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UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
Dp o. de Álgeb a, Análisis Ma emá ico, Geome ía y
Topología
TITULO SOBRE LA EVOLUCION DE LA
PRACTICA DE LA REALIZACIÓN DE
DEMOSTRACIONES DE RESULTADOS
EN GEOMETRIA EN ENSEÑANZA
SECUNDARIA Y BACHILLERATO
T abajo Final del Más e Uni e si a io de P o eso en Educación
Secunda ia Obliga o ia y Bachille a o, Fo mación P o esional y
Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Ma emá icas.
Alumno: Vidal Vegas Manchado
Tu o : Fe nando Sanz Sánchez
Valladolid, julio del 2024
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Tabla de con enido
1. PREFACIO ................................................................................................................... 3
1.1 No as. ...................................................................................................................... 4
2. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 4
3. PROBLEMAS DEL ALUMNADO CON LAS MATEMÁTICAS.............................. 5
3.1 INFORME PISA 2022 ............................................................................................ 5
3.2 INFORME TALIS 2018 ....................................................................................... 17
4. REFLEXIONES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
Y SECUNDARIA ........................................................................................................... 23
4.1 MARCO TEÓRICO PRINCIPIOS DEL APRENDIZAJE DE LA MATÉMATICA
DE DIENES ................................................................................................................ 27
4.2 DEFINICION METODOLOGIA DE NIVELES DE VAN HIELE PARA
ANALIZAR EL CONTENIDO EDUCATIVO. ......................................................... 28
4.3 NIVELES DE VAN HIELE.................................................................................. 29
4.3.1 PRIMER NIVEL. RECONOCIMIENTO ..................................................... 30
4.3.2 SEGUNDO NIVEL. ANÁLISIS ................................................................... 30
4.3.3 TERCER NIVEL. CLASIFICACIÓN .......................................................... 31
4.3.4 CUARTO NIVEL. DEDUCCIONES FORMALES ..................................... 32
4.4 DEPENDENCIA DE LOS NIVELES .................................................................. 33
5. GEOMETRIA EN EL CURRICULO DE LA LEY VIGENTE (LOMLOE) ............. 34
6. RELACIÓN ENTRE VAN HIELE Y EL CONTENIDO DEL PROGRAMA
EDUCATIVO CON RESPECTO A LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ......... 48
6.1 1º, 2º, 3º y 4º ESO ................................................................................................. 50
6.2 COMPETENCIAS ESPECIFICAS COMO SISTEMA DE EVALUACION DE
LA LOMLOE ............................................................................................................. 51
7. DIFICULTADES Y ERRORES MANIFESTADOS POR ESTUDIANTES DE ESO
(Po Ma ía Pé ez P ados, Uni e sidad de Na a a) ....................................................... 52
7.1 1º DE ESO Resumen ............................................................................................ 52
7.2 PROPUESTA DE TEMA. CONTENIDO GEOMÉTRICO EN EL LIBRO DE
TEXTO DE REFERENCIA. ...................................................................................... 53
7.3 CONTENIDO GEOMETRICO EN EL LIBRO DE TEXTO DE REFERENCIA
.................................................................................................................................... 53
7.4 OBJETOS MATEMÁTICOS INVOLUCRADOS ............................................... 55
7.5 LENGUAJE .......................................................................................................... 56
7.6 SITUACIONES .................................................................................................... 61
8. ANALISIS GLOBAL DEL LIBRO DE REFERENCIA. CONTENIDO
GEOMÉTRICO Y ALGEBRAICO ................................................................................ 68
8.1 Obje os ma emá icos in oluc ados ....................................................................... 69
3
9. ANALISIS DE UN PROBLEMA DEL LIBRO DE CLASE ..................................... 70
10. CONCLUSIONES .................................................................................................... 71
11. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 74
1. PREFACIO
Los conocimien os adqui idos du an e el Más e de P o eso ado especialidad ma emá icas, han
sido aplicados en la ealización de es e abajo de obligado cumplimien o impa ido po pa e de
la Uni e sidad de Valladolid du an e el cu so 2023-24. Tiene una ca ga de 6 c édi os del o al
que suponen el Más e .
En su elabo ación, se ha con ado con la di ección del P o eso D . Fe nando Sanz
Sánchez, pe enecien e al depa amen o de Dp o. de Álgeb a, Análisis Ma emá ico, Geome ía y
Topología.
Los conocimien os impa idos en es e Más e de P o eso ado an di igidos a
licenciados, ingenie os, a qui ec os o g aduados que deseen o ma se pa a se p o eso es de
Educación Secunda ia, Bachille a o y Fo mación P o esional y es a o mación a anzada
o ien ada a la especialización p o esional les habili e como p o eso de los ni eles educa i os
mencionados an e io men e.
Po es a azón el TFM es á o ien ado como aplicación de los conocimien os adqui idos
du an e el cu so de es e más e . Pa a ello en e las posibilidades suge idas po el coo dinado de
es e Más e , se ha op ado po un es udio-in es igación sob e el ni el académico de los alumnos
en el campo de la geome ía ya que pa e del p o eso ado de ma emá icas es á no ando una
bajada del ni el de conocimien os del alumnado en es e campo. Es as ca encias se es án
llegando a de ec a en ca e as de ciencias, ingenie ía y a qui ec u a en los p ime os años de
uni e sidad. A suge encia del u o , se ha op ado po es a línea de abajo en el que in en a emos
e si exis en ca encias de conocimien os en ma emá icas aplicadas a la geome ía en e los
alumnos de secunda ia, e qué ni el de conocimien os y que ocabula io ma emá ico aplicado
a la geome ía iene el alumno, a e igua las causas de es as ca encias y pode ealiza un
adecuado diagnós ico con el que pode ayuda le.
Po es a azón hemos decidido di idi es e abajo en 4 pa es, P og amación didác ica
del cu so, ema io docen e del p o eso , conocimien os del alumno (ni el académico) y Análisis
de un lib o de e ue zo de ma e ia, en es e caso de geome ía.
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1.1 No as.
¿Cómo, que écnicas y azonamien os dan pa a impa i la geome ía como base de docencia de
p incipios algeb aicos?
¿Qué con enido debe ía impa i se?
¿Psicología del alumno, edad de abs acción?
Cues iona io ¿Qué da os son e icaces?
Consul a a p o eso es dis in os pun os de is a de docencia de geome ía ma emá ica
Fomen a el ap endizaje la cu iosidad y el pensamien o y azonamien o geomé ico.
Docencia y a gumen ación de concep os geomé icos.
2. INTRODUCCIÓN
Uno de los p incipales p oblemas que se encuen an algunos p o eso es de Uni e sidad, de
ins i u o y pad es con espec o a alumnos e hijos es el bajo ni el de lenguaje ma emá ico
aplicado a la geome ía y al algeb a. Esas ca encias pa ece que son a as adas a lo la go de oda
su ida académica, lo que supone un es ue zo ex a pa a el alumno que decide cu sa una
ca e a écnica. Incluso esa incapacidad de comunica se con un lenguaje ma emá ico aplicado a
la geome ía pod ía con e i se en un “hándicap” a la ho a de e alua las e dade as
capacidades ma emá icas que ealmen e posee el alumno, po ejemplo, que un alumno sepa
esol e an o p oblemas ma emá icos como geomé icos pe o que a la ho a de desc ibi lo con
un lenguaje ma emá ico an o o al como esc i o se ea limi ado o con ca encias a la ho a de
ansmi i esa in o mación. Es o us a al alumno como a su en o no acomplejando al p ime o,
así como minus alo ando al alumno po pa e de los segundos.
Pa a es a enc ucijada necesi amos una base educa i a que nos pe mi a un p o undo análisis de
es a si uación con el in de pode es ablece una se ie de hipó esis que podamos pone a p ueba
median e la expe imen ación y una ez ob enidos los esul ados, es ablece las e dade as
azones de las ca encias de lenguaje Ma emá ico-Geomé ico. Una ez ealizado el
“diagnos ico” se pod ía, al menos, es ablece un a amien o con el in de que el alumno mejo e
es a ace a académica an impo an e.
Como Ma co Teó ico, es udia emos es e enómeno o p oblema del alumnado desde los
PRINCIPIOS DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS DE DIENDES, y usa emos
como me odología pa a el ap endizaje a los amosos NIVELES DE VAN HIELE lo que nos
pe mi i á ealiza una posible hipó esis de la casuís ica de es os p oblemas del alumnado e
incluso su o igen.
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Palab as cla es
Lenguaje, lenguaje ma emá ico, conocimien o, ap endizaje, didác ica, me odología Van Hiele,
cu ículo, compe encias cla e y especí icas, con enidos.
3. PROBLEMAS DEL ALUMNADO CON LAS MATEMÁTICAS
Pe o an es de empeza con es e análisis, p ime o debemos sabe cuál es la si uación ac ual del
alumnado y del p o eso ado con espec o a las ma emá icas y pa a ello nos basa emos en el
p og ama pa a la E aluación In e nacional de los Es udian es, In o me Pisa 2022 pa a España y
del in o me TALLIS 2018 Es udio in e nacional de la enseñanza y el ap endizaje. Con es e
in o me nos ha emos una idea que cual es la si uación del alumnado español y de sus
p o eso es.
3.1 INFORME PISA 2022
Reco demos que el in o me PISA 2022 es ealizado po alumnos de en e 15 y 16 años y que
es as e aluaciones se hacen sob e una mues a de 690000 es udian es a lo la go de 80 países.
Nos cen a emos en la e aluación en ma emá icas ya que es en la que ocalizamos nues o
in e és. Según PISA la compe encia ma emá ica es la capacidad de azona ma emá icamen e y
de o mula , emplea e in e p e a las ma emá icas pa a esol e p oblemas en una a iedad de
con ex os de la ida eal. Según el Ma co de e aluación de ma emá icas, se de inen 4 p ocesos:
azona , o mula , emplea e in e p e a y e alua . Sob e es a escala de endimien o global, se
elabo an cua o subescalas, una po cada p oceso. En el p oceso de azonamien o subyacen los
es p ocesos es an es.
 Fo mula , los es udian es iden i ican los concep os e ideas ma emá icas p esen es en
p oblemas eales y elabo an una es uc u a ma emá ica.
 Emplea concep os, hechos y p ocedimien os ma emá icos, donde los es udian es
demues an su capacidad de aplica las he amien as p ecisas pa a esol e p oblemas
o mulados y da conclusiones ma emá icas.
 In e p e a y e alua esul ados ma emá icos donde los alumnos demues an su
capacidad de e lexión sob e posibles soluciones e in e p e a las en el con ex o del
p oblema eal, lo que implica de e mina si los esul ados son azonables
ma emá icamen e.
Den o de cada p oceso enemos a su ez una subescala de endimien o en ma emá icas
compues a de:
 Can idad, se e ie e a núme os y es imaciones, cuan i icación, comp ensión de di e sas
ep esen aciones de la cuan i icación, in e p e aciones y a gumen aciones con espec o
la can idad.

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 Ince idumb e y da os, que econoce el luga de la a iación en el mundo eal, dando
un sen ido cuan i icable de esa a iación y econociendo la ince idumb e y el e o .
 Cambio y elaciones, comp ende ipos undamen ales de cambio y econocimien o de
los mismos pa a aplica modelos ma emá icos ele an es pa a desc ibi y p edeci el
cambio, además de la c eación e in e p e ación de las elaciones ma emá icas
 Espacio y o ma, á ea de la geome ía que incluye modelos, p opiedades de obje os,
isualizaciones espaciales, ep esen aciones de obje os, in e acción dinámica con
o mas eales y con ep esen aciones, mo imien o, desplazamien o y la habilidad de
an icipa acciones en el espacio.
