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2013 39 José Jorge Gil Pérez Determinación de parámetros de polarización en representación matricial: contribución teórica y realización de un dispositivo automático Departamento Director/es Física Aplicada Bernabéu Martínez, Eusebio Director/es Tesis Doctoral Autor Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Departamento Director/es José Jorge Gil Pérez DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE POLARIZACIÓN EN REPRESENTACIÓN MATRICIAL: CONTRIBUCIÓN TEÓRICA Y REALIZACIÓN DE UN DISPOSITIVO AUTOMÁTICO Director/es Física Aplicada Bernabéu Martínez, Eusebio Tesis Doctoral Autor 1983 Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Departamento Director/es Director/es Tesis Doctoral Autor Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA DETERMINACION DE PARAMETROS DE POLARIZACION EN REPRESENTACION MATRICIAL. CONTRIBUCION TEORICA Y REALIZACION DE UN DISPOSITIVO AUTOMATICO. TESIS presentada a la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, para aspirar al g~ado de Doctor en Ciencias, Sección de ~ísicas, por JOSE JORGE GIL PEREZ INDICE 1.- INTRODUCCION .............................. 1 11.-FORMALISMOS DE REPRESENTACION DE LUZ POLA-- RIZADA Y DE MEDIOS OPTICOS ................ 5 11.1.- Vector campo eléctrico y elipse de polarización ....................... 6 11.2.- Cálculo de Jones ............,...... 9 11.3.- Formalismo de Stokes-Mueller ....... 12 11.4.- Formalismos Matriz de Coherencia y Vector de Coherencia ............... 18 11.4.1.- Medios Ópticos de tipo N .. 20 11.4.2.- Medios Ópticos de tipo G .. 21 11.5.-.Relaciones entre lo2 diferentes for11.5.1.- Algunas consideraciones formales ..................... 24 11.5.2.- Relaciones relativas a carac - terización de la luz ...... 26 11.5.3.- Relaciones relativas a carac - terización de medios Ópti-- COS ....................... 27 11.6.- Medios Ópticos. ~otación ........... 33 11.6.1.- Polarizadores parciales ... 36 11.6.2.- Polarizadores totales ..... 40 11.6.3.- Retardadores ideales ...... 41 11.6.4.- Retardadores no ideales ... 42 11.6.5.- Grupo SL(~C) y Grupo de Lorentz.................... 43 11.7.- ~escomposiciÓn polar ................ 45 11.8.- Teoremas ........................... 45 111.- PROPIEDADES DE LAS MATRICES QUE REPRESENTAN A MEDIOS OPTICOS .................... 111.1.- Grado de polarización en los dife .............. rentes formalismos 111.2,- Construcción de una matriz de - Mueller genérica ................ 111.2.1.- Teorema general de equi - .............. valencia 111.2.2.- Teorema de descomposi-- ............ ción polar 111.3.- Clasificación de las matrices de .............. Mueller de tipo N 111.4.- Relaciones restrictivas en una - .............. matriz de Mueller 111.5.- Relaciones restrictivas en una - matriz V del formalismo CVF..... 111.6.- Condición de la Norma en matri-- ................. ces de Mueller 111.7.- Condición de la Norma en matrices de Jones ....................... 111.8.- Condición de la Norma en matri-- ....... ces V del formalismo CVF 111.9.- Indices de polarización y despolarización ..................... IV .- METODO DINAMICO DE DETERMINACION DE MA-- ...................... TRICES DE MUELLER .......... IV.l.- Dispositivo de medida IV.2.- Calibrado ...................... .................. IV.3.- Señal aparato IV.4.- ~nálisis de Fourier por ordenador ......... de la señal registrada V.- METODO DINAMICO DE ANALISIS DE LUZ POLARIZADA ................................. V.l.- Dispositivo de análisis ...,...... V.2.- Calibrado ........................ V.3.- Sensibilidad de la señal aparato - respecto a los parámetros de calibrado ............................ VI.- DISPOSITIVO EXPERIMENTAL ............... VI.l.- Montaje experimental general ... VI.2.- Causas posibles de error en las medidas ......................... VI.3.- Procesado de datos por ordenador. VI.3.1.- Programa MAPAR ......... VI.3.2.- Programa MEREL ......... VI.3.3.- Programas MEPOL Y STOKES VII. - CALIBRADO Y ALGUNOS RESULTADOS . . . . . . . . . VII.l.- Determinación de parámetros de Stokes ......................... VII.l.l.- Calibrado ............ VII.1.2.- Polarización elíptica. VII.2.- Determinación de matrices de Mueller ........................ VII.2.1.- Calibrado ............ VII.2.2.- Retardador comercial.. VII.2.3.- Polarizador lineal comercial .............. VII.2.4.- Sistema de dos retar-- dadores lineales . . . . . VII.2.5.- Sistema de tres retardadores lineales ..... VII.2.6.- Sistema compuesto por un polarizador y un - retardador .......... VII.3.- Discusión ..................... 1, INTRODUCCION El análisis de luz polarizada, y la determinación de parámetros Ópticos característicos de medios activos a la polarización, constituyen un área de trabajo de la Óptica que ha repercutido desde hace tiempo en diversas ramas de la física y de otras ciencias de la naturaleza. No obstante, re - cientemente se ha apreciado un renovado interés en este área, que se ha concretado en la aparición de una nueva y abundante literatura. En el campo de la elipsometría cabe destacar los trabajos de R.M.A. Azzam y N.M. Bashara, realizados en su mayor parte con ayuda del formalismo matemático de R.C. ~onesl, y que han dado lugar a un completo tratado2 en el que se recogen las técnicas estáticas y dinámicas más modernas de determinación de parámetros Ópticos, así como aplicaciones concretas al estudio de películas delgadas, formación de coágulos de sangre, etc.. . P.C. Theocaris y E.E. Gdoutos3 han presentado un estudio riguroso de la teoría matricial de la fotoelasticidad, en el que se hace uso de los formalismos de R.C. Jones y H. Nueller. Merece mención también el trabajo 4 de H.C. Van de Hulst , en el que se estudia el fenómeno de dis - persión de luz por partículas con diferentes formas y tamaños, dando modelos matriciales en el formalismo de Mueller para cada uno de los casos. Este trabajo ha dado pié, muy recientemente, a estudios sobre la atmósfera natural, aerosoles ar - tificiales, hidrosoles marinos. etc ... 5 Otros temas relacionados de notable interés y de - sarro110 actual son también el estudio de filtros espectrales birrefringentes Ó dicróicos6, poder rotarorio natural7, birre - 8 fringencia en fibras ópticas , etc.., El estudio del comportamiento de medios Ópticos activos a la polarización puede abordarse en forma general 4,9,10,11,12 por medio del formalismo Stokes-Mueller . Ahor-a bien, los elementos de la matriz de Mueller asociada a un cierto medio Óptico no dan por sí solos información directa de los parámetros relevantes en el comportamiento físico de dicho medio, por lo que resulta conveniente realizar un estudio previo que permita hacer una clasificación de las matrices de Mueller de acuerdo con las propiedades de los medios Ópticos a que corresponden, y que facilite la extracción de parámetros con interpretación física directa a partir de dichas matrices. Diversos autores, como K.D. Abhyankar 13 15 l4 E.S. Fry y G.W. Kattawar , y Y A.L. Fymat , R. Barakat , R.W. SchaeferlG han estudiado las relaciones existentes entre los elementos de cualquier matriz de Mueller. Por otra parte, R.C. ~ones', J.R. Priebe17 y C. whitney18han estable - cido diversos teoremas en los que, desde el punto de vista de la polarización, se demuestra la equivalencia entre sistemas complejos y sistemas sencillos constituidos por pocos medios Ópticos. ó demás de ello, en los Últimos años se ha no tado una tendencia al desarrollo de dispositivos dinámicos de determinación de parárnetros si P.S. Hauge y H. ~i11~' han presentado un método dinámico de análisis de luz polarizada, que junto con un trabajo de E. collet2', en el que se estudia la luz polarizada emergente de un cierto dispositivo que contiene un retardador rotatorio, fueron la base de nuestro trabajo previo, presentado como Tesis de ~icenciatura~~, en el que desarrollamos un dispositivo experimental que contiene dos retardadores rotatorios y dos polarizadores lineales fijos. Posteriormente, otros autores han presentado diferentes dispositivos que hacen uso de re - tardadores rotatorios no ideales, como el debido a P.C. Hau - 9e23, Ó bien moduladores electroópticos como el construído por R.C. Thomson, J.B. Bottiger y E.S. ~r~~~, 11.2. CALCULO DE JONES Un vector de Jones es un vector columna compuesto de dos elementos complejos que son las componentes Exy Ey del vector luz E . El vector de Jones, en el caso más general de polarización elíptica, es 1 con Aunque para definir la elipse de polarización basta con las dos amplitudes Ax, Ay y con la fase relativa 6 , es de observar que el vector & mantiene información de ambas fases dx, por separado. Este hecho muestra que, en general, un vector de Jones queda caracterizado por dos números complejos independientes; es decir, por cuatro magnitudes reales Existen problemas en los que la fase absoluta es irrelevante. En tales casos el vector de Jones se escribe En otros casos se usa el vector de Jones normalizado de forma que la intensidad valga la unidad. Es decir ete = A: + A: = i Dos estados de polarización de vectores de Jones E y &' , se dicen ortogonales cuando &'E'= o Los vectores ortogonales corresponden a elipses de polarización con igual elipticidad, distinto sentido de giro y con sus ejes mayores perpendiculares entre si. La superposición coherente de dos haces de luz polarizada puede expresarse como la suma de sus correspondientes vectores de Jones. Cuando una onda de luz monocromática como la dada por (11.1) atraviesa un medio Óptico lineal que no produce efectos incoherentes, la onda emergente es una transformación lineal de ella del tipo4 donde Al , Ai , Aa , Al , son coeficientes cornple jos que dependen de la naturaleza del medio Óptico. Por lo tanto, la transformación (11.10) puede escribirse de la forma Ó bien &'=J&, siendo J la matriz compleja definida por A la matriz J se le denomina matriz de Jones asociada al medio Óptico considerado. Los elementos de J se suelen denotar de dos formas alternativas, que son En adelante, cuando se denote una matriz con la letra J , deberá entenderse que se trata de una matriz de Jones. La matriz de Jones asociada a una sucesión de medios Ópticos, se puede obtener como el producto ordenado de las 2 respectivas matrices de Jones asociadas a dichos medios. Ello se comprueba fácilmente aplicando (11.12) sucesivamente. De la definición de vector de Jones dada en (11.7) se deduce que éste solo está definido para luz totalmente polarizada. Este hecho implica a su vez que un medio que disminu - ya el grado de polarización del haz de luz que lo atraviesa, nunca puede representarse por medio de una matriz de Jones. La matriz de Jones asociada a un conjunto de medios Ópticos, atravesados en paralelo por un haz de luz coherente, viene dada por la suma de las matrices de Jones asociadas a dichos medios. La utilidad del formalismo JCF* se restringe a los problemas relativos a luz totalmente polarizada. En adelante, se entenderá como medios Ópticos "de tipo N" a aquéllos que son representables por una matriz de Jones, y "de tipo G" en caso general. 11.3. FORMALISMO DE STOKES-MUELLER Presentamos a continuación un resumen del formalismo de vectores de Stokes y matrices de Mueller, al que denominaremos abreviadamente SMF. Un vector de Stokes es un vector columna compuesto por cuatro elementos reales S,, S,, SL, que cuando corresponden a un haz de luz totalmente polarizada, están definidos del modo siguiente 25 * Por razones de comodidad, utilizaremos abreviaturas paraindicar los distintos formalismos. Así, usamos JCF para indicar el formalismo de cálculo de Jones. donde se ha adoptado la notación compleja paraExy E-r. Otra forma de escribir los parámetros de Stokes es Ó bien, teniendo en cuenta (11.6) Es de señalar que en éste caso de luz totalmente polarizada se cumple la relación En general, la luz se presenta como una superposición de gran número de trenes de ondas simples con fases independientes, La superposición incoherente de un número cualquiera de haces de luz viene caracterizada por un vector de Stokes que es la suma de los vectores de Stokes asociados a dichos haces. Los parámetros de Stokes del haz total son 2 7 .S,= , S,= , 5-3~ ES; ; i i 1 c (11.19) donde el superíndice i denota cada onda simple independiente . De acuerdo con (II.19), el haz de luz total estará parcialmente polarizado, y sus parámetros de Stokes se podrán obtener también del modo siguiente 2 8 donde los corchetes indican el promedio temporal sobre cada uno de los parámetros. Las expresiones (11.20) pueden considerarse como la definición más general de los parámetros de Stokes, que están sujetos a la condición en la que la igualdad se cumple sólo si se trata de luz totalmente polarizada. En el caso de luz natural, los prome-- dios se anulan salvo para 5,, y el vector de Stokes correspondiente es Conviene recordar ahora el principio de equivalencia Óptica de estados de polarización, que puede enunciarse del siguiente modo: "Por medio de un experimento físico es impo - sible distinguir entre varios estados de polarización de luz que son sumas incoherentes de diferentes estados puros, y 2 7 que tienen asociado el mismo vector de StokesT1, En virtud de este principio, un haz de luz parcialmente polarizada puede considerarse como la superposición incoherente de dos haces, uno de los cuales es de luz totalmente polarizada, y el otro de luz no polarizada. En el formalismo SMF este hecho se expresa como donde Se define el grado de polarización G de un haz de luz de vector de Stokes S como Asimismo nos interesa definir la forma cuadrática semidef inida positiva que está relacionada con 6 del siguiente modo Ó bien E)" G = (lLas magnitudes G y F adoptan valores en los siguien - tes rangos o<G<i, de forma que para luz totalmente polarizada: G=i, F=o ; z y para luz natural : G= O, f= S, . Un vector de Stokes puede definirse en términos de la intensidad total 1 , el grado de polarización G , el azimuthx y la elipticidad y del haz de luz al que corresponde, en la forma De esta expresión se deduce que el vector de Stokes contiene toda la información acerca de la elipse de polarización y del grado de polarización. Sin embargo, al contrario que el vector de Jones, el vector de Stokes no contiene infor-- mación acerca de la fase absoluta del haz de luz al que co-- rresponde. En el formalismo SMF los sistemas Ópticos lineales se representan por medio de matrices reales 4x4 (matrices de Mueller). Estas matrices, que denotamos genéricamente como contienen dieciséis elementos WI;j , que en general son independientes. Cuando un haz de luz de vector de Stokes S atraviesa un medio caracterizado por la matriz de Mueller IV\ , el vector~' asociado al haz emergente viene dado por Al igual que en el formalismo JCF, la matriz de Mueller de una sucesión de medios Ópticos, se obtiene como el produc - to ordenado de sus respectivas matrices de Mueller asociadas? Por otra parte, la matriz de Mueller asociada a un conjunto de medios Ópticos atravesados en paralelo por un haz de luz incoherente viene dada por la suma de las matrices de Muel ler asociadas a dichos medios. 2 '7 Una matriz de Mueller puede representar a medios ópticos que afecten a cualquier parámetro relacionado con el vec - tor de Stokes asociada al haz de luz que los atraviesa? Así, por ejemplo, en el formalismo SMF son representables todo tipo de retardadores (lineales, circulares Ó elípticos), polarizadores totales Ó parciales (lineales, circulares Ó elípticos), sistemas que despolarizan la luz, Ó cualquier combina-- ción de ellos por complicada que sea. Sin embargo, no son representables aquellos medios que introducen un retardo uniforme en la luz que los atraviesa (láminas de fase). En adelante se usarán las letras S y M para denotar vectores de Stokes y matrices de Mueller respectivamen - te. Se entenderá por matrices de Mueller de tipo N, a aquéllas que correspondan a medios Ópticos de tipo N. 11.4. FORMALISMOS MATRIZ DE COHERENCIA Y VECTOR DE COHEREN - CIA Consideremos un haz de luz monocromática, caracteríza - do por un vector campo eléctrico E que, en general, será una superposición de vectores del tipo (114), pero con diferentes fases Bx , Jy . Llamamos matriz de coherencia (O matriz densidad) asociada a dicho haz de luz, a la definida como 29 donde los corchetes indican promedio temporal y X denota el producto de Kronecker. Los elementos de ,g los denotamos de la forma Las matrices de Pauli , q,q, suelen agruparse en el siguiente vector matricial Una matriz de coherencia p puede expresarse como 27 Teniendo en cuenta que tanto la matriz J , como las matrices cL io,, 3 son hermíticas, es fácil compro2-/, 31 bar que los coeficientes ( O 1, 2 3) han de ser reales . Si comparamos las expresiones (11.58) y (11.36) vemos que los coeficientes 5; son precisamente los parámetros de Stokes correspondientes a la matriz J ,y se verifica la relación Cabe considerar la expresión (11.58) como un desarrollo de la matriz densidad Q en un con junto completo de observables ortogonales(fi), en el que los coeficientes SL , corresponden, salvo una constante, a los valores esperados de dichos operadoresConsideremos un haz de luz que tiene asociados una matriz densidad 3 y un vector de Stokes 5 . y que atra-- viesa un medio Óptico de tipo N caracterizado por una matriz I de Jones J . El vector de Stokes S asociado al haz de luz emergente viene dado por donde la matriz M, cuyos elementos son es precisamente la matriz de Mueller asociada al mismo medio Óptico representado por la matriz de Jones J . 