MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA
Lisboa, 31 de Maio – 2 de Junho, 2004
© APMTAC, Po ugal 2004
1
CONTROLO ACTIVO DE VIBRAÇÕES DE VIGAS
COM SENSORES E ACTUADORES PIEZOELÉCTRICOS:
MODELAÇÃO E EXPERIMENTAÇÃO
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o
Depa amen o de Engenha ia Mecânica e Ges ão Indus ial
Rua D . Robe o F ias s/n, 4200-465 Po o, Po ugal
e-mail: {c asques, jd }@ e.up.p
Pala as-cha e: iga adap a i a, ac uado es e senso es piezoeléc icos, elemen o ini o
laye wise, acoplamen o elec omecânico, con olo ac i o de ib ações.
Resumo. Nes e abalho ap esen am-se e ca ac e izam-se as p incipais ases en ol idas na
concepção de um sis ema de con olo ac i o de ib ações de es u u as adap a i as:
modelação numé ica (modelo es u u al, modelo de con olo e simulação) e expe imen ação
(mon agem dos senso es e ac uado es, implemen ação do con olado e análise dos
esul ados expe imen ais). Pa a isso, um caso de es udo especí ico de uma iga adap a i a é
ap esen ado, demons ando a necessidade e a capacidade do modelo na an e isão de
po enciais ins abilidades do sis ema de con olo. O modelo espacial é ca ac e izado,
ap esen ando-se o modelo de elemen os ini os de iga adap a i a de ês camadas, assen e
numa o mulação laye wise pa cial dos deslocamen os e numa eo ia com acoplamen o
elec omecânico o al. No modelo de con olo, o sis ema dinâmico é ep esen ado na base
modal do espaço de es ados. No caso de es udo ap esen ado, um sis ema de con olo po
eedback, com base nas medições da elocidade e ec uadas po um ansdu o lase , é
a aliado po ia numé ica e expe imen al na capacidade de amo ece as ib ações numa
iga adap a i a em egime o çado ha mónico. Da análise dos esul ados numé icos e
expe imen ais demons a-se, po um lado, a obus ez e ep esen a i idade do modelo de
elemen os ini os e, po ou o, a aplicabilidade e uncionalidade do sis ema de con olo
ac i o de ib ações ap esen ado.
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
2
1. INTRODUÇÃO
A u ilização de ac uado es ou senso es piezoeléc icos no con olo ac i o de ib ações em
sido ex ensi amen e di ulgada nos úl imos anos [1, 2]. Pa a o p ojec o de sis emas de
con olo ac i o o na-se necessá ia a u ilização de um modelo ma emá ico do sis ema, seja ele
analí ico ou numé ico. Dependen e das condições de se iço do componen e es u u al e dos
objec i os do con olo, o p ojec o do con olado pode se acili ado eco endo à simulação
como pon o de pa ida pa a a concepção do sis ema. To na-se, assim, possí el, po um lado, a
an e isão e co ecção de po enciais ins abilidades do sis ema e, po ou o lado, a u ilização
desse modelo ma emá ico em algo i mos de con olo que dele necessi em.
Desde os anos 70, di e en es modelos analí icos e numé icos pa a a análise de es u u as
com senso es e ac uado es piezoeléc icos êm su gido na li e a u a. Os modelos de elemen os
ini os ap esen am as já conhecidas an agens do mé odo e, além da o mulação mecânica
con encional, de em inco po a , de o ma con enien e, os acoplamen os elec omecânicos
ípicos dos ma e iais piezoeléc icos [3, 4].
Nes e abalho, p e ende-se ca ac e iza as di e en es ases en ol idas na concepção de um
sis ema de con olo ac i o de ib ações de es u u as adap a i as. Começa-se po abo da a
modelação numé ica, ca ac e izando o modelo es u u al e o modelo de con olo. Pa a isso, é
ap esen ada a o mulação de um modelo de elemen os ini os de iga adap a i a. De seguida,
o sis ema dinâmico é de inido na base modal do espaço das a iá eis de es ado. Po im, é
ap esen ado um caso de es udo de uma iga adap a i a, demons ando a necessidade e a
capacidade do modelo na an e isão de po enciais ins abilidades do sis ema de con olo. Um
sis ema de con olo po eedback, com base nas medições da elocidade e ec uadas po um
ansdu o lase , é a aliado po ia numé ica e expe imen al na capacidade de amo ece as
ib ações em egime o çado ha mónico. A implemen ação do elemen o ini o e a simulação é
e ec uada em ambien e MATLAB®.
2. MODELAÇÃO ESTRUTURAL ELECTROMECÂNICA
Pa a a modelização de es u u as adap a i as, di e en es hipó eses, em pa icula as