Los p ocesos ma emá icos en PISA ienen luga en con ex os que a an de e leja el mundo
eal y pa a ello usamos los con ex os;
 Pe sonal (indi idual, amilia , g upo de amis ades)
 Ocupacional ( ela i o al mundo labo al)
 Social ( e e ido a la comunidad a dis in os ni eles, local, nacional o global)
 Cien í ico (aplicación de las ma emá icas al mundo na u al y al écnico)
Ilus ación 1 Relación en e los p ocesos, con enido y con ex os del ma co de las
ma emá icas
Pa a no da más de alles de los necesa ios solo di emos que los esul ados de las p uebas se
ep esen an sob e una escala numé ica de una pun uación que pe mi e la compa ación en e los
países y, a escala empo al, en e los ciclos an e io es del es udio y el ac ual de 2022.
Como obse a emos en las siguien es ablas, en la abla de endimien os medios es imados en
dominio de con enido de ESPACIO Y FORMA ( igu as 2.13.a y 2.13.b, sie e páginas más
adelan e), España cae po debajo de la media p omedio de la UE y de la OCDE, lo que nos hace
sospecha que al ez sí que haya un p oblema ele an e en ese campo de las ma emá icas
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aplicadas a la geome ía. Pa a o ien a nos, si obse amos como e e encia las cali icaciones de
Po ugal, po ejemplo, no se des ían mucho de la media, incluso si enemos en cuen a sus
cali icaciones en espacio y o ma.
Reco demos que los esul ados de las p uebas se p esen an sob e una escala numé ica
de una pun uación que pe mi e la compa ación en e países y, a escala empo al, en e
los ciclos an e io es del es udio y el ac ual de 2022. PISA documen a la di icul ad de las
p egun as, el conocimien o y des ezas de los es udian es en una escala con inua de
endimien o basado en el modelo de la eo ía de espues as al Í em. Es deci , es una
escala de 6 ni eles de di icul ad donde las p egun as de p ime ni el son de una
di icul ad baja con un al o po cen aje de es udian es que son capaces de lle a a cabo
a eas de dicho ni el o po encima. Según el po cen aje de alumnos que son capaces de
con es a adecuadamen e las p egun as de es e ni el, se les adjudica un ni el de
endimien o. Po ejemplo, solo el 8,7% de los alumnos son capaces de esol e las
a eas de ni el 5, po lo que el lími e in e io de pun uación es de 607 que se á la
pun uación que se le o o gue. os es udian es pueden elabo a y abaja con modelos
pa a p oblemas complejos, iden i icando e imponiendo lími es y especi icando
p esuposiciones. Pueden aplica es a egias sis emá icas y bien con igu adas de
esolución de p oblemas pa a emp ende a eas más di íciles, como decidi cómo
acome e un expe imen o, diseñando el p ocedimien o óp imo, o abajando con
isualizaciones más complejas que no apa ecen en la a ea. Demues an una des eza
c ecien e pa a esol e p oblemas cuyas soluciones equie an inco po a un
conocimien o ma emá ico que no se ecoge explíci amen e en la a ea. Re lexionan
sob e su ac i idad y conside an los esul ados ma emá icos espec o al con ex o del
mundo eal.
La Pun uación se escala según una dis ibución no mal.
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3.2 INFORME TALIS 2018
Con espec o a la si uación del p o eso ado, den o de las limi aciones a la ho a de aba ca odos
los ac o es que in e ienen den o del p oceso de enseñanza, pa a es e apa ado solo end emos
en cuen a una se ie de ac o es que, a nues a conside ación nos esul an más de e minan es a la
ho a de in lui den o de la educación ma emá ica y son;
 P oblemas que obs aculizan la calidad de la enseñanza.
 Expe iencia del docen e.
 Fo mación del docen e
 Dis ibución de los iempos den o del ámbi o de la docencia.
 Ra io de P o eso es/pe sonal de apoyo en la docencia
 Ra ios es udian es/p o eso
Cuad o del in o me Talis (2018) 1
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Cuad o del in o me Talis (2018) 2
La expe iencia del p o eso ado es á po encima de la media eu opea y de la OCDE, es ando po
encima de países pun e os como Japón, pe o ambién debido a un unciona iado de docen es
en ejecidos. Lo que nos queda en esumen es que en España el 50% de los docen es de p ima ia
ienen más de 15 años de expe iencia docen e, mien as que el 50% de secunda ia iene más de
17 años de expe iencia. Como e emos más adelan e, los a ios de p o eso /alumno an o en
España como en los países pun e os en el in o me PISA 2022 son iguales pe o lo cie o es que
en muchos cen os de España no se suelen cumpli , las ho as lec i as de los p o eso es
españoles son mayo es, los medios con los que cuen a el p o eso ado español son meno es, en
Asia y pa e de Eu opa la igu a del p o eso es espe ada mien as que en España hay
p eca iedad y los sueldos po compa ación son bajos y ecien emen e los cu sos de capaci ación
desde ca e as écnicas, licencia u as, diploma u as y demás se acaban de p o esionaliza a
a és de un Mas e de un año po lo que en el aspec o de la docencia el p o esional ecién
inco po ado necesi a á más o mación y expe iencia.
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Cuad o del in o me Talis (2018) 3
O o ac o pa a ene en cuen a es la dis ibución de los iempos en la docencia di ec a y en lo
que no es docencia di ec a, éase en la p epa ación de las clases, euniones y a eas
adminis a i as, a eas elacionadas con el cu ículo y la ac i idad docen e, elación con el
alumnado, con las amilias....
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Cuad o del in o me Talis (2018) 4
Cuad o del in o me Talis (2018) 5
An es de p osegui con el siguien e ac o a ene en cuen a que es la a io es udian e/p o eso
hay que ecalca que es un elemen o de al a con o e sia con espec o a la calidad de la
educación. En la educación p ima ia no se ag upan a los alumnos po capacidades po lo que se
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a an de g upos homogéneos. En las ablas de a con inuación e emos g andes di e encias po
países. Incluso en e comunidades au ónomas e emos a ios muy bajas an o en Cas illa y
León, así como en el P incipado de As u ias, debido a la dispe sión u al pe o donde se ob ienen
al as cuali icaciones en el in o me PISA, aunque ambién emos muy buenas cali icaciones en
Japón y Co ea y sus a ios alumno/p o eso son peo es. Tal ez al a a se de sociedades con un
mayo ni el de bienes a y donde impe a la cul u a del espe o al docen e, a los compañe os, a la
sociedad en gene al y con clases ex aescola es y de e ue zo donde el alumno se acos umb a a
la con i encia con compañe os desde pequeño, es o pe mi e aumen a las a ios de
alumnos/p o eso sin que la educación se ea muy comp ome ida, aunque la con lic i idad en el
aula puede se mayo .
Debo ma iza que las e aluaciones de las elaciones es udian es-docen es an o en p ima ia
como en secunda ia, según los da os ecogidos en el in o me TALIS 2018 son an buenas en
España como en los países con mejo es pun uaciones po ejemplo Japón o Co ea.
Lo que ambién hay que alo a es que una de las ca ac e ís icas más no ables de países que
lide an los ankings de educación como el in o me PISA , países asiá icos como Singapu ,
Japón, Co ea del Su y China, suelen concu i a ins i uciones complemen a ias ue a del
ho a io escola , de hecho como se ecoge en un epo aje de In obae <<Los es udian es asiá icos
son los que más ho as dedican al es udio y log an mejo es esul ados>> ci ando la espues a
que le dio un alumno de 17 años de la escuela de Robó ica de Seúl al esc i o And és
Oppenheime “ Me le an o a las 6:30 de la mañana, desayuno y a las 8:00 empiezan las clases.
Es udio en la escuela has a las 4:00 de la a de, y de lunes a jue es en e las 4:10 y las 20:00 oy
a un ins i u o p i ado. Po lo gene al, en la noche hago mis a eas escola es, has a las 11:00 de la
noche. Pe o a eces has a la 1:00 de la mad ugada. Eso es muy no mal aquí. Todos es udiamos
así. Yo es udio un p omedio de 16 ho as po día”. Hay una cul u a de ho as ex acu icula es,
sob e odo en Japón donde la dedicación se le conside a una i ud. Aun así, muchos países
es án cambiando esa iloso ía po ejemplo en Singapu donde se ha implan ado la máxima
“Enseña menos, ap ende más” donde se ha plan eado una educción del cu ículum o mal y
qui a les ca ga a los alumnos que aun así siguen yendo a escuelas complemen a ias. De es a
mane a se enseña con mayo p o undidad. En es os países p edomina la cul u a del es udio y del
es ue zo gene alizado lo que se aduce en docen es muy bien pagados y con una al a o mación,
en Co ea la p o esión de maes o es una de las más p es igiosas de odas”.
Pe o ambién encon amos da os disc epan es en el in o me PISA pues en países como Es onia
el año escola cons a de 175 días, nada que e con los 201 días que ienen en Japón, pe o en
Es onia como en Japón ambién ienen clases ex aescola es solo que en Es onia se impa en en
el mismo cen o donde an a clase, lo que posibili a la conciliación amilia como hecho

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inculado en e amilias, abajo y escuela. Aun así, educi la e icacia de un sis ema educa i o
a un solo ac o o unos pocos ac o es no ga an iza ningún ni el de ap endizaje ya que en la
educación in e ienen múl iples ac o es, muchos de ellos ocu en ue a del espacio escola ,
como el ni el educa i o de los pad es, el clima amilia y social, la si uación socioeconómica de
la amilia, el ni el de nu ición y salud del es udian e, los hábi os sociales de los alumnos, e c…
No a; En es os países, al igual que en España según el in o me Talis, España iene un ni el de
seg egación con espec o a ac o es socioeconómicos ela i amen e bajo.
Cuad o del in o me Talis (2018) 6
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Cuad o del in o me Talis (2018) 7
Desde 2013 las a ios de P o eso /pe sonal de apoyo y alumno/p o eso apenas han a iado.
4. REFLEXIONES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA Y
SECUNDARIA
También nos basa emos en el in o me “Re lexiones sob e la enseñanza de la geome ía en
p ima ia y secunda ia” po Ángel Gu ie ez y Adela Jaime
Es e in o me se basa en la necesidad po pa e del p o eso ado que impa e enseñanzas en
geome ía y algeb a de usa me odologías que acili en es e p oceso de ap endizaje median e la
explo ación y descub imien o. Aquí se p esen an e lexiones sob e algunos modelos eó icos y
las es echas elaciones que exis en en e ellos y se usan como base gene al “Las ases de
ap endizaje de Van Hiele”. Pa a esumi pues lo que nos in e esa son los esul ados ob enidos
po los in es igado es as some e al alumnado a una se ie de ac i idades o es de e aluación y
p opues as pa a la enseñanza basados en el modelo de Van Hiele, y las conclusiones de es a
expe iencia.
El ap endizaje de concep os geomé icos elemen ales, sus p opiedades y elaciones, debido a
que hay un impo an e sopo e g á ico y isual, los p ocesos de ap endizaje es án muy
condicionados po el uso de obje os ísicos, igu as, diag amas, e c… po lo que se obse a un
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desajus e en e los componen es g á icos y e bales de las ac i idades y espues as de los
es udian es. Es os esul ados se han ob enido a aíz de las In es igaciones del didac a S. Vinne
donde ecalca la necesidad de es imula la memo ia del alumno a a és de la lec u a y
escuchando , pues as es a es imulación se “e oca algo que no suele se la de inición del
concep o” si no “un conjun o de ep esen aciones isuales, imágenes, imp esiones o
expe iencias” , lo que Vinne llama imagen del concep o que pa a es a si uación suele a a se
de igu as geomé icas, dibujos o ep esen aciones como ejemplos asociados al concep o. El
p o eso ado suele ecu i como mé odo de enseñanza a dos es a egias;
1. Enuncia una de inición ma emá ica de dicho concep o y después plan ea eje cicios de
memo ización y econocimien o de igu as conc e as
2. P esen a ejemplos de igu as ep esen a i as del concep o desc ibiendo sus p opiedades
y a con inuación da les la de inición ma emá ica o mal y eje cicios de memo ización.
