Controlo activo de vibrações de vigas com sensores e actuadores piezoeléctricos: modelação e experimentação

MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA Lisboa, 31 de Maio – 2 de Junho, 2004 © APMTAC, Portugal 2004 1 CONTROLO ACTIVO DE VIBRAÇÕES DE VIGAS COM SENSORES E ACTUADORES PIEZOELÉCTRICOS: MODELAÇÃO E EXPERIMENTAÇÃO C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Rua Dr. Roberto Frias s/n, 4200-465 Porto, Portugal e-mail: {cvasques, jdr}@fe.up.pt Palavras-chave: viga adaptativa, actuadores e sensores piezoeléctricos, elemento finito layerwise, acoplamento electromecânico, controlo activo de vibrações. Resumo. Neste trabalho apresentam-se e caracterizam-se as principais fases envolvidas na concepção de um sistema de controlo activo de vibrações de estruturas adaptativas: modelação numérica (modelo estrutural, modelo de controlo e simulação) e experimentação (montagem dos sensores e actuadores, implementação do controlador e análise dos resultados experimentais). Para isso, um caso de estudo específico de uma viga adaptativa é apresentado, demonstrando a necessidade e a capacidade do modelo na antevisão de potenciais instabilidades do sistema de controlo. O modelo espacial é caracterizado, apresentando-se o modelo de elementos finitos de viga adaptativa de três camadas, assente numa formulação layerwise parcial dos deslocamentos e numa teoria com acoplamento electromecânico total. No modelo de controlo, o sistema dinâmico é representado na base modal do espaço de estados. No caso de estudo apresentado, um sistema de controlo por feedback, com base nas medições da velocidade efectuadas por um transdutor laser, é avaliado por via numérica e experimental na capacidade de amortecer as vibrações numa viga adaptativa em regime forçado harmónico. Da análise dos resultados numéricos e experimentais demonstra-se, por um lado, a robustez e representatividade do modelo de elementos finitos e, por outro, a aplicabilidade e funcionalidade do sistema de controlo activo de vibrações apresentado. C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 2 1. INTRODUÇÃO A utilização de actuadores ou sensores piezoeléctricos no controlo activo de vibrações tem sido extensivamente divulgada nos últimos anos [1, 2]. Para o projecto de sistemas de controlo activo torna-se necessária a utilização de um modelo matemático do sistema, seja ele analítico ou numérico. Dependente das condições de serviço do componente estrutural e dos objectivos do controlo, o projecto do controlador pode ser facilitado recorrendo à simulação como ponto de partida para a concepção do sistema. Torna-se, assim, possível, por um lado, a antevisão e correcção de potenciais instabilidades do sistema e, por outro lado, a utilização desse modelo matemático em algoritmos de controlo que dele necessitem. Desde os anos 70, diferentes modelos analíticos e numéricos para a análise de estruturas com sensores e actuadores piezoeléctricos têm surgido na literatura. Os modelos de elementos finitos apresentam as já conhecidas vantagens do método e, além da formulação mecânica convencional, devem incorporar, de forma conveniente, os acoplamentos electromecânicos típicos dos materiais piezoeléctricos [3, 4]. Neste trabalho, pretende-se caracterizar as diferentes fases envolvidas na concepção de um sistema de controlo activo de vibrações de estruturas adaptativas. Começa-se por abordar a modelação numérica, caracterizando o modelo estrutural e o modelo de controlo. Para isso, é apresentada a formulação de um modelo de elementos finitos de viga adaptativa. De seguida, o sistema dinâmico é definido na base modal do espaço das variáveis de estado. Por fim, é apresentado um caso de estudo de uma viga adaptativa, demonstrando a necessidade e a capacidade do modelo na antevisão de potenciais instabilidades do sistema de controlo. Um sistema de controlo por feedback, com base nas medições da velocidade efectuadas por um transdutor laser, é avaliado por via numérica e experimental na capacidade de amortecer as vibrações em regime forçado harmónico. A implementação do elemento finito e a simulação é efectuada em ambiente MATLAB®. 