SIMULAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO ENTRE OBJECTOS
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DINÂMICA DE
EQUILÍBRIO EM IMAGENS
Pinho*, R. R.; Ta a es**, J. M. R. S.
* In es igado a. LOME – FEUP, Po o – Po ugal. E-mail: pinho@ e.up.p
** P o . Auxilia . DEMEGI – FEUP, Po o – Po ugal. E-mail: a a es@ e.up.p . U l: www. e.up.p /~ a a es
RESUMO
Nes e a igo se á abo dada uma me odologia que u iliza a esolução da equação dinâmica de
equilíb io pa a de e mina /simula o campo de deslocamen os en e objec os de o má eis
ep esen ados em imagens. Assim, dadas duas ep esen ações do mesmo objec o, ou de dois
objec os dis in os, a endendo a p incípios ísicos pode se ei a a es imação empo al
( aseada) da sua ans o mação/de o mação. Pa a aduzi a de o mação exis en e en e as
duas o mas pode se u ilizada a ene gia de de o mação global ou local. Essas ene gias,
assim como as in ensidades das ca gas aplicadas podem se u ilizadas pa a ep esen a as
o mas in e médias. A e e ida me odologia pe mi e, ambém, a simulação exclusi a das
componen es não ígidas da de o mação.
1. INTRODUÇÃO
Ainda que exis a um as o abalho de
es imação do mo imen o en e objec os
ep esen ados em imagens, nem semp e os
esul ados ob idos são coe en es com as
p op iedades ísicas dos objec os
ep esen ados. Assim, nes e a igo se á
ap esen ada a esolução da equação
dinâmica de equilíb io, como me odologia
pa a simula isicamen e a
ans o mação/de o mação so ida, en e
objec os ep esen ados em imagens. A
e e ida me odologia pode se aplicada
en e ep esen ações do mesmo objec o ou
en e objec os dis in os.
P essupondo a modelação ísica dos
objec os po in e médio do Mé odo dos
Elemen os Fini os, u ilizando o elemen o
ini o isopa amé ico de Scla o ((Scla o ,
1995), (Ta a es, 2000)), e o
es abelecimen o de co espondências de
pa e dos nodos (dados pon uais) das duas
o mas, conseguida a a és da análise dos
deslocamen os nodais no espec i o espaço
modal; É, nes e abalho, dada ên ase à
solução dinâmica pa a es ima os
deslocamen os modais, que eco e à
esolução da equação dinâmica de
equilíb io pa a simula isicamen e o campo
de deslocamen os en e as o mas dadas
((Nas a , 1994), (Scla o , 1995), (Ta a es,
2000, 2000a, 2000b), (Pinho, 2002, 2003)).
As o mas in e médias es imadas pela
me odologia p opos a, podem se
ep esen adas em imagens po in ensidades
das ca gas aplicadas ou en ão, de aco do
com os ní eis de ene gia da de o mação
global ou local que aduz a ans o mação
1
M
UCUKU R++=
 
