol
Ma in , The
Squa e and he
Roman House:
A chi ec u e
and Deco a ion
a Pompeii and
He culaneum,
in Nexus.
A chi ec u e and
Ma hema ics,
Fuccechio 1996
# Wilson-Jones,
Ma k, P inciples o
oman a chi ec u e,
New Ha en 2003
de 79, pe de-se nos con ins do empo. Pi ágo as (sec. VI a.C.),
aplicando o eo ema que em o seu nome, cons a ou a impossi-
bilidade de medi a diagonal do quad ado e, assim, descob iu
os núme os incomensu á eis. Vi ú io diz que oi Pla ão, com
um dos seus mui os e u ilíssimos aciocínios, quem nos deu a
cha e pa a duplica a á ea do quad ado sem e que medi a
diagonal, já que ninguém, com e ei o, consegue aí chega po
núme os. Di e sos monumen os e ilas omanas con i mam a
p esença eco en e des a cons ução geomé ica.* Villa d de
Honnecou (sec. XIII) não a esquece e mos a-nos como se
pode aze a sua aplicação no dimensionamen o de um claus-
o. E, na u almen e, não há a ado do Renascimen o que
não lhe aça e e ência, ou implici amen e a use, a começa
em Albe i. E, como al, es á pa en e em múl iplos edi ícios, a
a iados ní eis, com des aque pa a o pequeno emplo de San
Pie o in Mon o io de B aman e.#
Rod igues, como não pode ia deixa de se , explica-a p o u-
samen e, di e si icando os exemplos. Do quad ado ao cí culo,
do iângulo ao pen ágono, inalmen e, do quad ado a oda e
qualque igu a que ele possa ci cunsc e e . E, con i mando a
sua inclinação dupla po Euclides e Vi ú io soube, como pou-
cos, pô-la em p á ica.