Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pe a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol.
6,
1
,
97-108(1990)
O
MÉTODO
DO
LAGRANGEANO
AUMENTADO
NO ESTUDO DE CABOS UMBILICAIS
FERNANDO A. ROCHINHA*
RUBENS SAMPAIO*
Y
PATRICK LE TALLEC**
*Depa amen o de Engenha ia Mecanica,
Pon i ácia Uni e sidade Ca ólica,
Rio de Janei o, B asil
**Labo a oi e Cen al des Pon s
e Chaussées,
Pa is, F ancia
RESUMEN
O
obje i o des e abalho
é
ap esen a um modelo numé ico pa a cabos umbilicais
hipe elás icos que expe imen em g andes deslocamen os e g andes o acoes.
O
modelo meCanico
esul a num sis ema náo-linea , que
é
esol ido po um mé odo de
decomposicáo-coo denacao
ia Lag angeano Aumen ado. Es e a amen o posibili a a desc icáo do acoplamen o exis en e
en e lexao e o cáo em cabos subme idos
A
g andes delocamen os.
SUMMARY
The aim o his pape is o p esen he nume ical modeling o la ge displacemen s and la ge
o a ions o hype elas ic pipeline. The mechanical model esul s in
a
non linea sys em, ha
is
sol ed by
a
Augmen ed Lag angian spli ing me hod. This ea emen makes posible he
desc ip ion o he coupling which appea s be ween leixon and o sion
in
he la ge dispalcemen s
o
a
pipeline.
Técnicas numé icas capazes de a a p oblemas náo linea es em sendo al o de
inúme os pesquisado es. Is o se de e ao a o que, cada ez mais, su gen modelos
so is icados pa a a desc icáo de ealidades ísicas que, ao
im,
ge am sis emas de
equacoes náo linea es.
O
es udo de cabos umbilicais ep esen a
un
exemplo das si uasoes mencionadas
no pa ág a o an e io . Na ligacáo en e pla a o mas e pocos pe olí e os sáo u ilizados
cabos de g ande comp imen o (conhecidos indus ialmen e como cabos umbilicais) pa a
o anspo e de luidos
(lama
de pe u acáo e óleo b u o) e de sinais elé icos.
A
Recibido: Ma eo
1989
OUni e si a Poli ~cnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
97
F.
ROCHINHA, R. SAMPAIO
Y
P.
LE
TELLEC
geome ia pa icula des es cabos suge e a u ilizacáo de modelos que explo em es e a o,
minimizando, assim, o cus o em p oje os e cálculos compu acionais. Po ém, nao de e
se esquecido que os mesmos cabos sáo, em mui as si uacóes de ope acho, subme idos
A
g andes deslocamen os, aonde su gem e ei os complexos como o acoplamen o lexáo-
o cáo.
Nes e ablaho, se á u ilizado, pa a a desc icáo do compo amen o meciinico de
cabos umbilicais,
um
modelo unidimensional baseado eml que pe mi e, po o ca das
poucas es icóes impos as, a desc ic50 do mo imen o de cabos que expe imen am
g andes deslocamen os. Es e modelo, que u iliza de uma o ma sis emá ica a nocáo dos
e o es di e o es', se mos a ao mesmo empo simples e e icaz já que, como se á is o
mais adian e, conduz a um p oblema "bem pos o" do pon o de is a ma emá ico, pode
se esol ido nume icamen e e alcanca esul ados mui o bons na desc ic50 de e ei os
como o do acoplamen o lex5o- o c5o.
Pa a a solucáo de p oblemas de cabos umbilicais
'é
p opos a uma o mulacáo
a iacional consis en e que pe mi e uma descomposicáo ia Lag angeano Aumen ado,
ge ando, assim,
um
p oblema de pon o-de sela, que
é
esol ido po um algo i mo de
UZAWA.
Po
ñm,
s5o ap esen ado alguns esul ados numé icos que e idenciem a capacidade
e a e icácia do mé odo p opos o.