2. MODELAÇÃO ESTRUTURAL ELECTROMECÂNICA Para a modelização de estruturas adaptativas, diferentes hipóteses, em particular as relativas ao campo eléctrico dos materiais piezoeléctricos, são encontradas na literatura. Essas hipóteses condicionam a precisão do modelo e, por isso, modelos eléctricos mais refinados têm surgido na literatura. Nos primeiros modelos publicados, eram utilizadas teorias desacopladas em que os efeitos do carregamento eléctrico eram considerados no modelo através de deformações equivalentes [5]. Teorias em que apenas o efeito piezoeléctrico de conversão é considerado na formulação foram denominadas por Tiersten [6] como teorias com pequeno acoplamento piezoeléctrico. Esses modelos consideravam a teoria de mais baixa ordem para a aproximação do campo eléctrico, não levando em consideração a influência das deformações mecânicas induzidas, limitando o estudo a situações em que os elementos piezoeléctricos montados na estrutura funcionavam apenas como actuadores [7]. Numa fase mais recente, e de forma a obter resultados mais precisos, o efeito piezoeléctrico directo é incluído nos modelos eléctricos conduzindo a teorias com acoplamento electromecânico. Assim, os efeitos dos campos eléctricos induzidos, e a correspondente alteração da rigidez C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 3 estrutural, são considerados e a modelização permite que os elementos piezoeléctricos tenham a dupla capacidade de actuar sobre a estrutura (actuadores) ou de medir as suas deformações (sensores). Quando a teoria de mais baixa ordem é utilizada para a definição do campo eléctrico, os modelos resultantes caracterizam o denominado acoplamento electromecânico parcial. No entanto, foi demonstrado por via analítica e numérica [8, 9] que a verdadeira natureza dos campos eléctricos induzidos apresenta uma distribuição linear. Assim, teorias que consideram distribuições quadráticas do potencial (lineares do campo eléctrico), denominadas por teorias com acoplamento electromecânico total, começam a aparecer na literatura e constituem as melhores aproximações para o campo eléctrico. 2.1. Modelo mecânico Considere-se a viga adaptativa ilustrada na figura 1. A viga é constituída por um núcleo metálico e duas camadas exteriores piezoeléctricas. 0,x w b θ b γ n θ 0 u n γ 0,x w 0 w 0,x w a θ a γ n h b h a h a z n zz= b z x a c b Figura 1. Viga com formulação layerwise: deslocamentos axiais, transversais e rotações Para a definição do campo de deslocamentos generalizado é utilizada a teoria layerwise parcial na aproximação das componentes axial k u e transversal k w dos deslocamentos das três camadas, na forma 0 0 (,) (,) (,) ( ) (,), (,) (,), 22 nk knkkk hh u xt u xt xt z xt w xt w xt θθ =± +± = (1) em que ( , ), ( , ), ( , )ka n b=−− +− +− designa a camada, k hé a espessura da camada, 0 u, 0 w, k θ e k γ são, respectivamente, o deslocamento axial e transversal do plano médio da viga, a rotação e o ângulo de corte de cada uma das camadas. A continuidade do campo de deslocamentos nas interfaces das camadas é garantida, conduzindo assim a termos de acoplamento nos deslocamentos axiais k u das camadas. O deslocamento transversal 0k ww = é considerado constante ao longo da espessura da viga. C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 4 De acordo com o campo de deslocamentos generalizado (1), as deformações mecânicas axiais k xx S e as deformações de corte k xz S, para cada camada k, definem-se por ,0,, , , kkkkk k xx k x m k mf k f xz x k z c Su SzSzSSwu S ∗ ==+ + =−= (2) com 0, , , 0, , , e kk k k mxmfnxfkxc xk SuS S Sw θ θθ === =−. Os índices m, mf , f e c referem-se, respectivamente, às deformações de membrana, acoplamento membrana/flexão, flexão e corte. Os termos geométricos relativos ao eixo transversal k z de cada camada, representativos do acoplamento membrana/flexão, k z, e da flexão, k z ∗ , definem-se por , 0, , , , . 