11.5.2. RELACIONES RELATIVAS A CARACTERIZACION DE LA LUZ. En el caso de luz totalmente polarizada es fácil comprobar que se cumple la relación 3 Ó bien, en forma explícita con Recíprocamente Las relaciones del vector de Jones con la matriz de coherencia y vector de coherencia asociados al mismo haz de luz totalmente polarizada, son las siguientes ó, recíprocamente E, 3, = do , 62 ar;q j4=-y s3=a2dz =-ax;f A, .(11.66) Las relaciones entre la matriz de coherencia y los parámetros de Stokes ya se vieron en (11.35 ) y (11.361, y son válidas independientemente del grado de polarización de la luz. 11.5.3. RELACIONES RELATIVAS A CARACTERIZACION DE MEDIOS OPTICOS. Un sistema Óptico de tipo N tiene asociada una matriz de Jones J. y también una matriz de Mueller M . Supongamos que sobre el sistema incide un haz de luz de vector de Jones e y vector de Stokes S . El haz emerqente se caracterizará también por unos vec - - I 1 tores de Jones y de Stokes e , S respectivamente. Estos vectores se obtienen, según (11.12) y (11.321, como Teniendo en cuenta (11.581, podemos escribir (11.68) del siguiente modo. De (11.69) y (11.12) obtenemos que junto con (11.701, conduce a Esta Última expresión sirve para obtener los elementos de una matriz en función de la otra, como indicamos a contirua - ciót? *: 2 m,, = i( J,: J,, + lXx J,, - J: lL2 -3: J,,) , * * 2~n,, = J,: J;, + &:J,/ -1 Jaz -J,,Jlii , 2 M ,L = &: Jrr + J.: Jiz + Ji: Jri + T: JiI , z m,, = 10; J,, + J: T,, -J: L.4 - J: 3,J , * 2 m,, = ~(J:J,, + S.: Jlz - 3; Tu - Ttz LJ , * m,, = i (3:S',,+~Z3lr - Jtl 3tt - JC~ 343, y re~íprocamente~denotando los elementos S,< ( ~tl = (S) en forma polar como se puede comprobar que Z 1 3,,IL = m.. + msi +m,, + m,, , 2 1 J,,II= m., -m,, +m. -mll / co., (01,- e,,) = W,t 4m33 [(moo+ m,P- (m,, c m,,rl I/Z / Es de señalar que al pasar de la matriz de Jones a la de Mueller, se pierde la información acerca del retar - do global que introduce el sistema Óptico correspondiente. Una forma más compacta de presentar la relaciones (11.73). es la siguiente 4,9,32 &(d.:+ o!; f d\+d;) 2 d-d f%l+P41 rueThl (JI.75.a) donde * d: = Ji J; = J~\' , i= 42,3, '1 ; - Pe (3, ~j*) = f?e (3 S*) pi'~ E pjl - .a = t, (S; J.) = 1.i (3,$3, YLj =- yJiJc i,j = í, L, 314 (11.75.b) La matriz (11.75) puede obtenerse directamente a partir de (11.61). Si a una matriz de Jones J le corresponde una matriz de Mueller M , ésta tiene la forma 11.75 y es inmediato comprobar que a las matrices de Jones J~~ JTies co-- T l rresponden las matrices de Mueller M y M respectivamente, siendo M' la matriz siguiente 33 que puede escribirse como M'= a M'Q con 1000 (II.77.b) La matriz diagonal Q es ortogonal, con ~&Q=-I~ no corresponde a ningún sistema Óptico con entidad física real. A continuación, buscamos las relaciones que ligan la matriz de Jones J con la matriz asociada al mismo medio Óptico de tipo N. Si tenemos en cuenta (11.12) y (11.441, vemos que28 es decir (0, Recíprocamente, obtenemos los elementos &=Ix;le en función de los elementos 3 1 J,I~ = =o , Las relaciones (11.75) y (11.79) únicamente son válidas para medios Ópticos de tipo N, debido a que en caso con - trario, las matrices de Jones no están definidas Finalmente, daremos cuenta de las relaciones que ligan las matrices M y que corresponden a un mismo medio óptico de tipo G. Según (11.51 ) sabemos que V= K'M U, donde U es la matriz dada en (11.49). Como es unitaria podemos escribir M= uvu-' (11.81) Desarrollando (11.51 ) y (11.81 en forma explícita obtenemodL1 y recíprocamente -oot%3f @30tuj?, *0o%o3+%0-*33 %,+%z t ql 4 -i(igo,-~~~+~,- voot \9i>3-743<*33 '%0-%3-%ot&3 %I f ?)OL-~%I-~~I -.L (*ol - *a2-R1 +2)13 M= ' 2 19io-fW1a +ZXoth -\9;0- *X +wLo--c~~ VI, +*Iz+%I +%, -'i (u,,-u,,+.a,-u,,) itqo --ei~+~t~-%~) 'i (V~~-*ZO-IY,~ t~+~l) i(~lli~2-~l tx) ~,-v,L-u=, i %l (II.82.b) A partir de (11.79) y 11.8, vemos que. si a una matriz \/ le corresponden las matrices de Jones y de Mueller t t 3 y M respectivamente, a V le corresponden J y MT ; y a Vr le corresponden J' y M'. Las figuras (11.3) y (11.4) muestran esquemáticamente las relaciones existentes entre los diferentes formalismos. 11. 6. MEDIOS OPTICOS . NOTACION A lo largo de nuestro trabajo estudiaremos sistemas compuestos por medios Ópticos de tipo N. El conjunto de dichos medios puede separarse en dos categorías atendiendo a VliCTOR DE STOKES S hrcírnctros Carricter isticos : MATRIZ DE ~arámctr-os Caractcr~;sticos : ------- RELACIONES - , (11 64) J CF VECTOR DE JONES E ~arámeti-os ~omctcirÍsticos : h, AY, Sx, $Y Fig.YI.3.- Esquema de las relaciones relativas a caracterización de la luz, entre los formalismos SMF, CMF, CVF y JCF. CVF MATRIZ DE t4UELLER M MATRIZ V 1 N rmtro 1 J independientes : 16 independientes :1G CONDlClON ES RELACIONES JCF y CMF MATRIZ DE JONES J I N' de parQmetros indcpcndicntcs : 8 I Fig.II.4.- Esquema de las rel.aciones relativas a caracterización de medios Ópticos, entre los formalismos SMF, CVF, JCF y CMF. 11.6.3. RETARDADORES IDEALES La matriz de Mueller asociada a un retardador ideal (lineal, circular Ó elíptico), tiene la propiedad de que deja invariante el par-ámetro 5, (intensidad), y produce un giro del vector de Stokes en la esfera de Poincaré. Ello permite escribir R en la forma 3 donde la submatriz fi ta'j\ es una matriz 3x3 asociada a una rotación genérica en el subespacio que contiene las coordenadas 5, , SL, s3 . El conjunto de matrices ortognales 3x3 con detn:+i , forma un grupo dependiente de tres parámetros denominado O: (grupo de reotaciones en el espacio ordi - nario).Los tres parárnetros independientes que hay en 3 4 pueden ser, por ejemplo, los tres angulos de E:uler . Sin emhargo resultan más Útiles como parámetros el azimuth y la elipticidad de los dos autoestados de polarización ortogonales que son invariantes bajo el r-etardador, junto con el retardo 35 & introducido entre ellos. Un retardador ideal queda representado en el formalismo JCF por una matriz unitaria u tal que &f U= . Dicha matriz corresponde a una rotación de determinado ángulo $ del vector de Stokes en la esfera de Poincaré, en torno a un cierto eje cuya dirección está dada por un vector uni-- tario a . Ello permite escribir 36 El conjunto de las matrices complejas 2x2 unita - r ias con &f u=tf forma un grupo denomi-nado S U (ZC) ( qrupo especial unitario de matrices complejas 2x2 ?? Existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto formado por pares de matrices (U,-U) pertenecientes al grupo SU CLC) , y el de matrices R tales quefi pertenece al grupo O: . 11.6.4. RETARDADORES NO IDEALES, Es conocido el hecho de que por efecto de las reflexiones internas múltiples, todo retardador lineal presenta en realidad diferente transmitancia para luz polarizada lineal según sus dos lineas neutra^!^ El efecto es equivalente al producido por un retardador lineal ideal junto con un polarizador parcial lineal alineado con él. La matriz de Mueller ML asociada a un retardador lineal no ideal. referida a sus propios ejes, puede escribirse como M, = ML (0,s) Mp (0,~ IR) = Mp (0, TI,%) Mc(o,S), (11.103 ) donde 6 es el retardo de fase efectivo característico del retardador. y p, , ?% son los coeficientes principales de transmisión en amplitud según las líneas neutras del retardador. La matriz ML obtenida a partir de (11.103) es donde Si el e je rápido del retardador presenta un 5rigulo p con el eje X referencia, la matriz asociada al retardador viene dada por M, (p,S, IC~, K:)= M~C-~) ~,(o,6,kc,/c¿) &(p) E (11.105) Eri ocasiones se utilizará tarnbién la notación 11-6.5. GRUPO SL(2C) Y GRUPO DE LORENTZ. El con junto de matrices A ,comple jns 2x2 con ¿&A=/ forrna un grupo denominado S L (2~) (grupo unirnodular de matrices complejas 2x2). Toda matriz de Jones no singular puede normalizarse del modo indicado en (II.90.a 1, y por lo tanto, una vez norrn~lizada, pertenece al grupo S L (2 C) . El con junto de matrices L reales 4x4 que de jan irivariante la forma cuddráticd F , forma un grupo dcnomiri~ido gr-upo de Lorentz. Si además se cumple que Aetir-i Y ,!o,>/f, entonces se denoniirla subgrupo de Lorcrit z propio octócr ono, Ó bien, subgrupo de Lorentz restringido L+ . Toda nl~itriz dc Mucll ler de tipo 14 no siriyular puede norma1iz~r:;e de fo~rnd que d~f~~ - 1. y (N). El corijunto de matrices de Mueller así normalizadas es isomorfo al grupo L+ , y éste a su vez es homomorfo 2 :1 con el grupo (ZC) de la forma 54L , con LE L+ 3 1 Dentro del grupo L+ pueden distinguirse dos tipos de transformaciones3'.: Las denominadas de Lorentz puras, y las rotaciones espaciales. Las primeras están caracterizadas por matrices de Mueller k simétricas que corresponden a polarizadores parciales, y las segundas, por matrices ortogonales que corresponden a retardadores. Es conocido que un elemento genérico MN del grupo L+ , puede expresarde de modo Único en la forma siguiente 31 Análogamente, un elemento genérico A del grupo SL(2c) puede expresarse de modo Único en la forma A = ILH = H, U, . (11.108 ) Existen sistemas Ópticos de tipo N tales que sus matrices de Jones r y de Mueller M asociadas no pueden normalizarse a determinante unidad porque son singulares. Dichos sis - temas están compuestos por un conjunto de medios Ópticos, entre los cuales hay al menos un polarizador total. Esta afirmación se basa en que, como veremos en el siguiente apartado, todo sistema Óptico de tipo N equivale a una cierta combinación de retardadores y polarizadores, de for - rna que si sus matrices J y M asociadas en los formalismo JCF y SMF respectivamente tienen determinante nulo. es porque uno de los componentes es un polarizador total. Los sistemas ópticos que despolarizan, en mayor Ó menor grado. la luz que los atraviesa, no tienen matriz de Jones asociada, y su matriz de Mueller M asociada no puede normalizarse de forma que MY pertenezca al grupo L+ . Vemos pues, que Únicamente quedan fuera del grupo L+ las matrices de Mueller asociadas a sistemas que no son de tipo N, y las asociadas a sistemas que contienen algún polarizador total. Análogamente, las Únicas matrices de Jones que no pertenecen al grupo 5 L (ZC) son aquéllas que corresponden a sistemas que contienen algún polarizador total. 11.7. DESCOMPOSICION POLAR Las expresiones (11.107) y (11.108) muestran un caso particular del teorema de descomposición polar de un operador 3 8 lineal, en virtud del cual, toda matriz de Mueller M puede escribirse de la forma y toda matriz de Jones 5 puede escribirse de la forma Las matrices K, )C,, H , H, , son siempres únicas, y las matrices , R, , u , u,, son Únicas salvo en el caso de que M y J sean singulares. 11.8. TEOREMAS. 1 En los trabajos, ya clásicos. de R.C. Jones se demuestran una serie de teoremas de equivalencia, establecidos para medios de tipo N y para una longitud de onda dada. En dichos trabajos, los teoremas se demuestran utilizando el cálculo matricial introducido por el propio Jones. Posteriormente 18 C. Whitney generaliza algunos de estos teoremas.basando sus consideraciones en el álgebra de Pauli y en el teorema de descomposición polar de una matriz correspondiente a un operador lineal. A continuación enunciamos y discutimos los teoremas más importantes, algunos de los cuales han sido estable39 cidos por nosotros. y otros lo son por primera vez en este tra - bajo. Todos los reoremas siguientes, salvo T11 y T12, están enunciados para medios Ópticos de tipo N y para una longitud de onda dada. T1.- Un sistema Óptico que contiene un número cualquera de retardadores (lineales, circulares Ó elípticos) es Ópticamente equivalente a un retardador elíptico. T2.- Todo retardador elíptico es Ópticamente equivalente a un sistema compuesto por un retardador lineal y un rotor. T3.- Todo retardador elíptico es Ópticamente equivalente a un sistema compuesto por dos retaradores lineales. (no de modo Único). T4.- Un sistema Óptico compuesto por un número cualquiera de retardadores (lineales, circulares Ó elípticos), es Ópticamente equivalente a un sistema que contiene un retar - dador lineal y un rotor? T5.- Un sistema Óptico compuesto por un número cualquiera de retardadores (lineales, circulares Ó elípticos), es Ópticamente equivalente a un sistema que contiene dos retardadores lineales (no de modo único)J8 Los anteriores teoremas pueden demostrase a partir del teorema de Rodrigues-Hamil ton?8 T6.- Un polarizador elíptico parcial (total) es Ópticamente equivalente a un sistema formado por un polarizador par- cial (total) lineal situado entre dos retaradores li18 neales iguales cuyos ejes son perpendiculares. T7.- Un sistema Óptico compuesto por un número cualquiera de polarizadores parciales lineales y rotores, es Óptica-- mente equivalente a un sistema formado por un polarizador parcial lineal y rotor? T8: Teorema de ~escomposiciÓn Polar (TDP ). - Un sistema Óptico compuesto por un número cualquiera de retardadores (lineales, circulares Ó elipticos) y polarizadores parciales (lineales, circulares ó elípticos) es óptica-- mente equivalente a un sistema formado por un retardador elíp - tito y un polarizador parcial elípti~o?~ En éste último teorema se distinguen dos casos atendien - do a la naturaleza del sistema Óptico de tipo N considerado. Un caso es aquél en que el sistema contiene algún polarizador total, entonces la matriz de Jones que lo representa es singular, y puede escribirse como producto de una matriz singular hermítica (polarizador total elíptico 1 por una matriz unitaria (retarador) no siendo ésta Única. En el caso contrario, el sistema equivalente es Único y está compuesto por un polarizador parcial elíptico y un retaradador. T9 : Teorema General de Equivalencia (TGE 1. - Un sistema óptico compuesto por un número cualquiera de retaradores (lineales, circulares Ó elípticos) y polarizado-- res parciales (lineales, circulares Ó elípticos), es Óptica-- mente equivalente a un sistema formado por cuatro elementos: un polarizador parcial entre dos retardadores lineales, y un rotor en una cualquiera de las cuatro posiciones posibles? Los dos teoremas anteriores están enunciados para un sis - tema de tipo N cualquiera. Aunque el teorema TDP es más sintetizado que el TGE, éste Último presenta un gran interés, puesto que da un sistema equivalente formado por medios Ópticos sencillos, como son los retardadores lineales y circulares, y los polarizadores lineales. T10: Teorema de Reciprocidad en los Formalismos JCF y CMF.- La matriz de Jones asociada a un sistema Óptico que es atravesado por un haz de luz en un cierto sentido, debe transponerse en orden a obtener la matriz de Jones del mismo sistema Óptico cuando éste es atravesado por el haz de luz en sentidv opuesto. l73 T11: Teorema de Reciprocidad en el Formalismo CVF.- La matriz V asociada en el formalismo CVF a un sistema Óptico que es atravesado por un haz de luz en un cierto sentido, debe transponerse en orden a obtener la matriz asociada al mismo sistema Óptico, en el mismo formalismo, cuando éste es atravesado por el haz de luz en sentido opuesto. T12: Teorema de Reciprocidad en el formalismo SMF.- Si un sistema Óptico tiene asociada una matriz de Mueller M cuando la luz lo atraviesa en un cierco sentido, la matriz de Mueller asociada al mismo sistema Óptico cuando la luz lo atraviesa en sentido opuesto, viene dada por M' según las expresiones (11.76) y (11.77). Cuando se trata de medios Ópticos de tipo N. la demostración de los dos teoremas anteriores es inmediata, ya que según el teorema T10, sabemos que a una matriz de Jones $ le T correspondeJ cuando la luz pasa en sentido opuesto. En el apartado 11.6.3 vimos que si a 5 le corresponden las matrices M y V en los formalismos SMF y CVF respectivamente, a J~ I le corresponde M y bT. En el caso de que el sistema sea de tipo G , sus matrices y asociadas pueden considerarse como sumas de matrices de tipo N, de la forma con Mi y \J; de tipo N para todo . Si la luz atraviesa el sistema en sentido opuesto, las matrices M, y \/, correspondientes serán con lo cual quedan demostrados los teoremas T11 y T12 para el caso general de medios Ópticos de tipo G. T13: Teorema del Rotor Transcendente (TRT).- Un sistema Óptico compuesto por dos retardadores lineales de media onda, es Ópticamente equivalente a un rotor de giro igual al doble del ángulo formado por los ejes rá-- 39,17 pidos de aquéllos. T14: Teorema del Compensador de Retardo Lineal (TCRL).- Un sistema Óptico compuesto por tres retardadores lineales, de forma que los de los extremos son iguales y tienen sus ejes rápidos alineados, es Ópticamente equivalente a un 19 retardador lineal. 