Análisis numérico de las propiedades de propagación de algunos métodos de elementos finitos para ecuaciones de onda 2-D

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icco pa a Cáiculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 7, 1, 163-191( 1991) ANALISIS NUMERICO DE LAS PROPIEDADES DE PROPAGACION DE ALGUNOS METODOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D SANTIAGO DE VICENTE Y ELENA IZAGUIRRE Depa amen o de Ma emá ica Aplicada y Mé odos In o má icos, Uni e sidad Poli écnica de Mad id, E.T.S. de Ingenie os de Minas, Rzós Rosas 21, 28003 Mad id. RESUMEN Se analizan en es e abajo las p opiedades de p opagación locales (amo iguamien o, es abilidad, dispe sión y aniso opía) de esquemas numé icos p o enien es de la disc e ización de ecuaciones de ondas acús icas en dos dimensiones de espacio, median e cie as mallas sencillas de elemen os ini os combinadas con la disc e ización en iempo median e un mé odo clásico de di e encias cen ales. Es as p opiedades locales de p opagación, sumamen e impo an es en es e ipo de p oblemas, no pueden se es udiadas median e las écnicas globales de es imación de e o , habi uales en elemen os ini os. Se u iliza aquí un mé odo basado en la descomposición de la solución con inua del p oblema en sus a mónicos de Fou ie , y en el análisis de las p opiedades de p opagación de cada uno de es os a mónicos en el mallado de elemen os ini os. Adicionalmen e, se es udian es as mismas p opiedades locales de p opagación de las di e en es mallas de elemen os ini os en el en o no de las on e as a i iciales en las que se imponen condiciones de con o no " anspa en es" de p ime o den. Es e es udio pone de mani ies o la exis encia de enómenos pa cZsi os en la on e a a i icial. SUMMARY In his pape , he local p opaga ion p ope ies (damping, s abili y, dispe sion and ansio opy) o some nume ical me hods a e analyzed. These nume ical schemes ha e been go om he disc e iza ion o wo dimensions acous ic wa e equa ion, using some simple ini e eleiiien meshes, and a classic cen al di e ence me hod in ime. These local p opaga ion p ope ies, which a e e y iiiipo an in his ype o p oblems, can no be s udied by ineans o global echniques o e o es ima ion. A iiie hod based on he descomposi ion o he con inous solu ion in hei Fou ie componen s is used he e. Then, he p opaga ion p ope ies o each one o he Fou ie componen ac oss he ini e elemen mesh a e s udied. These same local p opaga ion p ope ies o he di e en ini e elemen meshes a e also s udied a ound he a i icial bounda ies in which i s o de " anspa en " bounda y condi ions ha e been imposed. This esea ch shows he exis en e o pa asi e phenomena in he a i icial bounda y. Recibido: No iemb e 1989 QUni e si a Poli ecnica de Ca alun~a (España) ISSN 0213-1315 S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE INTRODUCCION Y METODOLOGIA Considé ese el abie o aco ado R de IR2: R = (O, L) x (O, 2) con on e a dR = o U 1 U 2 U 3, y, sob e él plan eada la ecuación de las ondas acús icas en dos dimensiones de espacio: Halla u(2, z, ) sob e R x [O, TI al que: - dZ(c2(~, z)~,u) - ~,(C~(Z, z)~,u) = (x, 2, ) en R x (O, T) -c~(z,O)¿~~U(Z,O,~) = g(2, ) en o x (0,T) d u + c(z, z)d2u = O en I', x (O, T) &u - ~(2, z)d2u = O en I', x (O, T) d u - C(Z, z)d,u = O en I', x (0,T) u(z,z,O)= u. en R u(z,z,O) = u1 en R m X o b 1 R l-2 z l-3 Figu a 1. En el p oblema (1) a (7)) la unción (x,z, ) ep esen a las pe u baciones o iginadas en pun os in e io es de R, la unción g(z, ) las posibles exci aciones en la on e a supe io (z = O), la unción c(z, z) la elocidad de p opagación de las ondas acús icas en el medio R y las ecuaciones (3) a (5) no son más que las clásicas condiciones de con o no a i iciales o anspa en es de p ime ~ den~~'~*"~'~ que es necesa io impone sob e 1 U 2 U 3 pa a asegu a que du an e el in e alo de simulación (O, T) no an a p oduci se e lexiones a i iciales o numé icas (al menos de modo ap eciable) sob e es a pa e de la on e a. Una o mulación a iacional clásica pa a (1)-(7) es la siguien e: Halla u E L2(0,T; H1(R)) solución de: d (u(T), ) + d c(u( ), ) + a(u( ), ) = < ( ), > V E H'(R) (8) con: PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 165 1 < ( ), >= Jn (2, z, ) (x, Z)dXdZ + g(u. )u(u)do Lo donde se supone que los da os ienen la egula idad su icien e pa a asegu a la exis encia y unicidad de solución de (8)) en pa icula 13: c E Lm(R) y c(x) > O casi en odo pun o de R Pa a ap oxima la solución de (a), se conside a á una ap oximación in e na en espacio sob e un subespacio de H1(R) de dimensión ini a Vh de ipo elemen o ini o con o me, cons uido con la ayuda de un mallado Mh de 0: así como una ap oximación ipo di e encia ini a en iempo con ayuda de un mé odo Newma k13 conse a i o (B = O) y de bajo cos e de cálculo en el caso de emplea ma ices de masa condensada (mé odo o almen e explíci o al ealiza una in eg ación educida del p oduc o escala en L2(u( ), u)), es deci con un mé odo de di e encias ini as cen adas clásico (6 = y - 112 = O). La in luencia de la ap oximación con in eg ación educida (ma iz de masa condensada o mé odo o almen e explíci o en iempo) en e a la u ilización de ma ices de masa consis en e, se á es udiada pos e io men e en es e abajo. Son bien conocidas las es imaciones clásicas de e o pa a una ap oximación de (8) como la desc i a en el pá a o an e io . Se a a de es imaciones globales en no mas ene gé icas, en pa icula 13: en las que se supone que la solución exac a u es su icien emen e egula (u E C2(0, T; Hk+l(R)) n C4(0, T; L2(R)) pa a 1 < k + 1 < m). Sin emba go, es as es imaciones, al se globales sob e odo el dominio R, nada dicen sob e las p opiedades de p opagación locales de la solución ap oximada u?, ni de su ap oximación con espec o a las mismas p opiedades de p opagación de la solución exac a. S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE Más conc e amen e, el es udio que se desc ibe en es e abajo e sa sob e la compa ación en e a ios mé odos de elemen os ini os con o mes de Lag ange, - - con cie as amilias de elemen os ini os Pl y Ql, combinados con el mé odo de di e encias ini as cen ales en iempo con y sin condensación de masa, en un medio isó opo y homogéneo (c = cons an e). El análisis se ha á sob e la ap oximación de los mé odos ci ados a las p opiedades de p opagación (ampli ud, elocidad de p opagación, di ección de p opagación, e c.) de las soluciones ap oximadas en e a las mismas p opiedades de p opagación conocidas en el caso con inuo. Al se las p opiedades de p opagación p opiedades locales, la conside ación de medios no homogéneos pa a su es udio lle a ía a una complicación eno me en el es udio que depende ía, además, del caso pa icula con que se abajase. Se conside a án, pues, medios he e ogéneos que puedan a a se localmen e como medias homogéneos. En cuan o a la disc e ización espacial de 0, se conside a án mallados Mh uni o mes y egula es, ya que en un p oblema del ipo aquí conside ado, la solución ha de p opaga se po doquie en el dominio Q, de mane a que, en p incipio, no iene ningún sen ido es ablece g adaciones de malla pa a ap oxima más la solución en unas zonas de Q que en o as. Más p ecisamen e, se conside a án disc e izaciones en espacio median e elemen os ini os en las que odos los nodos in e io es del mallado