ela i as ao campo eléc ico dos ma e iais piezoeléc icos, são encon adas na li e a u a. Essas
hipó eses condicionam a p ecisão do modelo e, po isso, modelos eléc icos mais e inados
êm su gido na li e a u a. Nos p imei os modelos publicados, e am u ilizadas eo ias
desacopladas em que os e ei os do ca egamen o eléc ico e am conside ados no modelo
a a és de de o mações equi alen es [5]. Teo ias em que apenas o e ei o piezoeléc ico de
con e são é conside ado na o mulação o am denominadas po Tie s en [6] como eo ias
com pequeno acoplamen o piezoeléc ico. Esses modelos conside a am a eo ia de mais baixa
o dem pa a a ap oximação do campo eléc ico, não le ando em conside ação a in luência das
de o mações mecânicas induzidas, limi ando o es udo a si uações em que os elemen os
piezoeléc icos mon ados na es u u a unciona am apenas como ac uado es [7]. Numa ase
mais ecen e, e de o ma a ob e esul ados mais p ecisos, o e ei o piezoeléc ico di ec o é
incluído nos modelos eléc icos conduzindo a eo ias com acoplamen o elec omecânico.
Assim, os e ei os dos campos eléc icos induzidos, e a co esponden e al e ação da igidez
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
3
es u u al, são conside ados e a modelização pe mi e que os elemen os piezoeléc icos enham
a dupla capacidade de ac ua sob e a es u u a (ac uado es) ou de medi as suas de o mações
(senso es). Quando a eo ia de mais baixa o dem é u ilizada pa a a de inição do campo
eléc ico, os modelos esul an es ca ac e izam o denominado acoplamen o elec omecânico
pa cial. No en an o, oi demons ado po ia analí ica e numé ica [8, 9] que a e dadei a
na u eza dos campos eléc icos induzidos ap esen a uma dis ibuição linea . Assim, eo ias
que conside am dis ibuições quad á icas do po encial (linea es do campo eléc ico),
denominadas po eo ias com acoplamen o elec omecânico o al, começam a apa ece na
li e a u a e cons i uem as melho es ap oximações pa a o campo eléc ico.
2.1. Modelo mecânico
Conside e-se a iga adap a i a ilus ada na igu a 1. A iga é cons i uída po um núcleo
me álico e duas camadas ex e io es piezoeléc icas.
0,x
w
b
θ
b
γ
n
θ
0
u
n
γ
0,x
w
0
w
0,x
w
a
θ
a
γ
n
h
b
h
a
h
a
z
n
zz=
b
z
x
a
c
b
Figu a 1. Viga com o mulação laye wise: deslocamen os axiais, ans e sais e o ações
Pa a a de inição do campo de deslocamen os gene alizado é u ilizada a eo ia laye wise
pa cial na ap oximação das componen es axial k
u e ans e sal k
w dos deslocamen os das
ês camadas, na o ma
0 0
(,) (,) (,) ( ) (,), (,) (,),
22
nk
knkkk
hh
u x u x x z x w x w x
θθ
=± +± = (1)
em que ( , ), ( , ), ( , )ka n b=−− +− +− designa a camada, k
hé a espessu a da camada, 0
u, 0
w, k
θ
e k
γ
são, espec i amen e, o deslocamen o axial e ans e sal do plano médio da iga, a
o ação e o ângulo de co e de cada uma das camadas. A con inuidade do campo de
deslocamen os nas in e aces das camadas é ga an ida, conduzindo assim a e mos de
acoplamen o nos deslocamen os axiais k
u das camadas. O deslocamen o ans e sal 0k
ww
=
é conside ado cons an e ao longo da espessu a da iga.
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
4
De aco do com o campo de deslocamen os gene alizado (1), as de o mações mecânicas
axiais k
xx
S e as de o mações de co e k
xz
S, pa a cada camada k, de inem-se po
,0,,
, ,
kkkkk k
xx k x m k m k xz x k z c
Su SzSzSSwu S
∗
==+ + =−= (2)
com 0, , , 0,
, , e
kk k k
mxm nx kxc xk
SuS S Sw
θ
θθ
=== =−. Os índices
m, m ,
e c e e em-se,
espec i amen e, às de o mações de memb ana, acoplamen o memb ana/ lexão, lexão e
co e. Os e mos geomé icos ela i os ao eixo ans e sal k
z de cada camada, ep esen a i os
do acoplamen o memb ana/ lexão, k
z, e da lexão, k
z
∗
, de inem-se po
, 0, , , , .
222 2
nna b
anbaannbb
hhh h
zzzzzzzzz
∗∗∗
=− = =+ = − = = + (3)
As hipó eses cinemá icas conside adas conduzem a de o mações ans e sais nulas pa a as
ês camadas. Resc e endo as componen es das de o mações mecânicas das camadas
piezoeléc icas ex e io es ,
p
ab= e do núcleo me álico n em unção das de o mações de
memb ana, acoplamen o memb ana/ lexão, lexão e co e na o ma ec o ial, ob ém-se
{} , {} .
pppp nnn
xx m p p xx m n
m
pn
pp nn
xz c xz c
S S zS zS S S zS
SS
SS SS
∗∗
   