111, PROPIEDADES DE LAS MATRICES QUE REPRESENTAN A MEDIOS OPTICOS En este capítulo presentamos las expresiones analíticas de los elementos de una matriz de Mueller de tipo N ge m nérica, en función de los parámetros asociados a sistemas Ópticos equivalentes dados por los teoremas TGE y TDP. Posteriormente analizamos con detalle las restricciónes existentes en las matrices asociadas a medios Ópticos en los formalismos SMF y CVF. Dichas restricciones se presentan en forma de sistemas de igualdades y desigualdades, y,a partir de ellas, se establece finalmente una condición necesaria y suficiente para que un medio Óptico sea de tipo N (condición de la norma), intepretándose este resultado en los formalismos SMF, CVF y JCF. El estudio realizado resulta de utilidad para la extracción de toda la información existente en las matrices asociadas a medios Ópticos sometidos a medida, permitiendo ajustes teoría-experiencia en función de unos pocos pararhetros, y tam-- bién la calisificación de dichos medios de una forma sencilla y sistemática. En la presentación de éste capítulo hemos preferido hacer un tratamiento riguroso y compacto, unificando nota-- ciones y aglutinando resultados de otros autores, que ordenadamente incluimos junto a nuestras aportaciones originales. Es por ello que en todos los casos en que usamos aportaciones de otros au'tores, los referimos explícitamente, siendo todo lo restante aportación propia. 111.1. GRADO DE POLARIZACION EN LOS DIFERENTES FORMALISMOS. El grado de polarizaciónG de un haz de luz se defirie El hecho de poder elegir q=0 se debe a que el sistema equivalente dado por la expresión (111.10) depende de ocho parámetros(Y,, Zz ,Y3 , E,, , 6, , Se , y, , R ),de los que sólo siete son independientes, lo que da libertad en la elección de r4 . Escribiendo explícitamente la expresión (111.24) para los elementos mij de la matriz genérica M obtenemos *o, = ql, , m04 = qlz ( c,' c', - S', S; c l') , m,, = q', ( S, c: + C'I S; c") , - qtl S; S" , m03 - MI,, = y'r~; I Il( m,, = -q;s;c , m,, = q; S; S"' , m,, = 9: (~',c:-s:s\c")~~~"'+ $3 (c] S; +S] c: ct') c; 5"' +~',s:s'c'~' , - m,, - 7; (S,' C? +c: s~C") s~s"' t q; (S: S: -c',c:c")c~s~" - c; SI' c If' 1 - 5; s'~"'- c' =' gs"'+ m33 - q: 2 3 c1I c"' ) donde La ventaja que presenta el aplicar el teorema TDP con respecto al teorema TGE, consiste en que a partir de aquel se obtienen todos los elementos de una matriz de Mueller genérica en función de un conjunto mínimo de parámetros indepen - dientes (siete), y que por otra parte, sintetiza el sistema equivalente a partir de sólo dos medios Ópticos (un polarizador y un retardador ), y no de cuatro como en el TGE. Sin embargo, al poner la matriz genérica obtenida a partir del teorema TDP -n función de matrices sencillas, asociadadas a retar - dadores lineales, rotores y polarizadores lineales, se pone de manifiesto un sistema equivalente compuesto por cinco elementos simples (dos reterdadores lineales, dos rotores y un polarizador parcial lineal). A partir de las expresiones (111.15) y (111,261, es fácil comprobar las siguientes relaciones y, por lo tanto, ?:=TI / P: =/'L (111.28) 111.3. CLASIFICACION DE LAS MATRICES DE MUELLER DE TIPO N Los siete pararhetros que según (111.26) caracterizan al sistema equivalente son 4, , AL, p, , TL , V , ,y - En orden a la obtención de dichos parámetros en función de los elementos yn;~ se pueden distinguir tres casos: b CASO1 : ( m:, + m'., + mi, )''I = o . En este caso ql=O 7 Y7 según (111.27), los ele- rnentos de la primera fila y de la primera columna, salvo m,, , son nulos. La matriz corresponde a un retardador elíptico, cuya forma genérica es 3 O (III.29.a) donde siendo y el azirnuth, Id la elipticidad de SUS dos autoestados elípticos ortogonales, y A el retardo introducido entre ellos. Los parámetros A , , )u se obtienen como (m,, - m,,) ~WLLC*) = I 2-A Es de sefíalar que si = n/4 , la matriz M corresponde a un rotor, y si W = O , corresponde a un retardador lineal. CASO. 2. : 'h o < (m:, + m:, +m;,') S moo Y vT= M . La matriz M corresponde a un polarizador parcial elíptico, y tiene la forma genérica cy= ~03.2~ , SV=-i.-2~ , Cg= CO~(-VI), S~W(-~). (111.31.b) El significado de P, . P,, 9 , 6 , es el mismo 81 52 'u yz Sv =S -91 s~ 56 que el de p:, p; , y , en la expresión (111.161, y vienen M' dados por 91 c. S, C; * q3 S: CVSU Ch (qrq3) -c~slJ (?+ 9, i S' + cZ ' + -q2 S~ 56 -5y~y S$, (?,-?S) - C&Sd (91~; +9sc:-7d (91 Y 93 )S& S (111.3l.a) donde m = ( m,. - A) ccrS2Y CASO. 3. : O < ( m: + m:, + m:3)" < m.. y M . A partir de (111.26) vemos que y, además de donde P\#R ~$0, fLfo (111.35 ) La matriz corresponde a un sistema que posee propiedades de retardo y de polarización parcial cimultáneamente, y sus parámetros equivalentes son Las expresiones (111.36) nos dan los parámetros correspondientes a un sistema equivalente cuyos elementos son TG L (46/2) R (--y) 7 (o, í>,,fl,) L (?,Al) R(\61 . (111.37) LOS parámetros 6 , Y , p, y,, caracterizan ai polarizador elíptico equivalente mencionado en el teorema TDP. Resulta de interés ahora, obtener asimismo los parametros que caracterizan al retardador elíptico equivalente, en orden a que, dada una matriz de Mueller, sepamos obtener las características del polarizador y retardador equivalentes. La expresión (111.22) puede ponerse de la forma con Y'Vt? 7 p=y-v-p ; de donde obtenemos la igualdad Ó bien, en el formalismo JCF En primer lugar trataremos de obtener los parámetros desconocidos O( , 6' , p , que caracterizan al retardador lineal ~(d~6') y al rotor R(P) , en función de los otros parámetros ya conocidos. Una vez hecho ésto, podremos poner la matriz de Mueller M como producto de las matrices asociadas a un polarizador parcial elíptico, un retardador lineal y un rotor, de características conocidas. Posteriormente despejaremos los parámetros que caracterizan al retardador elíptico equivalente al sistema formado por el retardador lineal y el rotor. Realizando el producto matricial indicado en cada miembro de (111.40) obtenemos con c = =&O(, S= , t = , q = sk ; (111-41-b) y por otra parte, con I La igualdad J= 1 es equivalente a de donde tras algunas operaciones sencillas, obtenemos Despejando en (111.44) los parámetros incógnita, éstos quedan como El sistema formado por el retardador lineal L(d,SIJ y ei rotor R(p) equivaientes, equivale asimismo a un cierto retardador elíptico con autoestados de polarización ortogonales de azimuth X,, y elipticidad , y que introduce un retardo 4 entre ellos. Como se vió en (11.71, existen dos parámetros cr y S tales que Imponiendo ahora la igualdad de la matriz de Jones asociada a este retardador elíptico con la matriz J"E JL (a. S') JR Cp) , y operando de forma similar al caso anterior, obtenemos finalmente M sea de tipo N, M' también es de tipo N, y las nuevas relaciones son (miQ - m,.)' = ( mil - m,,)' + (vn-tz - m,$ + (mL,- m,;)', (111-73-b) = m;, m,, +m;, m,., + mi> rnO3 , (111.75 con ¿=4,2,3; En el caso de que M es de tipo G, M' también es de tipo G, y tenemos las desigualdades con L= \,2,3 . Es de señalar que el sistema de desigualdades formado por las (111.63) y las (111.781, el sistema (111.621, y el sistema (111.77) son totalmente equivalentes. Así pues, al conjunto de nueve igualdades existentes entre los elementos de una matriz de Mueller de tipo N, corresponde un conjunto de seis desigualdades entre los elementos de una matriz de Mueller de tipo G. Lzs nuevas relaciones que re han obtenido a parI tir de M cc,rrespcnder tamtiér a la mitriz MT , lo que in-. dica que si M es una matriz de Mueller, MT es asimismc~ una matriz de Pueller del mismo tipc que M . La igualdad (111.72 ) puede eccribirse tam!zlién susI tituyer.c'o fl pcr M Ó por M~, obteniendose respectivamente y teniendc en cuenta que I& JI= (a J'I=IJ.~~I, (111.81 cktener~cs la condición de la que se pueden deducir todas las igualdades restrictivas encontradas hasta ahora. A ccntinuación vamcs a cbtener otro conjunto de nueve igualdades entre los elerrentos de una matriz de Pueller de tipo N, que son diferentes, aunque equivalentes, a las ya vistas. Lcs eleaentos de una matriz de Jones 5 los pcdarrcts escribir conforme a la notaciór dcdc er (11.10) y (11.11) pudiéndose escribir en forma tródulo-argurr.enta1 De acuerdo con la notación usada por Fry y l. 5 Kattawar , definimos los parárnetros Con esta nctación, y teniendo en cuenta (11.75 los eleRertos de la mctriz de Mueller ccrrespcndiente o1 mismo medio ópticc que se pueden pcner del modo siguiente = -~ld34~s+d,d+4w~ , m,, = d, d4 cdT+d,oís ccd) , m,, = d,0~~~~~+01,0(~cu~A , Cen las expresiones (111.85) para los elerrentos m;j , puede ccmfirokarse que se curr.pllen las nueve igualdodes siguientes - m m3~ - m, m,, - M1zm32+~~3m33 =2 dld~~3d4~~(p;@r~3tp4~ (111.87.~) Las igualdades (111.87) pueden sustituirse por las tres siguientes 'L 7. -¿ 2 Z 2 2 2 m,-rn.r3 + m3-Lm33 = moz -we>3-W\,1 4mi3 = 1 2 2. 2 2 7 M:, -mq + m:o -m3, = WO3 - m,, + Wi62 - Wi,, = Las relaciones (111.86) han sido obtenidas por Abhyankar y ~~matl~ , completando el sistema de nueve igualdades con tres relaciones cuárticas. Posteriormente, Fry y Kattawar15 han demostrado que dichas relaciones cuárticas pueden sustituirse por las (111.87) Ó (111.881, que son más sencillas. El sistema de nueve igualdades independientes for - mado por las (111.86) junto con las (111.87) ó las (111.88) es? como ya se ha dicho, equivalente a los otros sistemas de nueve igualdades restrictivas independientes ya estudiados A partir de las relaciones (111.57) y (111.74) es fácil obtener dos igualdades interesantes, que son I Z 2 m,, + mo2 t m.% = + m:, + , (111.89) La igualdad (111.89) ya se cktuvo en (III.27.b) a partir de la forma explícita de una rratriz de Pueller de tipc N genéricc en función de sus parametros equivalertes, d~ zcuer - dc ccn los tecrerras TGE y TDP. Por otra parte, la igualdad (III.gG), que tambiér se c:btiene surtando las relaciones (111.86) expresa ur a propiedad que, ccmc veremos, es de gran utilidad en orden a distinguir los medios Ó~ticc~s de tipo N, de los que despclarizan la luz. Considerems ahcra una rnc.triz de Ilueller M de tipo G corrci suma de un cierto número de rratrices de Mueller de tipo N. Teniendo en cuenta este t-ecbo ~uede demcstrarse que cun.Flen las siguientez dezigucldcdez 15 A la igualdad (111.90) le cc,rrecpcr.de chora la desigualdad Pcira finalizar este apartadc ckter,dremc~s un coniunto de desigualdsdes, de carácter distinto a las ya estudiadas, que se curr.Flen para toda mc~triz de Y~eller. Los elementos de uno matriz de Vueller M de tipc N, pueder. escribirse con la nctación dada en (11.75). Aplicando la desigualdcd )<2t~2>_+2~~, (111.93) er. las expresiones (11.75. b. ) ccrnprobamcs que Teniendc ahora en cuenta la expreción (II.75.a), es fácil ccmprohar ace se cur~plen las siguientes desigcaldzde~ moo +ml, 3 + ( rnir+m,a) , moo +ml, 3 tr (msrrn23) , ~n, -m,, >, +- (m11-m3;), m,, - m,, 2 2 -t (m,,- , no + m,, >, t ( m02 + m), m,, +m,, 3 + ( rnol+rn,3), m,, - m,, 2 5 ( mgo - mi,) m,, 3 2 m.; Vi,i . A Estas desigualdades, que son aditivas y por lo tanto deber. cvrr,~lirse para todc matriz de Vueller sin excepción. han sido puestas de tranifiecto recientemente por R.W. ~ct-.aefer16 , a quien se dete tarntlién e1 argumento usadcl cquí para su deducción. 111.5. RELACIONES RESTRICTIVAS EN UhA RATRIZ V DEL FCRI"'P.L,ISM0 CVF. Del mismo rr,cdo que las mctrices de ilueller, las niztrices \/ de tipo N deyi;er.der;, en gereral, de siete parárnetros independientes.. Ello im~lica que debe existir un cc.njunto de nueve restricciones entre sus elemertos, (aderrás de las (II.55), qce con inherentes a la propia definición de la matriz V 1. La expresión (11.79) muestra la forma de una Fatriz \/ en función de su correrpcndierte n-atriz de Jcnes 5 , y er ella se cbserva que el producto de los elere~tos extremes de vr.a cclu~na, fila Ó diagcnal de V es igual al producto de sus ccrrerpondientes elementos intermedios. Este hecho se traduce en la exister.cia de las diez igualdodes siguientes13 DP estas igcaldsdes sólo ccho son independientes, así, por ejem~llo, son indepe~diente~ las ccko primeras. La ncvera igucld~d independierte puede ser una cualquiera de las sigcie~tes Las igualdades (III.96.a-g) ccntienen Únicamente cantidsder reales, pudiéndcse completar el sistema de nueve igualdadec, añadiendo las (III.96.h. ), (III.96.i) y (III.97.a) las cualer, teniendo en cuenta (11.55). pueden reducirse a expreciones reales de la forma P. continuación varrc.s a estudiar otros sistenas d~ nueve restricciones en las matrices V de tipc hT que, aunaue equivalen todcs entre si, se preser.tan de modo diferente y en ccasiones son de vtilidad. En el formalismc CVF., la forma cuadrática f correspcr,diente a un haz de luz de vector de ccherencia asocia-. dc, puede escribirse como F=ZD'~D, (111.99) donde D~ es el vector fila transpuesto del vector colun.na b y h es la rn~triz o 0 o o O C~nsidere~cs un k.az de luz caracterizadc por una matriz de ccherencia f y un vector de ccbere~cia p , que ctravieca un medio Ópticc de tipcl 11: ccyas matrices asociadas en los formalismc~s CKF y CVF son J y V K-espectivamente. El haz de 1u2 emergente vendrá c&racteriz.ado pcr una mztriz de ccherer.cia y' , así cornc pc'r ur vector de ccherencia D' dsdos por Teniendo en cuenta las expresiones (111.641, (111.99), (111.101 ) y (111.102 ), pod~~cs escribir de una natriz de Jcnes gerérica, en fur.ciÓn de la transmitancia TN c'el redio Fara luz natural. Es de serlalar que, aunque en el formalismc JCF nc, scn reFreseritahles estados de luz parcialmerte ~olarizadc, las matrices de 2cnes cortieren infor-- nación C'e TN , pues ccmcl vamc~s a ver, TN puede cbtererse comc la ser.isuma de las trarsmitancias en intensidad rr,áxirna y mínimc para variaciones arbitrarias del vector de luz incidente. Dadc una matriz de Jones , siec.pre pcderos asociarle des ~Úrr,eros r(J) y~CJ) , donde y y son, respectivamente, el máximo y mínimo valor del cocie~te cor respecto a variaciones arkitrarias de las dos compocen-- tes del vector de Jones E ' . Todz matriz de 2cn~s U unitaria deja invariante el módulo del vector de Jcnes& , y, por lo tanto r(u)=r(~) = i . (111.129 ) En virtud del tecrer-o TGE, toda m,atriz de 2ones puede escribirse de la forma. (111.130) dcnde U, y UL sor matrices unitarias, y 4 es la matriz asociada a un ~clarizadcr ~arcial cuyas transwitancias principales en arrplitud son T, y P, . Teniendo en cue~ta las expresiories (111.129) y (111.130) obteneros Ce acuerdo con las expresiones (111.15) y (III.26),el elemento m,,de una ratriz de Mueller M de tipo genérica correspondie~te a la matriz de Jcnes 1 , puede escribirse ccrnc~ Pcr otra parte, secjún (11.73 1, Wtoo pcede expresarse en funciór, de los elem~mntos de la matriz J , del siguiende dcnde L:a expresión (111.133) no5 incica que la serr,isuma de los cuadrados de los módulos de los elerrentos de una me[- triz de 2ores es igual a la transmitancia en intensidad para luz natural, del medio considerado. A toda mc.triz de Jones J pcd~mos ascciarle cna nc,rrns ( J) , definida pcsitiva, dadc pcr 42 r(~) = [tT(~t~jk= [tr(~;tjlii~=[i t, A= l IJijr]" I c bien, teniendo en cuenta (111.133), (111.135 C r(J) =zm,, =2TN . (111.136 ) Ccmparando (111.136 ccn (111.112 vemc~r que Lec expresión (111.136) muestra que la ccndición de la norma (111.112) para una m~triz de Yueller fV1 , es una rranifestación de la definicióc d~ la rorma (111.1351, para la matriz de ,Tones que eztá asociada al mismc medio Ó~tico de tipc N que M . Dichas matrices M y J pueder. ncrmalizarse ccnjuntame~te de la forma 111.8. CClNDICIOli DE LA NCRMA Ehl MATRICES V DEL F0RIViALISIV;O CVF. A tods matriz V del formalismc CVF pcderros 42 asociarle cnc ncrna G(V) , definida pcsitiva, tal que (111,140 ) Vimcs en (11.78) que ura matriz V de tipo N puede escribirse en función c:e SL correspcndiente rratriz de Jones ccrnc~ V= JX J*, (111.141 ) donde X indica el producto de Kronecker. A partir de (III.14C) v (111.141) es fácil ccrnprobar que L,a expresión 111.42, junto ccr, (111.135 ), (111.136) y (111.137) nos permite escribir R (v) = (M) = J) = z m,, , do~de las matrices V . M y J ccrrerponden al mismc rr,~dio ópticc de tipo hl. Si el medio consideradc) es de tipc G , M y V esfán relacionadas según (11.51 ). y entonces, Teniendo en cce~ta que es unitaria y que ?~(AB)=~(BA), la expresión (111.144) se corvierte en relación que queda, pues, establecida para todo rredio Óptico de czracterísticas cualesquiera. Toda mc.triz V puede nc~rrnalizarse de la formci donde Pe mcdc cnálocc a1 caso de matrices de Yueller, es inmediato ccrlprokar que la ccndiciór, necesaria y suficierte para que cna matriz V correspcrda a un rredio Ó~ticc de tipc N er 111.9. INCICES PIE PCLARIZACIGh! Y DECPCLARIZACIOK D~dcl un medio Ó~ticc O , éste tiene asctciadss dos mcltricec de llueller M y M' , que ccrrespcnden a los dcs serti-- dos en que la luz puede incidir sobre O . Por ccnverio diremos que M corresponde a 0 cuandcl la luz incide en ser:tido I "directo", y cuandc la luz incide en sentidc "opuesto". qce denc tarerr:cs abreviadamer. te como Spi, Sn; con i=1,2,3. Tanto las matrices coir!cl los vectorez están referidcs a ur rnisrrc. sistemc carteiianc de e'es XY. Los vectores 5 5, PC J ccrrespc~nden a haces de luz totalmente olar riza de, de mcdo que sus formss cuadráticcs s.sociadas scn Cuando el medio Ópticc O es atravesado en sentidc directo Fcr un haz de luz cuyo vector de Ltokes spi(Sn\)asociadcI es ur.0 de los dsdos pcr (III.l5G), el haz de luz er,ergente terdrá asociadc un vector de itokec slpi (sihi) . para el cuol la forma cuadráticc toma el valor I fp; (111.151.a) J= 0 Les valores. promedio de ~stas formas cuadráticas para cada dcs vectores. de Ctokes asociados a haces de luz de ~stadc,s de ~clarizaciór crto5or~ales .Sf; , S"; son 1 Z 1 1 2 Z 2 Z 1 F: r S ( Fp, + Fh,) = moO +moi -M,, - rn,, - m,, - m,. -m,o-m,, , (III.152.a) '4 1 2 1 Z 2 Z f, z -(F;, + Fnr) = m,. +m9t-m,,-~~,,-rn,,-m~o-m,.-@o, 2 (111.152.b) y el prcrr,edio total es El valor de ti nos da el pr~rr~edio de los cuadrados de las intensidcdes de luz dezpclarizadz que err,erce de O para haces de luz de vectores de Ctokes Spi, S,,; qUe incider. en sentidc directo. Si analizamos ccr detalle el sigr.ificzdc de las formes ccadráticas 111.152, veres que f;i (f:-,)=0 si, y se.- lo si, 0 nc despolariza la luz de vector d~ Stokes spt (S,,;) que le incide en sentidc directo. demás de acuerde, cc,n la desigualdad x2 +y2 >/ ?. 2XY sabemos que F',; >O; ;=4,2,3; (111,154) 1 entonces, para luz incidente en sentido directo ~od€tr,cs establecer que rizo m 0 nc desr.olariza la luz pclarizada lineal según lcs ejes XY, F: = O <=> 0 no despclariza la luz polarizada lineal a 145Q con los ejes XY. F:= 0 <E$ 0 no d~cpc~larize la luz pclarizada circular (dextro Ó levo). Por lo tanto I fb=O@~~=f~i=O i=t,2,3 . (111.157) 1 Este Últimc resultadc nos dice que fb es condición necesaria y suficiente para que 0 ¡-.o des~olarice luz de vectores de CtokesSp; ,Sn; asociadci a haces de luz que inciden en sertido directo. Sin embargo, puede haber luz de c.tras características, que incidierdc en EentidG directo resulte despolarizada a la salida. Hc~cierdc un desarrcllo análogc al anterior, pero considerandc que la luz incide sobre 0 en sentidc puesto, es d~cir, en el sentido en que O está caracterizadc pcr la # matriz de Pueller M' , los vectores de Ctokes 5'ki , correspendientes a los haces de luz erncrgertes, tendrán asociadas las form~.s cucdráticas '1 El promedio f, de los cuadrados de las intensidades de luz despclarizada que cmerge de O para haces de luz de vectores de Ctokes Sp;, S,; que inciden en sent idc opuesto Todas las conclusiones obtenidas para F;~ , F;;, Fi cuando O es atravesado en sentido directo, son ti válidas para F'1 , Fni , f cuando 0 es atravesado en sentido P opuesto. La forma cuadrática semidefinida positiva (111.160) puede considerarse como un promedio del cuadrado de intensi - dades de luz no polarizada emergente, para haces de luz de vectores de Stokes Spi, S,', incidentes en ambos sentidos. Comparando las definiciones (111.110) y (111.160) vemos que De acuerdo con el teorema de la norma enunciado en el apartado (111.61, podemos afirmar que 6-0 si, y sólo si, el medio Óptico 0 no despolariza luz de ningún tipo sea cual sea el sentido en que es atravesado. Este hecho nos da una interpretación del significado físico de la norma ya que y esta expresión nos dice que E'(M) es igual a la diferen - tia entre cuatro veces el cuadrado de la transmitancia del medio para luz no polarizada y tres veces el promedio Fb . A la magnitud 6 (M)= K(M') , la denominaremos Factor de Despolarización, ya que da una idea global de la iespolarización que produce el medio Óptico O . Por analogía con las expresiones (11.27) y (11.28) que relacionan el gradc de polarización G de un haz de luz. ccn su ccrrespondier.te forma cuadráticc f dado por (11.261, poderr!os definir el Indice de Cespclarizaciór correspondiente al medio Ópticc 0 corr,c~ LOS ranc,os de valores pcsibles de 6 > Gn son OS Fb < m:o (111.164) o<Gb< i ; (111.165 donde lo:: valores Fo=o , Go=d corresponder a medios de tipo N, y fb= m:, , G,=o ccrrespcnden a un despclarizadnr idtal, es decir, a un niedio 6pticc tal que despolarice totalmente todc haz de luz que incida sobre él en un sentido Ú otro. La matriz de Mueller c~~rrespcndiente t tal medio Ccnsidererccs ahora que sobre un medio Ó~tico 0 incide luz no pclarizado de intensidcd ~nidsd, en sentidc' I directo. El vector de StokesS cc~rrespctndiente al haz emergente viene dado por Cefinimcls el Factor de Polarización Directo del rhedio Ópticc 0 corno la forma Fuadrátics , asociada al vector 5' de acuerdo con la definición (111.261, es decir Análogamente definimcs el Factor de Pclarización Recíproco del medio Óptico O , como la formc cuadrática ccrrespcndier.te al vector qce es z 2 2 Z Fe = m,.-- m,, -m,,-rn,, . 1 '1 A partir de fp y fp , podemcjs definir el IndiI ce de Polarización Oirecto Gpe Indice de Polarización EecíI 11 Los parárretros , , Ó tien Gp , Gp nos don información acerca de la capacidad que tiere un medio Ópticcl O para pclarizar luz no pclarizadc. Los rancos de lalores POsibles de dichcs parámetros son En orden a que el estado de polarización del haz de luz que emerge de 0 , generado por la primera parte del dispositivo, varíe de modo contínuo con el tiempo, su-- pondremos que el retardador Li rota en torno al eje Óptico Z con velocidad angular d, . Análogamente, para que la segunda parte del dispositivo analice dinámicamente el estado de polarización de la luz que lo atraviesa, supondremos que el retardador Lz rota en torno al eje Óptico 2 con velocidad angular dC. Por lo tanto podemos escribir pl = L4-t , (IV.9.a) (IV.9.b) Como se ve en (IV.91, suponemos que en el instante ?= O .el eje rápido de L, , está alineado con el eje X de referencia, y que el eje rápido de L2 forma un ángulo dz con el eje X. Como ya se indicado, pretendemos obtener los elementos m" a partir de un análisis de Fourier de la señal '3 de intensidad de luz periódica U,(f). Para que ésta función presente el aspecto de una serie de Fourier truncada a partir de un cierto término armónico, es necesario imponer una relación dz= R di , entre las velocidades angulares de rotación de los retardadores, donde R es un número racional. Tras realizar la operación indicada en (IV.6) y haciendo uso de (IV.9 y (IV. 10) se obtiene %lo -~eu. (4R.t2)p, + h,, cd (4Rt2)pl +2,, 9e~<(4~-4)~,+ 1, (4R4)p, t 2 ,,-fecc(@+4)pI + h,, ch (4R+4)pI , (IV.11) donde h; , 3; son coeficientes que dependen de los elementos y de los parámetros K, , KL, 5, , Sz, 81 , Bz, a2 - La expresión (IV.11) puede considerarse un desarrollo en serie de Fourier en múltiples de la frecuencia p, . Por medio de un análisis de Fourier de la señal regis - trada Ub, pueden obtenerse los coeficientes de Fourier h;, cdj. Estos coeficientes dependen linealmente de los elementos Ynij , formando un sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son dichos elementos. Dependiendo del valor que asignemos a R podemos conseguir hasta un número de doce frecuencias múltiplos de p, , más el término constante h, . Sin embargo, en orden a una mayor sencillez en los cálculos y en el procesado de las señales, nos interesa hallar un valor de f? tal que, generando un número de coeficientes de Fourier suficiente para obtener los elementos m.- dé lugar a un desa- '3' rrollo en serie de Fourier lo más corto posible . Los valo- res R= I,Z t conducen a desarrollos en serie de Fourier con número de armónicos insuficiente en ambos casos. El valor 41 R=3h conduce a un desarrollo en serie de Fourier del tipo - Al escribir los coeficientes A;,Bj en función de los dieciséis incógnitas m.. se obtiene un sistema de die- ' cinueve ecuaciones, de las que sólo quince son linealmente independientes. En el caso de que tengamos alguna información adicional acerca del medio Óptico O al que corresponde M, como por ejemplo que sepamos que 0 es de tipo N, Ó que conozcamos el valor TN de su transmitancia en intensidad para luz no polarizada, podemos completar el sistema de dieciséis 41 ecuaciones con la relación ó con (IV. 14) respectivamente. Para una total generalidad del método de determinación de la matriz M , resulta más deseable un valor de R que dé lugar a diecis6is ecuaciones linealmente independientes. Los valores de R que cumplen dicha condición son donde n,, rll son números naturales y n,>Z . Por razones de simplicidad en el montaje experimental, interesa que las velocidades angulares c3, y ur difie-- ran lo menos posible. Los anteriores requisitos se cumplen de modo Óptimo escogiendo el valor R= 5/2 , que llevado a (IV.7), y habida cuenta de (1v.3) y (1v.8) conduce a 44 donde los coeficientes de Fourier son &, = e,4 (c,m,,- S, m.,) t di t, (c~rn~~+Sm~i) B& = 4 A, A, kI3 (m,, +m,,) + c,, (mzlml,)l ) A? = -i b, L2 Icl0 m,. + cs m,, - 5s mo,tc8mi, -s8vn,, 2 + c3 (h,,- m,,) + S, (m,, + m,,) b,~ (~10~0~ f s8 ~ijf 'grn23) c &u; .leuS,(slo m,, t s5 m,, +LS ~32) Aq = 1 b,dl t cio m~l -S,, m., + c, (m,,-m,) -S, (w,,+rn,,y CY,WS, d~ (cIO~~~ +SI~%I) 1 A,, = a,& (c? m,. -55m2.) -/-ti d, LCI <cq m,, - SI m,,) + S, ( ~q WQ -sq rn~)] , En (IV.18) y en adelante usamos la notación I t,= 5% tu; cm%&, , La inversión del sistema de acuaciones (IV.18) considerando los elementos W\;.como incógnitas y todos los J demás parámetros como datos, conduce a - t,t, r~, CC, m,, + S m,,) + S, (czml~+ s2 l a, a, De acuerdo con estas expresiones vemos que regulando la orientación d del retardador intermedio obtenemos diferentes retardadores lineales equivalentes con valores de @ yA en los siguientes rangos En lugar de utilizar dos conjuntos de tres retardadores, podemos utilizar dos conjuntos iguales de dos láminas de retardo lineal. Uno de dichos conjuntos lo tipificamos como L (4, 6) L (O, S') , y, según el teorema T4, sabemos que equivale a un sistema L (@,A) 6? (r) compues - to por un retardador lineal y un rotor equivalentes tales 39 que Si utilizamos como retardador ti el sistema LC~,S)L(C,~') ycomoLLelsisternaL(o,S1)~(á,~) , el efecto del rotor equivalente de un sistema se compensa con el del otro, ya que ambos rotores introducen un giro igual y de sentido opuesto. El parámetro del rotor equi - valente de cada sistema no depende de la orientación absoluta de éste, y por lo tanto el efecto de los rotores se compensa incluso cuando los dos sistemas de dos retardadores están en rotación. IV.3. SEÑAL APARATO En el apartado anterior se ha visto que los pará-- metros característicos del dispositivo se obtienen a par-- tir de un registro realizado sin colocar en el dispositivo ningún medio Óptico prob1ema.A toda señal obtenida en un registro del tipo mencionado, la denominaremos señal aparato. Los parámetros obtenidos a partir de dicha señal pueden utilizarse para generar,por medio de un ordenador,la gráfica de una señal ideal correspondiente a dichos parámetros, y que se obtiene con la ayuda de (IV.21). La gráfica de la señal aparato ideal así obtenida puede compararse con la correspondiente al registro experimental, dando una idea cualitativa visual de la precisión en las medidas. Cuanto más se asemejen las dos señales, más preciso será el dispositivo? Ejemplos de señales ideales correspondientes a diferentes valores de los parámetros característicos del dispositivo se muestran en Fig. IV.2-IV.5. IV.4 ANALISIS DE FOURIER POR ORDENADOR DE LA SEÑAL REGISTRADA. Para la obtención de los coeficientes de Fourier correspondientes a una función tabulada U0(x) proveniente de un registro de medida, nos hemos basado en un algoritmo 45 similar al propuesto por A. Ralston y H. Wilf . Los datos * En el capítulo VI se analizan y discuten los principales efectos que pueden inducir divergencias entre la señal aparato ideal y laexperimental- Fig.IV.2.- Señal aparato correspondiente a los siguientes valores de los parámetros del dispositivo de determinación de matrices de Mueller: OCr= 04, e,= 22.5O, A,= 6,= 90°, g, = aL= 1, 0,; OO. Fig.IV.3.- Señal aparato correspondiente a los siguientes valores de los parámetros del dispositivo de determinación de matrices O de Mueller: = 22.5O, e I = o , e, = 45O, 6, =&= 9oa, tj, = a,= 0.980. Fiq.IV.4.- Señal aparto correspondiente a los siguientes valores de los parámetros del dispositivo de determinación de matrices de Mueller : CI, = 0°, e, = 22.5' , 6, = 6, = 90°, 8, = 8.' 1, el= 0'. Fig.IV.5.- Señal aparato correspondiente a los siguientes valores de los parámetros del dispositivo de determinación de matrices de Mueller: d,= 45O, 0, = O', e,= 90°, 6, =SL= 90°, 3, = qL= 1- requeridos por nuestra subrutina de análisis de Fourier son los siguientes 1Valor entero N, tal que hay 2N+1 puntos tabulados, que son 2Valores de la función ~()opara O< X & 2TT , tabulados en intervalos de 2~ AZNCI) - 3OrdenM de coeficientes de Fourier deseados, tal que O<M<N En nuestro caso M=i4, y el número mínimo de puntos-dato requeridos es 2M+f=29 . V METODO DINAMICO DE ANALISIS DE LUZ POLARIZADA El estudio realizado en el capítulo anterior puede particularizarse para el caso en que se desee determinar el vector de Stokes asociado a un haz de luz problema. Veremos que ello se puede conseguir realizando en primer lugar un calibrado del dispositivo para la longitud de onda de dicho haz, y registrando después la señal de inten - sidad de luz del haz problema tras atravesar éste el dispositivo de medida. V.1. DISPOSITIVO DE ANALISIS En el apartado 1V.I. se comentó que el dispositivo de determinación de matrices de Mueller, esquematizado en la Fig. IV.l, puede considerarse dividido en dos partes. Una de ellas, la que contiene a LLY PL , sirve para analizar el estado de polarización de la luz que incide sobre él. El esquema de la Fig. V.1. muestra el dispositivo utilizado para obtener los parámetros de Stokes correspondientes a un haz de luz problema La matriz de Mueller correspondiente al sistema formado por L2 y PZ , es la matriz 8 dada en (IV. 7). El vector de Stokes u correspondiente al haz de luz emergente, cuando incide sobre el dispositivo un haz de luz problema de vector de Stokes S es U=BS, (v. i ) v la intensidad de luz emergente es u. = b,, S, + b,,~, + b,,~, + b.3~~ Fig.V.l.- Esquema del dispositivo dinámico de análisis de luz polarizada. H: haz coiimado de luz monocromática. L2 :retardador rotatorio P2 :polarizador lineal C2 :lente colectora DT:detector RG:instrumento de registro A partir de (IV.7) y (V.2) y utilizando algu2 o nas relaciones trigonométricas se obtiene u.=A,+Bl~euu,-+ A,L~~w+B~A~~L~z~+A~c~~~o, donde (v.3 Hasta ahora se han dejado libres los dos parámetros angularesez,d,. Para concretar consideraremos un sistema cartesiano de ejes de referencia XYZ, de forma que la luz se propaga en la dirección del eje Z, y el eje de polarización del polarizador lineal Pz coincide con el eje X. Con esta elección, el= 0 , y %es el ángulo que forma el eje rápido deLt con el eje X en el instante inicial. Las expresiones (V.4) se convierten ahora en Por medio de un análisis de Fourier de la señal de intensidad de luz U, , se pueden obtener los coeficien - tes de Fourier de la serie (V.3). Si conocemos los parámetros dr, Kz , dz , característicos del dispositivo de análisis, a partir de (V.5) es fácil comprobar que los elementos del vector de Stokes S correspondiente al haz de luz pro- + 8 0 I-ma son V. 2. CALIBRADO. Una forma de obtener los parámetros KL , dr , es realizar un registro cuando incide sobre el dispositivo un haz de luz polarizada lineal según el eje X de referencia. En este caso S=(;) y los coeficientes de Fourier correspondientes al análisis de Fourier de la señal de intensidad de luz U. son (v. 7) 1 donde los coeficientes A; , 8; ; que suponemos conocidos, vienen afectados por un factor global de escala . f Los parárnetros t,, Z,, h , definidos como permiten obtener & , kl , d2, f, del siguiente modo lo cual justifica la suposición teórica de que % es un polarizador lineal total. Por otra parte, como la orientación de PL es fija durante cada medida, no se producen errores sistemáticos debidos a la diferente respuesta del detector para diferentes estados de polarización de la luz que le incide, efecto éste que hemos comprobado en el laboratorio con muy diversos detectores. Como retardadores Li , LL , hemos utilizado láminas comerciales Polaroid, que presentan un valor nominal de re-- tardo 140k20 , para una longitud de onda ,!i = 5600 R. El cometido de los diafragmas Fl y FL es evitar que se produzcan reflexiones múltiples entre los diferentes componentes que son atravesados por el haz de luz. Dichas reflexiones producirían haces de luz parásitos incidentes sobre el detector. El filtro neutro N así como el difusor DF sirven para atenuar la intensidad de luz que incide sobre el detector cuando éste es un fotomultiplicador. La finalidad del filtro interferencia1 es evitar que incida sobre el detector luz ambiente de longitud de onda diferente de la longitud de onda del lbser. En la Fig. VI.2 se muestra un esquema del mecanismo que produce la rotación de los retardadores L, y L.L Dicho mecanismo consiste en un acoplamiento de dos engranajes paralelos exteriores, movidos por un motor asíncrono (MA) que va adosado a la cara anterior del soporte de aluminio que sirve de sustento del aparato. El motor va conectado a la red y tiene una velocidad en vacío de 3.500 r.p.m., con una potencia de 200 W aproximadamente. Dicho motor transmite Fi5.VI.2;- Esquema del mecanismo productor de la rotación de los retardadores. MA: Motor asíncrono EA: Eje de acero EP: Engranaje paralelo PM1, PM2: Piñones motrices CD1, CD2: Coronas dentadas PS1, PS2: Placas de soporte CS1, CS2: Carcasas para la sujección de los retardadores. LC: Lámina de cobre DE: Dispositivo electrónico de disparo, activado períódicamente por LC. el movimiento al eje de acero (EA) por medio de un engranaje paralelo (EP). Este eje rota en unos pequeños rodamientos, y solidarios a 61 van dos piñones motrices (PM1) y (PM2). Las ruedas resistentes del engranaje son las coronas dentadas (CD1) y (CD2), que son solidarias a sendos casquillos cilíndricos que van engastados en las placas - soporte (PS1) y (PS2). Dichos casquillos rotan en sendos acoplamientos de dos rodamientos a bolas. El hecho de haber colocado estos rodamientos dispuestos de dos en dos tiene como finalidad que no se produzcan movimientos laterales de los casquillos. Por las caras exteriores sobresale cada uno de los mencionados casquillos, a los que van adosadas las carcasas (CS1) y# (CS2) que sirven de soporte para las láminas de retardo. Por medio de un conjunto de tres tornillos se puede regular la perpendicularidad de cada lámina con el eje Óptico del sistema. Para mantener la consistencia de la maquinaria, las placas (PS1) y (PS2) van unidas por otras dos placas laterales (PL1) y (PL2) . Todo el conjunto va fijado por medio de cuatro "patas" a la base del banco Óptico. El espacio intermedio entre las dos coronas dentadas permite la colocación del medio Óptico problema, que puede desplazarse en el plano XY, y así estudiar sus propiedades en diferentes puntos. En orden a fijar el origen de las señales detectadas, se ha diseñado el dispositivo electrónico esquematizado en la Fig. VI.3., y que contiene una bobina en la que se inducen corrientes de Foucault cuando un conductor se mueve en su proximidad. La bobina va conectada con un sistema flipflop que convierte los picos en una señal almena. Fig.VI.3.