M
UCUKU R++=
  2
iii
KM
φ
ωφ
=
Figu a 1. Diag ama da me odologia p opos a pa a simula o mo imen o/de o mação en e objec os em imagens.
en ol ida ( igu a 1).
Pa a se p ocede à esolução da equação de
equilíb io, o na-se necessá io es ima
alguns pa âme os, uma ez que se admi e
que são desconhecidas quaisque
in o mações adicionais ace ca dos objec os
ep esen ados, e do mo imen o/de o mação
em causa. Assim, de o ma a esol e -se a
equação de equilíb io, o am encon adas
soluções pa a es ima o deslocamen o e
elocidade iniciais, assim como as ca gas
aplicadas sob e os nodos não empa elhados
com êxi o po Análise Modal.
Em algumas aplicações do abalho
p opos o, pode á se ú il a simulação da
componen e não ígida da ans o mação
global exis en e en e os objec os. Assim,
oi u ilizado um mé odo que es ima a
ans o mação ígida exis en e, o que
pe mi e conside a pa a a simulação apenas
a componen e não ígida.
Nes e a igo se ão ap esen adas a
modelação ísica u ilizada, a me odologia
conside ada pa a a de e minação dos
empa elhamen os, os mé odos de in eg ação
u ilizados pa a a esolução numé ica da
equação de equilíb io, as soluções
u ilizadas pa a es ima de o ma adequada o
deslocamen o inicial, a elocidade inicial, e
as ca gas en ol idas na ans o mação, os
p ocedimen os emp egues pa a esol e os
p oblemas associados aos nodos não
empa elhados com êxi o pela Análise
Modal, assim como a o ma encon ada
pa a simula apenas a componen e não
ígida da ans o mação. Também, se ão
ap esen ados á ios exemplos de esul ados
expe imen ais ob idos e as espec i as
conclusões.
A me odologia p opos a e ap esen ada nes e
a igo pode se u ilizada pa a aze o
mo phing ( ans o mação aseada) segundo
p incípios ísicos, a econs ução
idimensional de objec os a pa i de co es
(imagens bidimensionais), a segmen ação,
e c.
2. ELEMENTO ISOPARAMÉTRICO
DE SCLAROFF
Usando o mé odo de Gale kin ( e , po
exemplo, (Ba he, 1996)) pa a disc e iza um
Es ima i a
Es ima ca gas aplicadas
sob e nodos empa elhados
ou não po análise modal
Es ima deslocamen o e
elocidade iniciais
Resolução da Equação Dinâmica
de Equilíb io
De e minação do Campo
de Deslocamen os
Saída
De e minação da ene
g
ia de de o mação local ou
g
lobal
Ob enção das o mas in e médias a endendo às p op iedades
ísicas do ma e ial i ual u ilizado ep esen adas em imagens po :
- in ensidade das
ca gas aplicadas:
- ene gia de
de o mação global:
- ene gia de
de o mação local:
En ada
Dados pon uais
conside ados como
nodos de um
modelo de
elemen os ini os
Cons ução do modelo
ísico
De e minação das
ma izes de massa e de
igidez pa a cada
modelo ini o
De e minação dos
modos p óp ios
Resolução do
p oblema de
alo es/ ec o es
p óp ios gene alizado
pa a cada modelo
Empa elhamen os
Análise dos deslocamen os nos
espec i os espaços modais
2
onde ˆ
α
e ˆ
β
são, espec i amen e, as
cons an es de massa e igidez do
amo ecimen o p opo cional, de e minadas
em unção das acções de amo ecimen o
c í ico (Cook, 1986).
dado objec o eal, pode-se ob e um sis ema
de unções de o ma que elacionam o
deslocamen o de um único pon o com o
deslocamen o de odos os ou os nodos do
objec o. Nes e abalho u ilizamos o
elemen o isopa amé ico de Scla o
((Scla o , 1995), (Ta a es, 2000)), que
pa a cons ui a ma iz de p oximidade,
(que aduz as dis âncias en e os pon os do
objec o), u iliza as unções Gaussianas:
H
3. EMPARELHAMENTO MODAL
22
/(2 )
() i
XX
i
gX e
σ
−−
=, (1)
O es abelecimen o das co espondências
en e os m e n nodos dos modelos inicial,
, e objec i o, 1
+
, espec i amen e, é
ei o a a és da esolução do p oblema de
alo es p óp ios gene alizado de cada um:
onde i
X
é o cen o de dimensão das
unções Gaussianas e
n
σ
é o des io pad ão
que con ola a in e acção en e os dados do
objec o, pa a cons ui as unções de
in e polação, , dadas po :
i
h
KM
Φ
=ΦΩ, (6)
onde (pa a um modelo bidimensional com
nodos): m
[]
1
12
1
| |
T
T
m
mT
T
m
u
u
φφ








Φ= =












#
"
#
(7)
1
() ()
m
iik
k
hX ag X
=
=∑k
, (2)
onde são coe icien es ais que ome
alo es não-nulos apenas no nodo i, e é
o núme o de pon os amos ais do objec o.
ik
ai
h
m
A ma iz,
A
, dos coe icien es de
in e polação, , pode se de e minada po
in e são da ma iz G de inida como:
ik
ae
11 1
1
() ( )
() ( )
m
mm
gX gX
G
gX gX


=


"
#%#
"m



K
. (3)
2
1
2
2
0
0m
ω
ω




Ω=






%, (8)
Des e modo, a ma iz de in e polação do
elemen o isopa amé ico de Scla o , pa a
um objec o bidimensional, se á da o ma:
1
1
00
() 00
m
m
hh
HX hh

