J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
1/27
“Sis emas de Con ole Au omá ico”
J. L. Ma ins de Ca alho,
LTC Edi o a, Rio de Janei o, ISBN 85-216-1210-9
E a a
Capí ulo 2
Local Onde es á De e le -se
Pag. 12,
segunda
linha an es
do exe cício
2.1
V/Rc V/RC
Pag. 25,
e cei a e
qua a linhas
es a o o o
Pag.28,
exp essão
(2.27)
F F
Pag. 28,
qua a e
sex a linhas
depois do
exe cício
2.14
es a o o o
Pag. 29,
exp essão
(2.28)
()()
()()0
mm mm ml ml m
ll ll l m l m
Jdd k ku
Jdd k
θ θ θθ θθ
θ θ θθ θθ
++−+−=Γ=




++−+−=



   
   
Pag. 29,
exp essão
seguin e a
(2.28)
()()
ml
lmm lmm
JJ dd
θθ
θθ
=





+++=Γ


 
Pag. 30,
exp essão
(2.30)
n(k+1)=An(k) n(k+1)=An(k)
Capí ulo 3
Local Onde
es á De e le -se
Pag. 34,
quin a
linha do
im
(2.29) (2.28)
Pag. 35,
exp essã
o (3.7)
2
()
() ()
()
lm
ll
ds k
ss
Js d ds k
+
Θ=Θ
++ +
Pag. 35,
exp essã
o (3.11)
32
32
1
lm
lm m
ddd
e
JJ J
d d
θθ
==
Pag. 35,
p imei a e
segunda
ml
eϑϑ
ml
eθθ
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
2/27
linhas
depois de
(3.11)
Pag. 35,
p imei a e
segunda
linhas
depois de
(3.12)
ml
eϑϑ
ml
eθθ
Pag 36,
exp essã
o (3.13)
0
T
u
ybu
=+




=+



xΑxb
cx
Pag 38,
exp essã
o (3.16)
x=Ax+B
Cx+D
u
yu




=



Pag.48,
2ª e 3ª
linha
De ine-se ul apassagem pe cen ual, pa a en adas em deg au,
como
%100×
−
= espos ada inal alo
espos ada inal alo espos adamáximo alo
Mp
Capí ulo 4
Local Onde es á De e le -se
Pag.69, Fig.4.6 (a)
1+
K
K 201+
K
K
Pag.70, p imei a linha,
secção 4.2.1 , po que . Uma ez que
Pag.71, Tí ulo da abela
4.1 E os, em es ado es acioná io, pa a um
sis ema ealimen ado es á el
Pag.71, abela 4.1, úl ima
linha Pa ábola Pa ábola uni á ia
Pag.73, Exemplo 4.1,
e cei a linha do exemplo 1(14)K−±−114
2
K−±−
Pag.75, sex a linha eais o polinômio eais, o polinômio
Capí ulo 5
Local Onde es á De e le -se
Pag. 114,
quin a linha 0,99 1,01
Pag. 115,
segunda linha
22
22
41
... 2 4
4( )
p
p
ω
ω
+=
+
22
222
41
... 4
4( )
p
p
ω
ω
+=
+
Pag. 115,
exp essão
(5.14)
KB B
K
Pag. 118,
quin a linha
depois de
5. j
eω−
an e g
Kapenas p o oca uma anslação da
cu a do módulo, segundo o eixo e ical, de
alo 10
20log .
B
KdB
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Ac ualizações e Adi amen os
Capí ulo 2
Ac ualização da secção 2.1.7
2.1.7 Ampli icado Ope acional
O ampli icado ope acional (amp op) é um disposi i o elec ónico de uso ge al, consis indo
essencialmen e num ge ado de ensão con olado po ensão, con o me ilus ado na Fig.
2.13(a).
+
__
+
_
+
+
_
p
n
o
Fig. 2.13(a)
Ci cui o equi alen e pa a o amp op.
Ro
A( p- n)+
-
Ri
in
ip
io
A esis ência de en ada, i
R, é mui o ele ada e a esis ência de saída, o
R, é mui o baixa,
com alo es ípicos
6
10>Ω
i
R e 100<Ω
o
R
Uma ez que na Fig.2.13(a) não es á ep esen ada a alimen ação do amp op, a lei de
Ki chho dos nós não se e i ica, pois a soma das co en es ip, in e io não se á nula em odos
os ins an es. Con udo essa lei já é álida se ep esen a mos o amp op, embo a de o ma
simpli icada, al como na Fig. 2.13(b).
- max
max
o(V)
p- n(mV)
Fig. 2.13(c)
Relação de ans e ência pa a o amp op em malha abe a.
decli e A
Nes e caso e emos
+-
npocc
i+i+i+i+i=0
O ganho de ensão A é uma unção não-linea com uma ca ac e ís ica do ipo sa u ação,
con o me indicado na Fig. 2.13(c).
Na zona linea o ganho é unção da equência embo a, na p á ica, se possa conside a