- Esquema del dispositivo electrónico para la determinación del origen y perío - do de las señales registradas. Fig.VI.4.- Esquema del circuito utilizado para polarizar al fotodiodo detector Harsaw 38. Sujeta a la corona (CD2) va una pequeña lámina de cobre (LC), que acciona electrónicamente el instrumento de registro cada vez que pasa por el lugar donde se ha colocado la bobina, y hace que dicho instrumento se dispare periódica - mente con el mismo periodo propio de la señal de intensidad de luz que incide sobre el detector DT. El periodo de tiempo entre dos posiciones equivalentes del dispositivo de medida es T0.1 S. Como detector DT hemos utilizado un fotomultiplica - dor Oriel 7060. Para que DT trabaje en régimen de respuesta lineal es necesario atenuar el haz de luz láser con la ayuda del filtro neutro N y del difusor DF. Otro detector también utilizado ha sido un fotodiodo Harsaw 38 polarizado según el circuito de la Fig. VI.4. Este tipo de detector, si bien es más economico, introduce un cierto nivel de voltaje continuo sobre la señal que detecta. Dicho nivel se puede deter - minar con facilidad, y debe sustraerse de la señal registrada. El instrumento de registro utilizado es un analiza - dor multicanal HP 54808, que registra la señal proveniente del detector, y que inicia los registros según la pauta marcada por el dispositivo electrónico de disparo DE. La longitud de onda de trabajo ( = 6.328 8) no corresponde a la zona de respuesta Óptima del fotomultiplica - dor que utilizamos, y ello hace necesario realizar un filtra - do del ruido de aleatorio de fotones introducido por él. Ello se lleva a cabo gracias a un número de 2' barridos de la señal, promediados con el algoritmo propio del analizador multicanal. Este número de barridos se ha estimado adecuado para obtener un cociente señal/ ruido suficientemente eleva - do (S/N 2 100). El procesado de los datos de las señales lo hemos realizado por neaio de un ordenador electrónico HP2000. VI.2 CAUSAS POSIBLES DE ERROR EN LAS MEDIDAS En este apartado analizamos las principales causas posibles de error en las medidas que se obtienen con nuestro dispositivo experimental. 2 - Des~olarización del haz de luz de sondeo . En el tratamiento teórico de nuestros métodos dinámicos de medida no se ha tenido en cuenta el posible efecto de despolarización que pueden producir en el haz de luz de sondeo los diferentes elementos que éste va atravesando en el dispositivo, como son los retardadores rotatorios y el polarizador lineal P,. Pequeñas motas de polvo, o imperfecciones en las superficies de dichos elementos producen difracción del haz de luz, lo cual conlleva un li - gero efecto de despolarización. - Desviaciones en la dirección del haz de luz. La falta de perpendicularidad de las superficies de los elementos atravesados por el haz de luz con respecto a la dirección de éste hace que dichos elementos tengan un comportamiento que difiere del previsto teóricamente. Por otra parte, como durante la medida los retardadores están en rotación, el ángulo de incidencia sobre ellos y sobre el polarizador P, puede cambiar constantemente, aunque periódicamente. Ya hemos comentado que el mecanismo productor de la rotación de los retaradores va provisto de un dis - positivo de ajuste de la perpendicularidad de las superficies de las láminas de retardo con la dirección de propaga - ción de la luz. Sin embargo, no resulta fácil realizar dicho ajuste con gran pefeccción, debido a que las caras de las láminas no son perfectamente planas, sino que presentan pequeñas inhomogeneidades, e incluso una cierta curvatura global. Por otra parte, un ajuste perfecto no es deseable ya que conduciría a un solapamiento del haz de luz directo con los diferentes haces reflejados, haciendo imposible evitar que éstos Últimos incidan en el detector y produzcan el consiguiente empeoramiento de la calidad de la señal. El mencionado~~lapamiento resulta más nocivo que un pequeño defecto en la perpendicularidad de las láminas de retardo 47,48 , el cual permite la eliminación de haces par& - sitos por medio de diafragmas. La no perpendicularidad con el eje de propagación de la luz,de la lámina de retardo LI, tiene como consecuen - tia que la orientación de los ejes propios respecto al plano de incidencia varia periódicamente con el mismo periodo de la señal Tt l*/L¿I,. Ello hace que los valores efectivos de 5, y Kl varíen asimismo períodicamente. El efecto produ - cido por la rotación de Lzes más complicado, ya que el haz de luz que le incide cambia su ángulo respecto al eje Z con periodo 2r/cr31 y la orientación de los ejes propios de LLrespecto a unos ejes fijos varía con un periodo 7;- '%la= 4~/~~,= 2/5 T . por lo tanto, como 2T= S Tz , la situación se repite con periodo doble al propio de cada señal Una forma de estimar la influencia del citado fenómeno, y de ajustar la inclinación de los retardadores de mo - do que dicha influencia sea mínima, es comprobar visualmente, en la propia pantalla del multicanal, las diferencias existentes en la forma de cada dos periodos consecutivos. - Reflexiones internas múltiples en Li y Lz. Este efecto se contempla ya en la teoría, al consi - derar que los retardadores L, y Lz no son ideales. Los va - lores efectivos de 6, , dL , k, y KL se obtienen del calibrado. - Im~erfecciones del dis~ositivo mecánico. El mecanismo que produce la rotación de las láminas está sometido a vibraciones durante la medida, debidas a holguras en los engranajes, y se pueden producir desaiustes que consecuentemente acarrean errores. - Errores de calibrado. El calibrado del dispositivo ha de ser cuidadoso, ya que los errores en los parámetros característicos del mismo se transmiten sistemáticamente a todas las medidas que se realicen. - Errores de detección. La diferente sensibilidad del detector según la polarización de la luz que le incide no se pone de manifiesto, ya que durante cada medida la posición del polarizador PL permanece fija. Sin embargo es necesario ase-- gurarse de que el detector trabaje en su zona de respuesta lineal. - Errores wroducidos en el ~rocesado de datos Hemos comprobado que los errores que se producen en el propio roceso de cálculo por ordenador son del orden del 0.05% 23' y como se verá en el siguiente capítu - lo, el introducir un número elevado de puntos-dato de la señal registrada en la subrutina de análisis de Fourier no conlleva ventajas en la calidad de las medidas. VI.3. PROCESADO DE DATOS POR ORDENADOR Cada registro que se obtiene con el analizador multicanal está compuesto de 1000 puntos-dato, de los cuales aproximadamente 713 son ocupados por un periodo completo de la señal registrada. Estos datos pueden suministrarse al ordenador conectando éste con un voltímetro digital por medio de una interface HP-IB (mod. 82937 A) y con el analizador multicanal, Ó bien con el propio detector. El suministro de datos puede hacerse también por medio de tarjetas perforadas etc.. . Una vez en el ordenador, los datos quedan almacenados en ficheros. Para el tratamiento de los datos exis-- ten cuatro tipos de programas: - Programa MAPAR de tratamiento de señales-aparato obte - nidas con el dispositivo de determinación de matrices de Mueller. - Programa MEREL de tratamiento de señales correspondien - tes a medios Ópticos problema. - Programa MEPOL de tratamiento de señales-aparato obtenidas con el dispositivo de análisis de luz polarizada. - Programa STOKES de tratamiento de señales correspondientes a haces de luz problema. 6.3.1. PROGRAMA MAPAR El cometido de este programa es la obtención de los parámetros de calibrado del dispositivo de determinación de matrices de Mueller. Datos requeridos: - Nombre del fichero de datos correspondiente a la señal-aparato que se desea procesar. - Número NP de puntos-dato que se desean introducir en la subrutina de análisis de Fourier. - Nivel continuo introducido por el detector en la señal, en el caso de que dicho nivel exista. El programa MAPAR consta de tres partes: - MAPAR.l.- Entre el número total de puntos-dato del fichero, se selecionan NP por medio de una interpolacion lineal. Dicha interpelación esfá justi - ficada por la proximidad relativa entre cada dos puntos-dato del registro, y requiere ~NP de ellos, con los quesecalculai los NP datos ya intei- - polados. - MAPAR.2.- Se suministran los puntos-dato ya interpolados a la subrutina AJTE de análisis de Fourier, con 68 The elements of an N-type Mueller matrix M can be written by means of the notation given in (II.75). By applying the inequality 222 x yxy+≥± (III.93) in the expressions (II.75.b) we see that 222 ij ij α α β +≥± (III.94.a) 222 ij ij α αγ +≥± (III.94.b) Now, taking into account the expression (II.75.a) it is easy to demonstrate that the following inequalities are fulfilled ( ) 00 11 22 33 mm mm+≥± + ( ) 00 11 22 33 mm mm−≥± − ( ) 00 11 32 23 mm mm−≥± − ( ) 00 10 02 12 mm mm+≥± + ( ) 00 10 03 13 mm mm+≥± + ( ) 00 10 02 12 mm mm−≥± − ( ) 00 10 03 13 mm mm−≥± − ( ) 00 01 20 21 mm mm+≥± + ( ) 00 01 30 31 mm mm+≥± + ( ) 00 01 20 21 mm mm−≥± − ( ) 00 01 30 31 mm mm−≥± − (III.95.a) 00 ,, ij mmij≥± ∀ (III.95.b) These inequalities, which are additive and thus must be fulfilled for any Mueller matrix without exception, have been recently shown by R.W. Schaefer [16], whose argument for the deduction has been used here. 69 III.5. Restrictive relations in a Matrix V in the CVF formalism As the Mueller matrices, the N-type V matrices depend, in general, on seven independent parameters. This implies that , in addition to the restrictions (II.55), which are inherent to the definition of the matrix V, there must be a set of nine restrictions among its elements. The expression (II.79) shows the form of a matrix V as a function of its corresponding Jones matrix J. In (II.79) we can see that the product of the extreme elements of a row, column or diagonal, is equal to the product of their corresponding intermediate elements. This fact implies the existence of the ten following equalities [13] 00 03 01 02 υ υυυ = (III.96.a) 00 30 10 20 υ υυυ = (III.96.b) 30 33 31 32 υ υυυ = (III.96.c) 03 33 13 23 υ υυυ = (III.96.d) 00 33 11 22 υ υυυ = (III.96.e) 03 30 12 21 υ υυυ = (III.96.f) 01 31 11 21 υ υυυ = (III.96.g) 10 13 11 12 υ υυυ = (III.96.h) 02 32 12 22 υ υυυ = (III.96.i) 20 23 21 22 υ υυυ = (III.96.j) Only eight of these equalities are independent. So, for example, the first eight are independent. The ninth independent equality can be either one of the following 01 32 10 23 υ υυυ = (III.97.a) 02 31 20 13 υ υυυ = (III.97.b) ** 02 13 10 23 υ υυυ = (III.97.c) ** 20 13 01 32 υ υυυ = (III.97.d) The equalities (III.96.a-g) only contain real quantities. We can complete the system of nine equalities by adding the (III.96.h), (III.96.i) and (III.97.a), which, taking into account (II.55), can be reduced to real expressions of the form 70 01 31 22 12 11 21 02 32 υ υυυυυυυ + =+ (III.98.a) 10 13 22 21 11 12 20 23 υ υυυυυυυ + =+ (III.98.b) 01 32 20 13 10 23 02 31 υ υυυυυυυ + =+ (III.98.c) Now, we are going to study others systems of nine restrictions in N-type matrices V that, although equivalent among them, are presented in a different way and are occasionally useful. In the CVF formalism, the quadratic form F corresponding to a light beam with an associated coherence vector D, can be written as 2T = FDhD (III.99) where DT is the transposed row vector of the column vector D, and h is the matrix 00 01 00 10 0100 10 00 ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ =⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ h (III.100) Let us consider a light beam characterized by a coherency matrix ρ and a coherency vector D, which passes through an N-type optical medium whose associated matrices in the formalisms CMF and CVF are J and V respectively. The emerging light beam will be characterized by a coherency matrix ρ’ and a coherency vector D’ given by ′=+ ρJρJ (III.101) ′ = DVD (III.102) Taking into account the expressions (III.64), (III.99), (III.101) and (III.102), we can write 22 TTT F′′′ ==DhD DVhVD (III.103) 22 4det 4 det det 4 det T F′′ == =ρJρJDhD (III.104) so that 2 det TT T =DVhVD J DhD (III.105) The equality (III.105) is satisfied for any vector D, and thus 71 2 det T=VhV J h (III.106) By writing (III.106) as a function of the elements vij of the matrix V, and eliminating |detJ|2, we obtain the following system of nine restrictive equalities 30 03 00 33 31 02 01 32 20 13 10 23 21 12 11 22 υ υυυυυυυυυυυυυυυ + ++=+++ 30 01 00 31 20 11 10 21 υ υυυυυυυ + =+ 30 02 00 32 20 12 10 22 υ υυυυυυυ + =+ 31 03 01 33 21 13 11 23 υ υυυυυυυ + =+ 32 03 02 33 22 13 12 23 υ υυυυυυυ + =+ 00 30 20 10 υ υυυ = 01 31 21 11 υ υυυ = 02 32 22 12 υ υυυ = 03 33 23 13 υ υυυ = (III.107) We know that if a certain N-type matrix V corresponds to an N-type Mueller matrix M, V+ corresponds to MT. Thus, the matrix V+ represents an N-type optical medium and must satisfy the same restrictions than V, given in (III.107). So, the following equality must be fulfilled 2 det + = *+ VhV J h (III.108) This equality gives a system of nine restrictive equalities among the elements vij, which is equivalent to the expressed in (III.107) and it is obtained by transposing the indexes of all the elements. From (III.106) and (III.108), and taking into account that |detJT| = |detJ|, we deduce the following matricial equality 2 det T+ == *+ VhV VhV J h (III.109) which includes (III.106) and (III.108) as particular cases. III.6. Norm condition in Mueller matrices Given any Mueller matrix M we can define a positive defined norm Γ M (M) as [42] 72 () () () 12 3 12 12 2 ,0 tr tr TT ij ij m Γ = ⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤ ≡== ⎢ ⎥ ⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ∑ MMMM MM (III.110) As we have seen in (III.92), Γ M (M) satisfy the condition ( ) 22 00 4m Γ ≤ MM (III.111) so that the equality ( ) 22 00 4m Γ = MM (III.112) occurs when a Mueller matrix M is associated with an N-type optical medium. It is worth mentioning that the element m00 represents the transmittance TN of the optical medium for incoming non-polarized light. We have seen that (III.112) is a necessary condition for M to be an N-type one. Now we are going to demonstrate that (III.112) is also a sufficient condition. Let us supposed the condition (III.112) is fulfilled. Then, the six equalities (III.86) must be fulfilled, because if not, at least one of the inequalities (III.91) must be fulfilled and thus we would obtain ( ) 22 00 4m Γ < MM, which is not in agreement with the hypothesis. In order to obtain a system of nine independent restrictions we need three more, as for example the (III.88). The inequalities (III.63) and (III.78) can be written as 11 x r≥ (III.113.a) 11 y r≥ (III.113.b) 11 zr≥ (III.113.c) 22 x r≥ (III.114.a) 22 y r≥ (III.114.b) 22 zr≥ (III.114.c) where the following parameters have been defined 2222 110203000 rm m m m=++− (III.115.a) 2222 101112131 x mmmm=−−− (III.115.b) 2222 102122232 y mmmm=−−− (III.115.c) 2222 103132333 zm mm m=−−− (III.115.d) 73 2222 201020300 rm m m m=++− (III.116.a) 2222 210111213 x mmmm=−−− (III.116.b) 2222 220212223 y mmmm=−−− (III.116.c) 2222 2 30313233 zmmmm=−−− (III.116.d) From the equalities (III.86.c-f) we deduce that (III.113.a) and (III.114.a) are the equalities x1 = r1 and x2 = r2 respectively. The equalities (III.88) can be written as 11 y z = (III.117.a) 22 y z = (III.117.b) 12 y y = (III.117.c) In order to demonstrate the fulfillment of the equalities (III.117) we will suppose that () 22 00 4m Γ = MM and that some of the equalities is not fulfilled, obtaining as a result an absurd. The fact that some of the equalities (III.117) is not fulfilled implies that the equalities in (III.113.b-c) and (III.114.b-c) cannot be fulfilled simultaneously, or that r1 ≠ r2. By adding on one hand the (III.113) and on the other hand the (III.114) we obtain 3 22 00 ,0 42() ij ij mab m = +−≥ ∑ (III.118) 3 22 00 ,0 42() ij ij mba m = +−≥ ∑ (III.119) where 222 01 02 03 am m m=++ 222 10 20 30 bm m m=++ (III.120) As we are supposing that ( ) 22 00 4m Γ = MM, from (III.118) and (III.119) we deduce that ab = (III.121) and thus 12 rr = (III.122) 74 The