O modelo que se á ago a ap esen ado ap o ei a, desde o início
,
a o ma geomé ica
pa icula dos cabos umbilicais. Pa a an o, uma codigu acáo qualque
é
ca ac e izada
a a és de es campos e o iais. O p imei o des es, deno ado po ,
é
o e o posicáo,
segundo u na o igem p e iamen e escolhida, de uma cu a
c
inme sa em
IR3.
Nes e
T abalho,
c
é
in e p e ada como o luga geomé ico dos cen oídes das secóes que es áo
associadas
A
cada pon o da cu a. Os ou os dois campos es an es, chamados di e o es
e deno ados po
di
o
d2,
s5o u ilizados na dec ic50 do mo imen o dessas secóes. Os
campos ci ados s5o pa ame izados po
S
o comp imen o de a co omado em
C
(a
cu a
c
na codigu ac5o de e e encia).
Os dois di e o es sáo omados uni á ios e o ogonais en e si. Es a
é
uma hipó ese
es i i a
A
de o macáo das secóes, já que a posiciío z(X) de oda pa ida
X
do cabo
após de o mac50 se á dada po
onde Xi e X2 s5o as coo denadas de X na con igu acáo de e e encia,
d3
é
o e cei o
di e o omado igual
A
di
x
d2
e
S,
é
a uncáo de empenamen o como de inido em3.
Fisicamen e,
(1)
ep esen a
um
mo imen o aonde as secóes dos cabos expe imen am
apenas pequenas de o macóes. No en an o, nao s5o ei as es icóes sob e
ou mesmo
sob e a posicáo dos di e o es, o que implica que os
cabo^
pode 50 se subme idos
A
g andes o acóes das secoes. Segundo4, a hipó ese de pequenas de o macóes pa a as
secóes o nece esul ados bas an e ealis as.
Da hipó ese de o ono malidade das secóes
é
de inido o campo
u
a a és de
onde' designa a de i ada em elacáo a
S.
Como pode se encon ada em4, as
componen es de
u
na base dos di e o es: u1 e u2 sáo medidas de lexáo, enquan o
UJ
é
uma medida de o cáo,
.
Nes e modelo as secóes nao sáo ob igadas a pe manece em
o e ogonais a
c.
Assim sendo o cisalhamen o
é
exp esso a a és das componen es i
e z do e o ', o e o angen e a
c
sendo o alongamen o exp esso po s
-
1.
Como pode se is o em
',
os u; e
;
de inidos no pa ág a o an e io sáo medidas
de de o macáo obje i as pa a cabos umbilicais subme idos ao mo imen o
z.
Elas sáo
de inidas independen emen e do obse ado e pe mi em. pela in e g acáo de (2) e ', a
de e minacáo de
a,
a menos de um mo imen o ígido.
A
bem da e dade, ainda es a ia
de e mina a uncáo
$.
Po ém es a
é,
den o do egime de pequenas de o macóes,
de e minada p e iamen e3 em uncáo da o ma geomé ica de secáo.
Pa a que a ambiguidade na de e minacáo de
x
seja e i ada
é
necessá ia a p esc icáo
de condicáoes de con o no. Nes e abalho, es as condicóes se es ingi á0 A:
e uma ou mais das seguin es
(L)
=
L
d;(O ou L)
=
di pa a
i
E
{1,2,3)
di(O
ou
L)
=
dio
i€
{1,2,3)
onde
S
=
L
de e mina a ou a ex emidade do cabo. As condicóes (3) e
(4)
sáo
p esc icoes da posicáo das ex emidades enquan o
(5)
ca ac e iza uma a iculacáo e (6)
o engas amen o.
A pos ulacáo dos balancos de momen o linea e angula conduz, espec i amen e,
As seguin es equacóes de equilíb io pa a cabos umbilicais:
onde
n
é
a o ca de con a o,
m
o momen o in e no,
um ca egamen o ex e no
dis ibuído e
g
o momen o ex e no dis ibuído.
Nes e abalho, os cabos se áo conside ados hipe elás icos, o que em um papel
undamen al na análise numé ica do p oblema, como pode se is o em4. Po an o, os
es o cos des e modelo se elacionam com as de o macóes a a és de:
aw
n
=
-di
du;
F.
ROCHINHA,
R.
SAMPAIO
Y
P.
