O método do Lagrangeano aumentado no estudo de cabos umbilicais

Revista Internacional de Métodos Numéricos pera Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 6, 1 , 97-108(1990) O MÉTODO DO LAGRANGEANO AUMENTADO NO ESTUDO DE CABOS UMBILICAIS FERNANDO A. ROCHINHA* RUBENS SAMPAIO* Y PATRICK LE TALLEC** *Departamento de Engenharia Mecanica, Pontifácia Universidade Católica, Rio de Janeiro, Brasil **Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, Paris, Francia RESUMEN O objetivo deste trabalho é apresentar um modelo numérico para cabos umbilicais hiperelásticos que experimentem grandes deslocamentos e grandes rotacoes. O modelo meCanico resulta num sistema náo-linear, que é resolvido por um método de decomposicáo-coordenacao via Lagrangeano Aumentado. Este tratamento posibilita a descricáo do acoplamento existente entre flexao e torcáo em cabos submetidos A grandes delocamentos. SUMMARY The aim of this paper is to present the numerical modeling of large displacements and large rotations of hyperelastic pipeline. The mechanical model results in a non linear system, that is solved by a Augmented Lagrangian splitting method. This treatement makes posible the description of the coupling which appears between fleixon and torsion in the large dispalcements of a pipeline. Técnicas numéricas capazes de tratar problemas náo lineares vem sendo alvo de inúmeros pesquisadores. Isto se deve ao fato que, cada vez mais, surgen modelos sofisticados para a descricáo de realidades físicas que, ao fim, geram sistemas de equacoes náo lineares. O estudo de cabos umbilicais representa un exemplo das situasoes mencionadas no parágrafo anterior. Na ligacáo entre plataformas e pocos petrolíferos sáo utilizados cabos de grande comprimento (conhecidos industrialmente como cabos umbilicais) para o transporte de fluidos (lama de perfuracáo e óleo bruto) e de sinais elétricos. A Recibido: Mareo 1989 OUniversitat Polit~cnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 97 F. ROCHINHA, R. SAMPAIO Y P. LE TELLEC geometria particular destes cabos sugere a utilizacáo de modelos que explorem este fato, minimizando, assim, o custo em projetos e cálculos computacionais. Porém, nao deve ser esquecido que os mesmos cabos sáo, em muitas situacóes de operacho, submetidos A grandes deslocamentos, aonde surgem efeitos complexos como o acoplamento flexáotorcáo. Neste trablaho, será utilizado, para a descricáo do comportamento meciinico de cabos umbilicais, um modelo unidimensional baseado eml que permite, por forca das poucas restricóes impostas, a descric50 do movimento de cabos que experimentam grandes deslocamentos. Este modelo, que utiliza de uma forma sistemática a nocáo dos vetores diretores', se mostra ao mesmo tempo simples e eficaz já que, como será visto mais adiante, conduz a um problema "bem posto" do ponto de vista matemático, pode ser resolvido numericamente e alcanca resultados muito bons na descric50 de efeitos como o do acoplamento flex5o-torc5o. Para a solucáo de problemas de cabos umbilicais 'é proposta uma formulacáo variacional consistente que permite uma descomposicáo via Lagrangeano Aumentado, gerando, assim, um problema de ponto-de sela, que é resolvido por um algoritmo de UZAWA. Por ñm, s5o apresentado alguns resultados numéricos que evidenciem a capacidade e a eficácia do método proposto. O modelo que será agora apresentado aproveita, desde o início , a forma geométrica particular dos cabos umbilicais. Para tanto, uma codiguracáo qualquer é caracterizada através de tres campos vetoriais. O primeiro destes, denotado por r, é o vetor posicáo, segundo urna origem previamente escolhida, de uma curva c inmersa em IR3. Neste Trabalho, c é interpretada como o lugar geométrico dos centroídes das secóes que estáo associadas A cada ponto da curva. Os outros dois campos restantes, chamados diretores e