En ambos casos se pone más én asis en las de iniciones que en los ejemplos sin e que son
p ecisamen e los ejemplos los que p oducen un mayo impac o o e ec o men al más
du ade o y p o undo.
El alumnado se encuen a a eces en la ci cuns ancia que memo iza de iniciones y
p opiedades que apenas en iende o que no saben cuándo aplica , o iden i ica concep os o
p opiedades geomé icas de mane a e ónea a pesa de sabe iden i ica co ec amen e
igu as geomé icas.
Según Vinne (1983, 1991) exis e po pa e de los p o eso es la c eencia muy ex endida de
que los alumnos basan sus azonamien os en las de iniciones e bales de los concep os y
que las imágenes que acompañan a la de inición son un elemen o de apoyo. Es a c eencia es
e ónea. El alumno ol ida o nunca ap endió la de inición que les enseñó su p o eso .
25
Según He shkowi z (1990) a a és de expe imen os e in es igaciones ealizadas con Vinne (Se
elabo a on una se ie de p uebas a g upos de es udian es en e 10 y 14 años desde 5º de P ima ia
has a 2º de ESO sob e una mues a de 350 alumnos ap oximadamen e) llego a la conclusión de
que casi odos los es udian es suelen usa imágenes de los concep os implicados en ez de usa
las de iniciones o males a la ho a de esol e p oblemas de geome ía. Solo usan las
de iniciones o males cuando deben con es a las p egun as del p o eso o cuando no ienen más
emedio. Se ecomienda una mayo pa icipación del alumnado que deba a o que enga las
habilidades pa a man ene un deba e cons uc i o y espe uoso donde se en oque en los e o es
mayo i a ios, se de enga a analiza los y co egi los, se plan een objeciones, con aejemplos y
discusiones con los compañe os.
También He shkowi z analizó el e ec o que posee en el ap endizaje de un concep o ma emá ico
la can idad de elemen os que componen su de inición o mal. Dichos elemen os son,
p incipalmen e, concep os p e ios en los que se basa, si bien ambién es án p esen es a eces
eglas de cons ucción, adje i os compa a i os, e c…También end emos en cuen a en es e
análisis las pa ículas lógicas que unen o cuan i ican los a ibu os. Los esul ados ob enidos po
He shkowi z (1989) al analiza diez de iniciones de concep os geomé icos es que exis e una
elación di ec a en e el núme o de elemen os que componen una de inición y la di icul ad de
ap endizaje de ese concep o po pa e de los es udian es.
La expe iencia del docen e nos dice que el allo de los es udian es es la incapacidad del manejo
co ec o de la es uc u a lógica de las de iniciones.
O o de los allos ecuen es es cuando el es udian e debe encon a con aejemplos basándose
en la negación de una de inición, ya que es o exige la negación de odas las p opiedades que
o man la de inición.
O peo aun cuando abo damos los con enios implíci os, que se en con las dis inciones en e las
de iniciones inclusi as y exclusi as de un mismo concep o (Jaime, Chapa, Gu ié ez, 1992 han
es udiado es e p oblema).
32
c) La demos ación de una p opiedad se basa en la jus i icación gene al de su e acidad,
pa a lo cual se usan azonamien os deduc i os in o males
d) Comp ensión y ealización de implicaciones simples en un azonamien o o mal.
Comp ensión de los pasos de una demos ación ealizada po el p o eso . Capacidad
pa a epe i al demos ación y adap a la a o a si uación análoga.
e) Incapacidad pa a hace demos aciones o males comple as. No se log a una isión
global de las demos aciones y no se comp ende su es uc u a.
Ca ac e ización del ni el Clasi icación (ejemplo)
 Se e a pa i de E.S.O. a lo la go de oda la ida académica.
 Reconoce p opiedades del obje o asociadas a la posición ela i a de los elemen os
básicos que lo con igu an, como pa alelismo, pe pendicula idad, …
 Clasi ica los obje os según las p opiedades de pa alelismo y pe pendicula idad.
 De ine a pa i de las p opiedades de pa alelismo y pe pendicula idad.
 Comp ende demos aciones con cadenas deduc i as co as (demos aciones pun uales
sencillas) pe o le cues a ep oduci las
 Usa azonamien o deduc i o, cadenas deduc i as co as.
 Relaciona p opiedades de una igu a en e sí, o con las de o as igu as.
4.3.4 CUARTO NIVEL. DEDUCCIONES FORMALES
Los alumnos pod ían en ende y ealiza demos aciones de a ios pasos, da de iniciones
p ecisas as un p oceso de sín esis.
 Esc ibi con p ecisión el enunciado de una p opiedad que se ha demos ado sin que
p e iamen e se hubiese o mulado.
 Comp enden la es uc u a axiomá ica de la geome ía, la impo ancia y inalidad de los
p ocesos deduc i os
 Es án en condiciones de explica concep os y esul ados gene ales o pa icula es en
p ocesos de con ex os di e en es
Ca ac e ización del ni el Deducción o mal
 Se e en bachille a o y ni eles uni e si a ios.
 Relaciones deduc i as en e las p opiedades del obje o.
 De iniciones p ecisas, con ocabula io o mal, que se puede usa en con ex os di e sos.
 Razonamien o lógico o mal.
 Demos aciones o males y globales que pe mi en en ende la geome ía como un
cue po axiomá ico. Razonamien o axiomá ico.

33
4.4 DEPENDENCIA DE LOS NIVELES
Muy impo an e, en el ánsi o de los ni eles de Van Hiele es la mejo a del lenguaje ma emá ico
necesa io pa a cada ni el. En es a ase de ansición es necesa ia la adquisición de es e lenguaje.
NIVEL
P ocesos de azonamien o p opios del ni el
(elemen os explíci os)
P ocesos de azonamien o de
ansición (elemen os implíci os)
1 FIGURAS Pa es y p opiedades de las
FIGURAS
2 Pa es y p opiedades de las FIGURAS Relaciones en e p opiedades,
DEFINICIONES
3 Relaciones en e p opiedades,
DEFINICIONES
DEDUCCIONES Y
DEFINICIONES FORMALES
4 DEDUCCIONES FORMALES
Reco demos que es e p oceso de azonamien o de ansición en e 2 ni eles consecu i os solo
sucede si se supe a el ni el an e io , y que es e paso se p oduce de o ma con inua.
Van hiele sugie e que el es ado de ansición en los esquemas an e io es y el es ado de ansición
sugie en que, a eces, es mejo abs ae desde un caso singula , donde se ean las elaciones y
p opiedades adecuadas, combinado con una de inición del concep o abs ac o.
Según Van Hiele, es e p og eso depende más de las ins ucciones ecibidas que de la edad o
madu ez. Po lo que el mé odo y la o ganización de la ins ucción, con enidos y ma e ial usado
son impo an es pedagógicamen e, y pa a ello los Van Hiele P oponen 5 ases de ap endizaje.
1. PREGUNTAS: Cues iones sob e el Obje o de Es udio po pa e del p o eso pa a
conoce de los alumnos;
 Lo que saben
 Su ni el
 Dominio del ocabula io (Tema a a a )
El alumno ecibi á in o mación sob e el obje o de es udio
1. ORIENTACION RECIBIDA: Los alumnos in es igan a a és de los ma e iales que el
p o eso selecciona y secuencia. La labo del p o eso aquí es i al pa a ob ene el
ap endizaje deseado (es un guía de es e p oceso)
2. EXPLICACIÓN. Desde expe iencias p e ias, los es udian es exp esan e in e cambian
sus opiniones e ideas de las obse aciones.
 Impo ancia del dominio del leguaje ma emá ico
34
 In e acción en e alumnos. El p o eso solo debe eje ce de mode ado y co egi el
ni el de lenguaje.
1. ORIENTACIÓN LIBRE. Los es udian es se en en an a a eas mas complejas, abie as
cuyo obje i o es aplica lo ap endido.
2. INTEGRACIÓN. El es udian e sis ema iza y esume lo ap endido con el obje o de
o ma se una isión es uc u ada de obje os y elaciones. El p o eso puede ayuda en
es a sín esis, pe o sin apo a in o mación que los alumnos no hayan descubie o.
5. GEOMETRIA EN EL CURRICULO DE LA LEY VIGENTE (LOMLOE)
En es e capí ulo analiza emos los con enidos mínimos de geome ía aco dados en la no ma i a
igen e pa a los ciclos de secunda ia.
Los ex os consul ados han sido;
 Real Dec e o 1513/2006, de 7 de diciemb e, po el que se es ablecen las enseñanzas
mínimas de la Educación P ima ia.
 Real Dec e o 217/2022, de 29 de ma zo, que es ablece la o denación y las enseñanzas
mínimas de la Educación Secunda ia Obliga o ia.
 Real Dec e o 243/2022 de 5 de ab il, que es ablecen la o denación y las enseñanzas
mínimas del Bachille a o.
Los con enidos, que se han o ganizado en base a cinco desc ip o es se indican en las
siguien es ablas.
Con enidos en E.S.O. (No a; con la nue a ley LOMLOE los an es conocidos Con enidos
pasan a de ini se como Sabe es Básicos, aunque en la abla apa ezcan con la denominación
Con enido)
Con enido 1º de E.S.O.
A. Sen ido
Numé ico
1. Con eo
 Adap ación del con eo al amaño de los núme os en p oblemas de la ida
co idiana
2. Can idad
 Núme os na u ales, en e os, acciones, decimales y po encias de exponen e
na u al en la exp esión de can idades en con ex os de la ida co idiana
35
 Di e en es o mas de ep esen ación de núme os na u ales, en e os y
acionales, incluida la ec a numé ica.
5. Razonamien o p opo cional
 Razones y p opo ciones: comp ensión y ep esen ación de elaciones
cuan i a i as.
 Si uaciones de p opo cionalidad di ec a en di e en es con ex os: análisis y
desa ollo de mé odos pa a la esolución de p oblemas. Igualdad en e
azones
B. Sen ido de
la medida
1. Magni ud
 A ibu os mesu ables de los obje os ísicos y ma emá icos en el plano:
in es igación y elación en e los mismos.
 Es a egias de elección de las unidades y ope aciones adecuadas en
p oblemas que impliquen medida en el plano.
2. Medición
 Longi udes, ángulos y á eas en o mas planas: deducción, in e p e ación y
aplicación.
 Rep esen aciones de obje os geomé icos planos con p opiedades ijadas,
como las longi udes de los lados o las medidas de los ángulos.
3. Es imación y elaciones
 Fo mulación de conje u as sob e medidas en el plano o elaciones en e las
mismas basadas en es imaciones.
 Es a egias pa a la oma de decisión jus i icada del g ado de p ecisión
eque ida en si uaciones de medida en el plano.
C. Sen ido
espacial
1. Figu as geomé icas de dos dimensiones
 Figu as geomé icas planas: desc ipción y clasi icación en unción de sus
p opiedades o ca ac e ís icas.
 Elemen os ca ac e ís icos de las igu as geomé icas planas.
 Relación en e las posiciones ela i as de ci cun e encias y/o ec as.
 Relaciones de cong uencia y semejanza en igu as planas: iden i icación y
aplicación. Teo ema de Tales. C i e ios de semejanza de iángulos y su
aplicación a la esolución de p oblemas. Razón de p opo cionalidad y
escalas.
 Relación pi agó ica en igu as planas: iden i icación y aplicación.
