Estructuras de Hormigón Armado. Problemas

Cu so 2018-19 Miguel T oyano Mo eno Escuela de Ingenie ías Indus iales Uni e sidad de Málaga ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO P oblemas PROBLEMA 06-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 1 PROBLEMA 06-001 De e mina las cuan ías lími es de ace o de la sección de la igu a. Da os: Ho migón: HA-25 Ace o: B 500S Si uación: Pe sis en e Sección pe enecien e a una iga Valo es de cálculo P ime amen e debemos es ablece los coe icien es pa ciales de segu idad pa a los ma e iales. Según la Ficha 05 (segu idad) es os coe icien es se án:  Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =   y po lo an o los alo es de cálculo se án:  Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 0,85 14,2 1,50 mm = α = = γ  Resis encia de cálculo del ace o: yk yd 2 s 500 N 434,8 1,15 mm = = = γ Cálculo de las cuan ías lími es Según la Ficha 06 (cuan ías lími es): A madu as mínimas geomé icas s1 c s2 s1 2,8 Tipo de ace o: B500S A A 1000 Tipo de elemen o es uc u al: Viga A 0,30 A ≥  ⇒    ≥ ⋅  25 30 2 d 1 d s2 A s1 A PROBLEMA 06-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2 Po lo an o las a madu as geomé icas mínimas que se han de coloca en la sección de ho migón se án: 2 s1min,g 2,8 A 25 30 2,10cm 1000 = ⋅ = 2 s2min,g A 0,30 2,10 0,63cm = ⋅ = A madu as mínimas mecánicas Po a a se de un p oblema de lexión, las a madu as mínimas end án que cumpli , con obje o de e i a la o u a ágil: cd s1 yd bh A 0,04 ⋅ ⋅ ≥ d s2 yd N A 0,05 ≥ Sus i uyendo alo es se ob iene: 2 s1min,m 25 30 14,2 A 0,04 0,98cm 434,8 ⋅ ⋅ = = s2min,m d A 0 (al se lexión simple: N 0) = = A madu as mínimas de ini i as: Finalmen e, las a madu as mínimas se án las que esul en mayo es de las calculadas an e io men e: 2 s1min,g s1min,m s1,min A A A 2,10cm >⇒= 2 s2min,g s2min,m s2,min A A A 0,63cm >⇒= PROBLEMA 06-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3 A madu as máximas: Siguiendo las ecomendaciones del Código Modelo CEB-FIP conside a emos unas cuan ías máximas que end án dadas po : s1,máx c A 0,04 A ≤ ⋅ s2,máx c A 0,04 A ≤ ⋅ y po lo an o es as a madu as se án: 2 s1,máx s2,máx A A 0,04 25 30 30cm = = ⋅ ⋅ = PROBLEMA 06-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 1 PROBLEMA 06-002 De e mina las cuan ías lími es de ace o de la sección que se mues a en la igu a, suponiendo que pe enece a un pila que es á some ido a los siguien es es ue zos. M Q [kN · m] N Q [kN] e 0 [cm] ➊ 10 100 10 ➋ 30 100 30 ➌ 50 100 50 ➍ 20 400 5 ➎ 50 600 8 Da os: Ho migón: HA-25 (Con cemen o CEM I) Ace o: B 500S Si uación: Pe sis en e Valo es de cálculo De la Ficha 05 (segu idad), se los coe icien es pa ciales de segu idad, an o pa a ma e iales como pa a acciones: • Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =   • Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones: G Q G Q 1,00 E ec o Fa o able 0,00 Es ado Lími e Úl imo Si uación pe sis en e 1,35 E ec o Des a o able 1,50 γ =  γ =   ⇒   γ =   γ =   y po lo an o los alo es de cálculo se án:  Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 0,85 14,2 1,50 mm = α = = γ 25 30 2 d 1 d s2 A s1 A PROBLEMA 06-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2  Resis encia de cálculo del ace o: yk yd 2 s 500 N 434,8 1,15 mm = = = γ  Es ue zos de cálculo: d G G M M = ⋅γ y d G G N N = ⋅γ M d [kN · m] N d [kN] ➊ 15 150 ➋ 45 150 ➌ 75 150 ➍ 30 600 ➎ 75 900 ➏ 75 1500 Cálculo de las cuan ías lími es Según la Ficha 06 (cuan ías lími es): A madu as mínimas geomé icas s c Tipo de ace o: B500S 4 A A Tipo de elemen o es uc u al: Pila 1000 ⇒ ≥   donde A s es la a madu a longi udinal o al: s s1 s2 A A A = + Po lo an o las a madu as geomé icas mínimas que se han de coloca en la sección de ho migón se án: 2 s,mín g 4 A 25 30 3,00cm 1000 = ⋅ = A madu as mínimas mecánicas Si se a a se de un p oblema de lexión, las a madu as mínimas end án que cumpli : cd s1 yd bh A 0,04 ⋅ ⋅ ≥ d s2 yd N A 0,05 ≥ PROBLEMA 06-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3 En el supues o de ago amien o po comp esión, las a madu as mínimas end án que cumpli : d s1 s2 yc,d N A A 0,05 = ≥ Sus i uyendo alo es se ob iene, en unción del axil de cálculo las a madu as mínimas que se indican en la Tabla 1. N d [kN] A s2,mín m [cm 2 ] A s1,mín m [cm 2 ] Flexión Comp esión 150 0,17 1,15 0,17 600 0,69 0,69 900 1,04 1,04 1500 1,73 1,73 