Depa amen o de Engenha ia Física
Sumá ios e Exames de Física 1, 2019
Jaime E. Villa e
Po o, julho de 2019
Copy igh © 2019, Jaime E. Villa e
E-mail: illa e@ e.up.p
Publicado sob a licença C ea i e Commons A ibuição-Pa ilha ( e são 3.0). Pa a ob e uma
cópia des a licença, isi e
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ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons, 559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305,
USA.
Con eúdo
1 Sumá ios 1
1.1 Cinemá ica ...................................... 2
1.2 Cinemá ica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Mo imen o cu ilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Mecânica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 T abalho e ene gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7 Sis emas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.8 Mecânica lag angiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.9 Sis emas linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.10 Sis emas não linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.12 Sis emas caó icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Exames 101
2.1 Exame de época no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.1.3 Co ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2 Exame de época de ecu so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.3 Co ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliog a ia 115
i CONTEÚDO
Capí ulo 1
Sumá ios
Disciplina Física 1.
Cu so
Mes ado In eg ado em Engenha ia In o má ica e Compu ação. Segundo semes-
e do p imei o ano.
Ano académico 2018–2019, segundo semes e.
Regen e Jaime E. Villa e.
Docen es Ma ia Helena B aga e Jaime E. Villa e.
Núme o de alunos 210.
Mé odo de a aliação Dis ibuída (dois es es, 40%) com exame inal (60%).

2Sumá ios
1.1 Cinemá ica 3
4Sumá ios
1.1 Cinemá ica 5
12 Sumá ios

1.2 Cinemá ica e o ial 13
14 Sumá ios
1.2 Cinemá ica e o ial 15
16 Sumá ios
1.2 Cinemá ica e o ial 17

18 Sumá ios
1.3 Mo imen o cu ilíneo 19
20 Sumá ios
1.3 Mo imen o cu ilíneo 21
28 Sumá ios

1.4 Mecânica e o ial 29
30 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 31
32 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 33

34 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 35
36 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 37
44 Sumá ios

1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 45
46 Sumá ios
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 47
48 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 49

50 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 51
52 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 53
60 Sumá ios

1.7 Sis emas dinâmicos 61
62 Sumá ios
1.7 Sis emas dinâmicos 63
64 Sumá ios
1.8 Mecânica lag angiana 65

66 Sumá ios
1.8 Mecânica lag angiana 67
68 Sumá ios
1.8 Mecânica lag angiana 69
76 Sumá ios

1.10 Sis emas não linea es 77
78 Sumá ios
1.10 Sis emas não linea es 79
80 Sumá ios
1.10 Sis emas não linea es 81

82 Sumá ios
1.10 Sis emas não linea es 83
84 Sumá ios
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 85
92 Sumá ios

1.12 Sis emas caó icos 93
94 Sumá ios
1.12 Sis emas caó icos 95
96 Sumá ios
1.12 Sis emas caó icos 97

98 Sumá ios
1.12 Sis emas caó icos 99
100 Sumá ios
Capí ulo 2
Exames
2.1 Exame de época no mal
O exame ealizou-se no dia 18 de junho de 2019. Compa ece am 152 es udan es e a
no a média oi 12 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões.
Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns
po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as.
108 Exames
2.1.3 Co ações
P oblema 1
(a) Mecânica e o ial.
• Diag ama de co po li e /equação de mo imen o do bloco 1 0.8
• Diag ama de co po li e /equação de mo imen o do bloco 2 0.8
• Diag ama de co po li e /equação de mo imen o da ba a 0.8
• Indica que as acele ações dos blocos êm o mesmo alo absolu o 0.6
• Relação en e a acele ação dos blocos e a acele ação angula da ba a 0.6
• Resolução das 3 equações de mo imen o 0.4
(b) Mecânica lag angiana.
• Indica que as elocidades dos blocos êm o mesmo alo absolu o 0.4
• Relação en e a elocidade dos blocos e a elocidade angula da ba a 0.4
• Ene gia ciné ica do sis ema, em unção das a iá eis de es ado 1.2
• Ene gia po encial do sis ema, em unção das a iá eis de es ado 1.2
• Aplicação da equação de Lag ange 0.4
• Resolução pa a ob e o alo da acele ação 0.4
P oblema 2
• Ob enção dos 3 pon os de equilíb io 0.4
• Ma iz jacobiana 0.4
• Ma izes das ap oximações linea es 0.4
• Valo es / e o es p óp ios do pon o na o igem 0.6
• Valo es / e o es p óp ios dos ou os dois pon os 0.6
• Classi icação co e a dos 3 pon os 0.8
• G á ico 0.8