=

""
""
. (4)
sendo que o ec o de o ma do modo i, i
φ
,
desc e e o deslocamen o pa a cada
nodo de ido a esse modo, e na ma iz
diagonal
(,)u
Ω
os quad ados das equências
de ib ação são o denados de o ma
c escen e.
A cons ução das ma izes de massa, M, e
igidez, K, p ossegue usualmen e, mas uma
desc ição de alhada pode se consul ada em
(Scla o , 1995), (Ta a es, 2000), ou
(Pinho, 2002).
Cons uídas as ma izes modais e
Φ1
+
Φ
,
pa a os modelos e , espec i amen e,
as co espondências ob ém-se po
compa ação dos deslocamen os de cada
nodo nos espec i os espaços modais.
Assim, é cons uída uma ma iz de
a inidades,
1+
Z
, cujos elemen os são dados
po :
Pa a simula o campo de deslocamen os
en e imagens de objec os de o má eis, é
ambém necessá io conside a o
amo ecimen o. Nes e abalho, u ilizamos
o amo ecimen o de Rayleigh, segundo o
qual a ma iz de amo ecimen o, C,
consis e na combinação linea das ma izes
de massa e igidez p e iamen e
de e minadas:
2
,2,1
2
,2,1 jijiij uuZ −+−= , (9)
ˆ
ˆ
CM
α
β
=+, (5)
onde os melho es empa elhamen os são
indicados pelos mínimos na sua linha e na
sua coluna. Na cons ução des a ma iz é
no mal desp eza -se os modos não ígidos
e/ou os modos de al a o dem (Ta a es,
2000).
3
4. DETERMINAÇÃO DAS
DEFORMAÇÕES
Um bene ício da écnica p opos a po
Scla o ((Scla o , 1995), (Ta a es, 2000)),
é que os alo es p óp ios de e minados pa a
o es abelecimen o de co espondências
modais, se em ambém pa a desc e e as
de o mações ígidas ou não, necessá ias ao
alinhamen o de um objec o com ou o.
4.1 De e minação das de o mações ia
alinhamen o modal
P e endemos de e mina os pa âme os de
de o mação que anspo am um
conjun o de pon os de uma o ma (inicial)
no conjun o de pon os co esponden e da
segunda (ou objec i o). Dadas as ma izes
de o ma, e Φ, com as
co espondências es abelecidas en e os
nodos de um dos modelos associados, en ão
pode-se de e mina o deslocamen o modal
di ec amen e. No ando que os
deslocamen os nodais U que alinham
pon os co esponden es podem se desc i os
po :
U

Φ1 2
2, 1,ii
UX X=−
i
, (10)
onde 1,i
X
é o -ésimo nodo da p imei a
o ma, e
i
2,i
X
o da segunda o ma, e U é o
deslocamen o do nodo .
i
i
A ma iz Φ é uma ans o mação de
coo denadas gene alizada u ilizada pa a
ans o ma os deslocamen os modais, U,
nos nodais, U, e ice- e sa:

UU=Φ . (11)
Sabendo ambém que T
M
I
Φ
Φ= , onde
I
é a ma iz iden idade, esul a:
1T
UUM
−
=Φ =Φ
U. (12)
Uma das di iculdades ge almen e
encon adas consis e em não ha e um
empa elhamen o de um pa a um en e os
nodos dos dois objec os. Con udo, o que se
p e ende é que os dados não empa elhados
se mo am de o ma coe en e com as
p op iedades do ma e ial i ual adop ado
pa a o objec o, e com as o ças aplicadas
nos nodos empa elhados. Es e ipo de
solução pode se ob ido de di e sas o mas
((Scla o , 1995), Ta a es, 2000)).
Numa abo dagem mais simples, dados os
deslocamen os nodais dos nodos
empa elhados , podem-se conside a
nulas odas as en adas do ec o de o ças
aplicadas,
i
U
R
, co esponden es a nodos não
empa elhados. A equação de equilíb io se á
en ão dada po :
KU R
=
, (13)
onde o núme o de incógni as iguala o
núme o de dados. Resol endo a equação de
equilíb io acima, e subs i uindo em (12),
encon amos os alo es dos deslocamen os
modais.
Ainda que a aplicação des a écnica seja
simples, ela p essupõe que as o ças
aplicadas aos nodos não empa elhados é
nula, o que pode não se uma assumpção
álida (Ta a es, 2000).
Ou a o ma de de e mina os
deslocamen os modais consis e em unca
os nodos conside ados. Suponhamos que
p
dos nodos es ão empa elhados. Assim
sendo são conhecidos alguns ec o es de
o ma, pelo que podemos eo ganiza as
colunas de
m
1
−
Φ
do seguin e modo:
11
|
0
conhecido
conhecida desconhecida
desconhecido
desconhecido
U
U
U
−−