++ +
== ==
   
   
(4)
2.2. Leis de Compo amen o dos Ma e iais
Os ma e iais piezoeléc icos das camadas ex e io es
p
são conside ados o o ópicos, em
que as di ecções de o o opia coincidem com os eixos da iga. Esses ma e iais são
pola izados na di ecção do eixo dos
z
z e a sua lei de compo amen o é aquela dos ma e iais
piezoeléc icos s anda d, com as p op iedades de sime ia de um c is al o o ômbico da
classe mm2 [3]. As equações cons i u i as piezoeléc icas linea es [10] exp imem-se po
T
{} [ ]{} []{}, { } []{} [ ]{},
ES
TcSeEDeSεE=− =+ (5)
em que { }
T é o ec o das ensões, { }S o ec o das de o mações, [ ]
E
c a ma iz de
elas icidade a campo eléc ico cons an e, T
[]e a ma iz anspos a das cons an es
piezoeléc icas, {}
E
o ec o campo eléc ico, {}
D
o ec o deslocamen o eléc ico e [ ]
S
ε a
ma iz das cons an es dieléc icas a de o mação cons an e.
Pe an e as hipó eses cinemá icas an e io es, o campo de deslocamen os conside ado é
independen e de yy e nulo segundo essa di ecção ( 0
p
yy
S
=
e 0)
pp
xy yz
SS
=
=. Além disso,
admi indo-se que 0
p
zz
T
≈
(es ado plano de ensão), as leis de compo amen o pa a as camadas
piezoeléc icas omam a seguin e o ma eduzida,
11 31 15 11
55 15 31 33
2
13 13
11 11 31 31 33
33
00 0 0
, ,
00 00
com ,
pp p ppp ppp p
xx xx x x xx x
pppppppppp
xz xz z z xz z
pp
pp ppp
p
Tc S eED eSεE
TcSeEDeSεE
cc
cc eee
c
∗∗
∗∗
∗∗

=− =+
    
 

=− =−
2
33
33 33
33 33
, ,
p
pp
pp
e
εε
cc
∗=+
(6)
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
5
em que a modi icação das cons an es 11
p
c, 31
p
e e 33
p
ε de e-se à hipó ese de es ado plano de
ensão (EPT). A exp essão (6) pode ambém se u ilizada na ca ac e ização do ma e ial
elás ico do núcleo n, desde que os e mos ela i os às a iá eis eléc icas sejam eliminados.
2.3. Modelo Eléc ico
Adop ando uma eo ia com acoplamen o elec omecânico o al, é u ilizada uma
ap oximação linea do campo eléc ico na di ecção ans e sal. Assim, é conside ado o e ei o
piezoeléc ico di ec o e adop ada uma ap oximação isicamen e adequada pa a o campo
eléc ico na di ecção axial.
O ec o deslocamen o eléc ico da exp essão (6) pode se esc i o na o ma
11 15 31
11 33
33
0, com , ,
0
pp pp pp
xxx
ppp p
xxzz xx
pp
pppp
zzz
DεEE ee
ESE S
εε
DεEE
∗
∗
∗
  
