2013
39
José Jo ge Gil Pé ez
De e minación de pa áme os de
pola ización en ep esen ación
ma icial: con ibución eó ica y
ealización de un disposi i o
au omá ico
Depa amen o
Di ec o /es
Física Aplicada
Be nabéu Ma ínez, Eusebio
Di ec o /es
Tesis Doc o al
Au o
Reposi o io de la Uni e sidad de Za agoza – Zaguan h p://zaguan.uniza .es
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
Depa amen o
Di ec o /es
José Jo ge Gil Pé ez
DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE
POLARIZACIÓN EN REPRESENTACIÓN
MATRICIAL: CONTRIBUCIÓN TEÓRICA Y
REALIZACIÓN DE UN DISPOSITIVO AUTOMÁTICO
Di ec o /es
Física Aplicada
Be nabéu Ma ínez, Eusebio
Tesis Doc o al
Au o
1983
Reposi o io de la Uni e sidad de Za agoza – Zaguan h p://zaguan.uniza .es
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
Depa amen o
Di ec o /es
Di ec o /es
Tesis Doc o al
Au o
Reposi o io de la Uni e sidad de Za agoza – Zaguan h p://zaguan.uniza .es
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
DETERMINACION
DE
PARAMETROS DE POLARIZACION
EN REPRESENTACION MATRICIAL. CONTRIBUCION
TEORICA
Y
REALIZACION DE UN DISPOSITIVO
AUTOMATICO.
TESIS
p esen ada a la Facul ad de
Ciencias de la Uni e sidad
de
Za a-
goza, pa a aspi a
al
g~ado de Doc-
o en Ciencias, Sección de ~ísicas,
po
JOSE JORGE GIL PEREZ
INDICE
1.-
INTRODUCCION
..............................
1
11.-FORMALISMOS
DE
REPRESENTACION
DE
LUZ
POLA--
RIZADA
Y
DE
MEDIOS OPTICOS
................
5
11.1.-
Vec o campo eléc ico
y
elipse de
pola ización
.......................
6
11.2.- Cálculo de Jones
............,......
9
11.3.- Fo malismo de S okes-Muelle
.......
12
11.4.- Fo malismos Ma iz de Cohe encia
y
Vec o
de
Cohe encia
...............
18
11.4.1.- Medios Óp icos de ipo
N
..
20
11.4.2.- Medios Óp icos de ipo
G
..
21
11.5.-.Relaciones en e lo2 di e en es
o -
11.5.1.- Algunas conside aciones o -
males
.....................
24
11.5.2.- Relaciones ela i as a ca ac
-
e ización de la luz
......
26
11.5.3.- Relaciones ela i as
a
ca ac
-
e ización de medios Óp i--
COS
.......................
27
11.6.- Medios Óp icos. ~o ación
...........
33
11.6.1.- Pola izado es pa ciales
...
36
11.6.2.- Pola izado es o ales
.....
40
11.6.3.- Re a dado es ideales
......
41
11.6.4.- Re a dado es no ideales
...
42
11.6.5.- G upo SL(~C)
y
G upo de
Lo en z....................
43
11.7.-
~escomposiciÓn pola
................
45
11.8.- Teo emas
...........................
45

111.-
PROPIEDADES DE LAS MATRICES QUE REPRESEN-
TAN A MEDIOS OPTICOS
....................
111.1.- G ado de pola ización en los di e
..............
en es o malismos
111.2,- Cons ucción de una ma iz de
-
Muelle gené ica
................
111.2.1.- Teo ema gene al de equi
-
..............
alencia
111.2.2.- Teo ema de descomposi--
............
ción pola
111.3.- Clasi icación de las ma ices de
..............
Muelle de ipo N
111.4.- Relaciones es ic i as en una
-
..............
ma iz de Muelle
111.5.- Relaciones es ic i as en una
-
ma iz V del o malismo CVF.....
111.6.- Condición de la No ma en ma i--
.................
ces de Muelle
111.7.- Condición de la No ma en ma ices
de Jones
.......................
111.8.- Condición de la No ma en ma i--
.......
ces V del o malismo CVF
111.9.- Indices de pola ización
y
despo-
la ización
.....................
IV
.-
METODO DINAMICO
DE
DETERMINACION DE MA--
......................
TRICES DE MUELLER
..........
IV.l.- Disposi i o de medida
IV.2.- Calib ado
......................
..................
IV.3.- Señal apa a o
IV.4.- ~nálisis de Fou ie po o denado
.........
de la señal egis ada
V.- METODO DINAMICO DE ANALISIS DE LUZ POLA-
RIZADA
.................................
V.l.- Disposi i o
de
análisis
...,......
V.2.- Calib ado
........................
V.3.-
Sensibilidad
de
la
señal
apa a o
-
espec o
a
los
pa áme os
de
cali-
b ado
............................
VI.- DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
...............
VI.l.- Mon aje expe imen al
gene al
...
VI.2.- Causas
posibles
de
e o
en
las
medidas
.........................
VI.3.- P ocesado
de
da os
po
o denado .
VI.3.1.- P og ama MAPAR
.........
VI.3.2.- P og ama MEREL
.........
VI.3.3.- P og amas MEPOL
Y
STOKES
VII.
-
CALIBRADO
Y
ALGUNOS RESULTADOS
. . . . . . .
.
.
VII.l.- De e minación
de
pa áme os
de
S okes
.........................
VII.l.l.- Calib ado
............
VII.1.2.- Pola ización
elíp ica.
VII.2.- De e minación
de
ma ices
de
Muelle
........................
VII.2.1.- Calib ado
............
VII.2.2.- Re a dado come cial..
VII.2.3.- Pola izado
lineal
co-
me cial
..............
VII.2.4.- Sis ema
de
dos
e a --
dado es
lineales
. . . .
.
VII.2.5.- Sis ema
de
es
e a -
dado es
lineales
.....
VII.2.6.- Sis ema compues o
po
un
pola izado
y
un
-
e a dado
..........
VII.3.- Discusión
.....................
1,
INTRODUCCION
El análisis de luz pola izada, y
la
de e minación
de
pa áme os Óp icos ca ac e ís icos de medios ac i os a la
pola ización, cons i uyen un á ea de abajo
de
la Óp ica
que ha epe cu ido desde hace iempo en di e sas amas de la
ísica y de o as ciencias de
la
na u aleza.
No
obs an e,
e
-
cien emen e
se
ha ap eciado un eno ado in e és en
es e
á ea,
que
se
ha conc e ado en la apa ición de una nue a y abundan-
e
li e a u a. En
el
campo de
la
elipsome ía cabe des aca
los
abajos de
R.M.A.
Azzam y
N.M.
Basha a, ealizados en su
mayo pa e con ayuda del o malismo ma emá ico de
R.C.
~onesl,
y
que han dado luga
a
un comple o a ado2 en
el
que
se
e-
cogen
las
écnicas es á icas y dinámicas más mode nas de de-
e minación de pa áme os Óp icos,
así
como
aplicaciones con-
c e as
al
es udio de películas delgadas, o mación de coágu-
los de sang e,
e c..
.
P.C.
Theoca is y E.E. Gdou os3 han
p esen ado un es udio igu oso de
la
eo ía ma icial de la
o oelas icidad,
en
el
que
se
hace uso de los o malismos de
R.C.
Jones y
H.
Nuelle .
Me ece
mención ambién
el
abajo
4
de
H.C.
Van de Huls
,
en
el
que
se
es udia
el
enómeno de dis
-
pe sión de luz po pa ículas con di e en es o mas
y
amaños,
dando modelos
ma iciales
en
el
o malismo de Muelle pa a
cada uno de
los
casos. Es e abajo ha dado pié, muy ecien-
emen e,
a
es udios sob e
la
a mós e a na u al, ae osoles
a
-
i iciales, hid osoles ma inos.
e c
...
5
O os
emas
elacionados de no able in e és y de
-
sa o110 ac ual son ambién
el
es udio de il os espec ales
bi e ingen es
Ó
dic óicos6, pode o a o io na u al7, bi e
-
8
ingencia en ib as óp icas
,
e c..,
El es udio del compo amien o de medios Óp icos
ac i os a la pola ización puede abo da se en o ma gene al
4,9,10,11,12
po medio del o malismo S okes-Muelle
.
Aho -a
bien, los elemen os de
la
ma iz de Muelle asociada a un
cie o medio Óp ico no dan po
sí
solos in o mación di ec-
a
de
los
pa áme os ele an es en
el
compo amien o ísico
de dicho medio, po
lo
que esul a con enien e ealiza un
es udio p e io que pe mi a hace una clasi icación de las
ma ices
de Muelle
de
acue do con
las
p opiedades de los
medios Óp icos
a
que co esponden, y que acili e
la
ex ac-
ción de pa áme os con in e p e ación ísica di ec a
a
pa -
i
de dichas ma ices. Di e sos au o es, como
K.D.
Abhyanka
13 15
l4
E.S.
F y
y
G.W.
Ka awa
,
y
Y
A.L.
Fyma
,
R.
Ba aka
,
R.W.
Schae e lG han es udiado
las
elaciones exis en es en-
e
los
elemen os de cualquie ma iz de Muelle . Po o a
pa e, R.C. ~ones',
J.R.
P iebe17 y C. whi ney18han
es able
-
cido di e sos eo emas en los que, desde
el
pun o de is a
de
la
pola ización,
se
demues a la equi alencia en e
sis-
emas
complejos y
sis emas
sencillos cons i uidos po pocos
medios Óp icos.
ó demás
de ello, en los Úl imos años
se
ha no
ado una endencia
al
desa ollo
de
disposi i os dinámicos
de de e minación de pa á ne os
si
P.S. Hauge y
H.
~i11~'
han p esen ado un mé odo dinámico de análisis de
luz pola izada, que jun o con un abajo de
E.
colle 2', en
el
que
se
es udia la luz pola izada eme gen e
de
un cie o
disposi i o que con iene un e a dado o a o io, ue on
la
base de nues o abajo p e io, p esen ado como Tesis
de ~icencia u a~~, en
el
que desa ollamos un disposi i o
expe imen al que con iene dos e a dado es o a o ios y dos
pola izado es lineales ijos. Pos e io men e, o os au o es
han p esen ado di e en es disposi i os que hacen uso de
e
-
a dado es o a o ios no
ideales,
como
el
debido
a
P.C. Hau
-
9e23,
Ó
bien modulado es elec oóp icos como
el
cons uído
po R.C. Thomson, J.B. Bo ige y E.S.
~ ~~~,
11.2.
CALCULO
DE
JONES
Un ec o de Jones
es
un ec o columna compues o de
dos elemen os complejos que son
las
componen es
Exy
Ey
del ec o luz
E
.
El ec o de Jones, en
el
caso
más
gene-
al de pola ización elíp ica,
es
1
con
Aunque pa a de ini
la
elipse de pola ización bas a
con
las
dos ampli udes
Ax,
Ay
y
con la ase ela i a
6
,
es
de obse a que
el
ec o
&
man iene in o mación de ambas
ases
dx,
po sepa ado. Es e hecho mues a que, en

gene al, un ec o de Jones queda ca ac e izado po dos nú-
me os complejos independien es;
es
deci , po cua o magni-
udes
eales
Exis en p oblemas en los que
la
ase absolu a
es
i ele an e. En
ales
casos
el
ec o
de
Jones
se
esc ibe
En o os casos
se
usa
el
ec o de Jones no mali-
zado de o ma que la in ensidad alga
la
unidad. Es deci
e e
=
A:
+
A:
=
i
Dos
es ados de pola ización de ec o es de Jones
E
y
&'
,
se
dicen o ogonales cuando
&'E'=
o
Los ec o es o ogonales co esponden a elipses de pola iza-
ción con igual elip icidad, dis in o sen ido de gi o
y
con
sus ejes mayo es pe pendicula es en e
si.
La supe posición cohe en e de dos haces de luz
pola izada puede exp esa se como la suma de sus co espon-
dien es ec o es de Jones.
Cuando una onda de luz monoc omá ica como
la
dada
po
(11.1)
a a iesa un medio Óp ico lineal que no p oduce
e ec os incohe en es, la onda eme gen e
es
una ans o ma-
ción lineal de
ella
del ipo4
donde
Al
,
Ai
,
Aa
,
Al
,
son coe icien es co nple jos que depen-
den de la na u aleza
del
medio
Óp ico. Po lo an o,
la
ans o mación
(11.10)
puede
esc ibi se
de
la
o ma
Ó
bien
&'=J&,
siendo
J
la
ma iz compleja de inida po
A
la
ma iz
J
se
le
denomina ma iz de Jones asociada
al
medio Óp ico conside ado. Los elemen os de
J
se
suelen
deno a de dos o mas al e na i as, que son
En adelan e, cuando
se
deno e una ma iz con la
le a
J
,
debe á en ende se que
se
a a de una ma iz de Jones.
La ma iz de Jones asociada
a
una sucesión
de
medios
Óp icos,
se
puede ob ene como
el
p oduc o o denado de
las
2
espec i as ma ices de Jones asociadas a dichos medios.
Ello se comp ueba ácilmen e aplicando
(11.12)
sucesi amen e.
De la de inición de ec o de Jones dada en
(11.7)
se
deduce que és e solo es á de inido pa a luz o almen e pola-
izada. Es e hecho implica a su ez que un medio que disminu
-
ya el g ado de pola ización del haz de luz que lo a a iesa,
nunca puede ep esen a se po medio de una ma iz de Jones.
La ma iz de Jones asociada a un conjun o de medios
Óp icos, a a esados en pa alelo po un haz de luz cohe en e,
iene dada po la suma de las ma ices de Jones asociadas
a
dichos medios.
La u ilidad del o malismo JCF* se es inge a los
p oblemas ela i os a luz o almen e pola izada.
En adelan e, se en ende á como medios Óp icos "de ipo
N" a aquéllos que son ep esen ables po una ma iz de Jones,
y
"de ipo G" en caso gene al.
11.3.
FORMALISMO DE STOKES-MUELLER
P esen amos a con inuación un esumen del o malismo
de ec o es de S okes
y
ma ices de Muelle , al que denomi-
na emos ab e iadamen e SMF.
Un ec o de S okes es un ec o columna compues o po
cua o elemen os eales
S,,
S,,
SL,
que cuando co espon-
den a un haz de luz o almen e pola izada, es án de inidos
del modo siguien e
25
*
Po azones de comodidad, u iliza emos ab e ia u as pa a-
indica los dis in os o malismos. Así, usamos JCF pa a in-
dica el o malismo de cálculo de Jones.
donde
se
ha
adop ado
la
no ación compleja pa aExy
E- .
O a o ma de
esc ibi
los
pa áme os
de
S okes
es
Ó
bien, eniendo en cuen a
(11.6)
Es
de señala que en
és e
caso de luz o almen e
pola izada
se
cumple
la
elación
En gene al, la luz
se
p esen a como una supe -
posición de g an núme o de enes de ondas simples con ases
independien es, La supe posición incohe en e de un núme o
cualquie a de haces de luz iene ca ac e izada po un ec o
de S okes que
es
la
suma de los ec o es de S okes asociados
a
dichos haces. Los pa áme os de S okes del haz o al son
2
7
.S,=
,
S,=
,
5-3~
ES;
;
i
i
1
c
(11.19)
donde
el
supe índice
i
deno a cada onda simple independien e
.
De
acue do con (II.19),
el
haz de luz o al
es a-
á
pa cialmen e pola izado,
y
sus pa áme os de S okes
se
pod án ob ene ambién del modo siguien e
2
8
donde
los
co che es indican
el
p omedio empo al sob e cada
uno de los pa áme os.
Las exp esiones (11.20) pueden conside a se como
la de inición
más
gene al de
los
pa áme os de S okes, que
es án suje os
a
la
condición

en
la
que la igualdad
se
cumple
sólo
si
se
a a de luz o-
almen e pola izada. En
el
caso
de luz na u al, los p ome--
dios
se
anulan sal o pa a
5,,
y
el
ec o de S okes co es-
pondien e
es
Con iene eco da aho a
el
p incipio de equi alencia
Óp ica de es ados de pola ización, que puede enuncia se del
siguien e modo: "Po medio de un expe imen o ísico
es
impo
-
sible dis ingui en e a ios es ados
de
pola ización de luz
que son sumas incohe en es de di e en es es ados pu os,
y
2
7
que ienen asociado
el
mismo ec o de S okesT1,
En i ud de
es e
p incipio, un haz de luz pa cialmen e
pola izada puede conside a se como
la
supe posición incohe-
en e de dos haces, uno
de
los
cuales
es
de
luz o almen e
pola izada,
y
el
o o de luz no pola izada. En
el
o malis-
mo SMF
es e
hecho
se
exp esa
como
donde
Se de ine
el
g ado
de
pola ización
G
de un haz de luz
de ec o de S okes
S
como
Asimismo nos in e esa de ini
la
o ma cuad á ica
se-
mide inida posi i a
que
es á
elacionada con
6
del siguien e modo
Ó
bien
E)"
G
=
(l-
Las magni udes
G
y
F
adop an alo es en los siguien
-
es
angos
o<G<i,
de o ma que pa a luz o almen e pola izada:
G=i,
F=o
;
z
y
pa a luz na u al
:
G=
O,
=
S,
.
Un ec o de S okes puede de ini se en é minos de
la
in ensidad o al
1
,
el
g ado de pola ización
G
,
el
azimu hx
y
la
elip icidad
y
del haz de luz
al
que co es-
ponde, en
la
o ma
De
es a exp esión
se
deduce que
el
ec o de S okes con-
iene oda la in o mación
ace ca
de la elipse de pola ización
y
del g ado de pola ización. Sin emba go,
al
con a io que
el
ec o de Jones,
el
ec o de S okes no con iene in o --
mación ace ca de
la
ase absolu a del haz de luz al que co--
esponde.
En
el
o malismo SMF los sis emas Óp icos lineales
se
ep esen an po medio de ma ices eales
4x4
(ma ices de
Muelle ). Es as
ma ices,
que deno amos gené icamen e como
con ienen dieciséis elemen os
WI;j
,
que en gene al son in-
dependien es.
Cuando un haz de luz de ec o de S okes
S
a a iesa un
medio ca ac e izado po
la
ma iz de Muelle
IV
,
el
ec o ~'
asociado al haz eme gen e iene dado po
Al
igual que en
el
o malismo JCF, la ma iz de Muelle
de una sucesión de medios Óp icos,
se
ob iene como
el
p oduc
-
o o denado de sus espec i as ma ices de Muelle asociadas?
Po o a pa e,
la
ma iz de Muelle asociada
a
un con-
jun o de medios Óp icos a a esados en pa alelo po un haz de
luz incohe en e iene dada po la suma de las
ma ices
de
Muel
le
asociadas a dichos medios.
2
'7
Una ma iz de Muelle puede ep esen a a medios óp i-
cos que a ec en a cualquie pa áme o elacionado con
el
ec
-
o de S okes asociada al haz de luz que los a a iesa?
Así,
po ejemplo, en
el
o malismo SMF son ep esen ables odo
i-
po de e a dado es (lineales, ci cula es
Ó
elíp icos), pola-
izado es o ales
Ó
pa ciales (lineales, ci cula es
Ó
elíp i-
cos), sis emas que despola izan la luz,
Ó
cualquie combina--
ción de ellos po complicada que
sea.
Sin emba go, no son
ep esen ables aquellos medios que in oducen un e a do
uni o me en la luz que los a a iesa (láminas de ase).
En adelan e
se
usa án las
le as
S
y
M
pa a deno-
a
ec o es de S okes
y
ma ices de Muelle espec i amen
-
e.
Se en ende á po
ma ices
de Muelle de ipo
N,
a
aquéllas que co espondan a medios Óp icos de ipo
N.
11.4. FORMALISMOS MATRIZ
DE
COHERENCIA
Y
VECTOR
DE
COHEREN
-
CIA
Conside emos un haz de luz monoc omá ica, ca ac e íza
-
do po un ec o campo eléc ico
E
que, en gene al,
se á
una supe posición de ec o es del ipo
(11-
4), pe o con
di e en es ases
Bx
,
Jy
.
Llamamos ma iz de cohe encia
(O
ma iz
densidad) asociada
a
dicho haz de luz,
a
la
de inida como
29
donde los co che es indican p omedio empo al
y
X
deno a
el
p oduc o de K onecke .
Los elemen os de
,g
los deno amos de
la
o ma
Las ma ices de Pauli
,
q,q,
suelen ag upa -
se
en
el
siguien e ec o ma icial
Una ma iz de cohe encia
p
puede exp esa se
como
27
Teniendo en cuen a que an o la ma iz
J
,
como
las
ma ices
cL
io,,
3
son he mí icas,
es
ácil comp o-
2-/,
31
ba que los coe icien es
(
O
1,
2
3)
han de
se
eales
.
Si compa amos las exp esiones
(11.58)
y
(11.36)
emos que los
coe icien es
5;
son p ecisamen e los pa áme os de S okes
co espondien es
a
la ma iz
J
,y
se
e i ica
la
elación
Cabe
conside a la exp esión
(11.58)
como un de-
sa ollo de
la
ma iz densidad
Q
en un con jun o comple o de
obse ables o ogonales( i), en
el
que
los
coe icien es
SL
,
co esponden, sal o una cons an e, a los alo es espe ados
de dichos ope ado es-
Conside emos un haz de luz que iene asociados
una ma iz densidad
3
y
un ec o de S okes
5
.
y
que
a a--
iesa un medio Óp ico
de
ipo
N
ca ac e izado po una ma iz
I
de Jones
J
.
El
ec o
de
S okes
S
asociado
al
haz de luz
eme gen e iene dado po

donde
la
ma iz
M,
cuyos elemen os son
es
p ecisamen e la
ma iz
de Muelle asociada al
mismo
medio
Óp ico ep esen ado po
la
ma iz de Jones
J
.
11.5.2. RELACIONES RELATIVAS
A
CARACTERIZACION
DE
LA
LUZ.
En
el
caso de luz o almen e pola izada
es
ácil comp o-
ba que
se
cumple la elación
3
Ó
bien, en o ma explíci a
con
Recíp ocamen e
Las elaciones del ec o de Jones con la
ma iz de co-
he encia y ec o de cohe encia asociados al mismo haz de luz
o almen e pola izada, son
las
siguien es
ó,
ecíp ocamen e
E,
3,
=
do
,
62
a ;q
j4=-y
s3=a2dz
=-ax;
A,
.(11.66)
Las elaciones en e
la
ma iz de cohe encia
y
los
pa-
áme os de S okes
ya
se
ie on en (11.35
)
y
(11.361,
y
son
álidas independien emen e del g ado de pola ización de
la
luz.
11.5.3. RELACIONES RELATIVAS
A
CARACTERIZACION
DE
MEDIOS
OPTICOS.
Un
sis ema
Óp ico de ipo
N
iene asociada una
ma iz
de Jones
J.
y
ambién una ma iz de Muelle
M
.
Supongamos
que sob e
el
sis ema
incide un haz de luz de ec o de Jones
e
y
ec o de S okes
S
.
El haz eme qen e
se
ca ac e iza á ambién po unos ec
-
-
I
1
o es
de Jones
y
de S okes
e
,
S
espec i amen e. Es os ec-
o es
se
ob ienen, según (11.12)
y
(11.321, como
Teniendo en cuen a (11.581, podemos esc ibi (11.68)
del siguien e modo.
De
(11.69)
y
(11.12) ob enemos
que jun o con (11.701, conduce
a
Es a
Úl ima
exp esión si e pa a ob ene los elemen os
de una ma iz en unción de
la
o a, como indicamos a con i ua
-
ció ?
*:
2
m,,
=
i(
J,:
J,,
+
lXx
J,,
-
J:
lL2
-3:
J,,)
,
*
*
2~n,,
=
J,:
J;,
+
&:J,/
-1
Jaz
-J,,Jlii
,
2
M
,L
=
&:
J
+
J.:
Jiz
+
Ji:
J i
+
T:
JiI
,
z
m,,
=
10;
J,,
+
J:
T,,
-J:
L.4
-
J:
3,J
,
*
2
m,,
=
~(J:J,,
+
S.:
Jlz
-
3;
Tu
-
T z
LJ
,
*
m,,
=
i
(3:S',,+~Z3l
-
J l
3
-
JC~
343,
y
e~íp ocamen e~deno ando
los elemen os
S,<
(
~ l
=
(S)
en o ma pola como
se puede comp oba que
Z
1
3,,IL
=
m..
+
msi
+m,,
+
m,,
,
2
1
J,,II=
m.,
-m,,
+m.
-mll
/
co.,
(01,-
e,,)
=
W,
4-
m33
[(moo+
m,P-
(m,,
c
m,, l
I/Z
/
Es
de señala que
al
pasa de
la
ma iz de Jones
a
la
de Muelle ,
se
pie de
la
in o mación ace ca del
e a
-
do global que in oduce
el
sis ema
Óp ico co espondien e.
Una o ma
más
compac a de p esen a
la
elaciones
(11.73).
es
la
siguien e
4,9,32
&(d.:+
o!;
d +d;)
2
d-d
%l+P41
ueThl
(JI.75.a)
donde
*
d:
=
Ji
J;
=
J~ '
,
i=
42,3,
'1
;
-
Pe
(3,
~j*)
=
?e
(3
S*)
pi'~
E
pjl
-
.a
=
,
(S;
J.)
=
1.i
(3,$3,
YLj
=-
yJiJc
i,j
=
í,
L,
314
(11.75.b)