Φ
Φ=




=

, (14)
onde U é o ec o dos deslocamen os
dos
conhecido
p
nodos empa elhados, Ué o
ec o dos deslocamen os nodais não
empa elhados, e U é o ec o das
ampli udes modais que se p e ende
de e mina . Segundo es a o mulação,
assumimos que as ampli udes dos modos
que desca amos são nulas.
desconhecido
desconhecido

Reag upando os e mos da equação an e io
ob emos:
1
1
0
0
0
conhecido
conhecida
desconhecido
desconhecida
conhecido
U
I
IU
U
−
−


Φ=







=Φ






. (15)
In e endo a ma iz da di ei a ob êm-se,
di ec amen e, as ampli udes modais
desejadas. De no a que, nes e p ocesso,
assumimos que os deslocamen os modais
0
i
U
=
, pa a ip. >
4
4.2 A Solução Dinâmica
Um ou o p ocesso de esolução pode á se
a conside ação de uma es ição adicional
segundo a qual são encon adas ampli udes
modais que minimizam a ene gia de
de o mação:
O alinhamen o de dois modelos pode
ambém se ei o po simulação ísica,
a a és da in eg ação no empo da equação
do elemen o ini o, a é que seja a ingido o
equilíb io. Po es e p ocesso as
de o mações são calculadas a cada ins an e
a a és da equação dinâmica de equilíb io
de Lag ange:
2
1
2
T
I
EU=Ω

U. (16)
Assim, é con o nado o incon enien e dos
p ocessos an e io men e mencionados, já
que não é ob iga ó io que as o ças
aplicadas nos nodos não empa elhados
sejam nulas. Mas, na equação de ene gia de
de o mação acima as equências
co esponden es a modos mais ele ados
con ibuem subs ancialmen e pa a o alo
da ene gia de de o mação (ainda que es as
sejam esponsá eis po deslocamen os de
baixas ampli udes, (Ta a es, 2000)). Assim,
de e-se ponde a a pa icipação dos modos
mais ele ados da seguin e o ma:
2
TT
E
o U U U U U U
λ
=−Φ −Φ+ Ω



, (17)
onde
λ
é o pa âme o de Lamé pa a o
ma e ial adop ado:
(1 )(1 2 )
E
υ
λ
υ
υ
=+−. (18)
De i ando em elação ao ec o dos
deslocamen os modais, U, a equação
acima ob emos a equação de minimização
de ene gia pelo mé odo dos mínimos
quad ados:

1
T
U
λ
−

=ΦΦ+Ω Φ

T
U
T
U
. (19)
T
UCU U R++Ω=Φ
 

 , (21)
onde e U são, espec i amen e, a
segunda e p imei a de i adas empo ais do
ec o dos deslocamen os modais e C é a
ma iz diagonal de amo ecimen o global.
U