denotados por di o d2, s5o utilizados na decric50 do movimento dessas secóes. Os campos citados s5o parametrizados por S o comprimento de arco tomado em C (a curva c na codigurac5o de referencia). Os dois diretores sáo tomados unitários e ortogonais entre si. Esta é uma hipótese restritiva A deformacáo das secóes, já que a posiciío z(X) de toda partida X do cabo após deformac50 será dada por onde Xi e X2 s5o as coordenadas de X na configuracáo de referencia, d3 é o terceiro diretor tomado igual A di x d2 e S, é a funcáo de empenamento como definido em3. Fisicamente, (1) representa um movimento aonde as secóes dos cabos experimentam apenas pequenas deformacóes. No entanto, nao s5o feitas restricóes sobre r ou mesmo sobre a posicáo dos diretores, o que implica que os cabo^ poder50 ser submetidos A grandes rotacóes das secoes. Segundo4, a hipótese de pequenas deformacóes para as secóes fornece resultados bastante realistas. Da hipótese de ortonormalidade das secóes é definido o campo u através de onde' designa a derivada em relacáo a S. Como pode ser encontrada em4, as componentes de u na base dos diretores: u1 e u2 sáo medidas de flexáo, enquanto UJ é uma medida de torcáo, . Neste modelo as secóes nao sáo obrigadas a permanecerem orvetogonais a c. Assim sendo o cisalhamento é expresso através das componentes vi e vz do vetor r', o vetor tangente a c sendo o alongamento expresso por vs - 1. Como pode ser visto em ', os u; e v; definidos no parágrafo anterior sáo medidas de deformacáo objetivas para cabos umbilicais submetidos ao movimento z. Elas sáo definidas independentemente do observador e permitem. pela intergracáo de (2) e r', a determinacáo de a, a menos de um movimento rígido. A bem da verdade, ainda restaria determinar a funcáo $. Porém esta é, dentro do regime de pequenas deformacóes, determinada previamente3 em funcáo da forma geométrica de secáo. Para que a ambiguidade na determinacáo de x seja retirada é necessária a prescricáo de condicáoes de contorno. Neste trabalho, estas condicóes se restringirá0 A: e uma ou mais das seguintes r(L) = rL d;(O ou L) = di para i E {1,2,3) di(O ou L) = dio v i€ {1,2,3) onde S = L determina a outra extremidade do cabo. As condicóes (3) e (4) sáo prescricoes da posicáo das extremidades enquanto (5) caracteriza uma articulacáo e (6) o engastamento. A postulacáo dos balancos de momento linear e angular conduz, respectivamente, As seguintes equacóes de equilíbrio para cabos umbilicais: onde n é a forca de contato, m o momento interno, f um carregamento externo distribuído e g o momento externo distribuído. Neste trabalho, os cabos seráo considerados hiperelásticos, o que tem um papel fundamental na análise numérica do problema, como pode ser visto em4. Portanto, os esforcos deste modelo se relacionam com as deformacóes através de: aw n = -di du; F. ROCHINHA, R. SAMPAIO Y P. LE TELLEC onde w é uma densidade de energia elástica que descreve a resposta mecanica dos cabos umbilicais. Em suma, o problema de encontrar uma configuracáo de equilíbrio 9 = (r,di) de um cabo consiste em resolver o sistema de equacóes ordinária valor de contorno (27)-(28). Por forca das restricóes escolhidas, permitindo grandes deslocamentos e rotacóes este sistema é náo-linear, o que, do ponto de vista matemático, representa grandes diñlcutades na solucáo. Tal fato exige uma estratégia numérica sofisticada que permite, inclusive, o enfrentamento de problemas com múltiplas solucóes, caso comun em sistemas da natureza náo linear. Nos próximos capítulos seráo mostrados uma formulaciio matemática consistente para o problema e sua respectiva estratégia numérica. A escolha da densidade de energia w tem um papel fundamental na formulacáo do problema de cabos. Por isto, neste trablaho é escolhida a seguinte forma quadrática: onde G e E sáo, respectivamente, os coeficientes de cisalhamento e