−
==−=−
  

−
   (7)
em que p
x
E e p
z
E são os campos eléc icos axial e ans e sal induzidos. F equen emen e, as
componen es longi udinais do campo eléc ico p
x
E
e do deslocamen o eléc ico p
x
D cos umam
se desp ezadas. No en an o, a sua in luência pode se acilmen e inco po ada no modelo
mecânico da iga a a és de pa âme os de igidez e ec i a. Segundo K omme e I schik [11],
pa a a condição de on ei a eléc ica de di e ença de po encial eléc ico p esc i a, as
exp essões do campo eléc ico ans e sal e axial esc e em-se na o ma
sup
in
1d, ,
p
p
z
p
ppppp
zzzpxx
z
pp
EEEzEE
hh
φ
=− + − =
∫ (8)
em que p
φ
é a di e ença de po encial eléc ico e in
p
z e sup
p
z são o limi e in e io e supe io da
coo denada p
z de cada camada. Se a di e ença de po encial eléc ico o p esc i a, pode se
comp o ado po (8) que, em con as e com o caso de pequeno acoplamen o piezoeléc ico [6],
um po encial eléc ico quad á ico é induzido na di ecção da espessu a das camadas
piezoeléc icas. Esse é o e lexo da in luência do e ei o piezoeléc ico di ec o e ep esen a a
mencionada ex ensão pa a a eo ia elec omecânica com acoplamen o o al. Desp eza a
in luência dos campos eléc icos induzidos implica que não haja nenhuma di e ença no campo
eléc ico de ido ao ipo de condição de on ei a impos a. Assim, no caso de condições de
on ei a eléc icas i iais, como eléc odos em ci cui o abe o, em que a ca ga eléc ica o al
nos eléc odos é nula
(0)
p
Q=, ou eléc odos em ci cui o echado (0)
p
φ
=, a espos a
mecânica da iga se ia exac amen e igual nas duas si uações. Po ém, modelos de elemen os
ini os com acoplamen o elec omecânico [12] demons am que di e en es condições de
on ei a eléc icas esul am em di e en es espos as mecânicas. No p esen e modelo, esses
esul ados pode ão acilmen e se ob idos eco endo às exp essões (8) pa a a de inição do
campo eléc ico.
A a és da elação ,
p
zpz
E
ϕ
=− e de (8), o po encial eléc ico p
ϕ
é dado po
sup
in in
in
in ()
() d d.
p
pp
zz
ppp
pp
pppzp zp
zz
pp
zz
z z Ez Ez
hh
φ
ϕ
−
=+ − − +
∫∫
(9)

C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
6
Na equação (9) pode obse a -se que o po encial eléc ico se anula na supe ície in e io da
camada in
()
pp
zz=, oma um alo cons an e na supe ície supe io sup
()
pp
zz=, e que a
condição de á ea equipo encial dos eléc odos é e i icada.
3. FORMULAÇÃO VARIACIONAL
Pa a es abelece as equações elec omecânicas do mo imen o e condições de on ei a
( o mulação o e) da iga adap a i a de ês camadas, é u ilizado o p incípio de Hamil on.
Adap ando a Lag angiana e o abalho das o ças ex e io es [6] pa a as con ibuições
mecânicas e eléc icas das camadas, o p incípio de Hamil on esc e e-se
1
0
()d0,
kkk
k
THW
δ
+
=−
∑
∫ (10)
em que 0
e 1
de inem o in e alo de empo, k
T é a ene gia ciné ica, k
H é a en alpia
eléc ica e k
