Simulação Física da Transformação entre Objectos através da Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio em Imagens

SIMULAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO ENTRE OBJECTOS ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DINÂMICA DE EQUILÍBRIO EM IMAGENS Pinho*, R. R.; Tavares**, J. M. R. S. * Investigadora. LOME – FEUP, Porto – Portugal. E-mail: [email protected] ** Prof. Auxiliar. DEMEGI – FEUP, Porto – Portugal. E-mail: [email protected]. Url: www.fe.up.pt/~tavares RESUMO Neste artigo será abordada uma metodologia que utiliza a resolução da equação dinâmica de equilíbrio para determinar/simular o campo de deslocamentos entre objectos deformáveis representados em imagens. Assim, dadas duas representações do mesmo objecto, ou de dois objectos distintos, atendendo a princípios físicos pode ser feita a estimação temporal (faseada) da sua transformação/deformação. Para traduzir a deformação existente entre as duas formas pode ser utilizada a energia de deformação global ou local. Essas energias, assim como as intensidades das cargas aplicadas podem ser utilizadas para representar as formas intermédias. A referida metodologia permite, também, a simulação exclusiva das componentes não rígidas da deformação. 1. INTRODUÇÃO Ainda que exista um vasto trabalho de estimação do movimento entre objectos representados em imagens, nem sempre os resultados obtidos são coerentes com as propriedades físicas dos objectos representados. Assim, neste artigo será apresentada a resolução da equação dinâmica de equilíbrio, como metodologia para simular fisicamente a transformação/deformação sofrida, entre objectos representados em imagens. A referida metodologia pode ser aplicada entre representações do mesmo objecto ou entre objectos distintos. Pressupondo a modelação física dos objectos por intermédio do Método dos Elementos Finitos, utilizando o elemento finito isoparamétrico de Sclaroff ((Sclaroff, 1995), (Tavares, 2000)), e o estabelecimento de correspondências de parte dos nodos (dados pontuais) das duas formas, conseguida através da análise dos deslocamentos nodais no respectivo espaço modal; É, neste trabalho, dada ênfase à solução dinâmica para estimar os deslocamentos modais, que recorre à resolução da equação dinâmica de equilíbrio para simular fisicamente o campo de deslocamentos entre as formas dadas ((Nastar, 1994), (Sclaroff, 1995), (Tavares, 2000, 2000a, 2000b), (Pinho, 2002, 2003)). As formas intermédias estimadas pela metodologia proposta, podem ser representadas em imagens por intensidades das cargas aplicadas ou então, de acordo com os níveis de energia da deformação global ou local que traduz a transformação 1 ttt M UCUKU R++=   tttt M UCUKU R++=   2 iii KM φ ωφ = Figura 1. Diagrama da metodologia proposta para simular o movimento/deformação entre objectos em imagens. envolvida (figura 1). Para se proceder à resolução da equação de equilíbrio, torna-se necessário estimar alguns parâmetros, uma vez que se admite que são desconhecidas quaisquer informações adicionais acerca dos objectos representados, e do movimento/deformação em causa. Assim, de forma a resolver-se a equação de equilíbrio, foram encontradas soluções para estimar o deslocamento e velocidade iniciais, assim como as cargas aplicadas sobre os nodos não emparelhados com êxito por Análise Modal. Em algumas aplicações do trabalho proposto, poderá ser útil a simulação da componente não rígida da transformação global existente entre os objectos. Assim, foi utilizado um método que estima a transformação rígida existente, o que permite considerar para a simulação apenas a componente não rígida. Neste artigo serão apresentadas a modelação física utilizada, a metodologia considerada para a determinação dos emparelhamentos, os métodos de integração utilizados para a resolução numérica da equação de equilíbrio, as soluções utilizadas para estimar de forma adequada o deslocamento inicial, a velocidade inicial, e as