 Cons ucción de igu as geomé icas planas con he amien as manipula i as
y digi ales (p og amas de geome ía dinámica, ealidad aumen ada…).
2. Localización y sis emas de ep esen ación
36
 Rep esen ación de pun os en el plano. Coo denadas ca esianas.
 Comp ensión del uso de coo denadas como un a ance en la his o ia y el
desa ollo de las ma emá icas, en pa icula pa a la ep esen ación g á ica
de unciones.
3. Visualizaciones, azonamien o y modelización geomé ica.
 Modelización geomé ica: elaciones numé icas y algeb aicas en la
esolución de p oblemas en el plano.
D. Sen ido
algeb aico
1. Pa ones
 Pa ones, pau as y egula idades: obse ación, dando el elemen o siguien e
o el elemen o an e io y explicando de o ma e bal cómo se gene an
pa ones numé icos y geomé icos.
2. Modelo ma emá ico
 Modelización de si uaciones de la ida co idiana usando ma e ial
manipula i o y ep esen aciones ma emá icas pa a llega al lenguaje
algeb aico con exp esiones sencillas.
 T aducción del lenguaje co idiano al lenguaje algeb aico con exp esiones
sencillas.
 Es a egias de deducción de conclusiones azonables a pa i de una
si uación de la ida co idiana una ez modelizada.
3. Va iable
 Va iable: comp ensión del concep o como incógni a en ecuaciones lineales
con coe icien es en e os y como can idades a iables en ó mulas.
 Comp ensión del signi icado del lenguaje algeb aico como un a ance en la
his o ia y el desa ollo de las ma emá icas en e al lenguaje e ó ico sin
símbolos ma emá icos de la an igüedad.
4. Igualdad y desigualdad
 Equi alencia de exp esiones algeb aicas in oluc adas en ecuaciones
lineales con coe icien es en e os, u ilizando ep esen aciones conc e as
(balanzas, discos algeb aicos, e c.…), ma emá icas y simbólicas.
 Ecuaciones lineales con coe icien es en e os: esolución median e cálculo
men al o mé odos manuales apoyados po ma e ial manipula i o si es
necesa io.
5. Relaciones cuan i a i as en si uaciones de la ida co idiana: iden i icación e
in e p e ación a a és d ep esen aciones e bales, abula es y g á icas.
6. Pensamien o compu acional
37
 Es a egias ú iles en la in e p e ación y/o modi icación de algo i mos
sencillos.
E. Sen ido
socioa ec i o
1. C eencias ac i udes y emociones
 Es ue zo y mo i ación: econocimien o de su impo ancia en el ap endizaje
de las ma emá icas.
 Ges ión emocional: emociones que in e ienen en el ap endizaje de las
ma emá icas. Au oconciencia y au o egulación.
 Es a egias de omen o de la cu iosidad, la inicia i a, la pe se e ancia y la
esiliencia en el ap endizaje de las ma emá icas.
 Es a egias de omen o de la lexibilidad cogni i a: ape u a a cambios de
es a egia y ans o mación del e o en opo unidad de ap endizaje.
2. T abajo en equipo y oma de decisiones
 Técnicas coope a i as pa a op imiza el abajo en equipo y compa i y
cons ui conocimien o ma emá ico.
 Conduc as empá icas y es a egias de ges ión de con lic os.
3. Inclusión, espe o y di e sidad.
Con enido 2º de E.S.O.
A. Sen ido
Numé ico
3. Relaciones
 Compa ación Adap ación del con eo al amaño de los núme os en
p oblemas de la ida co idiana
4. Razonamien o p opo cional
 Po cen ajes: comp ensión y esolución de p oblemas.
 Si uaciones de p opo cionalidad en di e en es con ex os: análisis y
desa ollo de mé odos pa a la esolución de p oblemas. (aumen os y
disminuciones po cen uales, ebajas y subidas de p ecios, impues os,
escalas, cambio de di isas, cálculos geomé icos, epa os, elocidad y
iempo, e c.) Igualdad en e azones
B. Sen ido de
la medida
1. Magni ud
 A ibu os mesu ables de los obje os ísicos y ma emá icos en el plano:
in es igación y elación en e los mismos.
 Es a egias de elección de las unidades y ope aciones adecuadas en
p oblemas que impliquen medida en el espacio.
2. Es imación y elaciones

38
 Fo mulación de conje u as sob e sob e medidas en el espacio o elaciones
en e las mismas basadas en es imaciones.
 Es a egias pa a la oma de decisión jus i icada del g ado de p ecisión
eque ida en si uaciones de medida en el espacio.
3. Medición
 Longi udes, á eas y olúmenes en igu as idimensionales: deducción,
in e p e ación y aplicación.
 Rep esen aciones planas de obje os idimensionales en la isualización y
esolución de p oblemas de á eas.
 Rep esen aciones de obje os geomé icos con p opiedades ijadas, como las
longi udes de los lados o las medidas de los ángulos.
C. Sen ido
espacial
1. Figu as geomé icas de es dimensiones
 Figu as geomé icas idimensionales: desc ipción y clasi icación en
unción de sus p opiedades o ca ac e ís icas.
 Relaciones geomé icas como la cong uencia, la semejanza y la elación
pi agó ica en igu as idimensionales: iden i icación y aplicación.
 Cons ucción de igu as geomé icas idimensionales con he amien as
manipula i as y digi ales (p og amas de geome ía dinámica, ealidad
aumen ada…).
2. Localización y sis emas de ep esen ación
 Relaciones espaciales: localización y desc ipción median e coo denadas
geomé icas y o os sis emas de ep esen ación.
3. Visualizaciones, azonamien o y modelización geomé ica.
 Modelización geomé ica: elaciones numé icas y algeb aicas en la
esolución de p oblemas.
D. Sen ido
algeb aico
1. Pa ones
 Pa ones, pau as y egula idades: obse ación, dando el elemen o siguien e
o el elemen o an e io y explicando de o ma e bal cómo se gene an
pa ones numé icos y geomé icos.
2. Modelo ma emá ico
 Modelización de si uaciones de la ida co idiana usando ma e ial
manipula i o y ep esen aciones ma emá icas pa a llega al lenguaje
algeb aico.
 T aducción del lenguaje co idiano al lenguaje algeb aico.
39
 Es a egias de deducción de conclusiones azonables a pa i de un modelo
ma emá ico.
3. Va iable
 Va iable: Comp ensión del concep o como incógni a en ecuaciones lineales
con coe icien es acionales, como inde e minadas en exp esiones de
pa ones o iden idades y como can idades a iables en ó mulas y unciones
a ines.
 Monomios. Ope aciones básicas.
4. Igualdad y desigualdad
 Relaciones lineales en si uaciones de la ida co idiana o ma emá icamen e
ele an es: exp esión median e álgeb a simbólica.
 Equi alencia de exp esiones algeb aicas en la esolución de p oblemas,
especialmen e aquellos basados en elaciones lineales.
 Es a egias de búsqueda de soluciones en ecuaciones lineales con
coe icien es acionales y sis emas de ecuaciones lineales en si uaciones de
la ida co idiana.
 Ecuaciones lineales y sis emas de ecuaciones lineales: esolución median e
cálculo men al, mé odos manuales o el usa de la ecnología según el g ado
de di icul ad.
5. Relaciones y unciones
 Función como elación uní oca en e magni udes.
 Relaciones uncionales: iden i icación y compa ación de di e en es modos
de ep esen ación, enunciados e bales, ablas g á icas o exp esiones
algeb aicas.
 Funciones a ines: aducción de unas o mas de ep esen ación a o as y
es udio de sus p opiedades.
6. Pensamien o compu acional
 Es a egias ú iles en la in e p e ación y/o modi icación de algo i mos.
 Es a egias de o mulación de cues iones suscep ibles de se analizadas
median e p og amas y o as he amien as.
E. Sen ido
es ocás ico
X
F. Sen ido
socioa ec i o
1. C eencias ac i udes y emociones
2. T abajo en equipo y oma de decisiones
3. Inclusión, espe o y di e sidad
40
Con enido 3º de E.S.O.
A. Sen ido
Numé ico
1. Con eo
 Es a egias a iadas de ecuen o sis emá ico en si uaciones de la ida
co idiana (diag amas de á bol, écnicas de combina o ia, e c.) llegando solo
si es necesa io al uso de ó mulas.
2. Can idad
 Conjun os numé icos como espues a a di e en es necesidades: con a ,
medi , compa a , esol e ecuaciones…
 Núme os acionales en la exp esión de can idades en con ex os de la ida
co idiana.
3. Sen ido de las ope aciones
 Po encias de exponen e acional. P opiedades.
 Relaciones in e sas en e las ope aciones: comp ensión y u ilización en la
simpli icación y esolución de p oblemas.
4. Relaciones
 Selección de la ep esen ación más adecuada de una misma can idad en
cada si uación o p oblema.
 Conexiones en e las di e en es ep esen aciones del núme o acional.
 Pa ones y egula idades numé icas. Reconocimien o, aplicación y uso de
las sucesiones numé icas.
B. Sen ido
espacial
5. Localización y sis emas de ep esen ación
6. Vec o es: coo denadas, ope aciones.
7. Mo imien os y ans o maciones
8. Elemen os básicos de las ans o maciones: ec o es, ec as, pun os y
ángulos de gi o.
9. T ans o maciones elemen ales como gi os, aslaciones y sime ías en
si uaciones di e sas u ilizando he amien as ecnológicas o manipula i as.
10. Visualización, azonamien o y modelización geomé ica
11. Relaciones geomé icas en con ex os ma emá icos y no ma emá icos (a e,
ciencia, ida dia ia…).
C. Sen ido
algeb aico
1. Pa ones
41
 Pa ones, pau as y egula idades: obse ación, p edicción, búsqueda de
é minos que al an y de e minación de la egla de o mación en casos
sencillos median e palab as, g á icas, ablas o eglas simbólicas.
 Fo mulas y é minos gene ales: ob ención median e la obse ación de
pau as y egula idades sencillas y su gene alización.
2. Modelo ma emá ico
 Modelización de si uaciones de la ida co idiana usando, ep esen aciones
ma emá icas y el lenguaje algeb aico.
 T aducción del lenguaje co idiano al lenguaje algeb aico.
 Es a egias de deducción de conclusiones azonables a pa i de un modelo
ma emá ico.
3. Va iable
 Va iable: Comp ensión del concep o como incógni a en ecuaciones
cuad á icas, como inde e minadas en exp esión de pa ones o iden idades
no ables y como can idades a iables en ó mulas y unciones cuad á icas.
 Polinomios en una a iable, ope aciones básicas y ac o ización.
 Igualdad y desigualdad
 Relaciones cuad á icas en si uaciones de la ida co idiana o
ma emá icamen e ele an es: exp esión median e álgeb a simbólica.
 Equi alencia de exp esiones algeb aicas en la esolución de p oblemas,
especialmen e aquellos basados en elaciones cuad á icas. Iden idades
no ables.
 Es a egias de búsqueda de soluciones en ecuaciones cuad á icas en
si uaciones de la ida co idiana.
 Ecuaciones cuad á icas: esolución median e cálculo men al, mé odos
manuales o el usa de la ecnología según el g ado de di icul ad.
 Relaciones y unciones
 Relaciones cuan i a i as en si uaciones de la ida co idiana y clases de
unciones que las modelizan.
 P opiedades de las unciones a a és de la ep esen ación g á ica (dominio
y eco ido, mono onía y ex emos, pe iodicidad, sime ías, pun os de co e,
conca idad y con exidad).
 Funciones cuad á icas: aducción de unas o mas de ep esen ación a o as
y es udio de sus p opiedades.
 Es a egias de deducción de la in o mación ele an e de una unción
median e el uso de di e en es ep esen aciones simbólicas.