Tabla 1 A madu as mínimas de ini i as: Finalmen e, las a madu as mínimas se án las que esul en mayo es de las calculadas an e io men e, y que se án, en unción del axil de cálculo, las que se indican en la Tabla 2, donde A s,mín es la a madu a longi udinal o al mínima a dispone . N d [kN] A s2,mín m [cm 2 ] A s1,mín m [cm 2 ] A s,mín [cm 2 ] Flexión Comp esión 150 0,17 1,15 0,17 3,00 600 0,69 0,69 900 1,04 1,04 1500 1,73 1,73 Tabla 2 A madu as máximas: En el supues o de ago amien o en lexión, siguiendo las ecomendaciones del Código Modelo CEB-FIP las cuan ías máximas que end án dadas po : s1,máx c A 0,04 A ≤ ⋅ s2,máx c A 0,04 A ≤ ⋅ PROBLEMA 06-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4 y po lo an o es as a madu as se án: 2 s1,máx s2,máx A A 0,04 25 30 30cm = = ⋅ ⋅ = En el supues o de ago amien o en comp esión: 2 c cd s2,máx s1,máx s2,máx s1,máx yc,d 0,5 A 0,5 25 30 16,7 A A A A 15,63cm 400 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⇒= = Miguel T oyano Mo eno PROBLEMA 08-001 Dimensiona la sección indicada en la igu a pa a los momen os lec o es indicados en la siguien e abla: Pe manen e: M G [kN · m] Va iable: M Q [kN · m] ➊ 30,00 3,00 ➋ 30,00 13,67 ➌ 30,00 24,33 ➍ 30,00 35,00 Da os: Ho migón: HA-25 Ace o: B 500S Vida ú il de p oyec o: 100 años Si uación: Pe sis en e Ambien e: IIa Sección pe enecien e a una iga Valo es de cálculo P ime amen e debemos es ablece los coe icien es pa ciales de segu idad, an o pa a ma e iales como pa a acciones. Según la Ficha 05 (segu idad) es os coe icien es se án:  Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =    Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones: G Q G Q 1,00 E ec o Fa o able 0,00 Es ado Lími e Úl imo Si uación pe sis en e 1,35 E ec o Des a o able 1,50 γ =  γ =   ⇒   γ =   γ =   y po lo an o los alo es de cálculo se án:  Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 0,85 14,2 1,50 mm = α = = γ 25 30 2 d 1 d s2 A s1 A PROBLEMA 08-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 8 El momen o ex e io , 1 µ , es mayo que el momen o que puede apo a el ho migón sin que la a madu a in e io deje de abaja a su esis encia de cálculo, lím µ . En es a si uación la solución más económica se ob iene obligando al ho migón a abso be el máximo momen o que puede sopo a , lím µ , y disponiendo a madu a de comp esión pa a abso be el exceso de momen o ex e io . Po lo an o la solución más económica se ob iene ijado la p o undidad del eje neu o en lím ξ = ξ . La a madu a de comp esión se á: 1 lím 2 2 2 0,377 0,372 0,008 1 1 0,25 µ −µ − ω = = ⇒ ω = − δ − y la a madu a in e io : 1 lím 2 1 0,493 0,008 0,501 ω = ν + ω = + ⇒ω = Deshaciendo el cambio de a iable ob enemos las a madu as de cálculo: s1 yd 2 cd 1 s1 1 s1 cd yd A b d 25 24 14,2 A 0,501 A 9,80cm b d 434,8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω = ⇒= ω = ⇒= ⋅ ⋅ s2 yd 2 cd 2 s2 2 s2 cd yd A b d 25 24 14,2 A 0,008 A 0,15cm b d 434,8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω = ⇒= ω = ⇒= ⋅ ⋅ PROBLEMA 08-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 9 Finalmen e las a madu as que es necesa io dispone se án las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci : ( ) 2 2 s2 mín A 0,63 cm 2 10 1,57cm ,b 13cm =⇒∅ = ( ) ( ) 2mín 2 s1 2mín 5 16 10,05cm ,b 25cm A 9,80 cm 4 20 12,57cm ,b 23cm ∅ =  =⇒∅ =   ➍ ➍➍ ➍ 1 lím 0,456 0,372 D.F.S.II µ = > µ = ⇒ Al igual que en el caso an e io la solución más económica se ob iene ijando la p o undidad del eje neu o en lím ξ = ξ , y disponiendo a madu a de comp esión pa a abso be el exceso de momen o ex e io espec o del lími e que puede abso be el ho migón. La a madu a de comp esión se á: 1 lím 2 2 2 0,456 0,372 0,112 1 1 0,25 µ −µ − ω = = ⇒ ω = − δ − y la a madu a in e io : 1 lím 2 1 0,493 0,112 0,606 ω = ν + ω = + ⇒ω = Deshaciendo el cambio de a iable ob enemos las a madu as de cálculo: s1 yd 2 cd 1 s1 1 s1 cd yd A b d 25 24 14,2 A 0,606 A 11,84cm b d 434,8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω = ⇒= ω = ⇒= ⋅ ⋅ s2 yd 2 cd 2 s2 2 s2 cd yd A b d 25 24 14,2 A 0,112 A 2,20cm b d 434,8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω = ⇒= ω = ⇒= ⋅ ⋅ Finalmen e las a madu as que es necesa io dispone se án las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci : ( ) 2 2 s2 mín A 2,20 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm =⇒∅ = 2 s1 6 16 A 11,84 cm ∅ =⇒ ( ) ( ) 2mín 2mín 12,06cm ,b 28cm 4 20 12,57cm ,b 23cm =  ∅ =   25 30 6 6 2 10 ∅ 5 16 ∅ 25 30 6 6 2 12 ∅ 4 20 ∅ PROBLEMA 08-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 10 No a: El dimensionamien o de es a sección imponiendo que As2 = 0; es deci , como si se a ase del caso D.F.S.I se ía: De la ecuación de equilib io de momen os ob end íamos la p o undidad de la ib a neu a: ( ) ( ) 1 lím 1,25 1- 1-2· 1,25 1- 1-2·0,456 0,879 (> ) ξ = µ = = ξ Con es a p o undidad de la ib a neu a la sección se ago a en el dominio 4, donde la a madu a in e io no abaja a su lími e elás ico, po lo que la ecuación de equilib io de ue zas queda ía de la o ma: 1 1 1 1 1 1 0 0,8 0,8·0,879 0,703 = ⋅ξ −ρ ⋅ω ⇒ρ ⋅ω = ⇒ρ ⋅ω = La ensión con la que abaja la a madu a in e io la ob enemos de la ecuación de compa ibilidad en el dominio 4: 1 1 yd 7001 700 1 0,879 0,222 434,8 0,879 −ξ − ρ = = ⇒ρ = ξ y po lo an o la cuan ía de ace o se á: 1 1 1 0,703 0,703 3,16 0,222 ω = = ⇒ω = ρ y la a madu a de cálculo en acción se á: s1 yd 2 cd 1 s1 1 s1 cd yd A b d 25 24 14,2 A 3,16 A 61,83cm b d 434,8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω = ⇒= ω = ⇒= ⋅ ⋅ ob eniéndose una a madu a de cálculo muy supe io a la óp ima (61,83 >> 11,84 + 2,20) Miguel T oyano Mo eno PROBLEMA 08-002 De e mina el momen o lec o de ago amien o ( lexión simple) de la sección indicada en la igu a pa a las a madu as indicadas en la siguien e abla: ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ ➐ ➑ ➒ A s2 4∅16 2∅16 - - - - - 2∅16 2∅20 A s1 2∅16 2∅16 2∅16 4∅16 6∅16 5∅25 5∅25 + 2∅16 5∅25 5∅25 Da os: Ho migón: HA-25 Ace o: B 400S Si uación: Pe sis en e Valo es de cálculo Los coe icien es pa ciales de segu idad, según la Ficha 05 (segu idad), se án: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =    Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 0,85 14,2 1,50 mm = α = = γ  Resis encia de cálculo del ace o: yk yd 2 s 400 N 347,8 1,15 mm = = = γ Cálculo de las a iables adimensionales Las a iables adimensionales se án: 2 2 d d δ = u 12 cd M b d µ = ⋅ ⋅ 30 35 5 5 A s2 A s1 PROBLEMA 08-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2 s1 yd 1 cd A b d ⋅ ω = ⋅ ⋅ y s2 yd 2 cd A b d ⋅ ω = ⋅ ⋅ de las cuales las que son da os en el p oblema de comp obación son: 2 2 d 5 0,17 d 35 5 δ = = = − ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ ➐ ➑ ➒ A madu a supe io A s2 4∅16 2∅16 - - - - - 2∅1 6 2∅2 0 Sección [cm 2 ] 8,04 4,02 - - - - - 4,02 6,28 s2 yd 2 cd A b d ⋅ ω = ⋅ ⋅ 0,219 0,110 - - - - - 0,110 0,171 A madu a in e io A s1 2∅16 2∅16 2∅1 6 4∅16 6∅1 6 5∅25 5∅25 + 2∅16 5∅2 5 5∅2 5 Sección [cm 2 ] 4,02 4,02 4,02 8,04 12,06 24,54 28,56 24,54 24,54 s1 yd 1 cd A b d ⋅ ω = ⋅ ⋅ 0,110 0,110 0,110 0,219 0,329 0,670 0,779 0,670 0,670 Cálculo de los alo es lími es De la Ficha 07 se ob ienen: ξ ξξ ξ lím 0,668 ν νν ν lím 0,534 µ µµ µ lím 0,392 o bien analí icamen e: ( ) lim lim lim 3 lim lim lím yd 0,8 1 0,8 1 0,5 1 1,43 10 − ν = ⋅ξ  ξ = ⇒ µ = ⋅ξ ⋅ − ⋅ξ + ⋅ ⋅  Cálculo de ξ ξξ ξ * Empezamos suponiendo que ξ* se a a alcanza en el dominio 2, en cuyo caso : yd 2 yd 2.000 * * 0,290 0,290 (Lími e Dominio 2) 2.000 + ⋅δ ξ = ⇒ξ = <> + PROBLEMA 08-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3 Como ξ* = 0,290 > 0,259, es e alo es e óneo y enemos que calcula lo u ilizando la exp esión co espondien e a los domínios 3 y 4 : 2 yd 700 * 0,331 700 ⋅δ ξ = ⇒ − De e minación del momen o de ago amien o ➊ ➊➊ ➊ 1 2 0,110 0 CFS I ω −ω = − < ⇒− 1 1 2 1 (1 ) 0,110(1 0,17) 0,091 µ = ω − δ = − ⇒µ = 2 2 1 1 cd u M b d 0,091 0,30 0,30 14,2 0,035 MN m M 35 KN m = µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅ Si no desp eciamos la con ibución del ho migón, y ealizamos la comp obación como en el caso de CFS-II, end emos: in 1 2 * sup 0 ' 0 i e amos en el in e alo: 0,331 0,8 ξ =  ω −ω ξ = < ⇒ξ = ξ =  '' ξ 2 2 yd '' 2.000 '' 0,259 '' 1 '' ξ − δ ξ ≤ ⇒ρ = − ξ 2 2 yd '' 700 '' 0,259 '' '' ξ − δ ξ > ⇒ρ = ξ 2 2 1 e o 0,8 '' '' = ⋅ξ +ρ ⋅ω − ω in ξ sup ξ 0,0000 0,3313 0,1656 -0,007 0,021 0,0000 0,1656 0,0828 -0,526 -0,159 0,0828 0,1656 0,1242 -0,279 -0,071 0,1242 0,1656 0,1449 -0,146 -0,026 0,1449 0,1656 0,1553 -0,077 -0,002 0,1553 0,1656 0,1605 -0,042 0,009 0,1553 0,1605 0,1579 -0,060 0,003 0,1553 0,1579 0,1566 -0,069 0,000 0,1553 0,1566 1 2 2 2 1 2 0,157 0,8 (1 0,4 ) (1 ) 0,105 0,069 ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ +ρ ⋅ω ⋅ −δ ⇒µ =  ρ = −  2 2 1 1 cd u M b d 0,105 0,30 0,30 14,2 0,040 MN m M 40 KN m = µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅ ➋ ➋➋ ➋ 1 2 0 CFS I ω − ω = ⇒− Se ob ienen los mismos alo es que en el caso an e io , al se la a madu a de acción la misma: PROBLEMA 08-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4 1 1 2 1 u (1 ) 0,110(1 0,17) 0,091 M 35 KN m µ = ω − δ = − ⇒µ = ⇒= ⋅ Si de nue o NO desp eciamos la con ibución del ho migón, y ealizamos la comp obación como en el caso de CFS-II, end emos: in 1 2 * sup 0 ' 0 i e amos en el in e alo: 0,331 0,8 ξ =  ω −ω ξ = = ⇒ξ = ξ =  '' ξ 2 2 yd '' 2.000 '' 0,259 '' 1 '' ξ − δ ξ ≤ ⇒ρ = − ξ 2 2 yd '' 700 '' 0,259 '' '' ξ − δ ξ > ⇒ρ = ξ 2 2 1 e o 0,8 '' '' = ⋅ξ +ρ ⋅ω − ω in ξ sup ξ 0,0000 0,3313 0,1656 -0,007 0,022 0,0000 0,1656 0,0828 -0,526 -0,101 0,0828 0,1656 0,1242 -0,279 -0,041 0,1242 0,1656 0,1449 -0,146 -0,010 0,1449 0,1656 0,1553 -0,077 0,006 0,1449 0,1553 0,1501 -0,112 -0,002 0,1501 0,1553 0,1527 -0,095 0,002 0,1501 0,1527 0,1514 -0,103 0,000 0,1514 0,1527 1 2 2 2 1 2 0,151 0,8 (1 0,4 ) (1 ) 0,104 0,103 ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ +ρ ⋅ω ⋅ − δ ⇒µ =  ρ = −  2 2 1 1 cd u M b d 0,104 0,30 0,30 14,2 0,040 MN m M 40 KN m = µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅ ➌ ➌➌ ➌ 1 2 lím 0,110 < 0,534 CFS II ω −ω = ν = ⇒− Además como no exis e a madu a de comp esión, 2 0 ω = , nos encon amos en el caso de CFS-II.a, donde la p o undidad de la ib a neu a iene dada po : 1 0,110 0,137 0,8 0,8 ω ξ = = ⇒ξ = y el momen o de ago amien o ale: 1 1 0,8 (1 0,4 ) 0,104 µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ ⇒µ = 2 2 1 1 cd u M b d 0,104 0,30 0,30 14,2 0,040 MN m M 40 KN m = µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒= ⋅ ➍ ➍➍ ➍ 1 2 lím 0,219 < 0,534 CFS II ω −ω = ν = ⇒− PROBLEMA 08-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 5 Al igual que el caso an e io , al no exis i a madu a de comp esión, 2 0 ω = , nos encon amos en el caso de CFS-II.a, donde la p o undidad de la ib a neu a iene dada po : 1 0,214 0,274 0,8 0,8 ω ξ = = ⇒ξ = y el momen o de ago amien o ale: 1 1 u 0,8 (1 0,4 ) 0,195 M 75 KN m µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ ⇒µ = ⇒= ⋅ ➎ ➎➎ ➎ 1 2 lím 0,329 < 0,534 CFS II ω −ω = ν = ⇒− De la misma o ma que en los dos casos an e io es nos encon amos en el caso de CFS-II.a, y se iene: 1 0,329 0,411 0,8 0,8 ω ξ = = ⇒ξ = y el momen o de ago amien o ale: 1 1 u 0,8 (1 0,4 ) 0,275 M 105 KN m µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ ⇒µ = ⇒= ⋅ ➏ ➏➏ ➏ 1 2 lím 0,670 > 0,534 CFS III ω −ω = ν = ⇒− Nos encon amos en el CFS-III. En es a si uación la sección se a a ago a en dominio 4, donde la a madu a de acción no abaja a su lími e elás ico. Es necesa io i e a en el in e alo de inido po in lím ξ = ξ y sup ' 1 ξ = ξ < . La co a supe io se á: 1 2 0,670 ' ' 0,837 0,8 0,8 ω − ω ξ = = ⇒ξ = y la i e ación se á: '' ξ 1 yd 700 1 '' '' '' − ξ ρ = ξ 2 1 1 e o 0,8 '' '' = ⋅ξ + ω −ρ ⋅ω in ξ sup ξ 0,6680 0,8370 0,7524 0,662 0,158 0,6678 0,7524 0,7101 0,822 0,018 0,6678 0,7101 0,6890 0,909 -0,057 0,6890 0,7101 0,6995 0,864 -0,019 0,6995 0,7101 0,7048 0,843 0,000 0,7048 0,7101 1 0,705 0,8 (1 0,4 )ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ + ω 22 u (1 ) 0,405 M 155 KN m ⋅ − δ = ⇒= ⋅ PROBLEMA 08-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6 En es e dominio la a madu a de acción (A s1 ) no se ap o echa al máximo, al abaja po debajo de su esis encia de cálculo yd 347,8 MPa =. La ensión en el ago amien o de es a a madu a se á: s1 1 yd 0,842 347,8 292,8 MPa σ = ρ ⋅ = ⋅ = ➐ ➐➐ ➐ 1 2 lím 0,779 > 0,534 CFS III ω −ω = ν = ⇒− Al aumen a la a madu a de acción, el eje neu o aumen a aún más y po lo an o segui emos encon ándonos, al igual que en el caso ➏, en el CFS-III, donde enemos que i e a en el in e alo de inido po in lím ξ = ξ y sup ' 1 ξ = ξ < . La co a supe io se á: 1 2 0,779 ' ' 0,974 0,8 0,8 ω −ω ξ = = ⇒ξ = y la i e ación se á: '' ξ 1 yd 700 1 '' '' '' − ξ ρ = ξ 2 1 1 e o 0,8 '' '' = ⋅ξ + ω −ρ ⋅ω in ξ sup ξ 0,6678 0,9740 0,9741 0,054 0,738 0,6678 0,9741 0,8210 0,439 0,315 0,6678 0,8210 0,7444 0,691 0,057 0,6678 0,7444 0,7061 0,838 -0,088 0,7061 0,7444 0,7253 0,762 -0,014 0,7253 0,7444 0,7348 0,726 0,022 0,7253 0,7348 0,7300 0,744 0,004 0,7253 0,7300 0,7276 0,753 -0,005 0,7276 0,7300 0,7288 0,749 0,000 0,7288 0,7300 1 0,729 0,8 (1 0,4 )ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ + ω 22 u (1 ) 0,413 M 158 KN m ⋅ − δ = ⇒= ⋅ Obse amos que e ec i amen e la p o undidad del eje neu o aumen a (pasamos de 0,705 ξ = a 0,729 ξ = ), pe o sin emba go el inc emen o en el momen o de ago amien o es p ác icamen e desp eciable (pasamos de u M 155 KN m = ⋅ a u M 158 KN m = ⋅ ). La jus i icación de es o es que la nue a a madu a in oducida (2∅16) no abaja a su esis encia de cálculo y, además, hace que la an e io men e dispues a (5∅25) disminuya ambién su esis encia. E ec i amen e, la nue a ensión en el ago amien o de la a madu a de acción (5∅25+2∅16) se á: s1 1 yd 0,749 347,8 260,4 MPa σ = ρ ⋅ = ⋅ = . Se puede ap o echa mejo el ace o si in oducimos la a madu a 2∅16 como a madu a de comp esión en ez de acción, como se e á en el caso siguien e. PROBLEMA 08-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 7 ➑ ➑➑ ➑ 1 2 lím 0,560 > 0,534 CFS III ω −ω = ν = ⇒− Al igual que en el caso ➏ nos encon amos en el CFS-III, donde enemos que i e a en el in e alo de inido po in lím ξ = ξ y sup ' 1 ξ = ξ < . La co a supe io se á: 1 2 0,560 ' ' 0,6998 0,8 0,8 ω −ω ξ = = ⇒ξ = y la i e ación se á: '' ξ 1 yd 700 1 '' '' '' − ξ ρ = ξ 2 1 1 e o 0,8 '' '' = ⋅ξ + ω −ρ ⋅ω in ξ sup ξ 0,6680 0,6998 0,6998 0,863 0,092 0,6678 0,6998 0,6838 0,930 0,034 0,6678 0,6838 0,6758 0,965 0,004 0,6678 0,6758 0,6718 0,983 -0,011 0,6718 0,6758 0,6738 0,974 -0,004 0,6738 0,6758 0,6748 0,970 0,000 0,6738 0,6748 1 2 2 u 0,675 0,8 (1 0,4 ) (1 ) 0,483 M 185 KN m ξ = ⇒µ = ⋅ξ⋅ − ⋅ξ + ω ⋅ − δ = ⇒= ⋅ Si analizamos los es úl imos ejemplos obse amos que con un inc emen o de ace o igual (2∅16) ob enemos un mayo inc emen o en el momen o de ago amien o en el caso ➑ que en el ➐ ( u M 185 MPa = en e a u M 158 MPa =). La jus i icación de es o es que en es a ocasión la a madu a in oducida en comp esión (al man ene se cons an e la a madu a de acción) hace que el ho migón deba sopo a menos comp esiones, disminuye su ib a neu a y consecuen emen e aumen a la de o mación de la a madu a de acción. Es e úl imo aumen o de de o mación hace inalmen e que la ensión del ace o de acción se ace que a su esis encia de cálculo: s1 1 yd 0,970 347,8 337,4 MPa σ = ρ ⋅ = ⋅ = . Además, la a madu a in oducida en comp esión, al ago a se la sección en dominio 4 abaja a su esis encia de cálculo. Si seguimos aumen ando la a madu a de comp esión, la p o undidad del eje neu o segui á disminuyendo, has a que se alcance el dominio 3, donde los dos g upos de a madu as, de acción y comp esión, abaja án a su lími e elás ico. Es o sucede po ejemplo en el caso siguien e. ➒ ➒➒ ➒ 1 2 lím 0,498 < 0,534 CFS II ω −ω = ν = ⇒− PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6     1 lím 1,25 1- 1-2 1,25 1- 1-2 0,138 0,186 (< )       y sus i uyendo es a p o undidad de la ib a neu a en la ecuación de equilib io de ue zas, queda pa a la a madu a in e io : 10,8 0,8 0,186 0,173 0,024        Vamos a analiza los esul ados que hemos ob enido. Pa a que el ho migón abso ba el momen o ex e io 10,138 es necesa io que la p o undidad de la ib a neu a sea 0,186 , pa a la cual, la esul an e del paque e de comp esiones es cu 0,149 , meno que el axil ex e io , 0,173 , y po lo an o, la a madu a in e io iene que abaja a comp esión pa a ayuda al ho migón a abso be es e axil ex e io . Como es o no es posible, la solución (de cálculo eó ica) consis e en no dispone a madu a. En es a si uación, el ho migón e oluciona pa a abso be po sí solo el axil ex e io aumen ando la p o undidad de la ib a neu a y, po lo an o, apo ando un momen o mayo que el ex e io . E ec i amen e, de las ecuaciones de equilib io se ob iene: 1 1 0,173 0,8 0,216 0,8 0,8 0,158 0,138 0,8 (1 0,4 )                      Po el con a io, si obligamos a que la sección se ago e man eniendo el momen o ex e io , esul a que el axil de ago amien o es meno que el de cálculo. E ec i amen e, pa a que la sección de ho migón abso ba el momen o ex e io la p o undidad de la ib a neu a iene que se (como hemos calculado an e io men e) 0,186 , que equilib a el axil ex e io : 0,8 0,149 0,173     . Además de es a si uación de ago amien o la sección puede alcanza una e ce a man eniendo el momen o ex e io y sopo ando en es e caso la sección un axil mucho mayo que el de cálculo. Pa a es udia es as es si uaciones de ago amien o plan eamos las ecuaciones de equilib io de la sección b u a