Geometria e Proporção

2_04_c_01 Xa ie , J.P., "Geome ia e p opo ção". In Ta a es, Domingos, An ónio Rod igues. Renascimen o em Po ugal. Po o: Da ne Edi o a, 2007, pp. 103-120.  In odução Cidades da Renascença Um a qui ec o disc e o Cul u a de p íncipes Onze Mil Vi gens Rigo e a iações Lições de A qui ec u a Geome ia e p opo ção (João Ped o Xa ie ) Úl imo capí ulo Re e ências bibliog á icas 9 15 31 43 61 77 91 103 121 134 Sumá io 103 Se espe o na Geome ia, já que não se pode aze nada sem hela, e sabe de Música, pa a en ende as p opo ções das ozes, po que po es as po posoyse ˜e emde a as p oposois que am de e seus ede isios,* são, segundo An ónio Rod igues, duas das condições indispensá eis, ou pa es, pa a quem hou e de aze p o ição de a qui e o. Ou as, são as demais disciplinas do quad i ium, a A i mé ica e a As onomia, e que, com es as, compõem a A e Ma emá ica. Mas, de odas, é iniludí el o p i- mado da Geome ia no conhecimen o e exe cício des a A e. Gyome ia não he ou a couza que egu as, as quais nam se podem aze sem linhas, e amgulos, e pom o…, e e e An ónio Rod igues. E é p ecisamen e pelo pon o que se iniciam as de i- nições do Capi olo (ou Li o) em que se decla a que couza he Giome ia. Depois a linha. A segui , duas linhas… que podem se pa alelas mas que, caso o não sejam, o ma ão um ângulo. No e-se um caso pa icula : o ângulo di ei o (ou ec o). Com ês linhas, o mando ângulos, chega-se ao iângulo, a p imei a das igu as poligonais ou di ei as. Po que há as con exas e as cônca as no âmbi o das quais se enquad a o cí culo. Es e só se á pe ei o se obedece a ês condições: e um cen o, se de inido po uma ci cun e ência (ha qual não em p emsypio n˜e im) e se desse cen o a qualque pon o da ci cun e ência co - esponde a mesma dis ância, ou seja, o aio. Pe ei o se á am- bém o iângulo, de ês lados iguais e ês ângulos iguais, bem como quad ado, de qua o lados iguais e qua o ângulos iguais. Geome ia e p opo ção João Ped o Xa ie * Códice 3675 da Biblio eca Nacional od igues · enascimen o em po ugal 104 Po que o ombo (ou losango) já não o se á, po não cump i a condição da igualdade dos ângulos, nem ampouco o e ágono longo (ou ec ângulo), po al a de igualdade dos seus lados. Mas ela i amen e às igu as, mais do que conhecê-las, impo a sabe cons uí-las com égua e compasso, p imei o no papel de desenho, depois, mul iplicada a escala, sob e o e - eno dando cump imen o à ‘p am a’, ou en ão, ma e ializadas em ios desenhados sob e um plano e ical ic ício que da á luga a uma achada delineada na ‘mon ea’ e/ou à secção do edi ício de inida no ‘pe ice’. Po que é a inalidade p á ica da Geome ia, a a e de cons ui no caso, que comanda a o de- nação dos sabe es: a a emos daquelas egu as que pa a es e a ado são nesessa ias com ha decla assão de cada h˜ua e o pe a que se em. Euclides sim, mas quan o bas e. Pa a quem quise sabe mais ica a ecomendação: quem o co iozo des a ha e es ude Hoclides, e nele acha á bem couza em que se desem ade. O cí culo, sabemo-lo bem, de ine-se com uma ol a com- ple a do compasso. Assumimo-lo na mão de Deus enquan o a qui ec o do uni e so* e emp es ámo-lo ao homem pa a, como a qui ec o e eno, desenha a cidade ideal e a casa di ina. Assim e á desenhado Rod igues, em plan a, a p ojecção da cúpula, qual abóbada celes e, do espaço sepulc al da capela das