2.2 Exame de época de ecu so 109
2.2 Exame de época de ecu so
O exame ealizou-se no dia 1 de julho de 2019. Compa ece am 65 es udan es e a
no a média oi 8.9 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões.
Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns
po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as.
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2018/2019
EIC0010 — FÍSICA I — 1º ANO, 2º SEMESTRE 1 de julho de 2019
Nome:
Du ação 2 ho as. P o a com consul a de o mulá io e uso de compu ado
. O o mulá io pode ocupa apenas uma olha
A4 ( en e e e so) e o compu ado pode se usado unicamen e pa a ealiza cálculos e não pa a consul a apon amen os ou
comunica com ou os! Use g=9.8 m/s2.
1.
(4 alo es) Um bloco de massa
m=
1
.
5 kg encon a-se na supe ície de um plano inclinado, que
az um ângulo
θ=
28
◦
com a ho izon al. En e o bloco e o plano inclinado o coe icien e de
a i o es á ico é 0.3 e o coe icien e de a i o ciné ico é 0.2. Sob e o bloco a ua uma o ça ex e na
~
F
, ho izon al, al como mos a a igu a. (a) Quando o módulo da o ça o
F=
10 N, o bloco
pe manece em epouso; de e mine o alo da o ça de a i o en e o bloco e o plano. (b) Se a o ça
aumen a pa a F=15 N, o bloco acele a pa a cima do plano; de e mine o alo da acele ação.
θ
~
F
m
2.
(4 alo es) A unção hamil oniana de um sis ema conse a i o é:
H(x,y)=y2
2+U(x)
onde
U
(
x
) é a unção ep esen ada no g á ico à di ei a. (a) De e -
mine a posição dos pon os de equilíb io no plano
xy
. (b) T ace o
e a o de ase ap oximado, no plano
xy
, mos ando os pon os de
equilíb io e as cu as de e olução que conside e mais impo an-
es. (c) Se no ins an e
=
0 o es ado do sis ema o (
x,y
)
=
(5
,−
1),
explique como se á a e olução do sis ema em >0.
U
x
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
PERGUNTAS. Respos as ce as, 0.8 alo es, e adas, −0.2, em b anco, 0.
3.
O e o posição dum pon o, em unção do empo, é dado pela
exp essão: 2
4ˆ
ı+
(
2+
2)
ˆ

(unidades SI). Calcule o ângulo
en e os e o es elocidade e posição, no ins an e =1.
(A) 88.8◦
(B) 42.3◦
(C) 16.9◦
(D) 55.0◦
(E) 67.6◦
Respos a:
4.
A exp essão da ene gia ciné ica dum sis ema conse a i o é
1
2¡˙
s2+3s2¢
, onde
s
é a posição na aje ó ia, e a exp essão da
ene gia po encial o al é 9
s
. O sis ema em um único pon o de
equilíb io; de e mine o alo de snesse pon o de equilíb io.
(A) -1
(B) 2
(C) -2
(D) 3
(E) 1
Respos a:
5. As equações de e olução dum sis ema linea são:
˙
x=x−2y˙
y=2x+y
Como a iam xeyem unção do empo?
(A) Oscilam com pe íodo π/2 e ampli ude c escen e.
(B) Oscilam com pe íodo π/2 e ampli ude cons an e.
(C) Oscilam com pe íodo igual a πe ampli ude cons an e.
(D) Oscilam com pe íodo πe ampli ude c escen e.
(E) Oscilam com pe íodo π/2 e ampli ude dec escen e.
Respos a:
6.
A o ça esul an e sob e um obje o de massa 2 kg é
~
F=
2
ˆ
ı+
7
ˆ

