Sistemas de controle automático

J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 1/27 “Sis emas de Con ole Au omá ico” J. L. Ma ins de Ca alho, LTC Edi o a, Rio de Janei o, ISBN 85-216-1210-9 E a a Capí ulo 2 Local Onde es á De e le -se Pag. 12, segunda linha an es do exe cício 2.1 V/Rc V/RC Pag. 25, e cei a e qua a linhas es a o o o Pag.28, exp essão (2.27) F F Pag. 28, qua a e sex a linhas depois do exe cício 2.14 es a o o o Pag. 29, exp essão (2.28) ()() ()()0 mm mm ml ml m ll ll l m l m Jdd k ku Jdd k θ θ θθ θθ θ θ θθ θθ ++−+−=Γ=     ++−+−=            Pag. 29, exp essão seguin e a (2.28) ()() ml lmm lmm JJ dd θθ θθ =      +++=Γ     Pag. 30, exp essão (2.30) n(k+1)=An(k) n(k+1)=An(k) Capí ulo 3 Local Onde es á De e le -se Pag. 34, quin a linha do im (2.29) (2.28) Pag. 35, exp essã o (3.7) 2 () () () () lm ll ds k ss Js d ds k + Θ=Θ ++ + Pag. 35, exp essã o (3.11) 32 32 1 lm lm m ddd e JJ J d d θθ == Pag. 35, p imei a e segunda ml eϑϑ ml eθθ J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 2/27 linhas depois de (3.11) Pag. 35, p imei a e segunda linhas depois de (3.12) ml eϑϑ ml eθθ Pag 36, exp essã o (3.13) 0 T u ybu =+     =+    xΑxb cx Pag 38, exp essã o (3.16) x=Ax+B Cx+D u yu     =    Pag.48, 2ª e 3ª linha De ine-se ul apassagem pe cen ual, pa a en adas em deg au, como %100× − = espos ada inal alo espos ada inal alo espos adamáximo alo Mp Capí ulo 4 Local Onde es á De e le -se Pag.69, Fig.4.6 (a) 1+ K K 201+ K K Pag.70, p imei a linha, secção 4.2.1 , po que . Uma ez que Pag.71, Tí ulo da abela 4.1 E os, em es ado es acioná io, pa a um sis ema ealimen ado es á el Pag.71, abela 4.1, úl ima linha Pa ábola Pa ábola uni á ia Pag.73, Exemplo 4.1, e cei a linha do exemplo 1(14)K−±−114 2 K−±− Pag.75, sex a linha eais o polinômio eais, o polinômio Capí ulo 5 Local Onde es á De e le -se Pag. 114, quin a linha 0,99 1,01 Pag. 115, segunda linha 22 22 41 ... 2 4 4( ) p p ω ω += + 22 222 41 ... 4 4( ) p p ω ω += + Pag. 115, exp essão (5.14) KB B K Pag. 118, quin a linha depois de 5. j eω− an e g Kapenas p o oca uma anslação da cu a do módulo, segundo o eixo e ical, de alo 10 20log . B KdB J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 3/27 Ac ualizações e Adi amen os Capí ulo 2 Ac ualização da secção 2.1.7 2.1.7 Ampli icado Ope acional O ampli icado ope acional (amp op) é um disposi i o elec ónico de uso ge al, consis indo essencialmen e num ge ado de ensão con olado po ensão, con o me ilus ado na Fig. 2.13(a). + __ + _ + + _ p n o Fig. 2.13(a) Ci cui o equi alen e pa a o amp op. Ro A( p- n)+ - Ri in ip io A esis ência de en ada, i R, é mui o ele ada e a esis ência de saída, o R, é mui o baixa, com alo es ípicos 6 10>Ω i R e 100<Ω o R Uma ez que na Fig.2.13(a) não es á ep esen ada a alimen ação do amp op, a lei de Ki chho dos nós não se e i ica, pois a soma das co en es ip, in e io não se á nula em odos os ins an es. Con udo essa lei já é álida se ep esen a mos o amp op, embo a de o ma simpli icada, al como na Fig. 2.13(b). - max max o(V) p- n(mV) Fig. 2.13(c) Relação de ans e ência pa a o amp op em malha abe a. decli e A Nes e caso e emos +- npocc i+i+i+i+i=0 O ganho de ensão A é uma unção não-linea com uma ca ac e ís ica do ipo sa u ação, con o me indicado na Fig. 2.13(c). Na zona linea o ganho é unção da equência embo a, na p á ica, se possa conside a cons an e, com alo es supe io es a 4 10 , a é equências do o dem de 3 10 / ad s . De J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 4/27 ealça que a gama de uncionamen o linea é mui o es ei a. Po exemplo se 10V< o e 4 10>A en ão a zona de uncionamen o linea ica eduzida a 3 10 1VmV − <= pn - . Se na Fig.2.13(c) i essemos adop ado a mesma escala em ambos os eixos, a zona de uncionamen o linea não se ia pe cep í el e o g á ico se ia cons i uído apenas po duas semi- ec as pa alelas ao eixo das abcissas, com uma descon inuidade na o igem. Dado que a zona de uncionamen o linea é mui o es ei a, e da mesma o dem de g andeza do uído p esen e na en ada do amp op, a sua u ilização em malha abe a (open-loop) é inú il pois, na p á ica, o amp op en a ia imedia amen e em sa u ação, compo ando-se como disposi i o com dois es ados de saída i.e. omax =± . A u ilidade do amp op eside na sua u ilização na zona de uncionamen o linea , o que só é possí el eco endo à ealimen ação ( eedback) nega i a, como adian e se e á. Daí esul a ão ci cui os linea es, cujas ca ac e ís icas se ão de e minadas pelos elemen os que ealizam a ealimen ação ( esis ências, condensado es e bobines) desde que o amp op se man enha na zona linea , e com ganho A mui o ele ado. Na p á ica é usual u iliza -se uma ep esen ação simpli icada do amp op con o me indicado na Fig.2.13(d). No que se segue i emos usa um modelo de amp op ideal a im de nos acili a os cálculos. O amp op ideal co esponde à Fig 2.13(a) com as seguin es ca ac e ís icas: i) =∞ i R,0= o R. A p imei a condição implica uma impedância de en ada in ini a e po an o pn i=i=0; a segunda implica uma impedância de saída nula o que pe mi e ao disposi i o o nece a co en e o i que o necessá ia no e minal de saída, sem al e a o , co en e essa que se á de e minada pelos elemen os ex e io es ao amp op. ii) ≈∞ A . O amp op ideal em um ganho ão ele ado quan o o necessá io, e esponde á ins an âneamen e, pois A é independen e da equência. iii) o =0 quando pn - =0. Daqui esul a que o amp op ideal não ap esen a “o -se ”. Os ampli icado es ope acionais êm um papel mui o impo an e no desen ol imen o de ci cui os pa a aplicações em con olo, alguns dos quais se ão analisados de seguida, com base no modelo ideal. A Fig.2.14 ep esen a uma das mon agens mais simples: o ampli icado in e so . Como o ampli icado é ideal, emos a mesma co en e a a és de 1 R e de 2 R uma ez que a co en e de en ada no e minal (-) do ampli icado ope acional é nula. Po ou o lado pn = =0. Consequen emen e J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 5/27 A impedância de en ada do ci cui o é 1 Re a impedância de saída é ze o. Como imos no Cap. 1, um sinal impo an e em qualque sis ema de con olo com ealimen ação ( eedback) é o e o que consis e na di e ença en e o sinal de saída p e endido e o sinal de saída p esen e. O ci cui o ep esen ado na Fig. 2.15 p oduz um sinal que é p opo cional à di e ença das en adas como mos a a análise seguin e: Como 2 R o21 =(i-i) e 1 R 21 21 - =(i-i) en ão =2 1 R R o21 ( - ) Já i emos opo unidade de nos ape cebe mos da impo ância do in eg ado nos sis emas dinâmicos. Um in eg ado pode se acilmen e implemen ado com um ampli icado ope acional como mos a a Fig. 2.16. J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 6/27 RC + - o i i n p i Fig. 2.16 In eg ado +- c Uma ez que a co en e de en ada do ampli icado é nula, podemos esc e e =−C R io d d ou de o ma equi alen e 1 =−∫ RC oio 0 ( ) ( ´)d ´+ (0) (2.15) É ób io que o não aumen a á inde inidamen e pois es á limi ado supe io men e pela ensão de alimen ação do ampli icado . O lei o já de e á e no ado que o componen e de ealimen ação ( eedback) es á semp e ligado à en ada nega i a (-) do amp op. Como o ganho do amp op é mui o ele ado, a ealimen ação a pa i do e minal de en ada (+) le a-lo-á imedia amen e pa a a sa u ação, ou seja, pa a a zona de uncionamen o não linea . Algumas ezes es e e ei o é delibe adamen e usado pa a implemen a ci cui os especiais, como po exemplo compa ado es com his e ese (consul a : Manuel Medei os da Sil a, “In odução aos Ci cui os Eléc icos e Elec ónicos”, Fundação Calous e Gulbenkian, 2001) . Exe cício 2.9 De e mine a elação en e o e i e a impedância de en ada do ci cui o da Fig.2.17. J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 7/27 - + Fig. 2.17 Seguido de ensão i o + - + - Exe cício 2.10 Em mo o es de co en e con ínua, de ímã pe manen e, o o que é p opo cional à co en e do mo o m i. Consequen emen e se p e ende mos con ola o o que o na-se necessá io sabe como con ola a co en e no mo o , de o ma a assegu a o o que desejado. Mos e que uma possí el mon agem pa a a ingi esse obje i o é o ci cui o ilus ado na Fig.2.18, onde  1 RR, =−R id i e d i designa o alo p e endido pa a m i. Respos a: (1 )+≈ md d i=i i 1 R R. Adi amen o p26 após exe cício 2.12 As cons an es g K e T K, u ilizadas nes e exemplo pa a elaciona g andezas elé icas com g andezas mecânicas, são de ac o iguais, como a segui se demons a. Vimos que a po ência eléc ica ans o mada em po ência mecânica é dada po ga EI , e que a po ência mecânica o necida pelo mo o é g T ω . J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 8/27 Igualando en ão es as duas po ências, e endo em con a que gg EKω=e gTa TKI=, ob emos gT KK=. No Cap.11 i emos mos a que es a p op iedade é ca ac e ís ica de um disposi i o designado po “gi ado ”. O mo o de co en e con ínua ep esen ado na igu a 2.23 ambém pode unciona como ge ado . De ac o, se desliga mos a alimen ação elé ica, man endo no a os espec i os e