Facul ad de Ciencias
T abajo de Fin de G ado
G ado en Ma em´a icas
El Teo ema de Cayley-Bacha ach y Ma em´a ica
Disc e a
Au o : Edua do Quin ana Ade a
Tu o : An onio Campillo
Julio 2020
1 In oducci´on:
El es udio de la geome ´ıa algeb aica iene un la go eco ido en el campo de las
ma em´a icas y es que en ende su compo amien o ha supues o un g an a ance en
es as.
En es e ex o empeza emos es udiando algunas de las p opiedades m´as b´asicas
de las cu as algeb aicas planas, ep esen a emos algunas igu as cl´asicas y ca ac-
e iza emos la elaci´on que poseen es as con sus impl´ıci as. Dos de los p incipales
es udios p ecu so es en es a ama end ´ıan de la mano de Maclau in C. Maclau in,
(6) yC. Maclau in, (7) en los que se asen a on las p ime as de las bases sob e los
concep os que amos a a a a con inuaci´on. Pos e io men e su abajo se ´ıa am-
pliado en G. C ame , (4) en el que se p opusie on 250 ejemplos de cu as dis in as.
Aunque el es udio de cu as sob e cue pos ini os o ece una g an he amien a, espe-
cialmen e en el ´ambi o de la c ip og a ´ıa y los c´odigos co ec o es, nos cen a emos
´unicamen e en cu as algeb aicas en espacios sob e cue pos in ini os.
Apoyados en la eo ´ıa que ya conocemos abaja emos con esul ados muy pode osos
como el Teo ema D´ebil de Bezou , dado a conoce po p ime a ez en E. Bezou ,
(2), en el cual nos apoya emos pa a demos a esul ados muy impo an es en el
campos de las ecuaciones algeb aicas como el Teo ema de los Ce os de Hilbe o el
Lema de S udy.
Como aplicaci´on al Teo ema D´ebil de Bezou , es udia emos los eo emas de ge-
ome ´ıa cl´asicos sob e c´onicas y c´ubicas p oyec i as. En e ellos pueden des aca
el eo ema de Pascal, cuya p ime a demos aci´on o mal se emon a a B. Pascal,
(8) y se ´ıa gene alizado po M¨obius en 1847 pa a pol´ıgonos de 4n+ 2 lados; el
Teo ema de Pappus, a ibuido a Pappus de Alejand ´ıa en el a˜no 340; el Teo ema
de Ca ac e izaci´on de C´onicas que nos dice que una c´onica p oyec i a se encuen a
inequ´ı ocamen e iden i icada po 5 pun os siemp e y cuando cua o de es os no se
encuen en alineados; es e esul ado se ´ıa gene alizado po C ame pa a cu as no
degene adas de g ado a bi a io. Pa icula men e nos cen a emos en los Teo emas
de Cayley-Bacha ach, el Teo ema de Chasles p obado po es e en M. Chasles, (3) y
su gene alizaci´on p obada en I. Bacha ach. (1).
T as el es udio de es os eo emas cl´asicos nos cen a emos en ca ac e iza y
explica el g upo inducido po una cu a el´ıp ica a a ´es del Teo ema de Cayley-
Bacha ach y en explica la ele ancia que posee es a es uc u a a d´ıa de hoy pa a la
cibe segu idad y la p o ecci´on de da os.
Finalmen e se abaja ´a sob e la hip´o esis de Di ac-Mon zkin desde un pun o de
is a his ´o ico, pa iendo desde el eo ema de Syl es e -Gallai (1944) como pun o de
inicio y inalizando en la co a dada po Ben G een y Te ence Tao B. G een e Al, (7).
1
En es o espe amos o ece un pun o de is a pedag´ogico e in oduc o io de las
ecuaciones algeb aicas. Un con ex o en el abajo de cu as p oyec i as pa a g ado
dos y es; y ab i la is a a sus ac uales aplicaciones a a ´es de los g upos inducidos
y el es udio p ecu so de G een-Tao.
2
2 Cu as Algeb aicas:
2.1 Ecuaciones Impl´ıci as:
A lo la go de es e ex o u iliza emos la no aci´on An
kyPn
kpa a e e i nos al Espacio
A ´ın yEspacio P oyec i o de dimensi´on ny sob e el cue po k espec i amen e.
En el caso del espacio a ´ın, un polinomio ∈k[X1, ..., Xn] induce una unci´on
polinomial An
k→ka a ´es del homomo ismo de sus i uci´on. Sin emba go, pode-
mos encon a el p oblema de que dos polinomios dis in os inducen la misma unci´on.
A ejemplo eamos que dado pp imo los polinomios XpY−1 y XY −1 inducen
la misma unci´on sob e A2
Zp.
Es e p oblema se esuel e inmedia amen e limi ´andonos a abaja con cue pos
in ini os.
Lema 2.1 Si kes un cue po in ini o, en onces pa a odo ∈k[X1, ..., Xn]no nulo
exis e alg´un a∈An
k al que (a)6= 0. Como consecuencia, dos polinomios dis in os
de inen unciones dis in as.
Demos aci´on: Razonemos po inducci´on.
En el caso n= 1, y como esul ado del eo ema undamen al del ´algeb a, se iene
que un polinomio de g ado dpuede ene a lo sumo d a´ıces.
Aho a supongamos que es o se cumple pa a el caso n−1 y eamos que ocu e
pa a el caso n.
Sea ∈k[X1, ..., Xn] s.p.g. es e puede se exp esado en unci´on de Xnde la
siguien e o ma:
=g0(X1, ..., Xn−1) + ... +gd(X1, ..., Xn−1)Xd;g0, ..., gd∈k[X1, ..., Xn−1]
Como gd6= 0, po hip´o esis de inducci´on, exis e a∈An−1
k al que gd(a)6= 0. As´ı
pues:
g0(a) + ... +gd(a)Xd∈k[Xn]
Y nue amen e, en i ud del eo ema undamen al del ´algeb a, podemos encon-
a b∈k al g0(a) + ... +gd(a)bd6= 0.
3
Una ez p obado el esul ado p incipal, omemos , g ∈k[X1, ..., Xn] dis in os.
Cla amen e su di e encia −gsigue pe eneciendo a k[X1, ..., Xn] y es dis in a del
polinomio nulo, as´ı pues, exis e a∈An
k al que ( −g)(a)6= 0 de iniendo as´ı yg
unciones dis in as.