W ep esen a o abalho ealizado pelas o ças mecânicas e eléc icas ex e io es,
de cada camada.
O abalho i ual k
H
δ
ealizado pelas o ças elec omecânicas in e nas é ap esen ado em
e mos das con ibuições mecânica k
uu
H
δ
, pa a odas as camadas de olume k
V,
piezoeléc icas p
u
H
φ
δ
e p
u
H
φ
δ
, e dieléc ica p
u
H
φ
δ
, pa a as camadas piezoeléc icas ex e io es
de olume p
V,
, ,
nnppppp
uu uu uu
HHHHHHH
φ
φφφ
δδδδδδδ
==−−− (11)
em que
11 55 31 15
31 15 11 33
()d, ()d,
()d, ()d.
k p
p p
kkkkkkk ppppppp
uu xx xx xz xz k xx z xz x p
u
VV
ppppppp ppppppp
zxx xxzp xx z zp
uVV
H ScS ScS V H Se E SeE V
HEeSEeSVHEEEEV
φ
φφφ
δδ δ δδ δ
δ δ δ δ δε δε
∗∗
∗ ∗
=+ =+
=+ =+
∫∫
∫∫
(12)
O abalho i ual das o ças de iné cia k
T
δ
, le ando em conside ação as iné cias de
anslação e de o ação, é dado pa a cada camada po
()d,
k
k
kkk kkk
V
TuuwwV
δρδδ
=− +
∫  (13)
em que k
ρ
é a massa olúmica de cada camada e k
u e k
w as acele ações gene alizadas.
O abalho i ual das o ças ex e io es k
W
δ
é compos o pelo abalho i ual ealizado
pelas o ças mecânicas ex e io es k
u
W
δ
, pa a as ês camadas, e pela densidade de ca ga
eléc ica supe icial p
W
φ
δ
, pa a as camadas piezoeléc icas, na o ma gené ica
.
kkk
u
WWW
φ
δδδ
−= (14)
Assim, pa a a de inição do e mo mecânico, dois ipos de o ça são conside ados,
nomeadamen e as o ças olúmicas axiais k
x
F
e ans e sais k
z
F
,
()d.
k
kkk
xk z k k
V
WFuFwV
δδδ
=+
∫
u (15)
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
7
Subs i uindo o campo de deslocamen os em (1) e in eg ando ob ém-se
00
00
[( ) ]d,
22
()d,
com ( , , ) ( , , )d ,
k
np
p
pnpppp
L
n
nnnn
L
kk k
kkk xxkz k
A
hh
WXu MZwL
WXuMZwL
XMZ FFzF A
δ δ δθ δθ δθ δ
δδδθδ
=±±++
=++
=
∫
∫
∫
u
u (16)
em que k
X
, k
Z
e k
M
são, espec i amen e, as o ças axiais, ans e sais e os momen os.
O abalho i ual ealizado pela densidade de ca ga eléc ica p
τ
em cada camada
piezoeléc ica é dado po
dd,
e
p
pe
ppp pp
AL
WAbL
φ
δτδϕ τδφ
==
∫∫
(17)
em que e
p
A é a á ea supe icial dos eléc odos e b a la gu a da iga. No e-se que da de inição
do po encial eléc ico em (9), e conside ando apenas o e mo ela i o ao po encial aplicado,
em-se que in
()0
pp p
zz
ϕ
== e sup
()
pp p p
zz
ϕ
φ
=
=.
As equações do mo imen o são ob idas pela subs i uição das exp essões (11), (13) e (14)
no p incipio de Hamil on em (10). E ec uando a in eg ação po pa es e ag upando os e mos
ela i os às a iações 0
u
δ
, 0
w
δ
, a
δ
θ
, n
δ
θ
e b
δ
θ
, independen es e a bi á ias no in e alo
[
]
0, L, as equações não êm ou a solução senão a i ial, e as equações di e enciais do
mo imen o são dadas po
0110,13,14,15,11,12,1
11 0 13 14 15
0 220, 23 , 24 , 25 , 2 220
13 0, 33 , 34 , 23 0, 33 31 , 3 13
:
,
:,
:
xx a xx n xx b xx a x b x
anb
xx a x n x b x
axxaxxnxx xaax
uYu Y Y Y P P F
Ju J J J
wGw G G G F Jw
Yu Y Y G w G P F J
δ
θθθφφ
θθθ
δθθθ
δθ θ θ θ φ
++++++
=+++
++++=
++−−++=
  


033 34
14 0, 34 , 44 , 45 , 24 0, 44 41 , 42 , 4
14 0 34 44 45
15 0, 45 , 55 , 25 0, 55 52 , 5 15 0 45 55
,
:
,
:
an
c xx a xx n xx b xx x n a x a x
anb
bxxnxxbxx xbbx n
uJ J
YuYYYGwGPPF
Ju J J J
Yu Y Y G w G P F Ju J J
θ
θ
δθ θ θ θ θ φ φ
θθθ
δθ θ θ θ φ θ
++
+++−−+++
=+++
++−−++=++
 
  

 
 .
b
θ

(18)
Da mesma o ma, as equações de equilíb io elec os á ico são ob idas ag upando os e mos
ela i os às a iações a
δφ
e b
δφ
, ob endo-se
11 0, 31 , 41 , 11 1
12 0, 42 , 52 , 22 2
:,
:.
axaxnxa
b x nx bx b
Pu P P C
Pu P P C
δ
φθθφτ
δ
φθθφτ
+
+−=−
+
+−=−
(19)
As condições de on ei a elec omecânicas pa a 0,
x
L
=
são deduzidas em e mos das
o ças mecânicas e di e enças de po encial eléc ico aplicadas, de inidas po
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
8
11 0, 13 , 14 , 15 , 11 12 0
22 0, 23 24 25 0
13 0, 33 , 34 , 31
14 0, 34 , 44 , 45 , 41 42
15 0, 45 , 55 , 52
()0,
()0,
()0,
()0,
(
xaxnxbxab
xanb
xaxnxaa
xaxnxbxabc
xnxbx
Yu Y Y Y P P u
Gw G G G w
Yu Y Y P
Yu Y Y Y P P
Yu Y Y P
θ
θθφφδ
θθθδ
θθφδθ
θθθφφδθ
θθ
+++++ =
+++ =
+++ =
+++++ =
+++)0.
bb
φδθ
=
(20)
Os e mos de iné cia ij
J, igidez ex ensional ij
Y e de co e ij
G , igidez piezoeléc ica
equi alen e il
P e capaci ância ll
C , das equações (18)-(20), são de inidos po
11 13 14 15 22 11 33
2
34 44 45 55
()
11 11 13 11 14 15 11 33
11 11
34 11
, , , , , ,
, , , ,
, , , , ,
kk aa ppp bb aa
kp
aaa pp p nn bbb bb
p
ka p ba
ka ppb a
kp
a
a
JAJIJzAJIJJJI
JzIJ zAIJzIJI
YcAYcIYczAYcIYcI
Ycz
φ
ρρ ρ ρ ρ
ρρρρρ
∗∗ ∗ ∗
∗
=== ===
==+==
=== ==
=
∑∑
∑
∑∑
2()
44 11 45 11 55
11 11
() () ()
22 55 23 24 55 25
55 55 55
33 23 44 24 55 25
31 31 31
11 12 31
, , , ,
, , , ,
, , ,
, ,
pn b b
appnbbb
p
pn a n b
pn a n b
p
aba
ab
aba
IY czA cIY czIY c I
GcAcAGcAGcAGcA
GGGGGG
eee
PAPAP
hhh
φ
φφ φ
∗∗ ∗
∗∗∗
=+==
= + =− =− =−
=− =− =−
===
∑
∑
31 31 31
41 42 52
33 33
11 22
22
23
, , , ,
, ,
com , , ,
212
abb
aaabbb
abb
ab
ab
ab
pk
kkp k
eee
I
PzAPzAPI
hhh
CACA
hh
bh bh
AbhI I
εε
∗∗∗
∗∗
===
==
==± = (21)
em que k
A
, p
I
e k
I
são, espec i amen e, os momen os de o dem ze o, p imei a e segunda
o dem. As o ças mecânicas i
F e densidades de ca ga eléc ica l
τ
são de inidas po
123 4 5
12
, , , ( ), ,
22 2
, .
an b
kkaanbabb
kk
ab
hh h
FXFZFM XFM XXFMX
bb
ττττ
===−=+−=+
==
∑∑ (22)
Os pa âme os de igidez e ec i a ()
11
p
c
φ
e ()
55
p
c
φ
em (21), ep esen a i os do aumen o de
igidez de ido aos campos eléc icos induzidos nas di ecções axial e ans e sal [13], são
de inidos po
2 2
() ()
31 15
11 11 55 55
33 11
4, .
pp
pp pp
pp
ee
cc cc
εε
φφ
∗
∗
∗
=+ =+ (23)
As equações (18)-(22) ep esen am o modelo elec omecânico analí ico da iga adap a i a
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
9
de ês camadas. O e ei o piezoeléc ico di ec o, pa a a condição de po encial eléc ico
p esc i o, é le ado em conside ação a a és de pa âme os e ec i os de igidez e os po enciais
eléc icos não especi icados, jun amen e com os deslocamen os mecânicos, cons i uem as
a iá eis independen es a de e mina .
4. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO FINITO ADAPTATIVO
4.1. Ma izes e ec o es do elemen o
Na o mulação do elemen o ini o de iga é u ilizada a o mulação aca das equações (18)
e (19), as quais go e nam o mo imen o e o equilíb io elec os á ico da iga adap a i a de ês
camadas. Os cinco deslocamen os mecânicos gene alizados e as duas di e enças de po encial
eléc ico são ag upados nos ec o es de deslocamen os e di e enças de po encial
gene alizados,
TT
00
{(,)} { (,), (,), (,), (,), (,)}, {(,)} { (,), (,)}.
anb ab
ux u x w x x x x x x x
θθθ φ φφ
== (24)
A o mulação aca das equações (18) e (19) em a o ma
TTTT
TT T
TT T T
{ }[]{}d { }([ ][][ ][ ][][ ]){}d
{}[ ][]{}d {}{}d,
{}[][ ]{}d {}[]{}d {}{}d.
xx xx xz xz
LL
xx
LL
xx
LLL
uJuL u L YL L GL uL
uL P L uFL
PL uL C L L
δδ
δφδ
δφ δφ φ δφ τ
++
+=
−=−
∫∫
∫∫
∫∫∫

(25)
Os e mos não nulos das ma izes de massa [ ]J, de igidez ex ensional [ ]Y e de co e [ ]G, de
dimensão (5 5)×, de igidez piezoeléc ica equi alen e [ ]P e capaci ância [ ]C, de
dimensão (5 2)× e (2 2)
×
, espec i amen e, são de inidos em (21). Os e mos dos ec o es
de o ças mecânicas aplicadas { }F e densidade de ca ga eléc ica { }
τ
, de
dimensões (5 1)× e (2 1)
×
, espec i amen e, são ap esen ados em (22). Os ope ado es
di e enciais []
xx
L
e []
xz
L
em (25), usados na de inição das de o mações gene alizadas, são
de inidos po
1 0 000 0 0 000
0 000 000
[] , [] .
100 100
sim 1 0 sim 1 0
11
xx xz
x
LL
x
 
 
∂∂
 
∂
==
 
∂ 
 
 
 
(26)
Pa a ob e uma solução ap oximada das equações (25), o comp imen o o al da iga L é
disc e izado em elemen os ini os de comp imen o e
L. Pa a a de inição das ap oximações
locais dos g aus de libe dade mecânicos e eléc icos gene alizados, é isolado da malha de
elemen os ini os um elemen o gené ico ( igu a 2). O elemen o ini o de iga de dois nós
possui cinco g aus de libe dade mecânicos po nó e dois g aus de libe dade eléc icos po
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
16
comp eendidos nos in e alos [,0]−∞ e [0, ]
+
∞, é ap esen ado nas igu as 5 e 6,
espec i amen e. É possí el obse a -se que o aumen o do ganho de con olo desloca os pólos
()× do sis ema em malha echada na di ecção dos ze os (o) . Esse deslocamen o, no caso de
os a as a do eixo imaginá io, Re( ) 0s
=
, e desde que se si uem no semi-plano esque do,
ep esen a um ac éscimo da azão de amo ecimen o modal, a qual, pa a 1
ξ
<< , pode se
ap oximada po Re( )/ Im( )ss
ξ
=− .
-200 0200 400 600
0
500
1000
1500
2000
2500
Re
(
s
)
Im(
s
)
1º Modo
2º Modo
3º Modo
4º Modo
Figu a 5. Luga geomé ico das aízes do sis ema em
malha echada pa a ganhos no in e alo [,0]
−
∞
-600 -400 -200 0200
0
500
1000
1500
2000
2500
Re
(
s
)
Im(
s
)
1º Modo
2º Modo
3º Modo 4º Modo
Figu a 6. Luga geomé ico das aízes do sis ema em
malha echada pa a ganhos no in e alo [0, ]+∞ .
Da análise das igu as 5 e 6 cons a a-se que exis e uma sime ia de compo amen o
consoan e o sinal do ganho escolhido. Assim, pa a alo es posi i os do ganho, os modos
pa es são acilmen e exci ados, mesmo pa a alo es de ganho ela i amen e baixos. Ao
con á io, pa a ganhos nega i os, um compo amen o opos o é ob ido e os modos ímpa es são
acilmen e exci ados. Dessa o ma, com o objec i o de amo ece o p imei o modo, o alo do
ganho, que a ec a odos os modos, e ia que se limi ado ao ganho máximo admissí el sem
que o segundo e o qua o modo sejam exci ados. Po ém, nes as condições, o sis ema de
con olo se ia mui o ine icien e. Uma al e na i a é conside a , na de inição da ensão de
con olo, um alo de elocidade com apenas a con ibuição do p imei o modo [15]. Essa
si uação oi ma e ializada expe imen almen e a a és de um il o passa-banda (10-12 Hz)
egulado ao p imei o modo, o qual oi aplicado ao sinal da elocidade medida. Assim, de
o ma a amo ece o p imei o modo, o alo do ganho pode se escolhido li emen e, apenas
limi ado pela ensão de sa u ação dos ac uado es piezoeléc icos, sem ha e o isco de exci a
os modos pa es.
A unção de espos a em equência em malha abe a, ob ida en e a elocidade medida a
15 mm da ex emidade li e da iga e a ensão aplicada ao exci ado , e a sua unção
coe ência, são ap esen adas na igu a 7. Como se pode cons a a , exis e uma boa
conco dância en e os esul ados expe imen ais e numé icos. As equências de essonância
dos dois p imei os modos ap esen am des ios eduzidos e e i ica-se um des io máximo de