minais, e ize mos oda o eio, com elocidade ω, cons a a-se o apa ecimen o de uma ensão g E nos e minais do mo o obedecendo à elação. gg EK ω =. Como Ia=0, o mo o não ge a qualque biná io de oposição ao mo imen o; pa a man e a o ação, apenas se á necessá io aplica um biná io pa a ence os a i os de na u eza mecânica. Se ago a liga mos uma impedância L Zaos e minais do mo o , de o ma a pe mi i a ci culação de uma co en e a I, e i ica-se que es e passa á a opo -se ao mo imen o a a és do biná io gTa TKI=, e que a co en e se á de e minada pela elação g a L K IZR ω =+ Conside emos ago a o caso 0 L RZ== ( e minais em cu o-ci cui o e esis ência in e na nula). A lei das malhas de Ki chho de e mina en ão 0 g E=. Daqui deco e 0ω=. Nes a si uação o mo o unciona como um a ão, bloqueando o almen e a o ação, qualque que seja o biná io aplicado ao eio. Capí ulo 3 Pag 39, Secção 3.2-no o ex o 3.2 Função de T ans e ência e In eg al de Con olução Os sis emas linea es, e in a ian es no empo (SLIT), são ca ac e izados pela sua espos a impulsional. Po espos a impulsional, en ende-se a espos a empo al (), ω∈ , de um sis ema, inicialmen e epouso, ao impulso uni á io de Di ac, () δ, aplicado no ins an e 0 =. A espos a ()y de um SLIT a uma en ada ()u , se á en ão dada pela con olução en e ()u e () ω, ou seja ''' () ( )( )y u d ω +∞ −∞ =− ∫ (3.20A) J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 9/27 Se es i e mos pe an e um sis ema causal, en ão () 0, 0 ω=<,e nesse caso a exp essão an e io ica ''' () ( )( ) y u d ω −∞ =− ∫ (3.20B) Apesa des as exp essões não se em mui o a aen es pa a cálculos à mão, es ão pa icula men e alhadas pa a simula o sis ema num compu ado digi al; po ou o lado () ω é ela i amen e simples de ob e expe imen almen e. Mé odos especialmen e concebidos pa a a de e minação da espos a impulsional podem se encon ados em God ey (1980). A Fig.3.2 é um exemplo de aplicação da exp essão (3.20B); a pa i dela podemos conclui que: -O sis ema é "causal" i.e. a espos a y, no ins an e , não depende de alo es u u os da en ada u. -O sis ema em “memó ia” po que a espos a, no ins an e , depende ambém de alo es da en ada em ins an es dis in os do ins an e . -O sis ema em um “ ac o de esquecimen o” pois a con ibuição dos alo es da en ada pa a a espos a no ins an e , êm an o menos peso quan o mais “an igos” o em: da igu a é pa en e que '' (), kk u <,con ibui pa a a espos a no ins an e pesado pelo ac o ' () k ω−; e, à medida que ecuamos no empo, es e peso ende pa a ze o ( e emos mais adian e que is o acon ece pelo ac o do sis ema se es á el). De ac o se ap oxima mos (3.20B) po '' 1 ()(); n kk k u n ω = −∆∆= ∑ (3.21) essa cons a ação é e iden e. Na Fig. 3.3 a espos a exac a é compa ada com uma ap oximação ob ida ia (3.21), com 0, 2∆=. Na p á ica, quando o sis ema é es á el, podemos conside a () 0 ω= pa a s >, onde s é o empo de assen amen o. A sua de inição se á dada mais adian e. Exe cício 3.5 a) Mos e o in eg al de con olução é um ope ado linea em ()u . b) Compa e as espos as do sis ema da Fig.3.2 às en adas 11 2 () ( )u sen T π =e 22 2 () ( )u sen T π = assumindo que 12s T T. Suges ão: Se 2 T o mui o pequeno, a unção () ω se á quase cons an e du an e um pe íodo de 2 u. En ão as á eas posi i as e nega i as limi adas po 2 u p a icamen e cancela ão o e ei o de cada uma delas em (3.20), sendo o esul ado uma saída (sinusoidal) com uma ampli ude mui o pequena. Po ou o lado, se o pe íodo de 1 u o mui o maio que o empo de assen amen o, e emos o e ei o in e so, com a en ada 1 u a compo a -se como J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 16/27 Fig 4.14A Luga es das aízes in e so e di e o pa a o sis ema do exe cício 4.5. Pag 81- Exe cício 4.6-no o ex o: Com espei o ao sis ema da Fig. 4.16 mos e que: (a) Com K=0,5 ob emos um “amo ecimen o de um qua o de ampli ude” na espos a impulsional. (b) É possí el uma oscilação senoidal, m( )=A senπ /T, com K=1, =0 e A uma cons an e. Suges ão: no e que a es a eqüência um a aso de ase de 180° acon ece no elemen o de e a do pu o. Pag 88-secção 4.5.1-no o ex o: 4.5.1 Con ole P opo cional Quando di T0eT==∞ emos um con olado p opo cional; o seu e ei o no compo amen o es acioná io e ansi ó io de um sis ema com e oacção oi já discu ido nas secções 4.2 e 4.3. Basicamen e, mos ámos que es e modo de con ole não consegue elimina o e o es acioná io, ou o se , quando se con olam p ocessos do ipo 0 (ou au o- egulados); ambém oi mos ado que a magni