La ma iz (11.75) puede ob ene se di ec amen e a
pa i de (11.61).
Si
a
una ma iz de Jones
J
le
co esponde una
ma-
iz de Muelle
M
,
és a
iene
la
o ma 11.75
y
es
inme-
dia o comp oba que
a
las ma ices de Jones
J~~
JTies
co--
T
l
esponden
las
ma ices
de Muelle
M
y
M
espec i amen e,
siendo
M'
la
ma iz siguien e
33
que puede esc ibi se como
M'=
a
M'Q
con
1000
(II.77.b)
La ma iz diagonal
Q
es
o ogonal, con
~&Q=-I~
no
co esponde a ningún sis ema Óp ico con en idad ísica
eal.
A
con inuación, buscamos las elaciones que ligan
la
ma iz de Jones
J
con la ma iz asociada
al
mismo
me-
dio Óp ico de ipo
N.
Si enemos en cuen a (11.12)
y
(11.441, emos que28
es
deci
(0,
Recíp ocamen e, ob enemos
los
elemen os
&=Ix;le
en
unción de los elemen os
3
1
J,I~
=
=o
,
Las elaciones (11.75)
y
(11.79) únicamen e son áli-
das pa a medios Óp icos de ipo
N,
debido
a
que en caso con
-
a io, las
ma ices
de Jones no es án de inidas
Finalmen e, da emos cuen a de las elaciones que ligan
las
ma ices
M
y
que co esponden
a
un mismo medio
óp ico de ipo
G.
Según (11.51
)
sabemos que
V=
K'M
U,
donde
U
es
la
ma-
iz dada en (11.49). Como
es
uni a ia podemos
esc ibi
M=
u u-'
(11.81)
Desa ollando (11.51
)
y
(11.81
en o ma explíci a ob enemodL1
y
ecíp ocamen e
-oo %3
@30 uj?,
*0o%o3+%0-*33
%,+%z
ql
4
-i(igo,-~~~+~,-
oo
9i>3-743<*33
'%0-%3-%o &3
%I
?)OL-~%I-~~I
-.L
(*ol
-
*a2-R1
+2)13
M=
'
2
19io- W1a
+ZXo h
- 9;0-
*X
+wLo--c~~
VI,
+*Iz+%I
+%,
-'i
(u,,-u,,+.a,-u,,)
i qo
--ei~+~ ~-%~)
'i
(V~~-*ZO-IY,~
~+~l)
i(~lli~2-~l
x)
~,- ,L-u=,
i
%l
(II.82.b)
A
pa i de
(11.79)
y
11.8,
emos que.
si
a
una
ma iz
/
le
co esponden
las
ma ices
de Jones
y
de
Muelle
3
y
M
espec i amen e,
a
V
le
co esponden
J
y
MT
;
y
a
V
le
co esponden
J'
y
M'.
Las igu as
(11.3)
y
(11.4)
mues an esquemá icamen-
e
las
elaciones exis en es en e los di e en es o malismos.
11.
6.
MEDIOS OPTICOS
.
NOTACION
A
lo
la go de nues o abajo es udia emos
sis emas
compues os po medios Óp icos
de
ipo
N.
El
conjun o de di-
chos medios puede sepa a se en dos ca ego ías a endiendo
a
VliCTOR
DE
STOKES
S
h cí nc os
Ca ic e is icos
:
MATRIZ
DE
~a ámc -os
Ca ac c ~;s icos
:
-------
RELACIONES
-
,
(11
64)
J
CF
VECTOR
DE
JONES
E
~a áme i-os ~omc ci Ís icos
:
h,
AY,
Sx,
$Y
Fig.YI.3.- Esquema de las elaciones ela i as
a
ca ac e ización de
la
luz, en e los
o malismos
SMF, CMF, CVF
y
JCF.
CVF
MATRIZ
DE
4UELLER
M MATRIZ V
1
N
m o
1
J
independien es
:
16
independien es
:1G
CONDlClON ES
RELACIONES
JCF
y
CMF
MATRIZ
DE
JONES
J
I
N'
de
pa Qme os indcpcndicn cs
:
8
I
Fig.II.4.- Esquema de las el.aciones ela i as
a
ca ac e ización de medios Óp icos,
en-
e
los
o malismos
SMF,
CVF,
JCF
y
CMF.
11.6.3.
RETARDADORES IDEALES
La ma iz de Muelle asociada a un e a da-
do ideal (lineal, ci cula
Ó
elíp ico), iene la p opiedad
de que deja in a ian e
el
pa -áme o
5,
(in ensidad),
y
p o-
duce un gi o del ec o de S okes en la es e a de Poinca é.
Ello pe mi e esc ibi
R
en la o ma
3
donde la subma iz
i
a'j
es
una ma iz
3x3
asociada
a
una o ación gené ica en
el
subespacio que con iene las
coo denadas
5,
,
SL,
s3
.
El
conjun o de ma ices o ognales
3x3
con
de n:+i
,
o ma un g upo dependien e de
es
pa áme os
denominado
O:
(g upo de eo aciones en
el
espacio o di
-
na io).Los
es
pa á ne os independien es que hay en
3
4
pueden
se ,
po ejemplo, los
es
angulos de E:ule
.
Sin
em-
ha go esul an
más
Ú iles
como pa áme os
el
azimu h y
la
elip-
icidad de los dos au oes ados de pola ización o ogonales
que son in a ian es bajo
el
-e a dado , jun o con
el
e a do
35
&
in oducido en e ellos.
Un e a dado ideal queda ep esen ado en
el
o -
malismo
JCF
po una ma iz uni a ia
u
al
que
&
U=
.
Dicha ma iz co esponde
a
una o ación de de e minado ángulo
$
del ec o de S okes en la es e a de Poinca é, en o no
a
un cie o eje cuya di ección
es á
dada po un ec o uni--
a io
a
.
Ello
pe mi e esc ibi
36

El
conjun o de
las
ma ices
complejas 2x2 uni a
-
ias
con
&
u=
o ma un g upo denomi-nado
S
U
(ZC)
(
q upo
especial uni a io de
ma ices
complejas
2x2
??
Exis e una
co espondencia biuní oca en e
el
conjun o o mado po pa es
de
ma ices
(U,-U)
pe enecien es al g upo
SU
CLC)
,
y
el
de ma ices
R
ales que i pe enece al g upo
O:
.
11.6.4. RETARDADORES
NO
IDEALES,
Es conocido
el
hecho de que po e ec o de
las
e le-
xiones in e nas múl iples, odo e a dado lineal p esen a en
ealidad di e en e ansmi ancia pa a luz pola izada lineal según
sus dos lineas
neu a^!^
El
e ec o
es
equi alen e al p oduci-
do po un e a dado lineal ideal jun o con un pola izado pa -
cial lineal alineado con
él.
La ma iz de Muelle
ML
asociada
a un e a dado lineal no ideal. e e ida a sus p opios ejes,
puede esc ibi se como
M,
=
ML
(0,s)
Mp
(0,~
IR)
=
Mp
(0,
TI,%)
Mc(o,S),
(11.103
)
donde
6
es
el
e a do de ase e ec i o ca ac e ís ico del
e-
a dado .
y
p,
,
?%
son los coe icien es p incipales de ansmi-
sión en ampli ud según
las
líneas neu as del e a dado .
La ma iz
ML
ob enida
a
pa i de
(11.103)
es
donde
Si
el
e
je ápido
del
e a dado p esen a un 5 igulo
p
con
el
eje
X
e e encia, la ma iz asociada al e a da-
do iene dada po
M,
(p,S,
IC~,
K:)=
M~C-~)
~,(o,6,kc,/c¿)
&(p)
E
(11.105)
E i
ocasiones
se
u iliza á a nbién
la
no ación
11-6.5. GRUPO SL(2C)
Y
GRUPO
DE
LORENTZ.
El
con
jun o de ma ices
A
,comple jns 2x2 con
¿&A=/
o na un g upo denominado
S
L
(2~)
(g upo uni nodula de
ma ices
complejas 2x2). Toda
ma iz
de Jones no singula
puede no maliza se del modo indicado en (II.90.a
1,
y
po
lo
an o, una ez no n~lizada, pe enece al g upo
S
L
(2
C)
.
El con jun o de ma ices
L
eales
4x4
que
de jan i i-
a ian e
la
o ma cudd á icd
F
,
o ma un g upo dcnomi i~ido
g -upo
de
Lo en z. Si además
se
cumple
que
Ae i -i
Y
,!o,>/ ,
en onces
se
denonii la subg upo de Lo c i
z
p opio oc óc ono,
Ó
bien, subg upo de Lo en z es ingido
L+
.
Toda
nl~i iz
dc
Mucll
le
de
ipo
14
no si iyula puede no ma1iz~ :;e
de
o~ nd
que
d~ ~~
-
1.
y
(N).
El
co ijun o
de
ma ices de
Muelle así no malizadas
es
isomo o
al
g upo
L+
,
y
és e
a
su ez
es
homomo o
2
:1
con
el
g upo
(ZC)
de
la
o ma
54-
L
,
con
LE
L+
3
1
Den o del g upo
L+
pueden dis ingui se dos ipos
de ans o maciones3'.: Las denominadas de Lo en z pu as, y
las
o aciones espaciales. Las p ime as es án ca ac e izadas po
ma ices
de
Muelle
k
simé icas
que co esponden
a
pola i-
zado es pa ciales, y
las
segundas, po ma ices o ogona-
les
que co esponden
a
e a dado es.
Es
conocido que un elemen o gené ico
MN
del g upo
L+
,
puede exp esa de de modo Único en la o ma siguien e
31
Análogamen e, un elemen o gené ico
A
del g upo
SL(2c)
puede exp esa se de modo Único en
la
o ma
A
=
ILH
=
H,
U,
.
(11.108
)
Exis en
sis emas
Óp icos de ipo
N
ales que sus
ma-
ices
de Jones
y de Muelle
M
asociadas no pueden no mali-
za se a de e minan e unidad po que son singula es. Dichos
sis
-
emas es án compues os po un conjun o de medios Óp icos, en-
e
los
cuales hay
al
menos un pola izado
o al.
Es a
a i mación
se
basa
en que, como e emos en
el
siguien e apa ado, odo sis ema Óp ico de ipo
N
equi ale a
una
cie a
combinación
de
e a dado es
y
pola izado es, de o
-
na
que
si
sus ma ices
J
y
M
asociadas en los o malismo JCF
y
SMF
espec i amen e ienen de e minan e nulo.
es
po que uno
de los componen es
es
un pola izado o al.
Los sis emas óp icos que despola izan, en mayo
Ó
meno g ado.
la
luz que
los
a a iesa, no ienen ma iz de
Jones asociada,
y
su ma iz
de
Muelle
M
asociada no puede no maliza se de o ma que
MY
pe -
enezca al g upo
L+
.
Vemos
pues, que Únicamen e quedan ue a
del g upo
L+
las
ma ices
de Muelle asociadas a
sis emas
que
no son de ipo
N,
y
las
asociadas a
sis emas
que con ienen
algún pola izado o al. Análogamen e,
las
Únicas
ma ices
de Jones que no pe enecen
al
g upo
5
L
(ZC)
son aquéllas
que co esponden
a
sis emas
que con ienen algún pola izado
o al.
11.7. DESCOMPOSICION POLAR
Las exp esiones (11.107)
y
(11.108)
mues an un caso
pa icula del eo ema de descomposición pola
de
un ope ado
3
8
lineal, en i ud del cual, oda ma iz de Muelle
M
puede
esc ibi se de la o ma
y
oda ma iz de Jones
5
puede
esc ibi se
de
la
o ma
Las
ma ices
K,
)C,,
H
,
H,
,
son siemp es únicas,
y
las
ma ices
,
R,
,
u
,
u,,
son Únicas sal o en
el
caso de que
M
y
J
sean singula es.
11.8.
TEOREMAS.
1
En los abajos, ya clásicos. de R.C. Jones
se
demues-
an una
se ie
de
eo emas
de equi alencia, es ablecidos pa a
medios de ipo
N
y
pa a una longi ud de onda dada. En dichos
abajos, los eo emas
se
demues an u ilizando
el
cálculo
ma icial in oducido po
el
p opio Jones. Pos e io men e
18
C.
Whi ney gene aliza algunos de es os eo emas.basando
sus conside aciones en
el
álgeb a de Pauli
y
en
el
eo ema de
descomposición pola de una ma iz co espondien e a un ope-
ado lineal.
A
con inuación enunciamos
y
discu imos
los
eo-
emas
más
impo an es, algunos de los cuales han sido
es able-
39
cidos po noso os. y o os
lo
son po p ime a ez en
es e
a
-
bajo. Todos los
eo emas
siguien es, sal o T11 y T12, es án
enunciados pa a medios Óp icos de ipo
N
y pa a una longi ud de
onda dada.
T1.- Un
sis ema
Óp ico que con iene un núme o cualque a de
e-
a dado es (lineales, ci cula es
Ó
elíp icos)
es
Óp ica-
men e equi alen e a un e a dado elíp ico.
T2.-
Todo e a dado elíp ico
es
Óp icamen e equi alen e
a
un
sis ema
compues o po un e a dado lineal
y
un o o .
T3.- Todo e a dado elíp ico
es
Óp icamen e equi alen e a un
sis ema
compues o po dos e a ado es lineales. (no de
modo Único).
T4.-
Un
sis ema
Óp ico compues o po un núme o cualquie a de
e a dado es (lineales, ci cula es
Ó
elíp icos),
es
Óp-
icamen e equi alen e a un
sis ema
que con iene un e a
-
dado lineal
y
un o o ?
T5.- Un sis ema Óp ico compues o po un núme o cualquie a de
e a dado es (lineales, ci cula es
Ó
elíp icos),
es
Óp-
icamen e equi alen e a un sis ema que con iene dos
e-
a dado es lineales (no de modo único)J8
Los an e io es eo emas pueden demos ase
a
pa i
del
eo e-
ma
de Rod igues-Hamil on?8
T6.- Un pola izado elíp ico pa cial ( o al)
es
Óp icamen e
equi alen e a un
sis ema
o mado po un pola izado pa -

cial
( o al) lineal si uado en e dos e a ado es
li-
18
neales iguales cuyos ejes son pe pendicula es.
T7.- Un
sis ema
Óp ico compues o po un núme o cualquie a de
pola izado es pa ciales lineales
y
o o es,
es
Óp ica--
men e equi alen e
a
un sis ema o mado po un pola iza-
do pa cial lineal
y
o o ?
T8:
Teo ema
de
~escomposiciÓn Pola (TDP
).
-
Un
sis ema
Óp ico compues o po un núme o cualquie a de
e a dado es (lineales, ci cula es
Ó
elip icos)
y
pola izado-
es
pa ciales (lineales, ci cula es
ó
elíp icos)
es
óp ica--
men e equi alen e
a
un
sis ema
o mado po un e a dado elíp
-
i o
y un pola izado pa cial elíp i~o?~
En
és e
úl imo
eo ema
se
dis inguen dos casos a endien
-
do
a
la
na u aleza del sis ema Óp ico de ipo
N
conside ado.
Un caso
es
aquél en que
el
sis ema
con iene algún pola izado
o al, en onces
la
ma iz de Jones que lo ep esen a
es
sin-
gula ,
y
puede esc ibi se como p oduc o de una ma iz singula
he mí ica (pola izado o al elíp ico
1
po una ma iz uni a ia
( e a ado ) no siendo
és a
Única. En
el
caso con a io,
el
sis-
ema equi alen e
es
Único
y
es á compues o po un pola izado
pa cial elíp ico y un e a adado .
T9
:
Teo ema Gene al de Equi alencia (TGE
1.
-
Un sis ema óp ico compues o po un núme o cualquie a de
e a ado es (lineales, ci cula es
Ó
elíp icos)
y
pola izado--
es
pa ciales (lineales, ci cula es
Ó
elíp icos),
es
Óp ica--
men e equi alen e a un
sis ema
o mado po cua o elemen os:
un pola izado pa cial en e dos e a dado es lineales,
y
un
o o
en una cualquie a de
las
cua o posiciones posibles?
Los dos eo emas an e io es es án enunciados pa a un
sis
-
ema
de ipo
N
cualquie a. Aunque
el
eo ema TDP
es
más
sin e-
izado que
el
TGE,
és e
Úl imo p esen a un g an in e és, pues o
que
da
un
sis ema
equi alen e o mado po medios Óp icos
sencillos,
como
son
los
e a dado es lineales
y
ci cula es,
y
los pola izado es lineales.
T10: Teo ema de Recip ocidad en los Fo malismos JCF
y
CMF.-
La ma iz de Jones asociada
a
un sis ema Óp ico que
es
a a esado po un haz de luz en un cie o sen ido, debe
anspone se en o den
a
ob ene la ma iz
de
Jones del mismo
sis ema
Óp ico cuando
és e
es
a a esado po
el
haz
de
luz
en sen id opues o.
l73
T11: Teo ema de Recip ocidad en
el
Fo malismo CVF.-
La ma iz
V
asociada en
el
o malismo CVF a un
sis ema
Óp ico que
es
a a esado po un haz de luz en un cie o sen-
ido, debe anspone se en o den
a
ob ene la ma iz asocia-
da
al
mismo sis ema Óp ico, en
el
mismo
o malismo, cuando
és e
es
a a esado po
el
haz de luz en sen ido opues o.
T12: Teo ema
de
Recip ocidad en
el
o malismo SMF.-
Si
un
sis ema
Óp ico iene asociada una ma iz de
Muelle
M
cuando
la
luz lo a a iesa en un cie co sen ido,
la
ma iz de Muelle asociada al mismo
sis ema
Óp ico cuando
la luz lo a a iesa en sen ido opues o, iene dada po
M'
según
las
exp esiones
(11.76)
y
(11.77).
Cuando
se
a a
de
medios Óp icos de ipo
N.
la demos-
ación de los dos eo emas an e io es
es
inmedia a, ya que
según
el
eo ema T10, sabemos que
a
una
ma iz
de
Jones
$
le
T
co espondeJ cuando la luz pasa en sen ido opues o. En
el
apa ado
11.6.3
imos que
si
a
5
le
co esponden las ma i-
ces
M
y
V
en los o malismos SMF
y
CVF espec i amen e,
a
J~
I
le
co esponde
M
y
bT.
En
el
caso de que
el
sis ema
sea
de
ipo
G
,
sus
ma ices
y
asociadas pueden conside a se
como sumas de ma ices de ipo
N,
de
la
o ma
con
Mi
y
J;
de ipo
N
pa a odo
.
Si
la
luz a a iesa
el
sis ema en sen ido opues o,
las ma ices
M,
y
/,
co espondien es se án
con lo cual quedan demos ados los eo emas T11
y
T12 pa a
el
caso
gene al de medios Óp icos
de
ipo
G.
T13:
Teo ema del Ro o T anscenden e (TRT).-
Un sis ema Óp ico compues o po dos e a dado es
li-
neales de media onda,
es
Óp icamen e equi alen e a un o o
de gi o igual al doble del ángulo o mado po los ejes
á--
39,17
pidos de aquéllos.
T14: Teo ema del Compensado de Re a do Lineal (TCRL).-
Un sis ema Óp ico compues o po
es
e a dado es
li-
neales, de o ma que los de
los
ex emos son iguales
y
ienen
sus ejes ápidos alineados,
es
Óp icamen e equi alen e a un
19
e a dado lineal.
111, PROPIEDADES DE LAS MATRICES QUE REPRESENTAN A
MEDIOS OPTICOS
En
es e
capí ulo p esen amos
las
exp esiones analí-
icas
de los elemen os de una ma iz de Muelle de ipo
N
ge
m
né ica, en unción de
los
pa áme os asociados
a
sis emas
Óp icos equi alen es dados po los eo emas
TGE
y TDP. Pos e-
io men e analizamos con de alle las es icciónes exis en es
en
las
ma ices
asociadas
a
medios Óp icos en los o malismos
SMF
y
CVF. Dichas es icciones
se
p esen an en o ma de
sis-
emas
de igualdades
y
desigualdades, y,a pa i de
ellas,
se
es ablece inalmen e una condición necesa ia y su icien e pa a
que un medio Óp ico
sea
de ipo
N
(condición de
la
no ma), in-
ep e ándose
es e
esul ado en los o malismos SMF,
CVF
y
JCF.
El
es udio ealizado esul a de u ilidad pa a la ex acción
de oda la in o mación exis en e en
las
ma ices asociadas
a
medios Óp icos some idos
a
medida, pe mi iendo ajus es eo-
ía-expe iencia en unción de unos pocos pa a he os, y am--
bién
la calisi icación de dichos medios de una o ma sencilla
y
sis emá ica.
En la p esen ación de
és e
capí ulo hemos p e e ido
hace un a amien o igu oso y compac o, uni icando no a--
ciones y aglu inando esul ados de o os au o es, que o dena-
damen e incluimos jun o
a
nues as apo aciones o iginales.
Es
po ello que en odos los casos en que usamos apo aciones
de o os au' o es, los e e imos explíci amen e, siendo odo
lo es an e apo ación p opia.
111.1.
GRADO
DE
POLARIZACION
EN
LOS DIFERENTES FORMALISMOS.
El
g ado de pola izaciónG de un haz de luz
se
de i ie
El hecho de pode elegi
q=0
se debe a que el
sis ema equi alen e dado po la exp esión
(111.10)
depende
de ocho
pa áme os(Y,,
Zz
,Y3
,
E,,
,
6,
,
Se
,
y,
,
R
),de
los
que
sólo sie e son independien es, lo que da libe ad en la elec-
ción de
4
.
Esc ibiendo explíci amen e la exp esión
(111.24)
pa a los elemen os
mij
de la ma iz gené ica
M
ob enemos
*o,
=
ql,
,
m04
=
qlz
(
c,'
c',
-
S',
S;
c
l')
,
m,,
=
q',
(
S,
c:
+
C'I
S;
c")
,
-
q l
S;
S"
,
m03
-
MI,,
=
y' ~;
I

