Cu so
2018-19
Miguel T oyano Mo eno
Escuela de Ingenie ías Indus iales
Uni e sidad de Málaga
ESTRUCTURAS
DE
HORMIGÓN
ARMADO
P oblemas
PROBLEMA 06-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 1
PROBLEMA 06-001
De e mina las cuan ías lími es de ace o de la sección de
la igu a.
Da os:
Ho migón: HA-25
Ace o: B 500S
Si uación: Pe sis en e
Sección pe enecien e a una iga
Valo es de cálculo
P ime amen e debemos es ablece los coe icien es pa ciales de segu idad pa a los ma e iales.
Según la Ficha 05 (segu idad) es os coe icien es se án:
 Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


y po lo an o los alo es de cálculo se án:
 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
0,85 14,2
1,50 mm
= α = =
γ

Resis encia de cálculo del ace o: yk
yd
2
s
500 N
434,8
1,15 mm
= = =
γ
Cálculo de las cuan ías lími es
Según la Ficha 06 (cuan ías lími es):
A madu as mínimas geomé icas
s1 c
s2 s1
2,8
Tipo de ace o: B500S
A A
1000
Tipo de elemen o es uc u al: Viga
A 0,30 A
≥

⇒
 

≥ ⋅

25
30
2
d
1
d
s2
A
s1
A
PROBLEMA 06-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2
Po lo an o las a madu as geomé icas mínimas que se han de coloca en la sección de
ho migón se án:
2
s1min,g
2,8
A 25 30 2,10cm
1000
= ⋅ =
2
s2min,g
A 0,30 2,10 0,63cm
= ⋅ =
A madu as mínimas mecánicas
Po a a se de un p oblema de lexión, las a madu as mínimas end án que cumpli , con
obje o de e i a la o u a ágil:
cd
s1
yd
bh
A 0,04
⋅ ⋅
≥
d
s2
yd
N
A 0,05
≥
Sus i uyendo alo es se ob iene:
2
s1min,m
25 30 14,2
A 0,04 0,98cm
434,8
⋅ ⋅
= =
s2min,m d
A 0 (al se lexión simple: N 0)
= =
A madu as mínimas de ini i as:
Finalmen e, las a madu as mínimas se án las que esul en mayo es de las calculadas
an e io men e:
2
s1min,g s1min,m s1,min
A A A 2,10cm
>⇒=
2
s2min,g s2min,m s2,min
A A A 0,63cm
>⇒=
PROBLEMA 06-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3
A madu as máximas:
Siguiendo las ecomendaciones del Código Modelo CEB-FIP conside a emos unas cuan ías
máximas que end án dadas po :
s1,máx c
A 0,04 A
≤ ⋅
s2,máx c
A 0,04 A
≤ ⋅
y po lo an o es as a madu as se án:
2
s1,máx s2,máx
A A 0,04 25 30 30cm
= = ⋅ ⋅ =
PROBLEMA 06-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 1
PROBLEMA 06-002
De e mina las cuan ías lími es de ace o de la sección
que se mues a en la igu a, suponiendo que pe enece a
un pila que es á some ido a los siguien es es ue zos.
M
Q
[kN · m] N
Q
[kN]
e
0
[cm]
➊
10 100 10
➋
30 100 30
➌
50 100 50
➍
20 400 5
➎
50 600 8
Da os:
Ho migón: HA-25 (Con cemen o CEM I)
Ace o: B 500S
Si uación: Pe sis en e
Valo es de cálculo
De la Ficha 05 (segu idad), se los coe icien es pa ciales de segu idad, an o pa a ma e iales
como pa a acciones:
• Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


• Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones:
G
Q
G
Q
1,00
E ec o Fa o able
0,00
Es ado Lími e Úl imo
Si uación pe sis en e
1,35
E ec o Des a o able
1,50
γ =

γ =


⇒
  γ =


γ =


y po lo an o los alo es de cálculo se án:
 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
0,85 14,2
1,50 mm
= α = =
γ
25
30
2
d
1
d
s2
A
s1
A

PROBLEMA 06-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2

Resis encia de cálculo del ace o: yk
yd
2
s
500 N
434,8
1,15 mm
= = =
γ

Es ue zos de cálculo:
d G G
M M
= ⋅γ
y
d G G
N N
= ⋅γ
M
d
[kN · m] N
d
[kN]
➊
15 150
➋
45 150
➌
75 150
➍
30 600
➎
75 900
➏
75 1500
Cálculo de las cuan ías lími es
Según la Ficha 06 (cuan ías lími es):
A madu as mínimas geomé icas
s c
Tipo de ace o: B500S 4
A A
Tipo de elemen o es uc u al: Pila
1000
⇒
≥


donde A
s
es la a madu a longi udinal o al:
s s1 s2
A A A
= +
Po lo an o las a madu as geomé icas mínimas que se han de coloca en la sección de
ho migón se án:
2
s,mín g
4
A 25 30 3,00cm
1000
= ⋅ =
A madu as mínimas mecánicas
Si se a a se de un p oblema de lexión, las a madu as mínimas end án que cumpli :
cd
s1
yd
bh
A 0,04
⋅ ⋅
≥
d
s2
yd
N
A 0,05
≥
PROBLEMA 06-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3
En el supues o de ago amien o po comp esión, las a madu as mínimas end án que cumpli :
d
s1 s2
yc,d
N
A A 0,05
= ≥
Sus i uyendo alo es se ob iene, en unción del axil de cálculo las a madu as mínimas que se
indican en la Tabla 1.
N
d
[kN] A
s2,mín m
[cm
2
] A
s1,mín m
[cm
2
]
Flexión
Comp esión
150 0,17
1,15
0,17
600 0,69 0,69
900 1,04 1,04
1500 1,73 1,73
Tabla 1
A madu as mínimas de ini i as:
Finalmen e, las a madu as mínimas se án las que esul en mayo es de las calculadas
an e io men e, y que se án, en unción del axil de cálculo, las que se indican en la Tabla 2,
donde A
s,mín
es la a madu a longi udinal
o al
mínima a dispone .
N
d
[kN] A
s2,mín m
[cm
2
] A
s1,mín m
[cm
2
] A
s,mín
[cm
2
]
Flexión
Comp esión
150 0,17
1,15
0,17
3,00
600 0,69 0,69
900 1,04 1,04
1500 1,73 1,73
Tabla 2
A madu as máximas:
En el supues o de ago amien o en lexión, siguiendo las ecomendaciones del Código Modelo
CEB-FIP las cuan ías máximas que end án dadas po :
s1,máx c
A 0,04 A
≤ ⋅
s2,máx c
A 0,04 A
≤ ⋅
PROBLEMA 06-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4
y po lo an o es as a madu as se án:
2
s1,máx s2,máx
A A 0,04 25 30 30cm
= = ⋅ ⋅ =
En el supues o de ago amien o en comp esión:
2
c cd
s2,máx s1,máx s2,máx s1,máx
yc,d
0,5 A 0,5 25 30 16,7
A A A A 15,63cm
400
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= = = ⇒= =
Miguel T oyano Mo eno
PROBLEMA 08-001
Dimensiona la sección indicada en la igu a pa a los momen os lec o es indicados en la
siguien e abla:
Pe manen e: M
G
[kN · m]
Va iable: M
Q
[kN · m]
➊
30,00 3,00
➋
30,00 13,67
➌
30,00 24,33
➍
30,00 35,00
Da os:
Ho migón: HA-25
Ace o: B 500S
Vida ú il de p oyec o: 100 años
Si uación: Pe sis en e
Ambien e: IIa
Sección pe enecien e a una iga
Valo es de cálculo
P ime amen e debemos es ablece los coe icien es pa ciales de segu idad, an o pa a
ma e iales como pa a acciones. Según la Ficha 05 (segu idad) es os coe icien es se án:
 Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


 Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones:
G
Q
G
Q
1,00
E ec o Fa o able
0,00
Es ado Lími e Úl imo
Si uación pe sis en e
1,35
E ec o Des a o able
1,50
γ =

γ =


⇒
  γ =


γ =


y po lo an o los alo es de cálculo se án:
 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
0,85 14,2
1,50 mm
= α = =
γ
25
30
2
d
1
d
s2
A
s1
A
PROBLEMA 08-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 8
El momen o ex e io ,
1
µ
, es mayo que el momen o que puede apo a el ho migón sin que la
a madu a in e io deje de abaja a su esis encia de cálculo,
lím
µ
. En es a si uación la
solución más económica se ob iene obligando al ho migón a abso be el máximo momen o
que puede sopo a ,
lím
µ
, y disponiendo a madu a de comp esión pa a abso be el exceso de
momen o ex e io . Po lo an o la solución más económica se ob iene ijado la p o undidad del
eje neu o en
lím
ξ = ξ
.
La a madu a de comp esión se á:
1 lím
2 2
2
0,377 0,372
0,008
1 1 0,25
µ −µ −
ω = =
⇒
ω =
− δ −
y la a madu a in e io :
1 lím 2 1
0,493 0,008 0,501
ω = ν + ω = + ⇒ω =
Deshaciendo el cambio de a iable ob enemos las a madu as de cálculo:
s1 yd
2
cd
1 s1 1 s1
cd yd
A b d 25 24 14,2
A 0,501 A 9,80cm
b d 434,8
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ω = ⇒= ω = ⇒=
⋅ ⋅
s2 yd
2
cd
2 s2 2 s2
cd yd
A b d 25 24 14,2
A 0,008 A 0,15cm
b d 434,8
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ω = ⇒= ω = ⇒=
⋅ ⋅

PROBLEMA 08-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 9
Finalmen e las a madu as que es necesa io dispone se án
las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci :
(
)
2 2
s2 mín
A 0,63 cm 2 10 1,57cm ,b 13cm
=⇒∅ =
(
)
( )
2mín
2
s1 2mín
5 16 10,05cm ,b 25cm
A 9,80 cm
4 20 12,57cm ,b 23cm
∅ =

=⇒∅ =


➍
➍➍
➍
1 lím
0,456 0,372 D.F.S.II
µ = > µ = ⇒
Al igual que en el caso an e io la solución más económica se ob iene ijando la p o undidad
del eje neu o en
lím
ξ = ξ
, y disponiendo a madu a de comp esión pa a abso be el exceso de
momen o ex e io espec o del lími e que puede abso be el ho migón.
La a madu a de comp esión se á:
1 lím
2 2
2
0,456 0,372
0,112
1 1 0,25
µ −µ −
ω = =
⇒
ω =
− δ −
y la a madu a in e io :
1 lím 2 1
0,493 0,112 0,606
ω = ν + ω = + ⇒ω =
Deshaciendo el cambio de a iable ob enemos las a madu as de cálculo:
s1 yd
2
cd
1 s1 1 s1
cd yd
A b d 25 24 14,2
A 0,606 A 11,84cm
b d 434,8
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ω = ⇒= ω = ⇒=
⋅ ⋅
s2 yd
2
cd
2 s2 2 s2
cd yd
A b d 25 24 14,2
A 0,112 A 2,20cm
b d 434,8
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ω = ⇒= ω = ⇒=
⋅ ⋅
Finalmen e las a madu as que es necesa io dispone se án
las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci :
(
)
2 2
s2 mín
A 2,20 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm
=⇒∅ =
2
s1
6 16
A 11,84 cm ∅
=⇒
(
)
(
)
2mín
2mín
12,06cm ,b 28cm
4 20 12,57cm ,b 23cm
=

∅ =


25
30
6
6
2 10
∅
5 16
∅
25
30
6
6
2 12
∅
4 20
∅
PROBLEMA 08-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 10
No a:
El dimensionamien o de es a sección imponiendo que As2 = 0; es deci , como si se a ase del
caso D.F.S.I se ía:
De la ecuación de equilib io de momen os ob end íamos la p o undidad de la ib a neu a:
(
)
(
)
1 lím
1,25 1- 1-2· 1,25 1- 1-2·0,456 0,879 (> )
ξ = µ = = ξ
Con es a p o undidad de la ib a neu a la sección se ago a en el dominio 4, donde la a madu a
in e io no abaja a su lími e elás ico, po lo que la ecuación de equilib io de ue zas queda ía
de la o ma:
1 1 1 1 1 1
0 0,8 0,8·0,879 0,703
= ⋅ξ −ρ ⋅ω ⇒ρ ⋅ω = ⇒ρ ⋅ω =
La ensión con la que abaja la a madu a in e io la ob enemos de la ecuación de
compa ibilidad en el dominio 4:
1 1
yd
7001 700 1 0,879
0,222
434,8 0,879
−ξ −
ρ = = ⇒ρ =
ξ
y po lo an o la cuan ía de ace o se á:
1 1
1
0,703 0,703
3,16
0,222
ω = = ⇒ω =
ρ
y la a madu a de cálculo en acción se á:
s1 yd
2
cd
1 s1 1 s1
cd yd
A b d 25 24 14,2
A 3,16 A 61,83cm
b d 434,8
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ω = ⇒= ω = ⇒=
⋅ ⋅
ob eniéndose una a madu a de cálculo muy supe io a la óp ima (61,83 >> 11,84 + 2,20)
Miguel T oyano Mo eno
PROBLEMA 08-002
De e mina el momen o lec o de ago amien o ( lexión simple) de la sección indicada en la
igu a pa a las a madu as indicadas en la siguien e abla:
➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ ➐ ➑ ➒
A
s2
4∅16 2∅16
- - - - - 2∅16 2∅20
A
s1
2∅16 2∅16
2∅16 4∅16 6∅16
5∅25
5∅25 + 2∅16 5∅25 5∅25
Da os:
Ho migón: HA-25
Ace o: B 400S
Si uación: Pe sis en e
Valo es de cálculo
Los coe icien es pa ciales de segu idad, según la Ficha 05 (segu idad), se án:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
0,85 14,2
1,50 mm
= α = =
γ

Resis encia de cálculo del ace o: yk
yd
2
s
400 N
347,8
1,15 mm
= = =
γ
Cálculo de las a iables adimensionales
Las a iables adimensionales se án:
2
2
d
d
δ =
u
12
cd
M
b d
µ =
⋅ ⋅
30
35
5
5
A
s2
A
s1
PROBLEMA 08-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2
s1 yd
1
cd
A
b d
⋅
ω =
⋅ ⋅
y
s2 yd
2
cd
A
b d
⋅
ω =
⋅ ⋅
de las cuales las que son da os en el p oblema de comp obación son:
2
2
d 5
0,17
d 35 5
δ = = =
−
➊
➋
➌
➍
➎
➏
➐
➑
➒
A madu a supe io
A
s2
4∅16
2∅16
- - - - - 2∅1
6 2∅2
0
Sección [cm
2
]
8,04 4,02 - - - - - 4,02 6,28
s2 yd
2
cd
A
b d
⋅
ω =
⋅ ⋅
0,219 0,110
- - - - - 0,110
0,171
A madu a in e io
A
s1
2∅16
2∅16
2∅1
6 4∅16 6∅1
6 5∅25
5∅25 + 2∅16
5∅2
5 5∅2
5
Sección [cm
2
]
4,02 4,02 4,02 8,04 12,06
24,54
28,56 24,54
24,54
s1 yd
1
cd
A
b d
⋅
ω =
⋅ ⋅
0,110 0,110
0,110
0,219 0,329
0,670
0,779 0,670
0,670
Cálculo de los alo es lími es
De la Ficha 07 se ob ienen:
ξ
ξξ
ξ
lím
0,668
ν
νν
ν
lím
0,534
µ
µµ
µ
lím
0,392
o bien analí icamen e:
( )
lim lim
lim 3
lim lim lím
yd
0,8
1
0,8 1 0,5
1 1,43 10
−
ν = ⋅ξ

ξ = ⇒
µ = ⋅ξ ⋅ − ⋅ξ
+ ⋅ ⋅ 
Cálculo de
ξ
ξξ
ξ
*
Empezamos suponiendo que ξ* se a a alcanza en el dominio 2, en cuyo caso :
yd 2
yd
2.000
* * 0,290 0,290 (Lími e Dominio 2)
2.000
+ ⋅δ
ξ = ⇒ξ = <>
+
PROBLEMA 08-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3
Como ξ* = 0,290 > 0,259, es e alo es e óneo y enemos que calcula lo u ilizando la
exp esión co espondien e a los domínios 3 y 4 :
2
yd
700
* 0,331
700
⋅δ
ξ = ⇒
−
De e minación del momen o de ago amien o
➊
➊➊
➊
1 2
0,110 0 CFS I
ω −ω = − < ⇒−
1 1 2 1
(1 ) 0,110(1 0,17) 0,091
µ = ω − δ = − ⇒µ =
2 2
1 1 cd u
M b d 0,091 0,30 0,30 14,2 0,035 MN m M 35 KN m
= µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅
Si no desp eciamos la con ibución del ho migón, y ealizamos la comp obación como en el
caso de CFS-II, end emos:
in
1 2 *
sup
0
' 0 i e amos en el in e alo:
0,331
0,8
ξ =

ω −ω
ξ = < ⇒ξ = ξ =

''
ξ
2
2
yd
''
2.000
'' 0,259 ''
1 ''
ξ − δ
ξ ≤ ⇒ρ =
− ξ
2
2
yd
''
700
'' 0,259 ''
''
ξ − δ
ξ > ⇒ρ = ξ
2 2 1
e o 0,8 '' ''
= ⋅ξ +ρ ⋅ω − ω
in
ξ
sup
ξ
0,0000 0,3313
0,1656 -0,007 0,021 0,0000 0,1656
0,0828 -0,526 -0,159 0,0828 0,1656
0,1242 -0,279 -0,071 0,1242 0,1656
0,1449 -0,146 -0,026 0,1449 0,1656
0,1553 -0,077 -0,002 0,1553 0,1656
0,1605 -0,042 0,009 0,1553 0,1605
0,1579 -0,060 0,003 0,1553 0,1579
0,1566 -0,069 0,000 0,1553 0,1566
1 2 2 2 1
2
0,157
0,8 (1 0,4 ) (1 ) 0,105
0,069
ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ +ρ ⋅ω ⋅ −δ ⇒µ =

ρ = − 
2 2
1 1 cd u
M b d 0,105 0,30 0,30 14,2 0,040 MN m M 40 KN m
= µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅
➋
➋➋
➋
1 2
0 CFS I
ω − ω = ⇒−
Se ob ienen los mismos alo es que en el caso an e io , al se la a madu a de acción la
misma:

PROBLEMA 08-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4
1 1 2 1 u
(1 ) 0,110(1 0,17) 0,091 M 35 KN m
µ = ω − δ = − ⇒µ = ⇒= ⋅
Si de nue o NO desp eciamos la con ibución del ho migón, y ealizamos la comp obación
como en el caso de CFS-II, end emos:
in
1 2 *
sup
0
' 0 i e amos en el in e alo:
0,331
0,8
ξ =

ω −ω
ξ = = ⇒ξ = ξ =

''
ξ
2
2
yd
''
2.000
'' 0,259 ''
1 ''
ξ − δ
ξ ≤ ⇒ρ =
− ξ
2
2
yd
''
700
'' 0,259 ''
''
ξ − δ
ξ > ⇒ρ = ξ
2 2 1
e o 0,8 '' ''
= ⋅ξ +ρ ⋅ω − ω
in
ξ
sup
ξ
0,0000
0,3313
0,1656
-0,007 0,022 0,0000
0,1656
0,0828
-0,526 -0,101 0,0828
0,1656
0,1242
-0,279 -0,041 0,1242
0,1656
0,1449
-0,146 -0,010 0,1449
0,1656
0,1553
-0,077 0,006 0,1449
0,1553
0,1501
-0,112 -0,002 0,1501
0,1553
0,1527
-0,095 0,002 0,1501
0,1527
0,1514
-0,103 0,000 0,1514
0,1527
1 2 2 2 1
2
0,151
0,8 (1 0,4 ) (1 ) 0,104
0,103
ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ +ρ ⋅ω ⋅ − δ ⇒µ =

ρ = − 
2 2
1 1 cd u
M b d 0,104 0,30 0,30 14,2 0,040 MN m M 40 KN m
= µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅
➌
➌➌
➌
1 2 lím
0,110 < 0,534 CFS II
ω −ω = ν = ⇒−
Además como no exis e a madu a de comp esión,
2
0
ω =
, nos encon amos en el caso de
CFS-II.a, donde la p o undidad de la ib a neu a iene dada po :
1
0,110
0,137
0,8 0,8
ω
ξ = = ⇒ξ =
y el momen o de ago amien o ale:
1 1
0,8 (1 0,4 ) 0,104
µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ ⇒µ =
2 2
1 1 cd u
M b d 0,104 0,30 0,30 14,2 0,040 MN m M 40 KN m
= µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅
➍
➍➍
➍
1 2 lím
0,219 < 0,534 CFS II
ω −ω = ν = ⇒−
PROBLEMA 08-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 5
Al igual que el caso an e io , al no exis i a madu a de comp esión,
2
0
ω =
, nos encon amos
en el caso de CFS-II.a, donde la p o undidad de la ib a neu a iene dada po :
1
0,214
0,274
0,8 0,8
ω
ξ = = ⇒ξ =
y el momen o de ago amien o ale:
1 1 u
0,8 (1 0,4 ) 0,195 M 75 KN m
µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ ⇒µ = ⇒= ⋅
➎
➎➎
➎
1 2 lím
0,329 < 0,534 CFS II
ω −ω = ν = ⇒−
De la misma o ma que en los dos casos an e io es nos encon amos en el caso de CFS-II.a, y
se iene:
1
0,329
0,411
0,8 0,8
ω
ξ = = ⇒ξ =
y el momen o de ago amien o ale:
1 1 u
0,8 (1 0,4 ) 0,275 M 105 KN m
µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ ⇒µ = ⇒= ⋅
➏
➏➏
➏
1 2 lím
0,670 > 0,534 CFS III
ω −ω = ν = ⇒−
Nos encon amos en el CFS-III. En es a si uación la sección se a a ago a en dominio 4,
donde la a madu a de acción no abaja a su lími e elás ico. Es necesa io i e a en el
in e alo de inido po
in lím
ξ = ξ
y
sup
' 1
ξ = ξ <
. La co a supe io se á:
1 2
0,670
' ' 0,837
0,8 0,8
ω − ω
ξ = = ⇒ξ =
y la i e ación se á:
''
ξ
1
yd
700 1 ''
''
''
− ξ
ρ =
ξ
2 1 1
e o 0,8 '' ''
= ⋅ξ + ω −ρ ⋅ω
in
ξ
sup
ξ
0,6680
0,8370
0,7524 0,662 0,158 0,6678 0,7524
0,7101 0,822 0,018 0,6678 0,7101
0,6890 0,909 -0,057 0,6890 0,7101
0,6995 0,864 -0,019 0,6995 0,7101
0,7048 0,843 0,000 0,7048 0,7101
1
0,705 0,8 (1 0,4 )ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ + ω
22 u
(1 ) 0,405 M 155 KN m
⋅ − δ = ⇒= ⋅
PROBLEMA 08-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6
En es e dominio la a madu a de acción (A
s1
) no se ap o echa al máximo, al abaja po
debajo de su esis encia de cálculo
yd
347,8 MPa
=. La ensión en el ago amien o de es a
a madu a se á:
s1 1 yd
0,842 347,8 292,8 MPa
σ = ρ ⋅ = ⋅ =
➐
➐➐
➐
1 2 lím
0,779 > 0,534 CFS III
ω −ω = ν = ⇒−
Al aumen a la a madu a de acción, el eje neu o aumen a aún más y po lo an o segui emos
encon ándonos, al igual que en el caso ➏, en el CFS-III, donde enemos que i e a en el
in e alo de inido po
in lím
ξ = ξ
y
sup
' 1
ξ = ξ <
. La co a supe io se á:
1 2
0,779
' ' 0,974
0,8 0,8
ω −ω
ξ = = ⇒ξ =
y la i e ación se á:
''
ξ
1
yd
700 1 ''
''
''
− ξ
ρ =
ξ
2 1 1
e o 0,8 '' ''
= ⋅ξ + ω −ρ ⋅ω
in
ξ
sup
ξ
0,6678
0,9740
0,9741 0,054 0,738 0,6678 0,9741
0,8210 0,439 0,315 0,6678 0,8210
0,7444 0,691 0,057 0,6678 0,7444
0,7061 0,838 -0,088 0,7061 0,7444
0,7253 0,762 -0,014 0,7253 0,7444
0,7348 0,726 0,022 0,7253 0,7348
0,7300 0,744 0,004 0,7253 0,7300
0,7276 0,753 -0,005 0,7276 0,7300
0,7288 0,749 0,000 0,7288 0,7300
1
0,729 0,8 (1 0,4 )ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ + ω
22 u
(1 ) 0,413 M 158 KN m
⋅ − δ = ⇒= ⋅
Obse amos que e ec i amen e la p o undidad del eje neu o aumen a (pasamos de
0,705
ξ =
a
0,729
ξ =
), pe o sin emba go el inc emen o en el momen o de ago amien o es p ác icamen e
desp eciable (pasamos de
u
M 155 KN m
= ⋅
a
u
M 158 KN m
= ⋅
). La jus i icación de es o es
que la nue a a madu a in oducida (2∅16) no abaja a su esis encia de cálculo y, además,
hace que la an e io men e dispues a (5∅25) disminuya ambién su esis encia. E ec i amen e,
la nue a ensión en el ago amien o de la a madu a de acción (5∅25+2∅16) se á:
s1 1 yd
0,749 347,8 260,4 MPa
σ = ρ ⋅ = ⋅ = .
Se puede ap o echa mejo el ace o si in oducimos la a madu a 2∅16 como a madu a de
comp esión en ez de acción, como se e á en el caso siguien e.
PROBLEMA 08-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 7
➑
➑➑
➑
1 2 lím
0,560 > 0,534 CFS III
ω −ω = ν = ⇒−
Al igual que en el caso ➏ nos encon amos en el CFS-III, donde enemos que i e a en el
in e alo de inido po
in lím
ξ = ξ
y
sup
' 1
ξ = ξ <
. La co a supe io se á:
1 2
0,560
' ' 0,6998
0,8 0,8
ω −ω
ξ = = ⇒ξ =
y la i e ación se á:
''
ξ
1
yd
700 1 ''
''
''
− ξ
ρ =
ξ
2 1 1
e o 0,8 '' ''
= ⋅ξ + ω −ρ ⋅ω
in
ξ
sup
ξ
0,6680 0,6998
0,6998 0,863 0,092 0,6678 0,6998
0,6838 0,930 0,034 0,6678 0,6838
0,6758 0,965 0,004 0,6678 0,6758
0,6718 0,983 -0,011 0,6718 0,6758
0,6738 0,974 -0,004 0,6738 0,6758
0,6748 0,970 0,000 0,6738 0,6748
1 2 2 u
0,675 0,8 (1 0,4 ) (1 ) 0,483 M 185 KN m
ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ + ω ⋅ − δ = ⇒= ⋅
Si analizamos los es úl imos ejemplos obse amos que con un inc emen o de ace o igual
(2∅16) ob enemos un mayo inc emen o en el momen o de ago amien o en el caso ➑ que en
el ➐ (
u
M 185 MPa
= en e a
u
M 158 MPa
=). La jus i icación de es o es que en es a
ocasión la a madu a in oducida en comp esión (al man ene se cons an e la a madu a de
acción) hace que el ho migón deba sopo a menos comp esiones, disminuye su ib a neu a
y consecuen emen e aumen a la de o mación de la a madu a de acción. Es e úl imo aumen o
de de o mación hace inalmen e que la ensión del ace o de acción se ace que a su
esis encia de cálculo:
s1 1 yd
0,970 347,8 337,4 MPa
σ = ρ ⋅ = ⋅ = . Además, la a madu a
in oducida en comp esión, al ago a se la sección en dominio 4 abaja a su esis encia de
cálculo.
Si seguimos aumen ando la a madu a de comp esión, la p o undidad del eje neu o segui á
disminuyendo, has a que se alcance el dominio 3, donde los dos g upos de a madu as, de
acción y comp esión, abaja án a su lími e elás ico. Es o sucede po ejemplo en el caso
siguien e.
➒
➒➒
➒
1 2 lím
0,498 < 0,534 CFS II
ω −ω = ν = ⇒−
PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6
   
1 lím
1,25 1- 1-2 1,25 1- 1-2 0,138 0,186 (< )      
y sus i uyendo es a p o undidad de la ib a neu a en la ecuación de equilib io de ue zas,
queda pa a la a madu a in e io :
10,8 0,8 0,186 0,173 0,024       
Vamos a analiza los esul ados
que hemos ob enido. Pa a que el
ho migón abso ba el momen o
ex e io
10,138
es necesa io
que la p o undidad de la ib a
neu a sea
0,186
, pa a la
cual, la esul an e del paque e de
comp esiones es
cu 0,149
,
meno que el axil ex e io ,
0,173
, y po lo an o, la
a madu a in e io iene que abaja a comp esión pa a ayuda al ho migón a abso be es e axil
ex e io . Como es o no es posible, la solución (de cálculo eó ica) consis e en no dispone
a madu a. En es a si uación, el ho migón e oluciona pa a abso be po sí solo el axil ex e io
aumen ando la p o undidad de la ib a neu a y, po lo an o, apo ando un momen o mayo
que el ex e io . E ec i amen e, de las ecuaciones de equilib io se ob iene:
1
1
0,173
0,8 0,216
0,8 0,8 0,158 0,138
0,8 (1 0,4 )

           


     
Po el con a io, si obligamos a que la sección se ago e man eniendo el momen o ex e io ,
esul a que el axil de ago amien o es meno que el de cálculo. E ec i amen e, pa a que la
sección de ho migón abso ba el momen o ex e io la p o undidad de la ib a neu a iene que
se (como hemos calculado an e io men e)
0,186
, que equilib a el axil ex e io :
0,8 0,149 0,173    
. Además de es a si uación de ago amien o la sección puede
alcanza una e ce a man eniendo el momen o ex e io y sopo ando en es e caso la sección un
axil mucho mayo que el de cálculo.
Pa a es udia es as es si uaciones de ago amien o plan eamos las ecuaciones de equilib io de
la sección b u a de ho migón espec o al ba icen o de la misma y adimensionalizando con el
can o o al h (Fig. 2):
0,8 0,186
1
0,138
0,173
0,149
0,024
Fig. 1

PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 7
cu
cu0
0,8 0,8 0,5 (1 )
0,8 (0,5 0,4 )



      
     

     


con:

d
cd
N
b h
 

d
2cd
M
b h
 

x
h

En la Fig. 3 se ha ep esen ado la cu a
()   
que
ep esen a la espues a del ho migón en ago amien o, y
que iene como pun os ep esen a i os:
 El momen o se hace nulo pa a los pun os:
0 ( 0)   
1 ( 1,25)   
3
 El máximo momen o que es capaz de abso be el
ho migón ale
0,125
, que co esponde al
pun o:
0,5 ( 0,625)   
3
A pa i de
x h ( 1) 
las ecuaciones de equilib io u ilizadas, en lexión, dejan de se cie as, ya que en
comp esión la p o undidad de la ib a neu a es
h
y 1 0,2 h
x

   


. En cualquie caso, es e pun o
1
se
p oduce igualmen e, pe o pa a una p o undidad
  
.
1
0,8
0,5
0,4
0,8


1
Fig. 2


0
0,5
1
0,125
Fig. 3
PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 8
En la Fig. 4 se han ep esen ado la si uación
de cálculo de la sección (pun o ) y las es
si uaciones de ago amien o. El pun o 
co esponde a la si uación donde se
man iene el axil de cálculo y la  y  las
que se ob ienen man eniendo el momen o de
cálculo. Los alo es numé icos son:
 Si uación de cálculo:
d
cd
d
2cd
N0,120
b h
M0,040
b h
  

  

 Si uación de ago amien o con axil úl imo igual al de cálculo:
0,8 0,150 0,053
0,8
0,8 (0,5 0,4 )

         


     
 Si uación de ago amien o con momen o úl imo igual al de cálculo:
 
0,8 0,088
0,110
0,8 (0,5 0,4 ) 0,625 1 1 8 0,912
1,140
   




           




En esumen la sección NO SE AGOTA pa a los es ue zos dados, y las a madu as que
disponemos son las mínimas
4
:
 

22
s2 mín
A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   
 

22
s1 mín
A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   
4
Se han colocado ba as
12
debido a que la Ins ucción EHE es ablece es e diáme o como diáme o mínimo
pa a sopo es.


0,088
0,040
0,053
0,912
0,120
Fig. 4
25
30
6
6
2 12
2 12
PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 9

0,173
1 lím
0,279 0,372 D.F.C I     
Al igual que en el caso an e io no es necesa ia la a madu a de comp esión 
20
.
La p o undidad de la ib a neu a se á:
   
1 lím
11,25 1- 1-2 1,25 1- 1-2 0,279 0,418 (< )      
y sus i uyendo es a p o undidad de la ib a neu a en la ecuación de equilib io de ue zas,
queda pa a la a madu a in e io :
10,8 0,8 0,418 0,173 0,162      
Las a madu as de cálculo se án:
s1 yd 2
cd
1 s1 1 s1
cd yd
A b d 25 24,5 14,2
A 0,162 A 3,23cm
b d 434,8
   
       

s2 yd 2
2 s2
cd
A A 0cm
b d

   

Finalmen e las a madu as que son necesa ias dispone
se án las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es
deci 4:
 
22
s2 mín
A 0,17 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   
 
 
2mín
2
s1 2mín
3 12 3,39cm ,b 16cm
A 3,23 cm 2 16 4,02cm ,b 14cm







0,173
1 lím
0,420 0,372 D.F.C II     
El momen o ex e io
1

no puede se sopo ado po el ho migón, y po lo an o disponemos
a madu a de comp esión pa a ayuda al ho migón a sopo a es e momen o. Hacemos abaja
al ho migón al máximo sin que la a madu a de acción deje de abaja a su esis encia de
25
30
6
6
2 12
3 12
PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 10
cálculo; es deci , ijamos la p o undidad del eje neu o en
lím
  
. La a madu a de
comp esión se á:
1 lím
22
2
0,420 0,372 0,062
1 1 0,22
  
     
  
y la a madu a in e io se á:
1 lím 2 1
0,493 0,062 0,173 0,383         
Las a madu as de cálculo son po an o:
s1 yd 2
cd
1 s1 1 s1
cd yd
A b d 25 24,5 14,2
A 0,383 A 7,64cm
b d 434,8
   
       

s2 yd 2
cd
2 s2 2 s2
cd yd
A b d 25 24,5 14,2
A 0,062 A 1,24cm
b d 434,8
   
       

y inalmen e las a madu as que son necesa ias dispone se án las mayo es en e las mínimas y
las de cálculo; es deci :
 
22
s2 mín
A 1,24 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   
2
s1
7 12
A 7,64 cm


 
 
 
 
2mín
2mín
2mín
2mín
7,92cm ,b 29cm
4 16 8,04cm ,b 21cm
3 20 9,42cm ,b 19cm
2 25 9,82cm ,b 16cm










0,691
1 lím
0,409 0,372 D.F.C II     
Al igual que an es ijamos la p o undidad del eje neu o en
lím
  
.
La a madu a de comp esión se á:
1 lím
22
2
0,409 0,372 0,048
1 1 0,22
  
     
  
25
30
6
6
2 12
4 16
PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 11
y la a madu a in e io se á:
1 lím 2 1
0,493 0,048 0,691 0,150          
Que la a madu a de acción salga nega i a, signi ica que, pa a que se cumpla el equilib io de
ue zas, és a end ía que abaja a comp esión, si uación que no es posible con
lím
  
. Si
hacemos
10
, pa a que se cumpla el equilib io de ue zas el paque e de comp esiones en el
ho migón debe descende ago ándose la sección en un dominio supe io al 3. Po lo an o
dimensionamos la sección con
10
y pe mi iendo que el ho migón ebase la p o undidad
lím

. En es a nue a si uación el ho migón a a abso be un mayo axil y momen o, po lo que
pod emos ob ene una a madu a de comp esión meno que la ob enida an e io men e
(
20,048
).
Pa a que el ho migón abso ba odo el momen o ex e io , la p o undidad de la ib a neu a
iene que se :
21
2 lím
22
2
(1 ) 0,691(1 0,22) 0,409
1,25 1 1 1,25 0,22 1 1 0,970 (> )
0,5 0,5 0,22
   
     
         
   
 
   
E ec i amen e la p o undidad del eje neu o es supe io al lími e y al se ambién
1
, la
sección se ago a en el dominio 4, y po lo an o se a a de un p oblema de lexión.
La a madu a de comp esión se á:
20,8 0,691 0,8 0,970 0,085        
Al igual que sucedía en el caso  la sección NO SE AGOTA, y si calculamos al igual que
en onces las si uaciones de ago amien o que alcanza la sección cuando se man iene el axil de
cálculo y el momen o de cálculo se ob iene:
 Si uación de cálculo:
d
cd
d
2cd
N0,094
bh
M0,565
b h
  

  

 Al ago a se la sección man eniendo el axil de cálculo:
1
1
0,565
0,8 0,706
0,8 0,8 0,123 0,094
0,8 (0,5 0,4 )

           


     
 Al ago a se la sección man eniendo el momen o de cálculo:
 
0,8 0,281
0,414
0,8 (0,5 0,4 ) 0,625 1 1 8 0,569
0,836
   




           





PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 12
Si al igual que an es ambién ob enemos los es ue zos ba icen ales nos queda:
 Si uación de cálculo:
d
cd
d
2cd
N0,480
b h
M0,080
b h
  

  

 Si uación de ago amien o con axil úl imo igual al de cálculo:
0,8 0,600 0,125
0,8
0,8 (0,5 0,4 )

         


     
 Si uación de ago amien o con momen o úl imo igual al de cálculo:
 
0,8 0,200
0,250
0,8 (0,5 0,4 ) 0,625 1 1 8 0,800
1,000
   




           




En la Fig. 5 se han ep esen ado la
si uación de cálculo de la sección (pun o
) y las es si uaciones de ago amien o.
El pun o  co esponde a la si uación
donde se man iene el axil de cálculo y la 
y  las que se ob ienen man eniendo el
momen o de cálculo. Los alo es
numé icos son:
En esumen, la sección NO SE AGOTA y
las a madu as que disponemos son las mínimas:
 

22
s2 mín
A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   
 

22
s1 mín
A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   


0,200
0,080
0,125
0,800
0,480
Fig. 5
25
30
6
6
2 12
2 12
PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 13

1,037
1 lím
0,755 0,372 D.F.C II     
Al igual que an es ijamos la p o undidad del eje neu o en
lím
  
La a madu a de comp esión se á:
1 lím
22
2
0,755 0,372 0,494
1 1 0,22
  
     
  
y la a madu a in e io se á:
1 lím 2 1
0,493 0,494 1,037 0,050          
De nue o la a madu a de acción sale nega i a, po lo que podemos hace
10
, y ob ene
una solución más económica pe mi iendo al ho migón que sob epase la p o undidad lími e.
De es a o ma el ho migón a a abso be un mayo axil y momen o, po lo que pod emos
ob ene una a madu a de comp esión meno que la ob enida an e io men e (
20,420
).
Pa a que el ho migón abso ba odo el momen o ex e io , la p o undidad de la ib a neu a
iene que se :
21
2 lím
22
2
(1 ) 1,037(1 0,22) 0,755
1,25 1 1 1,25 0,22 1 1 0,763 (> )
0,5 0,5 0,22
   
     
         
   
 
   
E ec i amen e la p o undidad del eje neu o es supe io al lími e y al se ambién
1
, la
sección se ago a en el dominio 4, y po lo an o se a a de un p oblema de lexión.
La a madu a de comp esión se á:
20,8 1,037 0,8 0,763 0,426 0,494        
Las a madu as de cálculo se án:
s1 yd 2
1 s1
cd
A A 0cm
b d

   

s2 yd 2
cd
2 s2 2 s2
cd yd
A b d 25 24,5 14,2
A 0,426 A 8,51cm
b d 434,8
   
       

PROBLEMA 08-003
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 14
Finalmen e las a madu as que son necesa ias dispone se án las mayo es en e las mínimas y
las de cálculo; es deci :
2
s2
8 12
A 8,51 cm


 
 
 
 
2mín
2mín
2mín
2mín
9,05cm ,b 32cm
5 16 10,05cm ,b 25cm
3 20 9,42cm ,b 19cm
2 25 9,82cm ,b 16cm









 
22
s1 mín
A 0,98 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm   
25
30
6
6
3 20
2 12
Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno
PROBLEMA 09-001
Dimensiona la sección indicada en la igu a pa a las solici aciones a iables indicadas en la
siguien e abla:
MQ [kN · m]
NQ [kN]
e0 [cm]

75
500
15

100
750
13,33

25
1000
2,5
Da os:
Ho migón: HA-25 (Con cemen o CEM I)
Ace o: B 500S
Vida ú il de p oyec o: 100 años
Si uación: Pe sis en e
Ambien e: IIa
Sección pe enecien e a un pila
Valo es de cálculo
De igual o ma que en el p oblema Nº1, de la Ficha 05 (segu idad), se ob iene:
 Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e







 Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones:
G
Q
G
Q
1,00
E ec o Fa o able 0,00
Es ado Lími e Úl imo
Si uación pe sis en e 1,35
E ec o Des a o able 1,50







 





y po lo an o los alo es de cálculo se án:
 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc 2
c
25 N
1,00 16,7
1,50 mm
   

1
1
Aunque se ha ob enido cd con cc=1,00, los ábacos de in e acción u ilizados en es e p oblema ya incluyen el
coe icien e cc=0,85, po lo que si ealmen e quisié amos conside a cc≠0,85 end íamos que ob ene el alo de
cd de la o ma
cc ck
cd
c
0,85


.
25
d'
d'
A
A
40
Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno
PROBLEMA 09-002
Comp oba , u ilizando los diag amas de
in e acción, la siguien e sección de ho migón
a mado some ida a los es ue zos de lexo-
comp esión ec a que se indican en la Tabla 1:
M
Q
[kN · m] N
Q
[kN]
e
0
[cm]
50 1000 5
Tabla 1
Da os:
Ho migón: HA-25
Ace o: B 500S
Si uación: Pe sis en e
Valo es de cálculo
De igual o ma que en el p oblema Nº1, de la Ficha 05 (segu idad), se ob iene:
• Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


• Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones:
G
Q
G
Q
1,00
E ec o Fa o able
0,00
Es ado Lími e Úl imo
Si uación pe sis en e
1,35
E ec o Des a o able
1,50
γ =

γ =


⇒
  γ =


γ =


y po lo an o los alo es de cálculo se án:
 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
1,00 16,7
1,50 mm
= α = =
γ
1

Resis encia de cálculo del ace o:
2
500 N
434,8
1,15 mm
yk
yd
s
γ
= = =

Es ue zos de cálculo: Se mues an en la siguien e abla:
40
5
5
12∅12
50

PROBLEMA 09-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2
1.500 KN
d Q Q d
N N N
γ
= ⋅ ⇒=
75 KN×m
d Q Q d
M M M
γ
= ⋅ ⇒=
Selección del ábaco
Pa a el cálculo de las a madu as u ilizando los diag amas de in e acción debemos p e iamen e
selecciona el que se ajus a a los pa áme os de nues a sección:
✓ Sección ec angula .
✓ A madu a simé ica a cua o ca as.
✓ Recub imien o
' 0,10
d h
= ⋅
2
.
✓ Ace o:
2
N
500
mm
yk
=
y seleccionamos el que se mues a en la Figu a 1
3
.
Figu a 1. Diag amas de in e acción
1
Aunque se ha ob enido
cd
con α
cc
=1,00, los ábacos de in e acción u ilizados en es e p oblema ya incluyen el
coe icien e α
cc
=0,85, po lo que si ealmen e quisié amos conside a α
cc
≠0,85 end íamos que ob ene el alo de
cd
de la o ma
cc ck
cd
c
0,85
α
=
γ
.
2
d' se co esponde con el ecub imien o mecánico y h con el can o de la sección, ambos en el sen ido de la
lexión:
' 5
0,10
50
d
b
δ
= = =
.
3
Tomado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án Cab é.
PROBLEMA 09-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3
Cálculo de las a iables adimensionales
Los alo es adimensionales son:
' 5
0,10
50
d
h
δ
= == =
[ ]
1500
10 0,450
40 50 16,7
d d
c cd cd
N N
A b h
ν ν
= = =
⇒
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
[ ]
2 2
75
1000 0,045
40 50 16,7
d d
c cd cd
M M
A h b h
µ µ
= = =
⇒
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
0,045
0,1
0,450
µ
η η
ν
= =
⇒
=
12 1,13 434,8
0,177
40 50 16,7
o yd yd
c cd cd
A n A
A b h
ω ω
∅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= = = ⇒=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Comp obación de la sección
Como el pun o de solici ación S
d
( e Figu a 2), de inido po los es ue zos
0,450
ν
=
y
0,045
µ
=
es á con enido po la cu a co espondien e a
0,177
ω
=
, la sección se á segu a
pa a esos es ue zos.
0,450
ν =
0,148
µ =
➊
0.177
ω =
0,045
µ =
0,890
ν =
➋
➌
0,790
ν =
0,079
µ =
0,1
η =
d
S
PROBLEMA 09-002
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4
Es ue zos de ago amien o y Coe icien es de Uso
➊ Pa a el axil de cálculo dado.
Po la abscisa co espondien e al axil de cálculo
0,450
ν
=
se aza una ec a e ical has a
que co e a la cu a co espondien e a la cuan ía
0,177
ω
=
. La o denada de es e pun o
co esponde con el momen o de ago amien o de la sección pa a el axil dado ( e Figu a 2):
2 2
1
0,148 0,148 40 50 16,7 247,7 KN m
1000
u cd u
M b h M
µ µ
 
=⇒= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒= ⋅
 
 
El coe icien e de uso o u ilización se á:
247,7
3,3
75
u
d
M
CU CU
M
= = ⇒=
➋ Pa a el momen o de cálculo dado.
Po la o denada co espondien e al momen o de cálculo
0,045
µ
=
se aza una ec a
ho izon al has a que co e a la cu a co espondien e a la cuan ía
0,177
ω
=
. La abscisa de
es e pun o co esponde con el axil de ago amien o de la sección pa a el momen o dado ( e
Figu a 2):
1
0,890 0,890 40 50 16,7 2.966,7 KN
10
u cd u
N b h N
ν µ
 
=⇒= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒=
 
 
El coe icien e de uso o u ilización se á:
2.966,7
2,0
1500
u
d
N
CU CU
N
= = ⇒=
➌ Comp oba con la excen icidad dada.
Se aza una ec a cuya pendien e sea
0,10
µ
ην
= = has a que co e a la cu a
co espondien e a la cuan ía
0,177
ω
=
. La abscisa de es e pun o co esponde con el axil de
ago amien o y la o denada con el momen o de ago amien o, de al o ma que la
excen icidad en el ago amien o es la de cálculo ( e Figu a 2):
1
0,790 0,790 40 50 16,7 2.633,3 KN
10
u cd u
N b h N
ν µ
 
=
⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⇒
=
 
 
2 2
1
0,079 0,079 40 50 16,7 131,7 KN m
1000
u cd u
M b h M
µ µ
 
=
⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⇒
= ⋅
 
 
El coe icien e de uso o u ilización se á:
2633,3 131,7
1,8
1500 75
u u
d d
N M
CU CU
N M
= = = =
⇒
=
Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno
PROBLEMA 10-001
Pa a la sección indicada en la igu a, que es á some ida a los es ue zos de la Tabla 1, se pide:
1.- Dimensiona con a madu a simé ica a cua o ca as
u ilizando los diag amas de ose a.
2.- Dimensiona con a madu a simé ica a cua o ca as
u ilizando el mé odo de la EHE.
3.- Con la a madu a ob enida en los apa ados 1 y 2,
ob ene el axil de ago amien o pa a las
excen icidades de los es ue zos de la Tabla 1,
u ilizando la ó mula de B esle .
N
Q
[kN] 1500
M
Qx
[kN · m] 150
M
Qy
[kN · m] 225
Tabla 1.
Da os:
Ho migón: HA-25 (Con cemen o CEM I)
Ace o: B 400S
Vida ú il de p oyec o: 100 años
Si uación: Pe sis en e
Ambien e: IIa
Sección pe enecien e a un pila
Valo es de cálculo
De igual o ma que en el p oblema Nº1, de la Ficha 05 (segu idad), se ob iene:
• Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales:
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


• Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones:
G
Q
G
Q
1,00
E ec o Fa o able
0,00
Es ado Lími e Úl imo
Si uación pe sis en e
1,35
E ec o Des a o able
1,50
γ =

γ =


⇒
  γ =


γ =


y po lo an o los alo es de cálculo se án:
40
80
y
x
y
e
x
e
x
M
y
M
N
PROBLEMA 10-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2
 Resis encia de cálculo del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
1,00 16,7
1,50 mm
= α = =
γ
1

Resis encia de cálculo del ace o: yk
yd
2
s
400 N
347,8
1,15 mm
= = =
γ

Es ue zos de cálculo: Se mues an en la siguien e abla:
d Q Q
N N [kN]
= ⋅γ 2250
dx Qx Q
M M [kN m]
= ⋅γ ⋅
225
dy Qy Q
M N [kN m]
= ⋅γ ⋅
337.5
Tabla 2. Es ue zos de cálculo
Cálculo de las cuan ías lími es
Según la Ficha 06 (cuan ías lími es):
A madu as mínimas geomé icas
o c
Tipo de ace o: B400S 4
A A
Tipo de elemen o es uc u al: Pila
1000
⇒≥


donde A
o
es la a madu a longi udinal o al. Pa a nues a sección se á:
2
o
4
A 40 80 12,80cm
1000
≥ ⋅ =
A madu as mínimas mecánicas

Si el ago amien o se p oduce en lexión:
2
cd
s1 s1
yd
b h
A 0,04 A 6,13cm
⋅ ⋅
≥⇒≥
2
d
s2 s2
yd
N
A 0,05 A 3,23cm
≥⇒≥
1
Aunque se ha ob enido
cd
con α
cc
=1,00, los ábacos de in e acción u ilizados en es e p oblema ya incluyen el
coe icien e α
cc
=0,85, po lo que si ealmen e quisié amos conside a α
cc
≠0,85 end íamos que ob ene el alo de
cd
de la o ma
cc ck
cd
c
0,85
α
=
γ
.

PROBLEMA 10-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3

Si el ago amien o se p oduce en comp esión:
2
d
s1 s2 s1 s2
yc,d
N
A A 0,05 A A 3,23cm
= ≥ ⇒= ≥
A madu as mínimas de ini i as:
Finalmen e, las a madu as
mínimas se án las que
esul en mayo es de las
calculadas an e io men e, y
que se án, en unción del ipo
de solici ación, las que se
indican en la Tabla 2, donde A
o ,mín
es la a madu a longi udinal
o al
mínima a dispone .
A madu as máximas:

Si el ago amien o se p oduce en lexión:
Siguiendo las ecomendaciones del Código Modelo CEB-FIP conside a emos unas
cuan ías máximas que end án dadas po :
2
s2,máx s1,máx c s2,máx s1,máx
A A 0,04 A 0,04 40 80 A A 128cm
= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒= =

Si el ago amien o se p oduce en comp esión:
2
c cd
s2,máx s1,máx s2,máx s1,máx
yc,d
0,5 A 0,5 40 80 16,7
A A A A 76,8cm
347,8
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= = = ⇒= =
Cálculo de los ecub imien os
Al igual que el P oblema 08-003 adop amos los ecub imien os
5,5
x y
d d cm
= =
2
1.- DIMENSIONAMIENTO CON MÉTODO DE LOS DIAGRAMAS DE
ROSETA
Pa a el cálculo de las a madu as u ilizando los diag amas de ose a debemos p e iamen e
selecciona el que se ajus a a los pa áme os de nues a sección:
2
d
x
hace e e encia al ecub imien o de la a madu a ho izon al y d
y
al de la a madu a e ical.
Ago amien o en lexión Ago amien o en comp esión
A
o ,min
A
s2,min
A
s1,min
A
o ,min
A
s2,min
= A
s1,min
12,80 3,23 6,13 12,80 3,23
Tabla 2. Secciones mínimas en [cm
2
]
PROBLEMA 10-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4
✓
Sección ec angula .
✓
A madu a simé ica a cua o ca as.
✓
Recub imien o
0,07 y 0,14
y x
d h d b
= ⋅ = ⋅
.
✓
Ace o:
2
N
400
mm
yk
=
y seleccionamos el que se mues a en la Figu a 1
3
.
Figu a 1.
Del lado de la segu idad debe íamos de habe cogido el ábaco co espondien e a un
ecub imien o igual o supe io al mayo de los ecub imien os de nues a sección (14%), pe o
únicamen e disponemos de ábacos con ecub imien os del 10%. El e o que come e emos
se á, en gene al, pequeño.
Cálculo de las a iables adimensionales
Las a iables adimensionales que in e ienen en el cálculo son las siguien es:
y
a
a
d
d
a h
δ
= =
y
b x
b
d d
b b
δ
= =
2
ad xd
a
c cd cd
M M
A a b h
µ
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
y
2
yd
bd
b
c cd cd
M
M
A b b h
µ
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3
Tomado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án Cab é.
PROBLEMA 10-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 5
d d
c cd cd
N N
A b h
ν
= =
⋅ ⋅ ⋅
o yd o yd
c cd cd
A A
A b h
ω
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅
de las cuales las que son da os en el p oblema de dimensionamien o son:
0,07
a
a
d
a
δ
= =
y
0,14
b
b
d
b
δ
= =
0,053
ad
a
c cd
M
A a
µ
= =
⋅ ⋅
y
0,158
bd
b
c cd
M
A b
µ
= =
⋅ ⋅
0,422
d
c cd
N
A
ν
= =
⋅
Cálculo de la cuan ía de ace o
Como no exis e el cuad an e co espondien e al axil adimensional
0,422
ν
=
, se á necesa io
de e mina las cuan ías pa a el axil in e io ,
0,4
ν
=
, y supe io ,
0,6
ν
=
, e in e pola
pos e io men e.
Figu a 2.
PROBLEMA 10-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6

Pa a
0,4
ν =
1
2
0,158
0,28
0,053
b
a
µ µ ω
µ µ
= = ⇒=

= = 

Pa a
0,6
ν =
1
2
0,158
0,35
0,053
b
a
µ µ ω
µ µ
= = ⇒=

= = 
Pa a
0,422
ν
=
in e polamos:
( )
2 1
1 1
2 1
0,29
ω ω
ω ω ν ν ω
ν ν
−
= + −
⇒
=
−
Cálculo de la a madu a
La sección o al de ace o necesa ia po cálculo se á:
2
40 80 16,7
0,29 44,1cm
347,8
c cd
o o
yd
A
A A
ω
⋅ ⋅ ⋅
= = ⇒=
que cumple las cuan ías lími es, an o mínimas como máximas, calculadas an e io men e, po
lo que se á la que dispond emos.
Pa a selecciona inalmen e la con igu ación de a mado pa a cub i la sección an e io
chequea emos dis in as al e na i as, cada una de ellas pa a un de e minado diáme o de ba a,
∅
. Pa a cada uno de és os segui emos el siguien e p ocedimien o.

De e mina el núme o de ba as necesa ias
o
A
n
A
∅
=
donde
A
∅
es el á ea de ace o de una ba a del diáme o
∅
.

Selecciona el núme o, n*, múl iplo de cua o inmedia amen e supe io al calculado
an e io men e, pa a pe mi i que la con igu ación de ba as sea simé ica a cua o ca as.

De e mina la con igu ación de ba as, que se indica á de la o ma:
esq esq x x y y
n D n D n D
∅ + ∅ + ∅
donde:
esq esq
n D
∅
: indica el núme o y diáme o de las ba as si uadas en las equinas de la
sección. Si se a a de ba as aisladas n
esq
se á siemp e 4, y sin son ba as
ag upadas se á múl iplo de cua o.
x x
n D
∅
: indica el núme o y diáme o de las ba as si uadas en las ca as ho izon ales
(
x
) de la sección.
n
x
se á siemp e múl iplo de 2.
y y
n D
∅
: indica el núme o y diáme o de las ba as si uadas en las ca as e icales (
y
)
de la sección.
n
y
se á siemp e múl iplo de 2.
Miguel T oyano Mo eno
PROBLEMA 17-001
Pa a el pó ico de ho migón a mado de la igu a, some ido a una ca ga e ical
uni o memen e dis ibuida de 35 kN/m ac uando sob e los din eles, y a unas ca gas pun uales
de 250 kN ac uando sob e las cabezas de los pila es, odas de ca ác e a iable
, se pide
comp oba y dimensiona las a madu as de la alineación de igas de la p ime a plan a.
Da os:
Ho migón: HA-25 (CEM I)
Ace o: B 400S
Vida ú il de p oyec o: 100 años
Si uación: Pe sis en e
Ambien e: IIa
Secciones:
Vigas: 50x30 [cm]
Pila es: 40x30 [cm]
kN
35
m
kN
35
m
250 kN
250 kN
250 kN
250 kN
250 kN
250 kN
5 m
6 m
3 m
3 m
1 m
41,45
−
107,26
−
123,48
−
78,00
−
19,34
−
56,05
−
97,36
−
118,96
−
95,37
−
19,34
−
Momen os lec o es en ex emos de igas
[kN m]
⋅

PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2
1. LEYES DE ESFUERZOS
Pa a de e mina las leyes de es ue zos plan eamos el equilib io de una po ción de pieza,
comp endida en e una sección de o igen (apoyo izquie do) y o a si uada a una dis ancia x.
Pa a pode ealiza es e equilib io necesi amos conoce los es ue zos en la sección de o igen.
Conocemos los momen os lec o es en ex emos de igas y el axil (cons an e) a lo la go de la
misma. Necesi amos conoce el es ue zo co an e en la sección de o igen. Pa a conoce és e
plan eamos el equilib io de la iga en su conjun o.
Haciendo equilib io de momen os espec o al apoyo de la
de echa se ob iene:
2
apoyo de I I D
2
D I
I
M 0 R M p M 0
2
M M p 2
R
=⇒⋅ + − − =
− +
⇒=
∑
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ

Es a eacción R
I
coincide con el co an e en el apoyo izquie do.
Finalmen e las leyes de es ue zos, plan eando el equilib io de la po ción de pieza comp endida
en e la sección de o igen y la si uada a una dis ancia x, quedan:
 Equilib io de ue zas e icales:
I I
F 0 V p x R 0 V R p x
=⇒+ ⋅ − = ⇒= − ⋅
∑

 Equilib io de momen os espec o a la sección si uada a una dis ancia
x:
2
2
I I I I
x p
M 0 M p M R x 0 M M R x x
2 2
=⇒+ − − ⋅ = ⇒= + ⋅ −
∑

Sus i uyendo alo es se ob ienen las leyes que se indican en la Tabla 1. Hay que ene p esen e
que la ca ga uni o me p es la suma de la ca ga ex e io aplicada de 35 kN/m más el peso
p opio de la iga
1
, po lo que:
p 35 0,50 0,30 24,5 38,68 kN/m
= + ⋅ ⋅ =
Vano nº1 Vano nº2 Voladizo
V 88,44 38,68 x
= − ⋅
2
M 56,05 88,44 x 19,34 x
= − + ⋅ − ⋅
V 119,97 38,68 x
= − ⋅
2
M 118,96 119,97 x 19,34 x
= − + ⋅ − ⋅
V 38,68 38,68 x
= − ⋅
2
M 19,34 38,68 x 19,34 x
= − + ⋅ − ⋅
Tabla 1
1
Conside amos que el peso p opio del ho migón a mado es
3
24,5 kN/m
γ =
M
I
M
p
x
I
R
V
D
M
I
M
p
ℓ
I
R
D
R
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3
2. CÁLCULOS PREVIOS
2.1 Valo es de cálculo (Ficha 05: segu idad)
c
s
1,50
Es ado Lími e Úl imo
1,15
Si uación pe sis en e
γ =

⇒
 γ =


G
Q
G
Q
1,00
E ec o Fa o able
0,00
Es ado Lími e Úl imo
Si uación pe sis en e
1,35
E ec o Des a o able
1,50
γ =

γ =


⇒
  γ =


γ =


 Resis encia de cálculo a comp esión del ho migón:
ck
cd cc
2
c
25 N
0,85 14,2
1,50 mm
= α = =
γ

Resis encia de cálculo del ace o:
yk
yd
2
s
400 N
347,8
1,15 mm
= = =
γ
o
Pa a la a madu a ans e sal
yk
y90,d
s
= >
γ
y90,d
2
N
400 347,8
mm
⇒
=

Es ue zos de cálculo
2
: Los
es ue zos que ienen que
sopo a las igas de la
alineación, una ez mayo ados,
son los de la igu a, que de
o ma analí ica ienen ecogidos
en las leyes de la Tabla 2.
Además, se ha indicado el
máximo momen o lec o a
posi i o que se p oduce en el
2
Po simplicidad, el peso p opio de la es uc u a se ha conside ado jun o con la ca ga a iable en una única
hipó esis simple. Po lo an o, los es ue zos de cálculo se ob ienen mayo ando las leyes de es ue zos de es a
hipó esis simple po el coe icien e pa cial de segu idad co espondien e a e ec o des a o able (γ
Q
=1,50). En
caso de exis i más de un es ado de ca gas, hab ía que ob ene las en ol en es de es ue zos de acue do a las
combinaciones que es ablece la Ins ucción EHE.
84,08
−
146,04
−
178,44
−
143,05
−
29,01
−
Momen os lec o es de [kN m]
⋅
cálculo
Es ue zos co an es de [kN]
cálculo
67,58
100,64
132,65
157,44
−
179,95
58,02
168,19
−
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4
ano, que se alcanza en la sección donde el co an e es nulo.
Vano nº1 Vano nº2 Voladizo
d
V 132,65 58,02 x
= − ⋅
2
d
M 84,08 132,65 x 29,01 x
= − + ⋅ − ⋅
d
V 179,95 58,02 x
= − ⋅
2
d
M 178,44 179,95 x 29,01 x
= − + ⋅ − ⋅
d
V 58,02 58,02 x
= − ⋅
2
d
M 29,01 58,02 x 29,01 x
= − + ⋅ − ⋅
TABLA 2
2.2 Cálculo de los ecub imien os
Al igual que el P oblema 08-003 adop amos los ecub imien os
1 2
d d 5,5cm
= =
3. COMPROBACIÓN DE LA SECCIÓN DE HORMIGÓN
Pa a que no se p oduzca el ago amien o po comp esión oblicua en el alma, se iene que
cumpli , en ausencia de es ue zo o so , y
pa a las secciones si uadas a pa i de la ca a del
apoyo
:
d u1 cd
V V 0,30 b d
≤ = ⋅ ⋅ ⋅
Teniendo p esen e que odas las igas ienen la misma sección, sus i uyendo alo es se
ob iene:
u1 cd u1
V 0,30 b d 0,30 14,2 0,30 0,445 V 567,37 kN
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⇒
=
Como po o o lado enemos que:
d
V 179,95 kN
≤
3
esul a que se cumple es a comp obación.
3
Téngase p esen e que la comp obación con el co an e V
d
hay que hace la a pa i de la ca a del apoyo, y po lo
an o es e co an e es in e io al máximo que se p oduce a eje de pila es.
Es ue zos co an es de [kN]
cálculo
132,65
157,44
−
179,95
58,02
168,19
−
121,05
145,84
−
168,35
156,56
−
46,42
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 5
4. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA LONGITUDINAL
Los es ue zos a conside a pa a el cálculo de la a madu a longi udinal, de nue o en ausencia
de es ue zo o so , son el momen o lec o y el co an e (dep eciamos el es ue zo axil debido a
su pequeña impo ancia, es ando además del lado de la segu idad). La in luencia del es ue zo
co an e la amos a ene en cuen a desplazando la ley de momen os lec o es una can idad,
del lado de la segu idad, igual al can o ú il de la sección de la iga en el sen ido más
des a o able. Así pues, el único es ue zo a conside a a a se el momen o lec o .
4.1 Es ue zos en las secciones c í icas
Es as secciones c í icas son, pa a cada uno de los anos, las co espondien es a los apoyos y la
más solici ada en el ano.
Los momen os lec o es a los que es án some idas es as secciones c í icas son los ob enidos
del análisis es uc u al, y ienen ecogidos en las en ol en es es udiadas an e io men e.
Además, hay que ene p esen e que el decalaje de las leyes de momen os lec o es puede
hace que las secciones de los apoyos engan que sopo a un momen o lec o a posi i o,
siemp e que es as secciones se encuen en del pun o de co e de la lexión posi i a a una
dis ancia in e io al can o ú il de la iga.
Pa a nues o p oblema, los pun os de co e de la lexión posi i a son:

Vano nº1

2d
2
d2
d
132,65 132,65 4 29,01 (84,08 M )
x0 2 29,01
M 84,08 132,65 x 29,01 x
132,65 132,65 4 29,01 (84,08 M )
x0 5 2 29,01
−
+
− − ⋅ ⋅ +
=
⋅

= − + ⋅ − ⋅ ⇒+ − ⋅ ⋅ +
= −
⋅

ℓ
Pa a
d
x0 0,76 0,445
M 0
x0 1,19 0,445
−
+

= >
=
⇒
= >

x0
−
x0
+
d
d
I
M
I
M
D
M
D
M
V
M
V
M
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6

Vano º2

2d
2
d2
d
179,95 179,95 4 29,01 (178,44 M )
x0 2 29,01
M 178,44 179,95 x 29,01 x
179,95 179,95 4 29,01 (178,44 M )
x0 6 2 29,01
−
+
− − ⋅ ⋅ +
=
⋅

= − + ⋅ − ⋅ ⇒+ − ⋅ ⋅ +
= −
⋅

ℓ
Pa a
d
x0 1,24 0,445
M 0
x0 1,04 0,445
−
+

= >
=
⇒
= >

Una si uación pa ecida sucede en los oladizos, donde el decalaje de la
ley de momen os lec o es hace que en el ex emo del mismo, se enga
que sopo a un momen o lec o , que es el co espondien e a una
dis ancia d del ex emo.
En nues o p oblema:
ex emo
x 1 0,445 0,555 m M 5,74 kN m
= − =
⇒
= − ⋅
Po lo an o las secciones c í icas, con sus co espondien es momen os lec o es de cálculo a
conside a , son las que se mues an en la siguien e igu a:
4.2 Cálculo de los alo es lími es
De la Ficha 07 ob ienen:
ξ
lím
= 0,668
ν
lím
= 0.534
µ
lím
= 0.392
o bien analí icamen e:
84,08
−
146,04
−
178,44
−
143,05
−
29,01
−
Momen os lec o es de [kN m]
⋅
cálculo
67,58
100,64
0,76
1,19
1,24
1,04
5,74
−
d
I
M
ex emo
M
x

PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 7
( )
lim lim
lim 3lim lim
yd
0,80
1
0,80 1 0,4
1 1,43 10
−
ν = ⋅ξ

ξ = ⇒
µ = ⋅ξ ⋅ − ⋅ξ
+ ⋅ ⋅ 
4.3 Cálculo de las cuan ías lími es (Ficha 06: cuan ías lími es)
Como las secciones de odos los anos son las mismas, las cuan ías lími es coincidi án
ambién pa a odos los anos.
A madu as mínimas geomé icas
2
s1 c s1
2
s2 s1 s2
3,3
Tipo de ace o: B400S
A A A 4,95 cm
1000
Tipo de elemen o es uc u al: iga
A 0,30 A A 1,49 cm
≥⇒≥

⇒
 
≥ ⋅ ⇒≥

A madu as mínimas mecánicas
2
cd
s1 s1
yd
b h
A 0,04 A 2,44cm
⋅ ⋅
≥⇒≥
d
s2 s2
yd
N
A 0,05 A in e io a la cuan ía mínima geom
é ica
≥⇒4
A madu as mínimas de ini i as:
Finalmen e, las a madu as mínimas se án:
2
s1
2
s2
A 4,95 cm
A 1,49 cm
≥
≥

A madu as máximas:
2
s2,máx s1,máx c s2,máx s1,máx
A A 0,04 A A A 60cm
= = ⋅ ⇒= =
4.4 A madu as de cálculo en las secciones c í icas
Vano nº1
•
I
I 1 2cd
M
M 84,08 kN m 0,100
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
4
En las igas, donde el es ue zo axil es muy pequeño, puede p escindi se de ealiza es a comp obación.
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 8
•
( )
2 s2
1 lim
2
1 1 s1
0 A 0
1,25 1 1 2 0,132 0,8 0,105 A 5,73cm
ω = ⇒=


µ < µ ⇒ξ = ⋅ − − ⋅µ = ⇒ω = ⋅ξ = ⇒=


V
V 1 2cd
M
M 67,58 kN m 0,080
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,105 0,084 A 4,56cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

•
D
D 1 2cd
M
M 146,04 kN m 0,174
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,240 0,192 A 10,44cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

Vano nº2
•
I
I 1 2cd
M
M 178,44 kN m 0,212
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,301 0,241 A 13,11cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

•
V
V 1 2cd
M
M 100,64 kN m 0,120
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,160 0,128 A 6,95cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

•
D
D 1 2cd
M
M 143,06 kN m 0,170
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,234 0,188 A 10,20cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

Voladizo
•
I
I 1 2cd
M
M 29,01kN m 0,034
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,044 0,035 A 1,91cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

•
I
ex emo 1 2cd
M
M 5,74 kN m 0,007
b d
= ⋅
⇒
µ = =
⋅ ⋅
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 9
2 s2
1 lim
2
1 s1
0 A 0
0,009 0,007 A 0,37cm
ω = ⇒=

µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=

En la igu a siguien e se mues a un esumen con las a madu as de cálculo en las dis in as
secciones c í icas.
4.5 A madu as necesa ias
Teniendo en cuen a las cuan ías mínimas, y la can idad de ace o que hay p olonga desde el
ano has a los apoyos, las a madu as necesa ias en cada una de las secciones c í icas son las
que se mues an en la siguien e igu a:
4.6 Esquema de a mado
A pa i de las necesidades de a mado en las secciones c í icas se decide ealiza el siguien e
esquema de a mado:
5,73
0
4,56
10,44
13,11
6,95
10,20
1,91
0
0
0
0
0
0
0,37
0
5,73
1,49
4,95
10,44
13,11
6,95
10,20
4,95
1,49
1,49
1,49
1,49
1
3
1
4
1
4
1
4
1,65
1,24
1,49
1,49
1,74
1,74
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 10
4.7 Pun os de co es
Pa a la de e minación de los pun os de co e que se ealizan en el esquema an e io ,
necesi amos calcula los siguien es momen os de ago amien o (pa a la ob ención de es os
momen os de ago amien o no se conside an las a madu as de comp esión):
Momen os de ago amien o
Vano nº 1
Co e 1 y 1’: 2∅10.
( )
s1 yd
21
s1 1
cd
2
1 u 1 cd
A
A 1,57cm 0,029 0,036
b d 0,80
0,80 1 0,4 0,028 M b d 23,96 kN m
⋅
ω
=⇒ω = = ⇒ξ = = ⇒
⋅ ⋅
⇒µ = ⋅ξ − ⋅ξ = ⇒= µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
Co e 2’: 2∅10 + 2∅20.
2 10 (1,57)
∅
4 12 (4,52)
∅
2 20 (6,28)
∅
2 10 (1,57)
∅
2 20 (6,28)
∅
2 12 (2,26)
∅
2 12 (2,26)
∅
3 12 (3,39)
∅
3 16 (6,03)
∅
2 20 (6,28)
∅
1
1'
2'
3
3'
4
4'
5
6
6'
8
1 20 (3,14)
∅
5'
7
1,49
1,49
1,74
2 10 (1,57)
∅
5,73 1,57 4,16
− =
4 12 (4,52)
∅
13,11 1,57 11,54
− =
4 20 (12,57)
∅
1,49
2 10 (1,57)
∅
10,20 1,57 8,63
− =
3 20 (9,42)
∅
2 12 (2,26)
∅
1,65
1,49
1,74
2 12 (2,26)
∅
2 12 (2,26)
∅
2 10 (1,57)
∅
4,95 2,26 2,69
− =
6,95 2,26 4,69
− =
3 12 (3,39)
∅
3 16 (6,03)
∅
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 17
5. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA TRANSVERSAL
Pa a que no se p oduzca el ago amien o po acción oblicua en el alma se iene que cumpli ,
en ausencia de es ue zo o so , y
pa a las secciones si uadas a pa i de un can o ú il
6
de la
ca a del apoyo
:
d u2 cu su
V V V V
≤ = +
donde:
V
cu
: con ibución del ho migón.
V
su
: con ibución de la a madu a ans e sal de la pieza.
Como el co an e no es cons an e a lo la go de las igas, di idimos es as en es zonas, al y
como se mues a en la igu a siguien e
7
:
su ensión has a alcanza el lími e elás ico, és a debe ía de ancla se a pa i de es e pun o con su longi ud básica y
no con la ne a.
6
Can o ú il de la iga que es amos es udiando
7
Po simplicidad en el dibujo, se ha ep esen ado el co an e esis ido po el ho migón, V
cu
, con alo cons an e,
aunque en gene al, como sucede en es e p oblema, no lo se á, al se unción de la cuan ía de la a madu a
longi udinal de acción.
1,11
1,71
1,04
0,62
1,05
1,88
1,78
1,21
0,98
0,78
1,11
2 10
∅
4 12
∅
2 20
∅
2 10
∅
2 20
∅
2 12
∅
2 12
∅
3 12
∅
3 16
∅
2 20
∅
1 20
∅
0,11
0,08
0,62
0,76
0,15
0,15
0,21
0,15
0,15
0,27
0,15
b
≥
ℓ
b
≥
ℓ
b
≥
ℓ

PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 18
su,mín
V
cu
V
su,mín
V
d
apoyo izq
L
d
apoyo de
L
ano
L
h
2
h
2
d1
V
d2
V
su,Izq d1 cu
Zona cubie a
con es ibos de
V V V
= −
su,De d2 cu
Zona cubie a
con es ibos de
V V V
= −
d cu su,mín
Zona cubie a
con es ibos
mínimos
V V V≤ +
cu
V
su,Izq
V
su,De
V

Vano. En es a zona los es ue zos co an es son pequeños y dispond emos la cuan ía
mínima es ablecida po la Ins ucción EHE. Es a cuan ía mínima esis e un co an e V
su,mín
,
que jun o con el co an e que esis e el ho migón en dicha zona ( unción de la a madu a
longi udinal de acción dispues a en es a zona) de e mina la ex ensión de la misma, L
ano
.

Apoyos. Co esponde a las dos zonas ex emas de la iga, donde la cuan ía mínima puede
no se insu icien e pa a cub i el es ue zo co an e de cálculo. La comp obación se ealiza a
pa i de un can o ú il de la ca a del sopo e, aunque la a madu a ob enida se p olonga has a
dicha ca a.
Finalmen e, como según EHE (A . 44.2.3.4.1) debe p olonga se la colocación de la
a madu a ans e sal una longi ud igual a medio can o de la pieza, más allá de la sección en
la que eó icamen e deja de se necesa ia, las longi udes que aba can las es zonas
indicadas an e io men e son las que se indican en la igu a an e io .
5.1 Cálculo de la con ibución del ho migón
En secciones ec angula es (b=b
0
), suponiendo
e
45º
θ = θ =
(β=1), la con ibución del
ho migón a la esis encia a es ue zo co an e, pa a una sección ec angula , iene dada po :
1 3
cu c cd
c
0,15
V (100 ) 0,15 ' b d
 
= ⋅ξ⋅ ⋅ρ ⋅ + ⋅σ ⋅
 
γ
 
ℓ
donde:

200
1
d
ξ = +
con d en mm.
Al ene odas las igas la misma sección, es e pa áme o ale pa a odas ellas:
1,67
ξ =
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 19

c
esis encia e ec i a del ho migón a co an e en N/mm
2
de alo
c
=
ck
con
ck
no
mayo de 15 N/mm
2
en el caso de con ol indi ec o de la esis encia del ho migón.

cd
'
σ
ensión e ec i a en la sección (posi i a si es de comp esión):
d
cd
c
N
'
A
σ =
N
d
Es ue zo axil de cálculo (posi i o si es de comp esión).
A
c
Á ea o al de la sección de ho migón.
Al ene N
d
=0 en odas las igas, es e pa áme o ale pa a odas ellas:
cd
' 0
σ =

ρ
ℓ
Cuan ía geomé ica de la a madu a
longi udinal accionada anclada a una
dis ancia igual o mayo que d (can o ú il
de la iga) a pa i de la sección de
es udio:
s
0
A
b .d
ρ = >
ℓ
0,02
Como en las zonas de apoyo comen adas an e io men e la a madu a longi udinal de
acción no es cons an e, pa a pode de e mina la con ibución del ho migón a la
esis encia a co an e en es as zonas, enemos que dis ingui dis in os amos en las
mismas, según la a madu a longi udinal de acción exis en e. De es a o ma los
amos a conside a son los indicados en la igu a siguien e, donde, además, se han
indicado los co an es máximos en dichos amos.
b,ne a
ℓ
b,ne a
ℓ
b,ne a
ℓ
b,ne a
ℓ
d
d
45º
45º
45º
45º
d
d
d
d
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 20
Pa a la zona de ano la a madu a longi udinal que conside amos pa a la de e minación del
co an e abso bido po el ho migón,
cu
ano
V
, es únicamen e la co espondien e al mon aje
in e io (a madu a que se ex iende a lo la go de oda la iga), ya que con es e co an e y el
abso bido po la cuan ía mínima ans e sal, nos pe mi e de e mina la ex ensión de es a zona.
Si conside ásemos la a madu a de e ue zo en ano pa a de e mina
cu
ano
V
, y de e minamos
con ella la ex ensión de la zona de ano, end emos que comp oba pos e io men e que dicha
a madu a de e ue zo se ex iende en oda es a zona.
Los alo es de V
cu
pa a los dis in os amos son los calculados en la siguien e abla:
0,51
0,94
0,22
1,22
1,64
1,03
0,83
0,39
1,59
1,39
0,19
2 10
∅
4 12
∅
2 20
∅
2 10
∅
2 20
∅
2 12
∅
2 12
∅
3 12
∅
3 16
∅
2 20
∅
1 20
∅
x
x
x
➊
➋
➌
➍
➎
➏
95,2
132,65
102,9
−
120,0
−
157,44
−
179,95
142,5
0,645
4,06
4,355
0,645
1,03
5,17
5,355
0,645
120,2
120,0
−
130,7
−
168,19
−
58,02
20.6
0,09
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 21
Vano nº1
Zona T amo
200
1
d
ξ = +
A
s
s
0
A
b .d
ρ = >
ℓ
0,02
N
d
[kN]
d
cd
c
N
'
A
σ =
[kN/mm
2
]
V
cu, amo
[kN]
Apoyo
Izq.
➊
1,67
2∅10
1,57 cm
2
0,0012
0 0
32,0
Vano
2∅12
2,26 cm
2
0,0017 36,1
Apoyo
De .
➊
2∅10
1,57 cm
2
0,0012 32,0
➋
2∅10+2∅20
7,85 cm
2
0,0059 54,6
Vano nº2
Zona T amo
200
1
d
ξ = +
A
s
s
0
A
b .d
ρ = >
ℓ
0,02
N
d
[kN]
d
cd
c
N
'
A
σ =
[kN/mm
2
]
V
cu, amo
[kN]
Apoyo
Izq.
➌
1,67
2∅10
1,57 cm
2
0,0012
0 0
32,0
➍
2∅10+2∅20
7,85 cm
2
0,0059 54,6
Vano
2∅12
2,26 cm
2
0,0017 36,1
Apoyo
De .
➌
2∅10
1,57 cm
2
0,0012 32,0
➎
2∅10+2∅20
7,85 cm
2
0,0059 54,6
Voladizo
Zona T amo
200
1
d
ξ = +
A
s
s
0
A
b .d
ρ = >
ℓ
0,02
N
d
[kN]
d
cd
c
N
'
A
σ =
[kN/mm
2
]
V
cu, amo
[kN]
Apoyo
Izq.
➏
1,67 2∅10
1,57 cm
2
0,0012 0 0 32,0
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 22
5.2 Cálculo de la a madu a ans e sal
5.2.1 Cuan ías mínimas. A madu a ans e sal en anos.

La cuan ía mínima de las a madu as ans e sales debe se al que cumpla la elación:
y ,d c ,m
0
A
b
sen 7,5
α α
⋅
≥ ⋅
α
∑
con:
•
c ,m
: esis encia media a acción del ho migón, de alo :
2 3 2
c ,m ck ck
0,30 pa a 50N mm
= ≤
Pa a
90º
α =
y sección de ho migón ec angula queda:
2
c ,m
90 90
y90,d
b
cm
A A 2,95
7,5 m
⋅
≥⇒≥
⋅
 Po o o lado la sepa ación máxima en e es ibos debe cumpli la mínima de las
condiciones siguien es:
s 0,75 d≤ ⋅ > d u1 d
1
60 cm si V V s 33cm si V 113,5
5
≤ ⇔ ≤ ≤
s 0,6 d≤ ⋅ > u1 d u1 d
1 2
45cm si V V V s 26 cm si 113,5 V 378,2
5 3
< ≤ ⇔ ≤ < ≤
s 0,3 d≤ ⋅ >
u1 d d
2
30 cm si V V s 13cm si 378,2 V
3
< ⇔ ≤ <
5.2.2 A madu a ans e sal en apoyos
Vano nº1
Zona amo
d
V
[kN]
V
cu
[kN]
su cu
d
V V
V= −
[kN]
cu
d
90 amo
y90,d
V
V
A0,9 d
−
=⋅ ⋅
[cm
2
/m]
90
A
[cm
2
/m]
A m.
T ans .
Apoyo
Izq.
➊
95,2 32,0
63,3 4,54 4,54 c∅8/22
(4,57 cm
2
/m)
Apoyo
De
➊
102,9
32,0
71,0 5,09 5,09 c∅8/19
(5,29 cm
2
/m)
➋
120,0
54,6
65,1 4,69

PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 23
Vano nº2
Zona amo
d
V
[kN]
V
cu
[kN
]
su cu
d
V V
V= −
[kN]
cu
d
90 amo
y90,d
V
V
A0,9 d
−
=⋅ ⋅
[cm
2
/m]
90
A
[cm
2
/m
]
A m.
T ans .
Apoyo
Izq.
➌
120,2
32,0
88,2 6,33 6,33 1c∅8/15
(6,67, cm
2
/m)
➍
142,5
54,6
87,9 6,31
Apoyo
De
➌
120,0
32,0
88,1 6,32 6,32 1c∅8/15
(6,67, cm
2
/m)
➎
130,7
54,6
76,1 5,46
Voladizo
Zona amo
d
V
[kN]
V
cu
[kN]
su cu
d
V V
V= −
[kN]
cu
d
90 amo
y90,d
V
V
A0,9 d
−
=⋅ ⋅
[cm
2
/m]
90
A
[cm
2
/m]
A m.
T ans .
Apoyo
Izq.
➏
20,6 32,0
< 0 Cuan ías mínimas 2,95 1c∅8/30
8
(3,33 cm
2
/m)
5.3 Longi ud de las zonas de a mado ans e sal
La zona de ano donde se
ex iende la a madu a mínima
ans e sal co esponde a la
que e i ica la desigualdad:
u2, ano
d
VV ≤
donde:
u2, ano cu, ano su,mín
V V V= +
Los alo es del co an e
abso bido po el ho migón en
la zona de ano ue on
de e minados con an e io idad en el apa ado 5.1. Po lo an o necesi amos de e mina
su,mín
V ,
que co esponde con el co an e abso bido po la a madu a ans e sal mínima:
8
La cuan ía mínima de 2,95 cm
2
/m la podemos cub i con c∅6 a 19 cm (2,98 cm
2
/m). No obs an e, como hemos
op ado po dispone el mismo mon aje en el ano nº2 y el oladizo, con obje o de mon a la a madu a
longi udinal con una misma jaula, se ha op ado po pone , al igual que en el ano nº2, ce cos de diáme o 8 a la
sepa ación máxima pe mi ida.
u2, ano
V
u2, ano
V
apoyo izq
L
apoyo de
L
ano
L
h
2
h
2
x
−
x
+
c
h
2
c
h
2
c
h : Can o de la iga
h : Can o del sopo e
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 24
su,mín 90,mín y90,d
V 0,9 d A
= ⋅ ⋅ ⋅
La a madu a as e sal mínima se á la mayo en e la de e minada an e io men e en el
apa ado 5.2.1, y la que co esponde al ipo de es ibo empleado en la iga, si uado a la
sepa ación máxima pe mi ida. En la abla siguien e se de e mina es a a madu a ans e sal
mínima:
Viga
c ,m
90
y90,d
b
A7,5
⋅
≥⋅
[cm
2
/m]
Nº amas
n
Diáme o
es ibo
∅ [mm]
Sepa ación
Máxima 
s
[m]
2
90,mín
n
4
As
π⋅∅
⋅
=
[cm
2
/m]
90,mín
A
[cm
2
/m]
Vano nº1 2,95 2 8 30 3,35 3,35
Vano nº2 2,95 2 8 30 3,35 3,35
 Se ha limi ado la sepa ación máxima a s
≤ 30 cm. al y como es ablecía la ins ucción EHE-98. Es a
limi ación ambién la es ablece la EHE-08 cuando exis e a madu a longi udinal necesa ia po comp esión.
Pa a es a a madu a mínima, el co an e que p o oca el ago amien o po acción en el alma en
la zona de ano es:
Viga
90,mín
A
[cm
2
/m]
su,mín
V
[kN]
cu, ano
V
[kN]
u2, ano
V
[kN]
Vano nº1 3,35 46,7 36,1 82,8
Vano nº2 3,35 46,7 36,1 82,8
Obse amos que el co an e
u2,mín
V
es in e io a 113,5 kN, y po lo an o la sepa ación máxima,
s 30 cm
=
,
empleada en la de e minación de la cuan ía mínima de a madu a as e sal es co ec a.
La zona donde eó icamen e el co an e puede se sopo ado po la cuan ía mínima iene dada
po pun os:

Vano nº1
d u2, ano
d
d u2, ano
V V x 0,86 m x 0,86 m
V 132,65 58,02 x
V V x 3,09 m x 1,91m
−
+
=⇒=⇒=

= − ⋅ = − ⇒=⇒=



Vano nº2
d u2, ano
d
d u2, ano
V V x 1,68 m x 1,68 m
V 179,96 58,02 x
V V x 3,91m x 2,09 m
−
+
=⇒=⇒=

= − ⋅ = − ⇒=⇒=


Finalmen e las longi udes que aba can las dis in as zonas de a mado ans e sal se án:

Vano nº1
c
apoyo izq apoyo izq
h h 0,40 0,50
L x 0,86 L 0,91m
2 2 2 2
−
= − + = − + ⇒=
ano ano
L L (x x ) h 5 (0,86 1,91) 0,50 L 1,73 m
− +
= − + − = − + − ⇒=
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 25
c
apoyo de apoyo izq
h h 0,40 0,50
L x 1,91 L 1,96 m
2 2 2 2
+
= − + = − + ⇒=

Vano nº2
c
apoyo izq apoyo izq
h h 0,40 0,50
L x 1,68 L 1,73 m
2 2 2 2
−
= − + = − + ⇒=
ano ano
L L (x x ) h 6 (1,68 2,09) 0,50 L 1,73m
− +
= − + − = − + − ⇒=
c
apoyo de apoyo izq
h h 0,40 0,50
L x 2,09 L 2,14 m
2 2 2 2
+
= − + = − + ⇒=
El esquema de a mado ans e sal es el que se mues a en la siguien e igu a:
Finalmen e en la página siguien e se mues a el esquema de a mado longi udinal y ans e sal
de ini i o.
0,86
5x1c 8/22
∅
6x1c 8/ 30
∅
11x1c 8/19
∅
12x1c 8/15
∅
15x1c 8/15
∅
6x1c 8/ 30
∅
3x1c 8/30
∅
0,50
2
0,50
2
0,50
2
0,50
2
0,40
0,40
0,40
0,91
1,73
1,96
1,91
1,68
1,73
1,73
2,14
2,09
0,76
u2, ano
V 82,8 kN
=
u2, ano
V 82,8 kN
=
u2, ano
V 82,8 kN
=
u2, ano
V 82,8 kN
=
PROBLEMA 17-001
PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 26