cargas envolvidas na transformação, os procedimentos empregues para resolver os problemas associados aos nodos não emparelhados com êxito pela Análise Modal, assim como a forma encontrada para simular apenas a componente não rígida da transformação. Também, serão apresentados vários exemplos de resultados experimentais obtidos e as respectivas conclusões. A metodologia proposta e apresentada neste artigo pode ser utilizada para fazer o morphing (transformação faseada) segundo princípios físicos, a reconstrução tridimensional de objectos a partir de cortes (imagens bidimensionais), a segmentação, etc. 2. ELEMENTO ISOPARAMÉTRICO DE SCLAROFF Usando o método de Galerkin (ver, por exemplo, (Bathe, 1996)) para discretizar um Estimativa Estimar cargas aplicadas sobre nodos emparelhados ou não por análise modal Estimar deslocamento e velocidade iniciais Resolução da Equação Dinâmica de Equilíbrio t Determinação do Campo de Deslocamentos Saída Determinação da ener g ia de deformação local ou g lobal Obtenção das formas intermédias atendendo às propriedades físicas do material virtual utilizado representadas em imagens por: - intensidade das cargas aplicadas: - energia de deformação global: - energia de deformação local: Entrada Dados pontuais considerados como nodos de um modelo de elementos finitos Construção do modelo físico Determinação das matrizes de massa e de rigidez para cada modelo finito Determinação dos modos próprios Resolução do problema de valores/vectores próprios generalizado para cada modelo Emparelhamentos Análise dos deslocamentos nos respectivos espaços modais 2 onde ˆ α e ˆ β são, respectivamente, as constantes de massa e rigidez do amortecimento proporcional, determinadas em função das fracções de amortecimento crítico (Cook, 1986). dado objecto real, pode-se obter um sistema de funções de forma que relacionam o deslocamento de um único ponto com o deslocamento de todos os outros nodos do objecto. Neste trabalho utilizamos o elemento isoparamétrico de Sclaroff ((Sclaroff, 1995), (Tavares, 2000)), que para construir a matriz de proximidade, (que traduz as distâncias entre os pontos do objecto), utiliza as funções Gaussianas: H 3. EMPARELHAMENTO MODAL 22 /(2 ) () i XX i gX e σ −− =, (1) t O estabelecimento das correspondências entre os m e n nodos dos modelos inicial, , e objectivo, 1t + , respectivamente, é feito através da resolução do problema de valores próprios generalizado de cada um: onde i X é o centro de dimensão das funções Gaussianas e n σ é o desvio padrão que controla a interacção entre os dados do objecto, para construir as funções de interpolação, , dadas por: i h KM Φ =ΦΩ, (6) onde (para um modelo bidimensional com nodos): m [] 1 12 1 | | T T m mT T m u u v v φφ         Φ= =             # " # (7) 1 () () m iik k hX ag X = =∑k , (2) onde são coeficientes tais que tome valores não-nulos apenas no nodo i, e é o número de pontos amostrais do objecto. ik ai h m A matriz, A , dos coeficientes de interpolação, , pode ser determinada por inversão da matriz G definida como: ik ae 11 1 1 () ( ) () ( ) m mm gX gX G gX gX   =   " #%# "m    K . (3) 2 1 2 2 0 0m ω ω     Ω=       %, (8) Deste modo, a matriz de interpolação do elemento isoparamétrico de Sclaroff, para um objecto bidimensional, será da forma: 1 1 00 () 00 m m hh HX hh  =  "" "" . (4) sendo que o vector de forma do modo i, i φ , descreve o deslocamento para cada nodo devido a esse modo, e na matriz diagonal (,)uv Ω os quadrados das frequências de vibração são ordenados de forma crescente. A construção das matrizes de massa, M, e rigidez, K, prossegue usualmente, mas uma descrição detalhada pode ser consultada em (Sclaroff, 1995), (Tavares, 2000), ou (Pinho, 2002). Construídas as matrizes modais e t Φ1t + Φ , para os modelos t e , respectivamente, as correspondências obtém-se por comparação dos deslocamentos de cada nodo nos respectivos espaços modais. Assim, é construída uma matriz de afinidades, 1+t Z , cujos elementos são dados por: Para simular o campo de deslocamentos entre imagens de objectos deformáveis, é também necessário considerar o amortecimento. Neste trabalho, utilizamos o amortecimento de Rayleigh, segundo o qual a matriz de amortecimento, C, consiste na combinação linear das matrizes de massa e rigidez previamente determinadas: 2 ,2,1 2 ,2,1 jijiij vvuuZ −+−= , (9) ˆ ˆ CM α β =+, (5) onde os melhores emparelhamentos são indicados pelos mínimos na sua linha e na sua coluna. Na construção desta matriz é normal desprezar-se os modos não rígidos e/ou os modos de alta ordem (Tavares, 2000). 