ude do e o es acioná io e a uma unção da ca ga (c . Fig. 4.6) e que es e e o podia se eduzido po um aumen o do ganho; con udo, es e aumen o p o oca em ge al um aumen o do empo de assen amen o e pode mesmo le a à ins abilidade, como se pode concluí a a és da análise dos luga es das aízes. Na p á ica exis em limi ações às ampli udes dos sinais de saída (m) e de en ada (e) do con olado , ou seja () e () 22 ME m e ≤≤ , J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 17/27 pa a odos os alo es de , onde M e E designam a ex ensão do conjun o dos alo es de m e de e. Es a es ição implica imedia amen e que os modelos (linea es) usados a é ago a só são álidos quando e e m es ão den o des es in e alos. Po ou o lado, um aumen o do ganho K do con olado aca e a á a edução da ex ensão do in e alo onde e se pode mo imen a pa a um uncionamen o linea . Que is o dize que pa a ganhos ele ados o con olado pode passa a unciona como um elé. Daí que na p á ica se u ilize uma medida de acção p opo cional que nos in o me a que dis ância nos encon amos da sa u ação. Tal medida é designada po banda p opo cional pe cen ual (BP) e é de inida como sendo a pe cen agem de a iação de e o que p oduz uma a iação de 100% na saída m do con olado . Com espei o à Fig. 4.25 podemos po an o de ini um ganho adimensional, Ka, do seguin e modo: 100% KaBP = (4.27A) Qual se á en ão a elação en e Kae K (g andeza dimensional) da exp essão (4.27)? Como a iaçãodoe o pe cen agem de a iaçãodoe o BP= 100% 100% a iaçãoda saída do con olado pe cen agemde a iaçãoda saída docon olado E M ×= × 1 K = 100% M E ×× Po an o a K= K M E. (4.27B) Embo a possamos e Bandas P opo cionais supe io es a 100%, é ob io que as a iações do e o não pode ão excede a ex ensão, E, do seu in e alo de a iação. Po exemplo BP=170% signi ica que uma a iação de 100% no e o p oduzi á apenas uma a iação de 100 100% 58,83% 170 ×= no ac uado , como se pode e i ica na Fig. 4.25. Ce amen e que o lei o já se ape cebeu que na p á ica e=0 não signi ica necessa iamen e o anulamen o da a iá el manipulada (en ada do p ocesso). Se al osse o caso, e omando como exemplo um sis ema de con olo de empe a u a com con olo p opo cional, e íamos que o o necimen o de calo à plan a se ia in e ompido semp e que a empe a u a do p ocesso igualasse o sinal de e e ência. Na p á ica o sinal o necido à plan a é () () K() cs s m m m m e =+ =+ (4.27C) onde ms designa um alo cons an e, ajus á el manualmen e, de o ma a anula o e o pa a uma dada e e ência (cons an e), e m( )=Ke( ) A saída do con olado não se á en ão uma unção linea do e o mas sim uma unção a im ou linea po inc emen os. O modelo linea (4.27) ep esen a á po an o os des ios, m( ), ela i amen e à si uação de equilíb io. Na u almen e que o mesmo aciocínio se aplica ao modelo do p ocesso a con ola ( e Fig.4.28) onde m’( ) e e( ) ep esen am os des ios ela i amen e à si uação de egime pe manen e induzida po J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 18/27 ms. Se assim não acon ecesse W(s) nunca pode ia se um modelo linea , nomeadamen e uma unção de ans e ência. Finalmen e é supos o que o ac uado oi escolhido de al modo que ms co esponde a 50% da ex ensão do seu conjun o de alo es. Po exemplo se o ac uado o uma ál ula es amos a admi i que quando e=0 a ál ula es a á 50% abe a. Exemplo 4.3A P e ende-se egula a empe a u a de um p ocesso em edo de 70 C Dcom um con olado p opo cional. A sonda de empe a u a escolhida es á p epa ada pa a o nece empe a u as no in e alo [] 50 ,90CC DD . Logo 90 50 40ECCC=−= DD D . A saída do con olado , mc( ), é um sinal en e 4mA e 20mA. O sis ema de con olo oi calib ado de modo a que quando 12 cs mm mA== a empe a u a do p ocesso seja de 70 C D. Se o escolhida uma Banda P opo cional de 75% podemos concluí que o con olado en a á em sa u ação quando ()e , na exp essão (4.27C), excede 75% de 20 C Dou seja 15 C D. Pa a BP=75% e emos que o ganho adimensional se á a 100% K= 1,33 75% =. Pa a o ganho dimensional e emos a 16 100 K= K 0,533 / 40 75 MmA mA C EC =×= D D. Capí ulo 5 Pag 112-adi amen o an es do úl imo pa ag a o. A mesma conclusão pode se ob ida, e de o ma mais elegan e, eco endo ao in eg al de con olução. Seja en ão um SLIT causal, es á el, com espos a impulsional ()g e en ada ,, s es ∈∈^ . A sua espos a é '' ()'' '' () () () () , s s s s y e g d e e g d Hse −− −∞ −∞ == =∈ ∫∫ . A unção de ans e ência ()Hs exis e pois o sis ema é es á el, po hipó ese. No a que nes e