Onze Mil Vi gens, bem como o semicí culo co espon- den e à sua secção ans e sal. Pa a a ingi a anslucidez que a o na mágica, e á sido dece o o co e, a pa e e di den o como di ia Ra aello, que o ajudou a de ini o calib e da con- cha de má mo e osa de Es emoz de que é ei a, a é mínimos quase impensá eis. Assim, ambém, Diogo Cas ilho e João de Ruão p e igu a am a ig eja de São Sal ado dos Agos inhos da Se a do Pila e o seu claus o, alinhando dois espaços cilínd i- cos, num sábio jogo de complemen a idade, o p imei o co o- * Mu inho, Ví o , Compasso e P udência, in Ta a es, Domingos, Philibe Delo me, p o issão de a qui ec o. Po o 2004 105 ado com uma cúpula celes e ic ícia, ei a à imagem do Pan eão de Roma, o segundo abe o pa a o céu eal, enquan o To al a i ia a p e e i explo a a ambiguidade esul an e da in e sec- ção de dois espaços ci cula es cupulados na capela de San o Ama o em Alcân a a. No cí culo, como sabemos, podemos insc e e odo o polígono egula , que es a á condenado à cen alidade po iliação gené ica, desde um núme o in ini o de lados, si uação em que o polígono coincide com o p óp io cí culo, ao núme o mínimo de ês, onde o polígono é o iângulo pe ei o (ou equilá e o). Sabemos como é ácil insc e e o iângulo pe ei o no cí - culo. Bas a man e a abe u a do compasso. Mas ambém é possí el cons uí-lo a pa i de um lado, con o me desc e e An ónio Rod igues, seguindo Euclides (c.360-300 a.C.), dese- nhando dois cí culos com cen o nos seus ex emos e aio igual ao lado, ga an indo, des e modo, a equidis ância dos é ices. A o ma esul an e da in e secção desses cí culos ge ado es do iângulo pe ei o, que pode se cons uído pa a um ou pa a o ou o lado da base, eio a chama -se esica piscis o nando-se De inição 13 do Li o de Geome ia do Códice 3675 BN geome i a e p opo ção od igues · enascimen o em po ugal 106 um símbolo de Deus, como o iângulo, aliás, se associou desde logo à T indade. Daí que a esica enha se ido pa a da o ma à na e de mui as basílicas, sob e udo medie ais, a a és do ec- ângulo que a ci cunsc e e, cuja elação dos lados é de 1:√3, se bem que, gene icamen e, odas as con igu ações de i adas do iângulo equilá e o e, em pa icula , as hexagonais, enham semp e implíci as es a azão. Não é o caso de nenhum dos em- plos p ojec ados po Rod igues. Mas, ainda assim, é possí el de ec a a p esença signi ica i a do iângulo equilá e o na capela das Onze Mil Vi gens na de inição do pe il do cone ci - cunsc i o do zimbó io que co oa a cúpula do sepulc o. A segui ao iângulo em o quad ado pe ei o. Rod igues não explica o p ocedimen o pa a a sua insc ição no cí culo. Tal ez po que a cons ução, a pa i das linhas deangula es (ou diagonais), deco e das an e io es. E, cu iosamen e, ai se a diagonal do quad ado que lhe ai se i pa a comp o a o eo ema undamen al da geome ia euclidiana e e en e à soma dos ângulos in e nos de um iângulo. Rod igues diz-nos que uma diagonal co a um quad ado em dois iângulos. T a am- -se, na e dade, de dois iângulos ec ângulos isósceles, di í- amos hoje. Como a diagonal é a bissec iz do ângulo o mado po dois lados do quad ado esul a que os ângulos iguais do iângulo e ão necessa iamen e 45º, sendo a soma dos ângulos in e nos, 2 x 45º + 90º, igual a 180º. No caso ge al, expos o na p oposição imedia amen e an e io , é in e essan e e i ica que a p o a é dada com base na ansposição e soma das medi- das dos ês ângulos com o compasso pa a um semicí culo, de modo a pe aze dois ângulos ec os. Ou seja, a demons ação eó ica, acessí el nos Elemen os de Euclides, é p e e ida ace à comp o ação empí ica, colhida nos manuais de geome ia p á- ica. Nes a mesma linha se enquad a o ecu so a cons uções ap oximadas, ine i á eis quando se in en a da solução a p o- 107 geome i a e p opo ção blemas insolú eis, como sejam, a do açado da igu a hep á- gona insc i a no cí culo ou da quad a u a do cí culo. O quad ado, o ma claus al po excelência e po eg a, podendo se a excepção que a con i ma o claus o ci cula de Ruão e Cas ilho e, po ex ensão, da p aça cen al da cidade quando não da p óp ia cidade, se á po en u a, ambém, a o ma-base mais p ocu ada pa a con igu a emplos de plan a cen alizada. P imei o, de ido à sua ligação especial com o cí - culo que começa á, p o a elmen e, no mi o da sua quad a u a. Depois, de ido à sua capacidade de a iculação, sob e udo associa i a, assumindo-se como módulo e e encial de es u- u as mais complexas. Todo o polígono egula se elaciona com o cí culo, es á is o. Tal como odo o polied o egula (ou pla ónico) e semi- egula (ou a quimediano) se elaciona com a es e a. Mas o quad ado e o cí culo, e as suas ex ensões idimensionais, o cubo e a es e a, êm de ac o uma ligação mis e iosa e sec e a que oi ampli icada pela sua associação às dimensões do co po humano, endo sido Vi ú io o ansmisso desse ínculo que ganhou dimensão uni e sal sob e udo com a a adís ica do Renascimen o e a sucessi a apa ição de edições imp essas, a almen e in e p e a i as, do De A chi ec u a, a que não al a am igu ações bem di e sas pa a o homem i u- iano. De en e elas me ece des aque a da majes osa edição de Cæsa e Cesa iano de 1521, não só pela sua qualidade g á ica e pe inência geomé ica como pelo comen á io que a acom- panha em que se a i ma que, com a igu a i u iana, a a és da sime ia dos memb os do co po humano, é possí el medi odas as coisas do mundo e, na u almen e, o emplo. O a a capela das Onze Mil Vi gens e, conc e amen e, o espaço do sepulc o de Ped o Masca enhas, é um espécime pe ei o de uma amília de ob as-p imas – que inclui, en e ou as, as capelas Medicis em San Lo enzo, de B unelleschi e od igues · enascimen o em po ugal 114 no o, se á p oduzido um som si uado uma quin a, ou diapen e, acima do p imei o; a di isão 4:3 da á uma qua a, ou dia es- se ão; a 5:4 uma e cei a maio ; a 5:3 uma sex a maio ; a 2:1 uma oi a a, ou diapasão. É nes e sen ido que se pe cebe o apelo de Rod igues pa a que o a qui ec o osse músico. Po que ao en ende a p opo - ção das ozes en ende ia as p opo ções que ha e iam de e os seus edi ícios! E a es e o objec i o: dimensiona os espaços segundo de e minados in e alos musicais. Desse modo se con- e i ia musicalidade aos edi ícios, em linha com a adição que ai de Albe i a F ied ich Schelling (1775-1854) de conside a a a qui ec u a como música congelada ou pe i icada, sendo es a musicalidade, ademais, um dos ac o es de e minan es da sua beleza, po se ambém a o ma de e lec i a ha monia musical ine en e ao p óp io uni e so. Se é indiscu í el que a linguagem dos a qui ec os e a a dos músicos, e ice- e sa, se não eja-se o Memo andum do ade eneziano F ancesco Gio gi (1466-1540) pa a San F ancesco della Vigna (1535), a e dade é que, apa e aquele apelo, não se deno a nos Li os de Rod igues qualque explo ação explíci a des a in e dependência, se bem que exis a uma e e ência e e- lado a, logo na p imei a de inição do “Li o de Geome ia” de 79, ao amoso eó ico enascen is a da música F anchino Ga u io (1451-1522), conside ado um especialis a em ques- ões de a qui ec u a pelos seus con empo âneos. Lemb e-se a sua equisição como consul o das ob as da ca ed al de Milão. Da sua ob a Theo ie musice, de 1492, icou céleb e a g a u a quad ipa ida ilus a i a da descobe a das consonâncias musi- cais. Es as são as consonâncias que Albe i adop ou, no Re Aedi ica o ia, no elenco das a eae a segui pa a ga an i a con- sonância dos espaços, selando, po es a ia, o casamen o da música e da a qui ec u a. No e-se po ém que, pa a além do 115 geome i a e p opo ção uníssono, do diapasão, do diapen e e do dia esse ão que en ol- em os núme os musicais, 1, 2, 3 e 4, e cons i uem o e ac ys* pi agó ico, a que Pla ão (427-347 a.C.) emp es ou oda a sua au o idade, Rod igues conside a ambém a e cei a e a sex a maio es, que implicam o núme o 5, in e alos igualmen e con- sonan es que não es ão con emplados no sis ema musical g ego mas são acilmen e explicá eis à luz dos no os desen ol imen- os da eo ia musical oco idos no século XVI. A capela das Onze Mil Vi gens é um excelen e exemplo de aplicação des as consonâncias. Em p imei o luga das conso- nâncias pi agó ico-pla ónicas. De ac o, é a pa i dessas con- sonâncias que se joga o dimensionamen o ma icial da capela e, conc e amen e, a elação da na e com o sepulc o. De ac o, a endendo a que a na e é um quad ado duplo e o sepulc o um quad ado, no que se p essen e a somb a do Templo de Salomão, podemos dize que es amos em p esença de uma na e-diapasão e de um sepulc o-uníssono e de que a elação en e a na e e o Demons ação das consonâncias pi agó ico- -pla ónicas * Pa a os pi agó icos o e ac ys é a igu a numé ica que exp essa a soma dos qua o p imei os núme os (1+2+3+4=10) sendo en endida como a o igem de odas as coisas. od igues · enascimen o em po ugal 116 sepulc o pode se is a, ou ou ida, como um diapen e, bas a que conside emos o comp imen o do emplo, excluído o al a , como a co da de um monocó dio e a di isão desse comp i- men o a 2:3, como o momen o de pa agem de um pe cu so iniciado à en ada sob o a co iun al. Das ou as consonân- cias em pe inência o ecu so à e cei a maio , igu a i amen e o ec ângulo 5:4, que encon amos na secção ans e sal da na e, na planime ia do al a e da sac is ia, e no dimensiona- men o de algumas abelas e ãos. A sex a maio , o ec ângulo 5:3, limi a-se ao ão do pó ico de en ada. Cu iosamen e, nem es e, nem o pó ico p incipal da ig eja de San a Ma ia da G aça de Se úbal, êm a mesma p opo ção do pó ico que Rod igues desenhou no “Li o de Geome ia” de 79, o qual, po sua ez, é subsidiá io do céleb e pó ico do T a ado de Se lio. Apesa das pequenas di e enças, a iden i i- cação do pó ico do T a ado de 79 com o de Se lio começa na P oposição 8 do Li o de Geome ia do Códice 3675 BN 117 geome i a e p opo ção cons ução geomé ica que o es u u a e di a as elações p o- po cionais das suas medidas. T a a-se do diag ama do helikon* de Cláudio P olomeo (c.90-c.168), um ins umen o concebido pa a ilus a a azão dos aco