Des e modo são calculadas as de o mações
in e médias, de manei a coe en e com as
p op iedades ísicas do objec o, que o am
conside adas a a és do mé odo dos
elemen os ini os e do ma e ial i ual
adop ado. Assim sendo, as de o mações
in e médias pe mi em que se es ime a
de o mação en ol ida segundo p incípios
ísicos.
Ao esol e a equação dinâmica de
Lag ange p e ende-se que sejam u ilizados
os dados de um modelo (objec i o),
pa a exe ce o ças no modelo (inicial)
po o ma a que es e se ans o me no
segundo. Pa a al, conside a am-se as
ca gas dinâmicas
1+
( )
R
como sendo
p opo cionais à dis ância en e nodos
co esponden es:
Com es e mé odo pode-se p e e , como
e emos, de o ma azoá el os
deslocamen os dos nodos não
empa elhados.
2, 1,
()(
ii
)
i
R
kX X
+
∆= − , (22)
onde é uma cons an e global de igidez.
Es as o ças ac uam como se ossem o ças
elás icas sob e os nodos dos objec os, e ão
diminuindo de in ensidade à medida que o
objec o em causa se ajus a aos dados.
k
Como o algo i mo u ilizado pa a a
de e minação das co espondências en e
nodos o nece o g au de con iança de cada
empa elhamen o ob ido (Ta a es, 2000),
podemos u iliza essa in o mação adicional
na ase do alinhamen o, pela inclusão de
uma ma iz diagonal W:
O sis ema modal de equilíb io pode se
decompos o em 2m equações independen es
com o seguin e o ma o:
()
iii iii
ucu u
ω
++ =
 
 , (23)
onde
são as componen es do ec o de
ca gas ans o mado,
( )
i

( ) ( )
T
R
R=Φ
 , que
êm de se ac ualizadas a cada ins an e de
empo, a a és da equação (22).
12T
UW W
λ
−

=Φ Φ+Ω Φ

. (20)
As en adas de W são in e samen e
p opo cionais às medidas de a inidade,
sendo nulas as en adas dos nodos não
empa elhados ((Scalo , 1995), (Ta a es,
2000)).
É es e sis ema de equações de equilíb io
independen es que se p e ende esol e
a a és de mé odos numé icos de
5

in eg ação. Conside a -se-á que o sis ema
es á em equilíb io semp e que ao in eg a
no empo pa a a en e, a di e ença no
deslocamen o ob ido no úl imo passo
i e a i o seja in e io a um dado
δ
:
()U
δ
<. (24)
Con ém e e i que o c i é io de equilíb io
u ilizado pode se aduzido em unção das
o ças aplicadas, is o é, segundo o c i é io
acima ap esen ado, o equilíb io é a ingido
se e só se a di e ença en e as o ças
aplicadas nas úl imas duas i e ações o
in e io a dado alo .
5. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Uma ez es imado o campo de
deslocamen os a a és da esolução da
equação dinâmica de equilíb io, pode-se
calcula a ene gia de de o mação en ol ida
em cada uma das ases es imadas da
ans o mação – ene gia de de o mação
global. Ou en ão, ambém se pode a alia a
ene gia de de o mação associada ao
deslocamen o es imado pa a cada nodo –
ene gia de de o mação local.
De uma o ma ge al a ene gia de
de o mação global da o ma
I
, , pode
se calculada po :
I
E
T
I
EUKU=, (25)
onde ep esen a o ec o de
deslocamen os nodais.
U
Assim se:
1
2
n
u
u
U
u



=



#




jj
(26)
e
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn nn
kk k
kk k
K
kk k



