Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 1
Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009
CAPÍTULO IV – TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES
4.1. In odução.
• Abso ção ou ansmissão de es o ços de o ção:
o Veios ou á o es de ansmissão
o Ba as de o ção; Molas; Es u u as ubula es ( eículos de anspo e e ae ona es).
4.2. Veio Cilínd ico de Secção Ci cula
• Secções ec as do cilind o pe manecem ci cula es e planas, após a
de o mação, odando em o no do espec i o cen o;
• Um aio qualque açado sob e uma secção ec a pe manece ec ilíneo
du an e a de o mação do eio;
• O ângulo en e dois quaisque aios no plano duma secção ec a pe manece
cons an e du an e a de o mação do eio;
• Po an o, e em consequência das condições da sime ia geomé ica e da
solici ação, cada secção ec a do eio oda em o no do espec i o cen o
como um disco absolu amen e ígido. O ângulo de o ação θ é p opo cional à
dis ância z, is o é:
z
θ
φ
=
onde θ é o ângulo de o ação po unidade de comp imen o.
d
z
a
b
Φ
M
M
B’ B
A
φ
φ
=
θ
z
O
z
C
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• es as condições, pa a um de e minado pon o P, na secção à dis ância z da base, a componen e do
deslocamen o segundo o eixo de sime ia do cilind o é nula (w=0). Quan o às componen es u e (em
coo denadas pola es, no plano da secção ec a):
z
u
0
θ
=
=
• As componen es do es ado de de o mação em coo denadas cilind icas
ob êm-se po de i ação:
θ
θ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
θ
θθθ
w
z
z
z zz
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
=
=
=
=
1
0
• O es ado de ensão co esponden e ob ém-se po aplicação das equações
da lei de Hooke:
θγτ
τ
τ
σ
σ
σ
θθ
θθθ
G G
z
z
z zz
==
=
=
=
=
=
0
(1)
• A ensão τ pode exp imi -se em unção do
momen o o so M :
∫
=
A
z MdA )(
θ
τ
φ=
θz
= θz
P( ,θ,z
)
O
P
’
M
M
O
M
dA
τ
zθ
dA
R
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ou seja,
z
A
IGdA GM
2
∫==
θθ
(2)
onde dA I
A
z∫
=2 é o momen o de iné cia pola da á ea da secção ec a do eio (
2
4
R
Iz
π
=
)
.
Po eliminação de θ en e (1) e (2) ob ém-se, inalmen e:
z
z
I
M
=
θ
τ
• NOTAS:
(i)-A ensão de co e máxima oco e na pe i e ia do eio, pa a = R, is o é,
3
2
R
M
I
RM
z
max
π
τ
==
(ii)-O alo z GIMC
=
=
θ
/é a chamada igidez o sional do eio e a quan idade
2//
3
RRIK
z
π
==
é o
módulo de o ção.
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4.3. Veio Ci cula Oco
• Os a gumen os e os esul ados que o am ob idos pa a o eio maciço man êm-se álidos, com excepção da
exp essão pa a o momen o de iné cia pola da secção, Iz, que nes e caso oma a o ma seguin e:
)1(
2
2
)( 4
4
2
4
1
4
2m
RRR
Iz−=
−
=
ππ
(onde m = R
1
/R
2)
• O módulo de o ção, K, ale, nes e caso:
)1(
2
4
3
2
2
m
R
R
I
Kz−==
π
• No caso pa icula dum ubo de pa ede ina, de espessu a e, (em que e = R
2
-R
1
<< R
2
):
eRRRRRRRRR m
3
1212
2
1
2
2
4
1
4
2))()(( ≅−++=−
onde R
m
=(R
1
+R
2
)/2 é o aio médio da secção.
• O momen o de iné cia pola I
z
é, ap oximadamen e,
eRI mz 3
2
π
≅ Ω≅ 2
m
R
onde eRm
π
2
=
Ω
é a á ea da secção ec a do ubo
• Pode ambém esc e e -se:
Ω
≅≅
m
z
m
R
M
I
RM
τ
e
m
m
z
GR
GR
M
GI
M
τ
θ
≅
Ω
≅=
2
M
M
R
2
R
1
τ
e
R
m
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4.4. Veio P ismá ico de Secção A bi á ia. 4
4.4.1. Teo ia de Sain -Venan
• Na ausência de sime ia ci cula , deixa de se álida a
condição de que as secções ec as se man êm planas
ha endo, nes e caso, um deslocamen o axial dos pon os de
cada secção.
• Hipó eses de Sain -Venan :
o
),( yxww = (w é uma unção con ínua)
o z
θφ
=
(θ é o ângulo de o ção po unidade de
comp imen o)
 Nes as condições, o campo dos deslocamen os ica de inido pelas
ês componen es seguin es:
),(
yxww
xz
yzu
=
=
−=
θ
θ
z
y
x
M
O
y
x
u
G
θz
M
y
C
C’
P
P’
x