222 2 nna b anbaannbb hhh h zzzzzzzzz ∗∗∗ =− = =+ = − = = + (3) As hipóteses cinemáticas consideradas conduzem a deformações transversais nulas para as três camadas. Rescrevendo as componentes das deformações mecânicas das camadas piezoeléctricas exteriores , p ab= e do núcleo metálico n em função das deformações de membrana, acoplamento membrana/flexão, flexão e corte na forma vectorial, obtém-se {} , {} . pppp nnn xx m p p xx m n f mf f pn pp nn xz c xz c S S zS zS S S zS SS SS SS ∗∗     ++ + == ==         (4) 2.2. Leis de Comportamento dos Materiais Os materiais piezoeléctricos das camadas exteriores p são considerados ortotrópicos, em que as direcções de ortotropia coincidem com os eixos da viga. Esses materiais são polarizados na direcção do eixo dos z z e a sua lei de comportamento é aquela dos materiais piezoeléctricos standard, com as propriedades de simetria de um cristal ortorrômbico da classe mm2 [3]. As equações constitutivas piezoeléctricas lineares [10] exprimem-se por T {} [ ]{} []{}, { } []{} [ ]{}, ES TcSeEDeSεE=− =+ (5) em que { } T é o vector das tensões, { }S o vector das deformações, [ ] E c a matriz de elasticidade a campo eléctrico constante, T []e a matriz transposta das constantes piezoeléctricas, {} E o vector campo eléctrico, {} D o vector deslocamento eléctrico e [ ] S ε a matriz das constantes dieléctricas a deformação constante. Perante as hipóteses cinemáticas anteriores, o campo de deslocamentos considerado é independente de yy e nulo segundo essa direcção ( 0 p yy S = e 0) pp xy yz SS = =. Além disso, admitindo-se que 0 p zz T ≈ (estado plano de tensão), as leis de comportamento para as camadas piezoeléctricas tomam a seguinte forma reduzida, 11 31 15 11 55 15 31 33 2 13 13 11 11 31 31 33 33 00 0 0 , , 00 00 com , pp p ppp ppp p xx xx x x xx x pppppppppp xz xz z z xz z pp pp ppp p Tc S eED eSεE TcSeEDeSεE cc cc eee c ∗∗ ∗∗ ∗∗  =− =+         =− =− 2 33 33 33 33 33 , , p pp pp e εε cc ∗=+ (6) C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 5 em que a modificação das constantes 11 p c, 31 p e e 33 p ε deve-se à hipótese de estado plano de tensão (EPT). A expressão (6) pode também ser utilizada na caracterização do material elástico do núcleo n, desde que os termos relativos às variáveis eléctricas sejam eliminados. 2.3. Modelo Eléctrico Adoptando uma teoria com acoplamento electromecânico total, é utilizada uma aproximação linear do campo eléctrico na direcção transversal. Assim, é considerado o efeito piezoeléctrico directo e adoptada uma aproximação fisicamente adequada para o campo eléctrico na direcção axial. O vector deslocamento eléctrico da expressão (6) pode ser escrito na forma 11 15 31 11 33 33 0, com , , 0 pp pp pp xxx ppp p xxzz xx pp pppp zzz DεEE ee ESE S εε DεEE ∗ ∗ ∗    − ==−=−     −    (7) em que p x E e p z E são os campos eléctricos axial e transversal induzidos. Frequentemente, as componentes longitudinais do campo eléctrico p x E e do deslocamento eléctrico p x D costumam ser desprezadas. No entanto, a sua influência pode ser facilmente incorporada no modelo mecânico da viga através de parâmetros de rigidez efectiva. Segundo Krommer e Irschik [11], para a condição de fronteira eléctrica de diferença de potencial eléctrico prescrita, as expressões do campo eléctrico transversal e axial escrevem-se na forma sup inf 1d, , p p z p ppppp zzzpxx z pp EEEzEE hh φ =− + − = ∫ (8) em que p φ é a diferença de potencial eléctrico e inf p z e sup p z são o limite inferior e superior da coordenada p z de cada camada. Se a diferença de potencial eléctrico for prescrita, pode ser comprovado por (8) que, em contraste com o caso de pequeno acoplamento piezoeléctrico [6], um potencial eléctrico quadrático é induzido na direcção da espessura das camadas piezoeléctricas. Esse é o reflexo da influência do efeito piezoeléctrico directo e representa a mencionada extensão para a teoria electromecânica com acoplamento total. Desprezar a influência dos campos eléctricos induzidos implica que não haja nenhuma diferença no campo eléctrico devido ao tipo de condição de fronteira imposta. Assim, no caso de condições de fronteira eléctricas triviais, como eléctrodos em circuito aberto, em que a carga eléctrica total nos eléctrodos é nula (0) p Q=, ou eléctrodos em circuito fechado (0) p φ =, a resposta mecânica da viga seria exactamente igual nas duas situações. Porém, modelos de elementos finitos com acoplamento electromecânico [12] demonstram que diferentes condições de fronteira eléctricas resultam em diferentes respostas mecânicas. No presente modelo, esses resultados poderão facilmente ser obtidos recorrendo às expressões (8) para a definição do campo eléctrico. Através da relação , p zpz E ϕ =− e de (8), o potencial eléctrico p ϕ é dado por sup inf inf inf inf () () d d. p pp zz ppp pp pppzp zp zz pp zz z z Ez Ez hh φ ϕ − =+ − − + ∫∫ (9) C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 6 Na equação (9) pode observar-se que o potencial eléctrico se anula na superfície inferior da camada inf () pp zz=, toma um valor constante na superfície superior sup () pp zz=, e que a condição de área equipotencial dos eléctrodos é verificada. 3. FORMULAÇÃO VARIACIONAL Para estabelecer as equações electromecânicas do movimento e condições de fronteira (formulação forte) da viga adaptativa de três camadas, é utilizado o princípio de Hamilton. Adaptando a Lagrangiana e o trabalho das forças exteriores [6] para as contribuições mecânicas e eléctricas das camadas, o princípio de Hamilton escreve-se 1 0 ()d0, tkkk tk THWt δ + =− ∑ ∫ (10) em que 0 t e 1 t definem o intervalo de tempo, k T é a energia cinética, k H é a entalpia eléctrica e k W representa o trabalho realizado pelas forças mecânicas e eléctricas exteriores, de cada camada. O trabalho virtual k H δ realizado pelas forças electromecânicas internas é apresentado em termos das contribuições mecânica k uu H δ , para todas as camadas de volume k V, piezoeléctricas p u H φ δ e p u H φ δ , e dieléctrica p u H φ δ , para as camadas piezoeléctricas exteriores de volume p V, , , nnppppp uu uu uu HHHHHHH φ φφφ δδδδδδδ ==−−− (11) em que 11 55 31 15 31 15 11 33 ()d, ()d, ()d, ()d. k p p p kkkkkkk ppppppp uu xx xx xz xz k xx z xz x p u VV ppppppp ppppppp zxx xxzp xx z zp uVV H ScS ScS V H Se E SeE V HEeSEeSVHEEEEV φ φφφ δδ δ δδ δ δ δ δ δ δε δε ∗∗ ∗ ∗ =+ =+ =+ =+ ∫∫ ∫∫ (12) O trabalho virtual das forças de inércia k T δ , levando em consideração as inércias de translação e de rotação, é dado para cada camada por ()d, k k kkk kkk V TuuwwV δρδδ =− + ∫  (13) em que k ρ é a massa volúmica de cada camada e k u e k w as acelerações generalizadas. O trabalho virtual das forças exteriores k W δ é composto pelo trabalho virtual realizado pelas forças mecânicas exteriores k u W δ , para as três camadas, e pela densidade de carga eléctrica superficial p W φ δ , para as camadas piezoeléctricas, na forma genérica . kkk u WWW φ δδδ −= (14) Assim, para a definição do termo mecânico, dois tipos de força são considerados, nomeadamente as forças volúmicas axiais k x F e transversais k z F , ()d. k kkk xk z k k V WFuFwV δδδ =+ ∫ u (15) C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 7 Substituindo o campo de deslocamentos em (1) e integrando obtém-se 00 00 [( ) ]d, 22 ()d, com ( , , ) ( , , )d , k np p pnpppp L n nnnn L kk k kkk xxkz k A hh WXu MZwL WXuMZwL XMZ FFzF A δ δ δθ δθ δθ δ δδδθδ =±±++ =++ = ∫ ∫ ∫ u u (16) em que k X , k Z e k M são, respectivamente, as forças axiais, transversais e os momentos. O trabalho virtual realizado pela densidade de carga eléctrica p τ em cada camada piezoeléctrica é dado por dd, e p pe ppp pp AL WAbL φ δτδϕ τδφ == ∫∫ (17) em que e p A é a área superficial dos eléctrodos e b a largura da viga. Note-se que da definição do potencial eléctrico em (9), e considerando apenas o termo relativo ao potencial aplicado, tem-se que inf ()0 pp p zz ϕ == e sup () pp p p zz ϕ φ = =. As equações do movimento são obtidas pela substituição das expressões (11), (13) e (14) no principio de Hamilton em (10). Efectuando a integração por partes e agrupando os termos relativos às variações 0 u δ , 0 w δ , a δ θ , n δ θ e b δ θ , independentes e arbitrárias no intervalo [ ] 0, L, as equações não têm outra solução senão a trivial, e as equações diferenciais do movimento são dadas por 0110,13,14,15,11,12,1 11 0 13 14 15 0 220, 23 , 24 , 25 , 2 220 13 0, 33 , 34 , 23 0, 33 31 , 3 13 : , :, : xx a xx n xx b xx a x b x anb xx a x n x b x axxaxxnxx xaax uYu Y Y Y P P F Ju J J J wGw G G G F Jw Yu Y Y G w G P F J δ θθθφφ θθθ δθθθ δθ θ θ θ φ ++++++ =+++ ++++= ++−−++=      033 34 14 0, 34 , 44 , 45 , 24 0, 44 41 , 42 , 4 14 0 34 44 45 15 0, 45 , 55 , 25 0, 55 52 , 5 15 0 45 55 , : , : an c xx a xx n xx b xx x n a x a x anb bxxnxxbxx xbbx n uJ J YuYYYGwGPPF Ju J J J Yu Y Y G w G P F Ju J J θ θ δθ θ θ θ θ φ φ θθθ δθ θ θ θ φ θ ++ +++−−+++ =+++ ++−−++=++          . b θ  (18) Da mesma forma, as equações de equilíbrio electrostático são obtidas agrupando os termos relativos às variações a δφ e b δφ , obtendo-se 11 0, 31 , 41 , 11 1 12 0, 42 , 52 , 22 2 :, :. axaxnxa b x nx bx b Pu P P C Pu P P C δ φθθφτ δ φθθφτ + +−=− + +−=− (19) As condições de fronteira electromecânicas para 0, x L = são deduzidas em termos das forças mecânicas e diferenças de potencial eléctrico aplicadas, definidas por C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 8 11 0, 13 , 14 , 15 , 11 12 0 22 0, 23 24 25 0 13 0, 33 , 34 , 31 14 0, 34 , 44 , 45 , 41 42 15 0, 45 , 55 , 52 ()0, ()0, ()0, ()0, ( xaxnxbxab xanb xaxnxaa xaxnxbxabc xnxbx Yu Y Y Y P P u Gw G G G w Yu Y Y P Yu Y Y Y P P Yu Y Y P θ θθφφδ θθθδ θθφδθ θθθφφδθ θθ +++++ = +++ = +++ = +++++ = +++)0. bb φδθ = (20) Os termos de inércia ij J, rigidez extensional ij Y e de corte ij G , rigidez piezoeléctrica equivalente il P e capacitância ll C , das equações (18)-(20), são definidos por 11 13 14 15 22 11 33 2 34 44 45 55 () 11 11 13 11 14 15 11 33 11 11 34 11 , , , , , , , , , , , , , , , kk aa ppp bb aa kp aaa pp p nn bbb bb p ka p ba ka ppb a kp a a JAJIJzAJIJJJI JzIJ zAIJzIJI YcAYcIYczAYcIYcI Ycz φ ρρ ρ ρ ρ ρρρρρ ∗∗ ∗ ∗ ∗ === === ==+== === == = ∑∑ ∑ ∑∑ 2() 44 11 45 11 55 11 11 () () () 22 55 23 24 55 25 55 55 55 33 23 44 24 55 25 31 31 31 11 12 31 , , , , , , , , , , , , , pn b b appnbbb p pn a n b pn a n b p aba ab aba IY czA cIY czIY c I GcAcAGcAGcAGcA GGGGGG eee PAPAP hhh φ φφ φ ∗∗ ∗ ∗∗∗ =+== = + =− =− =− =− =− =− === ∑ ∑ 31 31 31 41 42 52 33 33 11 22 22 23 , , , , , , com , , , 212 abb aaabbb abb ab ab ab pk kkp k eee I PzAPzAPI hhh CACA hh bh bh AbhI I εε ∗∗∗ ∗∗ === == ==± = (21) em que k A , p I e k I são, respectivamente, os momentos de ordem zero, primeira e segunda ordem. As forças mecânicas i F e densidades de carga eléctrica l τ são definidas por 123 4 5 12 , , , ( ), , 22 2 , . an b kkaanbabb kk ab hh h FXFZFM XFM XXFMX bb ττττ ===−=+−=+ == ∑∑ (22) Os parâmetros de rigidez efectiva () 11 p c φ e () 55 p c φ em (21), representativos do aumento de rigidez devido aos campos eléctricos induzidos nas direcções axial e transversal [13], são definidos por 2 2 () () 31 15 11 11 55 55 33 11 4, . pp pp pp pp ee cc cc εε φφ ∗ ∗ ∗ =+ =+ (23) As equações (18)-(22) representam o modelo electromecânico analítico da viga adaptativa C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 9 de três camadas. O efeito piezoeléctrico directo, para a condição de potencial eléctrico prescrito, é levado em consideração através de parâmetros efectivos de rigidez e os potenciais eléctricos não especificados, juntamente com os deslocamentos mecânicos, constituem as variáveis independentes a determinar. 4. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO FINITO ADAPTATIVO 4.1. Matrizes e vectores do elemento Na formulação do elemento finito de viga é utilizada a formulação fraca das equações (18) e (19), as quais governam o movimento e o equilíbrio electrostático da viga adaptativa de três camadas. Os cinco deslocamentos mecânicos generalizados e as duas diferenças de potencial eléctrico são agrupados nos vectores de deslocamentos e diferenças de potencial generalizados, TT 00 {(,)} { (,), (,), (,), (,), (,)}, {(,)} { (,), (,)}. anb ab uxt u xt w xt xt xt xt xt xt xt θθθ φ φφ == (24) A formulação fraca das equações (18) e (19) tem a forma TTTT TT T TT T T { }[]{}d { }([ ][][ ][ ][][ ]){}d {}[ ][]{}d {}{}d, {}[][ ]{}d {}[]{}d {}{}d. xx xx xz xz LL xx LL xx LLL uJuL u L YL L GL uL uL P L uFL PL uL C L L δδ δφδ δφ δφ φ δφ τ ++ += −=− ∫∫ ∫∫ ∫∫∫  (25) Os termos não nulos das matrizes de massa [ ]J, de rigidez extensional [ ]Y e de corte [ ]G, de dimensão (5 5)×, de rigidez piezoeléctrica equivalente [ ]P e capacitância [ ]C, de dimensão (5 2)× e (2 2) × , respectivamente, são definidos em (21). Os termos dos vectores de forças mecânicas aplicadas { }F e densidade de carga eléctrica { } τ , de dimensões (5 1)× e (2 1) × , respectivamente, são apresentados em (22). Os operadores diferenciais [] xx L e [] xz L em (25), usados na definição das deformações generalizadas, são definidos por 1 0 000 0 0 000 0 000 000 [] , [] . 100 100 sim 1 0 sim 1 0 11 xx xz x LL x     ∂∂   ∂ ==   ∂        (26) Para obter uma solução aproximada das equações (25), o comprimento total da viga L é discretizado em r elementos finitos de comprimento e L. Para a definição das aproximações locais dos graus de liberdade mecânicos e eléctricos generalizados, é isolado da malha de elementos finitos um elemento genérico (figura 2). O elemento finito de viga de dois nós possui cinco graus de liberdade mecânicos por nó e dois graus de liberdade eléctricos por C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 16 compreendidos nos intervalos [,0]−∞ e [0, ] + ∞, é apresentado nas figuras 5 e 6, respectivamente. É possível observar-se que o aumento do ganho de controlo desloca os pólos ()× do sistema em malha fechada na direcção dos zeros (o) . Esse deslocamento, no caso de os afastar do eixo imaginário, Re( ) 0s = , e desde que se situem no semi-plano esquerdo, representa um acréscimo da razão de amortecimento modal, a qual, para 1 ξ << , pode ser aproximada por Re( )/ Im( )ss ξ =− . -200 0200 400 600 0 500 1000 1500 2000 2500 Re ( s ) Im( s ) 1º Modo 2º Modo 3º Modo 4º Modo Figura 5. Lugar geométrico das raízes do sistema em malha fechada para ganhos no intervalo [,0] − ∞ -600 -400 -200 0200 0 500 1000 1500 2000 2500 Re ( s ) Im( s ) 1º Modo 2º Modo 3º Modo 4º Modo Figura 6. Lugar geométrico das raízes do sistema em malha fechada para ganhos no intervalo [0, ]+∞ . Da análise das figuras 5 e 6 constata-se que existe uma simetria de comportamento consoante o sinal do ganho escolhido. Assim, para valores positivos do ganho, os modos pares são facilmente excitados, mesmo para valores de ganho relativamente baixos. Ao contrário, para ganhos negativos, um comportamento oposto é obtido e os modos ímpares são facilmente excitados. Dessa forma, com o objectivo de amortecer o primeiro modo, o valor do ganho, que afecta todos os modos, teria que ser limitado ao ganho máximo admissível sem que o segundo e o quarto modo sejam excitados. Porém, nestas condições, o sistema de controlo seria muito ineficiente. Uma alternativa é considerar, na definição da tensão de controlo, um valor de velocidade com apenas a contribuição do primeiro modo [15]. Essa situação foi materializada experimentalmente através de um filtro passa-banda (10-12 Hz) regulado ao primeiro modo, o qual foi aplicado ao sinal da velocidade medida. Assim, de forma a amortecer o primeiro modo, o valor do ganho pode ser escolhido livremente, apenas limitado pela tensão de saturação dos actuadores piezoeléctricos, sem haver o risco de excitar os modos pares. A função de resposta em frequência em malha aberta, obtida entre a velocidade medida a 15 mm da extremidade livre da viga e a tensão aplicada ao excitador, e a sua função coerência, são apresentadas na figura 7. Como se pode constatar, existe uma boa concordância entre os resultados experimentais e numéricos. As frequências de ressonância dos dois primeiros modos apresentam desvios reduzidos e verifica-se um desvio máximo de C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 17 4.75% para o quarto modo (tabela 4). Com efeito, verifica-se que o modelo numérico sobrestima o valor efectivo das frequências de ressonância, o que se atribui à colagem das cerâmicas piezoeléctricas que, dada a dificuldade em garantir a transmissibilidade completa dos esforços nas interfaces com a viga, dá origem a uma diminuição da rigidez da estrutura, mantendo, no entanto, a sua massa inalterada. Dessa forma, as frequências de ressonância experimentais tomam valores inferiores aos numéricos. Na figura 7 pode constatar-se que a função coerência evidencia uma boa eficiência do actuador piezoeléctrico na excitação da estrutura, demonstrando a relação de causalidade entre a resposta e a excitação, e revela uma elevada razão sinal/ruído. 050 100 150 200 250 300 350 400 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 Amplitude [dB ref. 1ms -1 /V] Res. exp. ( G = 0) Res. num. ( G = 0) 050 100 150 200 250 300 350 400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Frequência [Hz] Coerência Res. exp. ( G = 0) Figura 7. FRF e coerência entre a velocidade e a tensão do actuador em malha aberta Tabela 4. Freq. naturais do sistema em malha aberta Modos 1º 2º 3º 4º Res. exp. [Hz] 11.50 69.50 188.0 354.0 Res. num. [Hz] 11.71 71.75 195.9 370.8 Desvio [%] 1.83 3.24 4.20 4.75 050 100 150 200 250 300 350 400 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 Frequência [Hz] Res. exp. ( G = 800) Res. num. ( G = 800) Amplitude [dB ref. 1ms -1 /V] Figura 8. FRF entre a velocidade e a tensão do actuador em malha fechada (c/ filtro) As funções de resposta em frequência numérica e experimental em malha fechada, obtidas para um valor de ganho 800G=amp laser ( Sens.)GG = ×, são apresentadas na figura 8. Como se pode observar na figura, apenas o primeiro modo é amortecido. Ambos os resultados, experimentais e numéricos, demonstram esse facto. A concordância entre resultados é bastante boa e a amplitude do primeiro modo em malha aberta (figura 7), com um valor médio entre os resultados experimentais e numéricos de 55 − dB, diminui para cerca de 65−dB em malha fechada. Como referido anteriormente, e de forma a poder optimizar a razão de amortecimento do primeiro modo sem excitar os modos pares, torna-se necessário filtrar o sinal de feedback. Nas figuras 9 e 10 são apresentadas as funções de resposta em frequência do sistema em malha fechada, sem recorrer à filtragem do sinal de feedback. Dos resultados numéricos e experimentais constata-se que, para valores de ganho positivos crescentes os modos pares são excitados e os ímpares amortecidos (figura 9). Porém, quando o valor do ganho é negativo C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 18 (figura 10), o comportamento oposto é observado, confirmando-se, assim, as indicações fornecidas pelo lugar geométrico das raízes do sistema em malha fechada (figuras 5 e 6). 