Sumários e Exames de Física 1, 2019

Depa amen o de Engenha ia Física Sumá ios e Exames de Física 1, 2019 Jaime E. Villa e Po o, julho de 2019 Copy igh © 2019, Jaime E. Villa e E-mail: illa e@ e.up.p Publicado sob a licença C ea i e Commons A ibuição-Pa ilha ( e são 3.0). Pa a ob e uma cópia des a licença, isi e h p://c ea i ecommons.o g/licenses/by-sa/3.0/ ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons, 559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305, USA. Con eúdo 1 Sumá ios 1 1.1 Cinemá ica ...................................... 2 1.2 Cinemá ica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Mo imen o cu ilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Mecânica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 T abalho e ene gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7 Sis emas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.8 Mecânica lag angiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.9 Sis emas linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.10 Sis emas não linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.12 Sis emas caó icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 Exames 101 2.1 Exame de época no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.1.3 Co ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.2 Exame de época de ecu so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.2.3 Co ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Bibliog a ia 115 i CONTEÚDO Capí ulo 1 Sumá ios Disciplina Física 1. Cu so Mes ado In eg ado em Engenha ia In o má ica e Compu ação. Segundo semes- e do p imei o ano. Ano académico 2018–2019, segundo semes e. Regen e Jaime E. Villa e. Docen es Ma ia Helena B aga e Jaime E. Villa e. Núme o de alunos 210. Mé odo de a aliação Dis ibuída (dois es es, 40%) com exame inal (60%). 2Sumá ios 1.1 Cinemá ica 3 4Sumá ios 1.1 Cinemá ica 5 12 Sumá ios 1.2 Cinemá ica e o ial 13 14 Sumá ios 1.2 Cinemá ica e o ial 15 16 Sumá ios 1.2 Cinemá ica e o ial 17 18 Sumá ios 1.3 Mo imen o cu ilíneo 19 20 Sumá ios 1.3 Mo imen o cu ilíneo 21 28 Sumá ios 1.4 Mecânica e o ial 29 30 Sumá ios 1.4 Mecânica e o ial 31 32 Sumá ios 1.4 Mecânica e o ial 33 34 Sumá ios 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 35 36 Sumá ios 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 37 44 Sumá ios 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 45 46 Sumá ios 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 47 48 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 49 50 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 51 52 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 53 60 Sumá ios 1.7 Sis emas dinâmicos 61 62 Sumá ios 1.7 Sis emas dinâmicos 63 64 Sumá ios 1.8 Mecânica lag angiana 65 66 Sumá ios 1.8 Mecânica lag angiana 67 68 Sumá ios 1.8 Mecânica lag angiana 69 76 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 77 78 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 79 80 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 81 82 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 83 84 Sumá ios 1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 85 92 Sumá ios 1.12 Sis emas caó icos 93 94 Sumá ios 1.12 Sis emas caó icos 95 96 Sumá ios 1.12 Sis emas caó icos 97 98 Sumá ios 1.12 Sis emas caó icos 99 100 Sumá ios Capí ulo 2 Exames 2.1 Exame de época no mal O exame ealizou-se no dia 18 de junho de 2019. Compa ece am 152 es udan es e a no a média oi 12 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões. Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as. 108 Exames 2.1.3 Co ações P oblema 1 (a) Mecânica e o ial. • Diag ama de co po li e /equação de mo imen o do bloco 1 0.8 • Diag ama de co po li e /equação de mo imen o do bloco 2 0.8 • Diag ama de co po li e /equação de mo imen o da ba a 0.8 • Indica que as acele ações dos blocos êm o mesmo alo absolu o 0.6 • Relação en e a acele ação dos blocos e a acele ação angula da ba a 0.6 • Resolução das 3 equações de mo imen o 0.4 (b) Mecânica lag angiana. • Indica que as elocidades dos blocos êm o mesmo alo absolu o 0.4 • Relação en e a elocidade dos blocos e a elocidade angula da ba a 0.4 • Ene gia ciné ica do sis ema, em unção das a iá eis de es ado 1.2 • Ene gia po encial do sis ema, em unção das a iá eis de es ado 1.2 • Aplicação da equação de Lag ange 0.4 • Resolução pa a ob e o alo da acele ação 0.4 P oblema 2 • Ob enção dos 3 pon os de equilíb io 0.4 • Ma iz jacobiana 0.4 • Ma izes das ap oximações linea es 0.4 • Valo es / e o es p óp ios do pon o na o igem 0.6 • Valo es / e o es p óp ios dos ou os dois pon os 0.6 • Classi icação co e a dos 3 pon os 0.8 • G á ico 0.8 2.2 Exame de época de ecu so 109 2.2 Exame de época de ecu so O exame ealizou-se no dia 1 de julho de 2019. Compa ece am 65 es udan es e a no a média oi 8.9 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões. Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as. MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2018/2019 EIC0010 — FÍSICA I — 1º ANO, 2º SEMESTRE 1 de julho de 2019 Nome: Du ação 2 ho as. P o a com consul a de o mulá io e uso de compu ado . O o mulá io pode ocupa apenas uma olha A4 ( en e e e so) e o compu ado pode se usado unicamen e pa a ealiza cálculos e não pa a consul a apon amen os ou comunica com ou os! Use g=9.8 m/s2. 1. (4 alo es) Um bloco de massa m= 1 . 5 kg encon a-se na supe ície de um plano inclinado, que az um ângulo θ= 28 ◦ com a ho izon al. En e o bloco e o plano inclinado o coe icien e de a i o es á ico é 0.3 e o coe icien e de a i o ciné ico é 0.2. Sob e o bloco a ua uma o ça ex e na ~ F , ho izon al, al como mos a a igu a. (a) Quando o módulo da o ça o F= 10 N, o bloco pe manece em epouso; de e mine o alo da o ça de a i o en e o bloco e o plano. (b) Se a o ça aumen a pa a F=15 N, o bloco acele a pa a cima do plano; de e mine o alo da acele ação. θ ~ F m 2. (4 alo es) A unção hamil oniana de um sis ema conse a i o é: H(x,y)=y2 2+U(x) onde U ( x ) é a unção ep esen ada no g á ico à di ei a. (a) De e - mine a posição dos pon os de equilíb io no plano xy . (b) T ace o e a o de ase ap oximado, no plano xy , mos ando os pon os de equilíb io e as cu as de e olução que conside e mais impo an- es. (c) Se no ins an e = 0 o es ado do sis ema o ( x,y ) = (5 ,− 1), explique como se á a e olução do sis ema em >0. U x 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PERGUNTAS. Respos as ce as, 0.8 alo es, e adas, −0.2, em b anco, 0. 