caso, e con a iamen e ao que sucedia no caso acima, não emos e mos ansi ó ios pois a a en ada não começa em 0 =mas em =−∞. Se ize mos ago a sjω= e emos () ( ()) () ( ) ( ) ( ) (cos( ( )) ( ( ))) jGj j j Gj y Gj e e Gj e Gj Gj jsen Gj ωω ω ω ωω ωω ω ω ω ∠+∠ == = =+∠++∠ Como es amos pe an e um sis ema eal, no sen ido que en adas eais p oduzem saídas eais, podemos en ão conclui que as en adas cos( ) ω e ()sen ω, ∈ , p oduzem, espec i amen e, as saídas ()cos( ())Gj Gjωω ω+∠ e () ( ())Gj sen Gjωω ω+∠. J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 19/27 Es e conclusão es á de aco do a exp essão (5.9), que oi ob ida pa a o caso pa icula de uma unção de ans e ência acional ()Gs , a a és da decomposição em acções simples. cap5, pag 115, e o mulação do 2º e 3º pa ág a os Na Fig. 5.3 podemos e a posição de j()G pa a p=1 e p=10 e elando que, pa a uma dada equência no in e alo de (0, )∞, o ganho aumen a com p c escen e. Is o não su p eende uma ez que, quan o maio p, mais ápido o sis ema. Também e ela que o ganho dec esce mono onamen e com o aumen o da equência. Es a conclusão ambém é imedia a se esc e emos jω ()Gna o ma equi alen e 1 1+ jω, com ω ω=p. Comoω(0, )∈∞ es a úl ima exp essão e ela que o açado pola pa a jω ()Gse á independen e de p. No ocan e à pa ame ização des e, em unção da equência, se ixa mos um pon o sob e o açado (ω ixo) emos que ele co esponde á a uma equência an o maio quan o maio p, ou seja, a la gu a de banda de ()Gjωaumen a á com o aumen o de p. A si uação pa a sis emas de segunda o dem com unção de ans e ência 2 2 () () 2 ()1 n n w Gj j j ωωζωω =++ (5.11) es á ilus ada na Fig.5.4, pa a n ω=1 e {} 2, 1, 0, 7, 0, 4, 0, 1, 0, 005ζ∈. Ao con á io do caso an e io , emos ago a si uações onde a e olução do ganho não é monó ona dec escen e. De a o, pode se demons ado que jω()Gsó é monó ona dec escen e pa a 20,707 2 ζ≥=. Pa a 2 2 ζ< e i ica-se que jω()Gap esen a um máximo à equência 2 12 n ωω ζ=−. Daí a designação de “ equência de essonância” pa a ω. Não con undi ω com 2 1 dn ωω ζ=−. Como se iu na secção 3.3.2, d ω±é a pa e imaginá ia dos pólos de (5.11) quando 1ζ<. À semelhança do que acon eceu com os açados do sis ema de p imei a o dem, que e am independen es do pa âme o p, ambém aqui podemos conclui que a o ma do açado pola é independen e de n ω. Pa a al bas a eesc e e jω()G, de inido em (5.11), na o ma 2 1 () 2 1 j jωζω++ com. n ω ω=ω De ealça que pa a osis ema dep imei a o dem jω pa a osis ema desegunda o dem 2 () lim G π π →∞ −     ∠= −    Exemplo 5.1, pag 126 Seja a unção de ans e ência J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 20/27 2 16( 1) 16( 1) 0, 8 3, 92 1, 6 16 ss sj ss ++ = +± ++ onde 3, 92pz pz−=−= e .4/ =zp A espos a nas equências em um máximo igual a 20,1 dB em 4,12 / ad sω=, Po ou o lado 40( 10) 8 400 s ss + ++ exibe uma essonância de 14,8dB em 20,5 / ad sω=, com 20,49.pz pz−=−=e 1 /. 2 pz= Cons a amos assim que a essonância não oi di ada pela dis ância pólo-ze o mas sim pelo módulo quocien e des es. Pag 130 e pag 131 a é ao exemplo 5.2-No o ex o. Analisemos mais de alhadamen e a pa e (a) des a igu a onde Γ ab aça apenas um pólo, ou seja Z=0 e R=1.Quando ' ses á em 1 P emos π α − = . À medida que ' sse desloca ao longo de Γ, no sen ido indicado, e i icamos que α é igual a π π π , 2 ,0, 2 − quando ' ses á em 432 ,, PPP e 1 P, espec i amen e. Conseqüen emen e N = -1. Uma ez que Z=0 e R=1, con i mamos nes e exemplo o p incípio acima mencionado. Uma análise semelhan e é aplicá el aos casos (b) e (c). A u ilidade des e esul ado é e iden e com espei o ao ao sis ema com e oação ep esen ado na Fig. 5.16. Seja en ão G(s)H(s) uma unção acional p óp ia, sem pólos no eixo imaginá io. Se Γdesigna ago a o caminho ep esen ado na Fig. 5.18, com su icien emen e g ande de o ma a engloba odos os pólos e odos os ze os da unção F(s)=1+G(s)H(s) no semi-plano di ei o (SPD), en ão o núme o de ze os de F(s) no in e io do SPD (pólos ins á eis do sis ema ealimen ado) é igual ao núme o de pólos de (1+G(s)H(s))no in e io do SPD mais o núme o de en ol imen os da o igem, no sen ido dos pon ei os do elógio, da imagem de Γ po F(s). Se a imagem de Γpo 1+G(s)H(s) passa pela o igem o sis ema ealimen ado e á en ão pólos no eixo imaginá io, e se á ins á el. Dado que ge almen e não conhecemos um majo an e pa a os pólos e ze os de 1+G(s)H(s), o semi-cí culo de aio de e engloba odo o SPD, is o é, emos de calcula o limi e da imagem des e caminho quando ∞ → . Se G(s)H(s) o es i amen e p óp ia, en ão a imagem da semi-ci cun e ência de aio in ini o se á a o igem do plano complexo. Se G(s)H(s) o uma unção bi-p óp ia es a imagem se á en ão uma cons an e ini a (c . exe cício 3.1). Consequen emen e a imagem do caminho na Fig. 5.18, quando ∞ = , pode se calculada sem o conhecimen o da exp essão analí ica de G(s)H(s), bas ando apenas J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 21/27 conhece es a unção no eixo imaginá io, ou seja pa a ,(,)sjωω=∈−∞∞. Con udo as simpli icações ainda não icam po aqui. Como G(s)H(s) é um quocien e de polinómios de co icien es eais, en ão )()()()( sHsGsHsG =, onde s designa o conjugado de s , e po an o apenas se á necessá io calcula a imagem da pa e posi i a do eixo imaginá io. Po uma ques ão de o dem p á ica ep esen a emos apenas )()( ω ω jHjG em luga de )()(1 ω ω jHjG+. Uma ez que a p imei a esul a da segunda po uma anslação pa a a esque da, de uma unidade, pa alelamen e ao eixo eal, o núme o de ol as de )()( ω ω jHjG e de )()(1 ω ω jHjG+em edo dos pon os -1+j0 e 0+j0, espec i amen e, se á o mesmo. Es amos ago a em condições de enuncia o C i é io de Es abilidade de Nyquis pa a o sis ema da Fig. 5.16. C i é io de Es abilidade de Nyquis : Z=N+R, onde )()( sHsG é uma unção de ans e ência es i amen e p óp ia sem pólos no eixo imaginá io, N=Núme o de ol as de )()( ω ω jHjG , ),( ∞ − ∞ ∈ ω , em edo do pon o -1+j0, con adas posi i amen e no sen ido dos pon ei os do elógio. R=Núme o de pólos de )()( sHsG no in e io do SPD. Z=Núme o de ze os de )()(1 sHsG+no in e io do SPD. En ão o sis ema ealimen ado se á ins á el se Z>0, onde Z=N+R. Conseqüen emen e, se )()( sHsG o uma unção de ans e ência es á el (R=0), o sis ema ealimen ado ambém se á es á el (Z=0) se e só se a cu a )()( ω ω jHjG ,),( ∞−∞∈ ω , não odea o pon o -1+j0. Quando )()( sHsG i e R pólos no in e io do SPD, a cu a )()( ω ω jHjG de e odea o pon o (-1+j0) R ezes, no sen ido con á io ao do mo imen o dos pon ei os do elógio, pa a assegu a a es abilidade do sis ema ealimen ado. Quando )()( ω ω jHjG passa pelo pon o -1+j0 o sis ema ealimen ado se á ins á el pois nesse caso e á pólos no eixo imaginá io. Pode demons a -se que o c i é io de es abilidade de Nyquis con inua álido quando )()( sHsG con i e a asos pu os de anspo e, ou seja Ts e sD sN sHsG − =)( )( )()(, onde )(sN e )(sD são polinómios na a iá el s. Res a ago a conside a o caso em que )()(1 sHsG + em pólos no eixo imaginá io. Nes a si uação o caminho Γ, ep esen ado na Fig. 5.18, iola os nossos p essupos os. Quando )()(1 sHsG+ em pólos no eixo imaginá io o na-se necessá io, a im de p ossegui mos a nossa análise, modi ica o caminho Γ de modo a e i a esses pon os singula es. Uma abo dagem possí el se á “des ia ” o caminho pa a o in e io do SPD, a a és de semi-ci cun e ências cen adas nesses pon os, com um aio ε ,0> ε , calculando-se depois o limi e da imagem des e caminho quando 0→ ε . Des e modo odos os ze os e pólos de )()(1 sHsG+ no in e io do SPD acaba ão po se englobados no in e io de Γ, po mui o pequenos que sejam. Com es a modi icação do caminho de Nyquis , Γ,o c i é io de es abilidade acima enunciado con inua álido J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 22/27 pa a o caso em que () ()GsHs possui pólos no eixo imaginá io. Os exemplos que se seguem ajudam a cla i ica es a abo dagem. Exemplo 5.1A Seja 2 1 () () 1 GsHs s =+. Nes e caso )()(1 sHsG + em um pa de ze os no eixo imaginá io, mais p ecisamen e nos pon os 2 j ±. O sis ema ealimen ado é pois ins á el. Pag 136-Secção 5.2.1 -No o ex o 5.2.1 Es abilidade Rela i a Na p á ica não es amos só in e essados em sabe se o sis ema é es á el mas ambém a que dis ância se encon a da ins abilidade. Dado que a dis ância da cu a G(jω)H(jω) ao pon o (-1+j0) é o módulo do denominado da unção de ans e ência (sinusoidal) em malha echada R Y i.e. )()(1 ωω jHjG+, podemos dize que quan o mais G(jω)H(jω) se ap oxima de (-1+j0), mais oscila ó ia se á a espos a do sis ema ealimen ado. Es a p oximidade é no malmen e "medida" em e mos de ma gem de ase e de ma gem de ganho. Comecemos en ão po analisa o caso em que G(s)H(s) é uma unção de ans e ência acional p óp ia, sem pólos no in e io do SPD. A Ma gem de Ganho (MG) indica en ão de quan o o ganho de e á se aumen ado pa a le a o sis ema à ins abilidade, i.e. pa a le a o ganho de malha abe a ao alo um quando a ase é de  180−. A Ma gem de Fase (MF) é o ângulo )()(180 cc jHjG ωω ∠+  onde ωc, a equência de a essia, é o alo de ω co esponden e à in e secção do açado G(jω)H(jω) com o cí culo uni á io cen ado na o igem. As igu as 5.24 e 5.25 mos am como es as ma gens podem se de e minadas a pa i dos açados pola es e dos açados de Bode. Os úl imos são pa icula men e ap op iados pa a de e mina es as g andezas uma ez que a escala loga i mica con e e mul iplicações de ganhos em adições, e em pa icula 1/MG dB = -MG dB. Consequen emen e um sis ema ealimen ado nas condições acima e e idas se á es á el se i e uma ma gem de ganho, em decibeis, posi i a. A es abilidade ambém eque uma ma gem de ase posi i a; com espei o à Fig.5.24, se mul iplica mos o açado G(jω)H(jω) po uma cons an e posi i a K, de al o ma que o pon o (-1+j0) ique odeado po es e, o sis ema ealimen ado se á ins á el e o ângulo )()(180 cc jHjG ωω ∠+  se á en ão nega i o. Quando o módulo e a ase de G(jω)H(jω) diminuem mono onamen e, com ω c escen e, como se mos a na Fig.5.24, as noções de Ma gem de Ganho e Ma gem de Fase es ão cla amen e de inidas, e podem se usadas como medidas de es abilidade. Es a é a si uação na maio ia dos casos. Con udo exis em excepções. Dois desses casos se ão analisados a segui , a sabe : o caso de á ios c uzamen os com o eixo eal nega i o; e o caso de mais do que um c uzamen o com o cí culo uni á io cen ado na o igem do plano complexo. Em ambas as si uações con inua emos a conside a G(s)H(s) uma unção de ans e ência sem pólos no SPD. Analisemos en ão o p imei o caso. A Fig.5.27 mos a a ep esen ação pola de uma unção de ans e ência em anel abe o sem pólos no SPD. J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 23/27 Se P1=-1+j0 e i icamos que o sis ema ealimen ado é es á el; se P2=-1+j0 o sis ema ealimen ado se á ins á el. Aqui o concei o de ma gem de ganho e e i -se-á ao meno alo de ganho que le a o sis ema ealimen ado à ins abilidade. Ou seja, e emos de pa i da si uação em que o pon o –1+j0 é semp e is o à nossa esque da quando caminhamos ao longo do açado pola , no sen ido c escen e da equência. O mesmo se aplica pa a o cálculo da ma gem de ase. Em e mos de LGR, es a si uação co esponde á à in e secção, pela p imei a ez, de amos do LGR com o eixo imaginá io. Passemos ago a à análise do segundo caso. Quando exis e mais do que uma in e secção com a ci cun e ência uni á ia cen ada na o igem, é possí el ob e ambém uma de inição pa a a ma gem de ase elacionando-a com o a aso pu o máximo de anspo e que o sis ema pode supo a sem pe de es abilidade. Conside emos po exemplo )160)((100( )16007.0(1000 )()( 2 ++ ++ =sss ss sHsG Os espec i os açados de Bode e pola es ão ep esen ados nas Figu as 5.28 e 5.29. Uma ez que exis em ês alo es de equência, nomeadamen e 32.33 ad/s, 50.47 ad/s e 979.4 ad/s pa a os quais 1)()(( = ωω jHjG , emos como alo es candida os pa a a ma gem de ase  58,223,63 e 07,105 espec i amen e. A es as equências, os alo es de T ais que T ω iguala as ma gens de ase candida as são, espec i amen e, 0,034s, 0,077s e 0,001873s. Po an o, o a aso de anspo e pu o que o sis ema pode supo a sem pe de es abilidade de e se meno do que 0,001873s. Na Fig.5.30 podemos e o açado pola pa a )001873,0( )()( ω ωω j ejHjG − com )()( ω ω jHjG al como na Fig.5.29: o sis ema ealimen ado icou ins á el, como e a de espe a . Consequen emen e a ma gem de ase é de  07,105 . Conside emos ago a o caso de sis emas ealimen ados nega i amen e, com unções de ans e ência em malha abe a, acionais e es i amen e p óp ias mas com R pólos, R>0, no in e io do SPD. Nes es casos o sis ema ealimen ado se á es á el se o núme o de en ol imen os do pon o –1+j0 o (-R), ou seja no sen ido con á io ao do mo imen o dos pon ei os do elógio. Uma al si uação es á ep esen ada na Fig.5.26(a) co esponden e a R=1: apesa de es a ep esen ada apenas a imagem do eixo imaginá io posi i o, é ácil de e que a imagem da o alidade do eixo imaginá io con o na o pon o (-1+j0) uma ez, no sen ido con á io ao do mo imen o dos pon ei os do elógio. Po an o N = -1. Dado que, po hipó ese, emos um pólo no in e io do semi-plano di ei o, R=1. Consequen emen e Z = 0, i.e. o sis ema em malha echada não em pólos no in e io do semi-plano di ei o. Também podemos conclui que o sis ema ealimen ado não e á pólos no eixo imaginá io pois o açado pola não passa pelo pon o –1+j0. Logo o sis ema ealimen ado é es á el. No en an o a ma gem de ganho não es á de inida pois o sis ema ealimen ado é ins á el pa a alo es de ganho abaixo