De inici´on 2.1 La hipe supe icie alg ab aica asociada al polinomio ∈k[X1, ..., Xn]
es el conjun o de alo es:
V( ) := {(x1, ..., xn)∈An
k: (x1, ..., xn) = 0}
Si n= 2 deno a emos el conjun o V( )po cu a plana a ´ın.
En ando de lleno en el e eno del p oyec i o, de ini es e ipo de unciones nos
ocasiona muchos m´as p oblemas. Tomando po ejemplo el polinomio =X3−Y∈
R[X, Y, Z] y omemos a su ez el pun o (1 : 1 : 0) ∈P2
R. Si sus i uimos de o ma
na u al las coo denadas en el polinomio ob enemos el alo (1,1,0) = 0; aho a
bien, acudiendo a la equi alencia en e las coo denadas del p oyec i o se iene que
(2 : 2 : 0) = (1 : 1 : 0) y sin emba go (2,2,0) = 6.
Vamos a in en a gene aliza el concep o de hipe supe ice al espacio p oyec i o.
Pa a ello nos in e esa ´a conoce la clase de polinomios que se anulan en un pun o
del p oyec i o con independencia de las coo denadas escogidas.
De inici´on 2.2 Se dice un polinomio es homog´eneo si odos sus monomios son del
mismo g ado.
Lema 2.2 Sea F∈k[X0, ..., Xn]un polinomio no nulo de g ado d. En onces Fes
homog´eneo s´ı y s´olo s´ı F(TX0, ..., TXn) = TdF(X0, ..., Xn).
Demos aci´on: Es cla o que si Fes homog´eneo en onces F(TX0, ..., TXn) =
TdF(X0, ..., Xn) (bas a ´ıa saca ac o com´un a cada a iable y cada monomio).
Po o o lado, supongamos que Fcumple la p opiedad en la que F(TX0, ..., TXn) =
TdF(X0, ..., Xn). Aho a, odo polinomio se puede descompone en suma de poli-
nomios homog´eneos, as´ı pues exp esemos Fde la siguien e mane a:
F=F0(TX0, ..., TXn) + ... +Fd(TX0, ..., TXn)
Donde cada Fies un polinomio homog´eneo de g ado i(o nulo).
Aplicando aho a que F(TX0, ..., TXn) = TdF(X0, ..., Xn, y que es a misma
p opiedad se cumple sob e los polinomios homog´eneos se iene que:
4

TdF(X0, ..., Xn) = F(TX0, ..., TXn) = T0F0(X0, ..., Xn) + ... +TdFd(X0, ..., Xn)
Igualando ´e mino a ´e mino espec o a las po encias de Tconcluimos que
F=Fdy po an o es e es un polinomio homog´eneo.

El lema an e io nos indica que cualquie pun o del p oyec i o que se anule sob e
un polinomio homog´eneo lo ha ´a con independencia de sus coo denadas.
De inici´on 2.3 La hipe supe icie algeb ´aica p oyec i a asociada al polinomio ho-
mog´eneo F∈k[X0, ..., Xn] iene dada po el conjun o:
V(F) := {(a0:... :an)∈Pn
k:F(a0, ..., an) = 0}
En caso de que n= 2 di emos que V(F)es una cu a p oyec i a plana.
Una p opiedad impo an e a ene en cuen a a lo la go de nues o es udio de los
polinomios homog´eneos se ´ıa la siguien e:
Teo ema 2.1 Sea F∈k[X0, X1]un polinomio homog´eneo no nulo de g ado den-
onces V(F)posee a lo sumo dpun os sob e P1
k. De hecho, si kes algeb aicamen e
ce ado la co a an e io se con ie e en igualdad, siemp e que cada a´ız se cuen e
con su mul iplicidad.
Demos aci´on: Tomemos F∈k[X0, X1] de g ado dsin p´e dida de gene alidad
y descompongamos es e en X
0ˆ
Fdonde ˆ
Fes no di isible po X0.
Es cla o que si > 0 en onces (0 : 1) ∈Fy ice e sa. Tomemos a con inuaci´on
y sin p´e dida de gene alidad un pun o (a0:a1)∈P1
k al que a06= 0. La siguien e
cadena de implicaciones se cumple de o ma inmedia a:
F(a0, a1)=0⇒ˆ
F(a0, a1) = 0 ⇒ˆ
F(1, a−1
0a1)=0
La p ime a de las implicaciones se debe a que kes un cue po, a06= 0 y po
an o a
06= 0; haciendo uso a con inuaci´on de la ley de anulaci´on se llega a la
conclusi´on de que ˆ
F(a0, a1). Pa a la segunda hemos de pe ca a nos que ˆ
Fes ho-
mog´eneo y po an o ˆ
F(a0, a1) = a0ˆ
F(1, a−1
0a1) = 0, nue amen e po ley de anulaci´on
ˆ
F(1, a−1
0a1)=0
Po ´ul imo, ˆ
F(1, a−1
0a1) puede se en endido como un polinomio de g ado d−
sob e una inde e minada, as´ı pues y en i ud del Teo ema Fundamen al del ´
Algeb a
5
se iene que es e posee a lo sumo d− a´ıces.
Es o p oba ´ıa que Fse anula a lo sumo en dpun os de P1
k.
Po ´ul imo, se kes algeb aicamen e ce ado F(1, X) descompone en d− ac o es
lineales y po an o la co a an e io se con ie e en igualdad, eniendo en cuen a la
mul iplicidad de las a´ıces.

A con inuaci´on e emos que podemos es udia las cu as p oyec i as a a ´es de
las cu as a ines y ice e sa:
De inici´on 2.4 Sea ∈k[X, Y ]de g ado dse de ine el homogenizado de es e como:
F(X, Y, Z) = Zd (X/Z, Y/Z)
P oposici´on 2.1 El homogenizado de un polinomio es un polinomio homog´eneo:
Demos aci´on: P ime o debemos p oba que e ec i amen e el homogenizado
es un polinomio. Tomemos ∈k[X, Y ] de g ado dy eamos que es a sus i uci´on
de ine un monomio en es a iables sob e cualquie monomio de , y po ende, la
sus i uci´on de ine un polinomio en es a iables:
Sea as´ı pues λXiYj al que 0 ≤i, j ≤dyi+j≤d. El homogenizado de
es e monomio se ´ıa λZd−i−jXiYjy como d−i−j≥0 es e es un monomio sob e
k[X, Y, Z], concluyendo as´ı que el homogenizado de un polinomio es un polinomio.
Veamos aho a que es homog´eneo. Se iene que F(TX, TY, TZ) =
= (TZ)d (X/Z, Y/Z) = TdF(X, Y, Z) as´ı pues, po (2.2) Fes homog´eneo.

De inici´on 2.5 Sea F∈k[X, Y, Z]de g ado dy homog´eneo se de ine el deshomog-
enizado de es e como:
(X, Y ) = F(X, Y, 1)
De las de iniciones an e io es se iene que oda cu a p oyec i a de ine una cu a
a ´ın y ice e sa. De hecho amos a e que nos da lo mismo es udia el sopo e en
una u o a en i ud del siguien e esul ado:
An es de siquie a enuncia lo, con enimos que la ec a del in ini o sob e P2
kes
aquella gene ada po la ecuaci´on Z= 0.
6
P oposici´on 2.2 Sea F∈k[X, Y, Z]un polinomio homog´eneo de g ado dy ∈
k[X, Y ]su deshomogenizado se iene que si (x0:x1:x2)∈V(F) V(Z)en onces
(x0x−1
2, x1x−1
2)∈V( ).
Demos aci´on: Fij´emonos que como (x0:x1:x2)6∈ V(Z) en onces x26= 0
y po an o (x0:x1:x2) = (x0x−1
2:x1x−1
2: 1). Adem´as po (2.2) se iene que
0 = F(x0:x1:x2) = x−1
2F(x0x−1
2:x1x−1
2: 1) = x−1
2 (x0x−1
2, x1x−1
2)

P oposici´on 2.3 Sea ∈k[X, Y ]un polinomio de g ado dyF∈k[X, Y, Z]su
homogenizado se iene que si (x0, x1)∈V( )en onces (x0, x1,1) ∈V(F).
Demos aci´on: Aplicamos simplemen e la de inici´on.