des aos iniciados na ma emá ica. Pe mi e a isecção do quad ado e de qualque igu a ec angu- la , pelo que ambém pode se i pa a, num duplo quad ado, aze h ˜u olho pa a da luz num emplo dedicado a nosso senho ou a qualque dos seus sanc os. Aplicado ao pó ico insc i o no quad ado cujo lado se omou pa a la gu a da na e, di a que a igu a do ão seja um ec ângulo 2:1, ou seja, um diapasão. E assim, po es a eg a, ica aa em sua debi a p opo ção, cõ al que os m˜eb os de que o o nado o po al não saya o a das linhas deãngula es .a.b.c.d, e o a chi e o não se á i upe ado das uins lingoas. Vol ando a Alcáce con ém no a que as elações musi- cais não são exclusi as po que, como já mos ámos, exis em Es u u a ma icial da capela das Onze Mil Vi gens * O helikon e a um an igo ins umen o musical g ego, cujo nome de i a do Mon e Helikon, a Casa das Musas. od igues · enascimen o em po ugal 118 elações ad quad a um, incomensu á eis, que nos le am a é à dimensão do pila , cuja secção quad ada cons i ui o módulo base do emplo. Módulo a que se chega e de que se não pa e, dada a necessidade de ajus amen o à p eexis en e ig eja do con- en o de San o An ónio. De qualque modo, podemos dize que a es u u a p imá ia da capela das Onze Mil Vi gens obe- dece a uma pa i u a musical de consonan es, à qual se sob e- põe uma es u u a secundá ia que en e eda em elações es i- amen e ma emá icas baseadas na duplicação do quad ado que, caso osse líci o p olonga a analogia musical, se iam conside- adas dissonâncias. Mas há, pelo menos, um ema e a iações. Em San a Ma ia da G aça, ao con á io, pa ece e osímil que seja o dimensionamen o global do edi ício que em essa ma iz ad quad a um. A o igem des a cons ução p opo cional, a ada em ês p oposições do “Li o de Geome ia” de 76, e em qua o do Análise geomé ica da plan a de San a Ma ia da G aça de Se úbal 119 geome i a e p opo ção * Wa s, Ca ol Ma in , The Squa e and he Roman House: A chi ec u e and Deco a ion a Pompeii and He culaneum, in Nexus. A chi ec u e and Ma hema ics, Fuccechio 1996 # Wilson-Jones, Ma k, P inciples o oman a chi ec u e, New Ha en 2003 de 79, pe de-se nos con ins do empo. Pi ágo as (sec. VI a.C.), aplicando o eo ema que em o seu nome, cons a ou a impossi- bilidade de medi a diagonal do quad ado e, assim, descob iu os núme os incomensu á eis. Vi ú io diz que oi Pla ão, com um dos seus mui os e u ilíssimos aciocínios, quem nos deu a cha e pa a duplica a á ea do quad ado sem e que medi a diagonal, já que ninguém, com e ei o, consegue aí chega po núme os. Di e sos monumen os e ilas omanas con i mam a p esença eco en e des a cons ução geomé ica.* Villa d de Honnecou (sec. XIII) não a esquece e mos a-nos como se pode aze a sua aplicação no dimensionamen o de um claus- o. E, na u almen e, não há a ado do Renascimen o que não lhe aça e e ência, ou implici amen e a use, a começa em Albe i. E, como al, es á pa en e em múl iplos edi ícios, a a iados ní eis, com des aque pa a o pequeno emplo de San Pie o in Mon o io de B aman e.# Rod igues, como não pode ia deixa de se , explica-a p o u- samen e, di e si icando os exemplos. Do quad ado ao cí culo, do iângulo ao pen ágono, inalmen e, do quad ado a oda e qualque igu a que ele possa ci cunsc e e . E, con i mando a sua inclinação dupla po Euclides e Vi ú io soube, como pou- cos, pô-la em p á ica.