Il(
m,,
=
-q;s;c
,
m,,
=
q;
S;
S"'
,
m,,
=
9:
(~',c:-s:s c")~~~"'+
$3
(c]
S;
+S]
c:
c ')
c;
5"'
+~',s:s'c'~'
,
-
m,,
-
7;
(S,'
C?
+c:
s~C")
s~s"'
q;
(S:
S:
-c',c:c")c~s~"
-
c;
SI'
c
I '
1
-
5;
s'~"'-
c'
='
gs"'+
m33
-
q:
2
3
c1I
c"'
)
donde
La en aja que p esen a
el
aplica
el
eo ema TDP
con espec o
al
eo ema TGE, consis e en que
a
pa i de aquel
se
ob ienen odos los elemen os
de
una ma iz de Muelle ge-
né ica en unción de un conjun o mínimo de pa áme os indepen
-
dien es
(sie e),
y que po o a pa e, sin e iza
el
sis ema
equi alen e a pa i
de
sólo dos medios Óp icos (un pola iza-
do y un e a dado
),
y no
de
cua o como en
el
TGE. Sin
em-
ba go, al pone
la
ma iz gené ica ob enida a pa i del eo-
ema
TDP
-n
unción de ma ices sencillas, asociadadas
a
e a
-
dado es lineales, o o es
y
pola izado es lineales,
se
pone
de
mani ies o un
sis ema
equi alen e compues o po cinco
ele-
men os simples (dos e e dado es lineales, dos o o es y un
pola izado pa cial lineal).
A
pa i
de
las exp esiones (111.15)
y
(111,261,
es
ácil comp oba
las
siguien es elaciones
y, po lo an o,
?:=TI
/
P:
=/'L
(111.28)
111.3. CLASIFICACION
DE
LAS MATRICES
DE
MUELLER
DE
TIPO
N
Los
sie e
pa a he os que según (111.26)
ca ac e i-
zan
al
sis ema equi alen e son
4,
,
AL,
p,
,
TL
,
V
,
,y
-
En o den
a
la ob ención de dichos pa áme os en unción de
los elemen os
yn;~
se
pueden dis ingui
es
casos:
b
CASO-
1
:
(
m:,
+
m'.,
+
mi,
)''I
=
o
.
En
es e
caso
ql=O
7
Y7
según (111.27), los
ele-
nen os de la p ime a ila
y
de la p ime a columna, sal o
m,,
,
son nulos. La ma iz co esponde a un e a dado
elíp ico, cuya o ma gené ica
es
3
O
(III.29.a)
donde
siendo
y
el
azi nu h,
Id
la elip icidad de
SUS
dos au oes a-
dos elíp icos o ogonales,
y
A
el
e a do in oducido en e
ellos.
Los pa áme os
A
,
,
)u
se
ob ienen como
(m,,
-
m,,)
~WLLC*)
=
I
2-A
Es de se íala que
si
=
n/4
,
la
ma iz
M
co esponde
a
un
o o ,
y
si
W
=
O
,
co esponde
a
un
e a dado lineal.
CASO.
2.
:
'h
o
<
(m:,
+
m:,
+m;,')
S
moo
Y
T=
M
.
La ma iz
M
co esponde
a
un pola izado pa -
cial
elíp ico,
y
iene
la
o ma gené ica
cy=
~03.2~
,
SV=-i.-2~
,
Cg=
CO~(-VI),
S~W(-~).
(111.31.b)
El
signi icado de
P,
.
P,,
9
,
6
,
es
el
mismo
81
52
'u
yz
S
=S
-91
s~
56
que
el
de
p:,
p;
,
y
,
en
la
exp esión
(111.161,
y ienen
M'
dados po
91
c.
S,
C;
*
q3
S:
CVSU
Ch
(q q3)
-c~slJ
(?+
9,
i
S'
+
cZ
'
+
-q2
S~
56
-5y~y
S$,
(?,-?S)
-
C&Sd
(91~;
+9sc:-7d
(91
Y
93
)S&
S
(111.3l.a)
donde
m
=
(
m,.
-
A)
cc S2Y
CASO.
3.
:
O
<
(
m:
+
m:,
+
m:3)"
<
m..
y
M
.
A
pa i de (111.26) emos que
y, además
de donde
P #R
~$0,
L o
(111.35
)
La ma iz co esponde
a
un sis ema que posee p o-
piedades de e a do y de pola ización pa cial cimul ánea-
men e, y sus pa áme os equi alen es son

Las exp esiones
(111.36)
nos dan los pa áme os
co espondien es a un
sis ema
equi alen e cuyos elemen os
son
TG
L
(46/2)
R
(--y)
7
(o,
í>,, l,)
L
(?,Al)
R( 61
.
(111.37)
LOS
pa áme os
6
,
Y
,
p,
y,,
ca ac e izan ai po-
la izado elíp ico equi alen e mencionado en
el
eo ema
TDP.
Resul a de in e és aho a, ob ene asimismo
los
pa ame os que
ca ac e izan
al
e a dado elíp ico equi alen e, en o den
a
que, dada una ma iz de Muelle , sepamos ob ene
las
ca ac-
e ís icas
del pola izado
y
e a dado equi alen es.
La exp esión
(111.22)
puede pone se de la o ma
con
Y'V ?
7
p=y- -p
;
de donde ob enemos
la
igualdad
Ó
bien, en
el
o malismo
JCF
En p ime luga a a emos de ob ene
los
pa áme os
desconocidos
O(
,
6'
,
p
,
que ca ac e izan
al
e a dado lineal
~(d~6')
y
al o o
R(P)
,
en unción de los o os pa áme os
ya
conocidos. Una ez hecho és o, pod emos pone la ma iz
de Muelle
M
como p oduc o de las ma ices asociadas a un
pola izado pa cial elíp ico, un e a dado lineal
y
un
o o ,
de ca ac e ís icas conocidas. Pos e io men e despeja emos
los pa áme os que ca ac e izan al e a dado elíp ico equi-
alen e al sis ema o mado po el e a dado lineal
y
el o-
o .
Realizando
el
p oduc o ma icial indicado en cada
miemb o de (111.40) ob enemos
con
c
=
=&O(,
S=
,
=
,
q
=
sk
;
(111-41-b)
y
po o a pa e,
con
I
La igualdad
J=
1
es
equi alen e
a
de donde
as
algunas ope aciones sencillas, ob enemos
Despejando en
(111.44)
los
pa áme os incógni a,
és os
quedan
como
El
sis ema o mado po
el
e a dado lineal
L(d,SIJ
y
ei
o o
R(p)
equi aien es, equi ale asimismo
a
un
cie o e a dado elíp ico con au oes ados de pola ización
o ogonales
de
azimu h
X,,
y
elip icidad
,
y
que in oduce
un e a do
4
en e ellos.
Como
se
ió en (11.71, exis en dos pa áme os
c
y
S
ales que
Imponiendo aho a la igualdad de
la
ma iz de
Jones asociada
a
es e
e a dado elíp ico con
la
ma iz
J"E
JL
(a.
S')
JR
Cp)
,
y
ope ando de o ma simila al ca-
so an e io , ob enemos inalmen e
M
sea
de ipo
N,
M'
ambién
es
de ipo
N,
y
las
nue as
elaciones son
(miQ
-
m,.)'
=
(
mil
-
m,,)'
+
( n- z
-
m,$
+
(mL,-
m,;)',
(111-73-b)
=
m;,
m,,
+m;,
m,.,
+
mi>
nO3
,
(111.75
con
¿=4,2,3;
En
el
caso
de que
M
es
de ipo
G,
M'
ambién
es
de ipo
G,
y
enemos
las
desigualdades
con
L=
,2,3
.
Es
de
señala que
el
sis ema
de desigualdades
o mado po
las
(111.63)
y
las
(111.781,
el
sis ema
(111.621,
y
el
sis ema
(111.77)
son o almen e equi alen es.
Así
pues,
al conjun o de nue e igualdades exis en es en e los elemen-
os
de una ma iz de Muelle
de
ipo
N,
co esponde un conjun-
o de
seis
desigualdades en e los elemen os de una ma iz de
Muelle de ipo
G.

Lzs nue as elaciones que
e
han ob enido
a
pa -
I
i
de
M
cc, espcnde am ié a
la
mi iz
MT
,
lo que in-.
dica que
si
M
es
una ma iz de Muelle ,
MT
es
asimismc~ una
ma iz de Puelle del mismo ipc que
M
.
La igualdad (111.72
)
puede ecc ibi se am!zlién sus-
I
i uye .c'o
l
pc
M
Ó
po
M~,
ob eniendose espec i amen-
e
y
eniendc en cuen a que
I&
JI=
(a
J'I=IJ.~~I,
(111.81
ck ene ~cs la condición
de
la
que
se
pueden deduci odas las igualdades
es ic i-
as encon adas has a aho a.
A
ccn inuación amcs
a
cb ene o o conjun o de
nue e igualdades en e los ele en os de
una
ma iz de Puelle
de ipo
N,
que son di e en es, aunque equi alen es,
a
las
ya is as.
Lcs eleaen os de una ma iz de Jones
5
los
pcda c s
esc ibi con o me
a
la
no ació dcdc
e
(11.10)
y
(11.11)
pudiéndose esc ibi en o ma ódulo-a gu .en a1
De acue do con la no ación usada po F y
y
l.
5
Ka awa
,
de inimos los pa á ne os
Con es a nc ación,
y
eniendo en cuen a
(11.75
los eleRe os
de
la mc iz
de
Muelle cc espcndien e o1 mismo medio óp i-
cc
que se pueden pcne del modo siguien e
=
-~ld34~s+d,d+4w~
,
m,,
=
d,
d4
cdT+d,oís
ccd)
,
m,,
=
d,0~~~~~+01,0(~cu~A
,
Cen
las
exp esiones
(111.85)
pa a los ele en os
m;j
,
puede
ccm i oka se que
se
cu .pllen
las
nue e igualdodes siguien es
-
m
m3~
-
m,
m,,
-
M1zm32+~~3m33
=2
dld~~3d4~~(p;@ ~3 p4~
(111.87.~)
Las igualdades (111.87) pueden sus i ui se po
las
es
siguien es
'L
7.
-¿
2
Z
2
2
2
m,- n. 3
+
m3-L-
m33
=
moz
-we>3-W ,1
4-
mi3
=
1
2
2.
2
2
7
M:,
-mq
+
m:o
-m3,
=
WO3
-
m,,
+
Wi62
-
Wi,,
=
Las elaciones (111.86) han sido ob enidas po
Abhyanka y ~~ma l~
,
comple ando
el
sis ema de nue e igual-
dades con
es
elaciones cuá icas. Pos e io men e, F y y
Ka awa 15 han demos ado que dichas elaciones cuá icas
pueden sus i ui se po las (111.87)
Ó
(111.881,
que son más
sencillas.
El
sis ema de nue e igualdades independien es o
-
mado po las (111.86) jun o con las (111.87)
ó
las
(111.88)
es?
como ya
se
ha dicho, equi alen e a los o os sis emas de
nue e igualdades es ic i as independien es ya es udiados
A
pa i de las elaciones (111.57)
y
(111.74)
es
ácil ob ene dos igualdades in e esan es, que son
I
Z
2
m,,
+
mo2
m.%
=
+
m:,
+
,
(111.89)
La
igualdad (111.89) ya
se
ck u o en (III.27.b)
a
pa i de la o ma explíci a de una a iz de Puelle de ipc
N
gené icc en unción de sus pa ame os equi ale es, d~ zcue
-
dc
ccn los
ec e as
TGE y
TDP.
Po o a pa e,
la
igualdad
(III.gG), que ambié
se
c:b iene su ando
las
elaciones (111.86)
exp esa u
a
p opiedad que, ccmc e emos,
es
de g an u ilidad
en o den a dis ingui los medios Ó~ icc~s de ipo
N,
de los
que despcla izan la luz.
Conside ems ahc a una nc. iz de Iluelle
M
de ipo
G
co ci suma de un cie o núme o de a ices de Muelle de
i-
po
N.
Teniendo en cuen a
es e
-ecbo ~uede demcs a se que
cun.Flen las siguien ez dezigucldcdez
15
A
la
igualdad (111.90)
le
cc, ecpc .de cho a
la
desigualdad

Pci a inaliza
es e
apa adc ck e ,d emc~s un coniun-
o
de desigualdsdes, de
ca ác e
dis in o
a
las
ya
es udia-
das, que
se
cu .Flen pa a oda mc~ iz de
Y~elle .
Los elemen os de uno ma iz de Vuelle
M
de
i-
pc
N,
puede . esc ibi se con la nc ación dada en (11.75).
Aplicando la desigualdcd
)<2 ~2>_+2~~,
(111.93)
e .
las exp esiones (11.75.
b.
)
cc np obamcs que
Teniendc aho a en cuen a la
exp eción (II.75.a),
es
ácil
ccmp oha
ace
se
cu ~plen
las
siguien es desigcaldzde~
moo
+ml,
3
+
(
ni +m,a)
,
moo
+ml,
3
(ms -
n23)
,
~n,
-m,,
>,
+-
(m11-m3;),
m,,
-
m,,
2
2
-
(m,,-
,
no
+
m,,
>,
(
m02
+
m),
m,,
+m,,
3
+
(
nol+ n,3),
m,,
-
m,,
2
5
(
mgo
-
mi,)
m,,
3
2
m.;
Vi,i
.
A
Es as
desigualdades, que son adi i as
y
po
lo
an o debe . c ,~li se pa a odc ma iz de Vuelle sin excep-
ción. han sido pues as de ani iec o ecien emen e po
R.W.
~c -.ae e 16
,
a quien
se
de e a n lién e1 a gumen o usadcl cquí
pa a su deducción.
111.5. RELACIONES RESTRICTIVAS
EN
UhA
RATRIZ
V
DEL
FCRI"'P.L,IS-
M0
CVF.
Del
mismo
,cdo
que las
mc ices
de iluelle , las
niz ices
/
de ipo
N
deyi;e .de ;, en ge e al, de
sie e
pa á ne-
os independien es.. Ello
im~lica
que
debe
exis i un cc.n-
jun o de nue e es icciones en e sus eleme os, (ade ás de
las
(II.55),
qce
con inhe en es
a
la p opia de inición de
la
ma iz
V
1.
La exp esión (11.79) mues a
la
o ma de una Fa-
iz
/
en unción de su co e pcndie e n-a iz de Jcnes
5
,
y
e
ella
se
cbse a que
el
p oduc o de los ele e~ os ex e-
mes
de .a cclu~na, ila
Ó
diagcnal de
V
es
igual al p oduc-
o de sus cc e pondien es elemen os in e medios. Es e hecho
se
aduce en
la
exis e .cia de las diez igualdodes siguien es13
DP
es as
igcaldsdes sólo ccho son independien es,
así, po ejem~llo, son indepe~dien e~
las
ccko p ime as. La
nc e a igucld~d independie e puede
se
una cualquie a de
las
sigcie~ es
Las igualdades (III.96.a-g) ccn ienen Únicamen e
can idsde eales, pudiéndcse comple a
el
sis ema de nue e
igualdadec, añadiendo las (III.96.h.
),
(III.96.i)
y
(III.97.a)
las cuale , eniendo en cuen a (11.55). pueden educi se a
exp eciones eales de
la
o ma
P.
con inuación a c.s
a
es udia o os sis enas d~
nue e es icciones en las ma ices
V
de ipc
hT
que, aunaue
equi alen odcs en e
si,
se
p ese . an de modo di e en e
y
en
ccasiones son de ilidad.
En
el
o malismc
CVF.,
la
o ma cuad á ica
co es-
pc ,dien e
a
un haz de luz de ec o de cche encia asocia-.
dc, puede
esc ibi se
como
F=ZD'~D,
(111.99)
donde
D~
es
el
ec o ila anspues o del ec o colun.na
b
y
h
es
la n~ iz
o
0
o
o
O
C~nside e~cs un
k.az
de luz ca ac e izadc po una
ma iz de cche encia
y
un ec o de
ccbe e~cia
p
,
que
c a ieca un medio Óp icc de ipcl
11:
ccyas ma ices asociadas
en los o malismc~s CKF
y
CVF son
J
y
V
K-espec i amen e.
El
haz de 1u2 eme gen e end á c& ac e iz.ado pc una mz iz de
cche e .cia
y'
,
así co nc pc' u ec o de cche encia
D'
ds-
dos po
Teniendo en cuen a
las
exp esiones (111.641, (111.99),
(111.101
)
y
(111.102
),
pod~~cs
esc ibi
de
una na iz de Jcnes ge é ica, en u .ciÓn de
la
ansmi ancia
TN
c'el edio Fa a luz na u al.
Es
de
se lala
que, aunque
en
el
o malismc JCF
nc,
scn eF ese i ahles es ados
de
luz pa -
cialme e ~ola izadc,
las
ma ices de 2cnes co ie en in o --
nación
C'e
TN
,
pues ccmcl amc~s
a
e ,
TN
puede cb e e se comc
la
se .isuma
de
las a smi ancias en in ensidad ,áxi na
y
míni-
mc pa a a iaciones a bi a ias del ec o de luz inciden e.
Dadc una ma iz de Jones
,
siec.p e pcde os
asocia le
des
~Ú ,e os
(J)
y~CJ)
,
donde
y
y
son, espec i-
amen e,
el
máximo
y
mínimo alo del cocie~ e
co
espec o a a iaciones a ki a ias de las dos compocen--
es
del ec o de Jones
E
'
.
Todz ma iz de 2cn~s
U
uni a ia deja in a ian e
el
módulo del ec o de Jcnes&
,
y,
po lo an o
(u)= (~)
=
i
.
(111.129
)
En
i ud del ec e -o TGE, oda m,a iz de 2ones
puede esc ibi se de
la
o ma.
(111.130)
dcnde
U,
y
UL
so ma ices uni a ias,
y
4
es
la ma iz aso-
ciada
a
un ~cla izadc ~a cial cuyas answi ancias p incipa-
les
en a pli ud son
T,
y
P,
.
Teniendo en cue~ a las exp e-
sio ies
(111.129)
y
(111.130) ob ene os
Ce
acue do con las exp esiones (111.15)
y
(III.26),el elemen o m,,de una a iz de Muelle
M
de
ipo
gené ica co espondie~ e a la ma iz de Jcnes
1
,
puede