LE
TELLEC
onde
w
é
uma densidade de ene gia elás ica que desc e e a espos a mecanica dos cabos
umbilicais.
Em suma, o p oblema de encon a uma con igu acáo de equilíb io
9
=
( ,di)
de um cabo consis e em esol e o sis ema de equacóes o diná ia alo de con o no
(27)-(28). Po o ca das es icóes escolhidas, pe mi indo g andes deslocamen os e
o acóes es e sis ema
é
náo-linea , o que, do pon o de is a ma emá ico, ep esen a
g andes diñlcu ades na solucáo. Tal a o exige uma es a égia numé ica so is icada
que pe mi e, inclusi e, o en en amen o de p oblemas com múl iplas solucóes, caso
comun em sis emas da na u eza náo linea . Nos p óximos capí ulos se áo mos ados
uma o mulaciio ma emá ica consis en e pa a o p oblema e sua espec i a es a égia
numé ica.
A escolha da densidade de ene gia
w
em um papel undamen al na o mulacáo do
p oblema de cabos. Po is o, nes e ablaho
é
escolhida a seguin e o ma quad á ica:
onde
G
e
E
sáo, espec i amen e, os coe icien es de cisalhamen o e Young, enquan o
11,
I2
e
J
os momen os de iné cia.
O
p imei o e mo le a em con a o cisalhamen o, o
segundo e mo o alongamen o, os ou os dois a lexáo e o úl imo a o cáo. Apesa de
(11)
se uma boa escolha do pon o de is a ma emá ico náo
é
possí el se em desc i o
cabos cu os em con igu acáo li es de es o cos,
já
que o g adien e de
w
é
nulo somen e
pa a u1
=
u2
=
u3
=
1
=
2
=
213
-
1
=
0.
A
pa i de
(11)
é
possí el o es ablecimen o de equi alencia en e o sis ema (7)-(8),
mais condicóes de con o no e mais a exigencia de o ono malidade dos di e o es com o
seguin e p oblema de o i nizacáo:
Encon a @(T,
d;)
al que
J(9)
=
nin
~(9)
(12)
K
={
4
=
( ,
di)
E
~'(0,
L;
IR.l2), didj
=
6ij(i,
j)
=
1.3), e condicoes de con o no
p e iamen e escolhidos en e (3) e
(6)
).
Es e esul ado
é
encon ado em4.
O
p oblema (12) admi e a seguin e o mulacáo a iacional.
Encon a @
=
(T,
4)
E
K al que,
V(p,
gi)
E
dK( ,
4)
se enha
dJ
L
-( , di) (p, g;)
=
/
pds
a(., di)
o
onde J( , di)
=
J:
w(S,
u;,
;)dS e dK ( , di), o espago angen e
A
K
é
dado o malmen e
po :
dK( ,di)
={
(~,g;)
E
H1(0,L,R12), p(0)
=
O, p(L)
=
O,
se (4)
é
impos a,
g~(0 ou L)
=
O
se (5) ou (6) sáo impos as,
3U
E
H1(O,
L;
IR3) com g;
=
U
x
d;(i
=
1,3))
Como o já espe ado o p oblema a iacional (13)
é
al amen e náo linea , a o
exp esso pela náo con exidade de K. Nes e abalho, o p oblema, se á a ado ia uma
écnica de
"decomposi~áo-coo dena@o"po
Lag angeano Aumen ado6, que consis e na
in oducáo de u na a iá el suplemen a { i), sob e a qual
é
impos a como es icáo a
igualdade como {d;), na dualizacáo do p oblema e, ainda, na adicáo de
um
e mo de
egula izacáo,. Assim sendo,
é
cons uído o seguin e Lag angeano Aumen ado.
onde
R
é
um núme o posi i o e a bi á io. A in oducáo do e mo $Id;
-
iI2
é
jus i icada em6, aonde sáo ap esen ados alguns esul ados numé icos que demons am
que es e e mo melho a as condisoes egula idade do p oblema.
A pa i de (14) o siguien e p oblema de "pon o-de-selanpode se cons uído.