=



"
"
##%#
"
, (27)
en ão:
11
nn
Ill
lj
E
uku
==
=∑∑ . (28)
Como a ene gia de de o mação global é
dada pelo soma ó io das suas componen es
locais, a ene gia de de o mação local, no
nodo , é dada po : l
,
1
n
Il l lj j
j
Euku
=
=∑. (29)
A aliada a ene gia de de o mação, global e
local, exis en e, pode-se quan i ica a
ans o mação en ol ida assim como
ep esen a as o mas in e médias es imadas
po in ensidades co esponden es à
in ensidade da ene gia de de o mação
en ol ida.
Uma ou a u ilização, como adian e
e emos, da ene gia de de o mação pode á
se o econhecimen o e a compa ação de
objec os ((Scla o , 1995), (Ta a es,
2000)).
6. ESTIMATIVA DA COMPONENTE
NÃO RÍGIDA DA TRANSFORMAÇÃO
Nos di e sos domínios em que es e abalho
pode se aplicado, pode á se ú il es ima o
compo amen o dinâmico apenas das
componen es não ígidas da ans o mação
global en ol ida. Nesse sen ido, oi
incluída uma opção na implemen ação da
me odologia p opos a que pe mi e a
aplicação da ans o mação ígida exis en e
en e as o mas dadas, aos nodos da o ma
inicial an es da esolução da equação
dinâmica de equilíb io. Assim, a o ma
ob ida após a aplicação da ans o mação
ígida en ol ida es imada à o ma inicial, é
conside ada como sendo a no a o ma
inicial e a esolução da equação de
Lag ange p ossegue como o desc i o
an e io men e. Des e modo, as o mas
in e médias ob idas desc e em apenas a
componen e não ígida da ans o mação
global exis en e en e as ep esen ações
dadas.
A es ima i a da ans o mação ígida é
conseguida pelo mé odo p opos o po Ho n
((Ho n, 1987), (Ta a es, 2000)), e baseia-se
na minimização po mínimos quad ados do
e o da ans o mação de e minada. Assim,
(Ta a es, 2000), começa-se po de e mina
os cen óides de cada objec o, e de seguida
as coo denadas cen ais (ob idas das
an e io es po sub acção das coo denadas
de cada pon o). Depois, pa a de ini a
ma iz de o ação eco e-se a um
6
qua e nion uni á io, que ep esen a o eixo e
o ângulo de o ação. Des e modo,
eco endo ao mé odo dos mínimos
quad ados, po o ma a eduzi os e os
esiduais associados à o ação, de e mina-se
o qua e nion uni á io, , que maximiza
, onde é a ma iz simé ica
cons uída com as coo denadas cen ais dos
pon os das duas o mas:
q

T
qNq

+
N
xx yy zz yz zy zx xz xy yx
yz zy xx yy zz xy yx zx xz
zx xz xy yx xx yy zz yz zy
xy yx zx xz yz zy xx yy zz
SSS SS SS SS
SS SSS SS SS
NSS SS SSS SS
SS SS SS SSS
++ − − −


−−− + +

=
−+−+−+

−+ +−−


, (30)
onde
,,1
1
n
ab i i
i
Sab
+
=
=∑, (31)
com e a ep esen a as componen es a b
x
, , dos ec o es de coo denadas
cen ais pa a as o mas e de cada
nodo empa elhado, e o núme o de
nodos conside ado. O qua e nion uni á io
é um ec o uni á io com a mesma
di ecção do ec o p óp io associado ao
maio alo p óp io da ma iz ((Chap a,
1988), (P ess, 1992), (Ta a es, 2000)).
y
i
z
1 +
n
q

N
G
Se 0
qq q
=
+
G
, onde q é um escala , e
0
(
)
,,
xyz
qqqq
T
=, a ma iz de o ação,
R
, é
dada po :
(
)
(
)
() (
()()
2222
00
2222
00 0
2222
000
22
22
22
xyz xy z xz y
yx z x y z yz x
zx y zy x x y z
q q q q qq qq qq qq
Rqqqqqqqq qqqq
qq qq qq qq q q q q

+−− − +


=+ −+− −


−+−−

)
0
+
(32)
O ac o de escala é de e minado pela aiz
quad ada do quocien e dos des ios
quad á icos das coo denadas das duas
o mas ela i amen e aos cen óides
co esponden es. Finalmen e, a anslação,
, é de e minada a pa i da di e ença en e
as coo denadas dos cen óides da o ma
objec i o e da o ma inicial p e iamen e
odada e escalada.
T
Após a es ima i a da ans o mação ígida
en ol ida, começa-se po aplica aos nodos
da o ma inicial a o ação de e minada em
o no do eixo que passa pela o igem,
a ec ada pelo espec i o ac o de escala
ela i amen e ao mesmo pon o, seguindo-se
a anslação es imada. Des e modo, se se
conside a a o ma ob ida após a aplicação
da ans o mação ígida es imada como a
no a o ma inicial, p osseguindo com a
esolução da equação dinâmica de
equilíb io, es imam-se exclusi amen e as
componen es não ígidas da ans o mação
global en ol ida.
7. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
EQUILÍBRIO
Pa a de e mina o campo de deslocamen os,
na me odologia p opos a, é necessá io
esol e a equação dinâmica de equilíb io.
Assim, nes a secção ap esen a emos alguns
mé odos de in eg ação que podem se
u ilizados pa a a in eg a nume icamen e a
equação de Lag ange. Também, e po que se
p essupôs o desconhecimen o de
in o mações adicionais dos objec os
ep esen ados assim como da ans o mação
en ol ida, ap esen a emos a solução
adop ada pa a es ima os pa âme os
necessá ios à esolução numé ica (como o
deslocamen o e elocidade iniciais, e as
ca gas aplicadas sob e os nodos
empa elhados ou não com êxi o po Análise
Modal).
7.1 Mé odos de In eg ação
Exis em á ios mé odos numé icos de
in eg ação que podem se u ilizados na
esolução da equação de Lag ange. Nes e
a igo u ilizamos o mé odo da Di e ença
Cen al, o mé odo de Newma k e o mé odo
de Sob eposição de Modos.
7
7.1.1 Mé odo da Di e ença Cen al
O mé odo da Di e ença Cen al conside a
as seguin es ap oximações da acele ação e
elocidade (com e o de unca u a da
o dem de ):
2
∆
()
()
2
12
1
2
UUUU
UUU
−∆ +∆
−∆ +∆
=−+