(SI). Se a elocidade do obje o em
=
0 o 5
ˆ
ı+
6
ˆ

m/s, calcule
a elocidade em =7 s.
(A) 12.0ˆ
ı+30.5 ˆ

(B) 7.0ˆ
ı+85.8 ˆ

(C) 12.0ˆ
ı+91.8 ˆ

(D) 12.0ˆ
ı+85.8 ˆ

(E) 19.0ˆ
ı+177.5 ˆ

Respos a:
7.
O espaço de ase dum sis ema dinâmico é o plano
xy
. Em
coo denadas pola es, as equações de e olução são
˙
θ= −
3,
˙
= 3+3 2+2 . Quan os ciclos limi e em o sis ema?
(A) 1
(B) 4
(C) 2
(D) 3
(E) 0
Respos a:
8.
A ma iz jacobiana dum sis ema não linea , num pon o de
equilíb io P no plano de ase (
x
,
y
), encon a-se na a iá el
J
do Maxima. O comando
eigen ec o s(J)
p oduz:
[[[-1,-2], [1,1]], [[[1,-1]], [[1,1/3]]]]
que ipo de pon o de equilíb io é o pon o P?
(A) pon o de sela.
(B) cen o.
(C) oco epulsi o.
(D) nó a a i o.
(E) oco a a i o.
Respos a:
10.
A igu a mos a o e a o de ase dum sis ema dinâmico com
duas a iá eis de es ado e 4 pon os de equilíb io: A, B, C e D.
Que ipo de cu a de e olução é a ci cun e ência núme o 2?
A
BC
D
1
2
(A) Isoclina.
(B) Nulclina.
(C) Ó bi a homoclínica.
(D) Ciclo.
(E) Ó bi a he e oclínica.
Respos a:
11.
O bloco B mo e-se pa a a di ei a com elocidade de alo cons-
an e 210 mm/s. Calcule o alo absolu o da elocidade do
bloco A.
A
B
(A) 105 mm/s
(B) 70 mm/s
(C) 210 mm/s
(D) 140 mm/s
(E) 315 mm/s
Respos a:
12.
Quando um a ião acele a desde o epouso, na pis a de desco-
lagem, a exp essão da sua acele ação angencial é 2
.
5
−
2
.
5
×
10
−5 2
(em unidades SI), onde
é o alo da elocidade do
a ião. Pa a consegui le an a oo, a elocidade mínima do
a ião no im da pis a de e se de 250 km/h. De e mine o
comp imen o mínimo, em me os, que de e á e a pis a de
descolagem.
(A) 612
(B) 989
(C) 701
(D) 1251
(E) 820
Respos a:
13.
Qual das seguin es equações pode á se uma das equações de
e olução num sis ema de duas espécies?
(A) ˙
y=y3−3xsinx
(B) ˙
y=y3+3x y sinx
(C) ˙
y=xpy+1−5y x2
(D) ˙
y=xpy−x+x y2
(E) ˙
y=2x y2−xcos y
Respos a:
14. As equações de e olução dum sis ema linea , são:
˙
x=a x +y˙
y=x+a(x+y)
onde
a
es á no in e alo
a<−
1. Que ipo de pon o de equilí-
b io é a o igem do espaço de ase?
(A) nó a a i o
(B) oco a a i o
(C) nó epulsi o
(D) pon o de sela
(E) oco epulsi o
Respos a:
15.
A ba a na igu a é homogénea, com 20 cm de comp imen o
e massa igual a 50 g amas. Se na posição inicial, no lado es-
que do da igu a, a ba a o la gada do epouso na posição
ho izon al, oda á descendo a é a posição e ical, no lado
di ei o da igu a. Uso-se uma mola de 15 cm (quando não es á