de ho migón espec o al ba icen o de la misma y adimensionalizando con el can o o al h (Fig. 2): 0,8 0,186 1 0,138 0,173 0,149 0,024 Fig. 1 PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 7 cu cu0 0,8 0,8 0,5 (1 ) 0,8 (0,5 0,4 )                          con:  d cd N b h    d 2cd M b h    x h  En la Fig. 3 se ha ep esen ado la cu a ()    que ep esen a la espues a del ho migón en ago amien o, y que iene como pun os ep esen a i os:  El momen o se hace nulo pa a los pun os: 0 ( 0)    1 ( 1,25)    3  El máximo momen o que es capaz de abso be el ho migón ale 0,125 , que co esponde al pun o: 0,5 ( 0,625)    3 A pa i de x h ( 1)  las ecuaciones de equilib io u ilizadas, en lexión, dejan de se cie as, ya que en comp esión la p o undidad de la ib a neu a es h y 1 0,2 h x        . En cualquie caso, es e pun o 1 se p oduce igualmen e, pe o pa a una p o undidad    . 1 0,8 0,5 0,4 0,8   1 Fig. 2   0 0,5 1 0,125 Fig. 3 PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 8 En la Fig. 4 se han ep esen ado la si uación de cálculo de la sección (pun o ) y las es si uaciones de ago amien o. El pun o  co esponde a la si uación donde se man iene el axil de cálculo y la  y  las que se ob ienen man eniendo el momen o de cálculo. Los alo es numé icos son:  Si uación de cálculo: d cd d 2cd N0,120 b h M0,040 b h          Si uación de ago amien o con axil úl imo igual al de cálculo: 0,8 0,150 0,053 0,8 0,8 (0,5 0,4 )                     Si uación de ago amien o con momen o úl imo igual al de cálculo:   0,8 0,088 0,110 0,8 (0,5 0,4 ) 0,625 1 1 8 0,912 1,140                         En esumen la sección NO SE AGOTA pa a los es ue zos dados, y las a madu as que disponemos son las mínimas 4 :    22 s2 mín A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm       22 s1 mín A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm    4 Se han colocado ba as 12 debido a que la Ins ucción EHE es ablece es e diáme o como diáme o mínimo pa a sopo es.   0,088 0,040 0,053 0,912 0,120 Fig. 4 25 30 6 6 2 12 2 12 PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 9  0,173 1 lím 0,279 0,372 D.F.C I      Al igual que en el caso an e io no es necesa ia la a madu a de comp esión  20 . La p o undidad de la ib a neu a se á:     1 lím 11,25 1- 1-2 1,25 1- 1-2 0,279 0,418 (< )       y sus i uyendo es a p o undidad de la ib a neu a en la ecuación de equilib io de ue zas, queda pa a la a madu a in e io : 10,8 0,8 0,418 0,173 0,162       Las a madu as de cálculo se án: s1 yd 2 cd 1 s1 1 s1 cd yd A b d 25 24,5 14,2 A 0,162 A 3,23cm b d 434,8              s2 yd 2 2 s2 cd A A 0cm b d       Finalmen e las a madu as que son necesa ias dispone se án las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci 4:   22 s2 mín A 0,17 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm        2mín 2 s1 2mín 3 12 3,39cm ,b 16cm A 3,23 cm 2 16 4,02cm ,b 14cm        0,173 1 lím 0,420 0,372 D.F.C II      El momen o ex e io 1  no puede se sopo ado po el ho migón, y po lo an o disponemos a madu a de comp esión pa a ayuda al ho migón a sopo a es e momen o. Hacemos abaja al ho migón al máximo sin que la a madu a de acción deje de abaja a su esis encia de 25 30 6 6 2 12 3 12 PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 10 cálculo; es deci , ijamos la p o undidad del eje neu o en lím    . La a madu a de comp esión se á: 1 lím 22 2 0,420 0,372 0,062 1 1 0,22             y la a madu a in e io se á: 1 lím 2 1 0,493 0,062 0,173 0,383          Las a madu as de cálculo son po an o: s1 yd 2 cd 1 s1 1 s1 cd yd A b d 25 24,5 14,2 A 0,383 A 7,64cm b d 434,8              s2 yd 2 cd 2 s2 2 s2 cd yd A b d 25 24,5 14,2 A 0,062 A 1,24cm b d 434,8              y inalmen e las a madu as que son necesa ias dispone se án las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci :   22 s2 mín A 1,24 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm    2 s1 7 12 A 7,64 cm           2mín 2mín 2mín 2mín 7,92cm ,b 29cm 4 16 8,04cm ,b 21cm 3 20 9,42cm ,b 19cm 2 25 9,82cm ,b 16cm           0,691 1 lím 0,409 0,372 D.F.C II      Al igual que an es ijamos la p o undidad del eje neu o en lím    . La a madu a de comp esión se á: 1 lím 22 2 0,409 0,372 0,048 1 1 0,22             25 30 6 6 2 12 4 16 PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 11 y la a madu a in e io se á: 1 lím 2 1 0,493 0,048 0,691 0,150           Que la a madu a de