only remaining possibilities are 11 11 22 22 ,or ,or ,or y rzryrzr≥≥ ≥ ≥ (III.123) In the first two cases, by adding Eq. (III.113) we obtain 3 22 00 ,0 4ij ij mm = > ∑ (III.124) and in the other two remaining cases, by adding (III.114), we obtain again (III.124), which is an absurd because of the starting hypothesis (III.112). Then, it is demonstrated that if the condition (III.112) is fulfilled, the system of nine independent equalities formed by the (III.86) and (III.87), or any other equivalent system of equalities, must be fulfilled. This means that M corresponds to an N-type optical medium. We can summarize these considerations in the following theorem [42]: “Given a Mueller matrix M, the necessary and sufficient condition for M to correspond to an N-type optical medium is ( ) 00 2m Γ = MM”. The interest in this theorem is derived from the fact that, given a Mueller matrix, we can know if it corresponds to an N-type optical medium by only attending the condition (III.112) (the norm condition), without the verification of the nine independent equalities. As we will see, the norm condition is very useful in the theoretical development of our dynamic method for the determination of Mueller matrices. Given a Mueller matrix M, it can be normalized as 00 1 m = MM (III.125) The matrix M corresponds to an optical medium with the same properties than M, except for the fact that the former presents a unity transmittance for non-polarized light ( 00= 1). When M is N-type, the normalization (III.125) gives the equality ( ) 2 Γ = MM (III.126) because 75 () () 12 3 12 2 ,0 00 1 tr 2 Tij ij m m Γ = ⎡⎤ ⎡⎤ ≡ == ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ∑ MMMM (III.127) An interesting consequence of (III.95.b) and (III.112) is that an N-type Mueller matrix must have, at least, four nonzero elements (except for the trivial case of the zero matrix). III.7. Norm condition in Jones matrices The purpose of this section is to obtain, similarly to the last section, a relation among the elements of a generic Jones matrix as a function of the transmittance TN of the medium for natural light. It is worth mentioning that, although the states of partially polarized light are not able to be represented by means of the formalism JCF, the Jones matrices contain information of TN, because, as we will see, TN can be obtain as the semi-sum of the transmittances in minimum and maximum intensities for random variations of the incident light vector. Given a Jones matrix J, we always can associate two numbers γ (J), τ (J), where γ and τ are, respectively, the maximum and minimum value of the division Jε ε (III.128) with respect to the random variations of the two components of the Jones vector ε [1]. Any unitary Jones matrix U leaves invariant the module of the Jones vector ε, and thus ( ) ( ) 1 γτ = =UU (III.129) According to the theorem EGT, any Jones matrix J can be written as ( ) 1122 0, ,pp=P JUJ U (III.130) whereU1, U2 are unitary matrices, and JP is the matrix associated with a partial polarizer whose principal transmittances in amplitude are p1, p2. Taking into account the expressions (III.129) and (III.130) we obtain 76 ( ) ( ) 1 p γγ = = P JJ (III.131.a) ( ) ( ) 2 p ττ = = P JJ (III.131.b) According to the expressions (III.15) and (III.26), the element m00 of a generic Ntype Mueller matrix M corresponding to a Jones matrix J can be written as () () () 22 2 2 00 1 2 11 22 mpp γτ ⎡ ⎤ =+= + ⎣ ⎦ JJ (III.132) Besides, according to (II.73), m00 can be expressed as a function of the elements of the matrix J as follows 22 00 ,1 1 2ij ij mJ = =∑ (III.133) and, consequently 2222 12 ,1 1 2ij ij Jpp = = + ∑ (III.134) The expression (III.133) indicates to us that the one half of the sum of the squares of the modules of the elements of a Jones matrix is equal to the transmittance in intensity for natural light, of the considered medium. We can associate to any Jones matrix J a norm Γ J (J), defined as positive, given by [42] () () () 12 2 12 12 2 ,1 tr tr ij ij J Γ ++ = ⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤ ≡== ⎢ ⎥ ⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ∑ JJJJ JJ (III.135) or, taking into account (III.133) ( ) 2 00 22 N mT Γ == JJ (III.136) By comparing (III.136) with (III.112) we see that ( ) ( ) 2 ΓΓ = MJ MJ (III.137) The expression (III.136) shows that the norm condition (III.112) for a Mueller matrix M is a manifestation of the norm definition (III.135) for a Jones matrix J associated 77 with the same N-type optical medium than M. These matrices M and J can be normalized as 00 1 m = MM (III.138.a) 00 1 m = JJ (III.138.b) so that ( ) ( ) 22 ΓΓ = = MJ MJ (III.139) III.8. Norm condition in matrices V of the formalism CVF. Given a matrix V of the formalism CVF, we can associate to it the positive definite norm Γ V (V) [42] () () () 12 3 12 12 2 ,0 tr tr ij ij v Γ ++ = ⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤ ≡== ⎢ ⎥ ⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ∑ VVVV VV (III.140) We saw in (II.78) that an N-type matrix V can be written as a function of its corresponding Jones matrix as * = ×VJJ (III.141) where x indicates the Kronecker product. From (III.140) and (III.141) it is easy to obtain ( ) ( ) ( ) 22 tr tr Γ == ++ VVJJ JJ (III.142) The expression (III.142), with (III.135), (III.136) and (III.137) let us to write ( ) ( ) ( ) 2 00 2m ΓΓ Γ === VM J VMJ (III.143) where the matrices V, M and J correspond to the same N-type optical medium. If the considered medium is G-type, M and V are related according to (II.51), and then 84 12 12 222 01 02 03 22 00 00 1P P mmm F Gmm ′ ′ ⎛⎞⎛⎞ ++ ′′ ==− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ (III.172) The parameters P F′ and P F′′ or P G ′ and P G ′ ′ give us information about the capacity of the optical medium O to polarize non-polarized light. The ranges of possible values of these parameters are 2 00 0P Fm ′ ≤≤ (III.173.a) 2 00 0P Fm ′′ ≤≤ (III.173.b) 01 P G ′ ≤ ≤ (III.174.a) 01 P G ′ ′ ≤ ≤ (III.174.b) If O is N-type, the relation (III.27.b) is fulfilled, which taking with (III.168) and (III.170) gives us the equality P P FF ′ ′′ = (III.175) From (II.82) and (III.107) it is easy to see that in the formalism CVF the expressions corresponding to FD, P F′ and P F ′ ′ are the following ()() 22 00 03 30 33 1 3 DV Fvvvv V ⎡ ⎤ =+++−Γ ⎣ ⎦ (III.176) ( ) 00 33 03 30 10 23 20 13 4 P F vvvvvvvv ′=+−− (III.177.a) ( ) 00 33 03 30 01 32 02 31 4 P F vv vv vv vv ′′ =+−− (III.177.b) Moreover, if O is N-type, the corresponding expressions in the formalism JCF are 0 D F = (III.178) ( ) 2222 ** 1234 1234 2Re PP FFJ J J J JJJJ ′′′ == + + + − (III.179) 85 Chapter IV Method for the dynamic determination of Mueller matrices 86 In this chapter we expose the theoretical basis of our dynamic method for the determination of Mueller matrices. The proposed measurement device is basically composed of two linear retarders placed between two linear polarizers. In the space between the retarders is placed the optical medium whose associated Mueller matrix M is to be measured. A collimated beam of quasi-monochromatic light arrives to the optical medium after passing through the first polarizer and the first retarder. The emerging beam from this medium passes through the second retarder and the second polarizer, in this order. The intensity I of the final emerging light beam depends on the matrix M and the orientations of the polarizers and retarders respect to a reference axis. In order to perform an automatic operation of the device, the retarders rotate in planes perpendicular to the propagation direction of the light beam passing through them, with a fixed relation between the respective constant angular velocities. The intensity I varies periodically, and by means of a detector and a recorder is obtained the record of the signal corresponding to the considered optical medium. The sixteen elements of the Mueller matrix M can be obtained from the Fourier analysis of this signal. The Fourier analysis can be made with the help of a computer. The experimental device for the measurement can be designed for the study of transmission, reflection, diffusion or diffraction phenomena. If the rotating retarders used in the measurement device are achromatic, it is possible to make a spectroscopy of Mueller matrices by varying the wavelength λ of the light beam and obtaining the corresponding Mueller matrix. Otherwise, if we use a laser beam we can make a local study in different spatial zones of the sample. IV.1. Measurement device The figure IV.1 shows schematically the device for the measurement of Mueller matrices, which is mainly composed of two total linear polarizers P1( θ 1), P2( θ 2); two non-ideal linear retarders L1, L2 and an optical medium O whose associated Mueller matrix M is to be measured. “A” represents a source of quasi-monochromatic light, “DT” a detector of the intensity of light, and “RG” a recorder for the signals detected by DT. 87 The orientations of the principal axes of the optical media are referred to the positive direction of the X axis of the reference system of coordinates XYZ shown in the figure. The emerging light beam after passing through the system P1 L 1 O L 2 P 2 is characterized by the Stokes vector () ( ) ( ) () 2222 1111 1,, ,, 16 ab kk kk θβδ βδ θ ′′ =PL L P SMM MM MS (IV.1.a) where 12 , aa bb kkk kkk ′ ′ = = (IV.1.b) and S is the Stokes vector associated with the beam of natural light emitted by the source A, so that 0 0 0 I ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ S ) (Fig. IV.1) Arrangement of the dynamic device for the determination of Mueller matrices. The measurement device can be considered as divided into two parts. The first one is composed of P1, L1 and O, where the states of polarization of the emerging light beam are generated, which depend on the values of θ 1, β 1, δ 1, k1 and the elements mij of the Mueller matrix M. This state of polarization is given by the Stokes vector 88 () 111 1 0 1,, 0 4 0 a k k βδ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ′=⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ LP SMM M (IV.2) whose elements result in [ ] () () [] 1111110 11 1 111 11 1 1111 11 1 11 1 111 11 1 1111 11 2 11111123 1(1)( ) (1 ) 1 ( ) 2 cos ( 4(1 ) 1 ( ) 2 cos ( 2sin ( i i i ai i kkccssm kc kccc ss r ssc cs m I Skks kscc ss r csc cs m rsccsm δ δ δ ′′ ⎧⎫ ++− + + ⎪⎪ ′′′′ ′′′ +− ++ + + − +⎡⎤ ⎪⎪ ⎣⎦ ′=⎨⎬ ′′′′ ′′′ +− ++ + − − + ⎡⎤ ⎪⎪ ⎣⎦ ⎪′′ +− ⎩⎭ ⎪ (IV.3.a) where () 111 1 111 1 12 1 sin 2 , cos2 , sin 2 , cos2 , . aa sc sc rkk θ θ β β = = ′′ == ′ = (IV.3.b) The second part is the system composed of L2 and P2, and it is used to analyze the state of polarization of the light. The Mueller matrix B associated with this system is () ( ) 2222 1,, 2b k k θβδ =PL BMM (IV.4) Now, we can write (IV.1) as follows ′ ′′ = SBS (IV.5) The detector DT is sensitive to the intensity of light u0 falling on it 0 0 00 0 01 1 02 2 03 3 u s bs bs bs bs ′ ′′′′′ = =+++ (IV.6) where the elements boi (i = 0, 1, 2, 3) of the matrix B, obtained from (IV.4), are [] 00 1 1 1 1 1 1 11(1)( ) 4b bkkccss k ′ ′ =++− + () 01 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1(1 ) 1 ( ) 2 cos ( 4b bkckcccssrssccs k δ ′′′′ ′′′ =−++ ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (IV.7.a) 89 () 02 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1(1 ) 1 ( ) 2 cos ( 4b bksksccssrcsccs k δ ′′′′ ′′′ =−++ ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ [] 03 2 2 2 2 2 2 12sin ( 4b brcssc k δ ′ ′ =− where 222 2 12 222 22 sin 2 , cos 2 , sin 2 , cos 2 , ( ) bb sc scrkk θ θ ββ == ′′ ′ === (IV.7.b) In order to simplify the notation we also define the following parameters 11 22 ,, , aa aa bb bb akk bkk akk bkk ′′ ′′ =+ =− =+ =− (IV.8) We will suppose that the retarder L1 rotates around the axis Z with angular velocity ω 1, so that the state of polarization of the light beam emerging from O, generated by the first part of the device, varies continuously with time. Similarly, we will suppose that the retarder L2 rotates on the axis Z with angular velocity ω 2, so that the second part of the device analyzes dynamically the state of polarization emerging from O. Thus, we can write 11 t β ω = (IV.9.a) 22 2 t β ωα = + (IV.9.b) As seen in (IV.9) we suppose that, at the instant 0 = t, the fast axis of L1 is aligned with the reference axis X, and that the fast axis of L2 presents an angle α 2 with the axis X. As we have mentioned above, our aim is to obtain the elements mij from the Fourier analysis of the periodic intensity signal of the emerging light u0(t). To obtain a mathematical expression with the form of a Fourier series with a finite number of harmonic components, it is required to force the following relation between the angular velocities of the rotating retarders 21 R ω ω = (IV.10) where R is a rational number After making the operation indicated in (IV.6), and taking into account (IV.9) and (IV.10), we obtain 90 () () () () () () () () () 001 11 12 1 213 13 1 414 151 516161 717 181 819 19 sin 2 cos 2 sin 4 cos 4 sin 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 4 cos 2 4 sin 2 4 cos 2 4 sin 4 cos 4 sin 4 2 cos uhg h g hgRhR gR hR gR hR gR hR gR hR gR hRg R h β ββ βββ βββ βββ βββ ββ =++++ ++++ +−+−+++ +++−+−+ +++++ + ++−+ () () () () () () () 1 10 1 10 1 11 1 11 1 11 1 12 1 42 sin 4 2 cos 4 2 sin 4 4 cos4 4 sin4 4 cos4 4 R gR hR gR hR gR hR β β ββ β ββ −+ +++++−+ +−+++ + (IV.11) where hi, gj are coefficients that depend on the elements mij and also depend on the parameters k1, k2, δ 1, δ 2, θ 1, θ 2, α 2. The expression (IV.11) can be considered as a Fourier series expansion on the multiples of the frequency β 1. We can obtain the Fourier coefficients hi, gj by means of the Fourier analysis of the recorded signal u0. These coefficients depend linearly on the elements, leading to a system of equations in which the unknowns are these elements mij. Depending on the value assigned to R we can get up to twelve frequencies that are multiples of β 1, plus the constant term h0. However, in order to simplify the calculations, it is interesting to obtain a value for R so that the Fourier series development is as short as possible, and generates enough number of Fourier coefficients to obtain the elements mij. The values R = 1, 2 lead to Fourier series expansions with not sufficient number of harmonics. The value R = 3/2 leads to the following Fourier series expansion [43] () 10 00 1 1 1 16 sin cos ll l uA Bl A l β β = =+ + ∑ (IV.12) By writing the coefficients Ai, Bj as functions of the sixteen unknowns mij, we obtain a system of nineteen equations, where only fifteen are linearly independent. If we have some additional (independent) information about the optical medium O corresponding to M, the corresponding relations should be considered in combination with the above-mentioned fifteen linearly independent equations. For example, if we know that O is N-type, the following equation should be added [42] in order to obtain the system of sixteen independent equations that is necessary to obtain the sixteen unknowns mij 3 22 00 ,0 4ij ij mm = = ∑ . (IV.13) 91 If the value of the transmittance of intensity for non-polarized light TN is previously known, then we can add the following equation to the system of equations 00 N mT = (IV.14) For a total generality of the method for the determination of the matrix M, it is more useful a value for R so that we get sixteen linearly independent equations. The values for R that satisfy this condition are 1 2 21n Rn + = (IV.15) where n1, n2 are natural numbers, and n1 ≥ 2. For the sake of simplicity in the experimental assembly, the angular velocities ω 1, ω 2 should be as similar as possible. These requirements are optimally fulfilled for the value 52R = (IV.16) which, combined with (IV.7), (IV.3) and (IV.8) leads to () 14 00 1 1 1 sin cos ll l uA Bl A l β β = =+ + ∑ (IV.17) where the Fourier coefficients are given by () ( ) ()() 0 1 2 00 2 1 1 01 1 02 1 2 2 10 2 20 1 2 1 2 11 2 21 1 2 12 2 22 Aaam atcm sm atcm sm tt c cm sm s cm sm =+ ++ ++ ++++ ⎡⎤ ⎣⎦ ()() () 1 2 1 11 01 11 02 7 11 22 7 21 12 22111311132 1 2 1sin 2 Bbdsmcmsmmcmm rdcmsm δ =−−++−− ⎡⎤ ⎣⎦ −+ ()() () 1211101110211112272112 22111311132 1 2 1sin 2 Abdcmsmcmmsmm rdsmcm δ =++++−+⎡⎤ ⎣⎦ +− (IV.18) 92 () () () 2 2 1 1 00 02 2 1 2 1 03 1 2 1 2 10 2 20 2 12 2 22 1121213223 2sin 2sin Babsmm ar cm btscmsm cmsm rtccmsm δ δ =++ + +++++⎡⎤ ⎣⎦ ++ () () () 2 2 1 1 00 01 2 1 1 1 03 12 1 210 220 211 221 1121213223 2sin 2sin Aabcm m ar sm bt c cm sm cm s m rtscmsm δ δ =+− + ++++−⎡⎤ ⎣⎦ −+ ()() ()() 3 221100501502710720311 22 321 12 2 1 1 11 03 7 13 7 23 2 2 2 11 30 5 31 5 32 1 2 1 3 11 33 1 2 sin sin 2sinsin Bbbsmsmcmsmcmsmmcmm br c m cm sm br c m cm sm rr s m δδ δδ =+−−+−++−−⎡⎤ ⎣⎦ −++− ++− − ()() ()() 3 1 2 11 00 5 01 5 02 7 10 7 20 3 11 22 3 21 12 2 1 1 11 03 7 13 7 23 1 2 2 11 30 7 31 7 32 1 2 1 2 11 33 1 2 sin sin 2sinsin A bbcmcmsmcmsmcmm smm br sm sm cm br sm sm cm rr c m δδ δδ =+++++++−+ ⎡⎤ ⎣⎦ +−++ +−− − () ( ) ( ) 4 2 1 1 01 1 02 1 2 1 2 11 2 21 1 2 12 2 22 Badsmcm dtscmsm ccmsm=++ +++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ () ( ) ( ) 4 2 1 1 01 1 02 1 2 1 2 11 2 21 1 2 12 2 22 Aadcm sm dtccmsm scm sm=−+ +−+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ () ()()() () 5 1 2 5 00 3 10 3 20 2 1 5 1 01 1 02 3 1 11 1 12 3 1 21 1 22 1 2 5 1 