nem comp ida nem es icada) e com cons an e elás ica que az
com que quando a ba a desca ique no amen e em epouso
na posição e ical. De e mine a cons an e elás ica da mola.
12 cm
16 cm
(A) 2.72 N/m
(B) 6.81 N/m
(C) 4.08 N/m
(D) 5.44 N/m
(E) 8.17 N/m
Respos a:
16.
Calcule o momen o de iné cia de uma es e a homogénea com
2 cen íme os de aio e massa igual a 101 g amas, que oda à
ol a dum eixo angen e à supe ície da es e a, sabendo que o
momen o de iné cia de uma es e a de aio
R
e massa
m
à ol a
do eixo que passa pelo cen o é 2m R2/5.
(A) 3.23×10−5kg·m2
(B) 8.08×10−6kg·m2
(C) 1.62×10−5kg·m2
(D) 2.89×10−5kg·m2
(E) 5.66×10−5kg·m2
Respos a:
17.
Um jogado de gol e lança a sua bola com uma elocidade
inicial de 53 m/s, azendo um ângulo de 25
◦
com a ho izon al.
Desp ezando a esis ência do a , de e mine o aio de cu a u a
da aje ó ia desc i a pela bola, no pon o inicial onde es a oi
lançada.
(A) 183.0 m
(B) 219.6 m
(C) 316.3 m
(D) 152.5 m
(E) 263.6 m
Respos a:
18.
Pa a de e mina a posição do seu cen o de g a idade, uma
ba a e angula oi pendu ada de dois ios e icais, icando
em epouso na posição ho izon al que mos a a igu a. Sa-
bendo que a ensão no io ligado no pon o A é 2.2 N, a ensão
no io ligado em B é 3.1 N e o comp imen o da ba a, desde A
a é B, é 30 cm, de e mine a dis ância desde a a es a AC a é o
cen o de g a idade.
A B
C
(A) 8.4 cm
(B) 17.5 cm
(C) 12.2 cm
(D) 10.1 cm
(E) 14.6 cm
Respos a:
112 Exames
2.2.2 Resolução
P oblema 1. O g á ico à di ei a mos a o diag ama de co po li e
do bloco e uma o ma possí el de de ini os eixos
x
e
y
. O sen ido
indicado na igu a pa a a o ça de a i o,
Fa
, é o que e á na alínea
b, quando o a i o ciné ico, opos o ao sen ido do mo imen o
do bloco. Na alínea a, em que o a i o é es á ico, pode á e esse
sen ido ou o sen ido opos o (nesse segundo caso, o alo ob ido
pa a Fase á nega i o).
(a) Uma das condições de equilíb io é que a componen e
x
da
o ça esul an e seja nula, que aduz-se na seguin e equação:
x
y
28◦
28◦
N
F
m g Fa
Fa+m g sin 28◦−Fcos 28◦=0=⇒ Fa=10 cos 28◦−14.7 sin 28◦=1.928 N
O sinal posi i o indica que a o ça de a i o sim é no sen ido indicado na igu a.
(b) A o ça de a i o, Fa, co esponde a a i o ciné ico e, como al,
Fa=µcN=0.2 N
A componen e
y
da o ça esul an e de e á se nula, e a componen e
x
de e á se igual
a menos a massa ezes a acele ação:
(N−15 sin 28◦−14.7 cos 28◦=0
0.2 N+14.7 sin 28◦−15 cos 28◦=−1.5a=⇒ 


