Cap.IV-Torção de Peças Lineares, Notas das Aulas de Mecânica dos Sólidos

Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 1 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009 CAPÍTULO IV – TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES 4.1. In odução. • Abso ção ou ansmissão de es o ços de o ção: o Veios ou á o es de ansmissão o Ba as de o ção; Molas; Es u u as ubula es ( eículos de anspo e e ae ona es). 4.2. Veio Cilínd ico de Secção Ci cula • Secções ec as do cilind o pe manecem ci cula es e planas, após a de o mação, odando em o no do espec i o cen o; • Um aio qualque açado sob e uma secção ec a pe manece ec ilíneo du an e a de o mação do eio; • O ângulo en e dois quaisque aios no plano duma secção ec a pe manece cons an e du an e a de o mação do eio; • Po an o, e em consequência das condições da sime ia geomé ica e da solici ação, cada secção ec a do eio oda em o no do espec i o cen o como um disco absolu amen e ígido. O ângulo de o ação θ é p opo cional à dis ância z, is o é: z θ φ = onde θ é o ângulo de o ação po unidade de comp imen o. d z a b Φ M M B’ B A φ φ = θ z O z C Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 2 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009 • es as condições, pa a um de e minado pon o P, na secção à dis ância z da base, a componen e do deslocamen o segundo o eixo de sime ia do cilind o é nula (w=0). Quan o às componen es u e (em coo denadas pola es, no plano da secção ec a): z u 0 θ = = • As componen es do es ado de de o mação em coo denadas cilind icas ob êm-se po de i ação: θ θ γ γ γ ε ε ε θ θθθ w z z z zz = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = = 1 0 • O es ado de ensão co esponden e ob ém-se po aplicação das equações da lei de Hooke: θγτ τ τ σ σ σ θθ θθθ G G z z z zz == = = = = = 0 (1) • A ensão τ pode exp imi -se em unção do momen o o so M : ∫ = A z MdA )( θ τ φ= θz = θz P( ,θ,z ) O P ’ M M O M dA τ zθ dA R Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 3 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009 ou seja, z A IGdA GM 2 ∫== θθ (2) onde dA I A z∫ =2 é o momen o de iné cia pola da á ea da secção ec a do eio ( 2 4 R Iz π = ) . Po eliminação de θ en e (1) e (2) ob ém-se, inalmen e: z z I M = θ τ • NOTAS: (i)-A ensão de co e máxima oco e na pe i e ia do eio, pa a = R, is o é, 3 2 R M I RM z max π τ == (ii)-O alo z GIMC = = θ /é a chamada igidez o sional do eio e a quan idade 2// 3 RRIK z π == é o módulo de o ção. Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 4 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009 4.3. Veio Ci cula Oco • Os a gumen os e os esul ados que o am ob idos pa a o eio maciço man êm-se álidos, com excepção da exp essão pa a o momen o de iné cia pola da secção, Iz, que nes e caso oma a o ma seguin e: )1( 2 2 )( 4 4 2 4 1 4 2m RRR Iz−= − = ππ (onde m = R 1 /R 2) • O módulo de o ção, K, ale, nes e caso: )1( 2 4 3 2 2 m R R I Kz−== π • No caso pa icula dum ubo de pa ede ina, de espessu a e, (em que e = R 2 -R 1 << R 2 ): eRRRRRRRRR m 3 1212 2 1 2 2 4 1 4 2))()(( ≅−++=− onde R m =(R 1 +R 2 )/2 é o aio médio da secção. • O momen o de iné cia pola I z é, ap oximadamen e, eRI mz 3 2 π ≅ Ω≅ 2 m R onde eRm π 2 = Ω é a á ea da secção ec a do ubo • Pode ambém esc e e -se: Ω ≅≅ m z m R M I RM τ e m m z GR GR M GI M τ θ ≅ Ω ≅= 2 M M R 2 R 1 τ e R m Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 5 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009 4.4. Veio P ismá ico de Secção A bi á ia. 4 4.4.1. Teo ia de Sain -Venan • Na ausência de sime ia ci cula , deixa de se álida a condição de que as secções ec as se man êm planas ha endo, nes e caso, um deslocamen o axial dos pon os de cada secção. • Hipó eses de Sain -Venan : o ),( yxww = (w é uma unção con ínua) o z θφ = (θ é o ângulo de o ção po unidade de comp imen o)  Nes as condições, o campo dos deslocamen os ica de inido pelas ês componen es seguin es: ),( yxww xz yzu = = −= θ θ z y x M O y x u G θz M y C C’ P P’ x Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 6 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009  O campo das de o mações ob ém-se po de i ação. E, depois, as ensões: y w x y w z x w y x w z u yz xz xyzzyyxx ∂ ∂ += ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = 0 θγ θγ γ ε ε ε (1) ) ( ) ( 0 y w xG x w yG yz xz xyzzyyxx ∂ ∂ += ∂ ∂ +−= = = = = θτ θτ τ σ σ σ (2)  Equações de Equilíb io (ausência de o ças de olume): 0 0 0 =++ =++ =++ ∂ zyx zyx zyx zz yz xz zyyyxy zx yx xx ∂ ∂σ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ ∂σ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ σ  As duas p imei as são incondicionalmen e sa is ei as, icando eduzidos a uma única equação de equilíb io: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ yx yz xz τ τ (3) Lei de Hooke () () Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 7 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009  Equações de Compa ibilidade:         ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂         ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂         ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ zxyzyx yzxyxz xyzxzy zx yx yz zy xy yx xyzy zx zz zx yxyzyy yz xz xy xx xx zz xz zz yyyz yy xx xy γγ γε γ γγε γ γ γ ε εεγ ε εγ ε ε γ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 () () () () Qua o das equações são incondicionalmen e sa is ei as, es ando a apenas duas equações de compa ibilidade : )( )( xg yx y yx xz yz xz yz = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ γ γ γ γ que, po sua ez, ep esen am uma única equação: e xz yz C yx = ∂ ∂ − ∂ ∂ γ γ  O alo da C e que igu a no 2º memb o da equação an e io pode ob e -se di ec amen e a pa i de (1): xy w x yx w y yz xz ∂∂ ∂ += ∂ ∂ ∂∂ ∂ +−= ∂ ∂ 2 2 θ γ θ γ θ γ γ 2= ∂ ∂ − ∂ ∂ yx xz yz θ τ τ G yx xz yz 2= ∂ ∂ − ∂ ∂ (4) Con inuidade de w(x,y) Lei de Hooke Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 8 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009  O p oblema da o ção ica en ão eduzido à esolução dum sis ema de duas equações de de i adas pa ciais nas unções xz τ e yz τ [ a equação de equilíb io (3) e a equação de compa ibilidade (4) ]: θ τ τ τ τ G yx yx xz yz yz xz 2 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (5) Além disso, há que e em conside ação a ausência de o ças ao longo da supe ície la e al, o que se aduz pela seguin e condição on ei a: (em C)ml yzxz 0 = + τ τ (6)  Pa a esol e es e sis ema de equações, conside e-se uma unção auxilia Φ(x,y), con ínua, de al o ma que: x y yz xz ∂ Φ∂ −= ∂ Φ ∂ = τ τ [ Φ(x,y) é a chamada Função de Sain -Venan ] As ensões xz τ e yz τ assim ob idas sa is azem incondicionalmen e a equação de equilíb io co esponden e à p imei a equação em (5). Subs i uindo as exp essões pa a xz τ e yz τ na segunda equação, ob ém-se: θ G yx 2 2 2 2 2−= ∂ Φ∂ + ∂ Φ∂ y G (C) x ),( mln = dx dy ds Capí ulo IV – To ção de Peças Linea es 9 Joaquim Sil a Gomes, FEUP 2009  O p oblema de o ção consis e, assim, na esolução da equação an e io em Φ(x,y). As condições on ei a a e em con a na esolução daquela equação deduzem-se di ec amen e a pa i de (6), is o é: (em C)m x l y 0= ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ Ou seja, endo em con a que, l ds dy m ds dx =−= e : (em C) ds d ds dy yds dx x 0= Φ = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ Es a equação aduz que o alo da unção Φ se man ém cons an e ao longo da linha de con o no da secção ec a do eio. Po ou o lado, uma ez que no cálculo das ensões de o ção apenas in e êm as de i adas da unção Φ, o alo cons an e dessa unção na pe i e ia do eio pode se omado igual a ze o. Donde a condição on ei a em e mos de Φ: (em C) 0 = Φ  Momen o To so M em e mos de Φ: ∫Φ= ∫Φ+ ∫Φ−Φ= = ∫Φ+ ∫     Φ ∂ ∂ +Φ ∂ ∂ = = ∫∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ = ∫−= A A C AA AA xzyz dxdydxdydxydyx dxdydxdyy y x x dxdy y y x xdxdyyxM 2 2) ( 2)()( )()( ττ Is o é: M = 2 x Volume y G (C) x ),( mln = dx dy ds z Volume (C) y ),( yxz Φ = x