∆

=−+
∆



. (33)
Assim, a solução do campo de
deslocamen os pa a + é ob ida a pa i
da conside ação da equação dinâmica de
equilíb io no ins an e ,
∆
M
UCUKU R++=
  , (34)
onde se subs i uem as igualdades em (33)
pa a ob e :
2
2
11 2
2
11
2
M
CU R K MU
MCU
+∆
−
∆
+=−−
∆∆ ∆
−−
∆∆









(35)

2
2
2
2
2
1
1
MU R KU CU
MU U
∆
−
+∆
∆
−
=− −
∆
∆

∆


, (39)
que é esol ida em o dem a U.
+∆
Con ém no a que pa a inicia o p ocesso
esolu i o são necessá ios o deslocamen o e
a elocidade iniciais, assim como ambém
as ca gas aplicadas a cada ins an e. Ainda, é
necessá io (uma ez que o cálculo de
é ei o a pa i dos dois ins an es de
empo imedia amen e an e io es, U e
), o que segundo (Ba he, 1996) pode
se es imado a pa i de (26) e (27),
ob endo-se:
U−∆
U+∆
U−∆
2
00
2
ii i
UU U U
−∆ ∆
=−∆+
0
i

, (36)
onde o índice i indica a i-ésima componen e
do ec o conside ado.
Es e mé odo ge almen e só é aplicado
quando se pode assumi que ma iz de
massa é diagonal e o amo ecimen o pode
se negligenciado, uma ez que nes as
ci cuns âncias o seu cus o compu acional é
meno (Ba he, 1996). Caso as ma izes de
massa e de igidez sejam diagonais, (35)
ep esen a um sis ema de equações
desacopladas, e nes e caso o mé odo
ap esen ado é economicamen e compe i i o
com os mé odos implíci os (Cook, 1989).
Con udo, as ma izes de massa e de
amo ecimen o de Rayleigh, de e minadas
u ilizadas, não são diagonais, e o mé odo da
Di e ença Cen al al como oi desc i o
acima é mais p eciso pa a ma izes de
massa, M, e de amo ecimen o, C, diagonais
(Cook, 1989). Es e p oblema é con o nado,
subs i uindo as ap oximações da acele ação
e elocidade em (33) po :
()
22
2
1
1
UUU
UUU
∆∆
+−
∆
−−∆

=−

∆


=−
∆

  


. (37)
Assim a equação (34) so e um a aso na
elocidade em meio in e alo de empo:
2
M
UCU KU R
∆
−
+
+=
  , (38)
e o esquema do mé odo da Di e ença
Cen al adequado às si uações em que C e
M não são diagonais é dado po :
++
sendo que 2
U
∆
−
 é ac ualizado em cada
i e ação a a és de (37). Pa a se
inicializado, es e mé odo eque U e
02
U
∆
−