N=20.02 N
a=1.559 m
s2
P oblema 2. As equações de e olução do sis ema são ob idas a pa i das equações de
Hamil on:
˙
x=∂H
∂y=y˙
y=−∂H
∂x=−dU
dx
Ou, em ez de usa mos as equações de Hamil on, podemos conside a que o sis ema é
uma pa ícula de massa igual a 1, que se desloca no eixo dos
x
, sob a ação da ene gia
po encial
U
(
x
), com elocidade
y=˙
x
. A unção hamil oniana é a ene gia mecânica
dessa pa ícula.
2.2 Exame de época de ecu so 113
(a) Há ês pon os de equilíb io, onde a de-
i ada de
U
é nula: dois mínimos locais em
x≈
1
.
5 e
x≈
6
.
5, e um máximo local em
x≈
3
.
5, indicados na igu a ao lado com ês
cí culos. A p imei a equação de e olução
implica que nos pon os de equilíb io
y=
0.
As coo denadas (
x
,
y
) dos 3 pon os de equi-
líb io são en ão:
P1=(1.5,0) P2=(3.5,0) P3=(6.5,0)
(b) As ba as ho izon ais na igu a mos am
onde pode á es a o sis ema pa a di e en es
alo es de H. Há 4 casos di e en es:
U
x
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
H = 2
H = 5H = 5
H = 6.3H = 6.3
H = 8
(i)
H
maio que o alo de
H
no pon o P
3
(igual a
U
(6
.
5)
≈
1, po que
y=
0) e meno
que o alo de
H
no pon o P
1
(
U
(1
.
5)
≈
4
.
3); op amos po usa
H=
2 que, como mos a
o g á ico, co esponde a um ciclo à ol a de P
3
. (ii)
H
maio que 4.3 e meno que o
alo de
H
no pon o P
2
(
U
(3
.
5)
≈
6
.
3); op amos po usa
H=
5, que conduz a dois ciclos
di e en es, um à ol a de P
1
e ou o à ol a de P
3
. (iii )
H≈
6
.
3, que conduz a duas ó bi as
homoclínicas, uma à ol a de P
1
e ou a à ol a de P
3
. (i )
H>
6
.
3, que conduz a ciclos
que con o nam os 3 pon os de equilíb io (mos a-se o caso H=8).
O e a o de ase é o sumá io desses esul ados:
(c)
H
(5
,−
1)
≈
1/2
+
4
=
4
.
5, que se encon a na egião onde há ciclos em o no do
pon o P
3
. O sis ema oscila em o no desse pon o. O alo inicial nega i o de
y
implica
que
x
diminui e
y
aumen a, a é um ins an e em que
x≈
4
.
5 e
y=
0. A pa i desse
ins an e,
x
e
y
aumen am, a é um ins an e em que
x=
6
.
5 e
y
a inge o alo máximo
y=p2(4.5−1) ≈
2
.
6; a segui ,
x
con inua a aumen a mas
y
diminui, a é um ins an e
em que
x≈
7
.
5 e
y=
0. Depois,
x
e
y
diminuem a é
x=
6
.
5,
y= −
2
.
6 ( alo mínimo

114 Exames
de
y
). A segui ,
x
con inua a diminui mas
y
aumen a, a é ol a ao es ado inicial do
sis ema: x=5, y=−1. O mesmo ciclo epe e-se inde inidamen e.
Pe gun as
3. B
4. D
5. D
6. C
7. E
8. D
9. E
10. D
11. B
12. B
13. B
14. B
15. E
16. C
17. B
2.2.3 Co ações
P oblema 1
• Diag ama de co po li e incluindo ângulos e eixos 0.8
• Exp essão da soma das componen es das o ças pa alelas ao plano (a) 0.8
• Ob enção da o ça de a i o, indicando as unidades 0.2
• Relação en e o ça de a i o ciné ico e eação no mal (b) 0.4
• Exp essão da soma das componen es das o ças pa alelas ao plano (b) 0.8
•
Exp essão da soma das componen es das o ças pe pendicula es ao plano (b) 0.8
• Ob enção da acele ação, indicando as unidades 0.2
P oblema 2
• Ob enção dos 3 pon os de equilíb io 0.8
•
Re a o de ase mos ando os eixos
x
e
y
, os 3 pon os de equilíb io e as cu as
impo an es (ó bi as homoclínicas/he e oclínicas, ciclos, cu as abe as) com
se as que indiquem o sen ido em que o sis ema e olui 2.4
• Explicação da e olução do sis ema pa a >0 na alínea c0.8
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