esc ibi se cc nc~
Pc o a pa e, secjún (11.73
1,
W oo
pcede exp esa -
se
en unció , de los elem~mn os de la ma iz
J
,
del siguien-
de dcnde
L:a
exp esión (111.133) no5 incica que
la
se ,isu-
ma de los cuad ados de los módulos de los ele en os de una me[-
iz de
2o es
es
igual
a la
ansmi ancia en in ensidad pa a
luz na u al, del medio conside ado.
A
oda mc. iz de Jones
J
pcd~mos
asccia le
cna
nc, ns
(
J)
,
de inida pcsi i a, dadc pc
42
(~)
=
[ T(~ ~jk=
[ (~; jlii~=[i
,
A=
l
IJij ]"
I
c
bien, eniendo en cuen a (111.133), (111.135
C
(J)
=zm,,
=2TN
.
(111.136
)
Ccmpa ando (111.136 ccn (111.112 emc~ que
Lec
exp esión (111.136) mues a que la ccndición
de la no ma (111.112) pa a una m~ iz de Yuelle
V1
,
es
una ani es ación
de
la de inicióc d~ la
o ma
(111.1351,
pa a la ma iz de ,Tones que ez á asociada al mismc medio
Ó~ ico
de
ipc
N
que
M
.
Dichas ma ices
M
y
J
puede . nc -
maliza se ccnjun ame~ e de
la
o ma
111.8.
CClNDICIOli
DE
LA
NCRMA
Ehl
MATRICES
V
DEL
F0RIViALISIV;O
CVF.
A
ods ma iz
V
del o malismc CVF pcde os
42
asocia le cnc nc na
G(V)
,
de inida pcsi i a,
al
que
(111,140
)
Vimcs en (11.78) que u a ma iz
V
de ipo
N
puede esc ibi se en unción c:e
SL
co espcndien e a iz de
Jones cc nc~
V=
JX
J*,
(111.141
)
donde
X
indica
el
p oduc o de K onecke .
A
pa i de (III.14C)
(111.141)
es
ácil cc np oba que
L,a
exp esión 111.42, jun o
cc ,
(111.135
),
(111.136)
y
(111.137) nos pe mi e esc ibi
R
( )
=
(M)
=
J)
=
z
m,,
,
do~de
las
ma ices
V
.
M
y
J
cc e ponden al mismc ,~dio
óp icc de ipo
hl.
Si
el
medio conside adc)
es
de ipc
G
,
M
y
V
es án elacionadas según (11.51
).
y
en onces,
Teniendo en
cce~ a
que
es
uni a ia
y
que
?~(AB)=~(BA),
la
exp esión (111.144)
se
co ie e en
elación que queda, pues, es ablecida pa a odo edio Óp ico
de cz ac e ís icas cualesquie a.
Toda mc. iz
V
puede nc~ naliza se de
la
o mci
donde
Pe
mcdc cnálocc
a1
caso de ma ices de Yuelle ,
es
inmedia o cc lp oka que
la
ccndició , necesa ia
y
su icie -
e
pa a que cna ma iz
V
co espc da a un edio
Ó~ icc
de
i-
pc
N
e
111.9.
INCICES
PIE
PCLARIZACIGh!
Y
DECPCLARIZACIOK
D~dcl un medio
Ó~ icc
O
,
és e
iene asc ciadss dos mcl-
icec de lluelle
M
y
M'
,
que cc espcnden
a
los dcs
se i--
dos en que
la
luz puede incidi sob e
O
.
Po ccn e io di e-
mos que
M
co esponde a
0
cuandcl
la
luz incide en se : ido
I
"di ec o",
y
cuandc
la
luz incide en sen idc "opues o".
qce denc a e :cs ab e iadame .
e
como
Spi,
Sn;
con
i=1,2,3.
Tan o
las
ma ices
coi !cl los ec o ez es án e e idcs a
u nis c.
sis emc
ca eiianc de
e'es
XY.
Los ec o es
5
5,
PC
J
cc espc~nden a haces de luz o almen e
ola iza de,
de mcdo
que sus o mss cuad á iccs s.sociadas scn
Cuando
el
medio Óp icc
O
es
a a esado en sen idc di-
ec o Fc un haz de luz cuyo ec o de L okes spi(Sn )asociadcI
es
u .0 de los dsdos
pc
(III.l5G),
el
haz de
luz
e ,e gen e
e d á asociadc un ec o de i okec
slpi
(sihi)
.
pa a
el
cuol
la
o ma cuad á icc oma
el
alo
I
p;
(111.151.a)
J=
0
Les
alo es. p omedio de ~s as o mas cuad á icas
pa a cada dcs ec o es. de C okes asociados
a
haces de luz de
~s adc,s de ~cla izació c o5o ~ales
.S ;
,
S";
son
1
Z
1
1
2
Z
2
Z
1
F:
S
(
Fp,
+
Fh,)
=
moO
+moi
-M,,
-
n,,
-
m,,
-
m,.
-m,o-m,,
,
(III.152.a)
'4
1
2
1
Z
2
Z
,
z
-(F;,
+
Fn )
=
m,.
+m9 -m,,-~~,,- n,,-m~o-m,.-@o,
2
(111.152.b)
y
el
p c ,edio o al
es
El
alo de
i
nos da
el
p ~ ~edio de los cuad a-
dos de las in ensidcdes
de
luz dezpcla izadz que e ,e ce
de
O
pa a haces de luz de ec o es
de
C okes
Spi,
S,,;
qUe
incide . en sen idc di ec o.
Si analizamos
cc
de alle el sig .i iczdc de las
o mes ccad á icas 111.152, e es que
;i
( :-,)=0
si,
y
se.-
lo
si,
0
nc despola iza la luz de ec o d~ S okes
sp
(S,,;)
que
le
incide en sen idc di ec o.
demás
de
acue de,
cc,n la
desigualdad
x2
+y2
>/
?.
2XY
sabemos que
F',;
>O;
;=4,2,3;
(111,154)
1
en onces, pa a luz inciden e en sen ido di ec o ~od€ ,cs
es ablece que
izo
m
0
nc des .ola iza la luz pcla izada lineal
según
lcs
ejes
XY,
F:
=
O
<=>
0
no despcla iza la luz pola izada lineal a
145Q
con los ejes
XY.
F:=
0
<E$
0
no d~cpc~la ize la luz pcla izada ci cula
(dex o
Ó
le o).

Po lo an o
I
b=O@~~= ~i=O
i= ,2,3
.
(111.157)
1
Es e
Úl imc
esul adc nos dice que
b
es
condi-
ción necesa ia
y
su icien e pa a que
0
¡-.o des~ola ice luz de
ec o es de C okesSp;
,Sn;
asociadci
a
haces de luz que inci-
den en se ido di ec o. Sin emba go, puede habe luz de c. as
ca ac e ís icas, que incidie dc en Een idG di ec o esul e des-
pola izada
a
la salida.
Hc~cie dc un desa cllo análogc
al
an e io , pe o
conside andc que la luz incide sob e
0
en
sen idc
pues o,
es
d~ci , en
el
sen ido en que
O
es á
ca ac e izadc pc
la
#
ma iz de Puelle
M'
,
los ec o es de C okes
5'ki
,
co es-
pendien es
a los haces de luz e nc ge es, end án asociadas
las o m~.s cucd á icas
'1
El
p omedio
,
de
los
cuad ados de las in ensi-
dades de luz despcla izada que cme ge de
O
pa a haces de luz
de ec o es de C okes
Sp;,
S,;
que inciden en sen idc opues o
Todas
las
conclusiones ob enidas pa a
F;~
,
F;;,
Fi
cuando
O
es
a a esado en sen ido di ec o, son
i
álidas pa a
F'1
,
Fni
,
cuando
0
es
a a esado en sen ido
P
opues o.
La o ma cuad á ica semide inida posi i a
(111.160)
puede conside a se como un p omedio del cuad ado de in ensi
-
dades de luz no pola izada eme gen e, pa a haces de luz de
ec o es de S okes
Spi,
S,',
inciden es en ambos sen idos.
Compa ando las de iniciones (111.110) y (111.160)
emos que
De
acue do con
el
eo ema de
la
no ma enunciado
en
el
apa ado (111.61, podemos a i ma que
6-0
si,
y
sólo
si,
el
medio Óp ico
0
no despola iza luz de ningún
ipo
sea
cual
sea
el
sen ido en que
es
a a esado. Es e
hecho nos
da
una in e p e ación del signi icado ísico de
la no ma ya que
y
es a
exp esión nos dice que
E'(M)
es
igual
a
la
di e en
-
ia
en e cua o eces
el
cuad ado de la ansmi ancia del
medio pa a luz no pola izada y
es
eces
el
p omedio
Fb
.
A
la magni ud
6
(M)=
K(M')
,
la
denomina emos
Fac o de Despola ización, ya que da una idea global de la
iespola ización que p oduce
el
medio Óp ico
O
.
Po analogía con las exp esiones (11.27) y (11.28)
que elacionan
el
g adc de pola ización
G
de un haz de luz.
ccn su cc espondie . e o ma cuad á icc
dado po (11.261,
pode !os de ini
el
Indice de Cespcla izació co espondien e
al
medio Óp icc
0
co ,c~
LOS
anc,os de alo es pcsibles de
6
>
Gn
son
OS
Fb
<
m:o
(111.164)
o<Gb<
i
;
(111.165
donde
lo::
alo es
Fo=o
,
Go=d
co esponde
a
medios de ipo
N,
y
b=
m:,
,
G,=o
cc espcnden
a
un despcla izadn id al,
es
deci , a un niedio 6p icc al que despola ice o almen e
odc haz de luz que incida sob e
él
en un sen ido
Ú
o o.
La ma iz de Muelle c~~ espcndien e
al
medio
Ccnside e ccs aho a que sob e un medio Ó~ ico
0
incide luz no pcla izado de in ensidcd ~nidsd, en sen idc'
I
di ec o.
El
ec o de S okesS cc~ espc ndien e
al
haz eme -
gen e iene dado po
Ce inimcls
el
Fac o de Pola ización Di ec o del
hedio Óp icc
0
co no la o ma Fuad á ics
,
asociada
al
ec o
5'
de acue do con
la
de inición (111.261,
es
deci
Análogamen e de inimcs
el
Fac o de Pcla ización
Recíp oco del medio Óp ico
O
,
como la o mc cuad á ica
cc espcndie . e
al
ec o
qce
es
z
2
2
Z
Fe
=
m,.--
m,,
-m,,- n,,
.
1
'1
A
pa i de
p
y
p
,
podemcjs de ini
el
Indi-
I
ce
de Pola ización Oi ec o
Gpe
Indice de Pola ización
Eecí-
I
11
Los pa á e os
,
,
Ó
ien
Gp
,
Gp
nos don in-
o mación ace ca
de
la
capacidad que
ie e
un medio Óp iccl
O
pa a pcla iza luz no pcla izadc. Los ancos de lalo es
PO-
sibles de dichcs pa áme os son
En o den a que
el
es ado de pola ización del
haz de luz que eme ge
de
0
,
gene ado po
la
p ime a pa e
del disposi i o, a íe de modo con ínuo con
el
iempo, su--
pond emos que
el
e a dado
Li
o a en o no al eje Óp ico
Z
con elocidad angula
d,
.
Análogamen e, pa a que la
se-
gunda pa e del disposi i o analice dinámicamen e
el
es ado
de pola ización
de
la
luz que lo a a iesa, supond emos que
el
e a dado
Lz
o a en o no al eje Óp ico
2
con eloci-
dad angula
dC.
Po lo an o podemos esc ibi
pl
=
L4-
,
(IV.9.a)
(IV.9.b)
Como
se
e en (IV.91, suponemos que en
el
ins-
an e
?=
O
.el
eje ápido de
L,
,
es á
alineado con
el
eje
X
de e e encia, y que
el
eje ápido de
L2
o ma un ángulo
dz
con
el
eje
X.
Como ya
se
indicado, p e endemos ob ene los
elemen os
m"
a
pa i de un análisis de Fou ie de la señal
'3
de in ensidad de luz pe iódica
U,( ).
Pa a que és a unción
p esen e
el
aspec o de una
se ie
de Fou ie uncada a pa -
i
de un
cie o
é mino a mónico,
es
necesa io impone una
elación
dz=
R
di
,
en e las elocidades angula es de o ación de los e a da-
do es, donde
R
es
un núme o acional.
T as ealiza la ope ación indicada en
(IV.6)
y
haciendo uso de (IV.9 y
(IV.
10)
se
ob iene

%lo
-~eu.
(4R. 2)p,
+
h,,
cd
(4R 2)pl
+2,,
9e~<(4~-4)~,+
1,
(4R-
4)p,
2
,,- ecc(@+4)pI
+
h,,
ch
(4R+4)pI
,
(IV.11)
donde
h;
,
3;
son coe icien es que dependen de
los
elemen-
os
y de
los
pa áme os
K,
,
KL,
5,
,
Sz,
81
,
Bz,
a2
-
La exp esión
(IV.11)
puede conside a se un de-
sa ollo en
se ie
de Fou ie en
múl iples
de la ecuencia
p,
.
Po medio de un análisis de Fou ie de
la
señal egis
-
ada
Ub,
pueden ob ene se
los
coe icien es de Fou ie
h;,
cdj.
Es os coe icien es dependen linealmen e de los elemen-
os
Ynij
,
o mando un
sis ema
de ecuaciones en
el
que
las
incógni as son dichos elemen os.
Dependiendo del alo que asignemos
a
R
po-
demos consegui has a un núme o de doce ecuencias múl i-
plos de
p,
,
más
el
é mino cons an e
h,
.
Sin emba go, en
o den
a
una mayo sencillez en
los
cálculos
y
en
el
p oce-
sado de
las
señales, nos in e esa halla un alo de
?
al
que, gene ando un núme o de coe icien es de Fou ie su-
icien e pa a ob ene
los
elemen os
m.-
dé luga a un desa-
'3'
ollo en
se ie
de Fou ie
lo
más
co o posible
.
Los alo-
es
R=
I,Z
conducen a desa ollos en se ie de Fou ie con
núme o de a mónicos insu icien e en ambos casos. El alo
41
R=3h
conduce a un desa ollo en se ie de Fou ie del ipo
-
Al esc ibi los coe icien es
A;,Bj
en unción de
los dieciséis incógni as
m..
se ob iene un sis ema de die-
'
cinue e ecuaciones, de las que sólo quince son linealmen e
independien es. En el caso de que engamos alguna in o mación
adicional ace ca del medio Óp ico
O
al que co esponde
M,
como po ejemplo que sepamos que
0
es de ipo
N,
Ó
que co-
nozcamos el alo
TN
de su ansmi ancia en in ensidad pa a
luz no pola izada, podemos comple a el sis ema de dieciséis
41
ecuaciones con la elación
ó
con
(IV.
14)
espec i amen e.
Pa a una o al gene alidad del mé odo de de e mina-
ción de la ma iz
M
,
esul a más deseable un alo de
R
que
dé
luga a diecis6is ecuaciones linealmen e independien es.
Los alo es de
R
que cumplen dicha condición son
donde
n,,
ll
son núme os na u ales
y
n,>Z
.
Po azones de simplicidad en el mon aje expe imen-
al, in e esa que las elocidades angula es
c3,
y
u
di ie--
an lo menos posible.
Los an e io es equisi os
se
cumplen de modo Óp-
imo escogiendo
el
alo
R=
5/2
,
que lle ado
a
(IV.7),
y
habida cuen a de
(1 .3)
y
(1 .8)
con-
duce
a
44
donde los coe icien es
de
Fou ie son
&,
=
e,4
(c,m,,-
S,
m.,)
di
,
(c~ n~~+Sm~i)
B&
=
4
A,
A,
kI3
(m,,
+m,,)
+
c,,
(mzl-
ml,)l
)
A?
=
-i
b,
L2
Icl0
m,.
+
cs
m,,
-
5s
mo, c8mi,
-s8 n,,
2
+
c3
(h,,-
m,,)
+
S,
(m,,
+
m,,)
b,~
(~10~0~
s8
~ij
'g n23)
c
&u;
.leuS,(slo
m,,
s5
m,,
+LS
~32)

Aq
=
1
b,dl
cio
m~l
-S,,
m.,
+
c,
(m,,-m,)
-S,
(w,,+ n,,y
CY,WS,
d~
(cIO~~~
+SI~%I)
1
A,,
=
a,&
(c?
m,.
-55m2.)
-/- i
d,
LCI
<cq
m,,
-
SI
m,,)
+
S,
(
~q
WQ
-sq
n~)]
,
En
(IV.18)
y
en adelan e usamos
la
no ación
I
,=
5%
u;
cm%&,
,
La
in e sión del sis ema de acuaciones
(IV.18)
conside ando los elemen os W ;.como incógni as
y
odos los
J
demás pa áme os como da os, conduce a
-
, ,
~,
CC,
m,,
+
S
m,,)
+
S,
(czml~+
s2
l
a,
a,
De
acue do con
es as
exp esiones emos que
e-
gulando
la
o ien ación
d
del e a dado in e medio ob ene-
mos di e en es e a dado es lineales equi alen es con a-
lo es
de
@
yA
en los siguien es angos
En luga de u iliza
dos
conjun os
de
es
e-
a dado es, podemos u iliza dos conjun os iguales de dos
láminas
de
e a do lineal. Uno
de
dichos conjun os lo
i-
pi icamos como
L
(4,
6)
L
(O,
S')
,
y, según
el
eo ema
T4,
sabemos
que equi ale
a
un sis ema
L
(@,A)
6?
( )
compues
-
o
po un e a dado lineal y un o o equi alen es
ales
39
que
Si u ilizamos como e a dado
i
el
sis ema
LC~,S)L(C,~')
ycomoLLelsis e naL(o,S1)~(á,~)
,
el
e ec o del o o equi alen e de un
sis ema
se
compensa
con
el
del o o, ya que ambos o o es in oducen un gi o
igual y de sen ido opues o.
El
pa áme o del o o equi
-
alen e de cada
sis ema
no depende de
la
o ien ación abso-
lu a de
és e,
y po
lo
an o
el
e ec o
de los o o es
se
compensa incluso cuando los dos
sis emas
de dos e a dado es

es án en o ación.
IV.3. SEÑAL APARATO
En el apa ado an e io se ha is o que los pa á--
me os ca ac e ís icos del disposi i o se ob ienen a pa --
i de un egis o ealizado sin coloca en el disposi i o
ningún medio Óp ico p ob1ema.A oda señal ob enida en un
egis o del ipo mencionado, la denomina emos señal apa a-
o. Los pa áme os ob enidos a pa i de dicha señal pueden
u iliza se pa a gene a ,po medio de un o denado ,la g á i-
ca de una señal ideal co espondien e a dichos pa áme os, y
que
se
ob iene con la ayuda de (IV.21). La g á ica de la
señal apa a o ideal así ob enida puede compa a se con la
co espondien e al egis o expe imen al, dando una idea
cuali a i a isual de la p ecisión en las medidas. Cuan o
más se asemejen las dos señales, más p eciso se á el dispo-
si i o? Ejemplos de señales ideales co espondien es a di-
e en es alo es de los pa áme os ca ac e ís icos del dis-
posi i o se mues an en Fig. IV.2-IV.5.
IV.4
ANALISIS DE FOURIER POR ORDENADOR
DE
LA SEÑAL REGISTRA-
DA.
Pa a la ob ención de los coe icien es de Fou ie
co espondien es a una unción abulada
U0(x)
p o enien e
de un egis o de medida, nos hemos basado en un algo i mo
45
simila al p opues o po A. Rals on y
H.
Wil
.
Los da os
*
En el capí ulo VI se analizan y discu en los p incipales
e ec os que pueden induci di e gencias en e la señal apa-
a o ideal y laexpe imen al-
Fig.IV.2.- Señal apa a o co espondien e
a
los
si-
guien es alo es de los pa áme os del
disposi i o de de e minación de
ma i-
ces
de Muelle :
OC =
04,
e,=
22.5O,
A,=
6,=
90°,
g,
=
aL=
1,
0,;
OO.
Fig.IV.3.- Señal apa a o co espondien e a los
siguien es alo es de los pa áme os
del disposi i o de de e minación de
ma ices
O
de Muelle :
=
22.5O,
e
I
=
o
,
e,
=
45O,
6,
=&=
9oa,
j,
=
a,=
0.980.
Fiq.IV.4.- Señal apa o co espondien e a los si-
guien es alo es de los pa áme os del
disposi i o de de e minación de ma i-
ces de Muelle
:
CI,
=
0°,
e,
=
22.5'
,
6,
=
6,
=
90°,
8,
=
8.'
1,
el=
0'.
Fig.IV.5.- Señal apa a o co espondien e a los
siguien es alo es de los pa áme os
del disposi i o de de e minación de
ma ices de Muelle :
d,=
45O,
0,
=
O',
e,=
90°,
6,
=SL=
90°,
3,
=
qL=
1-
eque idos po nues a sub u ina de análisis de Fou ie son
los siguien es
1-
Valo en e o
N,
al que
hay
2N+1
pun os abulados, que
son
2-
Valo es de
la
unción ~()opa a
O<
X
&
2TT
,
abula-
dos en in e alos de
2~
AZNCI)
-
3-
O denM de coe icien es de Fou ie deseados,
al
que
O<M<N
En nues o caso
M=i4,
y
el
núme o mínimo de
pun os-da o eque idos
es
2M+ =29
.
V
METODO DINAMICO DE ANALISIS
DE
LUZ POLARIZADA
El
es udio ealizado en
el
capí ulo an e io
puede pa icula iza se pa a
el
caso en que
se
desee de e -
mina
el
ec o de S okes asociado
a
un haz de luz p oble-
ma.
Ve emos que
ello
se
puede consegui ealizando en p i-
me
luga un calib ado del disposi i o pa a
la
longi ud de
onda de dicho haz,
y
egis ando después la señal de in en
-
sidad de luz del haz p oblema
as
a a esa
és e
el
dispo-
si i o de medida.
V.1.
DISPOSITIVO DE ANALISIS
En
el
apa ado
1V.I.
se
comen ó que
el
dis-
posi i o de de e minación de
ma ices
de Muelle , esquema-
izado en
la
Fig.
IV.l,
puede conside a se di idido en dos
pa es. Una de
ellas,
la
que con iene a
LLY
PL
,
si e pa a
analiza
el
es ado de pola ización de la luz que incide so-
b e
él.
El
esquema de la Fig.
V.1.
mues a
el
disposi i o
u ilizado pa a ob ene los pa áme os de S okes co espon-
dien es
a
un haz de luz p oblema
La
ma iz
de Muelle co espondien e
al
sis-
ema o mado po
L2
y
PZ
,
es
la ma iz
8
dada en
(IV.
7).
El
ec o de S okes
u
co espondien e al haz de luz eme gen e,
cuando incide sob e
el
disposi i o un haz de luz p oblema
de ec o de S okes
S
es
U=BS,
( .
i
)
la
in ensidad de luz eme gen e
es
u.
=
b,,
S,
+
b,,~,
+
b,,~,
+
b.3~~