3 4. DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES Um benefício da técnica proposta por Sclaroff ((Sclaroff, 1995), (Tavares, 2000)), é que os valores próprios determinados para o estabelecimento de correspondências modais, servem também para descrever as deformações rígidas ou não, necessárias ao alinhamento de um objecto com outro. 4.1 Determinação das deformações via alinhamento modal Pretendemos determinar os parâmetros de deformação que transportam um conjunto de pontos de uma forma (inicial) no conjunto de pontos correspondente da segunda (ou objectivo). Dadas as matrizes de forma, e Φ, com as correspondências estabelecidas entre os nodos de um dos modelos associados, então pode-se determinar o deslocamento modal directamente. Notando que os deslocamentos nodais U que alinham pontos correspondentes podem ser descritos por: U  Φ1 2 2, 1,ii UX X=− i , (10) onde 1,i X é o -ésimo nodo da primeira forma, e i 2,i X o da segunda forma, e U é o deslocamento do nodo . i i A matriz Φ é uma transformação de coordenadas generalizada utilizada para transformar os deslocamentos modais, U, nos nodais, U, e vice-versa:  UU=Φ . (11) Sabendo também que T M I Φ Φ= , onde I é a matriz identidade, resulta: 1T UUM − =Φ =Φ U. (12) Uma das dificuldades geralmente encontradas consiste em não haver um emparelhamento de um para um entre os nodos dos dois objectos. Contudo, o que se pretende é que os dados não emparelhados se movam de forma coerente com as propriedades do material virtual adoptado para o objecto, e com as forças aplicadas nos nodos emparelhados. Este tipo de solução pode ser obtido de diversas formas ((Sclaroff, 1995), Tavares, 2000)). Numa abordagem mais simples, dados os deslocamentos nodais dos nodos emparelhados , podem-se considerar nulas todas as entradas do vector de forças aplicadas, i U R , correspondentes a nodos não emparelhados. A equação de equilíbrio será então dada por: KU R = , (13) onde o número de incógnitas iguala o número de dados. Resolvendo a equação de equilíbrio acima, e substituindo em (12), encontramos os valores dos deslocamentos modais. Ainda que a aplicação desta técnica seja simples, ela pressupõe que as forças aplicadas aos nodos não emparelhados é nula, o que pode não ser uma assumpção válida (Tavares, 2000). Outra forma de determinar os deslocamentos modais consiste em truncar os nodos considerados. Suponhamos que p dos nodos estão emparelhados. Assim sendo são conhecidos alguns vectores de forma, pelo que podemos reorganizar as colunas de m 1 − Φ do seguinte modo: 11 | 0 conhecido conhecida desconhecida desconhecido desconhecido U U U −−  Φ Φ=     =  , (14) onde U é o vector dos deslocamentos dos conhecido p nodos emparelhados, Ué o vector dos deslocamentos nodais não emparelhados, e U é o vector das amplitudes modais que se pretende determinar. Segundo esta formulação, assumimos que as amplitudes dos modos que descartamos são nulas. desconhecido desconhecido  Reagrupando os termos da equação anterior obtemos: 1 1 0 0 0 conhecido conhecida desconhecido desconhecida conhecido U I IU U − −   Φ=        =Φ       . (15) Invertendo a matriz da direita obtêm-se, directamente, as amplitudes modais desejadas. De notar que, neste processo, assumimos que os deslocamentos modais 0 i U = , para ip. > 4 4.2 A Solução Dinâmica Um outro processo de resolução poderá ser a consideração de uma restrição adicional segundo a qual são encontradas amplitudes modais que minimizam a energia de deformação: O alinhamento de dois modelos pode também ser feito por simulação física, através da integração no tempo da equação do elemento finito, até que seja atingido o equilíbrio. Por este processo as deformações são calculadas a cada instante através da equação dinâmica de equilíbrio de Lagrange: 2 1 2 T I EU=Ω  U. (16) Assim, é contornado o inconveniente dos processos anteriormente mencionados, já que não é obrigatório que as forças aplicadas nos nodos não emparelhados sejam nulas. Mas, na equação de energia de deformação acima as frequências correspondentes a modos mais elevados contribuem substancialmente para o valor da energia de deformação (ainda que estas sejam responsáveis por deslocamentos de baixas amplitudes, (Tavares, 2000)). Assim, deve-se ponderar a participação dos modos mais elevados da seguinte forma: 2 TT E rro U U U U U U λ =−Φ −Φ+ Ω    , (17) onde λ é o parâmetro de Lamé para o material adoptado: (1 )(1 2 ) E υ λ υ υ =+−. (18) Derivando em relação ao vector dos deslocamentos modais, U, a equação acima obtemos a equação de minimização de energia pelo método dos mínimos quadrados:  1 T U λ −  =ΦΦ+Ω Φ  T U T U t . (19) tt tT UCU U R++Ω=Φ     , (21) onde e U são, respectivamente, a segunda e primeira derivadas temporais do vector dos deslocamentos modais e C é a matriz diagonal de amortecimento global. t U  t    Deste modo são calculadas as deformações intermédias, de maneira coerente com as propriedades físicas do objecto, que foram consideradas através do método dos elementos finitos e do material virtual adoptado. Assim sendo, as deformações intermédias permitem que se estime a deformação envolvida segundo princípios físicos. Ao resolver a equação dinâmica de Lagrange pretende-se que sejam utilizados os dados de um modelo t (objectivo), para exercer forças no modelo (inicial) por forma a que este se transforme no segundo. Para tal, consideraram-se as cargas dinâmicas 1+ t ( ) R t como sendo proporcionais à distância entre nodos correspondentes: Com este método pode-se prever, como veremos, de forma razoável os deslocamentos dos nodos não emparelhados. 2, 1, ()( ii ) i R ttkX X + ∆= − , (22) onde é uma constante global de rigidez. Estas forças actuam como se fossem forças elásticas sobre os nodos dos objectos, e vão diminuindo de intensidade à medida que o objecto em causa se ajusta aos dados. k Como o algoritmo utilizado para a determinação das correspondências entre nodos fornece o grau de confiança de cada emparelhamento obtido (Tavares, 2000), podemos utilizar essa informação adicional na fase do alinhamento, pela inclusão de uma matriz diagonal W: O sistema modal de equilíbrio pode ser decomposto em 2m equações independentes com o seguinte formato: () tt t iii iii ucu urt ω ++ =    , (23) onde rt são as componentes do vector de cargas transformado, ( ) i  ( ) ( ) T R tR=Φ t, que têm de ser actualizadas a cada instante de tempo, através da equação (22). 12T UW W λ −  =Φ Φ+Ω Φ  . (20) As entradas de W são inversamente proporcionais às medidas de afinidade, sendo nulas as entradas dos nodos não emparelhados ((Scaloff, 1995), (Tavares, 2000)). É este sistema de equações de equilíbrio independentes que se pretende resolver através de métodos numéricos de 5 integração. Considerar-se-á que o sistema está em equilíbrio sempre que ao integrar no tempo para a frente, a diferença no deslocamento obtido no último passo iterativo seja inferior a um dado δ : ()Ut δ <. (24) Convém referir que o critério de equilíbrio utilizado pode ser traduzido em função das forças aplicadas, isto é, segundo o critério acima apresentado, o equilíbrio é atingido se e só se a diferença entre as forças aplicadas nas últimas duas iterações for inferior a dado valor. 5. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Uma vez estimado o campo de deslocamentos através da resolução da equação dinâmica de equilíbrio, pode-se calcular a energia de deformação envolvida em cada uma das fases estimadas da transformação – energia de deformação global. Ou então, também se pode avaliar a energia de deformação associada ao deslocamento estimado para cada nodo – energia de deformação local. De uma forma geral a energia de deformação global da forma I , , pode ser calculada por: I E T I EUKU=, (25) onde representa o vector de deslocamentos nodais. U Assim se: 1 2 n u u U u    =    #     jj (26) e 11 12 1 21 22 2 12 n n nn nn kk k kk k K kk k    =    " " ##%# " , (27) então: 11 nn Ill lj E uku == =∑∑ . (28) Como a energia de deformação global é dada pelo somatório das suas componentes locais, a energia de deformação local, no nodo , é dada por: l , 1 n Il l lj j j Euku = =∑. (29) Avaliada a energia de deformação, global e local, existente, pode-se quantificar a transformação envolvida assim como representar as formas intermédias estimadas por intensidades correspondentes à intensidade da energia de deformação envolvida. Uma outra utilização, como adiante veremos, da energia de deformação poderá ser o reconhecimento e a comparação de objectos ((Sclaroff, 1995), (Tavares, 2000)). 6. ESTIMATIVA DA COMPONENTE NÃO RÍGIDA DA TRANSFORMAÇÃO Nos diversos domínios em que este trabalho pode ser aplicado, poderá ser útil estimar o comportamento dinâmico apenas das componentes não rígidas da transformação global envolvida. Nesse sentido, foi incluída uma opção na implementação da metodologia proposta que permite a aplicação da transformação rígida existente entre as formas dadas, aos nodos da forma inicial antes da resolução da equação dinâmica de equilíbrio. Assim, a forma obtida após a aplicação da transformação rígida envolvida estimada à forma inicial, é considerada como sendo a nova forma inicial e a resolução da equação de Lagrange prossegue como o descrito anteriormente. Deste modo, as formas intermédias obtidas descrevem apenas a componente não rígida da transformação global existente entre as representações dadas. A estimativa da transformação rígida é conseguida pelo método proposto por Horn ((Horn, 1987), (Tavares, 2000)), e baseia-se na minimização por mínimos quadrados do erro da transformação determinada. Assim, (Tavares, 2000), começa-se por determinar os centróides de cada objecto, e de seguida as coordenadas centrais (obtidas das anteriores por subtracção das coordenadas de cada ponto). Depois, para definir a matriz de rotação recorre-se a um 6 quaternion unitário, que representa o eixo e o ângulo de rotação. Deste modo, recorrendo ao método dos mínimos quadrados, por forma a reduzir os erros residuais associados à rotação, determina-se o quaternion unitário, , que maximiza , onde é a matriz simétrica construída com as coordenadas centrais dos pontos das duas formas: q  T qNq  + N xx yy zz yz zy zx xz xy yx yz zy xx yy zz xy yx zx xz zx xz xy yx xx yy zz yz zy xy yx zx xz yz zy xx yy zz SSS SS SS SS SS SSS SS SS NSS SS SSS SS SS SS SS SSS ++ − − −   −−− + +  = −+−+−+  −+ +−−   , (30) onde ,,1 1 n ab it it i Sab + = =∑, (31) com e a representar as componentes a b x , , dos vectores de coordenadas centrais para as formas t e de cada nodo emparelhado, e o número de nodos considerado. O quaternion unitário é um vector unitário com a mesma direcção do vector próprio associado ao maior valor próprio da matriz ((Chapra, 1988), (Press, 1992), (Tavares, 2000)). y i z 1t+ n q  N G Se 0 qq q = + G , onde q é um escalar, e 0 ( ) ,, xyz qqqq T =, a matriz de rotação, R , é dada por: ( ) ( ) () ( ()() 2222 00 2222 00 0 2222 000 22 22 22 xyz xy z xz y yx z x y z yz x zx y zy x x y z q q q q qq qq qq qq Rqqqqqqqq qqqq qq qq qq qq q q q q  +−− − +   =+ −+− −   −+−−  ) 0 + (32) O factor de escala é determinado pela raiz quadrada do quociente dos desvios quadráticos das coordenadas das duas formas relativamente aos centróides correspondentes. Finalmente, a translação, , é determinada a partir da diferença entre as coordenadas dos centróides da forma objectivo e da forma inicial previamente rodada e escalada. T Após a estimativa da transformação rígida envolvida, começa-se por aplicar aos nodos da forma inicial a rotação determinada em torno do eixo que passa pela origem, afectada pelo respectivo factor de escala relativamente ao mesmo ponto, seguindo-se a translação estimada. Deste modo, se se considerar a forma obtida após a aplicação da transformação rígida estimada como a nova forma inicial, prosseguindo com a resolução da equação dinâmica de equilíbrio, estimam-se exclusivamente as componentes não rígidas da transformação global envolvida. 7. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO Para determinar o campo de deslocamentos, na metodologia proposta, é necessário resolver a equação dinâmica de equilíbrio. Assim, nesta secção apresentaremos alguns métodos de integração que podem ser utilizados para a integrar numericamente a equação de Lagrange. Também, e porque se pressupôs o desconhecimento de informações adicionais dos objectos representados assim como da transformação envolvida, apresentaremos a solução adoptada para estimar os parâmetros necessários à resolução numérica (como o deslocamento e velocidade iniciais, e as cargas aplicadas sobre os nodos emparelhados ou não com êxito por Análise Modal). 7.1 Métodos de Integração Existem vários métodos numéricos de integração que podem ser utilizados na resolução da equação de Lagrange. Neste artigo utilizamos o método da Diferença Central, o método de Newmark e o método de Sobreposição de Modos. 7 7.1.1 Método da Diferença Central O método da Diferença Central considera as seguintes aproximações da aceleração e velocidade (com erro de truncatura da ordem de ): 2 t∆ () () 2 12 1 2 tttt tttt UUUU t UUU t −∆ +∆ −∆ +∆ =−+  ∆  =−+ ∆    tt t t . (33) Assim, a solução do campo de deslocamentos para t+ é obtida a partir da consideração da equação dinâmica de equilíbrio no instante t, t∆ ttt M UCUKU R++=   , (34) onde se substituem as igualdades em (33) para obter: 2 2 11 2 2 11 2 tt t t tt M CU R K MU tt t MCU tt +∆ − ∆ +=−− ∆∆ ∆ −− ∆∆          (35)  2 2 2 2 2 1 1 t t tt t t t t t MU R KU CU t MU tU t ∆ − +∆ ∆ − =− − ∆ ∆  ∆   , (39) que é resolvida em ordem a U. tt+∆ Convém notar que para iniciar o processo resolutivo são necessários o deslocamento e a velocidade iniciais, assim como também as cargas aplicadas a cada instante. Ainda, é necessário (uma vez que o cálculo de é feito a partir dos dois instantes de tempo imediatamente anteriores, U e ), o que segundo (Bathe, 1996) pode ser estimado a partir de (26) e (27), obtendo-se: t U−∆ tt U+∆ tt U−∆ t 2 00 2 t ii i t UUtU U −∆ ∆ =−∆+ 0 i  , (36) onde o índice i indica a i-ésima componente do vector considerado. Este método geralmente só é aplicado quando se pode assumir que matriz de massa é diagonal e o amortecimento pode ser negligenciado, uma vez que nestas circunstâncias o seu custo computacional é menor (Bathe, 1996). Caso as matrizes de massa e de rigidez sejam diagonais, (35) representa um sistema de equações desacopladas, e neste caso o método apresentado é economicamente competitivo com os métodos implícitos (Cook, 1989). Contudo, as matrizes de massa e de amortecimento de Rayleigh, determinadas utilizadas, não são diagonais, e o método da Diferença Central tal como foi descrito acima é mais preciso para matrizes de massa, M, e de amortecimento, C, diagonais (Cook, 1989). Este problema é contornado, substituindo as aproximações da aceleração e velocidade em (33) por: () 22 2 1 1 tt tt t t tttt UUU t UUU t ∆∆ +− ∆ −−∆  =−  ∆   =− ∆       . (37) Assim a equação (34) sofre um atraso na velocidade em meio intervalo de tempo: 2 t t ttt M UCU KU R ∆ − + +=   , (38) e o esquema do método da Diferença Central adequado às situações em que C e M não são diagonais é dado por: ++ sendo que 2 t t U ∆ −  é actualizado em cada iteração através de (37). Para ser inicializado, este método requer U e 02 t U ∆ −  (que foi aproximado por U). 