acción salga nega i a, signi ica que, pa a que se cumpla el equilib io de ue zas, és a end ía que abaja a comp esión, si uación que no es posible con lím    . Si hacemos 10 , pa a que se cumpla el equilib io de ue zas el paque e de comp esiones en el ho migón debe descende ago ándose la sección en un dominio supe io al 3. Po lo an o dimensionamos la sección con 10 y pe mi iendo que el ho migón ebase la p o undidad lím  . En es a nue a si uación el ho migón a a abso be un mayo axil y momen o, po lo que pod emos ob ene una a madu a de comp esión meno que la ob enida an e io men e ( 20,048 ). Pa a que el ho migón abso ba odo el momen o ex e io , la p o undidad de la ib a neu a iene que se : 21 2 lím 22 2 (1 ) 0,691(1 0,22) 0,409 1,25 1 1 1,25 0,22 1 1 0,970 (> ) 0,5 0,5 0,22                               E ec i amen e la p o undidad del eje neu o es supe io al lími e y al se ambién 1 , la sección se ago a en el dominio 4, y po lo an o se a a de un p oblema de lexión. La a madu a de comp esión se á: 20,8 0,691 0,8 0,970 0,085         Al igual que sucedía en el caso  la sección NO SE AGOTA, y si calculamos al igual que en onces las si uaciones de ago amien o que alcanza la sección cuando se man iene el axil de cálculo y el momen o de cálculo se ob iene:  Si uación de cálculo: d cd d 2cd N0,094 bh M0,565 b h          Al ago a se la sección man eniendo el axil de cálculo: 1 1 0,565 0,8 0,706 0,8 0,8 0,123 0,094 0,8 (0,5 0,4 )                       Al ago a se la sección man eniendo el momen o de cálculo:   0,8 0,281 0,414 0,8 (0,5 0,4 ) 0,625 1 1 8 0,569 0,836                         PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 12 Si al igual que an es ambién ob enemos los es ue zos ba icen ales nos queda:  Si uación de cálculo: d cd d 2cd N0,480 b h M0,080 b h          Si uación de ago amien o con axil úl imo igual al de cálculo: 0,8 0,600 0,125 0,8 0,8 (0,5 0,4 )                     Si uación de ago amien o con momen o úl imo igual al de cálculo:   0,8 0,200 0,250 0,8 (0,5 0,4 ) 0,625 1 1 8 0,800 1,000                         En la Fig. 5 se han ep esen ado la si uación de cálculo de la sección (pun o ) y las es si uaciones de ago amien o. El pun o  co esponde a la si uación donde se man iene el axil de cálculo y la  y  las que se ob ienen man eniendo el momen o de cálculo. Los alo es numé icos son: En esumen, la sección NO SE AGOTA y las a madu as que disponemos son las mínimas:    22 s2 mín A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm       22 s1 mín A 1,50 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm      0,200 0,080 0,125 0,800 0,480 Fig. 5 25 30 6 6 2 12 2 12 PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 13  1,037 1 lím 0,755 0,372 D.F.C II      Al igual que an es ijamos la p o undidad del eje neu o en lím    La a madu a de comp esión se á: 1 lím 22 2 0,755 0,372 0,494 1 1 0,22             y la a madu a in e io se á: 1 lím 2 1 0,493 0,494 1,037 0,050           De nue o la a madu a de acción sale nega i a, po lo que podemos hace 10 , y ob ene una solución más económica pe mi iendo al ho migón que sob epase la p o undidad lími e. De es a o ma el ho migón a a abso be un mayo axil y momen o, po lo que pod emos ob ene una a madu a de comp esión meno que la ob enida an e io men e ( 20,420 ). Pa a que el ho migón abso ba odo el momen o ex e io , la p o undidad de la ib a neu a iene que se : 21 2 lím 22 2 (1 ) 1,037(1 0,22) 0,755 1,25 1 1 1,25 0,22 1 1 0,763 (> ) 0,5 0,5 0,22                               E ec i amen e la p o undidad del eje neu o es supe io al lími e y al se ambién 1 , la sección se ago a en el dominio 4, y po lo an o se a a de un p oblema de lexión. La a madu a de comp esión se á: 20,8 1,037 0,8 0,763 0,426 0,494         Las a madu as de cálculo se án: s1 yd 2 1 s1 cd A A 0cm b d       s2 yd 2 cd 2 s2 2 s2 cd yd A b d 25 24,5 14,2 A 0,426 A 8,51cm b d 434,8              PROBLEMA 08-003 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 14 Finalmen e las a madu as que son necesa ias dispone se án las mayo es en e las mínimas y las de cálculo; es deci : 2 s2 8 12 A 8,51 cm           2mín 2mín 2mín 2mín 9,05cm ,b 32cm 5 16 10,05cm ,b 25cm 3 20 9,42cm ,b 19cm 2 25 9,82cm ,b 16cm            22 s1 mín A 0,98 cm 2 12 2,26cm ,b 13cm    25 30 6 6 3 20 2 12 Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno PROBLEMA 09-001 