Encon a {( , d;), i,
A;)
E
H
x
~~(0, L,
03)
x
~~(0, L, IR9)
~LR
-( , d;, ;,
A;)
p;
=
O,
dX;
onde
H
=
{
(T,
d;)
E
H1(O, L; IR12), (0)
=
O,
(T,
d;) sa is azendo condicoes de con o no
escolhidos en e (4 e 6))
0:
=
{
{ ;)(i
=
1,3)
E
IR9, { ;)é um iendo o ono mal)
Em6
é
demos ada que oda sslu@io de p oblema (15)
é,
ambém, uma solucáo do
p oblema a iacional(l2).

F.
ROCHINHA,
R.
SAMPAIO
Y
P.
LE TELLEC
A p incipal an agem da o mulacáo Lag angeana (15) eside na possibilidade
de u ilizacáo de um algo i mo do ipo UZAWA na solucáo numé ica do p oblema.
Associado
a
um mé odo de elaxacáo po blocos, esse algo i mo pe mi e a decomposicáo
do p oblema inicial, al amen e nao-linea , em uma sequencia de p oblemas simples de
se em esol idas.
O
algo i mo
é
o malmen e ap esen ado em seguida.
Escohe
{A:)
em L2(0, L;IR3) e
(7;')
em L2(0, ~;03).
{Al)
e
{T,?'-'}
conhecidos, calcula ( n,$),
{T:)
e
{Ay+')
esol endo
i e a i amen e.
~LR
L
a(.,
4)
( n,
q,
ii;
Al)
.
(P.
9;)
=
1
O
.
pdS,
V
(p,
g;)
E
dH ( n,
q)
E
A
~LR (16)
-( n,
q,
T?;
Ay)
U
X
7:
=
0
,
87;
V
U
E
~~(0, L;
m3)
O
algo i mo que acaba de se desc i o in oduz dois p oblemas: o p imei o (16),
é
esol ido pon o a pon o, a a és de écnicas ma iciais e o segundo (17) co esponde ao
p oblema a iacional
(3)
sem a es iego ( n,
q)
E
K.
Ele pode, en áo, se esol ido
globalmen e ia o mé odo dos Elemen os Fini os.
O
Algo í mo pa a a solucáo do p oblema (16) se baseia na de composicáo a alo
singula 7, in oduzindo:
.
Bij
=
(Rd;
+
Ai)
ej. B
=
Q'DQ~
(19)
&zj
=
T;
.
ej (20)
Aij
=
eijkU ek (21)
onde {e;)
é
uma base de IR3, D uma ma iz diagonal e Qg, e Qd ma izes o ogonais
di e as. Assim:
{R(T;
-
d;)
-
A;)
.
U
x
T;
=
T aco {(RQ'
-
B)~Q'A)
de (14) e (16) o siguin e p oblema
é
encon ado:
Encon a Q7 e L2(0, L;
0:)
al que, pa a oda ma iz A an issimé ica, se enha:
O MÉTODO DO LAGRANGEANO AUMENTADO
e admi e como solucáo
já
que:
T aco
{(RQ~Q~
-
B)~Q~Q~A)
=
T aco
{RA
-
(Q~)~TDQ~A)
=
O
A
pa i de
(23),
o algo í mo pa a
(20)é
cons uido como:
.
Calcula
B
a a és de
(25).
.
Calcula e idiagonaliza
BBT.
.
Calcula os alo es singula es
bl
>
b2
>
b3
de
BBT.
Seguido pelas ó mulas de Ca dan aplicadas ao polin6mio ca ac e ís ico da o ma
idiagonal de
B
BT
.
.
Calcula os ec o es p ópios de
BBT
esol endo
.
Faze
Dll
=
6,
D22
=
6,
033
=
Jb3
signal (de
B)
.
Faze
Q:j
=
gj
-
e;
.
Faze
T;
=
(Qg~-~(Qg)~B);jej
Todos os cálculos acima sáo ei os pon o a pon o; nao eque endo mais do que
80
ope acóes algéb acas elemen a es po pon o.