2.2 Teo ´ıa Cl´asica. Teo ema D´ebil de Bezou . Lema de
S udy
Supongamos aho a que poseo dos cu as algeb aicas planas. Una inquie ud pod ´ıa
se conoce en que pun os del plano se an a co a es as y cuan as eces.
Como e emos a con inuaci´on, en el caso de que se enga una pa ame izaci´on
de las cu as, es a se ´a una a ea ela i amen e ´acil. Pe o puedo es a en el caso
con a io y s´olo posee la ecuaci´on impl´ıci a de es as. De hecho, la pa ame izaci´on
global no exis e pa a oda cu a sino s´olo pa a aquellas conocidas como cu as
acionales.
A lo la go de es a secci´on e emos como palia es a se ie de p oblemas en muchos
de los casos.
De inici´on 2.6 Sea Aun DFU, se llama esul an e de los polinomios =a0+
a1X+... +anXnyg=b0+b1X+... +bmXmal de e minan e:
es( , g) =

a0a1· · · an0 0 · · · 0
0a0· · · an−1an0· · · 0
.
.
..
.
.
0· · · 0a0a1· · · an−1an
b0b1· · · bm−1bm0· · · 0
0b0· · · bm−2bm−1bm· · · 0
.
.
..
.
.
0· · · 0b0b1· · · bm−1bm

7
En e muchas de las p opiedades de la esul an e podemos des aca un esul ado
undamen al en nues o es udio.
Teo ema 2.2 Sean , g ∈k[X], en onces es( , g)=0s´ı y s´olo s´ı ygposeen al
menos un ac o en com´un.
La demos aci´on de es a p opiedad pa a cue pos algeb aicamen e ce ados nece-
si a de no aci´on compleja. Es po es o que dejamos al lec o in e esado en el esul-
ado una posible ´ıa pa a demos a es e en Algeb a, Lang, p.200-202, P op 8.1. o
en las no as de ´algeb a del g ado.
Co ola io 2.1 Sea kalgeb aicamen e ce ado y , g ∈k[X]dos polinomios, en-
onces el conjun o
C={(p( ), q( )) : ∈k}
es una cu a algeb aica plana sob e A2
k.
Demos aci´on: Es cla o que el pun o (a, b)∈Cs´ı y s´olo s´ı los polinomios
(X)−ayg(X)−bposeen una a´ız en com´un, o equi alen emen e po el eo-
ema an e io , si es( (X)−a, g(X)−b) = 0, as´ı pues de inimos el polinomio
h(X, Y ) = esZ( (Z)−X, g(Z)−Y) eniendo de o ma di ec a que V(h) = Cy
po an o siendo Ccu a.

P oposici´on 2.4 Sean , g ∈k[X, Y ]. Si (a, b)∈V( )∩V(g)en onces aes a´ız
de esY( , g)(X)ybes a´ız de esX( , g)(Y). En pa icula , si ygno poseen
ac o es comunes en onces V( )∩V(g)es un conjun o ini o.
Demos aci´on: Asumiendo la p ime a pa e cie a, la segunda se ´ıa inmedia a.
Como ygson cop imos en e s´ı, esX( , g)(Y) y esY( , g)(X) se ´ıan polinomios
en una a iable y po el Teo ema Fundamen al del ´
Algeb a s´olo pod ´ıan ene un
n´ume o ini o de a´ıces.
Pues o que el enunciado de la p ime a pa e es sim´e ico, nos bas a ´a p oba
que aes a´ız de esY( , g)(X). Deno emos po F(Y) = (a, y) y G(Y) = g(a, y).
Pues o que bes a´ız com´un a FyGse iene que 0 = es(F, G) = esY( , g)(a).

Teo ema 2.3 (Teo ema D´ebil de Bezou ) Sean F, G dos polinomios homog´eneos
sob e k[X0, X1, X2]de g ados eydy p imos en e s´ı, espec i amen e. En onces, si
kes in ini o, V(F)∩V(G)posee a lo sumo d·epun os.
8
Lema 3.2 La dimensi´on del espacio Pdes d+2
2−1.
Demos aci´on: S´olo debemos encon a una base pa a Vd, y es cla o que los
polinomios de la o ma Xi
1Xj
2Xk
3con i+j+k=dyi, j, k ∈0, ..., d con o man una
base pa a es e, as´ı pues s´olo debemos encon a el n´ume o de soluciones a la ecuaci´on
an e io . A a ´es de combina o ia sabemos que las soluciones a es a ecuaci´on son
d+2
2. Teniendo la dimensi´on de Vd, su p oyec i izado posee ´a uno menos.

Lema 3.3 El sis ema lineal de las cu as p oyec i as de g ado dque pasan po un
pun o a∈P2
kcon o ma un hipe plano de Pdque iene al pun o acomo ´unico pun o
base.
Demos aci´on: Vayamos a Vdy no emos que el mo ismo de e aluaci´on
φa:Vd→k
F→F(a)
induce un homomo ismo de espacios ec o iales en el que Ke (φa) con o ma ´ıa el
espacio de los polinomios homog´eneos de g ado dque se anulan en aposeyendo
dimensi´on dim(Vd)−1 (pues o que dim(Ke (φa)) = dim(Vd)−dim(Im(φa) =
dim(Vd)−dim(k) = dim(Vd)−1).
A pa i de aqu´ı hemos no a que el p oyec i izado de Ke (φa) se ´ıa e ec i a-
men e el espacio de las cu as que pasan po el pun o ay adem´as posee ´ıa dimensi´on
dim(Pd)−1 po ca ac e izaci´on del espacio p oyec i o.
Finalmen e aes el ´unico pun o base de ∇pues pa a cualquie o o pun o b6=a
exis e [F]∈ ∇ al que F(b)6= 0 (nos bas a oma la ecuaci´on de una ec a que pase
po ay no po by ele a la a d).

Lema 3.4 Sea ∇un sis ema de cu as de dimensi´on mayo o igual que 1 son equi -
alen es:
a) ∇es un haz.
b) Exis e un pun o a∈P2
k al que hay una ´unica cu a C∈ ∇ que pasa po es e.
c) Exis en dos pun os a, b ∈P2
k ales que ninguna cu a de ∇pasa po es os de
o ma simul ´anea.
15

Demos aci´on:
a⇒b. Supongamos que ∇es un haz y omemos un pun o a∈P2
k al que alguna
cu a de ∇no pase po es e ( eco demos que es o es posible pues o que kes in ini o).
A pa i de aqu´ı omemos el hipe plano de cu as que pasen po ay deno emos es e
po Ha, en i ud de la F´o mula de G assman se iene que la dimensi´on de ∇con
Haes un espacio de dimensi´on 0, es deci , una ´unica cu a.
b⇒c. Sea a∈P2
k al que C∈ ∇ es la ´unica cu a en ∇pasa po a. Nos bas a
oma b6∈ Cpa a ninguna cu a de ∇pase simul ´aneamen e po ayb.
c⇒a. Tomemos pun os aybseg´un hip´o esis, deno emos po HayHbal
espacio de las cu as que pasan po ayb, po Da la dimensi´on de Pd. Razonemos
po educci´on al absu do y supongamos que la in e secci´on de ∇con HayHbes
ac´ıa y ∇posee dimensi´on mayo que 1. Aplicando la F´o mula de G assman se
iene que D−2≤dim(Ha∩Hb)≤D−1 y dim(∇+Ha∩Hb)≥Dy a su ez
dim(∇+Ha∩Hb)≤D(po se Dla dimensi´on del o al). U ilizando nue amen e
es a ´o mula llegamos a absu do pues:
1< dim(∇) = dim(∇+Ha∩Hb) + dim(∇ ∩ Ha∩Hb)−dim(Ha∩Hb)≤
≤D−1−(D−2) = 1
Llegando as´ı a absu do.