3. O e o posição dum pon o, em unção do empo, é dado pela exp essão: 2 4ˆ ı+ ( 2+ 2) ˆ  (unidades SI). Calcule o ângulo en e os e o es elocidade e posição, no ins an e =1. (A) 88.8◦ (B) 42.3◦ (C) 16.9◦ (D) 55.0◦ (E) 67.6◦ Respos a: 4. A exp essão da ene gia ciné ica dum sis ema conse a i o é 1 2¡˙ s2+3s2¢ , onde s é a posição na aje ó ia, e a exp essão da ene gia po encial o al é 9 s . O sis ema em um único pon o de equilíb io; de e mine o alo de snesse pon o de equilíb io. (A) -1 (B) 2 (C) -2 (D) 3 (E) 1 Respos a: 5. As equações de e olução dum sis ema linea são: ˙ x=x−2y˙ y=2x+y Como a iam xeyem unção do empo? (A) Oscilam com pe íodo π/2 e ampli ude c escen e. (B) Oscilam com pe íodo π/2 e ampli ude cons an e. (C) Oscilam com pe íodo igual a πe ampli ude cons an e. (D) Oscilam com pe íodo πe ampli ude c escen e. (E) Oscilam com pe íodo π/2 e ampli ude dec escen e. Respos a: 6. A o ça esul an e sob e um obje o de massa 2 kg é ~ F= 2 ˆ ı+ 7 ˆ  (SI). Se a elocidade do obje o em = 0 o 5 ˆ ı+ 6 ˆ  m/s, calcule a elocidade em =7 s. (A) 12.0ˆ ı+30.5 ˆ  (B) 7.0ˆ ı+85.8 ˆ  (C) 12.0ˆ ı+91.8 ˆ  (D) 12.0ˆ ı+85.8 ˆ  (E) 19.0ˆ ı+177.5 ˆ  Respos a: 7. O espaço de ase dum sis ema dinâmico é o plano xy . Em coo denadas pola es, as equações de e olução são ˙ θ= − 3, ˙ = 3+3 2+2 . Quan os ciclos limi e em o sis ema? (A) 1 (B) 4 (C) 2 (D) 3 (E) 0 Respos a: 8. A ma iz jacobiana dum sis ema não linea , num pon o de equilíb io P no plano de ase ( x , y ), encon a-se na a iá el J do Maxima. O comando eigen ec o s(J) p oduz: [[[-1,-2], [1,1]], [[[1,-1]], [[1,1/3]]]] que ipo de pon o de equilíb io é o pon o P? (A) pon o de sela. (B) cen o. (C) oco epulsi o. (D) nó a a i o. (E) oco a a i o. Respos a: 10. A igu a mos a o e a o de ase dum sis ema dinâmico com duas a iá eis de es ado e 4 pon os de equilíb io: A, B, C e D. Que ipo de cu a de e olução é a ci cun e ência núme o 2? A BC D 1 2 (A) Isoclina. (B) Nulclina. (C) Ó bi a homoclínica. (D) Ciclo. (E) Ó bi a he e oclínica. Respos a: 11. O bloco B mo e-se pa a a di ei a com elocidade de alo cons- an e 210 mm/s. Calcule o alo absolu o da elocidade do bloco A. A B (A) 105 mm/s (B) 70 mm/s (C) 210 mm/s (D) 140 mm/s (E) 315 mm/s Respos a: 12. Quando um a ião acele a desde o epouso, na pis a de desco- lagem, a exp essão da sua acele ação angencial é 2 . 5 − 2 . 5 × 10 −5 2 (em unidades SI), onde é o alo da elocidade do a ião. Pa a consegui le an a oo, a elocidade mínima do a ião no im da pis a de e se de 250 km/h. De e mine o comp imen o mínimo, em me os, que de e á e a pis a de descolagem. (A) 612 (B) 989 (C) 701 (D) 1251 (E) 820 Respos a: 13. Qual das seguin es equações pode á se uma das equações de e olução num sis ema de duas espécies? (A) ˙ y=y3−3xsinx (B) ˙ y=y3+3x y sinx (C) ˙ y=xpy+1−5y x2 (D) ˙ y=xpy−x+x y2 (E) ˙ y=2x y2−xcos y Respos a: 14. As equações de e olução dum sis ema linea , são: ˙ x=a x +y˙ y=x+a(x+y) onde a es á no in e alo a<− 1. Que ipo de pon o de equilí- b io é a o igem do espaço de ase? (A) nó a a i o (B) oco a a i o (C) nó epulsi o (D) pon o de sela (E) oco epulsi o Respos a: 15. A ba a na igu a é homogénea, com 20 cm de comp imen o e massa igual a 50 g amas. Se na posição inicial, no lado es- que do da igu a, a ba a o la gada do epouso na posição ho izon al, oda á descendo a é a posição e ical, no lado di ei o da igu a. Uso-se uma mola de 15 cm (quando não es á nem comp ida nem es icada) e com cons an e elás ica que az com que quando a ba a desca ique no amen e