cons an e, com alo es supe io es a 4
10 , a é equências do o dem de 3
10 / ad s . De
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ealça que a gama de uncionamen o linea é mui o es ei a. Po exemplo se 10V<
o
e
4
10>A en ão a zona de uncionamen o linea ica eduzida a
3
10 1VmV
−
<=
pn
- . Se na Fig.2.13(c) i essemos adop ado a mesma escala em
ambos os eixos, a zona de uncionamen o linea não se ia pe cep í el e o g á ico se ia
cons i uído apenas po duas semi- ec as pa alelas ao eixo das abcissas, com uma
descon inuidade na o igem. Dado que a zona de uncionamen o linea é mui o es ei a, e da
mesma o dem de g andeza do uído p esen e na en ada do amp op, a sua u ilização em
malha abe a (open-loop) é inú il pois, na p á ica, o amp op en a ia imedia amen e em
sa u ação, compo ando-se como disposi i o com dois es ados de saída i.e. omax
=± .
A u ilidade do amp op eside na sua u ilização na zona de uncionamen o linea , o que só é
possí el eco endo à ealimen ação ( eedback) nega i a, como adian e se e á. Daí
esul a ão ci cui os linea es, cujas ca ac e ís icas se ão de e minadas pelos elemen os que
ealizam a ealimen ação ( esis ências, condensado es e bobines) desde que o amp op se
man enha na zona linea , e com ganho A mui o ele ado.
Na p á ica é usual u iliza -se uma ep esen ação simpli icada do amp op con o me indicado
na Fig.2.13(d).
No que se segue i emos usa um modelo de amp op ideal a im de nos acili a os cálculos. O
amp op ideal co esponde à Fig 2.13(a) com as seguin es ca ac e ís icas:
i) =∞
i
R,0=
o
R. A p imei a condição implica uma impedância de en ada in ini a e
po an o pn
i=i=0; a segunda implica uma impedância de saída nula o que pe mi e ao
disposi i o o nece a co en e o
i que o necessá ia no e minal de saída, sem al e a o
,
co en e essa que se á de e minada pelos elemen os ex e io es ao amp op.
ii) ≈∞
A
. O amp op ideal em um ganho ão ele ado quan o o necessá io, e esponde á
ins an âneamen e, pois
A
é independen e da equência.
iii) o
=0
quando pn
- =0. Daqui esul a que o amp op ideal não ap esen a “o -se ”.
Os ampli icado es ope acionais êm um papel mui o impo an e no desen ol imen o de
ci cui os pa a aplicações em con olo, alguns dos quais se ão analisados de seguida, com
base no modelo ideal.
A Fig.2.14 ep esen a uma das mon agens mais simples: o ampli icado in e so .
Como o ampli icado é ideal, emos a mesma co en e a a és de 1
R e de 2
R uma ez que
a co en e de en ada no e minal (-) do ampli icado ope acional é nula. Po ou o lado
pn
= =0. Consequen emen e
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A impedância de en ada do ci cui o é 1
Re a impedância de saída é ze o.
Como imos no Cap. 1, um sinal impo an e em qualque sis ema de con olo com
ealimen ação ( eedback) é o e o que consis e na di e ença en e o sinal de saída
p e endido e o sinal de saída p esen e. O ci cui o ep esen ado na Fig. 2.15 p oduz um sinal
que é p opo cional à di e ença das en adas como mos a a análise seguin e:
Como
2
R
o21
=(i-i)
e
1
R
21 21
- =(i-i)
en ão
=2
1
R
R
o21
( - )
Já i emos opo unidade de nos ape cebe mos da impo ância do in eg ado nos sis emas
dinâmicos. Um in eg ado pode se acilmen e implemen ado com um ampli icado
ope acional como mos a a Fig. 2.16.