Fig.V.l.- Esquema del disposi i o dinámico de análisis de luz
pola izada.
H:
haz coiimado de luz monoc omá ica.
L2
: e a dado o a o io
P2
:pola izado lineal
C2
:len e colec o a
DT:de ec o
RG:ins umen o de egis o
A
pa i de
(IV.7)
y
(V.2)
y u ilizando algu-
2
o
nas elaciones igonomé icas
se
ob iene
u.=A,+Bl~euu,-+
A,L~~w+B~A~~L~z~+A~c~~~o,
donde
( .3
Has a
aho a
se
han dejado lib es
los
dos
pa áme os angula esez,d,. Pa a conc e a conside a emos
un
sis ema
ca esiano
de
ejes de e e encia
XYZ,
de
o ma
que
la
luz
se
p opaga en
la
di ección del eje
Z,
y
el
eje
de
pola ización
del
pola izado lineal
Pz
coincide con
el
eje
X.
Con
es a
elección,
el=
0
,
y
%es
el
ángulo que
o -
ma
el
eje ápido
deL
con
el
eje
X
en
el
ins an e inicial.
Las exp esiones
(V.4)
se
con ie en aho a en
Po
medio
de
un análisis
de
Fou ie
de
la
señal
de in ensidad de luz
U,
,
se
pueden ob ene los coe icien
-
es
de Fou ie de
la
se ie
(V.3).
Si conocemos los pa áme-
os
d ,
Kz
,
dz
,
ca ac e ís icos
del
disposi i o
de
análi-
sis,
a
pa i de
(V.5)
es
ácil
comp oba que los elemen os
del ec o de S okes
S
co espondien e
al
haz
de
luz p o-
+
8
0
I-ma son
V.
2.
CALIBRADO.
Una o ma de ob ene los pa áme os
KL
,
d
,
es
ealiza un egis o cuando incide sob e
el
disposi i o
un haz de luz pola izada lineal según
el
eje
X
de e e en-
cia.
En
es e
caso
S=(;)
y
los
coe icien es
de
Fou ie co espondien es
al
análisis
de
Fou ie de
la
señal de in ensidad
de
luz
U.
son
( .
7)
1
donde
los
coe icien es
A;
,
8;
;
que suponemos conocidos,
ienen a ec ados po un ac o global
de
escala
.
Los pa á ne os
,,
Z,,
h
,
de inidos como
pe mi en ob ene
&
,
kl
,
d2,
,
del siguien e modo
lo cual jus i ica
la
suposición
eó ica
de
que
%
es
un pola-
izado lineal o al. Po o a pa e, como la o ien ación de
PL
es
ija du an e cada medida, no
se
p oducen e o es
sis-
emá icos debidos
a
la
di e en e espues a del de ec o pa a
di e en es es ados de pola ización de
la
luz que
le
incide,
e ec o
és e
que hemos comp obado en
el
labo a o io con muy
di e sos de ec o es.
Como e a dado es
Li
,
LL
,
hemos u ilizado láminas
come ciales
Pola oid, que p esen an un alo nominal
de
e--
a do 140k20
,
pa a una longi ud
de
onda
,!i
=
5600
R.
El come ido de
los
dia agmas
Fl
y
FL
es
e i a que
se
p oduzcan e lexiones múl iples en e los di e en es
com-
ponen es que son a a esados po
el
haz de luz. Dichas
e-
lexiones p oduci ían haces de luz pa ási os inciden es so-
b e
el
de ec o .
El
il o neu o
N
así
como
el
di uso DF si en pa-
a
a enua
la
in ensidad de luz que incide sob e
el
de ec o
cuando
és e
es
un o omul iplicado .
La inalidad
del
il o in e e encia1
es
e i a que
incida sob e
el
de ec o luz ambien e de longi ud de onda
di e en e de
la
longi ud de onda
del
lbse .
En la Fig.
VI.2
se
mues a un esquema del mecanismo
que p oduce la o ación
de
los e a dado es
L,
y
L.L
Di-
cho mecanismo consis e en un acoplamien o de dos eng anajes
pa alelos ex e io es, mo idos po un mo o asínc ono
(MA)
que a adosado a
la
ca a
an e io del sopo e de aluminio
que si e de sus en o del apa a o. El mo o a conec ado
a
la
ed y iene una elocidad en acío de 3.500
.p.m.,
con
una po encia de 200
W
ap oximadamen e. Dicho mo o ansmi e

Fi5.VI.2;- Esquema del mecanismo p oduc o de
la
o ación
de
los
e a dado es.
MA:
Mo o
asínc ono
EA: Eje de
ace o
EP: Eng anaje pa alelo
PM1, PM2: Piñones
mo ices
CD1, CD2: Co onas den adas
PS1, PS2: Placas de sopo e
CS1, CS2: Ca casas pa a
la
sujección de
los
e a dado es.
LC: Lámina de
cob e
DE: Disposi i o elec ónico
de
dispa o,
ac-
i ado pe íódicamen e po LC.
el
mo imien o al eje de ace o
(EA)
po medio de un eng anaje
pa alelo (EP).
Es e
eje o a en unos pequeños odamien os,
y
solida ios
a
61 an dos piñones
mo ices
(PM1)
y
(PM2). Las
uedas esis en es del eng anaje son las co onas den adas
(CD1)
y
(CD2), que son solida ias
a
sendos casquillos cilín-
d icos que an engas ados en
las
placas
-
sopo e (PS1)
y
(PS2). Dichos casquillos o an en sendos acoplamien os de dos
odamien os
a
bolas.
El
hecho de habe colocado es os oda-
mien os dispues os de dos en dos iene como inalidad que no
se
p oduzcan mo imien os la e ales de
los
casquillos. Po
las ca as ex e io es sob esale cada uno de
los
mencionados
casquillos,
a
los
que an adosadas
las
ca casas (CS1)
y#
(CS2)
que si en de sopo e pa a
las
láminas de e a do. Po
me-
dio
de
un conjun o de
es
o nillos
se
puede egula la pe -
pendicula idad de cada lámina con
el
eje Óp ico del
sis e-
ma.
Pa a man ene la consis encia de
la
maquina ia,
las
placas (PS1)
y
(PS2) an unidas po o as dos placas la e a-
les
(PL1)
y
(PL2)
.
Todo
el
conjun o a ijado po medio de
cua o "pa as" a la base del banco Óp ico.
El espacio in e medio en e
las
dos co onas den a-
das pe mi e
la
colocación del medio Óp ico p oblema, que pue-
de desplaza se en
el
plano
XY,
y
así es udia sus p opiedades
en di e en es pun os.
En o den
a
ija
el
o igen de las señales de ec a-
das,
se
ha diseñado
el
disposi i o elec ónico esquema izado
en la Fig.
VI.3.,
y
que con iene una bobina en la que
se
in-
ducen co ien es de Foucaul cuando un conduc o
se
mue e en
su p oximidad. La bobina a conec ada con un sis ema lip-
lop que con ie e
los
picos en una señal almena.
Fig.VI.3.- Esquema del disposi i o elec ónico pa-
a la de e minación del o igen y pe ío
-
do de las señales egis adas.
Fig.VI.4.- Esquema del ci cui o u ilizado pa a
pola iza al o odiodo de ec o Ha -
saw 38.
Suje a
a
la
co ona (CD2) a una pequeña lámina de
cob e (LC), que acciona elec ónicamen e
el
ins umen o de
egis o cada ez que pasa po
el
luga donde
se
ha colocado
la
bobina,
y
hace que dicho ins umen o
se
dispa e pe iódica
-
men e con
el
mismo
pe iodo p opio de
la
señal de in ensidad
de luz que incide sob e
el
de ec o DT. El pe iodo de iempo
en e dos posiciones equi alen es del disposi i o de medida
es
T-
0.1
S.
Como de ec o
DT
hemos u ilizado un o omul iplica
-
do O iel 7060. Pa a que DT abaje en égimen de espues a
lineal
es
necesa io a enua
el
haz de luz
láse
con
la
ayuda
del il o neu o
N
y
del di uso DF. O o de ec o ambién
u ilizado ha sido un o odiodo
Ha saw
38 pola izado según
el
ci cui o de
la
Fig.
VI.4.
Es e
ipo de de ec o ,
si
bien
es
más
economico, in oduce un cie o ni el de ol aje con-
inuo sob e
la
señal que
de ec a.
Dicho ni el
se
puede de e
-
mina con acilidad,
y
debe sus ae se de
la
señal egis a-
da.
El ins umen o
de
egis o u ilizado
es
un analiza
-
do mul icanal HP 54808, que egis a
la
señal p o enien e
del
de ec o ,
y
que inicia los egis os según la pau a
ma -
cada po
el
disposi i o elec ónico de dispa o
DE.
La longi ud
de
onda de abajo
(
=
6.328
8)
no
co esponde
a
la
zona de espues a Óp ima del o omul iplica
-
do que u ilizamos,
y
ello hace necesa io ealiza un il a
-
do del uido de alea o io de o ones in oducido po
él.
Ello
se
lle a
a
cabo g acias
a
un núme o de
2'
ba idos
de
la señal, p omediados con
el
algo i mo p opio del analizado
mul icanal. Es e núme o de ba idos
se
ha es imado adecuado
pa a ob ene un cocien e señal/ uido su icien emen e ele a
-
do
(S/N
2
100).
El
p ocesado de los da os de
las
señales lo
hemos ealizado po neaio de un o denado elec ónico HP2000.
VI.2
CAUSAS POSIBLES
DE
ERROR
EN
LAS MEDIDAS
En
es e
apa ado analizamos las p incipales
causas posibles de e o en
las
medidas que
se
ob ienen con
nues o disposi i o expe imen al.
2
-
Des~ola ización del haz de luz de sondeo
.
En
el
a amien o eó ico de nues os mé odos
dinámicos de medida no
se
ha enido en cuen a
el
posible
e ec o de despola ización que pueden p oduci en
el
haz de
luz de sondeo los di e en es elemen os que
és e
a a a e-
sando en
el
disposi i o, como son los e a dado es o a o-
ios
y
el
pola izado lineal
P,.
Pequeñas mo as de pol o,
o impe ecciones en
las
supe icies de dichos elemen os
p oducen di acción del haz de luz, lo cual conlle a un
li
-
ge o e ec o de despola ización.
-
Des iaciones en la di ección del haz de luz.
La al a de pe pendicula idad de
las
supe i-
cies
de los elemen os a a esados po
el
haz de luz con
espec o
a
la di ección de
és e
hace que dichos elemen os
engan un compo amien o que di ie e del p e is o
eó ica-
men e. Po o a pa e,
como
du an e la medida los e a da-
do es es án en o ación,
el
ángulo de incidencia sob e ellos
y
sob e
el
pola izado
P,
puede cambia cons an emen e,
aunque pe iódicamen e.
Ya hemos comen ado que
el
mecanismo p oduc-
o de
la
o ación de
los
e a ado es a p o is o de un
dis
-

posi i o de ajus e
de
la pe pendicula idad de
las
supe i-
cies
de
las
láminas
de
e a do con
la
di ección de p opaga
-
ción de
la
luz. Sin emba go, no esul a ácil ealiza
di-
cho ajus e con g an pe eccción, debido
a
que
las
ca as de
las láminas no son pe ec amen e planas, sino que p esen an
pequeñas inhomogeneidades,
e
incluso una cie a cu a u a
global. Po
o a
pa e, un ajus e pe ec o no
es
deseable ya
que conduci ía a un solapamien o del haz de luz di ec o
con los di e en es haces e lejados, haciendo imposible
e i a que és os Úl imos incidan en
el
de ec o y p oduz-
can
el
consiguien e empeo amien o de
la
calidad de
la
se-
ñal. El mencionado~~lapamien o esul a
más
noci o que un
pequeño de ec o en
la
pe pendicula idad de
las
láminas de
e a do
47,48
,
el
cual pe mi e
la
eliminación de haces pa &
-
si os po medio de dia agmas.
La no pe pendicula idad con
el
eje de p opagación
de
la
luz,de
la
lámina de e a do
LI,
iene como consecuen
-
ia
que
la
o ien ación
de
los ejes p opios espec o
al
pla-
no
de incidencia a ia pe iódicamen e con
el
mismo
pe iodo
de
la
señal
T
l*/L¿I,.
Ello
hace que los alo es e ec i os
de
5,
y
Kl
a íen asimismo pe íodicamen e.
El
e ec o p odu
-
cido po
la
o ación
de
Lzes
más
complicado, ya que
el
haz
de luz que
le
incide
cambia
su ángulo espec o
al
eje
Z
con pe iodo
2 /c 31
y
la
o ien ación de los ejes p opios de
LL espec o
a
unos ejes ijos a ía con un pe iodo
7;-
'%la=
4~/~~,=
2/5
T
.
po lo an o, como
2T=
S
Tz
,
la
si-
uación
se
epi e con pe iodo doble al p opio de
cada
señal
Una o ma de
es ima
la in luencia del ci ado enó-
meno, y de ajus a la inclinación de los e a dado es
de
mo
-
do que dicha in luencia
sea
mínima,
es
comp oba isualmen-
e,
en
la
p opia pan alla del mul icanal,
las
di e encias
exis en es en la o ma de
cada
dos pe iodos consecu i os.
-
Re lexiones in e nas múl iples en
Li
y
Lz.
Es e
e ec o
se
con empla ya en la eo ía, al consi
-
de a que los e a dado es
L,
y
Lz
no son ideales. Los a
-
lo es e ec i os de
6,
,
dL
,
k,
y
KL
se
ob ienen del calib ado.
-
Im~e ecciones del dis~osi i o mecánico.
El mecanismo que p oduce
la
o ación de las láminas
es á
some ido
a
ib aciones du an e la medida, debidas
a
holgu as en
los
eng anajes, y
se
pueden p oduci desaius-
es
que consecuen emen e aca ean e o es.
-
E o es de calib ado.
El
calib ado del disposi i o ha
de
se
cuidadoso,
ya que los e o es en los pa áme os ca ac e ís icos del
mismo
se
ansmi en sis emá icamen e a odas las medidas
que
se
ealicen.
-
E o es
de
de ección.
La di e en e sensibilidad del de ec o según
la
pola ización
de
la luz que
le
incide no
se
pone de mani-
ies o, ya que du an e cada medida
la
posición del pola-
izado
PL
pe manece ija. Sin emba go
es
necesa io ase--
gu a se de que
el
de ec o abaje en su zona de espues-
a
lineal.
-
E o es w oducidos en
el
~ ocesado de da os
Hemos
comp obado que
los
e o es
que
se
p odu-
cen en
el
p opio oceso
de
cálculo po o denado son del
o den del 0.05%
23'
y
como
se
e á en
el
siguien e capí u
-
lo,
el
in oduci un núme o ele ado de pun os-da o
de
la
señal egis ada en
la
sub u ina de análisis de Fou ie
no conlle a en ajas en la calidad de las medidas.
VI.3. PROCESADO DE DATOS POR ORDENADOR
Cada egis o que
se
ob iene con
el
analizado
mul icanal
es á
compues o de
1000
pun os-da o, de
los
cuales
ap oximadamen e 713 son ocupados po un pe iodo comple o de
la
señal egis ada. Es os da os pueden suminis a se al
o denado conec ando
és e
con un ol íme o digi al po medio
de una in e ace HP-IB (mod.
82937
A)
y
con
el
analizado
mul icanal,
Ó
bien con
el
p opio de ec o . El suminis o de
da os puede hace se ambién po medio de a je as pe o adas
e c..
.
Una ez en
el
o denado ,
los
da os quedan alma-
cenados en iche os. Pa a
el
a amien o de
los
da os exis--
en cua o ipos de p og amas:
-
P og ama MAPAR de a amien o de señales-apa a o ob e
-
nidas con
el
disposi i o de de e minación de
ma ices
de Muelle .
-
P og ama MEREL de a amien o de señales co espondien
-
es
a
medios Óp icos p oblema.
-
P og ama MEPOL de a amien o de señales-apa a o
ob enidas con
el
disposi i o de análisis de luz po-
la izada.
-
P og ama STOKES de a amien o de señales co espon-
dien es
a
haces de luz p oblema.
6.3.1. PROGRAMA MAPAR
El
come ido de
es e
p og ama
es
la ob ención de
los pa áme os de calib ado del disposi i o de de e minación
de ma ices de Muelle .
Da os eque idos:
-
Nomb e del iche o de da os co espondien e a la
señal-apa a o que
se
desea p ocesa .
-
Núme o NP de pun os-da o que
se
desean in oduci
en
la
sub u ina de análisis de Fou ie .
-
Ni el con inuo in oducido po
el
de ec o en
la
señal, en
el
caso de que dicho ni el exis a.
El
p og ama MAPAR cons a de
es
pa es:
-
MAPAR.l.- En e
el
núme o o al de pun os-da o del i-
che o,
se
selecionan NP po medio de una in e -
polacion lineal. Dicha
in e pelación
es á jus i
-
icada po la p oximidad ela i a en e cada dos
pun os-da o del egis o, y equie e
~NP
de
ellos, con los quesecalculai los NP da os ya in ei-
-
polados.
-
MAPAR.2.- Se suminis an los pun os-da o ya in e polados
a
la
sub u ina AJTE de análisis de Fou ie , con
68
The elemen s o an N- ype Muelle ma ix M can be w i en by means o he no a ion
gi en in (II.75). By applying he inequali y
222
x
yxy+≥± (III.93)
in he exp essions (II.75.b) we see ha
222
ij ij
α
α
β
+≥± (III.94.a)
222
ij ij
α
αγ
+≥± (III.94.b)
Now, aking in o accoun he exp ession (II.75.a) i is easy o demons a e ha he
ollowing inequali ies a e ul illed
(
)
00 11 22 33
mm mm+≥± +
(
)
00 11 22 33
mm mm−≥± −
(
)
00 11 32 23
mm mm−≥± −
(
)
00 10 02 12
mm mm+≥± +
(
)
00 10 03 13
mm mm+≥± +
(
)
00 10 02 12
mm mm−≥± −
(
)
00 10 03 13
mm mm−≥± −
(
)
00 01 20 21
mm mm+≥± +
(
)
00 01 30 31
mm mm+≥± +
(
)
00 01 20 21
mm mm−≥± −
(
)
00 01 30 31
mm mm−≥± −
(III.95.a)
00 ,,
ij
mmij≥± ∀ (III.95.b)
These inequali ies, which a e addi i e and hus mus be ul illed o any Muelle
ma ix wi hou excep ion, ha e been ecen ly shown by R.W. Schae e [16], whose
a gumen o he deduc ion has been used he e.

69
III.5. Res ic i e ela ions in a Ma ix V in he CVF
o malism
As he Muelle ma ices, he N- ype V ma ices depend, in gene al, on se en
independen pa ame e s. This implies ha , in addi ion o he es ic ions (II.55),
which a e inhe en o he de ini ion o he ma ix V, he e mus be a se o nine
es ic ions among i s elemen s.
The exp ession (II.79) shows he o m o a ma ix V as a unc ion o i s
co esponding Jones ma ix J. In (II.79) we can see ha he p oduc o he ex eme
elemen s o a ow, column o diagonal, is equal o he p oduc o hei co esponding
in e media e elemen s. This ac implies he exis ence o he en ollowing equali ies
[13]
00 03 01 02
υ
υυυ
=
(III.96.a)
00 30 10 20
υ
υυυ
=
(III.96.b)
30 33 31 32
υ
υυυ
=
(III.96.c)
03 33 13 23
υ
υυυ
=
(III.96.d)
00 33 11 22
υ
υυυ
=
(III.96.e)
03 30 12 21
υ
υυυ
=
(III.96. )
01 31 11 21
υ
υυυ
=
(III.96.g)
10 13 11 12
υ
υυυ
=
(III.96.h)
02 32 12 22
υ
υυυ
=
(III.96.i)
20 23 21 22
υ
υυυ
=
(III.96.j)
Only eigh o hese equali ies a e independen . So, o example, he i s eigh a e
independen . The nin h independen equali y can be ei he one o he ollowing
01 32 10 23
υ
υυυ
=
(III.97.a)
02 31 20 13
υ
υυυ
=
(III.97.b)
**
02 13 10 23
υ
υυυ
= (III.97.c)
**
20 13 01 32
υ
υυυ
= (III.97.d)
The equali ies (III.96.a-g) only con ain eal quan i ies. We can comple e he sys em
o nine equali ies by adding he (III.96.h), (III.96.i) and (III.97.a), which, aking in o
accoun (II.55), can be educed o eal exp essions o he o m
70
01 31 22 12 11 21 02 32
υ
υυυυυυυ
+
=+ (III.98.a)
10 13 22 21 11 12 20 23
υ
υυυυυυυ
+
=+ (III.98.b)
01 32 20 13 10 23 02 31
υ
υυυυυυυ
+
=+ (III.98.c)
Now, we a e going o s udy o he s sys ems o nine es ic ions in N- ype ma ices V
ha , al hough equi alen among hem, a e p esen ed in a di e en way and a e
occasionally use ul.
In he CVF o malism, he quad a ic o m F co esponding o a ligh beam wi h an
associa ed cohe ence ec o D, can be w i en as
2T
=
FDhD (III.99)
whe e DT is he ansposed ow ec o o he column ec o D, and h is he ma ix
00 01
00 10
0100
10 00
⎛⎞
⎜⎟
−
⎜⎟
=⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
h (III.100)
Le us conside a ligh beam cha ac e ized by a cohe ency ma ix ρ and a cohe ency
ec o D, which passes h ough an N- ype op ical medium whose associa ed ma ices
in he o malisms CMF and CVF a e J and V espec i ely. The eme ging ligh beam
will be cha ac e ized by a cohe ency ma ix ρ’ and a cohe ency ec o D’ gi en by
′=+
ρJρJ (III.101)
′
=
DVD (III.102)
Taking in o accoun he exp essions (III.64), (III.99), (III.101) and (III.102), we can
w i e
22
TTT
F′′′
==DhD DVhVD (III.103)
22
4de 4 de de 4 de T
F′′
== =ρJρJDhD
(III.104)
so ha
2
de
TT T
=DVhVD J DhD (III.105)
The equali y (III.105) is sa is ied o any ec o D, and hus
71
2
de
T=VhV J h (III.106)
By w i ing (III.106) as a unc ion o he elemen s ij o he ma ix V, and elimina ing
|de J|2, we ob ain he ollowing sys em o nine es ic i e equali ies
30 03 00 33 31 02 01 32 20 13 10 23 21 12 11 22
υ
υυυυυυυυυυυυυυυ
+
++=+++
30 01 00 31 20 11 10 21
υ
υυυυυυυ
+
=+
30 02 00 32 20 12 10 22
υ
υυυυυυυ
+
=+
31 03 01 33 21 13 11 23
υ
υυυυυυυ
+
=+
32 03 02 33 22 13 12 23
υ
υυυυυυυ
+
=+
00 30 20 10
υ
υυυ
=
01 31 21 11
υ
υυυ
=
02 32 22 12
υ
υυυ
=
03 33 23 13
υ
υυυ
=
(III.107)
We know ha i a ce ain N- ype ma ix V co esponds o an N- ype Muelle ma ix
M, V+ co esponds o MT. Thus, he ma ix V+ ep esen s an N- ype op ical medium
and mus sa is y he same es ic ions han V, gi en in (III.107). So, he ollowing
equali y mus be ul illed
2
de +
=
*+
VhV J h (III.108)
This equali y gi es a sys em o nine es ic i e equali ies among he elemen s ij,
which is equi alen o he exp essed in (III.107) and i is ob ained by ansposing he
indexes o all he elemen s.
F om (III.106) and (III.108), and aking in o accoun ha |de JT| = |de J|, we deduce
he ollowing ma icial equali y
2
de
T+
==
*+
VhV VhV J h (III.109)
which includes (III.106) and (III.108) as pa icula cases.
III.6. No m condi ion in Muelle ma ices
Gi en any Muelle ma ix M we can de ine a posi i e de ined no m
Γ
M (M) as [42]
72
()
() ()
12
3
12 12 2
,0
TT
ij
ij
m
Γ
=
⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤
≡==
⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣
⎦
∑
MMMM MM (III.110)
As we ha e seen in (III.92),
Γ
M (M) sa is y he condi ion
(
)
22
00
4m
Γ
≤
MM (III.111)
so ha he equali y
(
)
22
00
4m
Γ
=
MM (III.112)
occu s when a Muelle ma ix M is associa ed wi h an N- ype op ical medium. I is
wo h men ioning ha he elemen m00 ep esen s he ansmi ance TN o he op ical
medium o incoming non-pola ized ligh .
We ha e seen ha (III.112) is a necessa y condi ion o M o be an N- ype one. Now
we a e going o demons a e ha (III.112) is also a su icien condi ion.
Le us supposed he condi ion (III.112) is ul illed. Then, he six equali ies (III.86)
mus be ul illed, because i no , a leas one o he inequali ies (III.91) mus be
ul illed and hus we would ob ain
(
)
22
00
4m
Γ
<
MM, which is no in ag eemen wi h
he hypo hesis. In o de o ob ain a sys em o nine independen es ic ions we need
h ee mo e, as o example he (III.88).
The inequali ies (III.63) and (III.78) can be w i en as
11
x
≥ (III.113.a)
11
y
≥ (III.113.b)
11
z ≥ (III.113.c)
22
x
≥ (III.114.a)
22
y
≥ (III.114.b)
22
z ≥ (III.114.c)
whe e he ollowing pa ame e s ha e been de ined
2222
110203000
m m m m=++− (III.115.a)
2222
101112131
x
mmmm=−−− (III.115.b)
2222
102122232
y
mmmm=−−− (III.115.c)
2222
103132333
zm mm m=−−− (III.115.d)
73
2222
201020300
m m m m=++− (III.116.a)
2222
210111213
x
mmmm=−−− (III.116.b)
2222
220212223
y
mmmm=−−− (III.116.c)
2222
2 30313233
zmmmm=−−− (III.116.d)
F om he equali ies (III.86.c- ) we deduce ha (III.113.a) and (III.114.a) a e he
equali ies x1 = 1 and x2 = 2 espec i ely.
The equali ies (III.88) can be w i en as
11
y
z
=
(III.117.a)
22
y
z
=
(III.117.b)
12
y
y
=
(III.117.c)
In o de o demons a e he ul illmen o he equali ies (III.117) we will suppose ha
()
22
00
4m
Γ
=
MM and ha some o he equali ies is no ul illed, ob aining as a esul
an absu d. The ac ha some o he equali ies (III.117) is no ul illed implies ha
he equali ies in (III.113.b-c) and (III.114.b-c) canno be ul illed simul aneously, o
ha 1 ≠ 2.
By adding on one hand he (III.113) and on he o he hand he (III.114) we ob ain
3
22
00
,0
42() ij
ij
mab m
=
+−≥
∑
(III.118)
3
22
00
,0
42() ij
ij
mba m
=
+−≥
∑
(III.119)
whe e
222
01 02 03
am m m=++
222
10 20 30
bm m m=++ (III.120)
As we a e supposing ha
(
)
22
00
4m
Γ
=
MM, om (III.118) and (III.119) we deduce
ha
ab
=
(III.121)
and hus
12
=
(III.122)