em epouso na posição e ical. De e mine a cons an e elás ica da mola. 12 cm 16 cm (A) 2.72 N/m (B) 6.81 N/m (C) 4.08 N/m (D) 5.44 N/m (E) 8.17 N/m Respos a: 16. Calcule o momen o de iné cia de uma es e a homogénea com 2 cen íme os de aio e massa igual a 101 g amas, que oda à ol a dum eixo angen e à supe ície da es e a, sabendo que o momen o de iné cia de uma es e a de aio R e massa m à ol a do eixo que passa pelo cen o é 2m R2/5. (A) 3.23×10−5kg·m2 (B) 8.08×10−6kg·m2 (C) 1.62×10−5kg·m2 (D) 2.89×10−5kg·m2 (E) 5.66×10−5kg·m2 Respos a: 17. Um jogado de gol e lança a sua bola com uma elocidade inicial de 53 m/s, azendo um ângulo de 25 ◦ com a ho izon al. Desp ezando a esis ência do a , de e mine o aio de cu a u a da aje ó ia desc i a pela bola, no pon o inicial onde es a oi lançada. (A) 183.0 m (B) 219.6 m (C) 316.3 m (D) 152.5 m (E) 263.6 m Respos a: 18. Pa a de e mina a posição do seu cen o de g a idade, uma ba a e angula oi pendu ada de dois ios e icais, icando em epouso na posição ho izon al que mos a a igu a. Sa- bendo que a ensão no io ligado no pon o A é 2.2 N, a ensão no io ligado em B é 3.1 N e o comp imen o da ba a, desde A a é B, é 30 cm, de e mine a dis ância desde a a es a AC a é o cen o de g a idade. A B C (A) 8.4 cm (B) 17.5 cm (C) 12.2 cm (D) 10.1 cm (E) 14.6 cm Respos a: 112 Exames 2.2.2 Resolução P oblema 1. O g á ico à di ei a mos a o diag ama de co po li e do bloco e uma o ma possí el de de ini os eixos x e y . O sen ido indicado na igu a pa a a o ça de a i o, Fa , é o que e á na alínea b, quando o a i o ciné ico, opos o ao sen ido do mo imen o do bloco. Na alínea a, em que o a i o é es á ico, pode á e esse sen ido ou o sen ido opos o (nesse segundo caso, o alo ob ido pa a Fase á nega i o). (a) Uma das condições de equilíb io é que a componen e x da o ça esul an e seja nula, que aduz-se na seguin e equação: x y 28◦ 28◦ N F m g Fa Fa+m g sin 28◦−Fcos 28◦=0=⇒ Fa=10 cos 28◦−14.7 sin 28◦=1.928 N O sinal posi i o indica que a o ça de a i o sim é no sen ido indicado na igu a. (b) A o ça de a i o, Fa, co esponde a a i o ciné ico e, como al, Fa=µcN=0.2 N A componen e y da o ça esul an e de e á se nula, e a componen e x de e á se igual a menos a massa ezes a acele ação: (N−15 sin 28◦−14.7 cos 28◦=0 0.2 N+14.7 sin 28◦−15 cos 28◦=−1.5a=⇒    N=20.02 N a=1.559 m s2 P oblema 2. As equações de e olução do sis ema são ob idas a pa i das equações de Hamil on: ˙ x=∂H ∂y=y˙ y=−∂H ∂x=−dU dx Ou, em ez de usa mos as equações de Hamil on, podemos conside a que o sis ema é uma pa ícula de massa igual a 1, que se desloca no eixo dos x , sob a ação da ene gia po encial U ( x ), com elocidade y=˙ x . A unção hamil oniana é a ene gia mecânica dessa pa ícula. 2.2 Exame de época de ecu so 113 (a) Há ês pon os de equilíb io, onde a de- i ada de U é nula: dois mínimos locais em x≈ 1 . 5 e x≈ 6 . 5, e um máximo local em x≈ 3 . 5, indicados na igu a ao lado com ês cí culos. A p imei a equação de e olução implica que nos pon os de equilíb io y= 0. As coo denadas ( x , y ) dos 3 pon os de equi- líb io são en ão: P1=(1.5,0) P2=(3.5,0) P3=(6.5,0) (b) As ba as ho izon ais na igu a mos am onde pode á es a o sis ema pa a di e en es alo es de H. Há 4 casos di e en es: U x 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 H = 2 H = 5H = 5 H = 6.3H = 6.3 H = 8 (i) H maio que o alo de H no pon o P 3 (igual a U (6 . 