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RC
+
-
o
i
i
n
p
i
Fig. 2.16 In eg ado
+-
c
Uma ez que a co en e de en ada do ampli icado é nula, podemos esc e e
=−C
R
io
d
d
ou de o ma equi alen e
1
=−∫
RC
oio
0
( ) ( ´)d ´+ (0) (2.15)
É ób io que o
não aumen a á inde inidamen e pois es á limi ado supe io men e pela ensão
de alimen ação do ampli icado .
O lei o já de e á e no ado que o componen e de ealimen ação ( eedback) es á semp e
ligado à en ada nega i a (-) do amp op. Como o ganho do amp op é mui o ele ado, a
ealimen ação a pa i do e minal de en ada (+) le a-lo-á imedia amen e pa a a sa u ação,
ou seja, pa a a zona de uncionamen o não linea . Algumas ezes es e e ei o é
delibe adamen e usado pa a implemen a ci cui os especiais, como po exemplo
compa ado es com his e ese (consul a : Manuel Medei os da Sil a, “In odução aos Ci cui os
Eléc icos e Elec ónicos”, Fundação Calous e Gulbenkian, 2001) .
Exe cício 2.9 De e mine a elação en e o
e i
e a impedância de en ada do ci cui o da
Fig.2.17.
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-
+
Fig. 2.17 Seguido de ensão
i
o
+
-
+
-
Exe cício 2.10 Em mo o es de co en e con ínua, de ímã pe manen e, o o que é
p opo cional à co en e do mo o m
i. Consequen emen e se p e ende mos con ola o o que
o na-se necessá io sabe como con ola a co en e no mo o , de o ma a assegu a o o que
desejado. Mos e que uma possí el mon agem pa a a ingi esse obje i o é o ci cui o ilus ado
na Fig.2.18, onde 
1
RR, =−R
id
i e d
i designa o alo p e endido pa a m
i.
Respos a: (1 )+≈
md d
i=i i
1
R
R.
Adi amen o p26 após exe cício 2.12
As cons an es g
K e T
K, u ilizadas nes e exemplo pa a elaciona g andezas elé icas
com g andezas mecânicas, são de ac o iguais, como a segui se demons a.
Vimos que a po ência eléc ica ans o mada em po ência mecânica é dada po
ga
EI , e que a po ência mecânica o necida pelo mo o é g
T
ω
.
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Igualando en ão es as duas po ências, e endo em con a que
gg
EKω=e gTa
TKI=,
ob emos
gT
KK=.
No Cap.11 i emos mos a que es a p op iedade é ca ac e ís ica de um disposi i o
designado po “gi ado ”.
O mo o de co en e con ínua ep esen ado na igu a 2.23 ambém pode unciona
como ge ado . De ac o, se desliga mos a alimen ação elé ica, man endo no a os
espec i os e minais, e ize mos oda o eio, com elocidade ω, cons a a-se o
apa ecimen o de uma ensão g
E nos e minais do mo o obedecendo à elação.
gg
EK
ω
=.
Como Ia=0, o mo o não ge a qualque biná io de oposição ao mo imen o; pa a
man e a o ação, apenas se á necessá io aplica um biná io pa a ence os a i os de
na u eza mecânica.
Se ago a liga mos uma impedância L
Zaos e minais do mo o , de o ma a pe mi i a
ci culação de uma co en e a
I, e i ica-se que es e passa á a opo -se ao mo imen o
a a és do biná io
gTa
TKI=,
e que a co en e se á de e minada pela elação
g
a
L
K
IZR
ω
=+
Conside emos ago a o caso 0
L
RZ==
( e minais em cu o-ci cui o e esis ência
in e na nula). A lei das malhas de Ki chho de e mina en ão 0
g
E=. Daqui deco e
0ω=. Nes a si uação o mo o unciona como um a ão, bloqueando o almen e a
o ação, qualque que seja o biná io aplicado ao eio.
Capí ulo 3
Pag 39, Secção 3.2-no o ex o
3.2 Função de T ans e ência e In eg al de Con olução
Os sis emas linea es, e in a ian es no empo (SLIT), são ca ac e izados pela sua espos a
impulsional. Po espos a impulsional, en ende-se a espos a empo al (), ω∈ , de um
sis ema, inicialmen e epouso, ao impulso uni á io de Di ac, () δ, aplicado no ins an e
0 =.
A espos a ()y de um SLIT a uma en ada ()u , se á en ão dada pela con olução en e