74
The only emaining possibili ies a e
11 11 22 22
,o ,o ,o
y
z y z ≥≥ ≥ ≥ (III.123)
In he i s wo cases, by adding Eq. (III.113) we ob ain
3
22
00
,0
4ij
ij
mm
=
>
∑
(III.124)
and in he o he wo emaining cases, by adding (III.114), we ob ain again (III.124),
which is an absu d because o he s a ing hypo hesis (III.112). Then, i is
demons a ed ha i he condi ion (III.112) is ul illed, he sys em o nine
independen equali ies o med by he (III.86) and (III.87), o any o he equi alen
sys em o equali ies, mus be ul illed. This means ha M co esponds o an N- ype
op ical medium.
We can summa ize hese conside a ions in he ollowing heo em [42]: “Gi en a
Muelle ma ix M, he necessa y and su icien condi ion o M o co espond o an
N- ype op ical medium is
(
)
00
2m
Γ
=
MM”.
The in e es in his heo em is de i ed om he ac ha , gi en a Muelle ma ix, we
can know i i co esponds o an N- ype op ical medium by only a ending he
condi ion (III.112) ( he no m condi ion), wi hou he e i ica ion o he nine
independen equali ies.
As we will see, he no m condi ion is e y use ul in he heo e ical de elopmen o
ou dynamic me hod o he de e mina ion o Muelle ma ices.
Gi en a Muelle ma ix M, i can be no malized as
00
1
m
=
MM (III.125)
The ma ix M co esponds o an op ical medium wi h he same p ope ies han M,
excep o he ac ha he o me p esen s a uni y ansmi ance o non-pola ized
ligh ( 00= 1). When M is N- ype, he no maliza ion (III.125) gi es he equali y
(
)
2
Γ
=
MM (III.126)
because
75
()
()
12
3
12 2
,0
00
1
2
Tij
ij
m
m
Γ
=
⎡⎤
⎡⎤
≡
==
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∑
MMMM (III.127)
An in e es ing consequence o (III.95.b) and (III.112) is ha an N- ype Muelle
ma ix mus ha e, a leas , ou nonze o elemen s (excep o he i ial case o he
ze o ma ix).
III.7. No m condi ion in Jones ma ices
The pu pose o his sec ion is o ob ain, simila ly o he las sec ion, a ela ion among
he elemen s o a gene ic Jones ma ix as a unc ion o he ansmi ance TN o he
medium o na u al ligh . I is wo h men ioning ha , al hough he s a es o pa ially
pola ized ligh a e no able o be ep esen ed by means o he o malism JCF, he
Jones ma ices con ain in o ma ion o TN, because, as we will see, TN can be ob ain
as he semi-sum o he ansmi ances in minimum and maximum in ensi ies o
andom a ia ions o he inciden ligh ec o .
Gi en a Jones ma ix J, we always can associa e wo numbe s
γ
(J),
τ
(J), whe e
γ
and
τ
a e, espec i ely, he maximum and minimum alue o he di ision
Jε
ε (III.128)
wi h espec o he andom a ia ions o he wo componen s o he Jones ec o ε
[1].
Any uni a y Jones ma ix U lea es in a ian he module o he Jones ec o ε, and
hus
(
)
(
)
1
γτ
=
=UU (III.129)
Acco ding o he heo em EGT, any Jones ma ix J can be w i en as
(
)
1122
0, ,pp=P
JUJ U (III.130)
whe eU1, U2 a e uni a y ma ices, and JP is he ma ix associa ed wi h a pa ial
pola ize whose p incipal ansmi ances in ampli ude a e p1, p2. Taking in o accoun
he exp essions (III.129) and (III.130) we ob ain
76
(
)
(
)
1
p
γγ
=
=
P
JJ (III.131.a)
(
)
(
)
2
p
ττ
=
=
P
JJ (III.131.b)
Acco ding o he exp essions (III.15) and (III.26), he elemen m00 o a gene ic N-
ype Muelle ma ix M co esponding o a Jones ma ix J can be w i en as
()
() ()
22 2 2
00 1 2
11
22
mpp
γτ
⎡
⎤
=+= +
⎣
⎦
JJ (III.132)
Besides, acco ding o (II.73), m00 can be exp essed as a unc ion o he elemen s o
he ma ix J as ollows
22
00
,1
1
2ij
ij
mJ
=
=∑ (III.133)
and, consequen ly
2222
12
,1
1
2ij
ij
Jpp
=
=
+
∑ (III.134)
The exp ession (III.133) indica es o us ha he one hal o he sum o he squa es o
he modules o he elemen s o a Jones ma ix is equal o he ansmi ance in
in ensi y o na u al ligh , o he conside ed medium.
We can associa e o any Jones ma ix J a no m
Γ
J (J), de ined as posi i e, gi en by
[42]
()
() ()
12
2
12 12 2
,1
ij
ij
J
Γ
++
=
⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤
≡==
⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣
⎦
∑
JJJJ JJ (III.135)
o , aking in o accoun (III.133)
(
)
2
00
22
N
mT
Γ
==
JJ (III.136)
By compa ing (III.136) wi h (III.112) we see ha
(
)
(
)
2
ΓΓ
=
MJ
MJ (III.137)
The exp ession (III.136) shows ha he no m condi ion (III.112) o a Muelle ma ix
M is a mani es a ion o he no m de ini ion (III.135) o a Jones ma ix J associa ed
77
wi h he same N- ype op ical medium han M. These ma ices M and J can be
no malized as
00
1
m
=
MM (III.138.a)
00
1
m
=
JJ (III.138.b)
so ha
(
)
(
)
22
ΓΓ
=
=
MJ
MJ (III.139)
III.8. No m condi ion in ma ices V o he o malism
CVF.
Gi en a ma ix V o he o malism CVF, we can associa e o i he posi i e de ini e
no m
Γ
V (V) [42]
()
() ()
12
3
12 12 2
,0
ij
ij
Γ
++
=
⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤
≡==
⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣
⎦
∑
VVVV VV (III.140)
We saw in (II.78) ha an N- ype ma ix V can be w i en as a unc ion o i s
co esponding Jones ma ix as
*
=
×VJJ
(III.141)
whe e x indica es he K onecke p oduc . F om (III.140) and (III.141) i is easy o
ob ain
(
)
(
)
(
)
22
Γ
==
++
VVJJ JJ (III.142)
The exp ession (III.142), wi h (III.135), (III.136) and (III.137) le us o w i e
(
)
(
)
(
)
2
00
2m
ΓΓ Γ
===
VM J
VMJ (III.143)
whe e he ma ices V, M and J co espond o he same N- ype op ical medium. I he
conside ed medium is G- ype, M and V a e ela ed acco ding o (II.51), and hen
84
12 12
222
01 02 03
22
00 00
1P
P
mmm F
Gmm
′
′
⎛⎞⎛⎞
++
′′ ==−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
(III.172)
The pa ame e s
P
F′ and
P
F′′ o
P
G
′
and
P
G
′
′ gi e us in o ma ion abou he capaci y o
he op ical medium O o pola ize non-pola ized ligh . The anges o possible alues
o hese pa ame e s a e
2
00
0P
Fm
′
≤≤ (III.173.a)
2
00
0P
Fm
′′
≤≤ (III.173.b)
01
P
G
′
≤
≤ (III.174.a)
01
P
G
′
′
≤
≤ (III.174.b)
I O is N- ype, he ela ion (III.27.b) is ul illed, which aking wi h (III.168) and
(III.170) gi es us he equali y
P
P
FF
′
′′
=
(III.175)
F om (II.82) and (III.107) i is easy o see ha in he o malism CVF he exp essions
co esponding o FD,
P
F′ and
P
F
′
′ a e he ollowing
()()
22
00 03 30 33
1
3
DV
F V
⎡
⎤
=+++−Γ
⎣
⎦ (III.176)
(
)
00 33 03 30 10 23 20 13
4
P
F
′=+−−
(III.177.a)
(
)
00 33 03 30 01 32 02 31
4
P
F
′′ =+−−
(III.177.b)
Mo eo e , i O is N- ype, he co esponding exp essions in he o malism JCF a e
0
D
F
=
(III.178)
(
)
2222 **
1234 1234
2Re
PP
FFJ J J J JJJJ
′′′
== + + + − (III.179)

85
Chap e IV
Me hod o he dynamic
de e mina ion o Muelle ma ices
86
In his chap e we expose he heo e ical basis o ou dynamic me hod o he
de e mina ion o Muelle ma ices. The p oposed measu emen de ice is basically
composed o wo linea e a de s placed be ween wo linea pola ize s. In he space
be ween he e a de s is placed he op ical medium whose associa ed Muelle ma ix
M is o be measu ed. A collima ed beam o quasi-monoch oma ic ligh a i es o he
op ical medium a e passing h ough he i s pola ize and he i s e a de . The
eme ging beam om his medium passes h ough he second e a de and he second
pola ize , in his o de . The in ensi y I o he inal eme ging ligh beam depends on
he ma ix M and he o ien a ions o he pola ize s and e a de s espec o a
e e ence axis.
In o de o pe o m an au oma ic ope a ion o he de ice, he e a de s o a e in
planes pe pendicula o he p opaga ion di ec ion o he ligh beam passing h ough
hem, wi h a ixed ela ion be ween he espec i e cons an angula eloci ies. The
in ensi y I a ies pe iodically, and by means o a de ec o and a eco de is ob ained
he eco d o he signal co esponding o he conside ed op ical medium. The six een
elemen s o he Muelle ma ix M can be ob ained om he Fou ie analysis o his
signal. The Fou ie analysis can be made wi h he help o a compu e .
The expe imen al de ice o he measu emen can be designed o he s udy o
ansmission, e lec ion, di usion o di ac ion phenomena.
I he o a ing e a de s used in he measu emen de ice a e ach oma ic, i is possible
o make a spec oscopy o Muelle ma ices by a ying he wa eleng h λ o he ligh
beam and ob aining he co esponding Muelle ma ix. O he wise, i we use a lase
beam we can make a local s udy in di e en spa ial zones o he sample.
IV.1. Measu emen de ice
The igu e IV.1 shows schema ically he de ice o he measu emen o Muelle
ma ices, which is mainly composed o wo o al linea pola ize s P1(
θ
1), P2(
θ
2); wo
non-ideal linea e a de s L1, L2 and an op ical medium O whose associa ed Muelle
ma ix M is o be measu ed. “A” ep esen s a sou ce o quasi-monoch oma ic ligh ,
“DT” a de ec o o he in ensi y o ligh , and “RG” a eco de o he signals de ec ed
by DT.
87
The o ien a ions o he p incipal axes o he op ical media a e e e ed o he posi i e
di ec ion o he X axis o he e e ence sys em o coo dina es XYZ shown in he
igu e.
The eme ging ligh beam a e passing h ough he sys em P1 L
1 O L
2 P
2 is
cha ac e ized by he S okes ec o
() ( ) ( ) ()
2222 1111
1,, ,,
16 ab
kk
kk
θβδ βδ θ
′′ =PL L P
SMM MM MS
(IV.1.a)
whe e
12
,
aa bb
kkk kkk
′
′
=
= (IV.1.b)
and S is he S okes ec o associa ed wi h he beam o na u al ligh emi ed by he
sou ce A, so ha
0
0
0
I
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
S )
(Fig. IV.1) A angemen o he dynamic de ice o he de e mina ion o Muelle ma ices.
The measu emen de ice can be conside ed as di ided in o wo pa s. The i s one is
composed o P1, L1 and O, whe e he s a es o pola iza ion o he eme ging ligh
beam a e gene a ed, which depend on he alues o
θ
1,
β
1,
δ
1, k1 and he elemen s mij
o he Muelle ma ix M. This s a e o pola iza ion is gi en by he S okes ec o
88
()
111
1
0
1,, 0
4
0
a
k
k
βδ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
′=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
LP
SMM M (IV.2)
whose elemen s esul in
[
]
()
()
[]
1111110
11 1 111 11 1 1111 11 1
11 1 111 11 1 1111 11 2
11111123
1(1)( )
(1 ) 1 ( ) 2 cos (
4(1 ) 1 ( ) 2 cos (
2sin (
i
i
i
ai
i
kkccssm
kc kccc ss ssc cs m
I
Skks kscc ss csc cs m
sccsm
δ
δ
δ
′′
⎧⎫
++− + +
⎪⎪
′′′′ ′′′
+− ++ + + − +⎡⎤
⎪⎪
⎣⎦
′=⎨⎬
′′′′ ′′′
+− ++ + − − +
⎡⎤
⎪⎪
⎣⎦
⎪′′
+−
⎩⎭
⎪
(IV.3.a)
whe e
()
111 1
111 1
12
1
sin 2 , cos2 ,
sin 2 , cos2 ,
.
aa
sc
sc
kk
θ
θ
β
β
=
=
′′
==
′
=
(IV.3.b)
The second pa is he sys em composed o L2 and P2, and i is used o analyze he
s a e o pola iza ion o he ligh . The Muelle ma ix B associa ed wi h his sys em is
() ( )
2222
1,,
2b
k
k
θβδ
=PL
BMM (IV.4)
Now, we can w i e (IV.1) as ollows
′
′′
=
SBS (IV.5)
The de ec o DT is sensi i e o he in ensi y o ligh u0 alling on i
0 0 00 0 01 1 02 2 03 3
u s bs bs bs bs
′
′′′′′
=
=+++ (IV.6)
whe e he elemen s boi (i = 0, 1, 2, 3) o he ma ix B, ob ained om (IV.4), a e
[]
00 1 1 1 1 1 1
11(1)( )
4b
bkkccss
k
′
′
=++− +
()
01 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1(1 ) 1 ( ) 2 cos (
4b
bkckcccss ssccs
k
δ
′′′′ ′′′
=−++ ++ −
⎡
⎤
⎣
⎦
(IV.7.a)
89
()
02 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
1(1 ) 1 ( ) 2 cos (
4b
bksksccss csccs
k
δ
′′′′ ′′′
=−++ ++ −
⎡
⎤
⎣
⎦
[]
03 2 2 2 2 2 2
12sin (
4b
b cssc
k
δ
′
′
=−
whe e
222 2
12
222 22
sin 2 , cos 2 ,
sin 2 , cos 2 , ( )
bb
sc
sc kk
θ
θ
ββ
==
′′ ′
===
(IV.7.b)
In o de o simpli y he no a ion we also de ine he ollowing pa ame e s
11 22
,, ,
aa aa bb bb
akk bkk akk bkk
′′ ′′
=+ =− =+ =− (IV.8)
We will suppose ha he e a de L1 o a es a ound he axis Z wi h angula eloci y
ω
1, so ha he s a e o pola iza ion o he ligh beam eme ging om O, gene a ed by
he i s pa o he de ice, a ies con inuously wi h ime. Simila ly, we will suppose
ha he e a de L2 o a es on he axis Z wi h angula eloci y
ω
2, so ha he second
pa o he de ice analyzes dynamically he s a e o pola iza ion eme ging om O.
Thus, we can w i e
11
β
ω
=
(IV.9.a)
22 2
β
ωα
=
+ (IV.9.b)
As seen in (IV.9) we suppose ha , a he ins an 0
=
, he as axis o L1 is aligned
wi h he e e ence axis X, and ha he as axis o L2 p esen s an angle
α
2 wi h he
axis X.
As we ha e men ioned abo e, ou aim is o ob ain he elemen s mij om he Fou ie
analysis o he pe iodic in ensi y signal o he eme ging ligh u0( ). To ob ain a
ma hema ical exp ession wi h he o m o a Fou ie se ies wi h a ini e numbe o
ha monic componen s, i is equi ed o o ce he ollowing ela ion be ween he
angula eloci ies o he o a ing e a de s
21
R
ω
ω
=
(IV.10)
whe e R is a a ional numbe
A e making he ope a ion indica ed in (IV.6), and aking in o accoun (IV.9) and
(IV.10), we ob ain