5) ≈ 1, po que y= 0) e meno que o alo de H no pon o P 1 ( U (1 . 5) ≈ 4 . 3); op amos po usa H= 2 que, como mos a o g á ico, co esponde a um ciclo à ol a de P 3 . (ii) H maio que 4.3 e meno que o alo de H no pon o P 2 ( U (3 . 5) ≈ 6 . 3); op amos po usa H= 5, que conduz a dois ciclos di e en es, um à ol a de P 1 e ou o à ol a de P 3 . (iii ) H≈ 6 . 3, que conduz a duas ó bi as homoclínicas, uma à ol a de P 1 e ou a à ol a de P 3 . (i ) H> 6 . 3, que conduz a ciclos que con o nam os 3 pon os de equilíb io (mos a-se o caso H=8). O e a o de ase é o sumá io desses esul ados: (c) H (5 ,− 1) ≈ 1/2 + 4 = 4 . 5, que se encon a na egião onde há ciclos em o no do pon o P 3 . O sis ema oscila em o no desse pon o. O alo inicial nega i o de y implica que x diminui e y aumen a, a é um ins an e em que x≈ 4 . 5 e y= 0. A pa i desse ins an e, x e y aumen am, a é um ins an e em que x= 6 . 5 e y a inge o alo máximo y=p2(4.5−1) ≈ 2 . 6; a segui , x con inua a aumen a mas y diminui, a é um ins an e em que x≈ 7 . 5 e y= 0. Depois, x e y diminuem a é x= 6 . 5, y= − 2 . 6 ( alo mínimo 114 Exames de y ). A segui , x con inua a diminui mas y aumen a, a é ol a ao es ado inicial do sis ema: x=5, y=−1. O mesmo ciclo epe e-se inde inidamen e. Pe gun as 3. B 4. D 5. D 6. C 7. E 8. D 9. E 10. D 11. B 12. B 13. B 14. B 15. E 16. C 17. B 2.2.3 Co ações P oblema 1 • Diag ama de co po li e incluindo ângulos e eixos 0.8 • Exp essão da soma das componen es das o ças pa alelas ao plano (a) 0.8 • Ob enção da o ça de a i o, indicando as unidades 0.2 • Relação en e o ça de a i o ciné ico e eação no mal (b) 0.4 • Exp essão da soma das componen es das o ças pa alelas ao plano (b) 0.8 • Exp essão da soma das componen es das o ças pe pendicula es ao plano (b) 0.8 • Ob enção da acele ação, indicando as unidades 0.2 P oblema 2 • Ob enção dos 3 pon os de equilíb io 0.8 • Re a o de ase mos ando os eixos x e y , os 3 pon os de equilíb io e as cu as impo an es (ó bi as homoclínicas/he e oclínicas, ciclos, cu as abe as) com se as que indiquem o sen ido em que o sis ema e olui 2.4 • Explicação da e olução do sis ema pa a >0 na alínea c0.8 Bibliog a ia Acheson, D. (1997). F om calculus o chaos. Ox o d, UK: Ox o d Uni e si y P ess. Alonso, M., & Finn, E. J. (1999). Física. Reading, MA, USA: Addison-Wesley. An unes, F. (2012). Mecânica Aplicada. uma Abo dagem P á ica. Lisboa, Po ugal: Lidel, edições écnicas, Lda. A nold, V. I. (1987). Mé odos Ma emá icos da Mecânica Clássica. Edi o a Mi : Mosco o, Rússia. Banks, B. W. (2000). Di e en ial Equa ions wi h G aphical and Nume ical Me hods. Uppe Saddle Ri e , NJ, USA: Pea son. Bee , F. P., & Johns on J , E. R. (2006). Mecânica e o ial pa a engenhei os: Dinâmica (7a ed.). Rio de Janei o, B asil: McG aw-Hill edi o a. Blancha d, P., De aney, R. L., & Hall, G. R. (1999). Ecuaciones di e enciales. México, DF, México: In e na ional Thomson Edi o es. Bo elli, R. L., & S, C. C. (1998). Di e en ial equa ions: a modeling pe spec i e. México, DF, México: John Wiley & Sons, Inc. De aney, R. L. (1992). A i s cou se in chao ic dynamical sys ems: heo y and expe imen . USA: Wes iew P ess. Edwa ds, C. H., & Penney, D. E. (2004). Di e en ial equa ions. compu ing and modeling (3a ed.). Pea son Educa ion, Inc.: New Je sey, USA. Fa