30 1 1 31 1 32 2sin Babsm smcm bt s cm sm s cm sm c cm sm rcamtcmsm δ =−++ ++−+++−⎡⎤ ⎣⎦ −++⎡⎤ ⎣⎦ () ()()() () 5 1 2 5 00 3 10 3 20 2 1 5 1 01 1 02 3 1 11 1 12 3 1 21 1 22 2 2 5 1 30 1 1 31 1 32 2sin Aabcm cm sm bt c cm sm c cm sm s cm sm rsamtcmsm δ =+++ +++++++⎡⎤ ⎣⎦ +++⎡⎤ ⎣⎦ ()() 612131122132112 1 2 Bddsmmcmm=++−⎡⎤ ⎣⎦ ()() 612131122132112 1 2 Addcmmsmm=+−−⎡⎤ ⎣⎦ 93 ()() ()() 7 2 2 10 00 5 01 5 02 8 10 8 20 3 11 22 3 12 21 2 1 1 10 03 8 13 8 23 1 2 2 10 30 5 31 5 32 1 2 1 2 10 33 1 2 sin sin 2sinsin B bbsmsmcmsmcmsmm cmm br cm cm sm br cm cm sm rr s m δδ δδ =++++−−+++⎡⎤ ⎣⎦ ++−− +−+ + ()() ()() 7 2 2 10 00 5 01 5 02 8 10 8 20 3 11 22 3 12 21 21 1 1003 813 823 22 2 1030 531 532 1 2 1 2 10 33 1 2 sin sin 2sinsin A bbcmcmsmcmsmcmm smm br sm sm cm br sm sm cm rr c m δδ δδ =+−+−+−++−⎡⎤ ⎣⎦ −+++ +++ + ()() () 8 1 2 13 10 13 20 9 11 22 9 21 12 11213231313 1 2 sin Bbdsmcmsmmcmm rdsmcm δ =++++−+⎡⎤ ⎣⎦ +− ()() () 821131013209112292112 11213231313 1 2 sin Abdsmcmcmmsmm rdcmsm δ =−++−−+⎡⎤ ⎣⎦ ++ ()() () 9 2 1 10 01 10 02 8 11 22 8 12 21 22110321031 1 2 sin Bbdsmcmsmmcmm rdsmcm δ =++−+++ ⎡⎤ ⎣⎦ +− ()() () 9 2 1 10 01 10 02 8 11 22 8 12 21 2 21 1032 1031 1 2 sin Abdcmsmcmmsmm rdcmsm δ =−+−−++⎡⎤ ⎣⎦ ++ () ( ) ( ) 10 1 2 9 10 9 20 1 2 1 9 11 9 21 1 9 12 9 22 Badsmcm tdcsmcm ssmcm=++ +++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ () ( ) ( ) 10 1 2 9 10 9 20 1 2 1 9 11 9 21 1 9 12 9 22 Aadcmsm tdccmsm scmsm=−+ −+− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 11 11 0BA== ()() () 12 1 2 12 10 12 20 9 11 22 9 12 21 11212131223 1 2 sin Bbdsmcmsmmcmm rdcmsm δ =++−+++⎡⎤ ⎣⎦ +− 100 whose elements are obtained with (IV.20), where the Fourier coefficients Ai, Bj correspond to the Fourier analysis of the signal recorded in each measurement. Sometimes, a tuning of the values δ 1 and δ 2 of the retarders can be convenient. This can be made by means of the use of two Soleil compensators as the retarders L1 and L2. Other alternative option, which presents some advantages, is the using of respective sets, each one composed of three commercial retardation sheets, so that the two extreme sheets are equal and with their fast axes aligned. Each of these sets can be called as L(0, δ ) L( α , δ ’) L(0, δ ), and according to the theorem T14 is equivalent to a lineal retarder L ( θ , Δ ) so that [39] () sin 2 tan 2 sin cot 2 cos cos 2 α θ δ δδα =′+ (IV.33) ( ) ( ) cos 2 cos cos 2 sin sin 2 cos 2 θ δδ δδ α ′′ =− (IV.34) According to these expressions we see that by means of the tuning of the orientation α of the intermediate retarder we get different equivalent linear retarders with values for θ , Δ in the following ranges ( ) () 22 sin 2 1arctan 2sin sin 2 δ θδδ ′ ≤′ ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ (IV.35) 22 δ δδδ ′ ′ − ≤Δ≤ + (IV.36) Another possibility is the using of two equal sets of two linear retardation sheets. One of these sets are called as L( α , δ ) L (0, δ ’), and according to the theorem T4 is equivalent to a system L( θ , Δ ) R(γ) composed of a linear retarder and a rotator so that [39] ()() sin 2 tan cos 2 cot 2 cot 2 α γαδ δ = ′ − (IV.37) () ()() sin 2 tan 2 cos 2 cot 2 cot 2 α θγ αδ δ −= ′ + (IV.38) () 22 22 2 cos 2 cos cos cos sin 22 δδ δδ α α ′ ′ +− ⎛⎞ ⎛⎞ Δ= + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (IV.39) If we use the system L( α , δ ) L(0, δ ’) as the retarder L1, and the system L(0, δ ’) L(α, δ) as L2, the effect of the equivalent rotator of a system is compensated by the other one, because both of the rotators introduce an equal rotation but in the opposite 101 sense. The parameter γ of the equivalent rotator of each system does not depend on its absolute orientation, so the effect of the rotators is compensated even when the two systems of two retarders are rotating. IV.3 Apparatus signal In the last section we have seen that the characteristic parameters of the instrument are obtained from a record without any optical medium in the assembly. Hereafter, we will call apparatus signal to any signal obtained on a record of this kind. The parameters obtained from this signal can be used to generate, with the help of a computer, the graphic of an ideal signal corresponding to these parameters, so that it is obtained from (IV.21). In order to get a visual qualitative idea of the accuracy of the measurement, the graphic of the ideal apparatus signal obtained can be compared with the one obtained in the experimental record. The more similar the two signals, the more accurate will be the device*. Examples of ideal signal corresponding to several values of the characteristic parameters of the device are shown in Fig. IV.2IV.5. Fig. IV.2. Apparatus signal corresponding to the following values of the parameters of the Mueller polarimeter: α 2 = 0º, θ1 = 0º, θ 2 = 22.5º, δ 1 = δ 2 = 90º, g1 = g2 = 1. 102 *In chapter VI the principal effects that can induce divergences between the ideal apparatus signal and the experimental one, are analyzed and discussed. Fig. IV.3 Apparatus signal corresponding to the following values of the parameters of the Mueller polarimeter: α 2 = 22.5º, θ1 = 0º, θ 2 = 45º, δ 1 = δ 2 = 90º, g1 = g2 = 0.980. Fig. IV.4 Apparatus signal corresponding to the following values of the parameters of the Mueller polarimeter: α 2 = 0º, θ1 = 22.5º, θ 2 = 0º, δ 1 = δ 2 = 90º, g1 = g2 = 1. 103 Fig. IV.5 Apparatus signal corresponding to the following values of the parameters of the Mueller polarimeter: α 2 = 45º, θ1 = 0º, θ 2 = 90º, δ 1 = δ 2 = 90º, g1 = g2 = 1. IV.4. Computerized Fourier analysis of the recorded signal. In order to obtain the Fourier coefficients corresponding to a tabulated function u0(x) from a measurement record, we have used a similar algorithm to the proposed by A. Ralston and H. Wilf [46]. The required data by our subroutine for Fourier analysis are the following 1Entire value for N, so that there is an array of 2N + 1 distributed homogeneously inside the angular range as 2, 0,1,2,...,2 21 kkN N π = + (IV.40) 2Values of the function u(x) for 0 ≤ x ≤ 2π, arranged in intervals of 2π/(2N+1). 3Order M of the highest frequency harmonic in the Fourier series so that 0 ≤ M ≤ N. In our case, M = 14 and the minimum number of required data points is 2M +1 = 29. 104 Chapter V Dynamic method for the analysis of polarized light 105 The study presented in the precedent chapter can be particularized to obtain the Stokes vector associated with a light beam. We will see that this can be obtained by means of a calibration of the device for the wavelength of the beam and a record of the intensity signal of the light beam after passing through the analyzing branch of the instrument (composed of L2 and P2). V.I. Analysis device In section IV.I we have seen that the device for the determination of Mueller matrices, schematized in Fig. IV.I, can be considered as divided into two parts. One of them, which contains L2 and P2, is used for the analysis of the state of polarization of the light that passes through it. The scheme of the Fig. V.I. shows the device used for the obtainment of the Stokes parameters corresponding to the light beam under study. The Mueller matrix corresponding to the system formed by L2 and P2 is the matrix B given in (IV.7). Given an incoming light beam whose Stokes vector S is to be measured, the Stokes vector U corresponding to the light beam that emerges from the device is = UBS (V.1) and the intensity of the emerging light is given by 0 00 0 01 1 02 2 03 3 ubsbsbsbs = +++ (V.2) Fig.V.I: Scheme of the dynamic device for the analysis of polarized light. H: collimated beam of monochromatic light L2: rotatory retarder P2: linear polarizer C2: collector lens DT: detector RG: recorder 106 From (IV.7) and (V.2), and by using some trigonometric relations, we obtain [20] 001 1 2 2 sin cos sin 2 cos 2uAB A B A ω ωωω =+ + + + (V.3) where 2 2 ω ω = () () ( ) 020 2221222 1 11coscos2sin2 2 Aks kr s s δ θθ ⎡⎤ =+ + + + + ⎢⎥ ⎣⎦ () ( ) () 120221222 223 22 1 sin 2 sin 2 cos 2 2sin cos2 Bks s s rs θα α α δθα =− + + + −⎡⎤ ⎣⎦ −+ () ( ) () 120221222 223 22 1 cos 2 cos 2 sin 2 2sin cos2 Aks s s rs θα α α δθα =− + + − +⎡⎤ ⎣⎦ ++ () ( ) ( ) 2222122222 11 cos sin 2 2 cos 2 2 2 Bkr s s δθαθα ⎡⎤ =+− + ++ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ () () () 2222122222 11coscos22sin22 2 Akr s s δθαθα ⎡⎤ =+− + +− + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ (V.4) The two angular parameters θ 2, α 2 have not been specified in the previous expressions. In order to concrete, we will consider a Cartesian system of reference axes XYZ, so that the light propagates on the Z axis direction, and the polarization axis of the linear polarizer P2 coincides with the X axis. With this choice, θ 2 = 0, and α 2 being the angle formed by the fast axis of L2 and the axis X at the initial instant, the expressions (V.4) are transformed into () () 020 2221 1 11cos 2 Aks kr s δ ⎡⎤ =+ + + + ⎢⎥ ⎣⎦ () [ ] 120212222232 1 sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos2Bks s s rs α ααδα =− + + − () [ ] 120212222232 1 cos 2 cos 2 sin 2 2 sin sin 2Aks s s rs α αα δα =− + − + () [] 22221222 11cossin4cos4 2 Bkr ss δ αα ⎡⎤ =+− + + ⎢⎥ ⎣⎦ () [] 22221222 11coscos4sin4 2 Akr ss δ αα ⎡⎤ =+− + + ⎢⎥ ⎣⎦ (V.5) 107 By means of the Fourier analysis of the intensity signal U0, the Fourier coefficients of the series (V.3) can be obtained. If we know the parameters δ 2, k2, α 2, which are characteristic of the analysis device, it is easy to prove from (V.5) that the elements of the Stokes vector S corresponding to the light beam under study are () 222 2 1 22 2 sin 4 cos 4 11cos 2 BA skr α α δ + = +− () 2222 2 22 2 cos 4 sin 4 11cos 2 BA skr α α δ − = +− ( ) 121 2 22 3 22 sin 2 cos 2 1 2sin AB ks sr αα δ −−− = () 02221 0 2 11cos 2 1 Akrs sk δ ⎡ ⎤ −++ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =+ (V.6) V.2. Calibration A procedure to obtain the parameters δ 2, k2, α 2, is the obtainment of a record when a beam of X - linear polarized light falls on the device. In this case 1 1 0 0 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ S and the Fourier coefficients corresponding to the Fourier analysis of the intensity signal U0 are () 0 0222 31cos 2 A Akr f δ ′ == ++ () 1 122 21 sin2 B Bk f α ′ == − , () 1 122 21 cos2 A Ak f α ′ == − () 2 22222 11cossin4 2 B Bkr f δ α ′⎡⎤ == +− ⎢⎥ ⎣⎦ , () 2 22222 11coscos4 2 A Akr f δ α ′ ⎡⎤ == +− ⎢⎥ ⎣⎦ (V.7) 108 where the coefficients , ii AB ′′ are affected by a global scale factor f introduced by the instrument response. The parameters Z1, Z2, h, defined as ( ) 12 22 20 2 sin 4 cos 4 2 1 Z BAAfk αα ′′′ ≡++=+ ( ) 21 21 2 2 sin 2 cos 2 2 1 Z BA fk αα ′′ ≡+=− 21 hZZ = (V.8) let us to obtain δ 2, k2, α 2, f as follows 222 tan 4 B A α ′ ′ = ( ) ( ) 211khh = −+ () 1 2 21 Z fk =+ () 0 2 2 2 31 2 cos Ak f r δ ′ −+ = (V.9) To avoid indeterminations in the expressions (V.6) we have to impose the condition δ 2 ≠ 0, π As we have just seen, the calibration of the analysis device is obtained by the realization of a record with a beam of X - linear polarized light falling on the device. By means of the computerized Fourier analysis of the recorded signal, the Fourier coefficients are obtained, and from them we calculate the parameters of the device according to (V.9). The Fourier analysis of the signal is made in a similar way to that shown in section IV.5. The only difference is the existence of two harmonic terms, so that M = 2. Thus, the minimum number of data-points required by the computer program of Fourier analysis is 5. 109 V.3. Sensitivity of the apparatus signal with respect to the calibration parameters In order to appreciate the influence of the several calibration parameters in the apparatus signal we have studied it systematically by varying each of the calibration parameters, and fixing the remainder. Figures V.2, V.3 and V.4 show the recorded signal obtained by the variations of the parameters α 2, δ 2 and k2, respectively (dotted line), in relation with the apparatus signal corresponding to the values α 2 = 0º, δ 2 = 90º and k2 = 1 (continuous line). From them we deduce that a variation of the value α 2 implies a global translation of the signal (Fig. V.2 shows a variation of +3º in α 2); the decrease of the value δ 2 is followed by an increase of the minimums (Fig. V.3), but the increase of the value δ 2 produces a grater elongation of the signal. Finally, the variation of the parameter k2 generates a significant difference among the values for every two consecutive maximums (Fig. V.4). Fig. V.2: Apparatus signals corresponding to the following values of the parameters of the device for the analysis of polarized light a) Continuous line: α 2 = 0º, δ 2 = 90º, k2 = 1 b) Dotted line: α 2 = 3º, δ 2 = 90º, k2 = 1 116 In order to fix the origin of the detected signals, the electronic device schematized in Fig. VI.3 has been designed, which contains a coil where Foucault currents are induced when a conductor is moved near it. The coil is connected to a flip-flop system that transforms the peaks into a squared-signal. Fig. VI.3: Scheme of the electronic device for the determination of the origin and period of the recorded signals. Fig. VI.4: Scheme of the circuit used to polarize the detector photodiode Harsaw 38. Fixed to the cogged wheel CD2, there is a small cooper sheet (LC), which automatically activates the recorder when it passes by the place where the coil is. Thus, this device is periodically activated with the same period as the signal of the intensity of the light that falls on the detector DT. The period of time between two equivalent positions of the measurement device is T ~ 0.1 s. 117 We have used a photomultiplier Oriel 7060 as detector DT. It is necessary to decrease the laser light beam with the help of a neutral filter N and the diffuser DF so that DT works in linear response regime. Other detector also used is the photodiode Harsaw 38, polarized according to the circuit shown in Fig. VI.4. This kind of detector, although cheaper, introduce a certain level of continuous voltage over the detected signal. This level can be easily determined and must be subtracted from the recorded signal. The recorder used is a multichannel analyzer HP 648OB, which records the signal from the detector and starts the records according to the rhythm of the shoot electronic device DE. The work wavelength (λ = 632.8 nm) does not correspond to the optimum response zone of the photomultiplier used here, and thus we need to filter the random noise originated by the photons falling on it. This is made by means of a number of 28 signal scans, averaged with an algorithm of the multichannel analyzer. This number of scans has been considered adequate to obtain a signal/noise ratio high enough (s/N ≥ 100). We have used a computer HP2000 for the processing of the signal data. VI.2 Possible causes of errors in the measurements In this section we analyze the principal possible causes of errors in the measurements obtained with our experimental device. - Depolarization of the test light beam [2]. In the theoretical treatment of our dynamic methods of measurement, we haven’t taking into account the possible effect of depolarization of the test light beam produced by the several elements of the device, as the rotatory retarders and the linear polarizer P2. Small specks of dust or imperfections on the surface of the elements can produce diffraction of the light beam, and thus a slight effect of depolarization. - Deviations from the direction of the light beam The lack of perpendicularity of the surfaces of the elements with respect to the propagation direction of the light beam provokes a behavior of these elements different from the theoretically predicted. Otherwise, the angle of incidence over them and the polarizer P2 can change constantly, although periodically, because of the rotation of the retarders during the measurement. 118 We have yet said that the mechanism for the rotation in the retarders has a device for the adjustment of the perpendicularity of the retardation sheets respect to the propagation direction of light. However, it is no easy to make the adjustment with great perfection because of the fact that the sheets are not perfectly flat, with small inhomogeneities and a certain global curvature. Otherwise, a perfect adjustment is not desirable because it would produce an overlapping of the direct light beam with the several reflected beams, which would fall over the detector and would produce a deterioration of the quality of the signal. This overlapping is worse than a little defect on the perpendicularity of the retardation sheets [47, 48], which allows us the elimination of parasitic beams by means of diaphragms. The lack of perpendicularity between the retardation sheet L1 and the direction of light propagation has the consequence of a periodic variation of the orientation of the own axis respect to the impact plane, with the same period of the signal T = 2π/ ω 1. This provokes that the effective values δ 1 and k1 also vary periodically. The effect produced by the rotation of L2 is more complicated, because the light beam that falls on it varies its angle respect to the axis Z with a period 2π/ ω 1 and the orientation of the own axis of L2 respect to a fixed axis varies with a period T2 = 2π/ ω 2 = 4π/5 ω 1 = 2T/5. And thus, as 2 T = 5 T2, the situation is repeated with a double period for each signal. One way to estimate the influence of this phenomenon, and to adjust the tilt of the retarders so that we obtain a minimum influence, is to check visually, on the screen of the multichannel, the differences in the shape of two consecutive periods. - Multiple internal reflection in L1 and L2 This effect is included in the theory, by considering the retarders L1 and L2 as non ideal. The effective values of δ 1, δ 2, k1 and k2 are obtained by means of the calibration. - Imperfections on the mechanical device. The mechanism for the rotation of the sheets is subject to vibrations during the measurements and it can produce some disruption reflected in the results. - Calibration errors. We must carefully calibrate the device because the errors in the characteristic parameters are transmitted systematically to all the measurements. - Detection errors. 