()u e () ω, ou seja
'''
() ( )( )y u d ω
+∞
−∞
=−
∫ (3.20A)
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Se es i e mos pe an e um sis ema causal, en ão () 0, 0 ω=<,e nesse caso a exp essão
an e io ica
'''
() ( )( )
y u d ω
−∞
=−
∫ (3.20B)
Apesa des as exp essões não se em mui o a aen es pa a cálculos à mão, es ão
pa icula men e alhadas pa a simula o sis ema num compu ado digi al; po ou o lado () ω
é ela i amen e simples de ob e expe imen almen e. Mé odos especialmen e concebidos
pa a a de e minação da espos a impulsional podem se encon ados em God ey (1980).
A Fig.3.2 é um exemplo de aplicação da exp essão (3.20B); a pa i dela podemos conclui
que:
-O sis ema é "causal" i.e. a espos a y, no ins an e , não depende de alo es u u os da
en ada u.
-O sis ema em “memó ia” po que a espos a, no ins an e , depende ambém de alo es da
en ada em ins an es dis in os do ins an e .
-O sis ema em um “ ac o de esquecimen o” pois a con ibuição dos alo es da en ada pa a
a espos a no ins an e , êm an o menos peso quan o mais “an igos” o em: da igu a é
pa en e que ''
(),
kk
u <,con ibui pa a a espos a no ins an e pesado pelo ac o
'
()
k
ω−; e, à medida que ecuamos no empo, es e peso ende pa a ze o ( e emos mais
adian e que is o acon ece pelo ac o do sis ema se es á el). De ac o se ap oxima mos
(3.20B) po
''
1
()();
n
kk
k
u n
ω
=
−∆∆=
∑ (3.21)
essa cons a ação é e iden e. Na Fig. 3.3 a espos a exac a é compa ada com uma
ap oximação ob ida ia (3.21), com 0, 2∆=.
Na p á ica, quando o sis ema é es á el, podemos conside a () 0 ω= pa a s
>, onde
s
é o empo de assen amen o. A sua de inição se á dada mais adian e.
Exe cício 3.5
a) Mos e o in eg al de con olução é um ope ado linea em ()u .
b) Compa e as espos as do sis ema da Fig.3.2 às en adas 11
2
() ( )u sen
T
π
=e
22
2
() ( )u sen
T
π
= assumindo que 12s
T T.
Suges ão: Se 2
T o mui o pequeno, a unção () ω se á quase cons an e du an e um
pe íodo de 2
u. En ão as á eas posi i as e nega i as limi adas po 2
u p a icamen e
cancela ão o e ei o de cada uma delas em (3.20), sendo o esul ado uma saída (sinusoidal)
com uma ampli ude mui o pequena. Po ou o lado, se o pe íodo de 1
u o mui o maio que o
empo de assen amen o, e emos o e ei o in e so, com a en ada 1
u a compo a -se como
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Fig 4.14A Luga es das aízes in e so e di e o pa a o sis ema do exe cício 4.5.
Pag 81- Exe cício 4.6-no o ex o:
Com espei o ao sis ema da Fig. 4.16 mos e que:
(a) Com K=0,5 ob emos um “amo ecimen o de um qua o de ampli ude” na espos a
impulsional.
(b) É possí el uma oscilação senoidal, m( )=A senπ /T, com K=1, =0 e A uma
cons an e.
Suges ão: no e que a es a eqüência um a aso de ase de 180° acon ece no elemen o
de e a do pu o.
Pag 88-secção 4.5.1-no o ex o:
4.5.1 Con ole P opo cional
Quando di
T0eT==∞ emos um con olado p opo cional; o seu e ei o no
compo amen o es acioná io e ansi ó io de um sis ema com e oacção oi já
discu ido nas secções 4.2 e 4.3. Basicamen e, mos ámos que es e modo de con ole
não consegue elimina o e o es acioná io, ou o se , quando se con olam p ocessos
do ipo 0 (ou au o- egulados); ambém oi mos ado que a magni ude do e o
es acioná io e a uma unção da ca ga (c . Fig. 4.6) e que es e e o podia se eduzido
po um aumen o do ganho; con udo, es e aumen o p o oca em ge al um aumen o do
empo de assen amen o e pode mesmo le a à ins abilidade, como se pode concluí
a a és da análise dos luga es das aízes.
Na p á ica exis em limi ações às ampli udes dos sinais de saída (m) e de en ada (e) do
con olado , ou seja
() e ()
22
ME
m e
≤≤
,