Teo ema 3.4 Todo sis ema lineal de c´onicas que pase po cua o pun os es un haz
s´ı y s´olo s´ı los cua o pun os no se encuen an alineados.
Demos aci´on: Deno emos po A1, A2, A3yA4a los pun os en cues i´on y po
∇al sis ema de c´onicas que pasa po es e. Como es amos abajando con un sis ema
lineal de c´onicas su dimensi´on es mayo que 1 po el lema (3.4) y en i ud del lema
(3.3), ∇se ´a un haz s´ı y s´olo s´ı exis e un pun o a∈P2
k al que s´olo pase po es e
una ´unica cu a de ∇. Aho a azonemos po casu´ıs ica.
- Si A1, A2, A3yA4es ´an alineados en onces es ´an con enidos en una ec a y po
ende cualquie c´onica C∈ ∇ end ´a po componen e a L. Fij´emonos que pa a cada
a∈P2
k ijo puedo oma in ini as ec as que, unidas con L, con o ma ´an una c´onica
pe enecien e a ∇; as´ı pues pa a cada pun o del plano exis en in ini as cu as de ∇
que pasan po es e y po an o ∇no puede se un haz.
- Supongamos sin p´e dida de gene alidad que A1, A2, A3es ´an alineados. En-
onces oda c´onica de ∇se ´a la uni´on de la ec a Lque con iene a A1, A2yA3, con
o a ec a que con iene a A4. As´ı pues, omemos un pun o a∈P2
k L∪ {A4}, en-
onces la c´onica L∪A4ase ´a la ´unica cu a de ∇que pase po ay po an o es un haz.
16
- Finalmen e supongamos que los pun os es ´an en posici´on gene al, es deci , que
no hay es de ellos alineados. En onces la c´onica A1A2∪A3A4es a ´a con enida
en ∇y se ´a la ´unica c´onica que pase po el pun o de in e secci´on en e ambas ec as.

Co ola io 3.1 Una c´onica es ´a un´ı ocamen e iden i icada po 5 de sus pun os s´ı y
s´olo s´ı 4 de es os no es ´an alineados. Adem´as si los es pun os es ´an en posici´on
gene al la c´onica es i educible.
Demos aci´on: P ocedamos po casu´ıs ica:
- Si 4 de los 5 pun os es ´an con enidos en una ec a L, en onces cualquie ec a
que pase po el quin o conjun o a Lcon o man una c´onica (y exis en in ini as ec as
que pasen po es e).
- Supongamos que 3 de los 5 pun os pe enecen a una ec a L, en onces no queda
o a que los dos es an es pe enezcan a una ec a Ry la c´ubica en cues i´on se ´ıa la
uni´on de ambas.
- Supongamos aho a que los pun os es ´an en posici´on gene al. En i ud del
eo ema (3.4) las c´onicas que pasan po 4 de es os cinco pun os con o man un haz
que deno a emos ∇. A es e haz pe enece una c´onica con o mada po la uni´on de
dos ec as, una que con iene a 2 de es os cua o pun os y o a que con iene a los
2 es an es. Po hip´o esis, es a c´onica no se encuen a con enida den o del hipe -
plano de c´onicas que pasan po el quin o pun o. Po an o la c´onica buscada es la
in e secci´on de ∇con el hipe plano de las c´onicas que pasan po el quin o pun o y
en unci´on de la F´o mula de G assman es a consis e en un ´unico pun o, e go es a es
´unica.
Po o o lado, la c´onica en cues i´on es i educible pues o que si uese la uni´on de
dos ec as, 3 de los 5 pun os debe ´ıan es a con enidos en alguna de las ec as a la
ue za.

Los esul ados sob e c´onicas an e io es nos pe mi en encon a la ecuaci´on min-
imal pa a cualquie c´onica a a ´es de 5 pun os que pasen po es a abajando
median e haces. En pa icula es o nos se ´a de in e ´es en el caso de que es os cinco
pun os es ´en en posici´on gene al, pues sino se ´a la uni´on de dos ec as.
Teo ema 3.5 El sis ema lineal de c´ubicas que pasan po ocho pun os es un haz s´ı
y s´olo s´ı no es ´an odos en una c´onica o cinco en una ec a.
17
Demos aci´on: Deno emos po A1, ..., A8a los pun os po los que pasa el sis-
ema lineal de c´ubicas que de inen y po ∇a es e. Po la F´o mula de G assman es e
posee ´a dimensi´on mayo o igual que 1 (pues es amos in e secando 8 hipe planos en
un espacio de dimensi´on nue e) y po el lema (3.3) ∇se ´a un haz si exis e apo el
que pase una ´unica c´ubica de ∇. Razonemos po casu´ıs ica:
- Supongamos que A1, ..., A8pe enecen a una misma c´onica C, en onces pa a
cada a∈P2la uni´on de Cy una ec a que pase po ase ´a una c´onica eniendo as´ı,
en i ud del lema (3.4) que ∇no es un haz.
Fij´emonos que o a o ma de a gumen a el caso an e io es deci que hay es
c´ubicas con ecuaciones linealmen e independien es que pasan po ocho pun os.
- Supongamos, sin p´e dida de gene alidad, que A1, ..., A5pe enecen a una ec a
L. En i ud de (3.3), ijado a∈P2
ksin p´e dida de gene alidad exis e un sis ema
lineal de c´onicas de dimensi´on mayo o igual que 1 que pasa po A6, ..., A8, a. La
uni´on de cualquie a de es as c´onicas con Lcon o man una c´ubica que pasa po ay
en i ud de (3.4) ∇no puede se un haz.
Res a ´ıa e pa a los casos no alo ados en la hip´o esis:
- Supongamos sin p´e dida de gene alidad que a lo sumo A1, ..., A4se encuen an
alineados en una ec a L. Si A5, ..., A8se encuen an en una ec a L0en onces odos
ellos ecae ´ıan en una c´onica e go no se encuen an alineados. Po (3.4) las c´onicas
que pasan po A5, ..., A8con o man un haz. As´ı pues, omando a∈P2
k L∪ {AiAj}
con i, j = 5,6,7,8 (pues ij´emonos que es de los cua o pun os si pueden es a alin-
eados), se end ´ıa que A5, ..., A8, a no es ´an alineados y po (3.1) exis e una ´unica
c´onica que pasa ´ıa po es os cinco e ine cialmen e la uni´on de es a con la ec a L
se ´ıa la ´unica c´ubica en ∇que pasa po a.
- Supongamos aho a que exis en a lo sumo es pun os alineados. Sin p´e dida
de gene alidad podemos asumi que son A1, A2, A3. Como en e A4, A5, A6, A7, A8
no exis en cua o alineados, es os de inen, en i ud de (3.1) una c´onica ´unica.
Tomando a∈L {A1, A2, A3}se iene que la uni´on de es a c´onica con la ec a L
se ´a la ´unica c´ubica de ∇que pasa po a.
Po ´ul imo es a comp oba los casos en los que no exis en es pun os alineados.
- Si sie e de los pun os, A1, ..., A7, se encuen an con enidos en una c´onica C,
pa a odo a∈P2 C∪ {A8}se iene que la ec a aA8uni´on con Cse ´a la ´unica
c´ubica de ∇que pasa po a, p obando que ∇es un haz po (3.4).
- Si seis de los pun os, asumamos A1, ..., A6, se encuen an con enidos en una
c´onica C, en onces pa a odo a∈A7A8 {A7, A8}, la c´ubica con o mada po C
uni´on A1A8se ´a la ´unica c´ubica de ∇que pasa po a, p obando que ∇es un haz
po (3.4).
- Po ´ul imo, supongamos que no exis e una c´onica que pase po seis de los pun-
os. Tomemos pues una c´onica Cque pase po cinco de ellos, asumamos sin p´e dida
de gene alidad que es os son A1, A2, A3, A4yA5, y omemos a, a0∈C {A1, ..., A5}
18
(es o siemp e se puede hace pues cinco pun os de inen una c´onica un´ı ocamen e
siemp e que cua o de ellos no es ´en alineados). A con inuaci´on si suponemos que
Ces componen e de alguna c´ubica en ∇, en onces no queda ´ıa o a y A6, ..., A8
debe ´ıan es a con enidos en alguna ec a Llo cual es absu do pues po hip´o esis
no pod´ıa habe es pun os alineados. Es o implica que no exis e ninguna c´ubica en
∇que pase po aya0simul ´aneamen e y po (3.4) es a es un haz.

T as odas es a eo ´ıa o almen e necesa ia, amos a p oba uno de los esul ados
p incipales en nues o es udio, el P ime Teo ema de Cayley-Bacha ach.
Teo ema 3.6 (Cayley-Bacha ach I) Si Ces una c´ubica i educible, en onces el sis-
ema lineal de c´ubicas po ocho pun os dis in os de Ces un haz. En pa icula , si
o a c´ubica Dco a a Cen nue e pun os dis in os en onces cualquie c´ubica que
pase po ocho de esos nue e pun os ambi´en pasa ´a po el no eno.
Demos aci´on: Como Ces una c´ubica i educible, en i ud del Teo ema D´ebil
de Bezou , no puede ene m´as de seis pun os en una c´onica o es alineados, as´ı
pues, po (3.5) las c´ubicas que pasen po ocho pun os de de C o man un haz, que
deno a emos ∇. Si o a c´ubica Dco a a Cen es os 8 y uno m´as, en pa icula ,
pe enece ´a a ∇. As´ı pues, como ∇es un haz, oda cu a pe enecien e a es e se en-
con a ´a gene ada po una combinaci´on lineal de las ecuaciones minimales de CyD
e go cualquie o a cu a que co e a Cen esos ocho pun os, es deci , que pe enezca
a∇, se anula ´a de o ma inmedia a en ese no eno pun o po ca ac e izaci´on de su
ecuaci´on impl´ıci a.

Eliminando la condici´on de i educibilidad ob enemos un enunciado simila ,
conocido como Teo ema de Chasles y p obado po es e mismo en M. Chasles, T ai ´e
des Sec ions Coniques, 1841.
Teo ema 3.7 (Cayley-Bacha ach II) Si Ces una c´ubica sob e P2
kyDo a c´ubica
que co e a la an e io en nue e pun os, en onces cualquie o a c´ubica que co e a
las an e io es en 8 de los pun os ambi´en lo ha ´a en el no eno.
Demos aci´on: Deno emos po A1, ..., A9a los pun os de in e secci´on en e C
yDy azonemos po casu´ıs ica.
- Supongamos, sin p´e dida de gene alidad, que A1, ..., A8no pe enecen a una
misma c´onica y cualesquie a cinco de ellos no se encuen an alineados en e s´ı, po
(??) las c´ubicas que pasan po es os pun os con o man un haz. En i ud de es o
19
cualquie c´onica se ´a gene ada po una combinaci´on lineal de las ecuaciones lineales
de CyD(pues o que es os pe enecen al haz) y po an o cualquie c´ubica que
con enga a A1, ..., A8con end ´a ambi´en a A9.
- Supongamos aho a, nue amen e sin p´e dida de gene alidad, que A1, ..., A8es ´an
con enidos en una c´onica R. En i ud del Teo ema D´ebil de Bezou se iene que a
la ue za que Res componen e de C,Dy cualquie o a c´onica que los co e. As´ı
pues, nos bas a con oma A9en R.
- Supongamos que exis en al menos 5 pun os alineados, asumamos A1, ..., A5en
una ec a L. En i ud del Teo ema D´ebil de Bezou es a ec a o ma ´ıa una com-
ponen e de i educible de cualquie c´ubica que con enga es os cinco pun os. As´ı
pues cualquie c´ubica que pase po A1, ..., A8lo ha ´a ambi´en po A9si ijando es e
den o de la ec a L.

Es e esul ado puede se nue amen e gene alizable a cu as de g ado gen´e ico,
pe o no podemos ealiza la demos aci´on po el momen o pues necesi a emos de
eo ´ıa m´as a anzada pa a ello como el Teo ema Fundamen al de las Cu as Alge-
b aicas. Simplemen e nos limi a emos a enuncia el esul ado:
Teo ema 3.8 (Cayley-Bacha ach III) Dadas dos cu as de g ado d1yd2que se
c uzan en d1d2pun os di e en es. Cada cu a plana de g ado k, con k≥d1,k≥d2
yk≤d1+d2−3pasando po odos los pun os de in e secci´on menos d1+d2−k−1
2
ambi´en pasa ´an po el es o de pun os a menos que es os pe enezcan a una cu a
de g ado d1+d2−k−3.
El esul ado an e io se ´ıa enunciado po Cayley en A.Cayley, On he In e sec-
ion o Cu es, 1843 pe o la p ueba que es e o eci´o en´ıa cie as ca encias. En
un u u o no muy lejano, y apoy´andose en los abajos de Noe he y on B ill,
Bacha ach o ece ´ıa una p ueba comple a publicada en I. Bacha ach, Uebe den
Cayley’schen Schni punk sa z, 1886.
A pa i de es e se ha conseguido elabo a una eo ´ıa al amen e compleja que
podemos encon a ep esen ada en D. Eisenbud e Al, (1). Des acando especial-
men e que k[X0, ..., Xn] es Go ens ein (es o es que es un anillo local Noe he iano
con dimensi´on inyec i a como modulo).
20

Figu e 3: Aplicaciones del Teo ema CB
4 G upo Inducido po una Cu a El´ıp ica:
En es a secci´on amos a mos a como el Teo ema de Cayley-Bacha ach induce una
es uc u a de g upo sob e los pun os de una cu a el´ıp ica. Pe o pa a ello nece-
si a emos en ende p ime o que es una cu a el´ıp ica.
4.1 Teo ´ıa Local de Cu as (I):
Fij´emonos que podemos ex ende la noci´on de de i ada de un polinomio F∈
k[X1, ..., Xn] de g ado dgen´e ico na u al a a ´es de la de inici´on cl´asica, as´ı pues,
ep esen ando Fsob e una inde e minada Xide la o ma:
F=F0+F1Xi+...FdXd
i
Con F0, ..., Fd∈k[X0, ..., Xi−1, Xi+1, ..., Xn], de inimos su de i ada espec o de
Xicomo:
∂F
∂Xi
:= F0+...dFdXd−1
i
Donde se u iliza la no aci´on:
nG =
n
X
i=1
G
Pa a odo polinomio con coe icien es en ky na u al n.
A pa i de es a de inici´on podemos gene aliza el concep o de singula idad en
cu as algeb aicas.
De inici´on 4.1 Sea F∈k[X, Y ]un polinomio, di emos que la cu a a ´ın inducida
po es e posee una singula idad en el pun o (a, b)∈A2
ksi:
21
∂F
∂X ,∂F
∂Y (a, b) = (0,0)
De inici´on 4.2 Sea F∈k[X0, X1, X2]un polinomio homog´eneo, di emos que la
cu a p oyec i a inducida po es e posee una singula idad en el pun o (x0:x1:
x2)∈P2
ksi:
∂F
∂X0
,∂F
∂X1
,∂F
∂X2(x0, x1, x2) = (0,0,0)
Como e emos en la p oposci´on 4.1, la condici´on de inida en 4.2 equi ale a la de
4.1 pa a la ecuaci´on de la cu a en una ca a a ´ın de P2
k.
Podemos de ini ambi´en el o den de una singula idad ex endiendo de mane a
na u al el concep o he edado del an´alisis.
En e ec o, el o den o mul iplicidad de una cu a en uno de sus pun os es el p ime
en e o pa a el que la pa e homog´enea de ese g ado (en el desa ollo de Taylo del
pun o en cues i´on) no es nula. El o den es mayo que uno s´ı y s´olo s´ı el pun o es
una singula idad.
Es e concep o se puede ex ende a cu as p oyec i as es udiando el o den en
uno de sus po medio de la ecuaci´on en una ca a a ´ın y u ilizando de nue o la
p oposici´on (4.1).
As´ı pues, omando la cu´ad ica de ecuaci´on (x, y) = x2−2x+ 1 −2yx −2yy
calculando sus de i adas ienen dadas po :
∂ /∂x = 2x−2y−2
∂ /∂y = 2x−2
que se anulan simul ´anea y ´unicamen e en (1,0), como es e pun o pe enece al
sopo e, si p esen a una singula idad en ´el, pa a calcula el o den de la de i ada
calculamos el desa ollo o mal del polinomio de Taylo de en el pun o (1,0):
(x, y) = (x−1)2+ 2(x−1)y
Teni´endose que el o den de la singula idad es 2 pues o que es el meno g ado de
los monomios que componen a (en base de Taylo ).
P oposici´on 4.1 Una cu a con polinomio homog´eneo F∈k[X0, X1, X2]de g ado
dposee una singula iadad sob e un pun o P= (x0:x1:x2)s´ı y s´olo s´ı pasando
al a ´ın (a a ´es de una e e encia adecuada) la cu a de inida po su deshomo-
geneizado ambi´en posee una singula idad en (x1/x0, x2/x0).
22
Deno a emos po G adien e del polinomio F∈k[X0, ..., Xn] a la n-upla con o -
mada po sus de i adas pa ciales.
A los pun os singula es de o den dos les llama emos pun os dobles y a los de
o den es pun os iples, e c...
Demos aci´on: Fij´emonos que simplemen e omamos una e e encia adecuada
pa a e i a que la coo denada x0en Psea dis in a de ce o y consegui que es e se
encuen e ue a de la ec a del in ini o.
Po comodidad deno emos po al homogenizado de F. Como ya imos podemos
exp esa Fcomo:
F=F0+X0F1+... +X
0F
Donde es el m´aximo g ado sob e X0en los monomios de FyF0, ..., F son
polinomios homog´eneos sob e k[X1, X2]. Es cla o que el g adien e de F end ´a dado
po la e na:
∇F=F1+ 2X0F2+... + X −1
0F ,∂F0
∂X1
+... +X
0
∂F
∂X1
,∂F0
∂X2
+... +X
0
∂F
∂X2
. A su ez, de la descomposici´on an e io se iene de o ma cla a que el g adien e
de se ´ıa:
∇ =∂F0
∂X1
+... +∂F
∂X1
,∂F0
∂X2
+... +∂F
∂X2
De es o podemos ob nee la siguien e cadena de implicaciones:
∇F(x0, x1, x2) = 0 ⇒
∇F(1, x1/x0, x2/x2) = 0 ⇒
∇ (x1/x0, x2/x0) = 0
As´ı pues el g adien e del homogenizado se anula en la el pun o a ´ın a co espon-
de con P.
El ec´ıp oco se ob iene eesc ibiendo es e mismo a gumen o en sen ido con a io.

El esul ado an e io implica que podemos es udia las singula idades en una
cu a p oyec i a a a ´es de su ecuaci´on impl´ıci a, o pasando al a ´ın sob e su
deshomogenizado y es as se ´an las mismas (si se oma una e e encia adecuada).
A su ez ambi´en implica que podemos es udia las singula idades de una cu a
a ´ın gene ada po un polinomio p oyec i izando es a y abajando con su poli-
nomio homog´eneo.
23
De inici´on 4.3 Dada una c´ubica a ´ın gene ada po una ecuaci´on del ipo:
(x, y) = y2+a1xy +a3y−x3−a2x2−a4x−a6= 0
se dice que es el´ıp ica si no posee singula idades ni en A2ni en la ec a del in-
ini o en su simplecci´on p oyec i a.
Si Ces una cu a y es a puede se gene ada po una ecuaci´on simila a la de la
de inici´on an e io , dicha ecuaci´on se conoce como Fo ma de Weiess ass de C. Un
esul ado impo an e es que oda c´ubica sob e un cue po de ca ac e ´ıs ica ce o es
educible a Fo ma de Weies ass, as´ı pues oda c´ubica no singula sob e un cue po
de ca ac e ´ıs ica ce o es una cu a el´ıp ica.
P oposici´on 4.2 Sea Cuna cu a el´ıp ica sob e A2
k. Si cha (k)6 |2,3en onces
podemos encon a una ecuaci´on educida pa a la cu a de la o ma:
y2=x3+ax3+bx +c
Demos aci´on:
Tomemos una cu a Cgene ada po el polinomio y2+a1xy+a3y−x3−a2x2−a4x−
a6y ealicemos un cambio de a iable de al mane a que y= (1+1)−1(y−a1x−a3),
ealizando a las cuen as pe inen es concluimos que la nue a ecuaci´on posee la o ma:
y2=b1x3+b2x2+b3x+b4
aplicando aho a el cambio de a iable (x, y)=(x−(1+1+1)b2)(P36
i=1 1)−1, y(P108
i=1 l)−1
y ealizando las cuen as pe inen es encon amos la siguien e ecuaci´on:
y2=x3−c1x−c2

Es a ecuaci´on es conocida como Fo ma Reducida de Weies ass pa a la cu a.
Lema 4.1 Sea Cuna c´ubica a ´ın y P, Q ∈C, en onces la ec a PQ co a a la ec a
Cen es pun os (pudiendo se PoQese e ce pun o).
Demos aci´on: Podemos oma una e e encia adecuada al que P= (1,0) y
Q= (0,1). Tomemos aho a F∈k[X, Y ] ecuaci´on minimal gene ado a de Cen
dicha e e encia y X+Y−1 ecuaci´on gene ado a de PQ ambi´en en es a. De-
no emos aho a po G(X) = F(X, 1−X), ij´andonos en la cons ucci´on de Gse
iene que si (a, b)∈PQ ∩Cen onces aes a´ız de G, po ende Gdescompone en
G(X) = X(X−1)H(X) e igualando g ados con se iene que H(X) es un polinomio
de g ado 1, e go es de la o ma X−zpa a cie o z∈k. Despejando la coo de-
nada Yen la ecuaci´on de PQ concluimos que el pun o (z, 1−z) pe enece a la c´onica.
24
- Si Nes 4 pueden es a odos ellos alineados, 3 de ellos alineados o en posici´on
gene al. El p ime caso no es posible po hip´o esis, en el segundo enemos 3 ec as
o dina ias y en el e ce o enemos 6.
Po ´ul imo a a emos el es o de casos con el es o de casos:
Si Nes igual a 5, deno emos es os po P1, ..., PNy azona emos po educci´on
al absu do. Supongamos que no exis en ec as o dina ias asociadas al conjun o.
Po ini ud podemos oma el pun o y la ec a que minimicen dis ancias en e s´ı, sin
p´e dida de gene alidad podemos asumi que dicha ec a es P1P2y el pun o P3. Como
P1P2no es o dina ia exis e o o pun o de Ccon enida en es a, podemos asumi que
es e es P4y se encuen a en e P1yP2(de no se as´ı bas a ´ıa una eo denaci´on en
los ´ındices pa a que uese el caso), inalmen e hemos llegado a absu do, po con-
s ucci´on, una de las ec as P2P3oP1P3se encuen a m´as ce ca del pun o P4que la
ec a P1P2del pun o P3.

En las siguien es igu as se pueden ap ecia odos los a gumen os expues os en
la demos aci´on an e io .
Figu e 8: N= 2
31

Figu e 9: N= 3
Figu e 10: N= 4
Es e eo ema asegu a que pa a cualquie n´ume o de pun os no alineados N2≥1.
Es a co a puede se mejo ada a a ´es del Teo ema de Melcho , pe o pa a ello nece-
si amos acudi a la eo ´ıa de g a os:
Pa a la siguien e de inici´on necesi amos es ablece cie os ´e minos en nues a
no aci´on. Sean P, Q ∈P2
Rpun os sob e el p oyec i o deno amos po P∗yQ∗a sus
ec as duales. Po o o lado, deno amos po PQ∗al dual de la ec a que une Py
Q.
Recu´e dese que la ec a dual asociada a un pun o (a0:a1:a2) iene dada po
a0X+a1Y+a2Z= 0 y ice e sa.
De inici´on 5.2 Sea C⊂P2
Run subconjun o ini o. De inimos el G a o Inducido
po Pes la dupla (V, E)donde:
V={P∗∩Q∗:P, Q ∈C, C 6=P}
E={[P, Q] : P, Q ∈V, P 6=Q}
32
Figu e 11: N≥5
Los g a os no son un concep o nue o ni mucho menos y g an pa e de es a g an
disciplina se la debemos a L. Eule , (5) y que poco a poco se i ´ıa gene alizando con
el nacimien o de la Topolog´ıa. De odo es e g an es udio amos a queda nos con las
siguien es o mulas:
Dado un g a o (V, E) se deno a ´an po ´e ices a los elemen os de V, po a is as a
los elemen os de Ey po ca as a aquellas egiones del plano ence adas en e a is as.
An es de con inua debemos in oduci un nue o concep o de no aci´on. Sea Γ
un g a o, en onces deno amos po Va su n´ume o de ´e ices, Fa su n´ume o de
ca as y Ea su n´ume o de a is as. A su ez, Fkes el n´ume o de ca as colindan es a
ka is as y Vkes el n´ume o de ´e ices en los que concu en ka is as.
Teo ema 5.2 Sea Γun g a o sob e el plano p oyec i o en onces se cumplen las
siguien es ´o mulas:
i) V−E+F= 1
ii) 2E=P∞
k=2 kVk=P∞
i=2 2kNk
iii) 2E=P∞
k=3 kFk
Demos aci´on:
La p ime a de las igualdades se debe a que la ca ac e ´ıs ica de Eule del plano
p oyec i o es 1. Pa a ii) Se iene que cada ´e ice del g a o es el dual de una ec a
k−inciden e L, es deci , que pasa po kpun os de Py po an o su g ado se ´a
2Ca d(P∩L). Po ´ul imo, iii) se debe a que cada ca a del plano se encuen a
ence ada po al menos es a is as y que cada a is a es colindan e a al menos dos
ca as.

Co ola io 5.1 Pa a odo g a o sob e un plano p oyec i o se iene la siguien e igual-
dad:
33
∞
X
k=2
(k−3)Vk+3+
∞
X
s=3
(k−3)Fk= 0
Demos aci´on:
La demos aci´on pasa po u iliza las ´o mulas del lema an e io . Tomando 3(i)
y sus i uyendo 3Epo (ii)/2+(iii) hab emos e minado.

Co ola io 5.2 (Teo ema de Melchio ) Todo conjun o Psob e el plano p oyec i o
con al menos es pun os, no odos ellos alineados, posee al menos es ec as o di-
na ias:
Demos aci´on:
Fij´emonos que en el g a o inducido po P,Vkse co esponde con Nk, as´ı pues,
despejando en la ecuaci´on dada po el co ola io an e io llegamos al esul ado dese-
ando.
N2=
∞
X
k=3
(k−3)Nk+3+
∞
X
k=3
(k−3)Fk≥3

En las demos aciones is as has a aho a hemos p obado cie as p opiedades que
son gene ales a oda amilia de conjun os, pe o podemos encon a amilias pa ic-
ula es de conjun os que posean una can idad de ec as o dina ias muy ce canas a la
co a conje u ada po Di ac.
Pa a ello se deno a po Dn,2al m´aximo n´ume o de ec as o dina ias que puede
ene un conjun o de nelemen os.
De inici´on 5.3 Se de inen los conjun os X2mcomo:
X2m:= {(cos2πj
m:sen2πj
m: 1) : 0 ≤j < m}∪{(−sinπj
m:cosπj
m: 0) : 0 ≤j < m}
34
De inici´on 5.4 Se de inen los conjun os conjun os de B¨o ¨oczky de nelemen os
como de la siguien e mane a:
- Si n= 2men onces el conjun o es X2m.
- Si n= 4m+ 1 en onces el conjun o es X4m∪ {(0 : 0 : 1)}.
- Si n= 4m−1en onces el conjun o es X4m {(0 : 1 : 0)}
- Si n= 4m+ 2 en onces el conjun os es X4m+2 menos cualquie pun o de la
l´ınea del in ini o.
Teo ema 5.3 (Teo ema de B¨o ¨oczky) Los conjun os de B¨o ¨oczky poseen n/2 ec as
o dina ias si nes pa , de lo con a io poseen 3bn/4c ec as o dina ias.
Y de es e esul ado ob enemos ine cialmen e la siguien e co a pa a D2,n, siendo
D2,n el m´aximo alo alo pa a N2de los conjun os de nelemen os del p oyec i o:
Co ola io 5.3
D2,n ≥O(n)
Es deci , exis e una cons an e K al que D2,n ≥Kn.
Figu e 12: 8 pun os y 4 ec as o dina ias
En las siguien es igu as las lechas ep esen an las di ecciones de los pun os en
la ec a del in ini o que o man pa e de P.
35
Figu e 13: 9 pun os y 6 ec as o dina ias
Figu e 14: 11 pun os y 6 ec as o dina ias
36

Figu e 15: 9 pun os y 6 ec as o dina ias
5.2 Encon ando una Co a Supe io :
Es a nue a secci´on se cen a ´a en encon a co as supe io es pa a D2,n. Se empeza ´a
po un esul ado combina o io cl´asico basado en el Teo ema de Exclusi´on-Inclusi´on.
Lema 5.1 Pa a odo conjun o de Ccon ca dinal N≥2se iene que:
N
X
k=2 k
2Nk=N
2
Demos aci´on:
Fij´emonos que N
2es el n´ume o o al de pa es de pun os que puedo oma en
C. Po o o lado, el nume o de pa es de pun os que puedo oma de una ec a
k−inciden e es k
2. A su ez la can idad de pa es de pun os pe enecien es a ec as
k−inciden es se ´ıan Nkk
2y la suma de odos es os alo es se ´ıan el n´ume o o al
de pa es de pun os que puedo oma sob e C.

37
A consecuencia di ec a de es a igualdad se ob iene el siguien e co ola io:
Co ola io 5.4 Pa a odo conjun o de Npun os Csob e el plano, no odos ellos
alineados, se iene la siguien e co a:
N3≤1
3N
2−1
Demos aci´on:
N
2=
N
X
k=2 k
2Nk≥3N3+N2=∗3N3+ 3
∗La ´ul ima de las desigualdades se debe al eo ema de Melchio .

A pa i de aqu´ı amos a lanza o o p oblema abie o, El P oblema de la Hue a,
en el que nos amos a apoya pa a segui a anzando en el esul ado.
¿C´ual es mayo alo que puede oma N3pa a un conjun o de Npun os
a bi a io?
Deno amos po Dn,3al m´aximo alo de N3que pueden oma los conjun os de
npun os sob e el plano.
Es ob io po el co ola io an e io que Dn,3≤n2−n−2
6. Po o o lado, apoy´andonos
en la es uc u a de g upo asociada a una cu a el´ıp ica e emos que Dn,3≥n2−3n
6.
Teo ema 5.4 Sea Euna cu a el´ıp ica, O∈Eun pun o sin p´e dida de gene ali-
dad, (E, +; O)el g upo inducido po EyH < (E, +; O)un subg upo de es e al que
o d(H) = n. En onces Hposee asociadas n2−3n
6 ec as 3−inciden es.
Demos aci´on: Po (4.1) oda ec a que co e a Een dos de sus pun os o lo
hace ambi´en en un e ce o o es la ec a angen e a Epo uno de es os pun os y
s´olo la co a po es os dos, as´ı pues, po he encia, las ec as asociadas a Ho son
o dina ias o son 3−inciden es.
Adem´as, el lema (4.1) se sigue cumpliendo sob e H. V´ease que si P1, P2∈H
en onces el e ce pun o de co e P1∗P2se encuen a en Hpo se el in e so de
P1+P2y es e se un subg upo.
As´ı pues, las ec as o dina ias en Hse ´an las angen es a Epo esos npun os,
es deci , n. Po o o lado el n´ume o de pa es de pun os en Hes n
2, de en e es os,
38
npa es con o man ec as o dina ias y aplicando que cada ec a 3−inciden e posee
asociados es pa es de pun os de Hse iene que:
N3=n
2−n
3=n2−3n
6

El eo ema an e io se puede gene aliza pa a g upos inducidos po los pun-
os egula es de una c´ubica y sus clases espec o de un elemen o. Al no habe
a ado es os de enidamen e se limi a ´a a exp esa que es os sob e es os g upos
N3=n2−3n
6+O(1).
Figu e 16: Rep esen aci´on G ´a ica del A gumen o An e io
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A pa i de (5.1) podemos ol e a nues o p oblema de in e ´es y encon a una
co a supe io a N2pa a un caso conc e o.
P oposici´on 5.1 Sea Cun conjun o de npun os no odos ellos alineados. Si
N3≤n2−3n
6en onces se iene que N2≤O(n). Es deci N2≤Kn pa a K= 1
Demos aci´on: Acudiendo a la ecuaci´on del lema (5.1) encon amos que:
N2≤n
2−3N3≤n2−n
2−n2−3n
2=n

5.3 Resul ados Asin ´o icos:
Finalmen e se ce a ´a es e esc i o con un esul ado p obado po Te ence Tao y Ben
G een en el a˜no 2013. No se en a ´a en de alles sob e su demos aci´on debido a la
ex ensi´on.
Teo ema 5.5 (Teo ema de Es uc u a D´ebil) Sea Pun conjun o de pun os en
posici´on gene al del plano. Si Pposee asociadas Kn ec as o dina ias con K > 0
en onces el conjun o puede se cubie o con a lo sumo 500Kn c´ubicas.
Teo ema 5.6 (Teo ema de Es uc u a Fue e) Supongamos que Ces un conjun o
de pun os sob e el plano p oyec i o, Kun na u al y supongamos que Cposee aso-
ciadas a lo sumo Kn ec as o dina ias. Si n >> expexp(CKC)pa a alg´un Clo
su icien emen e g ande en onces aplicando una p oyec i idad Pdi ie e a lo sumo en
O(K)pun os de de uno de los siguien es conjun os:
•Todos los pun os alineados menos O(K)
•Un conjun o de B¨o ¨oczky con m=n/2−O(KO(1)).
•Una clase de alg´un subg upo inducido po los pun os egula es de una cu a
c´ubica de o den n−O(KO(1)).
En consecuencia odos esos conjun os poseen a lo sumo O(Kn) ec as o dina ias.
Asumiendo que dicha p oyec i idad exis a los esul ados expues os en es a secci´on
con i man la e acidad del esul ado.
No a: La e si´on de Chasles y Pappus del Teo ema de Cayley-Bacha ach se
u iliza sis em´a icamen e en es os p oblemas, ya que se es ablece una dualidad en e
e ´ıculos iangula es dados po ec as en el plano y la a i m´e ica de cu as el´ıp icas.
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