90
() () ()
() () ()
() ()
()
001 11 12 1
213 13 1
414 151
516161
717 181
819 19
sin 2 cos 2 sin 4
cos 4 sin 2 cos 2
sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2
cos 2 2 sin 2 4 cos 2 4
sin 2 4 cos 2 4 sin 4
cos 4 sin 4 2 cos
uhg h g
hgRhR
gR hR gR
hR gR hR
gR hR gR
hRg R h
β
ββ
βββ
βββ
βββ
βββ
ββ
=++++
++++
+−+−+++
+++−+−+
+++++ +
++−+
()
() () ()
() () ()
1
10 1 10 1 11 1
11 1 11 1 12 1
42
sin 4 2 cos 4 2 sin 4 4
cos4 4 sin4 4 cos4 4
R
gR hR gR
hR gR hR
β
β
ββ
β
ββ
−+
+++++−+
+−+++ +
(IV.11)
whe e hi, gj a e coe icien s ha depend on he elemen s mij and also depend on he
pa ame e s k1, k2,
δ
1,
δ
2,
θ
1,
θ
2,
α
2.
The exp ession (IV.11) can be conside ed as a Fou ie se ies expansion on he
mul iples o he equency
β
1. We can ob ain he Fou ie coe icien s hi, gj by means
o he Fou ie analysis o he eco ded signal u0. These coe icien s depend linea ly
on he elemen s, leading o a sys em o equa ions in which he unknowns a e hese
elemen s mij.
Depending on he alue assigned o R we can ge up o wel e equencies ha a e
mul iples o
β
1, plus he cons an e m h0. Howe e , in o de o simpli y he
calcula ions, i is in e es ing o ob ain a alue o R so ha he Fou ie se ies
de elopmen is as sho as possible, and gene a es enough numbe o Fou ie
coe icien s o ob ain he elemen s mij. The alues R = 1, 2 lead o Fou ie se ies
expansions wi h no su icien numbe o ha monics. The alue R = 3/2 leads o he
ollowing Fou ie se ies expansion [43]
()
10
00 1 1
1
16 sin cos
ll
l
uA Bl A l
β
β
=
=+ +
∑ (IV.12)
By w i ing he coe icien s Ai, Bj as unc ions o he six een unknowns mij, we ob ain
a sys em o nine een equa ions, whe e only i een a e linea ly independen . I we
ha e some addi ional (independen ) in o ma ion abou he op ical medium O
co esponding o M, he co esponding ela ions should be conside ed in
combina ion wi h he abo e-men ioned i een linea ly independen equa ions. Fo
example, i we know ha O is N- ype, he ollowing equa ion should be added [42]
in o de o ob ain he sys em o six een independen equa ions ha is necessa y o
ob ain he six een unknowns mij
3
22
00
,0
4ij
ij
mm
=
=
∑
. (IV.13)
91
I he alue o he ansmi ance o in ensi y o non-pola ized ligh TN is p e iously
known, hen we can add he ollowing equa ion o he sys em o equa ions
00 N
mT
=
(IV.14)
Fo a o al gene ali y o he me hod o he de e mina ion o he ma ix M, i is mo e
use ul a alue o R so ha we ge six een linea ly independen equa ions. The alues
o R ha sa is y his condi ion a e
1
2
21n
Rn
+
= (IV.15)
whe e n1, n2 a e na u al numbe s, and n1 ≥ 2.
Fo he sake o simplici y in he expe imen al assembly, he angula eloci ies
ω
1,
ω
2
should be as simila as possible.
These equi emen s a e op imally ul illed o he alue
52R
=
(IV.16)
which, combined wi h (IV.7), (IV.3) and (IV.8) leads o
()
14
00 1 1
1
sin cos
ll
l
uA Bl A l
β
β
=
=+ +
∑ (IV.17)
whe e he Fou ie coe icien s a e gi en by
()
(
)
()()
0 1 2 00 2 1 1 01 1 02 1 2 2 10 2 20
1 2 1 2 11 2 21 1 2 12 2 22
Aaam a cm sm a cm sm
c cm sm s cm sm
=+ ++ ++
++++
⎡⎤
⎣⎦
()()
()
1 2 1 11 01 11 02 7 11 22 7 21 12
22111311132
1
2
1sin
2
Bbdsmcmsmmcmm
dcmsm
δ
=−−++−−
⎡⎤
⎣⎦
−+
()()
()
1211101110211112272112
22111311132
1
2
1sin
2
Abdcmsmcmmsmm
dsmcm
δ
=++++−+⎡⎤
⎣⎦
+−
(IV.18)
92
()
()
()
2 2 1 1 00 02 2 1 2 1 03
1 2 1 2 10 2 20 2 12 2 22
1121213223
2sin
2sin
Babsmm a cm
b scmsm cmsm
ccmsm
δ
δ
=++ +
+++++⎡⎤
⎣⎦
++
()
()
()
2 2 1 1 00 01 2 1 1 1 03
12 1 210 220 211 221
1121213223
2sin
2sin
Aabcm m a sm
b c cm sm cm s m
scmsm
δ
δ
=+− +
++++−⎡⎤
⎣⎦
−+
()()
()()
3 221100501502710720311 22 321 12
2 1 1 11 03 7 13 7 23 2 2 2 11 30 5 31 5 32
1 2 1 3 11 33
1
2
sin sin
2sinsin
Bbbsmsmcmsmcmsmmcmm
b c m cm sm b c m cm sm
s m
δδ
δδ
=+−−+−++−−⎡⎤
⎣⎦
−++− ++−
−
()()
()()
3 1 2 11 00 5 01 5 02 7 10 7 20 3 11 22 3 21 12
2 1 1 11 03 7 13 7 23 1 2 2 11 30 7 31 7 32
1 2 1 2 11 33
1
2
sin sin
2sinsin
A bbcmcmsmcmsmcmm smm
b sm sm cm b sm sm cm
c m
δδ
δδ
=+++++++−+
⎡⎤
⎣⎦
+−++ +−−
−
()
(
)
(
)
4 2 1 1 01 1 02 1 2 1 2 11 2 21 1 2 12 2 22
Badsmcm d scmsm ccmsm=++ +++
⎡
⎤
⎣
⎦
()
(
)
(
)
4 2 1 1 01 1 02 1 2 1 2 11 2 21 1 2 12 2 22
Aadcm sm d ccmsm scm sm=−+ +−+
⎡
⎤
⎣
⎦
()
()()()
()
5 1 2 5 00 3 10 3 20
2 1 5 1 01 1 02 3 1 11 1 12 3 1 21 1 22
1 2 5 1 30 1 1 31 1 32
2sin
Babsm smcm
b s cm sm s cm sm c cm sm
cam cmsm
δ
=−++
++−+++−⎡⎤
⎣⎦
−++⎡⎤
⎣⎦
()
()()()
()
5 1 2 5 00 3 10 3 20
2 1 5 1 01 1 02 3 1 11 1 12 3 1 21 1 22
2 2 5 1 30 1 1 31 1 32
2sin
Aabcm cm sm
b c cm sm c cm sm s cm sm
sam cmsm
δ
=+++
+++++++⎡⎤
⎣⎦
+++⎡⎤
⎣⎦
()()
612131122132112
1
2
Bddsmmcmm=++−⎡⎤
⎣⎦
()()
612131122132112
1
2
Addcmmsmm=+−−⎡⎤
⎣⎦
93
()()
()()
7 2 2 10 00 5 01 5 02 8 10 8 20 3 11 22 3 12 21
2 1 1 10 03 8 13 8 23 1 2 2 10 30 5 31 5 32
1 2 1 2 10 33
1
2
sin sin
2sinsin
B bbsmsmcmsmcmsmm cmm
b cm cm sm b cm cm sm
s m
δδ
δδ
=++++−−+++⎡⎤
⎣⎦
++−− +−+
+
()()
()()
7 2 2 10 00 5 01 5 02 8 10 8 20 3 11 22 3 12 21
21 1 1003 813 823 22 2 1030 531 532
1 2 1 2 10 33
1
2
sin sin
2sinsin
A bbcmcmsmcmsmcmm smm
b sm sm cm b sm sm cm
c m
δδ
δδ
=+−+−+−++−⎡⎤
⎣⎦
−+++ +++
+
()()
()
8 1 2 13 10 13 20 9 11 22 9 21 12
11213231313
1
2
sin
Bbdsmcmsmmcmm
dsmcm
δ
=++++−+⎡⎤
⎣⎦
+−
()()
()
821131013209112292112
11213231313
1
2
sin
Abdsmcmcmmsmm
dcmsm
δ
=−++−−+⎡⎤
⎣⎦
++
()()
()
9 2 1 10 01 10 02 8 11 22 8 12 21
22110321031
1
2
sin
Bbdsmcmsmmcmm
dsmcm
δ
=++−+++
⎡⎤
⎣⎦
+−
()()
()
9 2 1 10 01 10 02 8 11 22 8 12 21
2 21 1032 1031
1
2
sin
Abdcmsmcmmsmm
dcmsm
δ
=−+−−++⎡⎤
⎣⎦
++
()
(
)
(
)
10 1 2 9 10 9 20 1 2 1 9 11 9 21 1 9 12 9 22
Badsmcm dcsmcm ssmcm=++ +++
⎡
⎤
⎣
⎦
()
(
)
(
)
10 1 2 9 10 9 20 1 2 1 9 11 9 21 1 9 12 9 22
Aadcmsm dccmsm scmsm=−+ −+−
⎡
⎤
⎣
⎦
11 11 0BA==
()()
()
12 1 2 12 10 12 20 9 11 22 9 12 21
11212131223
1
2
sin
Bbdsmcmsmmcmm
dcmsm
δ
=++−+++⎡⎤
⎣⎦
+−
100
whose elemen s a e ob ained wi h (IV.20), whe e he Fou ie coe icien s Ai, Bj
co espond o he Fou ie analysis o he signal eco ded in each measu emen .
Some imes, a uning o he alues
δ
1 and
δ
2 o he e a de s can be con enien . This
can be made by means o he use o wo Soleil compensa o s as he e a de s L1 and
L2. O he al e na i e op ion, which p esen s some ad an ages, is he using o
espec i e se s, each one composed o h ee comme cial e a da ion shee s, so ha
he wo ex eme shee s a e equal and wi h hei as axes aligned. Each o hese se s
can be called as L(0,
δ
) L(
α
,
δ
’) L(0,
δ
), and acco ding o he heo em T14 is
equi alen o a lineal e a de L (
θ
,
Δ
) so ha [39]
()
sin 2
an 2 sin co 2 cos cos 2
α
θ
δ
δδα
=′+ (IV.33)
(
)
(
)
cos 2 cos cos 2 sin sin 2 cos 2
θ
δδ δδ α
′′
=− (IV.34)
Acco ding o hese exp essions we see ha by means o he uning o he o ien a ion
α
o he in e media e e a de we ge di e en equi alen linea e a de s wi h alues
o
θ
,
Δ
in he ollowing anges
(
)
()
22
sin 2
1a c an
2sin sin 2
δ
θδδ
′
≤′
⎡
⎤
−
⎣
⎦
(IV.35)
22
δ
δδδ
′
′
−
≤Δ≤ + (IV.36)
Ano he possibili y is he using o wo equal se s o wo linea e a da ion shee s.
One o hese se s a e called as L(
α
,
δ
) L (0,
δ
’), and acco ding o he heo em T4 is
equi alen o a sys em L(
θ
,
Δ
) R(γ) composed o a linea e a de and a o a o so ha
[39]
()()
sin 2
an cos 2 co 2 co 2
α
γαδ δ
=
′
− (IV.37)
() ()()
sin 2
an 2 cos 2 co 2 co 2
α
θγ αδ δ
−=
′
+ (IV.38)
()
22 22 2
cos 2 cos cos cos sin
22
δδ δδ
α
α
′
′
+−
⎛⎞ ⎛⎞
Δ= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ (IV.39)
I we use he sys em L(
α
,
δ
) L(0,
δ
’) as he e a de L1, and he sys em L(0,
δ
’) L(α,
δ) as L2, he e ec o he equi alen o a o o a sys em is compensa ed by he o he
one, because bo h o he o a o s in oduce an equal o a ion bu in he opposi e

101
sense. The pa ame e γ o he equi alen o a o o each sys em does no depend on
i s absolu e o ien a ion, so he e ec o he o a o s is compensa ed e en when he
wo sys ems o wo e a de s a e o a ing.
IV.3 Appa a us signal
In he las sec ion we ha e seen ha he cha ac e is ic pa ame e s o he ins umen
a e ob ained om a eco d wi hou any op ical medium in he assembly. He ea e ,
we will call appa a us signal o any signal ob ained on a eco d o his kind. The
pa ame e s ob ained om his signal can be used o gene a e, wi h he help o a
compu e , he g aphic o an ideal signal co esponding o hese pa ame e s, so ha i
is ob ained om (IV.21). In o de o ge a isual quali a i e idea o he accu acy o
he measu emen , he g aphic o he ideal appa a us signal ob ained can be compa ed
wi h he one ob ained in he expe imen al eco d. The mo e simila he wo signals,
he mo e accu a e will be he de ice*. Examples o ideal signal co esponding o
se e al alues o he cha ac e is ic pa ame e s o he de ice a e shown in Fig. IV.2-
IV.5.
Fig. IV.2. Appa a us signal co esponding o he ollowing alues o he pa ame e s o he Muelle
pola ime e :
α
2 = 0º, θ1 = 0º,
θ
2 = 22.5º,
δ
1 =
δ
2 = 90º, g1 = g2 = 1.
102
*In chap e VI he p incipal e ec s ha can induce di e gences be ween he ideal appa a us signal
and he expe imen al one, a e analyzed and discussed.
Fig. IV.3 Appa a us signal co esponding o he ollowing alues o he pa ame e s o he Muelle
pola ime e :
α
2 = 22.5º, θ1 = 0º,
θ
2 = 45º,
δ
1 =
δ
2 = 90º, g1 = g2 = 0.980.
Fig. IV.4 Appa a us signal co esponding o he ollowing alues o he pa ame e s o he Muelle
pola ime e :
α
2 = 0º, θ1 = 22.5º,
θ
2 = 0º,
δ
1 =
δ
2 = 90º, g1 = g2 = 1.
103
Fig. IV.5 Appa a us signal co esponding o he ollowing alues o he pa ame e s o he Muelle
pola ime e :
α
2 = 45º, θ1 = 0º,
θ
2 = 90º,
δ
1 =
δ
2 = 90º, g1 = g2 = 1.
IV.4. Compu e ized Fou ie analysis o he eco ded
signal.
In o de o ob ain he Fou ie coe icien s co esponding o a abula ed unc ion u0(x)
om a measu emen eco d, we ha e used a simila algo i hm o he p oposed by A.
Rals on and H. Wil [46]. The equi ed da a by ou sub ou ine o Fou ie analysis
a e he ollowing
1- En i e alue o N, so ha he e is an a ay o 2N + 1 dis ibu ed homogeneously
inside he angula ange as
2, 0,1,2,...,2
21
kkN
N
π
=
+ (IV.40)
2- Values o he unc ion u(x) o 0 ≤ x ≤ 2π, a anged in in e als o 2π/(2N+1).
3- O de M o he highes equency ha monic in he Fou ie se ies so ha 0 ≤ M ≤
N.
In ou case, M = 14 and he minimum numbe o equi ed da a poin s is 2M +1 = 29.
104
Chap e V
Dynamic me hod o he analysis o
pola ized ligh
105
The s udy p esen ed in he p eceden chap e can be pa icula ized o ob ain he
S okes ec o associa ed wi h a ligh beam. We will see ha his can be ob ained by
means o a calib a ion o he de ice o he wa eleng h o he beam and a eco d o
he in ensi y signal o he ligh beam a e passing h ough he analyzing b anch o
he ins umen (composed o L2 and P2).
V.I. Analysis de ice
In sec ion IV.I we ha e seen ha he de ice o he de e mina ion o Muelle
ma ices, schema ized in Fig. IV.I, can be conside ed as di ided in o wo pa s. One
o hem, which con ains L2 and P2, is used o he analysis o he s a e o pola iza ion
o he ligh ha passes h ough i . The scheme o he Fig. V.I. shows he de ice used
o he ob ainmen o he S okes pa ame e s co esponding o he ligh beam unde
s udy.
The Muelle ma ix co esponding o he sys em o med by L2 and P2 is he ma ix B
gi en in (IV.7). Gi en an incoming ligh beam whose S okes ec o S is o be
measu ed, he S okes ec o U co esponding o he ligh beam ha eme ges om he
de ice is
=
UBS (V.1)
and he in ensi y o he eme ging ligh is gi en by
0 00 0 01 1 02 2 03 3
ubsbsbsbs
=
+++ (V.2)
Fig.V.I: Scheme o he dynamic de ice o he analysis o pola ized ligh .
H: collima ed beam o monoch oma ic ligh
L2: o a o y e a de
P2: linea pola ize
C2: collec o lens
DT: de ec o
RG: eco de

106
F om (IV.7) and (V.2), and by using some igonome ic ela ions, we ob ain [20]
001 1 2 2
sin cos sin 2 cos 2uAB A B A
ω
ωωω
=+ + + + (V.3)
whe e
2
2
ω
ω
=
() () ( )
020 2221222
1
11coscos2sin2
2
Aks k s s
δ
θθ
⎡⎤
=+ + + + +
⎢⎥
⎣⎦
() ( )
()
120221222
223 22
1 sin 2 sin 2 cos 2
2sin cos2
Bks s s
s
θα α α
δθα
=− + + + −⎡⎤
⎣⎦
−+
() ( )
()
120221222
223 22
1 cos 2 cos 2 sin 2
2sin cos2
Aks s s
s
θα α α
δθα
=− + + − +⎡⎤
⎣⎦
++
() ( ) ( )
2222122222
11 cos sin 2 2 cos 2 2
2
Bk s s
δθαθα
⎡⎤
=+− + ++ +
⎡
⎤
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦
() () ()
2222122222
11coscos22sin22
2
Ak s s
δθαθα
⎡⎤
=+− + +− +
⎡
⎤
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦
(V.4)
The wo angula pa ame e s
θ
2,
α
2 ha e no been speci ied in he p e ious
exp essions. In o de o conc e e, we will conside a Ca esian sys em o e e ence
axes XYZ, so ha he ligh p opaga es on he Z axis di ec ion, and he pola iza ion
axis o he linea pola ize P2 coincides wi h he X axis. Wi h his choice,
θ
2 = 0, and
α
2 being he angle o med by he as axis o L2 and he axis X a he ini ial ins an ,
he exp essions (V.4) a e ans o med in o
() ()
020 2221
1
11cos
2
Aks k s
δ
⎡⎤
=+ + + +
⎢⎥
⎣⎦
()
[
]
120212222232
1 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos2Bks s s s
α
ααδα
=− + + −
()
[
]
120212222232
1 cos 2 cos 2 sin 2 2 sin sin 2Aks s s s
α
αα δα
=− + − +
()
[]
22221222
11cossin4cos4
2
Bk ss
δ
αα
⎡⎤
=+− + +
⎢⎥
⎣⎦
()
[]
22221222
11coscos4sin4
2
Ak ss
δ
αα
⎡⎤
=+− + +
⎢⎥
⎣⎦
(V.5)
107
By means o he Fou ie analysis o he in ensi y signal U0, he Fou ie coe icien s
o he se ies (V.3) can be ob ained. I we know he pa ame e s
δ
2, k2,
α
2, which a e
cha ac e is ic o he analysis de ice, i is easy o p o e om (V.5) ha he elemen s
o he S okes ec o S co esponding o he ligh beam unde s udy a e
()
222 2
1
22 2
sin 4 cos 4
11cos
2
BA
sk
α
α
δ
+
=
+−
()
2222
2
22 2
cos 4 sin 4
11cos
2
BA
sk
α
α
δ
−
=
+−
(
)
121 2 22
3
22
sin 2 cos 2 1
2sin
AB ks
s
αα
δ
−−−
=
()
02221
0
2
11cos
2
1
Ak s
sk
δ
⎡
⎤
−++
⎢
⎥
⎣
⎦
=+
(V.6)
V.2. Calib a ion
A p ocedu e o ob ain he pa ame e s
δ
2, k2,
α
2, is he ob ainmen o a eco d when a
beam o X - linea pola ized ligh alls on he de ice. In his case
1
1
0
0
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
S
and he Fou ie coe icien s co esponding o he Fou ie analysis o he in ensi y
signal U0 a e
()
0
0222
31cos
2
A
Ak
δ
′
== ++
()
1
122
21 sin2
B
Bk
α
′
== − ,
()
1
122
21 cos2
A
Ak
α
′
== −
()
2
22222
11cossin4
2
B
Bk
δ
α
′⎡⎤
== +−
⎢⎥
⎣⎦
,
()
2
22222
11coscos4
2
A
Ak
δ
α
′
⎡⎤
== +−
⎢⎥
⎣⎦
(V.7)
108
whe e he coe icien s ,
ii
AB
′′
a e a ec ed by a global scale ac o in oduced by he
ins umen esponse.
The pa ame e s Z1, Z2, h, de ined as
(
)
12 22 20 2
sin 4 cos 4 2 1
Z
BAA k
αα
′′′
≡++=+
(
)
21 21 2 2
sin 2 cos 2 2 1
Z
BA k
αα
′′
≡+=−
21
hZZ
=
(V.8)
le us o ob ain
δ
2, k2,
α
2, as ollows
222
an 4
B
A
α
′
′
=
(
)
(
)
211khh
=
−+
()
1
2
21
Z
k
=+
()
0
2
2
2
31
2
cos
Ak
δ
′
−+
=
(V.9)
To a oid inde e mina ions in he exp essions (V.6) we ha e o impose he condi ion
δ
2 ≠ 0, π
As we ha e jus seen, he calib a ion o he analysis de ice is ob ained by he
ealiza ion o a eco d wi h a beam o X - linea pola ized ligh alling on he de ice.
By means o he compu e ized Fou ie analysis o he eco ded signal, he Fou ie
coe icien s a e ob ained, and om hem we calcula e he pa ame e s o he de ice
acco ding o (V.9).
The Fou ie analysis o he signal is made in a simila way o ha shown in sec ion
IV.5. The only di e ence is he exis ence o wo ha monic e ms, so ha M = 2.
Thus, he minimum numbe o da a-poin s equi ed by he compu e p og am o
Fou ie analysis is 5.
109
V.3. Sensi i i y o he appa a us signal wi h espec o
he calib a ion pa ame e s
In o de o app ecia e he in luence o he se e al calib a ion pa ame e s in he
appa a us signal we ha e s udied i sys ema ically by a ying each o he calib a ion
pa ame e s, and ixing he emainde .
Figu es V.2, V.3 and V.4 show he eco ded signal ob ained by he a ia ions o he
pa ame e s
α
2,
δ
2 and k2, espec i ely (do ed line), in ela ion wi h he appa a us
signal co esponding o he alues
α
2 = 0º,
δ
2 = 90º and k2 = 1 (con inuous line).
F om hem we deduce ha a a ia ion o he alue
α
2 implies a global ansla ion o
he signal (Fig. V.2 shows a a ia ion o +3º in
α
2); he dec ease o he alue
δ
2 is
ollowed by an inc ease o he minimums (Fig. V.3), bu he inc ease o he alue
δ
2
p oduces a g a e elonga ion o he signal. Finally, he a ia ion o he pa ame e k2
gene a es a signi ican di e ence among he alues o e e y wo consecu i e
maximums (Fig. V.4).
Fig. V.2: Appa a us signals co esponding o he ollowing alues o he pa ame e s o he de ice o
he analysis o pola ized ligh
a) Con inuous line:
α
2 = 0º,
δ
2 = 90º, k2 = 1
b) Do ed line:
α
2 = 3º,
δ
2 = 90º, k2 = 1
116
In o de o ix he o igin o he de ec ed signals, he elec onic de ice schema ized in
Fig. VI.3 has been designed, which con ains a coil whe e Foucaul cu en s a e
induced when a conduc o is mo ed nea i . The coil is connec ed o a lip- lop
sys em ha ans o ms he peaks in o a squa ed-signal.
Fig. VI.3: Scheme o he elec onic de ice o he de e mina ion o he o igin and pe iod o he
eco ded signals.
Fig. VI.4: Scheme o he ci cui used o pola ize he de ec o pho odiode Ha saw 38.
Fixed o he cogged wheel CD2, he e is a small coope shee (LC), which
au oma ically ac i a es he eco de when i passes by he place whe e he coil is.
Thus, his de ice is pe iodically ac i a ed wi h he same pe iod as he signal o he
in ensi y o he ligh ha alls on he de ec o DT. The pe iod o ime be ween wo
equi alen posi ions o he measu emen de ice is T ~ 0.1 s.