Young, enquanto 11, I2 e J os momentos de inércia. O primeiro termo leva em conta o cisalhamento, o segundo termo o alongamento, os outros dois a flexáo e o último a torcáo. Apesar de (11) ser uma boa escolha do ponto de vista matemático náo é possível serem descrito cabos curvos em configuracáo livres de esforcos, já que o gradiente de w é nulo somente para u1 = u2 = u3 = v1 = v2 = 213 - 1 = 0. A partir de (11) é possível o establecimento de equivalencia entre o sistema (7)-(8), mais condicóes de contorno e mais a exigencia de ortonormalidade dos diretores com o seguinte problema de otirnizacáo: Encontrar @(T, d;) tal que J(9) = rnin ~(9) (12) K ={ 4 = (r, di) E ~'(0, L; IR.l2), didj = 6ij(i, j) = 1.3), e condicoes de contorno previamente escolhidos entre (3) e (6) ). Este resultado é encontrado em4. O problema (12) admite a seguinte formulacáo variacional. Encontrar@ = (T, 4) E K tal que, V(p, gi) E dK(r, 4) se tenha dJ L -(r, di) (p, g;) = / f pds a(., di) o onde J(r, di) = J: w(S, u;, v;)dS e dK (r, di), o espago tangente A K é dado formalmente por: dK(r,di) ={ (~,g;) E H1(0,L,R12), p(0) = O, p(L) = O, se (4) é imposta, g~(0 ou L) = O se (5) ou (6) sáo impostas, 3U E H1(O, L; IR3) com g; = U x d;(i = 1,3)) Como o já esperado o problema variacional (13) é altamente náo linear, fato expresso pela náo convexidade de K. Neste trabalho, o problema, será tratado via uma técnica de "decomposi~áo-coordena@o"por Lagrangeano Aumentado6, que consiste na introducáo de urna variável suplementar{ri), sobre a qual é imposta como restricáo a igualdade como {d;), na dualizacáo do problema e, ainda, na adicáo de um termo de regularizacáo,. Assim sendo, é construído o seguinte Lagrangeano Aumentado. onde R é um número positivo e arbitrário. A introducáo do termo $Id; - riI2 é justificada em6, aonde sáo apresentados alguns resultados numéricos que demonstram que este termo melhora as condisoes regularidade do problema. A partir de (14) o siguiente problema de "ponto-de-selanpode ser construído. Encontrar {(r, d;), ri, A;) E H x ~~(0, L, 03) x ~~(0, L, IR9) ~LR -(r, d;, r;, A;) p; = O, dX; onde H = { (T, d;) E H1(O, L; IR12), r(0) = O, (T, d;) satisfazendo condicoes de contorno escolhidos entre (4 e 6)) 0: = { {r;)(i = 1,3) E IR9, {r;)é um triendo ortonormal) Em6 é demostrada que toda sslu@io de problema (15) é, também, uma solucáo do problema variacional(l2). F. ROCHINHA, R. SAMPAIO Y P. LE TELLEC A principal vantagem da formulacáo Lagrangeana (15) reside na possibilidade de utilizacáo de um algoritmo do tipo UZAWA na solucáo numérica do problema. Associado a um método de relaxacáo por blocos, esse algoritmo permite a decomposicáo do problema inicial, altamente nao-linear, em uma sequencia de problemas simples de serem resolvidas. O algoritmo é formalmente apresentado em seguida. Escoher {A:) em L2(0, L;IR3) e (7;') em L2(0, ~;03). {Al) e {T,?'-'} conhecidos, calcular (rn,$), {T:) e {Ay+') resolvendo iterativamente. ~LR L a(., 4) (rn, q, ii; Al) . (P. 9;) = 1 O f . pdS, V (p, g;) E dH (rn, q) E A ~LR (16) -(rn, q, T?; Ay) U X 7: = 0 , 87; V U E ~~(0, L; m3) O algoritmo que acaba de ser descrito introduz dois problemas: o primeiro (16), é resolvido ponto a ponto, através de técnicas matriciais e o segundo (17) corresponde ao problema variacional (3) sem a restriego (rn, q) E K. Ele pode, entáo, ser resolvido globalmente via o método dos Elementos Finitos. O Algorítmo para a solucáo do problema (16) se baseia na de composicáo a valor singular7, introduzindo: . Bij = (Rd; + Ai) ej. B = Q'DQ~ (19) &zj = T; . ej (20) Aij = eijkU ek (21) onde {e;) é uma base de IR3, D uma matriz diagonal e Qg, e Qd matrizes ortogonais diretas. Assim: {R(T; - d;) - A;) . U x T; = Traco {(RQ' - B)~Q'A) de (14) e (16) o siguinte problema é encontrado: Encontrar Q7 e L2(0, L; 0:) tal que, para toda matriz A antissimétrica, se tenha: O MÉTODO