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 O campo das de o mações ob ém-se po de i ação. E, depois, as ensões:
y
w
x
y
w
z
x
w
y
x
w
z
u
yz
xz
xyzzyyxx
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
=
=
=
0
θγ
θγ
γ
ε
ε
ε
(1)
) (
) (
0
y
w
xG
x
w
yG
yz
xz
xyzzyyxx
∂
∂
+=
∂
∂
+−=
=
=
=
=
θτ
θτ
τ
σ
σ
σ
(2)
 Equações de Equilíb io (ausência de o ças de olume):
0
0
0
=++
=++
=++
∂
zyx
zyx
zyx
zz
yz
xz
zyyyxy
zx
yx
xx
∂
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂σ
∂
∂τ ∂
∂τ
∂
∂τ
∂
σ
 As duas p imei as são incondicionalmen e sa is ei as, icando eduzidos a uma única equação de equilíb io:
0=
∂
∂
+
∂
∂
yx
yz
xz
τ
τ
(3)
Lei de Hooke
()
()
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 Equações de Compa ibilidade:








∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂








∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂








∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂∂
∂
zxyzyx
yzxyxz
xyzxzy
zx
yx
yz
zy
xy
yx
xyzy
zx
zz
zx
yxyzyy
yz
xz
xy
xx
xx
zz
xz
zz
yyyz
yy
xx
xy
γγ
γε
γ
γγε
γ
γ
γ
ε
εεγ
ε
εγ
ε
ε
γ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
()
()
()
()
Qua o das equações são incondicionalmen e sa is ei as,
es ando a apenas duas equações de compa ibilidade :
)(
)(
xg
yx
y
yx
xz
yz
xz
yz
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
γ
γ
γ
γ
que, po sua ez, ep esen am uma única equação:
e
xz
yz C
yx =
∂
∂
−
∂
∂
γ
γ
 O alo da C
e
que igu a no 2º memb o da equação an e io pode ob e -se di ec amen e a pa i de (1):
xy
w
x
yx
w
y
yz
xz
∂∂
∂
+=
∂
∂
∂∂
∂
+−=
∂
∂
2
2
θ
γ
θ
γ
θ
γ
γ
2=
∂
∂
−
∂
∂
yx
xz
yz
θ
τ
τ
G
yx
xz
yz 2=
∂
∂
−
∂
∂
(4)
Con inuidade
de w(x,y)
Lei de Hooke
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 O p oblema da o ção ica en ão eduzido à esolução dum sis ema de duas equações de de i adas pa ciais
nas unções xz
τ
e yz
τ
[
a equação de equilíb io (3) e a equação de
compa ibilidade (4)
]:
θ
τ
τ
τ
τ
G
yx
yx
xz
yz
yz
xz
2
0
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
(5)
Além disso, há que e em conside ação a ausência de o ças ao longo
da supe ície la e al, o que se aduz pela seguin e condição on ei a:
(em C)ml yzxz 0
=
+
τ
τ
(6)
 Pa a esol e es e sis ema de equações, conside e-se uma unção auxilia Φ(x,y), con ínua, de al o ma que:
x
y
yz
xz
∂
Φ∂
−=
∂
Φ
∂
=
τ
τ
[
Φ(x,y) é a chamada Função de Sain -Venan
]
As ensões xz
τ
e yz
τ
assim ob idas sa is azem incondicionalmen e a equação de equilíb io co esponden e à
p imei a equação em (5). Subs i uindo as exp essões pa a xz
τ
e yz
τ
na segunda equação, ob ém-se:
θ
G
yx 2
2
2
2
2−=
∂
Φ∂
+
∂
Φ∂
y
G
(C)
x
),( mln
=
dx
dy
ds
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 O p oblema de o ção consis e, assim, na esolução da equação an e io em Φ(x,y). As condições on ei a a
e em con a na esolução daquela equação deduzem-se di ec amen e a pa i de (6), is o é:
(em C)m
x
l
y 0=
∂
Φ
∂
−
∂
Φ
∂
Ou seja, endo em con a que, l
ds
dy
m
ds
dx =−= e
:
(em C)
ds
d
ds
dy
yds
dx
x 0=
Φ
=
∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
Es a equação aduz que o alo da unção Φ se man ém cons an e ao
longo da linha de con o no da secção ec a do eio. Po ou o lado, uma
ez que no cálculo das ensões de o ção apenas in e êm as de i adas
da unção Φ, o alo cons an e dessa unção na pe i e ia do eio pode se omado igual a ze o. Donde a
condição on ei a em e mos de Φ:
(em C)
0
=
Φ
 Momen o To so M
em e mos de Φ:
∫Φ=
∫Φ+
∫Φ−Φ=
=
∫Φ+
∫




Φ
∂
∂
+Φ
∂
∂
=
=
∫∂
Φ
∂
+
∂
Φ
∂
=
∫−=
A
A
C
AA
AA xzyz
dxdydxdydxydyx
dxdydxdyy
y
x
x
dxdy
y
y
x
xdxdyyxM
2 2) (
2)()(
)()(
ττ
Is o é: M = 2 x Volume
y
G
(C)
x
),( mln
=
dx
dy
ds
z
Volume
(C)
y
),( yxz
Φ
=
x