de um dado alo . Exe cício 5.10: Esboce o LGR di ec o pa a o sis ema ealimen ado nega i amen e cuja unção de ans e ência, em anel abe o, é )1)(2.0( 1 −+ + ss s. Pag144-Secção 5.2.3-Funções de ans e ência de ase não mínima-No o ex o Uma unção de ans e ência G(s) diz-se de ase não-mínima quando possui ze os no in e io do semi-plano di ei o (SPD) ou um ac o da o ma exp(-Ts) i.e. um a aso pu o de anspo e de T unidades de empo. No que se segue i emos conside a apenas unções de ans e ência G(s) ais que G(0)>0. Es a no malização é necessá ia a im de e i a di e enças de π adianos J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 24/27 aquando da compa ação de ases de unções de ans e ência com o mesmo módulo como acon ece, po exemplo, com 1 1 + s e 1 1 + − s . Aquando do es udo dos açados de Bode pudemos cons a a que o módulo de uma unção de ans e ência, com um ze o em 0 z, se man ém se o ze o o al e ado pa a 0 z−. A si uação é con udo di e en e no que espei a à ase. Po exemplo as unções de ans e ência 2.0 1 )( 1+ = s sG e )2.0)(1( 1 )( 2++ − =ss s sG ap esen am idên icos açados de Bode pa a o módulo. Con udo a ase de )( 2 ω jG é “mais nega i a” que a ase de )( 1 ω jG .Daí a designação de “ ase não-mínima”pa a )( 2sG . Es a si uação é causada pelo ze o de )( 2sG no SPD que ai con ibui com uma ase nega i a, ao con á io do que acon ece ia se es i esse no semi-plano esque do (SPE). Des e modo o açado de Bode, pa a a ase, de )( 2 ω jG se á idên ico ao da unção )2.0()1( 1 )( 2 3++ =ss sG . Em e mos de açado de Nyquis es a si uação co esponde a ap oxima o açado pola do pon o -1+j0. Como esul ado des e p ocesso o con olo de )( 2sG ica á mais di ícil de ido à edução na ma gem de ase. Es á si uação es á pa en e na espos a ao deg au da unção de ans e ência )( 2sG ilus ada na Fig. 5.36: A “ espos a in e sa” nos ins an es imedia amen e a segui à aplicação do deg au e ela que os “ganhos” às al as equências êm sinal opos o aos das baixas equências. Assim sendo um con olado pa a es a plan a, mesmo que ap esen e um bom desempenho no a amen o de sinais len os, e á de “ e ea ” a sua acção às al as equências a im de não des abiliza o sis ema ealimen ado; ou seja nes e caso emos uma limi ação es u u al que nos impede de de e uma la gu a de banda supe io a um dado alo , alo esse dependen e do ze o no SPD. Em ge al as plan as com unções de ans e ência cujos in e sos são ins á eis são semp e mais di íceis de con ola . Nes a al u a o lei o es a á ce amen e a in e oga -se das azões pelas quais se incluem nes a classe as unções de ans e ência que possuem um a o da o ma exp(- Ts). A azão assen a no ac o de se possí el ap oxima es e a o , com uma p ecisão ão g ande quan o se quei a, po uma unção de ans e ência acional bip óp ia e es á el, com odos os ze os no SPD (c . ap oximan es de Padé na secção 6.5). Capí ulo 6 pag 156-Exe cício 6 4 - espos a à alínea c) J. L. Ma ins de Ca alho “Sis emas de Con ole Au omá ico” 25/27 (c) Temos que 1 1 1 1 )( )( 2211 + × + ≠sCRsCRsE sE i o, de ido ao e ei o de ca ga de 2 R e de 2 C nos e minais de 1 C. Con udo se a ensão nos e minais de 1 C osse aplicada à en ada de um ampli icado isolado ideal, com ganho uni á io, que po sua ez en ega ia a ensão à sé ie de 2 Rcom 2 C, en ão e íamos 1 1 1 1 )( )( 2211 + × + =sCRsCRsE sE i o Pag 194-no o ex o pa a o penúl imo pa ág a o ( “Pode se demons ado...eixo imaginá io”). No caso ge al, um ap oximan e de Padé de uma unção (s), 0 () i i i s as ∞ = =∑, é uma unção acional , () () m mn n Ns PDs = onde () m Ns e () n Dssão polinómios de g aus m e n, espec i amen e, ais que , 01 mn ii mn i i iimn Pas bs +∞ ==++ =+ ∑∑ . Ou seja, os coe icien es da di isão ascenden e de () m Ns po () n Ds coincidem com os coe icien es do desen ol imen o em sé ie de Taylo de (s) a é à o dem (m+n). No caso de () s s e= Demons a-se ( e R.W. Daniels, “App oxima ion Me hods o Elec onic Fil e Design”, McG aw-Hill) que: 2 ( 1) ( 1)...2.1 ( ) 1 ... 1! ( )( 1) 2! ( )(...( 1) ! m m mm mm ms s s Ns nm nmnm nm n m −− =+ + + + +++−++ 2 ( 1) ( 1) ( 1)...2.1 () 1 ... 1! ( )( 1) 2! ( )(...( 1) ! nn n nn mm ns s s Ds nm nmnm nm m n −−− =−+++ +++−++ Pa a n=m, como é o caso dos exemplos acima, emos () ( ) nn Ns D s=−. Es a p op iedade assegu a um ganho uni á io a odas as equências, uma ez que os ze os são simé icos dos pólos com espei o ao eixo imaginá io do plano complexo. Pag 196-Exe cício 6.18-no o ex o: Exe cício 6.18 (a) Mos e que na Fig. 6.54(b):