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17/27
pa a odos os alo es de , onde M e E designam a ex ensão do conjun o dos alo es
de m e de e.
Es a es ição implica imedia amen e que os modelos (linea es) usados a é ago a só
são álidos quando e e m es ão den o des es in e alos. Po ou o lado, um aumen o
do ganho K do con olado aca e a á a edução da ex ensão do in e alo onde e se
pode mo imen a pa a um uncionamen o linea . Que is o dize que pa a ganhos
ele ados o con olado pode passa a unciona como um elé. Daí que na p á ica se
u ilize uma medida de acção p opo cional que nos in o me a que dis ância nos
encon amos da sa u ação. Tal medida é designada po banda p opo cional
pe cen ual (BP) e é de inida como sendo a pe cen agem de a iação de e o que
p oduz uma a iação de 100% na saída m do con olado .
Com espei o à Fig. 4.25 podemos po an o de ini um ganho adimensional, Ka, do
seguin e modo:
100%
KaBP
= (4.27A)
Qual se á en ão a elação en e Kae K (g andeza dimensional) da exp essão (4.27)?
Como
a iaçãodoe o
pe cen agem de a iaçãodoe o
BP= 100% 100%
a iaçãoda saída do con olado
pe cen agemde a iaçãoda saída docon olado
E
M
×= ×
1
K
= 100%
M
E
××
Po an o
a
K= K
M
E. (4.27B)
Embo a possamos e Bandas P opo cionais supe io es a 100%, é ob io que as
a iações do e o não pode ão excede a ex ensão, E, do seu in e alo de a iação. Po
exemplo BP=170% signi ica que uma a iação de 100% no e o p oduzi á apenas
uma a iação de 100 100% 58,83%
170 ×= no ac uado , como se pode e i ica na Fig.
4.25.
Ce amen e que o lei o já se ape cebeu que na p á ica e=0 não signi ica
necessa iamen e o anulamen o da a iá el manipulada (en ada do p ocesso). Se al
osse o caso, e omando como exemplo um sis ema de con olo de empe a u a com
con olo p opo cional, e íamos que o o necimen o de calo à plan a se ia
in e ompido semp e que a empe a u a do p ocesso igualasse o sinal de e e ência.
Na p á ica o sinal o necido à plan a é
() () K()
cs s
m m m m e =+ =+ (4.27C)
onde ms designa um alo cons an e, ajus á el manualmen e, de o ma a anula o e o
pa a uma dada e e ência (cons an e), e
m( )=Ke( )
A saída do con olado não se á en ão uma unção linea do e o mas sim uma unção
a im ou linea po inc emen os. O modelo linea (4.27) ep esen a á po an o os
des ios, m( ), ela i amen e à si uação de equilíb io. Na u almen e que o mesmo
aciocínio se aplica ao modelo do p ocesso a con ola ( e Fig.4.28) onde m’( ) e e( )
ep esen am os des ios ela i amen e à si uação de egime pe manen e induzida po
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
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ms. Se assim não acon ecesse W(s) nunca pode ia se um modelo linea ,
nomeadamen e uma unção de ans e ência. Finalmen e é supos o que o ac uado oi
escolhido de al modo que ms co esponde a 50% da ex ensão do seu conjun o de
alo es. Po exemplo se o ac uado o uma ál ula es amos a admi i que quando e=0
a ál ula es a á 50% abe a.
Exemplo 4.3A
P e ende-se egula a empe a u a de um p ocesso em edo de 70 C
Dcom um
con olado p opo cional. A sonda de empe a u a escolhida es á p epa ada pa a
o nece empe a u as no in e alo
[]
50 ,90CC
DD
. Logo
90 50 40ECCC=−=
DD D
.
A saída do con olado , mc( ), é um sinal en e 4mA e 20mA. O sis ema de con olo
oi calib ado de modo a que quando 12
cs
mm mA== a empe a u a do p ocesso
seja de 70 C
D. Se o escolhida uma Banda P opo cional de 75% podemos concluí
que o con olado en a á em sa u ação quando ()e , na exp essão (4.27C), excede
75% de 20 C
Dou seja 15 C
D.
Pa a BP=75% e emos que o ganho adimensional se á
a
100%
K= 1,33
75% =.
Pa a o ganho dimensional e emos
a
16 100
K= K 0,533 /
40 75
MmA mA C
EC
=×= D
D.
Capí ulo 5
Pag 112-adi amen o an es do úl imo pa ag a o.
A mesma conclusão pode se ob ida, e de o ma mais elegan e, eco endo ao in eg al de
con olução. Seja en ão um SLIT causal, es á el, com espos a impulsional ()g e en ada
,,
s
es ∈∈^ . A sua espos a é
''
()'' ''
() () () () ,
s s s s
y e g d e e g d Hse
−−
−∞ −∞
== =∈
∫∫ .
A unção de ans e ência ()Hs exis e pois o sis ema é es á el, po hipó ese. No a que
nes e caso, e con a iamen e ao que sucedia no caso acima, não emos e mos ansi ó ios
pois a a en ada não começa em 0 =mas em =−∞.
Se ize mos ago a sjω= e emos
() ( ())
() ( ) ( )
( ) (cos( ( )) ( ( )))
jGj j j Gj
y Gj e e Gj e
Gj Gj jsen Gj
ωω ω ω
ωω
ωω ω ω ω
∠+∠
== =
=+∠++∠
Como es amos pe an e um sis ema eal, no sen ido que en adas eais p oduzem saídas
eais, podemos en ão conclui que as en adas cos( ) ω e ()sen ω, ∈ , p oduzem,
espec i amen e, as saídas
()cos( ())Gj Gjωω ω+∠ e () ( ())Gj sen Gjωω ω+∠.
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
19/27
Es e conclusão es á de aco do a exp essão (5.9), que oi ob ida pa a o caso pa icula de
uma unção de ans e ência acional ()Gs , a a és da decomposição em acções simples.
cap5, pag 115, e o mulação do 2º e 3º pa ág a os
Na Fig. 5.3 podemos e a posição de j()G pa a p=1 e p=10 e elando que, pa a uma
dada equência no in e alo de (0, )∞, o ganho aumen a com p c escen e. Is o não
su p eende uma ez que, quan o maio p, mais ápido o sis ema. Também e ela
que o ganho dec esce mono onamen e com o aumen o da equência.
Es a conclusão ambém é imedia a se esc e emos jω
()Gna o ma equi alen e
1
1+ jω,
com ω
ω=p. Comoω(0, )∈∞
es a úl ima exp essão e ela que o açado pola pa a
jω
()Gse á independen e de p. No ocan e à pa ame ização des e, em unção da
equência, se ixa mos um pon o sob e o açado (ω ixo) emos que ele
co esponde á a uma equência an o maio quan o maio p, ou seja, a la gu a de
banda de ()Gjωaumen a á com o aumen o de p.
A si uação pa a sis emas de segunda o dem com unção de ans e ência
2
2
() () 2 ()1
n
n
w
Gj
j
j
ωωζωω
=++
(5.11)
es á ilus ada na Fig.5.4, pa a n
ω=1 e
{}
2, 1, 0, 7, 0, 4, 0, 1, 0, 005ζ∈.
Ao con á io do caso an e io , emos ago a si uações onde a e olução do ganho não é
monó ona dec escen e. De a o, pode se demons ado que jω()Gsó é monó ona
dec escen e pa a 20,707
2
ζ≥=. Pa a 2
2
ζ< e i ica-se que jω()Gap esen a
um máximo à equência 2
12
n
ωω ζ=−. Daí a designação de “ equência de
essonância” pa a
ω. Não con undi
ω com 2
1
dn
ωω ζ=−. Como se iu na
secção 3.3.2, d
ω±é a pa e imaginá ia dos pólos de (5.11) quando 1ζ<.
À semelhança do que acon eceu com os açados do sis ema de p imei a o dem, que
e am independen es do pa âme o p, ambém aqui podemos conclui que a o ma do
açado pola é independen e de n
ω. Pa a al bas a eesc e e jω()G, de inido em
(5.11), na o ma
2
1
() 2 1
j
jωζω++
com.
n
ω
ω=ω
De ealça que
pa a osis ema dep imei a o dem
jω
pa a osis ema desegunda o dem
2
()
lim
G
π
π
→∞
−