48
ablas, g á icas o exp esiones algeb aicas, y sus p opiedades a pa i de
ellas.
 Rep esen ación de unciones: in e p e ación de sus p opiedades en
si uaciones de la ida co idiana y o os con ex os.
6. Pensamien o compu acional
 Resolución de p oblemas median e la descomposición en pa es, la
au oma ización, el pensamien o algo í mico y la gene alización a pa i de
o as si uaciones como pueden se p ác icas con da os, modelización y
p ác icas de simulación y de esolución de p oblemas compu acionales.
 Es a egias en la in e p e ación, modi icación y c eación de algo i mos.
 Fo mulación y análisis de p oblemas de la ida co idiana median e
p og amas y o as he amien as.
E. Sen ido
es ocás ico
X (ELEMENTOS DE ESTADISTICA, O ganización y análisis de da os,
Ince idumb e, In e encia…)
F. Sen ido
socioa ec i o
10. C eencias ac i udes y emociones
11. T abajo en equipo y oma de decisiones
12. Inclusión, espe o y di e sidad
6. RELACIÓN ENTRE VAN HIELE Y EL CONTENIDO DEL PROGRAMA EDUCATIVO
CON RESPECTO A LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
NOTA IMPORTANTE: RESPONDIENDO A LA CUESTION DE (¿Cómo, que écnicas y
azonamien os dan pa a impa i la geome ía como base de docencia de p incipios algeb aicos?
¿Qué con enido debe ía impa i se?) lo p ime o es que el p og ama educa i o pa ece lo
su icien emen e comple o como pa a pensa en exclui con enidos y es más, se le pod ían añadi
más con enidos siemp e y cuando el alumnado es u iese lo su icien emen e o mado como pa a
demos a las compe encias especí icas mínimas como pa a supe a el cu so. Po inicia i a del
gobie no ac ual, as oí opiniones di e sas de dis in os agen es sociales e ins i ucionales del
sis ema educa i o, se ealizó un deba e con espec o al cu ículo con el in de encon a un
ma co común que encuen e las mejo es p ác icas an o docen es como ins i ucionales con el in
de o ece la mejo educación posible al alumno. La cha la denominada “El cu ículo a deba e”
hablaba p ecisamen e de los cambios dis up i os ac uales y que se es ablecen con cada cambio
de gobie no, de la o mación de los docen es y en la alo ación de las opiniones de es os a la

49
ho a de oma decisiones legisla i as con espec o a la educación ac ual. El deba e se es ableció
bajo 4 p emisas:
 ¿Necesi a un nue o cu ículum el sis ema Educa i o?
 Cambios que necesi a inco po a el ac ual cu ículum
 ¿Po qué un cu ículum compe i i o?
 ¿Qué podemos ap ende de nues o en o no?
Con espec o al p ime apa ado, la conclusión es cla a en cuan o la necesidad de cambio en el
cu ículo del Sis ema Educa i o, y es que si la sociedad cambia ob iamen e el cu ículo ha de
cambia a su ez. En palab as del ca ed á ico Cesa Coll “Se ha de enuncia a la p e ensión de
sa is ace odas las necesidades básicas de ap endizaje du an e el pe iodo de o mación inicial”
ya que ac ualmen e nos encon amos con cu ículos sob eca gados y sob edimensionados. Y,
aun así, den o de la ac ual LOMLOE se ma can unos sabe es básicos, que an es se
denominaban con enidos, den o de los elemen os del cu ículo que expond emos a
con inuación y que según el cu ículo son sabe es imp escindibles. Según la ac ual LOMLOE
un mismo sabe puede u iliza se en a ias compe encias, po lo que se á necesa io conec a las.
La idea es en oca se en Ap endizajes esenciales, compe encias implicadas en la capacidad de
ap ende , de adqui i conocimien os y ecu sos documen ales. Todo ello en ocado en una
e o ma sus ancial y p o unda que a ec a á a la es uc u a del sis ema educa i o, cuyo obje i o
sea inco po a nue os en oques y mane as de ga an iza un ap endizaje in e disciplina ,
globalizado y compe encial. Aun así, nos encon amos con el dilema de de e mina que sabe es
o con enidos básicos debe ene un alumno an o pa a la ida ac ual como pa a su desa ollo
pe sonal. Es e iden e que en el ma co ac ual donde las TICs (Tecnologías de la In o mación y
Comunicación) son básicas pa a el desempeño p o esional y social de los indi iduos, que el
alumno adquie a las habilidades su icien es pa a su au o o mación es undamen al. Po ello en
la LOMLOE ya no se e alua án y cali ica an conocimien os, lo que se e alua an se án las
compe encias, la capacidad que enga el alumno de adqui i conocimien os y aplica los
adecuadamen e an e p oblemas de la ida dia ia.
Es e abajo se plan eó desde la p emisa de las ca encias del alumnado con espec o al lenguaje
ma emá ico aplicado a la geome ía y al algeb a. Pa a sabe a qué nos e e imos, es udia emos el
cu ículo ac ual, en conc e o sus con enidos, y e alua emos si la ca encia se basa en la al a de
con enidos o es más bien un p oblema de docencia, ya sea po al a de ecu sos po pa e de los
p o eso es, así como la al a de comp omiso po pa e de los alumnos. Y pa a ello nos
basa emos en es udios lle ados a cabo po pa e de docen es de dis in os cen os del mundo.
Bajo la me odología de Van Hiele analiza emos es os con enidos.
50
6.1 1º, 2º, 3º y 4º ESO
Reco demos que los p og amas educa i os que con empla la ac ual ley de educación LOMLOE
se en oca más en las compe encias especí icas de los alumnos y menos en los conocimien os po
lo que el alumno debe á se capaz de comp ende y sabe aplica los sabe es básicos que
apa ecen en la LOMLOE. Los sabe es básicos (o con enidos que e a como se denominaban en
la an e io ley) pa a 1º de la ESO son:
 Den o del sen ido de la medida; la Magni ud con ibu os mesu ables de los obje os y
sus es a egias de elección de unidades y ope aciones adecuadas a los p oblemas plan-
eados en el plano, medición con longi udes, ángulos y á eas de o mas planas, Es ima-
ciones y elaciones con o mulación de conje u as sob e medidas en el plano y es a e-
gias pa a la oma de decisión.
 Den o del sen ido espacial; Figu as geomé icas de dos dimensiones, con igu as geo-
mé icas planas desc ipción y clasi icación en unción de sus ca ac e ís icas o p opieda-
des, Elemen os ca ac e ís icos de las igu as geomé icas planas, elación en e ci cun e-
encias y/o ec as, Relaciones de cong uencia y semejanza en igu as planas con iden i-
icación y aplicaciones, Teo ema de Tales, C i e ios de semejanza de iángulos y su
aplicación a la esolución de p oblemas, azón de p opo cionalidad y escalas, elaciones
pi agó icas de igu as planas e iden i icación, cons ucción de igu as geomé icas pla-
nas, den o de la localización y sis emas de ep esen ación enemos las coo denadas
ca esianas, ep esen ación po pun os en el plano y su comp ensión del uso de coo de-
nadas, y ya po ul imo enemos las isualizaciones, azonamien o y modelización geo-
mé ica.
 Den o del sen ido algeb aico se le enseña an Pa ones y egula idades de ipo numé ico
y geomé ico, modelo ma emá ico con modelización de si uaciones de la ida co idiana
con ma e iales manipula i os y exp esiones sencillas como ep esen aciones ma emá i-
cas del lenguaje algeb aico, aducción del lenguaje co idiano al algeb aico y es a egias
de deducción y conclusiones azonables, Va iables, concep o de incógni a en ecuaciones
lineales, comp ensión del lenguaje algeb aico, Igualdad y desigualdad con equi alencia
de exp esiones algeb aicas in oluc adas en ecuaciones lineales con coe icien es en e os,
elaciones cuan i a i as en si uaciones de la ida y pensamien o compu acional con al-
go i mos sencillos.
51
En el sabe básico de sen ido de la medida, Magni ud, A ibu os mesu ables de los obje os:
in es igación y elación en e los mismos, medición, Longi udes, ángulos y á eas,
ep esen aciones de obje os geomé icos planos con p opiedades ijadas, Es imaciones y
elaciones, e c.… cumplen con las 3 ases de Van Hiele.
En los sabe es básicos de los con enidos no se ap ecia ninguna ca encia y u ilizando el lib o del
cen o y sus ecu sos se ía su icien e como pa a pode es ablece pa a el alumno un plan
o ma i o adecuado.
6.2 COMPETENCIAS ESPECIFICAS COMO SISTEMA DE EVALUACION DE LA
LOMLOE
Respec o al nue o sis ema de e aluación que iene es ipulado en la LOMLOE, lo que el
p o eso ha de ene en cuen a son las denominadas Compe encias especí icas que pasamos a
enume a a con inuación;
Compe encia especí ica 1: In e p e a , modeliza y esol e p oblemas de la ida co idiana y
p opios de las ma emá icas, aplicando di e en es es a egias y o mas de azonamien o, pa a
explo a dis in as mane as de p ocede y ob ene posibles soluciones.
Compe encia especí ica 2: Analiza las soluciones de un p oblema usando di e en es écnicas y
he amien as, e aluando las espues as ob enidas, pa a e i ica su alidez e idoneidad desde un
pun o de is a ma emá ico y su epe cusión global.
Compe encia especí ica 3: Fo mula y comp oba conje u as sencillas o plan ea p oblemas de
o ma au ónoma, econociendo el alo del azonamien o y la a gumen ación, pa a gene a
nue o conocimien o.
Compe encia especí ica 4: U iliza los p incipios del pensamien o compu acional o ganizando
da os, descomponiendo en pa es, econociendo pa ones, in e p e ando, modi icando y c eando
algo i mos, pa a modeliza si uaciones y esol e p oblemas de o ma e icaz.
Compe encia especí ica 5: Reconoce y u iliza conexiones en e los di e en es elemen os
ma emá icos, in e conec ando concep os y p ocedimien os, pa a desa olla una isión de las
ma emá icas como un odo in eg ado.
Compe encia especí ica 6: Iden i ica las ma emá icas implicadas en o as ma e ias y en
si uaciones eales suscep ibles de se abo dadas en é minos ma emá icos, in e elacionando
concep os y p ocedimien os, pa a aplica los en si uaciones di e sas.
Compe encia especí ica 7: Rep esen a , de o ma indi idual y colec i a, concep os,
p ocedimien os, in o mación y esul ados ma emá icos, usando di e en es ecnologías, pa a
isualiza ideas y es uc u a p ocesos ma emá icos.
52
Compe encia especí ica 8: Comunica de o ma indi idual y colec i a concep os,
p ocedimien os y a gumen os ma emá icos, usando lenguaje o al, esc i o o g á ico, u ilizando la
e minología ma emá ica ap opiada, pa a da signi icado y cohe encia a las ideas ma emá icas.
Compe encia especí ica 9: Desa olla des ezas pe sonales, iden i icando y ges ionando
emociones, poniendo en p ác ica es a egias de acep ación del e o como pa e del p oceso de
ap endizaje y adap ándose an e si uaciones de ince idumb e, pa a mejo a la pe se e ancia en
la consecución de obje i os y el dis u e en el ap endizaje de las ma emá icas.
Compe encia especí ica 10: Desa olla des ezas sociales econociendo y espe ando las
emociones y expe iencias de los demás, pa icipando ac i a y e lexi amen e en p oyec os en
equipos he e ogéneos con oles asignados, pa a cons ui una iden idad posi i a como es udian e
de ma emá icas, omen a el bienes a pe sonal y g upal y c ea elaciones saludables.