juegan el mismo papel, es deci , las ecuaciones co espondien es a nodos in e io es son odas las mismas. Con odas es as conside aciones, los ipos de mallas de elemen os ini os que se án es udiadas se án las isualizadas en la Figu a 2 (TPlR: T iángulos Pl Rec ángulos, TP 1E: T iángulos Pl Equilá e os y CQlR: Cuad ángulos Q1 Regula es). TRIANGULOS P1 RECTANGULOS CUADRliATEROS Q1 REGULARES TRIANGULOS P1 EQUllATEROS Figu a 2. PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 167 El análisis que se de alla á en las secciones siguien es consis i á en esc ibi las ecuaciones esul an es en un nodo in e io' cualquie a del mallado Mh en cada uno de los es ipos de mallas de elemen os ini os conside adas (TPlR, TPlE y CQlR) e in oduci en ellas una solución de ipo onda a mónica plana: u(x,z, ) = A exp i(klx + k2z - w ) (9) donde: - A es la ampli ud de la onda. - k = (ki, k2) es el ec o de onda pa alelo a la di ección de p opagación . - w es la pulsación o ecuencia de la onda. y, siendo: - k = Ikl = 2nlX donde X es la longi ud de onda espacial de la onda. - e el ángulo que o ma la di ección de p opagación k con el eje de las x, de mane a que : ki = kcose k2 = k sen e El conside a soluciones del ipo (9) no es, en ealidad, una es icción ya que, g acias a la linealidad del p oblema, la solución pe iódica de (8) puede descompone se en una supe posición de a mónicos de la o ma (9)) o lo que es lo mismo, puede esc ibi se de la o ma: u(x,z, ) = /,S U(kl, k2, W) exp i(klx + k2z - w ) dkl dk2 dW donde U(., ., e) es la ans o mada de Fou ie de u(., 0, .) en espacio y iempo. Las p opiedades de p opagación en medio homogéneo que se analiza án se án: - Amo iguamien o: o p opagación de un a mónico con ampli ud Ah di e en e de la ampli ud con inua A. - Es abilidad: o condición de que las soluciones a mónicas que se p opaguen po un mallado sean eales sin componen es de c ecimien o exponencial de la ampli ud. - Dispe sión: o p opagación de un a mónico a una elocidad numé ica ch di e en e de la elocidad con inua c. - Aniso opia: o dependencia de las p opiedades de p opagación según el ángulo 0 que o ma la di ección de p opagación con el eje de las x. Todas ellas se es udia án en unción del Núme o G de Pun os po Longi ud de Onda espacial omados en la ap oximación: X G=-=?E h hk Po Úl imo, es as p opiedades de p opagación se án es udiadas an o en el caso de los esquemas numé icos p oceden es de la, semidisc e ización en espacio median e S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE elemen os ini os de la exp esión a iacional (8), así como los esquemas numé icos o almen e disc e izados en los que, además se incluye la disc e ización en iempo comen ada an e io men e. El es udio de las p opiedades de p opagación en el in e io de mallas egula es asociadas a cie os mé odos de ap oximación pa a ecuaciones de onda ue iniciado bajo es a misma me odología po Al o d, Kelly y Boo el con mé odos de di e encias ini as. Es e abajo ue gene alizado po Bely schko y Mullen5 pa a ap oximaciones median e elemen os ini os pa a la ecuación de ondas escala y po Bambe ge , Cha en y Lailly2 pa a las ecuaciones de la elas odinámica lineal. Asimismo, Cohen6?' 8 9 ha gene alizado es as écnicas pa a mé odos en di e encias ini as de cua o o den en espacio y iempo pa a ecuaciones de onda escala es y ec o iales. En el lib o de Vichne e sky y Bowels16 se encuen an las bases necesa ias pa a el es udio de es as p opiedades pa a esquemas numé icos de ap oximación pa a ecuaciones de onda de p ime o den. Po Úl imo, los más ecien es concep os y écnicas de abajo en es e sen ido se hallan expues as en el abajo de Bambe ge , Guillo y Joly4. ECUACIONES EN UN NODO INTERIOR Considé ense unos elemen os ini os cualesquie a K de las mallas TPlR, TPlE o CQlR, y asociados a ellos una nume ación local como la dada en la Figu a 3. a4 a3 CQ1 R al a 2 - h Figu a 3: Las ma ices elemen ales co espondien es end án dadas po : - Ma iz de masa: Mij = JK $;(z, z)$j(z, Z) dz dz - Ma iz de igidez: Kij = c2 JK g ad$;(z, Z) g adS>i(x, Z) dx dz - Ma iz de amo iguamien o: C;j = O pa a elemen os K in e io es PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 169 donde las unciones son las unciones de base del subespacio ap oximado Vh, de mane a que, se end á - MALLA TPIR: Ma iz de igidez Ma iz de masa Cons. M. de Masas Condensada - MALLA TPlE Ma iz de igidez Ma iz de masa Cons. M. de Masas Condensada - MALLA CQIR Ma iz de igidez Ma iz de Masa Consis en e Ma iz de Masas Condensada de mane a que, eniendo en cuen a la con igu ación de los dominios elemen ales asociados a un nodo in e io cualquie a (Figu a 4), pueden ob ene se median e ensamblaje de las ma ices de masa y de igidez, las ecuaciones asociadas a un nodo in e io cualquie a. S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE 4 @ :m 5 6 5 6 7 8 TPl R TPl E CQ1 R Figu a 4. Lema 1: Las ecuaciones semidisc e izadas en espacio de la o mulación a iacional (8) median e mallados de elemen os ini os de ipo TPlR, TPlE y CQlR, co espondien es a un nodo in e io cualesquie a y suponiendo (x, z, ) = 0, son las siguien es ecuaciones en di e encias ini as Malla TPlR : 6" c2 -@(U) -k -(4% - ('4 -k U3 + U4 + 216)) = 0 d 2 h2 (10) Malla TPlE : 6" 2c2 -*(U) + - (ul u2 + u3 u, +u5 u,)) = O d 2 (11) Malla CQlR : 6" 2 c2 + %(8~0 - (ul + U. + u3 + U< + u5 u6 + u, + u,)) = O (12) donde : @(u) = u. (13) pa a Ma ices de Masa Condensada : - 1 1 -(uO + -(~1 + U2 + u3 + U4 + U5 + U&) 2 6 (14) pa a Ma ices de Masa Consis en es (TPlR y TPlE) *(u) = 1 1 -(~uo + (~1 + + u5 + U,) + -(u2 + (214 + 4-216 + ~8)) 9 4 (15) -pa a Ma ices de Masa Consis en es (CQlE) Nó ese que en el esul ado an e io se ha supues o que la exci ación en el in e io PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 171 de n, (z, z, ) es nula, es deci , que la exci ación del medio 0 p o iene exclusi amen e de las condiciones iniciales. Las ecuaciones (10) a (15) cons i ui án el pun o de pa ida pa a es udia las p opiedades de p opagación de los esquemas semidisc e izados asociados a los es ipos de mallas TPlR, TPlE y CQlR. Las co espondien es ecuaciones o almen e disc e izadas en espacio y en iempo, median e di e enciales cen ales explíci as, se ob end án a pa i de (10) a (13) sin más que sus i ui la de i ada segunda con espec o al iempo de 9(.) po su disc e ización co espondien e po di e encias ini as cen ales: PROPIEDADES DE PROPAGACION DE LOS ESQUEMAS SEMIDISCRETIZADOS EN ESPACIO En es a sección se es udia án las p opiedades de p opagación esenciales, ales como el amo iguamien o, la dispe sión y la ansio opía numé icas de las semidisc e izaciones en espacio desc i as po las ecuaciones (10) a (15). Amo iguamien o Numé ico No ha luga es udia es a p opiedad, pues o que en las ecuaciones semidisc e izadas en espacio sólo apa ece un ni el de iempo, y, po an o, la noción de amo iguamien o ca ece de sen ido. Es abilidad Numé ica Tampoco es a p opiedad iene sen ido en los esquemas semidisc e izados en espacio, po la misma azón que la p opiedad an e io . Dise sión y Ansio opía Numé icas La iloso ía del es udio de la dispe sión y de la ansio opía numé icas, eside en el hecho bien conocido de que la condición necesa ia y su icien e pa a una onda a mónica plana del ipo (9) sea solución de la ecuación de ondas acús icas (1) homogénea es que se e i ique la denominada Relación de Dispe sión Con inua: que no hace más que exp esa que la elocidad de p opagación es el cocien e en e la pulsación y el núme o de onda (módulo del ec o de onda). Análogamen e, la condición necesa ia y su icien e pa a que una onda a mónica plana del ipo (9) sea solución de las ecuaciones semidisc e izadas en espacio (10) a (15) se la denomina á Relación de Dispe sión Numé ica, y se llama á Velocidad Numé ica de P opagación ch (o elocidad de ase) al cocien e: donde wh es la pulsación o ecuencia ap oximada. De es a o ma, esul a na u al S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE TIPO DE TIPO DE MATRIZ DE MASA MALLA CONSISTENTE CONDENSADA F(a) = 2a2p TPlR F(a) = a2p 2 -P1 -P2 P = 2-Pi-Pz P = 2 12 1 + 1/3(Pi + P2 + PlPa - [(l - P:)(l - Pa)] ' ) F(a) = 4a2p F(a) = %aZp TPIE p = 2(1 + p: - (1 - p:)l12p2 1 + p; - (1 - p;)1'2p2 P = 2 - Pl + (1 - P;)'~~P~ F(a) = $a2p CQlR F(a) = azp P = 4- (Pl +P2 +2PlP2) P = 4 - (Pl + P2 + 2PlP2) 2 + Pl + P2 + 1/2PlP2 Tabla IV. Es abilidad Numé ica Una condición necesa ia de es abilidad de los esquemas o almen e disc e izados se ob iene2 imponiendo que las ondas a mónicas planas del ipo (9) que e i ican la Relación de Dispe sión Numé ica (20) sean eales, es deci , que la ecuencia numé ica wh sea eal, de o ma que no exis an posibles componen es de ampli icación en iempo. Es a condición se ob iene, pues, exigiendo que: de o ma que el esul ado de es abilidad numé ica ob enido es el siguien e: Teo ema 2: La condición necesa ia de es abilidad de los esquemas numé icos o almen e disc e izados (10) a (16) iene dada po la limi ación del Núme o de Cou an po las can idades de la Tabla V. A la is a de ales condiciones necesa ias de es abilidad, puede conclui se que el adio de es abilidad de los esquemas numé icos con ma iz de masa consis en e es, con a lo que pudie a pa ece a p io i, meno en un ac o de i que el co espondien e adio de es abilidad de los mé odos numé icos con ma iz de masa condensada. Es o quie e deci que, pa a elocidad c y paso de disc e ización espacial h ijos, y ii sin con a el iempo necesa io pa a la esolución de un sis ema lineal de ecuaciones algeb aicas en los esquemas con ma iz de masa consis en e !!, és os son más ca os, al menos en una p opo ción de A, que los mé odos numé icos con ma iz de masa condensada. PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 179 CONDICION NECESARIA DE ESTABILIDAD (a 5) TIPO DE MALLA MASA CONDENSADA MASA CONSISTENTE TPlR JS/2 118 TPlE J3/2 112 CQlR 1 1/ i Tabla V. Es e hecho, unido a que, como ya se comen ó en la sección an e io , no se ap ecian en ajas cuan i a i as impo an es con espec o a la ansio opía y dispe sión numé ica (ya es udiadas en los esquemas semidisc e izados, Figu as 5 a 7) de los mé odos con ma iz de masa condensada, hace que, en la p ác ica, sólo in e ese abaja con es os úl imos. Dispe sión y Ansio opia Numé icas A pa i de la Relación de Dispe sión Numé ica (20) de los esquemas o almen e disc e izados (Lema 2), y eniendo en cuen a (18) y (19) se ob iene el: Teo ema 3: Se supone que una onda a mónica plana de ipo (9) incide sob e un mallado R uni o me y egula de elemen os ini os, en el que se ha disc e izado o almen e la ecuación de ondas acús icas 2-D (1) homogénea en un medio homogéneo (o, análogamen e, la o mulación a iacional en espacio co espondien e (8)). En onces, adop ando las no aciones del Teo ema 1 y de la Tabla V, la Función de Dispe sión Numé ica iene dada po : G q = A c cos(1- F(a)) (21) En las Figu as 8 a 11 se han ep esen ado las Funciones de Dispe sión Numé ica (21) de los esquemas con ma iz de masa condensada, que son los esquemas más impo an es en la p ác ica. En ellas se ap ecia la impo ancia, de ca a a disminui la ansio opía numé ica y la di e encia en e elocidad numé ica de p opagación ( elocidad de ase) y elocidad de p opagación con inua, de abaja con un Núme o de Cou an lo más ce cano posible al lími e o adio de es abilidad eó ico es ablecido en el Teo ema 2. En las igu as se han p esen ado cua o casos, pa a cua o alo es dis in os del Núme o de Cou añ Reducido: S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE ELEMENTOS FINITOS PI RECTANOULOS. Momo Condon-odo. ELEMEIITOS FINITOS P RECTANOULOS. Momo Condonmodo. ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Moio Condmn-odo. ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Momo Condon-odo. ELEFKNTOS FINITOS 01. Momo Condoniodo. ELEMENTOS FINITOS 01. Mo-a Condm-odo Figu a 8. Función de Dispe sión Nu- Figu a 9. Función de Dispe sión Nu- mé ica pa a No de Cou an mé ica pa a No de Cou an Reducido = 0.25. Mallados Reducido = 0.50. Mallados TPlR, TPlE y CQIR. Ma iz TPlR, TPlE y CQIR. Ma iz .de Masa Condensada. de Masa Condensada. PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 181 ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS. Ma o Cwid n odo. ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS. Ma o Cond n oda. ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Mo o Cond n odo. ELEMENTOS FINITOS PI EOUILATEROS. Mo o Cond n ado. ELEMENTOS FINITOS 01. Ma o Cond n odo. ELEMENTOS FINITOS 01. Ho a Cond n oda. Figu a 10. Función de Dispe sión Nu- Figu a 11. Función de Dispe sión Nu- mé ica pa a No de Cou an mé ica pa a No de Cou an Reducido = 0.75. Mallados Reducido = 1.00. Mallados TPlR, TPlE y CQIR. Ma- TPlR, TPlE y CQlR. Ma- iz de Masa Condensada. iz de Masa Condensada. S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE donde a~~~ es el lími e de es abilidad co espondien e. En cada igu a se p esen an los esul ados pa a cada uno de los es ipos de malla. Con espec o a es as igu as cabe hace , además, los mismos comen a ios (i), (ii), (i ), ( ), ( i), ( iii) de la selección an e io , aplicados es a ez a los esquemas o almen e disc e izados. ECUACIONES DE UN NODO DE LA FRONTERA ARTIFICIAL PARA LOS ESQUEMAS CON INTEGRACION REDUCIDA Se conside a án los elemen os ñni os de la Figu a 3 co espondien es a las mallas TPlR, y CQlR. Los mallados de ipo TPlE no se án conside ados en es a sección ni en las siguien es po las azones que se e án más adelan e. Pa a ob ene las ecuaciones o almen e disc e izadas de un nodo de la on e a a i icial, pongamos po caso la on e a 2, además de las ma ices de masa y de igidez, ya ob enidas en una sección an e io , se á necesa io el cálculo de las ma ices elemen ales de amo iguamien o co espondien es a la disc e ización de la o ma bilineal c(., e) de (8): Dado que, como se concluye en las secciones an e io es, esul a en able, desde un pun o de is a numé ico, abaja con ma ices de masa condensada, se á necesa io, pa a conse a la explici ud del algo i mo de ap oximación en iempo, e ec ua una in eg ación educida en (22). Un cálculo sencillo mues a que, en los dos casos conside ados, las ma ices elemen ales de amo iguamien o condensadas ienen la o ma: MALLA TPlR MALLA CQlR C== 0 o o ch [[O O II po lo que, eniendo en cuen a que, pa a un pun o (pun o O) de la on e a 2, los dominios elemen ales asociados al mismo son del ipo de los isualizados en la Figu a 12, pueden ob ene se median e ensamblaje de las ma ices de igidez, de masa condensada y de amo iguamien o condensada, las ecuaciones o almen e disc e izadas en espacio y iempo de los esquemas numé icos en dicho pun o. TPl R CQ1 R Figu a 12. PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 183 Lema 3: Las ecuaciones o almen e disc e izadas de la o mulación a iacional (8) median e mallados de elemen os ini os de ipo TPlR y CQlR, co espondien es a un nodo de la on e a a i icial 2, y suponiendo (x, z, ) = 0, son las siguien es ecuaciones en di e encias ini as: Malla TPlR u:+' - 2u; + u:-' + a(u:+' - u:-') + a2(4u8 - (U; + 2~4 + U:)) = O (23) Malla CQlR: un+' o -2un o+ un-' o + a(u:+' -U:-' )+ ga2(4ug-(+U;+ +;+u4 +u~+u:)) = O (24) Es as ecuaciones se i án de pa ida pa a el análisis de las p opiedades locales de p opagación en el en o no de la on e a a i icial con condiciones " anspa en es" de p ime o den. PROPIEDADES LOCALES DE PROPAGACION EN EL ENTORNO DE UNA FRONTERA TRANSPARENTE DE PRIMER ORDEN Al igual que en secciones an e io es, in oduciendo en (23) y (24) una onda a mónica plana de ipo (9), pueden es udia se las p opiedades de p opagación ya is as pa a nodos in e io es. Figu a 13. Supóngase la on e a a i icial I' (Figu a 13) que limi a al abie o R si uado a su izquie da (x < O). Se oma án unos ejes locales (x, z) ligados a dicha on e a a i icial y se ha á la hipó esis de que, al menos localmen e, la on e a I' es la ec a de ecuación x = O. Es bien cono cid^^^*^^^'^ que la condición de con o no abso ben e (en el sen ido de que la ene gía de la solución de la ecuación de ondas en l x (O, T) es dec ecien e con el iempo), más sencilla es la denominada condición anspa en e de p ime o den: S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE donde c es la elocidad local de p opagación en el medio 0 supues o localmen e homogéneo. Pa a que una onda a mónica plana del ipo (9) que incida sob e I'(ul) pueda e i ica sob e I' la ecuación (25) pa a odo k2 E R, debe añadí sele una onda a mónica plana e lejada del mismo ipo que la inciden e (uR) de modo que la onda o al sob e la on e a I' se esc ibe: u(x,z,~) = ul(x,z, ) + UR(X,Z,~) = = exp i(klx + k2z - w ) + R exp i(-klx + k,z - w ) (26) donde R es el denominado coe icien e de e lexión y no es más que la ampli ud de la onda e lejada en e a la ampli ud de la onda inciden e. Como se deduce de o ma i ial in oduciendo (26) en (25), la condición necesa ia y su icien e pa a que (26) sea solución de (25) es que se e i ique la siguien e elación de dispe sión: es deci , el coe icien e de e lexión iene dado po : I w2 - e - 1 R = - 1+q cos 8 + 1 W donde 8 es el ángulo que o ma la onda inciden e con la no mal a la on e a I'. Es a exp esión del coe icien e de e lexión indica que és e se á nulo pa a ondas de incidencia no mal (8 = O), mien as que adqui i á su alo máximo, en alo absolu o, pa a ondas de incidencia colineal a la on e a (8 = n/2). Po es a azón no se conside an en es as dos Úl imas secciones los mallados del ipo TPlE, ya que la máxima e ec i idad de ales mallas en e a las e lexiones de ipo numé ico en la on e a I', habida cuen a de la exp esión (27), se ob end ía pa a mallados del ipo indicado en la Figu a 14 que, en la p ác ica conducen, al menos en las aplicaciones de ipo geo ísico, a un cos o de esolución mayo que los mallados de ipo ec angula . Es o es así debido al cos o suplemen a io que supone añadi las anjas la e ales de elemen os ini os necesa ias pa a consegui o mas como la indicada en la Figu a 14. z Figu a 14. PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 185 In oduciendo en onces (26) en (23) y (24) se llega, median e un sencillo cálculo algeb aico al: Lema 4: 'Con las mismas hipó esis y no aciones que en el Teo ema 1 y Lema 2, la condición necesa ia y su icien e pa a que una onda a mónica plana del ipo (26) sea solución de las ecuaciones o almen e disc e izadas (23) y (24) es que se e i ique la Relación de Dispe sión Numé ica siguien e: 1 - (1 + R) Cos whA + ia(1 + R) Sen whA = F(a) (28) donde (a) iene dada, pa a cada caso, po la Tabla VI. Tabla VI. TIPO DE MALLA TPlR CQlR A pa i de la Relación de Dispe sión Numé ica (28), y eniendo en cuen a (18) y (19), se ob iene la Función de Dispe sión Numé ica en la on e a a i icial I': Teo ema 4: Se supone que una onda a mónica plana del ipo (26) sob e la on e a a i icial G anspa en e de p ime o den, en la que se han ealizado las ap oximaciones median e elemen os ini os (23) ó (24). En onces, adop ando las no aciones del Lema 4 y de la Tabla VI, la Función de Dispe sión Numé ica iene dada po : G q = A c Tan P9) F(a) En las Figu as 15 a 18 se han ep esen ado las unciones de dispe sión numé ica (29) pa a los mallados TPlR y CQlR con ma iz de masa condensada. Cada una de las igu as mues a el compo amien o de dicha unción de dispe sión numé ica pa a un alo conc e o del Núme o de Cou an Reducido: P. Real a2[2 - (1 + R)(Pl + P2)] $"2[4-(1+R)(Pl+/32+2PiPz)] P. Imagina ia 2 112 a2(1 - R)(l - P1) $<y2(1-R)(1-~S)1/2(1+2P2) S. DE VICENTE Y E. IZAGUIRRE DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Nume . / V. Con . ELEMENTOS FINITOS P1 RECTANGULOS. Momo Cond nmodo. ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS. Mo=o Condensoda. DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Nume . / V. Con . ELEMENTOS FINITOS O! REGULARES. noso Condensado. Figu a 15. Función de Dispe sión Numé ica en el en o no de una on e a a i icial de p ime o den pa a No de Cou an Reducido = 0.25. Mailados TPlR y CQIR. Ma iz de Masa Condensada. ! DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Nu - . / V. Con . ELEMENTOS FINITOS 01 REGULARES. Mo o Cond n odo. Figu a 16. Función de Dispe sión Numé ica en el en o no de una on e a a i icial de p ime o den pa a No de Cou an Reducido = 0.50. Mailados TPlR y CQlR. Ma iz de Masa Condensada. Es as igu as dan luga a los comen a ios siguien es: (i) Pa a ob ene un compo amien o medianamen e bueno, es deci , pa a que la unción de dispe sión numé ica q se ap oxime a 1, es necesa io abaja con más pun os po longi ud de onda G que pa a nodos in e io es. PROPIEDADES DE PROPAGACION DE MEF PARA ECUACIONES DE ONDA 2-D 187 DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Num . / V. Con . DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Num- . / V. Con . ELEMENTOS FINITOS PI RECTANGULOS. Moco Cond-n-odo. ELEMENTOS FINITOS P! RECTANGULOS. Mo+o Cond n oda. DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Nume . / V. Con . DIAGRAMA DE DISPERSION. V. Numo . / V. Con . ELEMENTOS FINITOS 01 REGULARES. Mo o Condon-odo. Figu a 17. Función de Dispe sión Numé ica en el en o no de una on e a a i icial de p ime o den pa a No de Cou an Reducido = 0.75. Mailados TPlR y CQlR. Ma iz de Masa Condensada. ELEMENTOS FINITOS 01 REGULARES. Maso Condon ado. Figu a 18. Función de Dispe sión Numé ica en el en o no de una on e a a i icial de p ime o den pa a No de Cou an Reducido = 1.00. Mailados TPlR y CQlR. Ma iz de Masa Condensada. (ii) Pa a ángulos de incidencia sob e la on e a a i icial 8 E [-n/2, n/2], es deci , pa a ondas salien es de 0, el compo amien o de ambos esquemas numé icos, pa a un núme o de Cou an dado, es an o mejo cuan o mayo es el núme o de pun os po longi ud de onda G y cuan o meno es el ángulo de incidencia sob e I'. Es e Úl imo hecho es o almen e cohe en e con la exp esión (27). (iii) Las ondas en an es, es deci , las ondas que pudie an p o eni del in ini o; o bien pa a ángulos de incidencia 8 E [n/2,3~/2], no son, en gene al, e lejadas po