117
We ha e used a pho omul iplie O iel 7060 as de ec o DT. I is necessa y o
dec ease he lase ligh beam wi h he help o a neu al il e N and he di use DF so
ha DT wo ks in linea esponse egime. O he de ec o also used is he pho odiode
Ha saw 38, pola ized acco ding o he ci cui shown in Fig. VI.4. This kind o
de ec o , al hough cheape , in oduce a ce ain le el o con inuous ol age o e he
de ec ed signal. This le el can be easily de e mined and mus be sub ac ed om he
eco ded signal.
The eco de used is a mul ichannel analyze HP 648OB, which eco ds he signal
om he de ec o and s a s he eco ds acco ding o he hy hm o he shoo
elec onic de ice DE.
The wo k wa eleng h (λ = 632.8 nm) does no co espond o he op imum esponse
zone o he pho omul iplie used he e, and hus we need o il e he andom noise
o igina ed by he pho ons alling on i . This is made by means o a numbe o 28
signal scans, a e aged wi h an algo i hm o he mul ichannel analyze . This numbe
o scans has been conside ed adequa e o ob ain a signal/noise a io high enough (s/N
≥ 100).
We ha e used a compu e HP2000 o he p ocessing o he signal da a.
VI.2 Possible causes o e o s in he measu emen s
In his sec ion we analyze he p incipal possible causes o e o s in he measu emen s
ob ained wi h ou expe imen al de ice.
- Depola iza ion o he es ligh beam [2].
In he heo e ical ea men o ou dynamic me hods o measu emen , we
ha en’ aking in o accoun he possible e ec o depola iza ion o he es
ligh beam p oduced by he se e al elemen s o he de ice, as he o a o y
e a de s and he linea pola ize P2. Small specks o dus o impe ec ions on
he su ace o he elemen s can p oduce di ac ion o he ligh beam, and hus
a sligh e ec o depola iza ion.
- De ia ions om he di ec ion o he ligh beam
The lack o pe pendicula i y o he su aces o he elemen s wi h espec o
he p opaga ion di ec ion o he ligh beam p o okes a beha io o hese
elemen s di e en om he heo e ically p edic ed. O he wise, he angle o
incidence o e hem and he pola ize P2 can change cons an ly, al hough
pe iodically, because o he o a ion o he e a de s du ing he measu emen .
118
We ha e ye said ha he mechanism o he o a ion in he e a de s has a
de ice o he adjus men o he pe pendicula i y o he e a da ion shee s
espec o he p opaga ion di ec ion o ligh . Howe e , i is no easy o make
he adjus men wi h g ea pe ec ion because o he ac ha he shee s a e no
pe ec ly la , wi h small inhomogenei ies and a ce ain global cu a u e.
O he wise, a pe ec adjus men is no desi able because i would p oduce an
o e lapping o he di ec ligh beam wi h he se e al e lec ed beams, which
would all o e he de ec o and would p oduce a de e io a ion o he quali y
o he signal. This o e lapping is wo se han a li le de ec on he
pe pendicula i y o he e a da ion shee s [47, 48], which allows us he
elimina ion o pa asi ic beams by means o diaph agms.
The lack o pe pendicula i y be ween he e a da ion shee L1 and he
di ec ion o ligh p opaga ion has he consequence o a pe iodic a ia ion o
he o ien a ion o he own axis espec o he impac plane, wi h he same
pe iod o he signal T = 2π/
ω
1. This p o okes ha he e ec i e alues
δ
1 and
k1 also a y pe iodically. The e ec p oduced by he o a ion o L2 is mo e
complica ed, because he ligh beam ha alls on i a ies i s angle espec o
he axis Z wi h a pe iod 2π/
ω
1 and he o ien a ion o he own axis o L2
espec o a ixed axis a ies wi h a pe iod T2 = 2π/
ω
2 = 4π/5
ω
1 = 2T/5. And
hus, as 2 T = 5 T2, he si ua ion is epea ed wi h a double pe iod o each
signal.
One way o es ima e he in luence o his phenomenon, and o adjus he il
o he e a de s so ha we ob ain a minimum in luence, is o check isually,
on he sc een o he mul ichannel, he di e ences in he shape o wo
consecu i e pe iods.
- Mul iple in e nal e lec ion in L1 and L2
This e ec is included in he heo y, by conside ing he e a de s L1 and L2 as
non ideal. The e ec i e alues o
δ
1,
δ
2, k1 and k2 a e ob ained by means o
he calib a ion.
- Impe ec ions on he mechanical de ice.
The mechanism o he o a ion o he shee s is subjec o ib a ions du ing
he measu emen s and i can p oduce some dis up ion e lec ed in he esul s.
- Calib a ion e o s.
We mus ca e ully calib a e he de ice because he e o s in he cha ac e is ic
pa ame e s a e ansmi ed sys ema ically o all he measu emen s.
- De ec ion e o s.
119
The dependence o he sensi i i y o he de ec o wi h he pola iza ion o he
ligh does no become appa en , because he posi ion o he pola ize P2
emains ixed du ing each measu emen . Howe e , we mus be su e ha he
de ec o is wo king on i s linea esponse zone.
- E o s p oduced du ing he p ocessing o he da a.
We ha e seen ha he e o s p oduced in he p ocess o he compu e ized
calcula ions a e o he o de o 0.05 % [22] and, as we will see in he nex
chap e , he in oduc ion o a high numbe o da a-poin s o he eco ded
signal in he Fou ie analysis sub ou ine does no gi e us ad an ages in he
quali y o he measu emen s.
VI.3. Compu e ized da a p ocessing
Each eco d ob ained wi h he mul ichannel analyze is composed o 1000 da a-
poin s, whe e app oxima ely 713 co espond o a comple e pe iod o he eco ded
signal. By connec ing he compu e wi h a digi al ol me e and he mul ichannel
analyze we can inse he da a by means o an in e ace HP-IB (mod. 82937 A), o
we can also connec he compu e wi h he de ec o .
Once in he compu e , he da a a e s o ed in iles. The e a e ou ypes o p og ams
o he ea men o hese da a.
- MAPAR p og am o he ea men o appa a us signals ob ained wi h he
de ice o he de e mina ion o Muelle ma ices.
- MEREL p og am o he ea men o he signal co esponding o he s udied
op ical media.
- MEPOL p og am o he ea men o appa a us signals ob ained wi h he
de ice o he analysis o pola ized ligh .
- STOKES p og am o he ea men o signals co esponding o s udied
beams o ligh .
VI.3.1. MAPAR p og am
The aim o his p og am is he ob ainmen o he calib a ion pa ame e s o he de ice
o he de e mina ion o he Muelle ma ices.
120
Requi ed da a:
- Name o he da a ile co esponding o he appa a us-signal o be p ocessed.
- Numbe NP o da a-poin o be inse ed in o he sub ou ine o he Fou ie
analysis.
- Con inuous le el in oduced in he signal by he de ec o , i i exis s.
The MAPAR p og am has h ee pa s:
-MAPAR.1.
- By means o a linea in e pola ion, NP da a poin s a e selec ed among he
o al inse ed in he ile. This in e pola ion is jus i ied by he ela i e
p oximi y be ween wo da a-poin s o he eco d, and i needs 2NP da a-
poin s, om which a e calcula ed he NP in e pola ed da a.
-MAPAR.2.
- The in e pola ed da a-poin s a e inse ed in o he sub ou ine AJTE o
Fou ie analysis, and he Fou ie coe icien s Ai, Bj a e ob ained.
-MAPAR.3.
- The cha ac e is ic pa ame e s o he de ice
δ
1,
δ
2, k1, k2,
θ
1,
θ
2,
α
2 a e
calcula ed om he Fou ie coe icien s Ai, Bj,. I is easy o obse e ha none
o hese pa ame e s depend on he scale ac o ha a ec s he signal.
VI.3.2. MEREL p og am
This p og am is used o ob ain he Muelle ma ix M associa ed wi h he measu ed
op ical sys em.
Requi ed da a:
- Name o he da a ile co esponding o he signal o be p ocessed.
- Numbe NP o da a-poin o be inse ed in o he sub ou ine o he Fou ie
analysis.
- Con inuous le el in oduced in he signal by he de ec o , i i exis s.
- Values o he pa ame e s
δ
1,
δ
2, k1, k2,
θ
1,
θ
2,
α
2.
121
The MEREL p og am has h ee pa s o subp og ams. MEREL.1 and MEREL.2 a e
analogous o MAPAR.1 and MAPAR.2.
-MEREL.3.
- F om he coe icien s Ai, Bj, calcula ed in MEREL.2, he elemen s mij o he
Muelle ma ix M a e calcula ed. These elemen s a e ob ained by means o
he exp essions (IV.20), and a e a ec ed by a unique ac o , ela ed wi h he
scale ac o o he signal. The p og am gi es as a esul he Muelle ma ix
MN, no malized as 00
m
=
N
MM
The p og ams MAPAR and MEREL a e p epa ed o ep esen g aphically he signal
poin s.
VI.3.3. MEPOL and STOKES p og ams
The aim o he MEPOL p og am is analog o he MAPAR one, and he ype o
equi ed da a is he same. The MEPOL p og am le us make a calib a ion o he
de ice o he analysis o pola ized ligh , by calcula ing he pa ame e s
δ
2, k2,
α
2 wi h
he equa ions (V.9).
The S okes p og am is analog o MEREL and le us o ob ain he S okes ec o S
associa ed wi h he s udied ligh beam. This ec o is ob ained by no malizing S so
ha s0 = 1.

122
Chap e VII
Calib a ion and some esul s
123
In his chap e we p esen he expe imen al esul s co esponding o he calib a ion o
he Muelle and S okes pola ime e s as well some measu emen s o S okes ec o s
and Muelle ma ices. These esul s a e analyzed and discussed wi h he help o
se e al ela ions and heo ems included in chap e s II and III. The calib a ion
measu emen s a e compa ed wi h he ideal heo e ical esul s, so ha he p ecision o
he ins umen is s udied and compa ed wi h he ob ained by means o o he kind o
me hods and dynamic and s a ic measu emen de ices.
The expe imen al assemblies used o he analysis o pola ized ligh and he
de e mina ion o Muelle ma ices a e desc ibed in he p e ious chap e .
All he esul s p esen ed in his chap e ha e been ob ained om in ensi y signals
de ec ed by a pho omul iplie and eco ded by making an a e age o 28 scans wi h
he mul ichannel analyze , as indica ed in chap e VI.
VII.1. De e mina ion o S okes pa ame e s
VII.1.1. Calib a ion
Acco ding o he exp essions (V.9) we ha e made a calib a ion o he de ice used o
he de e mina ion o S okes pa ame e s. In he da a p ocessing made by he compu e
we ha e seen ha he ob ained alues o he Fou ie coe icien s do no change
signi ican ly o di e en numbe s o da a-poin s. The measu ed Fou ie coe icien s
a e
05.804A′=, 11
0.088, 0.066AB
′′
=− =− , 22
0.834, 1.902AB
′
′
=
= (VII.1)
which lead o he ollowing pa ame e s o he de ice
222
106.6º 90.0º 0.974k
α
δ
=== (VII.2)
In o de o make an es ima ion o he e o p oduced du ing he calcula ion o he
S okes pa ame e s we ha e conside ed ha he coe icien s (VII.1) co espond o he
s udied ligh beam, ins ead o assuming ha he incoming ligh is linea ly pola ized
along X di ec ion. By conside ing (VII.2) as da a we ob ain he S okes ec o S
co esponding o he beam by means o (V.6). The measu ed ec o componen s a e
124
01.000s=, 11.000s
=
, 20.000s
=
, 30.002s
=
− (VII.3)
The deg ee o pola iza ion o he ligh beam is
1.000G
=
(VII.4)
The esul s (VII.3-4) mus be compa ed wi h he ideal alues s0 = s1 = 1, s2 = s3 = 0,
G = 1.
Fig. VII.1 shows he in ensi y signal ob ained expe imen ally (do ed line) and he
ideal heo e ical signal co esponding o he alues (VII.2) (con inuous line).
Fig. VII.1: Calib a ion appa a us-signal o he S okes pola ime e wi h alues
α
2 = 106.6º,
δ
2 = 90.0º,
k2 = 0.974. Expe imen al signal (do ed line) e sus ideal heo e ical signal o he same alues
(con inuous line).
VII.1.2. Ellip ical pola iza ion
To illus a e he beha io o he S okes pola ime e we ha e analyzed a ligh beam
wi h a ce ain s a e o ellip ical pola iza ion.
In his pa icula case, he ob ained Fou ie coe icien s a e
01.844A
=
, 11
0.889, 1.313AB=− = , 22
0.141, 0.282AB
=
−= (VII.5)
125
which co espond o he ollowing S okes pa ame e s
01.000s=, 10.231s
=
, 20.275s
=
, 30.930s
=
(VII.6)
The deg ee o pola iza ion o he ligh beam is
0.997G
=
(VII.7)
In Fig. VII.2 we see he shape o he eco ded in ensi y signal.
Fig. VII.2: Expe imen al signal co esponding o an ellip ically pola ized ligh beam wi h S okes
pa ame e s s0 = 1.000, s1 = 0.231, s2 = 0.275, s3 = 0.930.
VII.2. De e mina ion o Muelle ma ices
VII.2.1. Calib a ion
We ha e made a calib a ion o he Muelle pola ime e as indica ed in sec ion IV.2.
The Fou ie coe icien s a e ob ained om he analysis o he calib a ion signal
132
VII.2.3. Comme cial linea pola ize
In his case we ha e conside ed a Pola oid HN42 comme cial linea pola ize as he
sample unde measu emen .
The measu ed Muelle ma ix MP o a ce ain o ien a ion o he pola iza ion axis o
he pola ize espec o he e e ence axes o he pola ime e is
1.000 0.856 0.668 0.018
0.864 0.685 0.520 0.007
0.675 0.534 0.413 0.003
0.007 0.045 0.015 0.005
−−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
=⎜⎟
−−
⎜⎟
−−−
⎝⎠
P
M (VII.22)
The measu ed alues o he no m and indices co esponding o MP a e
M2.033, 0.976, 0.897, 0.917
DPP
GGG
Γ
′
′′
==== (VII.23)
I he small e ec o depola iza ion is neglec ed and conside ing ha , acco ding o
(VII.22),
()
12
222
01 02 03 00
,mmm m≈++≈
T
PP
MM ; hen, in ag eemen wi h sec ion
III.4, he ma ix MP co esponds o a pola ize wi h pa ame e s
0.0º, 19.0º, 0.041k
δ
ν
== = (VII.24)
These esul s indica es ha his sys em is a linea pola ize (
δ
= 0º).
In Fig. VII.7, whe e he in ensi y signal co esponding o MP is ep esen ed, we can
see ha (excep o sligh di e ences) he signal is doubly pe iodic. This is a
cha ac e is ic p ope y o sys ems whose las elemen is a o al linea pola ize .

133
Fig. VII.7: Expe imen al signal co esponding o a linea pola ize wi h pa ame e s
ν
= 19º, k = 0.041.
VII.2.4. Sys em o wo linea e a de s.
We ha e ob ained he Muelle ma ix associa ed wi h a sys em composed o wo
Pola oid comme cial qua e -wa e linea e a de s o a wa eleng h
λ
= 598 nm. Fo
a ce ain posi ion o he axes espec o he e e ence ones, he measu ed ma ix is
1.000 0.002 0.001 0.031
0.008 0.659 0.057 0.850
0.004 0.320 0.905 0.215
0.044 0.759 0.375 0.507
−
⎛⎞
⎜⎟
−
⎜⎟
=⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠
2L
M (VII.25)
so ha
M2.026, 0.982, 0.045, 0.031
DPP
GGG
Γ
′
′′
==== (VII.26)
These esul s indica e ha he beha io o he sys em is simila o he beha io o an
ellip ic e a de wi h pa ame e s
151.2º, 25.7º , 4.3º
ω
ψ
Δ= = =− (VII.27)
The a io k be ween he p incipal coe icien s o in ensi y ansmission is
134
0.938k
=
(VII.28)
which ells us ha he e ec o pa ial pola iza ion is bigge now han in he case
wi h one e a de o he same kind.
The in ensi y signal co esponding o ML2 is ep esen ed in Fig. VII.8.
Fig.VII.8: Expe imen al signal co esponding o a sys em wi h wo linea e a de s equi alen o an
ellip ic e a de wi h pa ame e s
Δ
= 151.2º,
ω
= 25.7º,
Ψ
= -4.3º, k = 0.938.
VII.2.5. Sys em wi h h ee linea e a de s
The Muelle ma ix expe imen ally ob ained o a sys em composed o h ee
comme cial linea e a de s o he same kind as he analyzed in sec ion VII.2.2, o a
ce ain o ien a ion o i s own axes espec o he e e ence ones is
3
1.000 0.035 0.019 0.014
0.002 0.619 0.205 0.777
0.048 0.817 0.163 0.607
0.032 0.027 0.990 0.313
−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
=⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎝⎠
L
M (VII.29)
om whe e
135
M2.043, 0.970, 0.042, 0.062
DPP
GGG
Γ
′
′′
==== (VII.30)
The ma ix M3L app oxima ely co esponds o an ideal ellip ic e a de wi h
pa ame e s
87.2º, 15.4º, 12.9º
ω
ψ
Δ= = = (VII.31)
The e ec o pa ial pola iza ion, which p oduces a beha io di e en han he one o
an ideal e a de , is gi en by
0.919k
=
(VII.32)
The shape o he in ensi y signal co esponding o his case is shown in Fig. VII.9.
Fig. VII.9: Expe imen al signal co esponding o a sys em wi h h ee linea e a de s equi alen o an
ellip ic e a de wi h pa ame e s
Δ
= 87.2º,
ω
= 15.4º,
Ψ
= 12.9º, k = 0.919.
I ligh passes h ough he same sys em in he e e se di ec ion we ob ain he
ollowing ma ix
136
3
1.000 0.008 0.014 0.028
0.029 0.594 0.854 0.056
0.017 0.200 0.259 0.977
0.008 0.807 0.535 0.309
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
′=⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠
L
M (VII.33)
which app oxima ely co esponds o an ellip ic e a de gi en by
85.3º, 15.9º , 13.1º
ω
ψ
Δ= =− = (VII.34)
These esul s a e in ag eemen wi h he ecip oci y heo em T12 (in he o malism
SMF). I he di ec ion o he ligh h ough he op ical medium is e e sed, he
ob ained Muelle ma ix M3L’ mus sa is y he ela ions (II.76) and (II.77) espec o
M3L. Thus, as expec ed, he pa ame e s
Δ
,
ω
a e simila o he ob ained in (VII.31),
and he sign o
Ψ
in (VII.34) is opposi e o he sign o
Ψ
in (VII.31) bu wi h
app oxima ely he same alue o he modulus.
Acco ding o he ecip oci y heo em TR, he di e ences be ween he alues (VII.35)
and (VII.36) espec o he co esponding o (VII.29) and (VII.31), can be due o a
lack o pe pendicula i y o he sample, and o an inexac ecip oci y because o he
in e nal e lec ions whose e ec can be dis inguished acco ding o he di ec ion o
he ligh h ough he sys em.
VII.2.6. Sys em composed o a pola ize and a e a de .
We ha e applied he Muelle pola ime e o he s udy o a sys em composed o a
Pola oid HN42 linea pola ize and a Pola oid linea e a de wi h nominal
e a da ion alue 140 ± 20 mμ o
λ
= 560 nm.
Fo a ce ain o ien a ion o he eigen-axes o he e a de and pola ize espec o he
e e ence axes we ha e measu ed he ollowing Muelle ma ix
1.000 0.861 0.426 0.188
0.935 0.816 0.403 0.201
0.315 0.280 0.156 0.018
0.009 0.001 0.012 0.008
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
LP
M (VII.35)
om whe e
137
M1.974, 0.982, 0.985, 0.977
DPP
GGG
Γ
′
′′
==== (VII.36)
The applica ion o he heo em T8 oge he wi h (III.26) o (III.36), gi es us he
ollowing pa ame e s o he equi alen sys em
12
85.4º, 1.7º , 9.3º , 21.9º, 0.033
LP
k
ν
ξ
Δ= Δ= = = = . (VII.37)
Taking hese esul s o he exp ession (III.23) we see ha he sys em beha es as he
ollowing
()( )
(
)
12
() , 0, ( ) 0,
LP
k
γξ ν
Δ−ΔRL P R L
and aking in o accoun ha 20,
γ
ν
Δ
≈≈, we see ha we ha e a linea e a de and
a linea pola ize whose axis o pola iza ion has an angle
ζ
wi h he as axis o he
e a de , and an angle –
ν
wi h he X axis o e e ence.
The ligh beam passes i s h ough he e a de , and hen h ough he pola ize , and
he ma ix MLP can be exp essed as ollows
(
)
(
)
1
() 0, , ()
LP
k
ν
ξν
=− Δ
LP R P L R
MM M M M (VII.38)
The in ensi y signal co esponding o MLP is shown in Fig. VII.10, and i can be
obse ed ha he o al pe iod o he signal is o med by wo almos equal semi
pe iods. This ac occu s when he las elemen o he analyzed sys em is a o al
pola ize .

138
Fig. VII.10: Expe imen al signal co esponding o a sys em composed o a linea pola ize and a linea
e a de ca ego ized as L (31.2º, 85.4º) P (9.3º, 0.033).
To check he quali y o he esul s we ha e made ano he eco d wi h an in e se
o de o he elemen s and e e sing hei o ien a ions espec o he e e ence axis.
The measu ed ma ix is
1.000 0.843 0.587 0.029
0.876 0.733 0.503 0.042
0.486 0.393 0.281 0.020
0.199 0.145 0.121 0.008
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
PL
M (VII.39)
The applica ion o he heo em T9 oge he wi h he exp essions (III.15), akes us o
an equi alen sys em ca ego ized as
()()
,,
LP
k
α
θδ
PL
so ha
(
)
(
)
,,
LP
k
θδ α
=
LP L P
MM M (VII.40)
whe e
87.0º , 32.0º, 17.4º, 0.026
LP
k
δ
θα
=== = (VII.41)
139
The alue o
δ
in (VII.41) co esponds o he alue o
Δ
1 in (VII.37). The di e ence
be ween he alues is no necessa ily caused by a lack o p ecision in he
measu emen s, because in (VII.38) and (VII.40) we ha e supposed an ideal e a de .
In Fig. VII.11 we see he g aphic o he in ensi y signal co esponding o MPL, in
which is obse ed ha he numbe o maximums and hei posi ions a e he same as
in Fig VII.9, co esponding o MLP.
Fig. VII.11: Expe imen al signal co esponding o a sys em composed o a linea pola ize and a linea
e a de ca ego ized as P (17.4º, 0.026) L (32.0º, 87.0º).
VII.3 Discussion
Among he s a ic me hods o he analysis o pola ized ligh we can emphasize he
echniques o null ellipsome y. These echniques ge a p ecision o he o de o 0.01º
in expe imen al measu emen s o angula pa ame e s [2]. Howe e , hese echniques
a e no use ul o he de e mina ion o Muelle ma ices [23]. Some au ho s ha e
p oposed dynamic de ices o he de e mina ion o Muelle ma ices, bu he e a e
ew e e ences abou he de elopmen and expe imen al building o such de ices. In
his sense i is wo h men ioning he wo k o Thomson e al. [24], in which is
desc ibed a de ice wi h ou elec o-op ic modula o s. The calib a ion ope a ion o
his de ice equi es he use o se e al es s, wi h ce ain combina ions o pola ize s
and e a de s whose p ope ies a e p e iously known.
140
The p ecision ci ed o he measu emen s ob ained wi h such de ice is o o de o
3%.
The expe imen al esul s ob ained wi h ou de ice le us es ima e a p ecision be e
han 1% in he alues o he elemen s o he Muelle ma ices.
141
Chap e VIII
Conclusions