Reco demos que las compe encias especí icas son “desempeños que el alumnado debe pode
desplega en ac i idades o en si uaciones cuyo abo daje equie e de los sabe es básicos de cada
ma e ia o ámbi o”. Si obse amos de enidamen e las de iniciones dadas pa a las compe encias
especí icas, e emos que es un compendio de los p incipios de Van Hiele con espec o a lo que
se espe a que el alumno, una ez ha adqui ido cie os conocimien os, sepa aplica y comunica
esos conocimien os de la mane a más adecuada.
Los p oblemas que ienen los alumnos españoles en concep o de ca encias en el con enido de
Espacio y Fo ma se deben a o as causas o hipó esis que enuncia emos a con inuación.
7. DIFICULTADES Y ERRORES MANIFESTADOS POR ESTUDIANTES DE ESO (Po
Ma ía Pé ez P ados, Uni e sidad de Na a a)
7.1 1º DE ESO Resumen
Toma emos como e e encia el TFM de Ma ía Pé ez P ados ealizado en el 2013, es udio
ealizado en e los alumnos de 1º, 2º, 3º, y 4º de ESO con espec o al sen ido del espacio y
o ma en donde iene la geome ía y elemen os básicos de algeb a jun o a un ocabula io nue o
pa a la desc ipción de es os elemen os. Pa a ello se basa en la e aluación a a és de ac i idades
de los lib os de ex o de P ima ia seleccionados po el cen o MATEMATICAS de la Edi o ial
SM y que son muy cohe en es con los con enidos y c i e ios de e aluación ma cados po la
no ma i a. La au o a clasi ica a las ac i idades p opues as po los lib os de clase en;
 Eje cicios
 P oblemas
 Cues iones
53
 Si uaciones
Uno de los p ime os hechos que obse amos al obse a el análisis que se ealiza es que la
mayo ía de las ac i idades p opues as po es os lib os de clase es que se en ocan a la ealización
de eje cicios y p oblemas, muy pocas o nulas cues iones y no se plan ea ninguna si uación. La
au o a in o ma que odos los concep os e lejados en la no ma i a de 2013 y es a edi o ial se
ciñe a las no ma i as igen es pa a pode se adecua a los p og amas educa i os de los cen os
escola es. En gene al, el hecho de que en un lib o solo p edominen eje cicios y p oblemas hace
que únicamen e se pueda e alua el ap endizaje de los concep os y su aplicación eó ica, los
p oblemas pe mi e e alua la capacidad de esolución de si uaciones y examina los mé odos
usados po los es udian es y las he amien as de que disponen pe o no pe mi en e alua la
u ilización de ocabula io ma emá ico ni el uso del lenguaje ma emá ico, po lo que hab ía que
omen a más eje cicios con cues iones eó icas y con un uso mayo de ocabula io a imagen y
semejanza de los eje cicios de ocabula io de lengua e inglés.
7.2 PROPUESTA DE TEMA. CONTENIDO GEOMÉTRICO EN EL LIBRO DE TEXTO
DE REFERENCIA.
Pa a es a pa e del TFM analiza emos un p oceso de es udio, que se á lle ado a cabo po un
g upo de alumnos de 1º de ESO sob e con enidos de geome ía plana.
El análisis lo ealiza emos a lo la go de 2 pa es. En la p ime a pa e analiza emos un lib o de
ex o u ilizado en es e p oceso: los obje os ma emá icos p esen es en él, así como la es uc u a
de sus con enidos y ac i idades. En la segunda pa e se hace una p e isión de las di icul ades
elacionadas con geome ía y el posible o igen de es as en un ejemplo.
7.3 CONTENIDO GEOMETRICO EN EL LIBRO DE TEXTO DE REFERENCIA
El ma e ial de e e encia pa a el análisis de un p oceso de es udio de geome ía en secunda ia ha
sido el lib o
Geome ía pa a la clase (Geome y o he class oom) de C. He be Clemens y Michael A.
Clemens, ed. Sp inge -Ve lag. Se a a de un lib o diseñado pa a da una amplia p epa ación en
geome ía elemen al, así como emas es echamen e elacionados de ca ác e un poco más
a anzado. A usa an o po es udian es de secunda ia y bachille , así como lib o de clase de
p o eso es de geome ía elemen al.
El lib o Geome ía pa a la clase es á di idido en dos cuade nos.
El p ime cuade no a su ez es á di idido en 4 apa ados;
a) INTUICIÓN
b) CONSTRUCCIÓN
c) PRUEBA

54
d) PROGRAMAS DE ORDENADOR
Aunque solo ha emos un análisis de los apa ados in uición y cons ucción.
Temas a es udia en el apa ado in uición
1. Fo mas Geomé icas
2. Mas o mas
3. Polígonos en el plano
4. Ángulos en el plano
5. Posición en el plano. “Caminando po el plano”
6. Á eas de ec ángulos
7. Á ea de un iángulo somb eado
8. Añadi ángulos a un iangulo
9. Teo ema de Pi ágo as
10. P opiedades en unción de los lados del iángulo
11. Líneas pa alelas
12. Teo ema de ángulos en e pa alelas o Teo ema Z.
13. Á eas, p incipio de ec as pa alelas.
14. Dos ec as que no se co an en el plano son pa alelas.
15. El P incipio del p ime aumen o; o ma p elimina
16. El P incipio del p ime aumen o; o ma inal
17. Á ea in e io de un cí culo de adio 1
18. Cuando son los iángulos cong uen es
19. Los aumen os p ese an el pa alelismo y los ángulos
20. P incipio de simili ud
21. P opo cionalidad de segmen os co ados po pa alelas
22. Encon a el cen o de un iangulo
23. Teo ema de concu encia pa a al i udes de un iangulo
24. insc ipción de ángulos en cí culos
25. Da os cu iosos sob e los cí culos y los casos lími e
26. G ados y adianes
27. T igonome ía. Seno y coseno α
28. Tangen e de α
29. Todo lo que siemp e quisis e sabe de igonome ía, pe o no e a e is e a
p egun a .
30. Ley de los senos y ley de los cosenos
31. Á eas de calculo
55
32. El segundo p incipio de aumen o
33. Volumen de una pi ámide
34. De conos y colla es
35. Mundoes e a
El apa ado In uición ecopila los emas más impo an es sob e geome ía plana.
Pa a el análisis de es os emas se ha omado como ex o de e e encia el a ículo Análisis
on osemió ico de una lección sob e la suma y la es a publicado en la Re is a La inoame icana
de In es igación Ma emá ica Educa i a po J. Godino, V. Fon y M. R. Wilhelmi en 2006. Es e
ex o analiza una lección de un lib o de 5º g ado de educación p ima ia a a és del en oque
on osemió ico de la cognición ma emá ica.
7.4 OBJETOS MATEMÁTICOS INVOLUCRADOS
Pa a examina es e con enido se han analizado los p incipales obje os y elaciones implicadas en
la esolución de p oblemas de geome ía plana omando como e e encia el análisis ealizado en
el a ículo Análisis on osemió ico de una lección sob e la suma y la es a an es ci ado.
Elemen os es udiados: el lenguaje ( e bal, g á ico y simbólico) u ilizado, las si uaciones o
p oblemas plan eadas, los p ocedimien os o acciones ealizados en elación con es os
p oblemas, los concep os o nociones p esen es, las p opiedades ele an es pa a el desa ollo del
ema y los a gumen os o azonamien os pa a la esolución de ac i idades.
Pa a es e análisis solo end emos en cuen a el lenguaje y los p oblemas plan eados y a a emos
de e los ínculos con espec o a los sabe es básicos especi icados en los úl imos cu sos de
P ima ia y oda Secunda ia del ac ual p og ama educa i o especi icado en la nue a ley de
educación LOMLOE.
56
7.5
LENGUAJE
Tema
Ve bal
G a ico
Simbolico
Fo mas geomé icas Línea o ec a, Rayo o
Flecha o semi ec a,
Segmen o, pun o, pun o
inal.
Líneas, ec as,
semi ec as, segmen os
Pun o A, Pun o B, lechas,
Segmen o AB, Rayo o
semi ec a AB, Rayo o
semi ec a BA,
Mas o mas T iangulo, é ice, lado
del iángulo, plano,
in ini as líneas, ci culo,
pun o, cen o, adio
T iangulo, plano
ep esen ado po un
apecio y un o alo
somb eado, ci culo
con un pun o como
cen o.
Pun os en é ices,
Pun o O cen o,
segmen o ep esen ando un
adio
Poligonos en el plano Cuad ilá e o,
Pen ágono, Hexágono,
Eneágono o N-gono,
é ice, lado, segmen o,
pun o inal o pun o
Cuad ilá e os
i egula es o
T apezoides uno
cónca o y o o
con exo, pen ágono
i egula cónca o,
Hexágono i egula
con exo
Ángulos en el plano Angulo, Vé ice, pun o
inal o ex emo, ángulo
in e io , ángulo in e io
de las lechas o ayos
que pa en de un mismo
pun o, ó alos,
cong uencia, ángulo
plano, ángulo ec o,
di ección opues a
Dos lechas que salen
del mismo pun o con
di ecciones dis in as
Figu a A, Figu a B,
≈→ Cong uencia
A ≈ B → Cong uencia en e
las igu as A y B,
180º, 90º, 1º.
|AC| → longi ud del
segmen o AC
Posición en el plano,
Caminando po el plano
Widge (palab a inglesa
compues a que signi ica
“a ilugio o
disposi i o”) unidad de
medida, segmen o
Pun o de pa ida,
segmen os que
ep esen an una
di ección y o man un
ec ángulo
a→ segmen o
b→ segmen o
pun os ( é ices) A, B, C, D.
∠ CDA=∠ DAB =90º
∠ → Angulo
∠ CDA-→ ángulo o mado
po los segmen os CD y DA
con é ice en D
Á eas de ec ángulos Rec ángulo, á ea de un
ec ángulo, cuad ilá e o,
ángulos de los é ices,
igual longi ud,
p opiedades de un
ec ángulo, p opiedad
dis ibu i a, á ea
Rec ángulos, cuad ado A x B = A ea
Á ea de un iángulo
somb eado
Á ea somb eada de un
iángulo, cong uen e,
á ea, al u a e ical,
base, al u a del
iángulo, p opiedad
dis ibu i a,
pa alelog amo
T iángulos
ec ángulos,
acu ángulos,
ob usángulos,
iángulos insc i os en
un ec ángulo
A segmen o (al u a)
B, B`, B`` segmen o (base),
1/2(BxA) á ea iangulo,
b → base iangulo
h → al u a iangulo
½ (b x h) á ea de cualquie
iangulo
Añadi los ángulos de
un iangulo
Suma de ángulos de un
iangulo
T iángulos
ec ángulos,
∠
BAC =
∠
A → nomb e del
angulo de é ice A,
57
acu ángulos,
ob usángulos,
iángulos insc i os en
un ec ángulo
∠
DBA
≈
∠
BAC, ángulos
∠
DBA,
∠
ABC,
∠
BAC,
∠
ACB.
Teo ema de Pi ágo as T iangulo ec ángulo,
(las le as g iegas se
usan pa a nomb a
ángulos)
Cuad ados insc i os
den o de cuad ados y
iángulos ec ángulos
insc i os en
ec ángulos a su ez
insc i os en cuad ados,
los iángulos ienen
en pa es cong uen es
o mando ec ángulos
a
2
+ b
2
= c
2
a, b, c, lados de un iángulo.
α, β, γ, δ, ángulos
P opiedades en unción
de los lados de un
iangulo
Cong uen e a, iangulo,
lados, p opiedades de
los es lados, coincidi
T iángulos
ob usángulos,
ci cun e encias.
Δ
ABC= iangulo ABC
ΔDEF,
é ices A, B, C, D, E, F.