C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
17
4.75% pa a o qua o modo ( abela 4). Com e ei o, e i ica-se que o modelo numé ico
sob es ima o alo e ec i o das equências de essonância, o que se a ibui à colagem das
ce âmicas piezoeléc icas que, dada a di iculdade em ga an i a ansmissibilidade comple a
dos es o ços nas in e aces com a iga, dá o igem a uma diminuição da igidez da es u u a,
man endo, no en an o, a sua massa inal e ada. Dessa o ma, as equências de essonância
expe imen ais omam alo es in e io es aos numé icos. Na igu a 7 pode cons a a -se que a
unção coe ência e idencia uma boa e iciência do ac uado piezoeléc ico na exci ação da
es u u a, demons ando a elação de causalidade en e a espos a e a exci ação, e e ela uma
ele ada azão sinal/ uído.
050 100 150 200 250 300 350 400
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
Ampli ude [dB e . 1ms
-1
/V]
Res. exp. (
G
= 0)
Res. num. (
G
= 0)
050 100 150 200 250 300 350 400
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F equência [Hz]
Coe ência
Res. exp. (
G
= 0)
Figu a 7. FRF e coe ência en e a elocidade e a ensão
do ac uado em malha abe a
Tabela 4. F eq. na u ais do sis ema em malha abe a
Modos 1º 2º 3º 4º
Res. exp. [Hz] 11.50 69.50 188.0 354.0
Res. num. [Hz] 11.71 71.75 195.9 370.8
Des io [%] 1.83 3.24 4.20 4.75
050 100 150 200 250 300 350 400
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
F equência [Hz]
Res. exp. (
G
= 800)
Res. num. (
G
= 800)
Ampli ude [dB e . 1ms
-1
/V]
Figu a 8. FRF en e a elocidade e a ensão do
ac uado em malha echada (c/ il o)
As unções de espos a em equência numé ica e expe imen al em malha echada, ob idas
pa a um alo de ganho 800G=amp lase
( Sens.)GG
=
×, são ap esen adas na igu a 8. Como
se pode obse a na igu a, apenas o p imei o modo é amo ecido. Ambos os esul ados,
expe imen ais e numé icos, demons am esse ac o. A conco dância en e esul ados é
bas an e boa e a ampli ude do p imei o modo em malha abe a ( igu a 7), com um alo médio
en e os esul ados expe imen ais e numé icos de 55
−
dB, diminui pa a ce ca de 65−dB em
malha echada.
Como e e ido an e io men e, e de o ma a pode op imiza a azão de amo ecimen o do
p imei o modo sem exci a os modos pa es, o na-se necessá io il a o sinal de eedback.
Nas igu as 9 e 10 são ap esen adas as unções de espos a em equência do sis ema em
malha echada, sem eco e à il agem do sinal de eedback. Dos esul ados numé icos e
expe imen ais cons a a-se que, pa a alo es de ganho posi i os c escen es os modos pa es são
exci ados e os ímpa es amo ecidos ( igu a 9). Po ém, quando o alo do ganho é nega i o
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
18
( igu a 10), o compo amen o opos o é obse ado, con i mando-se, assim, as indicações
o necidas pelo luga geomé ico das aízes do sis ema em malha echada ( igu as 5 e 6).
050 100 150 200 250 300 350 400
-100
-80
-60
-40
-20
0
Ampli ude [dB e . 1ms
-1
/V]
F equência [Hz]
Res. exp. (
G
= 400)
Res. num. (
G
= 400)
Figu a 9. FRF en e a elocidade e a ensão do
ac uado em malha echada (s/ il o, ganho posi i o)
050 100 150 200 250 300 350 400
-100
-80
-60
-40
-20
0
Ampli ude [dB e . 1ms
-1
/V]
F equência [Hz]
Res. exp. (
G
= -400)
Res. num. (
G
= -400)
Figu a 10. FRF en e a elocidade e a ensão do
ac uado em malha echada (s/ il o, ganho nega i o)
7. CONCLUSÃO
Da análise expe imen al e i icou-se que a colagem das ce âmicas piezoeléc icas
condiciona o emen e o desempenho do sis ema adap a i o. Uma co ec a colagem de e á se
e ec uada de o ma a ga an i uma boa ansmissibilidade de es o ços nas in e aces com a
iga, pe mi indo assim uma melho capacidade de ac uação das ce âmicas piezoeléc icas, e
uma melho conco dância en e o modelo numé ico e o expe imen al.
O sis ema de con olo po eedback da elocidade, u ilizando um ansdu o lase como
senso , mos ou-se e icien e no con olo de ib ações. Com es e esquema de con olo, o am
ob idas azões de amo ecimen o conside á eis com um es o ço de con olo admissí el.
Po ém, os esul ados numé icos e expe imen ais mos a am que ele ados ganhos de con olo
podem deses abiliza de e minados modos. Pa a e i a es e enómeno eco eu-se à il agem
do sinal de o ma a con ola especi icamen e um de e minado modo, endo sido
demons ado, na aplicação em causa, que esse ipo de con olo é bas an e e icien e no
amo ecimen o do p imei o modo.
O elemen o ini o desen ol ido demons ou, a a és da compa ação dos esul ados
numé icos com os expe imen ais, uma ele ada obus ez e iabilidade na ob enção da espos a
mecânica e eléc ica de igas adap a i as. Além disso, o modelo numé ico p opos o cons i ui
uma e amen a pa icula men e in e essan e na an e isão e esolução de e en uais
ins abilidades, pe mi indo, numa ase de concepção do sis ema de con olo, analisa e de ini
a melho solução pa a o con olo ac i o de ib ações. Dessa o ma, a implemen ação
expe imen al é acili ada e a sua pe o mance é melho ada.
AGRADECIMENTOS
Os au o es ag adecem à Fundação pa a a Ciência e a Tecnologia a Bolsa de In es igação
Cien í ica concedida no âmbi o do inanciamen o plu ianual das unidades de in es igação.
C. M. A. Vasques e J. Dias Rod igues
19
REFERÊNCIAS
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lase , Mecânica Expe imen al, subme ido pa a publicação.