050 100 150 200 250 300 350 400 -100 -80 -60 -40 -20 0 Amplitude [dB ref. 1ms -1 /V] Frequência [Hz] Res. exp. ( G = 400) Res. num. ( G = 400) Figura 9. FRF entre a velocidade e a tensão do actuador em malha fechada (s/ filtro, ganho positivo) 050 100 150 200 250 300 350 400 -100 -80 -60 -40 -20 0 Amplitude [dB ref. 1ms -1 /V] Frequência [Hz] Res. exp. ( G = -400) Res. num. ( G = -400) Figura 10. FRF entre a velocidade e a tensão do actuador em malha fechada (s/ filtro, ganho negativo) 7. CONCLUSÃO Da análise experimental verificou-se que a colagem das cerâmicas piezoeléctricas condiciona fortemente o desempenho do sistema adaptativo. Uma correcta colagem deverá ser efectuada de forma a garantir uma boa transmissibilidade de esforços nas interfaces com a viga, permitindo assim uma melhor capacidade de actuação das cerâmicas piezoeléctricas, e uma melhor concordância entre o modelo numérico e o experimental. O sistema de controlo por feedback da velocidade, utilizando um transdutor laser como sensor, mostrou-se eficiente no controlo de vibrações. Com este esquema de controlo, foram obtidas razões de amortecimento consideráveis com um esforço de controlo admissível. Porém, os resultados numéricos e experimentais mostraram que elevados ganhos de controlo podem desestabilizar determinados modos. Para evitar este fenómeno recorreu-se à filtragem do sinal de forma a controlar especificamente um determinado modo, tendo sido demonstrado, na aplicação em causa, que esse tipo de controlo é bastante eficiente no amortecimento do primeiro modo. O elemento finito desenvolvido demonstrou, através da comparação dos resultados numéricos com os experimentais, uma elevada robustez e fiabilidade na obtenção da resposta mecânica e eléctrica de vigas adaptativas. Além disso, o modelo numérico proposto constitui uma ferramenta particularmente interessante na antevisão e resolução de eventuais instabilidades, permitindo, numa fase de concepção do sistema de controlo, analisar e definir a melhor solução para o controlo activo de vibrações. Dessa forma, a implementação experimental é facilitada e a sua performance é melhorada. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à Fundação para a Ciência e a Tecnologia a Bolsa de Investigação Científica concedida no âmbito do financiamento plurianual das unidades de investigação. C. M. A. Vasques e J. Dias Rodrigues 19 REFERÊNCIAS [1] C.R. Fuller, S.J. Elliott e P.A. Nelson, Active control of vibration, Academic Press, London (1996). [2] A. Preumont, Vibration control of active structures: An introduction, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1997). [3] J.F. Nye, Physical properties of crystals: Their representation by tensors and matrices, Clarendon Press, Oxford (1957). [4] A. Benjeddou, Advances in piezoelectric finite element modelling of adaptive structural elements: A survey, Computers and Structures, 76, 347-363 (2000). [5] D.H. Robbins e J.N. Reddy, Analysis of piezoelectrically actuated beams using a layerwise displacement theory, Computers and Structures, 41, 265-279 (1991). [6] H.F. Tiersten, Linear piezoelectric plate vibrations, Plenum Press, New York (1969). 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