Segmen os AB, BC, CA, DE,
EF, FD.
AB ≈ DE →
AB cong uen e con DE
ΔABC ≈ ΔDEF, d (A, B)=
dis ancia en e A y B
líneas pa alelas,
Pos ulado de las
pa alelas o líneas
pa alelas co adas po
una secan e o “P incipio
Z”
Rec ángulo, in ini o,
líneas pa alelas,
Dos líneas pa alelas
segmen adas po líneas
pe pendicula es de
longi ud igual a la
dis ancia mínima en e
las dos líneas pa alelas
o mando ec ángulos
colindan es
∥
→ líneas pa alelas
L
∥
M → L es pa alela a M,
α, 90º
Rec ángulos en e
pa alelas, pos ulado de
las pa alelas o P incipio
Z
Pa alelas, ec ángulos,
ángulos, ec as, lechas
Rec as, pa alelas,
pe pendicula es,
ec ángulos, secan es
|AD|=|EF| longi ud de AD es
igual a la de EF
α, β, γ, δ, A, B, C, D, L, M, N.
∠
ABC,
∠
BAC,
∠
ACB.
∠
α,
∠
β,
Á eas, el p incipio de
ec as pa alelas
Á ea, igu a, plano,
pa alelas, apezoide
T iangulo acu ángulo,
iangulo ec ángulo,
ec ángulo
h
Dos ec as en el plano
que no se co an son
pa alelas
Líneas secan es,
supues o de líneas
pa alelas, é ices,
ec ángulos, pun os de
una ec a, cálculo de
dis ancias e icales,
ce o, pe pendicula ,
P incipio de ángulos
co espondien es,
líneas secan es,
iángulos ec ángulos,
ec ángulos
L, M, R, X, Y, Z, P, P1, P2, P3,
P4,... Q1, Q2, Q3, S, S1 , S2, S3,
d( P1 , R), d(P , S), d( Q1 ,
P2),…
α, β, γ, ...
P incipio de p ime
Aumen o; o ma
p elimina .
Cuad ado, aumen o po
3, Á ea, á ea de un
cuad ado, ac o de
mul iplicación
Cuad ado · =
2
,
“·” → “ eces”
P incipio de p ime
Aumen o; o ma inal.
Magni icación
idimensional, cubo,
pode de magni icación
Cilind os, minicubos,
minicuad ados, igu as
,
2
,
3
,
n
,
64
diagonales que simula dos
iángulos). Explica po qué son
cong uen es si cua o de sus
segmen os son cong uen es dos a
dos y o as p opiedades. A pa i del
eo ema de los es lados comp oba
que los ángulos de un iángulo
isósceles son iguales y ice
e sa.
Los aumen os p ese an los
pa alelismos y los ángulos
Suma de segmen os de una ec a,
ampliación de esos segmen os de
mane a indi idual y suma de es os
nue os segmen os ampliados.
Cálculo de un ec ángulo y su
diagonal a pa i de unas medidas
dadas (p.e. 2x3) y de un ac o de
ampliación (p.e. 5)
P incipio de simili ud Aplicación del eo ema de ales
jun o con el p incipio de simili ud
en una se ie de eje cicios, algunos
con da os p e ios, donde se ha de
demos a que los dos iángulos del
ejemplo son simila es, algunos
dis ibuidos de mane as di e sas, o
con igu as dis in as como
iángulos insc i os en iángulos o
apezoides asimé icos con exos
con diagonales que pa en de los
cen os de cada segmen o o mando
iángulos en los ex emos.
Demos ación de un iángulo
ec ángulo cuya base es la
hipo enusa, si azamos la al u a
(que se á
pe pendicula a la base) el
nue o iangulo g ande que nos da
se a simila al iangulo o iginal.
P opo cionalidad de segmen os
co ados po pa alelas. TEOREMA
DE TALES
A pa i de un eje cicio con 3 líneas
pa alelas y dos secan es cuyo pun o
común de las secan es es a ue a del
á ea delimi ada po las líneas
pa alelas, comple a unas ablas con
da os y elación de p opo ciones,
eje cicios de iángulos simila es en
el que se pide la explicación de
pa alelismos de segmen os,
p opo ciones de cie os segmen os,
cons ucción de o ocen os e
insc ipción de dicho iangulo en
o o más g ande y simila .
Encon a el cen o de un iángulo.
Cen os de g a edad.
A pa i de unos ejes de
coo denadas dados, encuen a los
pun os que ma quen el cen o de
g a edad de un segmen o en un
plano (x,y) y de a ios segmen os
que componen un polígono
i egula y de a ios iángulos
ob usángulos. Apa e, encuen a
pa a uno de los iángulos, la
ecuación de la línea que con enga
una mediana sabiendo el hecho de

65
que conoces dos pun os de una
ec a. Eje cicios de demos ación de
dis in os pos ulados o p incipios
como el de pa alelismo o el de dos
segmen os y un ángulo.
Teo ema de concu encia pa a
al i udes de un iangulo
Usa la écnica de cons ucción de
“pe pendicula a una ec a que pasa
po un pun o a bi a io ex e io a
esa ec a”, dibuja las es al u as de
a ios iángulos de ipo acu ángulo
y ob usángulos, y e que coinciden
las es al u as en un pun o.
También cons ui las medianas.
Razona algunas de las p opiedades
de las á eas de una mediana y su
elación con espec o a los
segmen os que los componen.
Comp obación del eo ema de
Ce a’s, el eo ema de las al u as y
el eo ema de las medianas a pa i
de ejemplos.
Ángulos insc i os en cí culos A pa i del pos ulado que dice que
un iángulo insc i o en una
ci cun e encia con dos lados iguales
y co espondien es a la dis ancia del
adio y cuyo é ice es el ángulo
que o man es os dos lados y
coincide con el cen o de la
ci cun e encia, el ángulo adyacen e
(α) al ángulo cuyo é ice es el
cen o de la ci cun e encia es igual
a los dos ángulos que se epi en (β)
del iángulo. Es deci , α=2β.
Comp obación de es e pos ulado
con a ios ejemplos y si uaciones
pa icula es.
Da os cu iosos sob e cí culos y
casos limi e
P opiedades, aplicaciones y
ejemplos de los pos ulados
enunciados an e io men e con
cí culos co ados po líneas
o mando dis in as cue das, a cos y
angen es y que coinciden en un
pun o ex e io a ese cí culo.
G ados y adianes Eje cicios de cambio de unidades
de g ados a adianes cuyo cen o
del cí culo de ejemplo sea el o igen
de unos ejes de coo denadas
T igonome ía Uso de las p opiedades de sen, cos,
an, sec, cosec y c g pa a el cálculo
de di e sos ángulos a pa i de las
medidas de di e sos iángulos
ec ángulos y comp obación
median e el eo ema de Pi ágo as
Tangen e de
α
Cálculo de angen es a pa i de Uso de la Tangen e de
α
pa a el
66
ángulos en g ados y adianes,
p ac ica con calculado as, y
ob ención de los ángulos an o en
g ados como en adianes a pa i de
los esul ados adimensionales dados
po el lib o.
cálculo de dis ancias y al u as desde
el obse an e a un obje o edi icio
Todo lo que quisis e sabe de
igonome ía pe o que emías
p egun a
A pa i del diseño de un dibujo en
el que se aplica el eo ema de
Pi ágo as y en el que se dibujan las
elaciones de los senos cosenos,
angen es, co angen es y secan es a
pa i de una ci cun e encia donde
su cen o es el o igen de
coo denadas, se pide la explicación
en a ios dibujos de cie as
p opiedades igonomé icas,
esul ados, e c., como, po ejemplo,
sen2 α + cos2 α =1, e c.…
Ley o eo ema del seno y ley o
eo ema del coseno
Aplicación de las leyes de senos y
cosenos pa a di e sos ejemplos de
iángulos expues os en el lib o y
u ilización de la calculado a y de
p incipios is os an e io men e
como P incipio de los dos ángulos y
un lado o p incipio de dos lados y
un ángulo. Cálculo de segmen os a
pa i de un diag ama y la
aplicación de da os p
opo cionados,
senos y cosenos.
Á eas de calculo Aplicación de di e sas ó mulas de
cálculo de á eas pa a iángulos a
pa i de da os dados, explicación
algeb aica de las ó mulas dadas
usando el p incipio de los 3 lados,
comp obación de cie as o mulas
algeb aicas dadas a pa i del dibujo
de un cuad ilá e o i egula y de las
diagonales que o ma.
Demos ación de una o mula
algeb aica a pa i del diag ama de
un cuad ilá e o ci cunsc i o en un
cí culo y di idido en dos iángulos
a pa i de una diagonal.
Demos ación de una o mula
algeb aica a pa i del diag ama de
un cuad ilá e o ci cunsc i o en un
cí culo y di idido en dos iángulos
a pa i de una diagonal de cuyo
cuad ilá e o se ex ienden dos de los
lados y la diagonal has a que se
co an con una línea ex e io a la
ci cun e encia.
Segundo p incipio de aumen o Aplicación del p incipio de
magni icación de una elipse, una
ci cun e encia y di e sas igu as
67
segmen adas en cuad ados muy
pequeños a pa i de unos da os
dados sob e unos ejes de
coo denadas en un plano.
Aplicación del p incipio de
magni icación de una pi ámide
cuad angula .
Volumen de una pi ámide Cálculo del olumen de una se ie
de pi ámides cuad angula es
acopladas que compa en el mismo
é ice usando la o mula d cálculo
del olumen de una pi ámide.
P incipios y leyes aplicados pa a el
cálculo de dichos olúmenes.
Cálculo del olumen de una
pi ámide de base i egula y
explicación de po que la o mula
dada pa a el cálculo del olumen de
una pi ámide no iene en cuen a si
la base es egula o i egula .
Comp obación y aplicación en
cubos del segundo p incipio de
magni icación de una igu a
N-dimensional de cuan o es el
ac o de mul iplicación. (Es deci
1
·
2
·...·
n
)
De conos y colla es
Cálculo del á ea del la e al del cono
a pa i de los da os de adio base,
de longi ud de gene a iz y de al u a
de la base al é ice. Halla el á ea
de onco de cono a pa i de los
da os de ci cun e encias dados.
Cálculo del olumen de un cono a
pa i de los da os dados. Cálculo
del á ea de supe icie de un cono
seccionado po la mi ad po una
supe icie pa alela a la base.
Mundoes e a A pa i de dos pun os P y Q en la
supe icie a e igua y azona si
hay más de una línea que pase po P
y Q. Usando un globo e áqueo,
da un ejemplo de línea
pe pendicula .
La pa e de cons ucción de di e sas igu as egula es (Segundo lib o de apoyo) se basan en
el ap endizaje de di e sas écnicas de dibujo con escuad a y compás, pe o siguen a ándose
de eje cicios descon ex ualizados en los que no se da ninguna aplicación o uso en la ida
eal, po lo que po aho a no lo end emos en cuen a.