low, S. J. (1994). An in oduc ion o Di e en ial Equa ions and hei Applica ions. Singapo e: McG aw-Hill. Fiedle -Fe a a, N., & P ado, C. P. C. (1994). Caos: uma in odução. São Paulo, B asil: Edi o a Edga d Blüche . F ench, A. P. (1971). New onian mechanics. New Yo k, NY, USA: W. W. No on & Company. Galilei, G. (1638). Dialogue Conce nig Two New Sciences. I ália: Publicado em: h p://galileoandeins ein.physics. i ginia.edu/ ns_d a /. (T adução de 1914, 116 Bibliog a ia po H. C ew e A. de Sal io) Ga cia, A. L. (2000). Nume ical me hods o physics. Englewood Cli s, NJ, USA: P en ice- Hall. Ge hsen, C., Knese , & Vogel, H. (1998). Física (2a ed.). Lisboa, Po ugal: Fundação Calous e Gulbenkian. G ego y, R. D. (2006). Classical mechanics. Camb idge, UK: Camb idge Uni e si y P ess. Guckenheime , J., & Holmes, P. (2002). Nonlinea Oscilla ions, Dynamical Sys ems, and Bi u ca ions o Vec o Fields. Be lim, Alemanha: Sp inge -Ve lag. Hand, L. N., & Finch, J. D. (1998). Analy ical mechanics. Camb idge, UK: Camb idge Uni e si y P ess. José, J. V., & Sale an, E. J. (1998). Classical dynamics: a con empo a y app oach. Cam- b idge Uni e si y P ess: Camb idge, UK. Kallahe , M. J. (Ed.). (1999). Re olu ions in Di e en ial Equa ions. Explo ing ODEs wi h Mode n Technology. The Ma hema ical Associa ion o Ame ica: Washing on, DC, USA. Kibble, T. W. B., & Be kshi e, F. H. (1996). Classical Mechanics (4a ed.). Essex, UK: Addison Wesley Longman. Ki el, C., Knigh , W. D., & Rude man, M. A. (1965). Mechanics. be keley physics cou se, olume 1. New Yo k, NY, USA: McG aw-Hill. Lynch, S. (2001). Dynamical sys ems wi h applica ions using MAPLE. Bos on, MA, USA: Bi khaüse . Maxima De elopmen Team. (2019). Maxima Manual (5.43.0 ed.). Disponí el em: h p://maxima.sou ce o ge.ne /docs/manual/maxima.pd Me iam, J. L., & K aige, L. G. (1998). Enginee ing mechanics: Dynamics (4a ed.). New Yo k, NY, USA: John Wiley & Sons, Inc. Mon ei o, L. H. A. (2002). Sis emas Dinâmicos. São Paulo, B asil: Li a ia da Física. Nay eh, A. H., & Balachand an, B. (2004). Applied nonlinea dynamics. Weinheim, Alemanha: WILEY-VCH Ve lad GmbH & Co. New on, I. (1687). P incípios Ma emá icos da Filoso ia Na u al. Lisboa, Po ugal: Fundação Calous e Gulbenkian. (T adução de J. R. Rod igues, 2010) Red e n, D., Chandle , E., & Fell, R. N. (1997). Macsyma ODE lab book. Bos on, MA, USA: Jones and Ba le Publishe s. Sanchez, D. A., Allen J ., R. C., & Kyne , W. T. (1988). Di e en ial equa ions (2a ed.). USA: Bibliog a ia 117 Addison-Wesley. Sola i, H. G., Na iello, M. A., & Mindlin, G. B. (1996). Nonlinea dynamics. Ins i u e o Physics Publishing: B is ol, UK. Spiegel, M. R., Lipschu z, S., & Spellman, D. (2009). Vec o analysis. New Yo k, NY, USA: Mc G aw-Hill. S oga z, S. H. (2000). Nonlinea Dynamics and Chaos: Wi h Applica ions o Physics, Biology, Chemis y and Enginee ing. Camb idge, MA, USA: Pe seus Books. Taylo , J. R. (2005). Classical mechanics. Sausali o, CA, USA: Uni e si y Science Books. Tho n on, S. T., & Ma ion, J. B. (2004). Classical dynamics o pa icles and sys ems (5a ed.). Belmon , USA: Thomson, B ooks/Cole. Villa e, J. E. (2007). In odução aos sis emas dinâmicos: uma abo dagem p á ica com maxima. Po o, Po ugal: Edição do au o . Villa e, J. E. (2019). Dinâmica e sis emas dinâmicos (5a ed.). Po o, Po ugal: Edição do au o .