119 The dependence of the sensitivity of the detector with the polarization of the light does not become apparent, because the position of the polarizer P2 remains fixed during each measurement. However, we must be sure that the detector is working on its linear response zone. - Errors produced during the processing of the data. We have seen that the errors produced in the process of the computerized calculations are of the order of 0.05 % [22] and, as we will see in the next chapter, the introduction of a high number of data-points of the recorded signal in the Fourier analysis subroutine does not give us advantages in the quality of the measurements. VI.3. Computerized data processing Each record obtained with the multichannel analyzer is composed of 1000 datapoints, where approximately 713 correspond to a complete period of the recorded signal. By connecting the computer with a digital voltmeter and the multichannel analyzer we can insert the data by means of an interface HP-IB (mod. 82937 A), or we can also connect the computer with the detector. Once in the computer, the data are stored in files. There are four types of programs for the treatment of these data. - MAPAR program for the treatment of apparatus signals obtained with the device for the determination of Mueller matrices. - MEREL program for the treatment of the signal corresponding to the studied optical media. - MEPOL program for the treatment of apparatus signals obtained with the device for the analysis of polarized light. - STOKES program for the treatment of signals corresponding to studied beams of light. VI.3.1. MAPAR program The aim of this program is the obtainment of the calibration parameters of the device for the determination of the Mueller matrices. 120 Required data: - Name of the data file corresponding to the apparatus-signal to be processed. - Number NP of data-point to be inserted into the subroutine for the Fourier analysis. - Continuous level introduced in the signal by the detector, if it exists. The MAPAR program has three parts: -MAPAR.1. - By means of a linear interpolation, NP data points are selected among the total inserted in the file. This interpolation is justified by the relative proximity between two data-points of the record, and it needs 2NP datapoints, from which are calculated the NP interpolated data. -MAPAR.2. - The interpolated data-points are inserted into the subroutine AJTE of Fourier analysis, and the Fourier coefficients Ai, Bj are obtained. -MAPAR.3. - The characteristic parameters of the device δ 1, δ 2, k1, k2, θ 1, θ 2, α 2 are calculated from the Fourier coefficients Ai, Bj,. It is easy to observe that none of these parameters depend on the scale factor that affects the signal. VI.3.2. MEREL program This program is used to obtain the Mueller matrix M associated with the measured optical system. Required data: - Name of the data file corresponding to the signal to be processed. - Number NP of data-point to be inserted into the subroutine for the Fourier analysis. - Continuous level introduced in the signal by the detector, if it exists. - Values of the parameters δ 1, δ 2, k1, k2, θ 1, θ 2, α 2. 121 The MEREL program has three parts or subprograms. MEREL.1 and MEREL.2 are analogous to MAPAR.1 and MAPAR.2. -MEREL.3. - From the coefficients Ai, Bj, calculated in MEREL.2, the elements mij of the Mueller matrix M are calculated. These elements are obtained by means of the expressions (IV.20), and are affected by a unique factor, related with the scale factor of the signal. The program gives as a result the Mueller matrix MN, normalized as 00 m = N MM The programs MAPAR and MEREL are prepared to represent graphically the signal points. VI.3.3. MEPOL and STOKES programs The aim of the MEPOL program is analog to the MAPAR one, and the type of required data is the same. The MEPOL program let us make a calibration of the device for the analysis of polarized light, by calculating the parameters δ 2, k2, α 2 with the equations (V.9). The Stokes program is analog to MEREL and let us to obtain the Stokes vector S associated with the studied light beam. This vector is obtained by normalizing S so that s0 = 1. 122 Chapter VII Calibration and some results 123 In this chapter we present the experimental results corresponding to the calibration of the Mueller and Stokes polarimeters as well some measurements of Stokes vectors and Mueller matrices. These results are analyzed and discussed with the help of several relations and theorems included in chapters II and III. The calibration measurements are compared with the ideal theoretical results, so that the precision of the instrument is studied and compared with the obtained by means of other kind of methods and dynamic and static measurement devices. The experimental assemblies used for the analysis of polarized light and the determination of Mueller matrices are described in the previous chapter. All the results presented in this chapter have been obtained from intensity signals detected by a photomultiplier and recorded by making an average of 28 scans with the multichannel analyzer, as indicated in chapter VI. VII.1. Determination of Stokes parameters VII.1.1. Calibration According to the expressions (V.9) we have made a calibration of the device used for the determination of Stokes parameters. In the data processing made by the computer we have seen that the obtained values for the Fourier coefficients do not change significantly for different numbers of data-points. The measured Fourier coefficients are 05.804A′=, 11 0.088, 0.066AB ′′ =− =− , 22 0.834, 1.902AB ′ ′ = = (VII.1) which lead to the following parameters of the device 222 106.6º 90.0º 0.974k α δ === (VII.2) In order to make an estimation of the error produced during the calculation of the Stokes parameters we have considered that the coefficients (VII.1) correspond to the studied light beam, instead of assuming that the incoming light is linearly polarized along X direction. By considering (VII.2) as data we obtain the Stokes vector S corresponding to the beam by means of (V.6). The measured vector components are 124 01.000s=, 11.000s = , 20.000s = , 30.002s = − (VII.3) The degree of polarization of the light beam is 1.000G = (VII.4) The results (VII.3-4) must be compared with the ideal values s0 = s1 = 1, s2 = s3 = 0, G = 1. Fig. VII.1 shows the intensity signal obtained experimentally (dotted line) and the ideal theoretical signal corresponding to the values (VII.2) (continuous line). Fig. VII.1: Calibration apparatus-signal of the Stokes polarimeter with values α 2 = 106.6º, δ 2 = 90.0º, k2 = 0.974. Experimental signal (dotted line) versus ideal theoretical signal for the same values (continuous line). VII.1.2. Elliptical polarization To illustrate the behavior of the Stokes polarimeter we have analyzed a light beam with a certain state of elliptical polarization. In this particular case, the obtained Fourier coefficients are 01.844A = , 11 0.889, 1.313AB=− = , 22 0.141, 0.282AB = −= (VII.5) 125 which correspond to the following Stokes parameters 01.000s=, 10.231s = , 20.275s = , 30.930s = (VII.6) The degree of polarization of the light beam is 0.997G = (VII.7) In Fig. VII.2 we see the shape of the recorded intensity signal. Fig. VII.2: Experimental signal corresponding to an elliptically polarized light beam with Stokes parameters s0 = 1.000, s1 = 0.231, s2 = 0.275, s3 = 0.930. VII.2. Determination of Mueller matrices VII.2.1. Calibration We have made a calibration of the Mueller polarimeter as indicated in section IV.2. The Fourier coefficients are obtained from the analysis of the calibration signal 132 VII.2.3. Commercial linear polarizer In this case we have considered a Polaroid HN42 commercial linear polarizer as the sample under measurement. The measured Mueller matrix MP for a certain orientation of the polarization axis of the polarizer respect to the reference axes of the polarimeter is 1.000 0.856 0.668 0.018 0.864 0.685 0.520 0.007 0.675 0.534 0.413 0.003 0.007 0.045 0.015 0.005 −−− ⎛⎞ ⎜⎟ −− ⎜⎟ =⎜⎟ −− ⎜⎟ −−− ⎝⎠ P M (VII.22) The measured values of the norm and indices corresponding to MP are M2.033, 0.976, 0.897, 0.917 DPP GGG Γ ′ ′′ ==== (VII.23) If the small effect of depolarization is neglected and considering that, according to (VII.22), () 12 222 01 02 03 00 ,mmm m≈++≈ T PP MM ; then, in agreement with section III.4, the matrix MP corresponds to a polarizer with parameters 0.0º, 19.0º, 0.041k δ ν == = (VII.24) These results indicates that this system is a linear polarizer ( δ = 0º). In Fig. VII.7, where the intensity signal corresponding to MP is represented, we can see that (except for slight differences) the signal is doubly periodic. This is a characteristic property for systems whose last element is a total linear polarizer. 133 Fig. VII.7: Experimental signal corresponding to a linear polarizer with parameters ν = 19º, k = 0.041. VII.2.4. System of two linear retarders. We have obtained the Mueller matrix associated with a system composed of two Polaroid commercial quarter-wave linear retarders for a wavelength λ = 598 nm. For a certain position of the axes respect to the reference ones, the measured matrix is 1.000 0.002 0.001 0.031 0.008 0.659 0.057 0.850 0.004 0.320 0.905 0.215 0.044 0.759 0.375 0.507 − ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ =⎜⎟ −− ⎜⎟ −− ⎝⎠ 2L M (VII.25) so that M2.026, 0.982, 0.045, 0.031 DPP GGG Γ ′ ′′ ==== (VII.26) These results indicate that the behavior of the system is similar to the behavior of an elliptic retarder with parameters 151.2º, 25.7º , 4.3º ω ψ Δ= = =− (VII.27) The ratio k between the principal coefficients of intensity transmission is 134 0.938k = (VII.28) which tells us that the effect of partial polarization is bigger now than in the case with one retarder of the same kind. The intensity signal corresponding to ML2 is represented in Fig. VII.8. Fig.VII.8: Experimental signal corresponding to a system with two linear retarders equivalent to an elliptic retarder with parameters Δ = 151.2º, ω = 25.7º, Ψ = -4.3º, k = 0.938. VII.2.5. System with three linear retarders The Mueller matrix experimentally obtained for a system composed of three commercial linear retarders of the same kind as the analyzed in section VII.2.2, for a certain orientation of its own axes respect to the reference ones is 3 1.000 0.035 0.019 0.014 0.002 0.619 0.205 0.777 0.048 0.817 0.163 0.607 0.032 0.027 0.990 0.313 − ⎛⎞ ⎜⎟ −− ⎜⎟ =⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎝⎠ L M (VII.29) from where 135 M2.043, 0.970, 0.042, 0.062 DPP GGG Γ ′ ′′ ==== (VII.30) The matrix M3L approximately corresponds to an ideal elliptic retarder with parameters 87.2º, 15.4º, 12.9º ω ψ Δ= = = (VII.31) The effect of partial polarization, which produces a behavior different than the one of an ideal retarder, is given by 0.919k = (VII.32) The shape of the intensity signal corresponding to this case is shown in Fig. VII.9. Fig. VII.9: Experimental signal corresponding to a system with three linear retarders equivalent to an elliptic retarder with parameters Δ = 87.2º, ω = 15.4º, Ψ = 12.9º, k = 0.919. If light passes through the same system in the reverse direction we obtain the following matrix 136 3 1.000 0.008 0.014 0.028 0.029 0.594 0.854 0.056 0.017 0.200 0.259 0.977 0.008 0.807 0.535 0.309 −− ⎛⎞ ⎜⎟ −− ⎜⎟ ′=⎜⎟ −− ⎜⎟ −− ⎝⎠ L M (VII.33) which approximately corresponds to an elliptic retarder given by 85.3º, 15.9º , 13.1º ω ψ Δ= =− = (VII.34) These results are in agreement with the reciprocity theorem T12 (in the formalism SMF). If the direction of the light through the optical medium is reversed, the obtained Mueller matrix M3L’ must satisfy the relations (II.76) and (II.77) respect to M3L. Thus, as expected, the parameters Δ , ω are similar to the obtained in (VII.31), and the sign of Ψ in (VII.34) is opposite to the sign of Ψ in (VII.31) but with approximately the same value of the modulus. According to the reciprocity theorem TR, the differences between the values (VII.35) and (VII.36) respect to the corresponding to (VII.29) and (VII.31), can be due to a lack of perpendicularity of the sample, and to an inexact reciprocity because of the internal reflections whose effect can be distinguished according to the direction of the light through the system. VII.2.6. System composed of a polarizer and a retarder. We have applied the Mueller polarimeter to the study of a system composed of a Polaroid HN42 linear polarizer and a Polaroid linear retarder with nominal retardation value 140 ± 20 mμ for λ = 560 nm. For a certain orientation of the eigen-axes of the retarder and polarizer respect to the reference axes we have measured the following Mueller matrix 1.000 0.861 0.426 0.188 0.935 0.816 0.403 0.201 0.315 0.280 0.156 0.018 0.009 0.001 0.012 0.008 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ LP M (VII.35) from where 137 M1.974, 0.982, 0.985, 0.977 DPP GGG Γ ′ ′′ ==== (VII.36) The application of the theorem T8 together with (III.26) or (III.36), gives us the following parameters for the equivalent system 12 85.4º, 1.7º , 9.3º , 21.9º, 0.033 LP k ν ξ Δ= Δ= = = = . (VII.37) Taking these results to the expression (III.23) we see that the system behaves as the following ()( ) ( ) 12 () , 0, ( ) 0, LP k γξ ν Δ−ΔRL P R L and taking into account that 20, γ ν Δ ≈≈, we see that we have a linear retarder and a linear polarizer whose axis of polarization has an angle ζ with the fast axis of the retarder, and an angle – ν with the X axis of reference. The light beam passes first through the retarder, and then through the polarizer, and the matrix MLP can be expressed as follows ( ) ( ) 1 () 0, , () LP k ν ξν =− Δ LP R P L R MM M M M (VII.38) The intensity signal corresponding to MLP is shown in Fig. VII.10, and it can be observed that the total period of the signal is formed by two almost equal semi periods. This fact occurs when the last element of the analyzed system is a total polarizer. 138 Fig. VII.10: Experimental signal corresponding to a system composed of a linear polarizer and a linear retarder categorized as L (31.2º, 85.4º) P (9.3º, 0.033). To check the quality of the results we have made another record with an inverse order of the elements and reversing their orientations respect to the reference axis. The measured matrix is 1.000 0.843 0.587 0.029 0.876 0.733 0.503 0.042 0.486 0.393 0.281 0.020 0.199 0.145 0.121 0.008 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ PL M (VII.39) The application of the theorem T9 together with the expressions (III.15), takes us to an equivalent system categorized as ()() ,, LP k α θδ PL so that ( ) ( ) ,, LP k θδ α = LP L P MM M (VII.40) where 87.0º , 32.0º, 17.4º, 0.026 LP k δ θα === = (VII.41) 139 The value of δ in (VII.41) corresponds to the value of Δ 1 in (VII.37). The difference between the values is not necessarily caused by a lack of precision in the measurements, because in (VII.38) and (VII.40) we have supposed an ideal retarder. In Fig. VII.11 we see the graphic of the intensity signal corresponding to MPL, in which is observed that the number of maximums and their positions are the same as in Fig VII.9, corresponding to MLP. Fig. VII.11: Experimental signal corresponding to a system composed of a linear polarizer and a linear retarder categorized as P (17.4º, 0.026) L (32.0º, 87.0º). VII.3 Discussion Among the static methods for the analysis of polarized light we can emphasize the techniques of null ellipsometry. These techniques get a precision of the order of 0.01º in experimental measurements of angular parameters [2]. However, these techniques are not useful for the determination of Mueller matrices [23]. Some authors have proposed dynamic devices for the determination of Mueller matrices, but there are few references about the development and experimental building of such devices. In this sense it is worth mentioning the work of Thomson et al. [24], in which is described a device with four electro-optic modulators. The calibration operation of this device requires the use of several tests, with certain combinations of polarizers and retarders whose properties are previously known. 140 The precision cited for the measurements obtained with such device is of order of 3%. The experimental results obtained with our device let us estimate a precision better than 1% in the values of the elements of the Mueller matrices. 141 Chapter VIII Conclusions