68
8. ANALISIS GLOBAL DEL LIBRO DE REFERENCIA. CONTENIDO GEOMÉTRICO Y
ALGEBRAICO
Como ma e ial de e e encia usado pa a es e análisis de p oceso de es udio de geome ía en
secunda ia, ha sido el lib o “Geome y o he class oom” de C. He be Clemens y Michael
A. Clemens . Reco demos que los sabe es básicos de un alumno de 1º de ESO son los
siguien es:
 Sen ido numé ico
o Con eo
o Can idad
o Razonamien o p opo cional
 Sen ido de la medida
o Magni ud
o Medición
TEMAS; Ángulos en el plano, Á eas de Rec ángulos, Á eas de un iángulo somb eado, Añadi
los ángulos de un iángulo
o Es imación y elaciones
TEMAS; P incipio de simili ud, P opo cionalidad de segmen os co ados po pa alelas
(Teo ema de Tales), Teo ema de concu encia pa a al i udes de un iangulo
 Sen ido Espacial
o Figu as Geomé icas de dos dimensiones
TEMAS; Fo mas geomé icas, Mas Fo mas, Polígonos en el plano, Ángulos en el plano, Á eas
de Rec ángulos, Á eas de un iángulo somb eado, Añadi los ángulos de un iángulo, Teo ema
de Pi ágo as, P opiedades en unción de los lados de un iángulo, líneas pa alelas, Pos ulado de
las pa alelas (P incipio de Z), P incipio de simili ud, P opo cionalidad de segmen os co ados
po pa alelas (Teo ema de Tales), Teo ema de concu encia pa a al i udes de un iangulo
o Localización y sis emas de ep esen ación
TEMAS; Posición en el plano,
o Visualizaciones, azonamien o y modelización geomé ica
TEMAS;
 Sen ido Algeb aico
o Pa ones
o Modelo ma emá ico
o Va iable
o Igualdad y desigualdad
69
o Realizaciones cuan i a i as en si uaciones de la ida co idiana;
Iden i icación e in e p e ación a a és de ep esen aciones e bales,
abula es y g á icas
o Pensamien o compu acional
 Sen ido socioa ec i o
o C eencias, ac i udes y emociones
o T abajo en equipo y oma de decisiones
o Inclusión, espe o y di e sidad
8.1 Obje os ma emá icos in oluc ados
Cada ema del lib o iene con una página de in oducción eó ica en el que se abajan los
conocimien os pu os con un lenguaje cie amen e accesible, pe o sin a ac i o isual,
segu amen e ca en e de los medios p opios a una edi o ial o des inado exclusi amen e pa a uso
del p o eso ado el cual end á que usa lo de apoyo en clase y del que end á que hace lo mas
a ac i o pa a el alumnado. El es o de las ac i idades que acompaña al ema se puede di idi
con la ipología de Eje cicios, P oblemas y Cues iones con la siguien e p opo ción;
 Eje cicios 45%
 P oblemas 25%
 Cues iones 30%
Pa a calcula es a p opo ción nos hemos limi ado a e alua la ac i idad y ca aloga la según es a
ipología, de la que hemos hecho una media de odos los p oblemas e aluados del lib o.
Aunque la dis ibución de ac i idades es homogénea, es a ca en e de con ex ualización. Apenas
hay ac i idades que engan aplicación en la ida eal y no son nada in ui i os. A ni el de
lenguaje es igu osa y ela i amen e coloquial, con un amplísimo ocabula io, pe o
p ecisamen e, esa al a de con ex o y de imágenes isuales no pe mi e al alumno el uso de
in uición y no pe mi e el uso de la lógica pa a pode comp oba si los esul ados en an en el
campo de la azón. El lib o cub e bas an es de los sabe es básicos, aunque p esen a ca encias
con espec o a, po ejemplo, magni udes, ya que solo p esen a un cambio de unidades a una
unidad imagina ia o pa ón “widge ”, elemen o muy poco in ui i o. El lib o iene ca encias
p opias de los iempos ac uales y se basa en el ap endizaje po asimilación de conocimien os y
no explo a la capacidad del alumno de busca he amien as y conocimien os pa a la esolución
de p oblemas inculados a desempeños en la ealidad. Como lib o pa a el ap endizaje eó ico y
como apoyo es una excelen e he amien a pa a la adquisición de conocimien os, pe o no muy
adecuada como base pa a cumpli las ac uales exigencias educa i as de un ap endizaje po
Compe encias.

70
9. ANALISIS DE UN PROBLEMA DEL LIBRO DE CLASE
Pa a analiza las posibles causas que p o ocan e o es en los alumnos , usa emos el modelo
de azonamien o de Van Hiele usando los 4 p ime os ni eles ya que el eje cicio es de un
ema de 3º de ESO .
Teo ía “INSCRIBIENDO ANGULOS EN CIRCULOS”.
Aunque no iene de inido en el lib o de clase, la di icul ad de es e ema se ia ap opiada pa a
los alumnos de 3º de la ESO.
Ilus ación 1 del lib o “Geome y o he Class oom” de Clemens
Como podemos e en el ejemplo de eo ía, apa ece descon ex ualizado, los é ices no
ienen de inidos po lo que implica que el alumno se sien e desangelado al e el eje cicio
pues piensa que al no ene nomb es los é ices son po que es muy sencillo y si no lo
en iende es po su al a de conocimien os. Los ángulos no es án bien indicados, lo cual
puede lle a a con usión solo se en egan conclusiones sin que el alumno pueda comp oba
que e ec i amen e 2β1 = α1 lo que aumen a el g ado de di icul ad pa a a a se de un
concep o nue o
71
Como podemos e en el p oblema p ac ico, enemos que da una espues a algeb aica a
es e eje cicio. Se a a de un p oblema sin con ex o con un al o g ado de di icul ad en el que
hab á que i aplicando los conocimien os de o mación de iángulos an e io men e is os
donde no se e la inco po ación del cen o de la ci cun e encia po lo que no sabemos si el
segmen o 𝐴𝐵




pasa po el cen o y, po lo an o, el alumno puede llega a duda si debe
aplica los ejemplos de eo ía an es ci ados con espec o al ángulo cen al. Aquí los ni eles
de Clasi icación y Fo mulación y po lo an o la ase de Deducciones Fo males se pueden
e excesi amen e di íciles. Recomenda ía ejempli ica con algún paso in e medio el
p oceso pa a que uese mas isual e incluso con cie as medidas de ángulos pa a que el
p opio alumno pueda e i ica de mane a empí ica de e minados ángulos.
10. CONCLUSIONES
Una ez ecopilados odos los da os ob enidos con espec o a las hipó esis p incipales en las que
plan eábamos inquie udes sob e las ca encias de conocimien os geomé icos en el alumnado y
que se a as an has a la uni e sidad, con iene desglosa las conclusiones y pensamien os
ecogidos.
 La impo ancia de es a al día con espec o a los in o mes de e aluación educa i a, con-
g esos e inno ación educa i os, medios de in o mación y de di ulgación como he a-
mien as de mejo a y análisis de la si uación educa i a y la impo ancia de compa i y
comunica en e los p o esionales de la educación las de iciencias y anomalías que se
de ec an egula men e pa a pode ealiza un adecuado diagnós ico de la p oblemá ica y
pode emedia lo lo an es posible.
 La alidez del modelo Teó ico de las ases de ap endizaje de Van Hiele como he a-
mien a de in es igación educa i a que nos pe mi e e alua di ec amen e a los es udian-
es con el in de que a pa i de una se ie de p uebas basadas en una hipó esis podamos
72
diagnos ica un p oblema educa i o y como es e modelo eó ico se acomoda pe ec a-
men e a la si uación ac ual de 2024 en el que se es a ealizando una ansición educa i a
de impo an es consecuencias an o pa a el p o eso ado como pa a el alumnado.
 La necesidad de hace una e lexión sob e la educación ac ual plan eada po el minis e-
io de Educación de España y mis expe iencias como alumno. La educación ac ual a a
de adap a se a la nue a e a de la in o mación e in e ne donde los conocimien os y he-
amien as pa a el desa ollo p o esional de los alumnos son an bas os que exigen una
p o esionalización desde edades muy emp anas y la necesidad de o mación con inua
de los indi iduos a lo la go de su ida. Po ello y as los esul ados de in o mes e alua-
do es como el in o me PISA, las di ec i as eu opeas plan ea on una e o ma educa i a
que se ha de o ien a mas hacia las habilidades y compe encias de los alumnos más que
hacia los conocimien os. La idea es que el alumno adquie a las capacidades y he a-
mien as pe sonales que le pe mi an an o esol e p oblemas a los que se en en e como
las habilidades y disciplinas pa a si no iene conocimien os, sea au osu icien e a la ho a
de busca in o mación y o ma se de mane a au ónoma. Es os cambios legisla i os no
ienen ni debe án a ec a a una se ie de conocimien os, des ezas y ac i udes básicos que
son el con enido p opio de un á ea, y que son i ales pa a el ap endizaje de cualquie
conocimien o u u o y mas complejo. Es o se man iene en la ac ual ley LOMLOE y se
denominan Sabe es Básicos, en la an e io ley LOMCE se les denominaban Con eni-
dos, y son los sabe es imp escindibles que ma ca el cu ículo. El p oblema, a pa e del
cambio de de inición es que un mismo sabe básico se puede usa en a ias compe en-
cias po lo que es necesa io conec a las y complica la labo del docen e pues ahí en a la
in e p e ación del p o eso a la ho a de elaciona un sabe básico con la Compe encia
Especi ica bu oc a izando en exceso la labo de docencia y ala gando la jo nada labo al
pa a pode documen a simplemen e una si uación de ap endizaje, complicándolo odo
en exceso. Si den o de los sabe es básicos se incluye un ema o conocimien o que no
apa ece en la legislación y que el p o eso e que debe impa i po que es necesa ia, el
p o eso debe á busca bajo su p opio c i e io las conexiones con las compe encias es-
peci icas que el c ea mas adecuadas, lo que pod ía lle a a disc epancias con la inspec-
ción educa i a.
 Al es udia los sabe es básicos es ipulados en la ley y elacionados con las compe en-
cias especi icas podemos e una elación implíci a con los ni eles de Van Hiele de RE-
CONOCIMIENTO, ANALISIS Y CLASIFICACION, FORMULACIÓN. El plan ea-
mien o an o de las clases como de los eje cicios, p oblemas o abajos po pa e del
p o eso se án ele an es a la ho a de cumpli el ni el de DEDUCCIONES FORMA-
LES en los alumnos y de mejo a su educación y po an o sus compe encias.
73
 Como he indicado en es e abajo, las In es igaciones del didac a S. Vinne , las ayudas
isuales y los ejemplos g á icos pueden no ayuda a la ho a de que el alumno ob enga
las capacidades de abs acción necesa ia a la ho a de comp ende de e minados concep-
os. Es i al que el alumno ap enda, comp enda e in e io ice a a és del uso habi ual
del lenguaje ma emá ico de la misma mane a que se ap ende un idioma y las nue as
ecnologías que en eo ía son un apoyo, mas que ayuda solo disimulan un p oblema
pues al inal el alumno no sabe comunica ideas o concep os y solo se quedan con la
imagen isual que es mas e ec is a y no con de iniciones ni con azonamien os.
 O o de alle a ene en cuen a son los al os endimien os académicos donde la si uación
an o social como cul u al es a o able. El hecho de que, como pasa en Asia, la buena
alo ación del unciona iado docen e, la cul u a del espe o, la conciliación amilia y el
seguimien o con inuo de los esul ados académicos del alumno, los es ue zos amilia es
en la o mación de los hijos y el apoyo de los es ados esul an de e minan es.
 Los lib os an iguos son una excelen e he amien a en el uso de un lenguaje ma emá ico
y pa a el azonamien o del alumno y la o malización de es e lenguaje ma emá ico pe o
sus eje cicios descon ex ualizados y abs ac os en exceso pueden ab uma al alumnado
y desmo i a lo aun en a eas sencillas. Pa a el caso del lib o de ejemplo p opongo la
elabo ación de unos eje cicios con con ex os de la ealidad basados en los concep os
que se explican en los susodichos emas, lo que los hace mas a ac i os y mas accesi-
bles a los alumnos.
 O a p opues a pa a las clases de geome ía es explica las pa es del lenguaje ma emá-
ico aplicado como si se a ase del ap endizaje de cualquie o o idioma, con ex uali-
zando su uso y en el que los p opios alumnos usen e inco po en a su léxico de iniciones
ma emá icas.