DO LAGRANGEANO AUMENTADO e admite como solucáo já que: Traco {(RQ~Q~ - B)~Q~Q~A) = Traco {RA - (Q~)~TDQ~A) = O A partir de (23), o algorítmo para (20)é construido como: . Calcular B através de (25). . Calcular e tridiagonalizar BBT. . Calcular os valores singulares bl > b2 > b3 de BBT. Seguido pelas fórmulas de Cardan aplicadas ao polin6mio característico da forma tridiagonal de B BT . . Calcular os vectores própios de BBT resolvendo . Fazer Dll = 6, D22 = 6, 033 = Jb3 signal (det B) . Fazer Q:j = gj - e; . Fazer T; = (Qg~-~(Qg)~B);jej Todos os cálculos acima sáo feitos ponto a ponto; nao requerendo mais do que 80 operacóes algébracas elementares por ponto. Para demonstrar o funcionamento da resolucáo do problema (17) é escolhido,neste trablaho, a seguinte forma para a densidades da energia de deformacgo: A forma acima difere de (11) por náo levar em conta o cisalhamento e o alongamento. Esta escolha, bastante realista para cabos umbilicais, conduz um problema, do ponto de vista numérico, melhor condicionado8. A partir de (24) é obtido o siguiente funcional de energia elástica: É importante ser lembrado que na expressáo acima o cisalhamento náo é levado em conta, sendo tal fato expresso por r' = d3. F. ROCHINHA, R. SAMPAIO Y P. LE TELLEC Por construcáo de Lagrangeano (14)) o problema (17) é equivalente a: Encontrar (rn, dn, ) E H tal que: - p' - [R(c - 7,"-') + XQ] ga)dS V(P, gi) E dH (25) Em (25) as variáveis rn e dE(a = 1,2) sáo desacopláveis. O cálculo de rn se resume, entáo, a resolucáo de 3 equacóes bi-harmonicas: enquanto o de d:(a = (1,2)) a resolucáo de 6 equacóes harmonicas: A discretizacáo das equacóes (26) e (27) é feita através do método dos Elementos Finitos. Para as equacóes bi-harmonicas sáo utilizados elementos de Hernite de grau 3, equanto para as equacóes harmonicas foram escolhidos elementos de Lagrange de grau 2. Com isto, sáo obtidas para r 3 elementos finitos, a 4 graus de liberdades cada um, e para da 6 elementos finitos independentes, a 3 graus de liberdade cada um. As matrizes resultantes da discretizacáo sáo fatorizadas pelo método do Cholesky apenas urna vez, já que independem da iteracáo n de UZAWA. A convergencia da algorítmo de UZAWA é controlada pelos seguintes testes: (/L{lrl - n12 + Id1 - q12 + Id2 - QI~}~s)~ < O (28) A nao existencia de um teste para os multiplicadores {A;} se deve a dificuldade de convergencia destesg. Esta dificuldade se reflete no cálculo dos esforcos que, ao invés de serem calculadas como uma combinaciio dos multiplicadores, sáo obtidos em: dw (momento fletor) mf = -da = - EI1(ru di) + E12(r" dl)d2 duu dw (momento torsor) m~ = -d3 = 2G13(di . du3 onde N é a reacáo na extremidade S = L e F(S) = f(t)dt. RESULTADOS Neste capítulo é mostrada uma aplicacáo da modelagem numérica apresentada. É escolhido um cabo inicialmente retilíneo, com 20 metros de comprimento, imerso no plano x z,engastado em uma extremidade e livre na outra. Sendo adotada a densidade de energia (24) o cabo é considerado inextensível, logo, se for imposto um deslocamento qualquer a extremidade livre, a curva c assume uma forma náo retilínea. Portanto, o cabo é submetido a uma flexáo. O exemplo que será mostrado, apesar de náo representar operacóes cotidianas de cabos umbilicais, evidencia a capacidade do modelo de descrever o comportamento mecanice dos cabos quando submetidos a grande deslocamentos, inclusive o acoplamento flexáo-torcáo, e demostra, tambén, a eficácia do método numérico utilizado. O exemplo consiste de um cabo que está engastado na extremidade de coordenadas (0,0,0) e com a outra, de coordenadas (20,0,0), livre. A esta Última é imposto um deslocamento prescrito por y = 20 - x. Os parhetros escolhidos para o problema sáo EIl = 235 da N x m2, E12 = 360 da N x m2,~13 = 100 da N x m2. Os cabos possuem secáo elíptica. As condicóes de contorno sáo descritas por: