Re is a In e nacional de Mé odos Numé icco
pa a
Cáiculo
y
Diseño en Ingenie ía.
Vol.
7,
1,
163-191( 1991)
ANALISIS NUMERICO DE LAS PROPIEDADES
DE
PROPAGACION
DE
ALGUNOS METODOS
DE ELEMENTOS FINITOS PARA
ECUACIONES DE ONDA 2-D
SANTIAGO DE VICENTE
Y
ELENA IZAGUIRRE
Depa amen o de Ma emá ica Aplicada
y
Mé odos In o má icos,
Uni e sidad Poli écnica de Mad id,
E.T.S.
de Ingenie os de Minas,
Rzós Rosas 21, 28003 Mad id.
RESUMEN
Se analizan en es e abajo las p opiedades de p opagación locales (amo iguamien o,
es abilidad, dispe sión y aniso opía) de esquemas numé icos p o enien es de la disc e ización
de ecuaciones de ondas acús icas en dos dimensiones de espacio, median e cie as mallas sencillas
de elemen os ini os combinadas con la disc e ización en iempo median e un mé odo clásico de
di e encias cen ales. Es as p opiedades locales de p opagación, sumamen e impo an es en es e
ipo de p oblemas, no pueden se es udiadas median e las écnicas globales de es imación de
e o , habi uales en elemen os ini os. Se u iliza aquí un mé odo basado en la descomposición
de la solución con inua del p oblema en sus a mónicos de Fou ie , y en el análisis de las
p opiedades de p opagación de cada uno de es os a mónicos en el mallado de elemen os ini os.
Adicionalmen e, se es udian es as mismas p opiedades locales de p opagación de las di e en es
mallas de elemen os ini os en el en o no de las on e as a i iciales en las que se imponen
condiciones de con o no " anspa en es" de p ime o den. Es e es udio pone de mani ies o la
exis encia de enómenos pa cZsi os en la on e a a i icial.
SUMMARY
In his pape , he local p opaga ion p ope ies (damping, s abili y, dispe sion and
ansio opy) o some nume ical me hods a e analyzed. These nume ical schemes ha e been
go om he disc e iza ion o wo dimensions acous ic wa e equa ion, using some simple ini e
eleiiien meshes, and a classic cen al di e ence me hod in ime. These local p opaga ion
p ope ies, which a e e y iiiipo an in his ype o p oblems, can no be s udied by ineans o
global echniques o e o es ima ion. A iiie hod based on he descomposi ion o he con inous
solu ion in hei Fou ie componen s is used he e. Then, he p opaga ion p ope ies o each
one o he Fou ie componen ac oss he ini e elemen mesh a e s udied. These same local
p opaga ion p ope ies o he di e en ini e elemen meshes a e also s udied a ound he a i icial
bounda ies in which i s o de " anspa en " bounda y condi ions ha e been imposed. This
esea ch shows he
exis en e
o pa asi e phenomena in he a i icial bounda y.
Recibido: No iemb e 1989
QUni e si a Poli ecnica de Ca alun~a (España) ISSN 0213-1315
S.
DE VICENTE
Y
E. IZAGUIRRE
INTRODUCCION
Y
METODOLOGIA
Considé ese el abie o aco ado
R
de
IR2:
R
=
(O,
L)
x
(O,
2)
con on e a
dR
=
o
U
1
U
2
U
3,
y,
sob e él plan eada la ecuación de las ondas acús icas
en dos dimensiones de espacio:
Halla
u(2, z,
)
sob e
R
x
[O,
TI
al que:
-
dZ(c2(~,
z)~,u)
-
~,(C~(Z,
z)~,u)
=
(x,
2,
)
en
R
x
(O,
T)
-c~(z,O)¿~~U(Z,O,~)
=
g(2, )
en
o
x
(0,T)
d u
+
c(z, z)d2u
=
O
en
I',
x
(O,
T)
&u
-
~(2,
z)d2u
=
O
en
I',
x
(O,
T)
d u
-
C(Z,
z)d,u
=
O
en
I',
x
(0,T)
u(z,z,O)=
u.
en
R
u(z,z,O)
=
u1
en
R
m
X
o
b
1
R
l-2
z
l-3
Figu a
1.
En el p oblema
(1)
a
(7))
la unción
(x,z, )
ep esen a las pe u baciones
o iginadas en pun os in e io es de
R,
la unción
g(z, )
las posibles exci aciones en
la on e a supe io
(z
=
O),
la unción
c(z, z)
la elocidad de p opagación de las ondas
acús icas en el medio
R
y
las ecuaciones
(3)
a
(5)
no son más que las clásicas condiciones
de con o no a i iciales o anspa en es de p ime ~ den~~'~*"~'~ que es necesa io impone
sob e
1
U
2
U
3
pa a asegu a que du an e el in e alo de simulación
(O,
T)
no an
a p oduci se e lexiones a i iciales o numé icas (al menos de modo ap eciable) sob e
es a pa e de la on e a.
Una o mulación a iacional clásica pa a
(1)-(7)
es la siguien e:
Halla
u
E
L2(0,T; H1(R))
solución de:
d (u(T), )
+
d c(u( ), )
+
a(u( ), )
=
<
( ),
>
V
E
H'(R)
(8)
con:
PROPIEDADES
DE
PROPAGACION
DE
MEF
PARA
ECUACIONES
DE
ONDA
2-D
165
1
<
( ),
>=
Jn
(2,
z,
) (x, Z)dXdZ
+
g(u. )u(u)do
Lo
donde se supone que los da os ienen la egula idad su icien e pa a asegu a la exis encia
y unicidad de solución de (8)) en pa icula 13:
c
E
Lm(R) y c(x)
>
O
casi en odo pun o de R
Pa a ap oxima la solución de
(a),
se conside a á una ap oximación in e na en
espacio sob e
un
subespacio de H1(R) de dimensión ini a
Vh
de ipo elemen o ini o
con o me, cons uido con la ayuda de un mallado
Mh
de 0:
así como una ap oximación ipo di e encia ini a en iempo con ayuda de un mé odo
Newma k13 conse a i o
(B
=
O)
y de bajo cos e de cálculo en el caso de emplea
ma ices de masa condensada (mé odo o almen e explíci o al ealiza una in eg ación
educida del p oduc o escala en L2(u( ),
u)), es deci con un mé odo de di e encias
ini as cen adas clásico
(6
=
y
-
112
=
O).
La
in luencia de la ap oximación
con in eg ación educida (ma iz de masa condensada o mé odo o almen e explíci o
en iempo) en e a la u ilización de ma ices de masa consis en e, se á es udiada
pos e io men e en es e abajo.
Son bien conocidas las es imaciones clásicas de e o pa a una ap oximación de (8)
como la desc i a en el pá a o an e io . Se a a de es imaciones globales en no mas
ene gé icas, en pa icula 13:
en las que se supone que la solución exac a u es su icien emen e egula (u
E
C2(0,
T;
Hk+l(R))
n
C4(0,
T;
L2(R)) pa a
1
<
k
+
1
<
m).
Sin emba go, es as
es imaciones, al se globales sob e odo el dominio R, nada dicen sob e las p opiedades
de p opagación locales de la solución ap oximada u?,
ni
de su ap oximación con espec o
a las mismas p opiedades de p opagación de la solución exac a.
S.
DE
VICENTE
Y
E.
IZAGUIRRE
Más conc e amen e, el es udio que se desc ibe en es e abajo e sa sob e
la compa ación en e a ios mé odos de elemen os ini os con o mes de Lag ange,
-
-
con cie as amilias de elemen os ini os
Pl
y Ql, combinados con el
mé odo de di e encias ini as cen ales en iempo con y sin condensación de masa,
en
un
medio isó opo y homogéneo
(c
=
cons an e). El análisis se ha á sob e la
ap oximación de los mé odos ci ados a las p opiedades de p opagación (ampli ud,
elocidad de p opagación, di ección de p opagación, e c.) de las soluciones ap oximadas
en e a las mismas p opiedades de p opagación conocidas en el caso con inuo. Al
se las p opiedades de p opagación p opiedades locales, la conside ación de medios
no homogéneos pa a su es udio lle a ía a una complicación eno me en el es udio que
depende ía, además, del caso pa icula con que se abajase. Se conside a án, pues,
medios he e ogéneos que puedan a a se localmen e como medias homogéneos.
En cuan o a la disc e ización espacial de 0, se conside a án mallados
Mh
uni o mes
y egula es, ya que en
un
p oblema del ipo aquí conside ado, la solución ha de
p opaga se po doquie en el dominio Q, de mane a que, en p incipio, no iene ningún
sen ido es ablece g adaciones de malla pa a ap oxima más la solución en unas zonas
de Q que en o as.
Más p ecisamen e, se conside a án disc e izaciones en espacio median e elemen os
ini os en las que odos los nodos in e io es del mallado juegan el mismo papel, es deci ,
las ecuaciones co espondien es a nodos in e io es son odas las mismas.
Con odas es as conside aciones, los ipos de mallas de elemen os ini os que se án
es udiadas se án las isualizadas en la Figu a
2
(TPlR:
T iángulos
Pl
Rec ángulos,
TP 1E:
T iángulos
Pl
Equilá e os
y
CQlR:
Cuad ángulos
Q1
Regula es).
TRIANGULOS P1 RECTANGULOS CUADRliATEROS Q1 REGULARES
TRIANGULOS P1 EQUllATEROS
Figu a
2.
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA
2-D
167
El análisis que se de alla á en las secciones siguien es consis i á en esc ibi las
ecuaciones esul an es en un nodo in e io' cualquie a del mallado
Mh
en cada uno de
los es ipos de mallas de elemen os ini os conside adas (TPlR, TPlE y CQlR) e
in oduci en ellas una solución de ipo onda a mónica plana:
u(x,z, )
=
A
exp i(klx
+
k2z
-
w )
(9)
donde:
-
A
es la ampli ud de la onda.
-
k
=
(ki, k2) es el ec o de onda pa alelo a la di ección de p opagación
.
-
w
es la pulsación o ecuencia de la onda.
y,
siendo:
-
k
=
Ikl
=
2nlX
donde
X
es la longi ud de onda espacial de la onda.
-
e
el ángulo que o ma la di ección de p opagación
k
con el eje de las x, de mane a
que
:
ki
=
kcose
k2
=
k
sen
e
El
conside a soluciones del ipo (9) no es, en ealidad, una es icción ya que,
g acias a la linealidad del p oblema, la solución pe iódica de
(8)
puede descompone se
en una supe posición de a mónicos de la o ma (9)) o lo que es lo mismo, puede esc ibi se
de la o ma:
u(x,z, )
=
/,S
U(kl,
k2,
W)
exp i(klx
+
k2z
-
w ) dkl dk2
dW
donde U(.,
.,
e)
es la ans o mada de Fou ie de u(.,
0,
.)
en espacio y iempo.
Las p opiedades de p opagación en medio homogéneo que se analiza án se án:
-
Amo iguamien o: o p opagación de un a mónico con ampli ud
Ah
di e en e de
la ampli ud con inua
A.
-
Es abilidad: o condición de que las soluciones a mónicas que se p opaguen po
un mallado sean eales sin componen es de c ecimien o exponencial de la ampli ud.
-
Dispe sión: o p opagación de un a mónico a una elocidad numé ica
ch
di e en e
de la elocidad con inua
c.
-
Aniso opia: o dependencia de las p opiedades de p opagación según el ángulo 0
que o ma la di ección de p opagación con el eje de las x.
Todas ellas se es udia án en unción del Núme o G de Pun os po Longi ud de
Onda espacial omados en la ap oximación:
X
G=-=?E
h hk
Po Úl imo, es as p opiedades de p opagación se án es udiadas an o en el caso
de los esquemas numé icos p oceden es de la, semidisc e ización en espacio median e

S.
DE VICENTE
Y
E.
IZAGUIRRE
elemen os ini os de la exp esión a iacional
(8),
así como los esquemas numé icos
o almen e disc e izados en los que, además se incluye la disc e ización en iempo
comen ada an e io men e.
El es udio de las p opiedades de p opagación en el in e io de mallas egula es
asociadas a cie os mé odos de ap oximación pa a ecuaciones de onda ue iniciado bajo
es a misma me odología po Al o d, Kelly
y
Boo el con mé odos de di e encias ini as.
Es e abajo ue gene alizado po Bely schko y Mullen5 pa a ap oximaciones median e
elemen os ini os pa a la ecuación de ondas escala
y
po Bambe ge , Cha en y Lailly2
pa a las ecuaciones de la elas odinámica lineal. Asimismo, Cohen6?' 8 9 ha gene alizado
es as écnicas pa a mé odos en di e encias ini as de cua o o den en espacio y iempo
pa a ecuaciones de onda escala es y ec o iales. En el lib o de Vichne e sky y Bowels16
se encuen an las bases necesa ias pa a el es udio de es as p opiedades pa a esquemas
numé icos de ap oximación pa a ecuaciones de onda de p ime o den. Po Úl imo, los
más ecien es concep os y écnicas de abajo en es e sen ido se hallan expues as en el
abajo de Bambe ge , Guillo y Joly4.
ECUACIONES EN UN NODO INTERIOR
Considé ense unos elemen os ini os cualesquie a
K
de las mallas TPlR, TPlE o
CQlR,
y
asociados a ellos una nume ación local como la dada en la Figu a
3.
a4
a3
CQ1
R
al
a
2
-
h
Figu a
3:
Las ma ices elemen ales co espondien es end án dadas po :
-
Ma iz de masa: Mij
=
JK
$;(z, z)$j(z,
Z)
dz dz
-
Ma iz de igidez: Kij
=
c2
JK
g ad$;(z,
Z)
g adS>i(x,
Z)
dx dz
-
Ma iz de amo iguamien o:
C;j
=
O
pa a elemen os K in e io es
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D
169
donde las unciones son las unciones de base del subespacio ap oximado
Vh,
de
mane a que, se end á
-
MALLA TPIR:
Ma iz de igidez Ma iz de masa Cons. M. de Masas Condensada
-
MALLA TPlE
Ma iz de igidez Ma iz de masa Cons. M. de Masas Condensada
-
MALLA CQIR
Ma iz de igidez
Ma iz de Masa Consis en e Ma iz de Masas Condensada
de mane a que, eniendo en cuen a la con igu ación de los dominios elemen ales
asociados a
un
nodo in e io cualquie a (Figu a
4),
pueden ob ene se median e
ensamblaje de las ma ices de masa
y
de igidez, las ecuaciones asociadas a
un
nodo
in e io cualquie a.
S.
DE VICENTE
Y
E. IZAGUIRRE
4
@
:m
5
6
5
6
7
8
TPl
R
TPl
E
CQ1
R
Figu a
4.
Lema 1:
Las ecuaciones semidisc e izadas en espacio de la o mulación
a iacional
(8)
median e mallados de elemen os ini os de ipo
TPlR, TPlE
y
CQlR,
co espondien es a
un
nodo in e io cualesquie a
y
suponiendo
(x,
z,
)
=
0,
son las
siguien es ecuaciones en di e encias ini as
Malla TPlR
:
6"
c2
-@(U)
-k
-(4%
-
('4
-k
U3
+
U4
+
216))
=
0
d 2 h2 (10)
Malla TPlE
:
6"
2c2
-*(U)
+
-
(ul
u2
+
u3 u, +u5
u,))
=
O
d 2 (11)
Malla CQlR
:
6"
2
c2
+
%(8~0
-
(ul
+
U.
+
u3
+
U<
+
u5
u6
+
u,
+
u,))
=
O
(12)
donde
:
@(u)
=
u. (13)
pa a
Ma ices de Masa Condensada
:
-
1
1
-(uO
+
-(~1
+
U2
+
u3
+
U4
+
U5
+
U&)
2
6
(14)
pa a
Ma ices de Masa Consis en es (TPlR
y
TPlE)
*(u)
=
1
1
-(~uo
+
(~1
+ +
u5
+
U,)
+
-(u2
+
(214
+
4-216
+
~8))
9
4 (15)
-pa a
Ma ices de Masa Consis en es (CQlE)
Nó ese que en el esul ado an e io se ha supues o que la exci ación en el in e io
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D
171
de
n,
(z,
z,
) es nula, es deci , que la exci ación del medio
0
p o iene exclusi amen e
de las condiciones iniciales.
Las ecuaciones (10) a (15) cons i ui án el pun o de pa ida pa a es udia las
p opiedades de p opagación de los esquemas semidisc e izados asociados a los es
ipos de mallas TPlR, TPlE y CQlR. Las co espondien es ecuaciones o almen e
disc e izadas en espacio y en iempo, median e di e enciales cen ales explíci as, se
ob end án a pa i de (10) a (13) sin más que sus i ui la de i ada segunda con espec o
al iempo de
9(.)
po su disc e ización co espondien e po di e encias ini as cen ales:
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE LOS ESQUEMAS
SEMIDISCRETIZADOS EN ESPACIO
En es a sección se es udia án las p opiedades de p opagación esenciales, ales como
el amo iguamien o, la dispe sión
y
la ansio opía numé icas de las semidisc e izaciones
en espacio desc i as po las ecuaciones (10) a (15).
Amo iguamien o Numé ico
No ha luga es udia es a p opiedad, pues o que en las ecuaciones semidisc e izadas
en espacio sólo apa ece
un
ni el de iempo, y, po an o, la noción de amo iguamien o
ca ece de sen ido.
Es abilidad Numé ica
Tampoco es a p opiedad iene sen ido en los esquemas semidisc e izados en espacio,
po la misma azón que la p opiedad an e io .
Dise sión
y
Ansio opía Numé icas
La iloso ía del es udio de la dispe sión
y
de la ansio opía numé icas, eside en el
hecho bien conocido de que la condición necesa ia
y
su icien e pa a una onda a mónica
plana del ipo (9) sea solución de la ecuación de ondas acús icas (1) homogénea es que
se e i ique la denominada Relación de Dispe sión Con inua:
que no hace más que exp esa que la elocidad de p opagación es el cocien e en e la
pulsación
y
el núme o de onda (módulo del ec o de onda). Análogamen e, la condición
necesa ia
y
su icien e pa a que una onda a mónica plana del ipo (9) sea solución de
las ecuaciones semidisc e izadas en espacio (10) a (15) se la denomina á Relación de
Dispe sión Numé ica, y se llama á Velocidad Numé ica de P opagación
ch
(o elocidad
de ase) al cocien e:
donde
wh
es la pulsación o ecuencia ap oximada. De es a o ma, esul a na u al
S.
DE VICENTE
Y
E. IZAGUIRRE
TIPO DE TIPO DE MATRIZ DE MASA
MALLA
CONSISTENTE CONDENSADA
F(a)
=
2a2p
TPlR F(a)
=
a2p 2
-P1
-P2
P
=
2-Pi-Pz P
=
2
12
1
+
1/3(Pi
+
P2
+
PlPa
-
[(l
-
P:)(l
-
Pa)]
'
)
F(a)
=
4a2p
F(a)
=
%aZp
TPIE
p
=
2(1
+
p:
-
(1
-
p:)l12p2 1
+
p;
-
(1
-
p;)1'2p2
P
=
2
-
Pl
+
(1
-
P;)'~~P~
F(a)
=
$a2p
CQlR F(a)
=
azp
P
=
4-
(Pl
+P2
+2PlP2) P
=
4
-
(Pl
+
P2
+
2PlP2)
2
+
Pl
+
P2
+
1/2PlP2
Tabla
IV.
Es abilidad
Numé ica
Una condición necesa ia de es abilidad de los esquemas o almen e disc e izados
se ob iene2 imponiendo que las ondas a mónicas planas del ipo
(9)
que e i ican la
Relación de Dispe sión Numé ica (20) sean eales, es deci , que la ecuencia numé ica
wh
sea eal, de o ma que no exis an posibles componen es de ampli icación en iempo.
Es a condición se ob iene, pues, exigiendo que:
de o ma que el esul ado de es abilidad numé ica ob enido es el siguien e:
Teo ema
2:
La condición necesa ia de es abilidad de los esquemas numé icos
o almen e disc e izados (10) a (16) iene dada po
la
limi ación del Núme o de Cou an
po las can idades de la Tabla
V.
A
la is a de ales condiciones necesa ias de es abilidad, puede conclui se que el
adio de es abilidad de los esquemas numé icos con ma iz de masa consis en e es,
con a lo que pudie a pa ece a p io i, meno en
un
ac o de
i
que el co espondien e
adio de es abilidad de los mé odos numé icos con ma iz de masa condensada. Es o
quie e deci que, pa a elocidad
c
y
paso de disc e ización espacial
h
ijos,
y
ii
sin con a
el iempo necesa io pa a la esolución de
un
sis ema lineal de ecuaciones algeb aicas en
los esquemas con ma iz de masa consis en e
!!,
és os son más ca os,
al
menos en una
p opo ción de
A,
que los mé odos numé icos con ma iz de masa condensada.

PROPIEDADES DE PROPAGACION DE
MEF
PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D
179
CONDICION NECESARIA DE ESTABILIDAD
(a
5)
TIPO DE
MALLA MASA CONDENSADA MASA CONSISTENTE
TPlR
JS/2
118
TPlE
J3/2
112
CQlR
1
1/ i
Tabla
V.
Es e hecho, unido a que, como ya se comen ó en la sección an e io , no se ap ecian
en ajas cuan i a i as impo an es con espec o a la ansio opía y dispe sión numé ica
(ya es udiadas en los esquemas semidisc e izados, Figu as
5
a
7)
de los mé odos con
ma iz de masa condensada, hace que, en la p ác ica, sólo in e ese abaja con es os
úl imos.
Dispe sión
y
Ansio opia Numé icas
A pa i de la Relación de Dispe sión Numé ica (20) de los esquemas o almen e
disc e izados (Lema 2), y eniendo en cuen a (18) y (19) se ob iene el:
Teo ema
3:
Se supone que una onda a mónica plana de ipo (9) incide sob e
un mallado
R
uni o me y egula de elemen os ini os, en el que se ha disc e izado
o almen e la ecuación de ondas acús icas 2-D
(1)
homogénea en un medio homogéneo
(o, análogamen e, la o mulación a iacional en espacio co espondien e (8)).
En onces, adop ando las no aciones del Teo ema
1
y de la Tabla
V,
la Función de
Dispe sión Numé ica iene dada po :
G
q
=
A c cos(1-
F(a))
(21)
En las Figu as 8 a
11
se han ep esen ado las Funciones de Dispe sión Numé ica (21)
de los esquemas con ma iz de masa condensada, que son los esquemas más impo an es
en la p ác ica. En ellas se ap ecia la impo ancia, de ca a a disminui la ansio opía
numé ica y la di e encia en e elocidad numé ica de p opagación ( elocidad de ase)
y elocidad de p opagación con inua, de abaja con un Núme o de Cou an lo más
ce cano posible al lími e o adio de es abilidad eó ico es ablecido en el Teo ema 2. En
las igu as se han p esen ado cua o casos, pa a cua o alo es dis in os del Núme o de
Cou añ Reducido:
S.
DE VICENTE
Y
E. IZAGUIRRE
ELEMENTOS FINITOS PI RECTANOULOS. Momo Condon-odo. ELEMEIITOS FINITOS P RECTANOULOS. Momo Condonmodo.
ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Moio Condmn-odo. ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Momo Condon-odo.
ELEFKNTOS FINITOS 01. Momo Condoniodo. ELEMENTOS FINITOS 01. Mo-a Condm-odo
Figu a
8.
Función de Dispe sión Nu- Figu a
9.
Función de Dispe sión Nu-
mé ica pa a No de Cou an mé ica pa a No de Cou an
Reducido
=
0.25.
Mallados Reducido
=
0.50.
Mallados
TPlR, TPlE
y
CQIR. Ma iz TPlR, TPlE
y
CQIR. Ma iz
.de Masa Condensada. de Masa Condensada.
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D
181
ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS. Ma o Cwid n odo. ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS. Ma o Cond n oda.
ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Mo o Cond n odo. ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Mo o Cond n ado.
ELEMENTOS FINITOS 01. Ma o Cond n odo. ELEMENTOS FINITOS 01. Ho a Cond n oda.
Figu a
10.
Función de Dispe sión Nu- Figu a 11. Función de Dispe sión Nu-
mé ica pa a
No
de Cou an mé ica pa a No de Cou an
Reducido
=
0.75.
Mallados Reducido
=
1.00. Mallados
TPlR, TPlE
y
CQIR. Ma- TPlR, TPlE
y
CQlR.
Ma-
iz de Masa Condensada. iz de Masa Condensada.
S.
DE
VICENTE
Y
E.
IZAGUIRRE
donde
a~~~
es el lími e de es abilidad co espondien e. En cada igu a se p esen an
los esul ados pa a cada uno de los es ipos de malla.
Con espec o a es as igu as cabe hace , además, los mismos comen a ios (i), (ii),
(i ), ( ), ( i), ( iii) de la selección an e io , aplicados es a ez a los esquemas o almen e
disc e izados.
ECUACIONES DE UN NODO DE LA FRONTERA ARTIFICIAL
PARA LOS ESQUEMAS CON INTEGRACION REDUCIDA
Se conside a án los elemen os ñni os de la Figu a
3
co espondien es a las mallas
TPlR, y CQlR. Los mallados de ipo TPlE no se án conside ados en es a sección ni en
las siguien es po las azones que se e án más adelan e. Pa a ob ene las ecuaciones
o almen e disc e izadas de
un
nodo de la on e a a i icial, pongamos po caso la
on e a 2, además de las ma ices de masa y de igidez, ya ob enidas en una sección
an e io , se á necesa io el cálculo de las ma ices elemen ales de amo iguamien o
co espondien es a la disc e ización de la o ma bilineal c(.,
e)
de
(8):
Dado que, como se concluye en las secciones an e io es, esul a en able, desde
un
pun o de is a numé ico, abaja con ma ices de masa condensada, se á necesa io,
pa a conse a la explici ud del algo i mo de ap oximación en iempo, e ec ua una
in eg ación educida en (22). Un cálculo sencillo mues a que, en los dos casos
conside ados, las ma ices elemen ales de amo iguamien o condensadas ienen la
o ma: MALLA TPlR MALLA CQlR
C==
0
o
o
ch
[[O
O
II
po lo que, eniendo en cuen a que, pa a un pun o (pun o
O)
de
la
on e a
2,
los
dominios elemen ales asociados
al
mismo son del ipo de los isualizados en
la
Figu a 12,
pueden ob ene se median e ensamblaje de las ma ices de igidez, de masa condensada
y de amo iguamien o condensada, las ecuaciones o almen e disc e izadas en espacio
y iempo de los esquemas numé icos en dicho pun o.
TPl
R
CQ1
R
Figu a
12.
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D
183
Lema
3:
Las ecuaciones o almen e disc e izadas de la o mulación a iacional
(8)
median e mallados de elemen os ini os de ipo TPlR y CQlR, co espondien es
a
un
nodo de la on e a a i icial
2,
y suponiendo
(x,
z,
)
=
0, son las siguien es
ecuaciones en di e encias ini as:
Malla TPlR
u:+'
-
2u;
+
u:-'
+
a(u:+'
-
u:-')
+
a2(4u8
-
(U;
+
2~4
+
U:))
=
O
(23)
Malla CQlR:
un+'
o
-2un
o+
un-'
o
+
a(u:+'
-U:-'
)+
ga2(4ug-(+U;+ +;+u4
+u~+u:))
=
O
(24)
Es as ecuaciones se i án de pa ida pa a el análisis de las p opiedades locales de
p opagación en el en o no de la on e a a i icial con condiciones " anspa en es" de
p ime o den.
PROPIEDADES LOCALES DE PROPAGACION
EN
EL ENTORNO
DE UNA FRONTERA TRANSPARENTE DE PRIMER ORDEN
Al
igual que en secciones an e io es, in oduciendo en
(23)
y (24) una onda a mónica
plana de ipo
(9),
pueden es udia se las p opiedades de p opagación ya is as pa a nodos
in e io es.
Figu a
13.
Supóngase la on e a a i icial
I'
(Figu a 13) que limi a
al
abie o
R
si uado a su
izquie da (x
<
O).
Se oma án unos ejes locales
(x,
z)
ligados a dicha on e a a i icial
y se ha á la hipó esis de que, al menos localmen e, la on e a
I'
es la ec a de ecuación
x
=
O.
Es bien
cono cid^^^*^^^'^
que la condición de con o no abso ben e (en el sen ido
de que la ene gía de la solución de la ecuación de ondas en
l
x
(O,
T)
es dec ecien e
con el iempo), más sencilla es la denominada condición anspa en e de p ime o den:

S.
DE VICENTE
Y
E. IZAGUIRRE
donde
c
es la elocidad local de p opagación en el medio
0
supues o localmen e
homogéneo. Pa a que una onda a mónica plana del ipo
(9)
que incida sob e I'(ul)
pueda e i ica sob e
I'
la ecuación (25) pa a odo k2
E
R,
debe añadí sele una onda
a mónica plana e lejada del mismo ipo que la inciden e (uR) de modo que la onda
o al sob e la on e a
I'
se esc ibe:
u(x,z,~)
=
ul(x,z, )
+
UR(X,Z,~)
=
=
exp i(klx
+
k2z
-
w )
+
R
exp i(-klx
+
k,z
-
w ) (26)
donde
R
es el denominado coe icien e de e lexión y no es más que la ampli ud de la
onda e lejada en e a la ampli ud de la onda inciden e.
Como se deduce de o ma i ial in oduciendo (26) en (25), la condición necesa ia
y
su icien e pa a que
(26)
sea solución de (25) es que se e i ique la siguien e elación
de dispe sión:
es deci , el coe icien e de e lexión iene dado po :
I
w2
-
e
-
1
R
=
-
1+q
cos 8
+
1
W
donde 8 es el ángulo que o ma la onda inciden e con la no mal a la on e a
I'.
Es a
exp esión del coe icien e de e lexión indica que és e se á nulo pa a ondas de incidencia
no mal (8
=
O), mien as que adqui i á su alo máximo, en alo absolu o, pa a ondas
de incidencia colineal a la on e a (8
=
n/2). Po es a azón no se conside an en es as
dos Úl imas secciones los mallados del ipo TPlE, ya que la máxima e ec i idad de
ales mallas en e a las e lexiones de ipo numé ico en la on e a
I',
habida cuen a
de la exp esión (27), se ob end ía pa a mallados del ipo indicado en la Figu a
14
que,
en la p ác ica conducen, al menos en las aplicaciones de ipo geo ísico, a
un
cos o de
esolución mayo que los mallados de ipo ec angula . Es o es así debido
al
cos o
suplemen a io que supone añadi las anjas la e ales de elemen os ini os necesa ias
pa a consegui o mas como la indicada en la Figu a 14.
z
Figu a
14.
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D
185
In oduciendo en onces (26) en (23)
y
(24) se llega, median e
un
sencillo cálculo
algeb aico al:
Lema
4: 'Con las mismas hipó esis
y
no aciones que en el Teo ema
1
y
Lema 2,
la condición necesa ia
y
su icien e pa a que una onda a mónica plana del ipo
(26)
sea
solución de las ecuaciones o almen e disc e izadas
(23)
y
(24) es que se e i ique la
Relación de Dispe sión Numé ica siguien e:
1
-
(1
+
R)
Cos
whA
+
ia(1
+
R)
Sen
whA
=
F(a) (28)
donde
(a)
iene dada, pa a cada caso, po la Tabla VI.
Tabla
VI.
TIPO
DE
MALLA
TPlR
CQlR
A
pa i de la Relación de Dispe sión Numé ica (28),
y
eniendo en cuen a (18)
y
(19), se ob iene la Función de Dispe sión Numé ica en la on e a a i icial
I':
Teo ema
4: Se supone que una onda a mónica plana del ipo
(26)
sob e
la on e a a i icial
G
anspa en e de p ime o den, en la que se han ealizado las
ap oximaciones median e elemen os ini os (23)
ó
(24).
En onces, adop ando las no aciones del Lema 4
y
de la Tabla VI, la Función
de Dispe sión Numé ica iene dada po :
G
q
=
A c Tan P9)
F(a)
En las Figu as 15 a 18 se han ep esen ado las unciones de dispe sión numé ica
(29) pa a los mallados TPlR
y
CQlR
con ma iz de masa condensada. Cada una de
las igu as mues a el compo amien o de dicha unción de dispe sión numé ica pa a
un alo conc e o del Núme o de Cou an Reducido:
P.
Real
a2[2
-
(1
+
R)(Pl
+
P2)]
$"2[4-(1+R)(Pl+/32+2PiPz)]
P.
Imagina ia
2
112
a2(1
-
R)(l
-
P1)
$<y2(1-R)(1-~S)1/2(1+2P2)
S.
DE VICENTE
Y
E. IZAGUIRRE
DIAGRAMA DE DISPERSION.
V.
Nume .
/
V.
Con .
ELEMENTOS FINITOS
P1
RECTANGULOS. Momo Cond nmodo.
ELEMENTOS FINITOS
PI
RECTANGULOS. Mo=o Condensoda.
DIAGRAMA DE DISPERSION.
V.
Nume .
/
V.
Con .
ELEMENTOS FINITOS
O!
REGULARES. noso Condensado.
Figu a 15. Función de Dispe sión
Numé ica en el en o no de
una on e a a i icial de
p ime o den pa a No de
Cou an Reducido
=
0.25.
Mailados TPlR
y
CQIR.
Ma iz de Masa Condensada.
!
DIAGRAMA DE DISPERSION.
V.
Nu - .
/
V.
Con .
ELEMENTOS FINITOS
01
REGULARES. Mo o Cond n odo.
Figu a 16. Función de Dispe sión
Numé ica en el en o no de
una on e a a i icial de
p ime o den pa a No de
Cou an Reducido
=
0.50.
Mailados TPlR y CQlR.
Ma iz de Masa Condensada.
Es as igu as dan luga a los comen a ios siguien es:
(i)
Pa a ob ene
un
compo amien o medianamen e bueno, es deci , pa a que la
unción de dispe sión numé ica
q
se ap oxime a
1,
es
necesa io abaja con más pun os
po longi ud de onda
G
que pa a nodos in e io es.
PROPIEDADES DE PROPAGACION DE
MEF
PARA ECUACIONES DE ONDA
2-D
187
DIAGRAMA DE DISPERSION.
V.
Num .
/
V.
Con .
DIAGRAMA DE DISPERSION.
V.
Num- .
/
V.
Con .
ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS.
Moco
Cond-n-odo. ELEMENTOS FINITOS P! RECTANGULOS. Mo+o Cond n oda.
DIAGRAMA
DE
DISPERSION.
V.
Nume .
/
V.
Con .
DIAGRAMA DE DISPERSION.
V.
Numo .
/
V.
Con .
ELEMENTOS FINITOS
01
REGULARES. Mo o Condon-odo.
Figu a 17. Función de Dispe sión
Numé ica en el en o no de
una on e a a i icial de
p ime o den pa a No de
Cou an Reducido
=
0.75.
Mailados TPlR
y
CQlR.
Ma iz de Masa Condensada.
ELEMENTOS FINITOS
01
REGULARES. Maso Condon ado.
Figu a 18. Función de Dispe sión
Numé ica en el en o no de
una on e a a i icial de
p ime o den pa a No de
Cou an Reducido
=
1.00.
Mailados TPlR
y
CQlR.
Ma iz de Masa Condensada.
(ii) Pa a ángulos de incidencia sob e la on e a a i icial
8
E
[-n/2, n/2], es deci ,
pa a ondas salien es de
0,
el compo amien o de ambos esquemas numé icos, pa a un
núme o de Cou an dado, es an o mejo cuan o mayo es el núme o de pun os po
longi ud de onda
G
y cuan o meno es el ángulo de incidencia sob e
I'.
Es e Úl imo
hecho
es
o almen e cohe en e con la exp esión (27).
(iii) Las ondas en an es, es deci , las ondas que pudie an p o eni del in ini o;
o bien pa a ángulos de incidencia
8
E
[n/2,3~/2], no son, en gene al, e lejadas po