∠=
−



Exemplo 5.1, pag 126
Seja a unção de ans e ência
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
20/27
2
16( 1) 16( 1)
0, 8 3, 92 1, 6 16
ss
sj
ss
++
=
+± ++
onde
3, 92pz pz−=−=
e
.4/ =zp
A espos a nas equências em um máximo igual a 20,1 dB em 4,12 /
ad sω=,
Po ou o lado
40( 10)
8 400
s
ss
+
++
exibe uma essonância de 14,8dB em 20,5 /
ad sω=,
com
20,49.pz pz−=−=e 1
/.
2
pz=
Cons a amos assim que a essonância não oi di ada pela dis ância pólo-ze o mas sim pelo
módulo quocien e des es.
Pag 130 e pag 131 a é ao exemplo 5.2-No o ex o.
Analisemos mais de alhadamen e a pa e (a) des a igu a onde
Γ
ab aça apenas um
pólo, ou seja Z=0 e R=1.Quando '
ses á em 1
P emos
π
α
−
=
. À medida que '
sse
desloca ao longo de Γ, no sen ido indicado, e i icamos que
α
é igual a
π
π
π
,
2
,0,
2
− quando '
ses á em 432 ,, PPP e 1
P, espec i amen e. Conseqüen emen e N
= -1.
Uma ez que Z=0 e R=1, con i mamos nes e exemplo o p incípio acima mencionado.
Uma análise semelhan e é aplicá el aos casos (b) e (c).
A u ilidade des e esul ado é e iden e com espei o ao ao sis ema com e oação
ep esen ado na Fig. 5.16.
Seja en ão G(s)H(s) uma unção acional p óp ia, sem pólos no eixo imaginá io.
Se Γdesigna ago a o caminho ep esen ado na Fig. 5.18, com su icien emen e
g ande de o ma a engloba odos os pólos e odos os ze os da unção
F(s)=1+G(s)H(s) no semi-plano di ei o (SPD), en ão o núme o de ze os de F(s) no
in e io do SPD (pólos ins á eis do sis ema ealimen ado) é igual ao núme o de pólos
de (1+G(s)H(s))no in e io do SPD mais o núme o de en ol imen os da o igem, no
sen ido dos pon ei os do elógio, da imagem de
Γ
po F(s).
Se a imagem de Γpo 1+G(s)H(s) passa pela o igem o sis ema ealimen ado e á
en ão pólos no eixo imaginá io, e se á ins á el.
Dado que ge almen e não conhecemos um majo an e pa a os pólos e ze os de
1+G(s)H(s), o semi-cí culo de aio de e engloba odo o SPD, is o é, emos de
calcula o limi e da imagem des e caminho quando
∞
→
.
Se G(s)H(s) o es i amen e p óp ia, en ão a imagem da semi-ci cun e ência de aio
in ini o se á a o igem do plano complexo. Se G(s)H(s) o uma unção bi-p óp ia es a
imagem se á en ão uma cons an e ini a (c . exe cício 3.1).
Consequen emen e a imagem do caminho na Fig. 5.18, quando
∞
=
, pode se
calculada sem o conhecimen o da exp essão analí ica de G(s)H(s), bas ando apenas
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
21/27
conhece es a unção no eixo imaginá io, ou seja pa a ,(,)sjωω=∈−∞∞. Con udo
as simpli icações ainda não icam po aqui. Como G(s)H(s) é um quocien e de
polinómios de co icien es eais, en ão )()()()( sHsGsHsG =, onde
s
designa o
conjugado de
s
, e po an o apenas se á necessá io calcula a imagem da pa e posi i a
do eixo imaginá io.
Po uma ques ão de o dem p á ica ep esen a emos apenas )()(
ω
ω
jHjG em luga de
)()(1
ω
ω
jHjG+. Uma ez que a p imei a esul a da segunda po uma anslação
pa a a esque da, de uma unidade, pa alelamen e ao eixo eal, o núme o de ol as de
)()(
ω
ω
jHjG e de )()(1
ω
ω
jHjG+em edo dos pon os -1+j0 e 0+j0,
espec i amen e, se á o mesmo.
Es amos ago a em condições de enuncia o C i é io de Es abilidade de Nyquis pa a o
sis ema da Fig. 5.16.
C i é io de Es abilidade de Nyquis :
Z=N+R,
onde )()( sHsG é uma unção de ans e ência es i amen e p óp ia sem pólos no eixo
imaginá io,
N=Núme o de ol as de )()(
ω
ω
jHjG , ),(
∞
−
∞
∈
ω
, em edo do pon o -1+j0,
con adas posi i amen e no sen ido dos pon ei os do elógio.
R=Núme o de pólos de )()( sHsG no in e io do SPD.
Z=Núme o de ze os de )()(1 sHsG+no in e io do SPD.
En ão o sis ema ealimen ado se á ins á el se Z>0, onde Z=N+R.
Conseqüen emen e, se )()( sHsG o uma unção de ans e ência es á el (R=0), o
sis ema ealimen ado ambém se á es á el (Z=0) se e só se a cu a
)()(
ω
ω
jHjG ,),( ∞−∞∈
ω
, não odea o pon o -1+j0.
Quando )()( sHsG i e R pólos no in e io do SPD, a cu a )()(
ω
ω
jHjG de e
odea o pon o (-1+j0) R ezes, no sen ido con á io ao do mo imen o dos pon ei os
do elógio, pa a assegu a a es abilidade do sis ema ealimen ado. Quando
)()(
ω
ω
jHjG passa pelo pon o -1+j0 o sis ema ealimen ado se á ins á el pois nesse
caso e á pólos no eixo imaginá io.
Pode demons a -se que o c i é io de es abilidade de Nyquis con inua álido quando
)()( sHsG con i e a asos pu os de anspo e, ou seja
Ts
e
sD
sN
sHsG −
=)(
)(
)()(,
onde )(sN e )(sD são polinómios na a iá el s.
Res a ago a conside a o caso em que )()(1 sHsG
+
em pólos no eixo imaginá io.
Nes a si uação o caminho Γ, ep esen ado na Fig. 5.18, iola os nossos p essupos os.
Quando )()(1 sHsG+ em pólos no eixo imaginá io o na-se necessá io, a im de
p ossegui mos a nossa análise, modi ica o caminho
Γ
de modo a e i a esses pon os
singula es. Uma abo dagem possí el se á “des ia ” o caminho pa a o in e io do SPD,
a a és de semi-ci cun e ências cen adas nesses pon os, com um aio
ε
,0>
ε
,
calculando-se depois o limi e da imagem des e caminho quando 0→
ε
. Des e modo
odos os ze os e pólos de )()(1 sHsG+ no in e io do SPD acaba ão po se
englobados no in e io de Γ, po mui o pequenos que sejam. Com es a modi icação
do caminho de Nyquis , Γ,o c i é io de es abilidade acima enunciado con inua álido

J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
22/27
pa a o caso em que () ()GsHs possui pólos no eixo imaginá io. Os exemplos que se
seguem ajudam a cla i ica es a abo dagem.
Exemplo 5.1A
Seja 2
1
() () 1
GsHs s
=+. Nes e caso )()(1 sHsG
+
em um pa de ze os no eixo
imaginá io, mais p ecisamen e nos pon os 2
j
±. O sis ema ealimen ado é pois
ins á el.
Pag 136-Secção 5.2.1 -No o ex o
5.2.1 Es abilidade Rela i a
Na p á ica não es amos só in e essados em sabe se o sis ema é es á el mas ambém
a que dis ância se encon a da ins abilidade. Dado que a dis ância da cu a G(jω)H(jω) ao
pon o (-1+j0) é o módulo do denominado da unção de ans e ência (sinusoidal) em malha
echada R
Y i.e.
)()(1
ωω
jHjG+,
podemos dize que quan o mais G(jω)H(jω) se ap oxima de (-1+j0), mais oscila ó ia se á a
espos a do sis ema ealimen ado. Es a p oximidade é no malmen e "medida" em e mos de
ma gem de ase e de ma gem de ganho.
Comecemos en ão po analisa o caso em que G(s)H(s) é uma unção de ans e ência
acional p óp ia, sem pólos no in e io do SPD.
A Ma gem de Ganho (MG) indica en ão de quan o o ganho de e á se aumen ado pa a
le a o sis ema à ins abilidade, i.e. pa a le a o ganho de malha abe a ao alo um quando a
ase é de 
180−.
A Ma gem de Fase (MF) é o ângulo
)()(180 cc jHjG
ωω
∠+

onde ωc, a equência de a essia, é o alo de ω co esponden e à in e secção do açado
G(jω)H(jω) com o cí culo uni á io cen ado na o igem. As igu as 5.24 e 5.25 mos am como
es as ma gens podem se de e minadas a pa i dos açados pola es e dos açados de
Bode. Os úl imos são pa icula men e ap op iados pa a de e mina es as g andezas uma ez
que a escala loga i mica con e e mul iplicações de ganhos em adições, e em pa icula
1/MG dB = -MG dB. Consequen emen e um sis ema ealimen ado nas condições acima
e e idas se á es á el se i e uma ma gem de ganho, em decibeis, posi i a.
A es abilidade ambém eque uma ma gem de ase posi i a; com espei o à Fig.5.24, se
mul iplica mos o açado G(jω)H(jω) po uma cons an e posi i a K, de al o ma que o pon o
(-1+j0) ique odeado po es e, o sis ema ealimen ado se á ins á el e o ângulo
)()(180 cc jHjG
ωω
∠+

se á en ão nega i o.
Quando o módulo e a ase de G(jω)H(jω) diminuem mono onamen e, com ω c escen e,
como se mos a na Fig.5.24, as noções de Ma gem de Ganho e Ma gem de Fase es ão
cla amen e de inidas, e podem se usadas como medidas de es abilidade. Es a é a si uação
na maio ia dos casos. Con udo exis em excepções. Dois desses casos se ão analisados a
segui , a sabe :
o caso de á ios c uzamen os com o eixo eal nega i o;
e
o caso de mais do que um c uzamen o com o cí culo uni á io cen ado na o igem do plano
complexo.
Em ambas as si uações con inua emos a conside a G(s)H(s) uma unção de ans e ência
sem pólos no SPD.
Analisemos en ão o p imei o caso. A Fig.5.27 mos a a ep esen ação pola de uma
unção de ans e ência em anel abe o sem pólos no SPD.
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
23/27
Se P1=-1+j0 e i icamos que o sis ema ealimen ado é es á el; se P2=-1+j0 o sis ema
ealimen ado se á ins á el. Aqui o concei o de ma gem de ganho e e i -se-á ao meno alo
de ganho que le a o sis ema ealimen ado à ins abilidade. Ou seja, e emos de pa i da
si uação em que o pon o –1+j0 é semp e is o à nossa esque da quando caminhamos ao
longo do açado pola , no sen ido c escen e da equência. O mesmo se aplica pa a o
cálculo da ma gem de ase. Em e mos de LGR, es a si uação co esponde á à in e secção,
pela p imei a ez, de amos do LGR com o eixo imaginá io.
Passemos ago a à análise do segundo caso. Quando exis e mais do que uma in e secção
com a ci cun e ência uni á ia cen ada na o igem, é possí el ob e ambém uma de inição
pa a a ma gem de ase elacionando-a com o a aso pu o máximo de anspo e que o
sis ema pode supo a sem pe de es abilidade. Conside emos po exemplo
)160)((100(
)16007.0(1000
)()(
2
++
++
=sss
ss
sHsG
Os espec i os açados de Bode e pola es ão ep esen ados nas Figu as 5.28 e 5.29.
Uma ez que exis em ês alo es de equência, nomeadamen e 32.33 ad/s, 50.47 ad/s e
979.4 ad/s pa a os quais 1)()(( =
ωω
jHjG , emos como alo es candida os pa a a ma gem
de ase  58,223,63 e
07,105 espec i amen e. A es as equências, os alo es de T ais
que T
ω
iguala as ma gens de ase candida as são, espec i amen e, 0,034s, 0,077s e
0,001873s.
Po an o, o a aso de anspo e pu o que o sis ema pode supo a sem pe de es abilidade
de e se meno do que 0,001873s. Na Fig.5.30 podemos e o açado pola pa a
)001873,0(
)()(
ω
ωω
j
ejHjG −
com )()(
ω
ω
jHjG al como na Fig.5.29: o sis ema ealimen ado icou ins á el, como e a de
espe a . Consequen emen e a ma gem de ase é de 
07,105 .
Conside emos ago a o caso de sis emas ealimen ados nega i amen e, com unções de
ans e ência em malha abe a, acionais e es i amen e p óp ias mas com R pólos, R>0, no
in e io do SPD. Nes es casos o sis ema ealimen ado se á es á el se o núme o de
en ol imen os do pon o –1+j0 o (-R), ou seja no sen ido con á io ao do mo imen o dos
pon ei os do elógio.
Uma al si uação es á ep esen ada na Fig.5.26(a) co esponden e a R=1: apesa de es a
ep esen ada apenas a imagem do eixo imaginá io posi i o, é ácil de e que a imagem da
o alidade do eixo imaginá io con o na o pon o (-1+j0) uma ez, no sen ido con á io ao do
mo imen o dos pon ei os do elógio. Po an o N = -1. Dado que, po hipó ese, emos um pólo
no in e io do semi-plano di ei o, R=1. Consequen emen e Z = 0, i.e. o sis ema em malha
echada não em pólos no in e io do semi-plano di ei o. Também podemos conclui que o
sis ema ealimen ado não e á pólos no eixo imaginá io pois o açado pola não passa pelo
pon o –1+j0. Logo o sis ema ealimen ado é es á el.
No en an o a ma gem de ganho não es á de inida pois o sis ema ealimen ado é ins á el
pa a alo es de ganho abaixo de um dado alo .
Exe cício 5.10: Esboce o LGR di ec o pa a o sis ema ealimen ado nega i amen e
cuja unção de ans e ência, em anel abe o, é
)1)(2.0(
1
−+
+
ss
s.
Pag144-Secção 5.2.3-Funções de ans e ência de ase não mínima-No o ex o
Uma unção de ans e ência G(s) diz-se de ase não-mínima quando possui ze os no
in e io do semi-plano di ei o (SPD) ou um ac o da o ma exp(-Ts) i.e. um a aso
pu o de anspo e de T unidades de empo.
No que se segue i emos conside a apenas unções de ans e ência G(s) ais que
G(0)>0. Es a no malização é necessá ia a im de e i a di e enças de
π
adianos
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
24/27
aquando da compa ação de ases de unções de ans e ência com o mesmo módulo
como acon ece, po exemplo, com
1
1
+
s
e 1
1
+
−
s
.
Aquando do es udo dos açados de Bode pudemos cons a a que o módulo de uma
unção de ans e ência, com um ze o em 0
z, se man ém se o ze o o al e ado pa a
0
z−. A si uação é con udo di e en e no que espei a à ase. Po exemplo as unções de
ans e ência
2.0
1
)(
1+
=
s
sG
e
)2.0)(1(
1
)(
2++
−
=ss
s
sG
ap esen am idên icos açados de Bode pa a o módulo. Con udo a ase de )(
2
ω
jG é
“mais nega i a” que a ase de )(
1
ω
jG .Daí a designação de “ ase não-mínima”pa a
)(
2sG .
Es a si uação é causada pelo ze o de )(
2sG no SPD que ai con ibui com uma ase
nega i a, ao con á io do que acon ece ia se es i esse no semi-plano esque do (SPE).
Des e modo o açado de Bode, pa a a ase, de )(
2
ω
jG se á idên ico ao da unção
)2.0()1(
1
)( 2
3++
=ss
sG .
Em e mos de açado de Nyquis es a si uação co esponde a ap oxima o açado
pola do pon o -1+j0. Como esul ado des e p ocesso o con olo de )(
2sG ica á mais
di ícil de ido à edução na ma gem de ase.
Es á si uação es á pa en e na espos a ao deg au da unção de ans e ência )(
2sG
ilus ada na Fig. 5.36: A “ espos a in e sa” nos ins an es imedia amen e a segui à
aplicação do deg au e ela que os “ganhos” às al as equências êm sinal opos o aos
das baixas equências. Assim sendo um con olado pa a es a plan a, mesmo que
ap esen e um bom desempenho no a amen o de sinais len os, e á de “ e ea ” a sua
acção às al as equências a im de não des abiliza o sis ema ealimen ado; ou seja
nes e caso emos uma limi ação es u u al que nos impede de de e uma la gu a de
banda supe io a um dado alo , alo esse dependen e do ze o no SPD. Em ge al as
plan as com unções de ans e ência cujos in e sos são ins á eis são semp e mais
di íceis de con ola .
Nes a al u a o lei o es a á ce amen e a in e oga -se das azões pelas quais se
incluem nes a classe as unções de ans e ência que possuem um a o da o ma exp(-
Ts). A azão assen a no ac o de se possí el ap oxima es e a o , com uma p ecisão
ão g ande quan o se quei a, po uma unção de ans e ência acional bip óp ia e
es á el, com odos os ze os no SPD (c . ap oximan es de Padé na secção 6.5).
Capí ulo 6
pag 156-Exe cício 6 4 - espos a à alínea c)
J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico”
25/27
(c) Temos que
1
1
1
1
)(
)(
2211 +
×
+
≠sCRsCRsE
sE
i
o,
de ido ao e ei o de ca ga de 2
R e de 2
C nos e minais de 1
C. Con udo se a ensão nos
e minais de 1
C osse aplicada à en ada de um ampli icado isolado ideal, com
ganho uni á io, que po sua ez en ega ia a ensão à sé ie de 2
Rcom 2
C, en ão
e íamos
1
1
1
1
)(
)(
2211 +
×
+
=sCRsCRsE
sE
i
o
Pag 194-no o ex o pa a o penúl imo pa ág a o ( “Pode se demons ado...eixo
imaginá io”).
No caso ge al, um ap oximan e de Padé de uma unção (s),
0
() i
i
i
s as
∞
=
=∑,
é uma unção acional
,
()
()
m
mn
n
Ns
PDs
=
onde ()
m
Ns e ()
n
Dssão polinómios de g aus m e n, espec i amen e, ais que
,
01
mn
ii
mn i i
iimn
Pas bs
+∞
==++
=+
∑∑
.
Ou seja, os coe icien es da di isão ascenden e de ()
m
Ns po ()
n
Ds coincidem com
os coe icien es do desen ol imen o em sé ie de Taylo de (s) a é à o dem (m+n).
No caso de
() s
s e=
Demons a-se ( e R.W. Daniels, “App oxima ion Me hods o Elec onic Fil e
Design”, McG aw-Hill) que:
2
( 1) ( 1)...2.1
( ) 1 ...
1! ( )( 1) 2! ( )(...( 1) !
m
m
mm mm
ms s s
Ns nm nmnm nm n m
−−
=+ + + +
+++−++
2
( 1) ( 1) ( 1)...2.1
() 1 ...
1! ( )( 1) 2! ( )(...( 1) !
nn
n
nn mm
ns s s
Ds nm nmnm nm m n
−−−
=−+++
+++−++
Pa a n=m, como é o caso dos exemplos acima, emos
() ( )
nn
Ns D s=−.
Es a p op iedade assegu a um ganho uni á io a odas as equências, uma ez que os
ze os são simé icos dos pólos com espei o ao eixo imaginá io do plano complexo.
Pag 196-Exe cício 6.18-no o ex o:
Exe cício 6.18
(a) Mos e que na Fig. 6.54(b):