(que oi ap oximado po U).
0

Ainda que as equações (37) sejam de
segunda o dem, es e esquema em p ecisão
de p imei a o dem quando a ma iz de
amo ecimen o é não nula, uma ez que as
o ças iscosas, 2
CU
∆
−
, es ão a asadas
meio in e alo de empo.
Con udo, uma des an agem do mé odo da
Di e ença Cen al é o amanho do passo de
empo, que de e se ela i amen e eduzido,
já que es e mé odo é condicionalmen e
es á el (Ba he, 1996). Se pa a o esquema
(35) e a necessá io que:
max
2
ω
∆≤ , (40)
já o esquema (39) é mais es i i o uma ez
que:
(
)
2
max
21
ξ
ξ
ω
∆
≤+−, (41)
8
7.1.3 Mé odo da Sob eposição de Modos
onde
ξ
é a acção de amo ecimen o
c í ico na maio equência na u al sem
amo ecimen o, max
ω
(Cook, 1989).
Es e mé odo p opõe a seguin e
ans o mação:
() ()
U X
=
Φ, (46)
e des e modo, ob êm-se como equações de
equilíb io co esponden es aos
deslocamen os modais gene alizados:
7.1.2 Mé odo de Newma k
O mé odo de Newma k, esumidamen e, é
um mé odo de segunda o dem cujas
ap oximações da elocidade e do
deslocamen o em cada ins an e são dadas,
espec i amen e, po :
2
() () () ()
TT
X
C X X R +Φ Φ +Ω =Φ
  , (47)
já que:
()
2
1
1
2
UU UU
UUU UU
δδ
αα
+∆ +∆
+∆ +∆
=+− + ∆
=+∆+ − + ∆










 




(42)
2TK
Φ
Φ=Ω e T
M
I
Φ
Φ= . (48)
O objec i o des a ans o mação consis e
em ob e no as ma izes de igidez, massa e
amo ecimen o com meno la gu a de banda
(Ba he, 1996).
Nes e abalho u ilizamos o mé odo da
Di e ença Cen al ou o mé odo de
Newma k pa a esol e (47). Assim, a
esolução do mé odo da Sob eposição de
Modos usando o mé odo da Di e ença
Cen al é ei a a a és de:
onde
α
e
δ
são pa âme os a de e mina
po o ma a que sejam ob idos esul ados
exac os e es á eis (Ba he, 1996).
Subs i uindo (42) na equação dinâmica de
equilíb io ob ém-se:
()
2
2
1
1
11
11
2
1
11
2
M
CKU R
M
CU
M
CU MU
δ
αα
δ
αα
δ
αα α
δ
α
+∆

++ =

∆∆


++

∆∆


  
+−− +−
  

∆  



−−∆− −∆






CU
δ




0.5
2
2
2
2
11
2
2
11
2
T T
T
I
CX R
I
X
ICX
+∆
−∆

+ΦΦ =Φ

∆∆


−Ω−

∆


−−ΦΦ

∆∆



. (49)
(43)
De salien a que quando se esol e a
equação (49) pelo mé odo da Di e ença
Cen al o esquema a u iliza é o p imei o
ap esen ado, (35), uma ez que Φ é
uma ma iz diagonal.
CΦ
Segundo (Cook, 1989), es e mé odo é
incondicionalmen e es á el pa a:
2
α
δ
≥≥ . (44)
Quando se u iliza o mé odo de Newma k
pa a esol e a equação dada pelo mé odo
de Sob eposição de Modos (de manei a
análoga ao que oi ei o pa a o mé odo da
Di e ença Cen al), u iliza-se o esquema
p opos o an e io men e pa a o mé odo de
Newma k, com subs i uição das ma izes
M, C e K po I, e
CΦΦ 2
Ω
,
espec i amen e.
Con ém con udo salien a que pa a
qualque alo de
α
, se 0.5
δ
=, es e
mé odo não possui amo ecimen o
numé ico. Se 0.5
δ
>, é in oduzido
amo ecimen o a i icial, mas ambém, se
ob ém alo es menos exac os, uma ez que
os esul ados ob idos êm p ecisão de
p imei a o dem. Po ou o lado, quando:
2
11
42
αδ

=+




, (45)
Es e mé odo possibili a que apenas alguns
modos sejam u ilizados nos cálculos, já que
em alguns p oblemas os modos de al a
equência pa icipam pouco na
de o mação, e apenas uma pa e dos modos
de baixa equência p ecisa de se usada. A
medida e e ida eduz o cus o
compu acional associado ao p ocesso de
esolução da equação dinâmica de
é maximizada a dissipação de al a
equência pa a qualque alo de 0.5
δ
>
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