0  Ainda que as equações (37) sejam de segunda ordem, este esquema tem precisão de primeira ordem quando a matriz de amortecimento é não nula, uma vez que as forças viscosas, 2 t t CU ∆ − , estão atrasadas meio intervalo de tempo. Contudo, uma desvantagem do método da Diferença Central é o tamanho do passo de tempo, que deve ser relativamente reduzido, já que este método é condicionalmente estável (Bathe, 1996). Se para o esquema (35) era necessário que: max 2 t ω ∆≤ , (40) já o esquema (39) é mais restritivo uma vez que: ( ) 2 max 21t ξ ξ ω ∆ ≤+−, (41) 8 7.1.3 Método da Sobreposição de Modos onde ξ é a fracção de amortecimento crítico na maior frequência natural sem amortecimento, max ω (Cook, 1989). Este método propõe a seguinte transformação: () () Ut Xt = Φ, (46) e deste modo, obtêm-se como equações de equilíbrio correspondentes aos deslocamentos modais generalizados: 7.1.2 Método de Newmark O método de Newmark, resumidamente, é um método de segunda ordem cujas aproximações da velocidade e do deslocamento em cada instante são dadas, respectivamente, por: 2 () () () () TT X t C Xt Xt Rt+Φ Φ +Ω =Φ   , (47) já que: () 2 1 1 2 tt t t tt tt t t t tt UU UU t UUUt UU δδ αα +∆ +∆ +∆ +∆ =+− + ∆ =+∆+ − + ∆              t    (42) 2TK Φ Φ=Ω e T M I Φ Φ= . (48) O objectivo desta transformação consiste em obter novas matrizes de rigidez, massa e amortecimento com menor largura de banda (Bathe, 1996). Neste trabalho utilizamos o método da Diferença Central ou o método de Newmark para resolver (47). Assim, a resolução do método da Sobreposição de Modos usando o método da Diferença Central é feita através de: onde α e δ são parâmetros a determinar por forma a que sejam obtidos resultados exactos e estáveis (Bathe, 1996). Substituindo (42) na equação dinâmica de equilíbrio obtém-se: () 2 2 1 1 11 11 2 1 11 2 tt t t tt t M CKU R tt M CU tt M CU MU t tt δ αα δ αα δ αα α δ α +∆  ++ =  ∆∆   ++  ∆∆      +−− +−     ∆      −−∆− −∆       CU δ     0.5 2 2 2 2 11 2 2 11 2 TttT t Tt t t I CX R tt I X t ICX tt +∆ −∆  +ΦΦ =Φ  ∆∆   −Ω−  ∆   −−ΦΦ  ∆∆    . (49) (43) De salientar que quando se resolve a equação (49) pelo método da Diferença Central o esquema a utilizar é o primeiro apresentado, (35), uma vez que Φ é uma matriz diagonal. tCΦ Segundo (Cook, 1989), este método é incondicionalmente estável para: 2 α δ ≥≥ . (44) Quando se utiliza o método de Newmark para resolver a equação dada pelo método de Sobreposição de Modos (de maneira análoga ao que foi feito para o método da Diferença Central), utiliza-se o esquema proposto anteriormente para o método de Newmark, com substituição das matrizes M, C e K por I, e tCΦΦ 2 Ω , respectivamente. Convém contudo salientar que para qualquer valor de α , se 0.5 δ =, este método não possui amortecimento numérico. Se 0.5 δ >, é introduzido amortecimento artificial, mas também, se obtém valores menos exactos, uma vez que os resultados obtidos têm precisão de primeira ordem. Por outro lado, quando: 2 11 42 αδ  =+     , (45) Este método possibilita que apenas alguns modos sejam utilizados nos cálculos, já que em alguns problemas os modos de alta frequência participam pouco na deformação, e apenas uma parte dos modos de baixa frequência precisa de ser usada. A medida referida reduz o custo computacional associado ao processo de resolução da equação dinâmica de é maximizada a dissipação de alta frequência para qualquer valor de 0.5 δ > (Cook, 1989). 9 l’Analyse du Mouvement Non-Rigide dans les Images Multidimensionnelles, L’école Nationale Des Ponts Et Chaussees, 1994. (Pinho, 2002) Pinho, R., Dissertação de Mestrado: Determinação do Campo de Deslocamentos a partir de Imagens de Objectos Deformáveis, FCUP, FEUP, Universidade do Porto, 2002. (Pinho, 2003) Pinho, R., Tavares, J., Resolução da Equação de Equilíbrio entre Imagens de Objectos Deformáveis, VII Congresso de Mecânica Aplicada e Computacional, Universidade de Évora, 2003. 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