Pa a demons a o uncionamen o da esolucáo do p oblema
(17)
é
escolhido,nes e
ablaho, a seguin e o ma pa a a densidades da ene gia de de o macgo:
A
o ma acima di e e de
(11)
po náo le a em con a o cisalhamen o e o
alongamen o. Es a escolha, bas an e ealis a pa a cabos umbilicais, conduz
um
p oblema, do pon o de is a numé ico, melho condicionado8.
A
pa i de
(24)
é
ob ido o siguien e uncional de ene gia elás ica:
É
impo an e se lemb ado que na exp essáo acima o cisalhamen o náo
é
le ado
em con a, sendo al a o exp esso po
'
=
d3.
F.
ROCHINHA, R. SAMPAIO
Y
P.
LE TELLEC
Po cons ucáo de Lag angeano (14)) o p oblema (17)
é
equi alen e
a:
Encon a ( n,
dn,
)
E
H
al que:
-
p'
-
[R(c
-
7,"-')
+
XQ]
ga)dS
V(P,
gi)
E
dH
(25)
Em (25) as a iá eis
n
e dE(a
=
1,2) sáo desacoplá eis.
O
cálculo de
n
se esume,
en áo, a esolucáo de 3 equacóes bi-ha monicas:
enquan o o de d:(a
=
(1,2)) a esolucáo de 6 equacóes ha monicas:
A disc e izacáo das equacóes (26) e (27)
é
ei a a a és do mé odo dos Elemen os
Fini os. Pa a as equacóes bi-ha monicas sáo u ilizados elemen os de He ni e de g au
3, equan o pa a as equacóes ha monicas o am escolhidos elemen os de Lag ange de
g au 2. Com is o, sáo ob idas pa a
3 elemen os ini os, a
4
g aus de libe dades cada
um, e pa a da 6 elemen os ini os independen es, a 3 g aus de libe dade cada um. As
ma izes esul an es da disc e izacáo sáo a o izadas pelo mé odo do Cholesky apenas
u na ez,
já
que independem da i e acáo
n
de UZAWA.
A con e gencia da algo í mo de UZAWA
é
con olada pelos seguin es es es:
(/L{l l
-
n12
+
Id1
-
q12
+
Id2
-
QI~}~s)~
<
O
(28)
A nao exis encia de um es e pa a os mul iplicado es
{A;}
se de e a di iculdade de
con e gencia des esg. Es a di iculdade se e le e no cálculo dos es o cos que, ao in és
de se em calculadas como uma combinaciio dos mul iplicado es, sáo ob idos em:
dw
(momen o le o ) m
=
-da
=
-
EI1( u di)
+
E12( " dl)d2
duu
dw
(momen o o so ) m~
=
-d3
=
2G13(di
.
du3
onde
N
é
a eacáo na ex emidade S
=
L
e F(S)
=
( )d .
RESULTADOS
Nes e capí ulo
é
mos ada uma aplicacáo da modelagem numé ica ap esen ada.
É
escolhido um cabo inicialmen e e ilíneo, com 20 me os de comp imen o, ime so
no plano
x
z,engas ado em uma ex emidade e li e na ou a. Sendo ado ada a
densidade de ene gia (24) o cabo
é
conside ado inex ensí el, logo, se o impos o um
deslocamen o qualque
a
ex emidade li e, a cu a
c
assume uma o ma náo e ilínea.
Po an o, o cabo
é
subme ido a uma lexáo. O exemplo que se á mos ado, apesa
de náo ep esen a ope acóes co idianas de cabos umbilicais, e idencia a capacidade
do modelo de desc e e o compo amen o
mecanice
dos cabos quando subme idos
a
g ande deslocamen os, inclusi e o acoplamen o lexáo- o cáo, e demos a, ambén, a
e icácia do mé odo numé ico u ilizado.
O exemplo consis e de um cabo que es á engas ado na ex emidade de coo denadas
(0,0,0) e com a ou a, de coo denadas (20,0,0), li e. A es a Úl ima
é
impos o
um
deslocamen o p esc i o po
y
=
20
-
x.
Os pa he os escolhidos pa a o p oblema sáo
EIl
=
235 da
N
x
m2,
E12
=
360 da
N
x
m2,~13
=
100 da
N
x
m2. Os cabos possuem
secáo elíp ica. As condicóes de con o no sáo desc i as po :