Dimensiona la sección indicada en la igu a pa a las solici aciones a iables indicadas en la siguien e abla: MQ [kN · m] NQ [kN] e0 [cm]  75 500 15  100 750 13,33  25 1000 2,5 Da os: Ho migón: HA-25 (Con cemen o CEM I) Ace o: B 500S Vida ú il de p oyec o: 100 años Si uación: Pe sis en e Ambien e: IIa Sección pe enecien e a un pila Valo es de cálculo De igual o ma que en el p oblema Nº1, de la Ficha 05 (segu idad), se ob iene:  Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e         Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones: G Q G Q 1,00 E ec o Fa o able 0,00 Es ado Lími e Úl imo Si uación pe sis en e 1,35 E ec o Des a o able 1,50               y po lo an o los alo es de cálculo se án:  Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 1,00 16,7 1,50 mm      1 1 Aunque se ha ob enido cd con cc=1,00, los ábacos de in e acción u ilizados en es e p oblema ya incluyen el coe icien e cc=0,85, po lo que si ealmen e quisié amos conside a cc≠0,85 end íamos que ob ene el alo de cd de la o ma cc ck cd c 0,85   . 25 d' d' A A 40 Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno PROBLEMA 09-002 Comp oba , u ilizando los diag amas de in e acción, la siguien e sección de ho migón a mado some ida a los es ue zos de lexo- comp esión ec a que se indican en la Tabla 1: M Q [kN · m] N Q [kN] e 0 [cm] 50 1000 5 Tabla 1 Da os: Ho migón: HA-25 Ace o: B 500S Si uación: Pe sis en e Valo es de cálculo De igual o ma que en el p oblema Nº1, de la Ficha 05 (segu idad), se ob iene: • Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =   • Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones: G Q G Q 1,00 E ec o Fa o able 0,00 Es ado Lími e Úl imo Si uación pe sis en e 1,35 E ec o Des a o able 1,50 γ =  γ =   ⇒   γ =   γ =   y po lo an o los alo es de cálculo se án:  Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 1,00 16,7 1,50 mm = α = = γ 1  Resis encia de cálculo del ace o: 2 500 N 434,8 1,15 mm yk yd s γ = = =  Es ue zos de cálculo: Se mues an en la siguien e abla: 40 5 5 12∅12 50 PROBLEMA 09-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2 1.500 KN d Q Q d N N N γ = ⋅ ⇒= 75 KN×m d Q Q d M M M γ = ⋅ ⇒= Selección del ábaco Pa a el cálculo de las a madu as u ilizando los diag amas de in e acción debemos p e iamen e selecciona el que se ajus a a los pa áme os de nues a sección: ✓ Sección ec angula . ✓ A madu a simé ica a cua o ca as. ✓ Recub imien o ' 0,10 d h = ⋅ 2 . ✓ Ace o: 2 N 500 mm yk = y seleccionamos el que se mues a en la Figu a 1 3 . Figu a 1. Diag amas de in e acción 1 Aunque se ha ob enido cd con α cc =1,00, los ábacos de in e acción u ilizados en es e p oblema ya incluyen el coe icien e α cc =0,85, po lo que si ealmen e quisié amos conside a α cc ≠0,85 end íamos que ob ene el alo de cd de la o ma cc ck cd c 0,85 α = γ . 2 d' se co esponde con el ecub imien o mecánico y h con el can o de la sección, ambos en el sen ido de la lexión: ' 5 0,10 50 d b δ = = = . 3 Tomado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án Cab é. PROBLEMA 09-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3 Cálculo de las a iables adimensionales Los alo es adimensionales son: ' 5 0,10 50 d h δ = == = [ ] 1500 10 0,450 40 50 16,7 d d c cd cd N N A b h ν ν = = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ [ ] 2 2 75 1000 0,045 40 50 16,7 d d c cd cd M M A h b h µ µ = = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0,045 0,1 0,450 µ η η ν = = ⇒ = 12 1,13 434,8 0,177 40 50 16,7 o yd yd c cd cd A n A A b h ω ω ∅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⇒= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Comp obación de la sección Como el pun o de solici ación S d ( e Figu a 2), de inido po los es ue zos 0,450 ν = y 0,045 µ = es á con enido po la cu a co espondien e a 0,177 ω = , la sección se á segu a pa a esos es ue zos. 0,450 ν = 0,148 µ = ➊ 0.177 ω = 0,045 µ = 0,890 ν = ➋ ➌ 0,790 ν = 0,079 µ = 0,1 η = d S PROBLEMA 09-002 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4 Es ue zos de ago amien o y Coe icien es de Uso ➊ Pa a el axil de cálculo dado. Po la abscisa co espondien e al axil de cálculo 0,450 ν = se aza una ec a e ical has a que co e a la cu a co espondien e a la cuan ía 0,177 ω = . La o denada de es e pun o co esponde con el momen o de ago amien o de la sección pa a el axil dado ( e Figu a 2): 2 2 1 0,148 0,148 40 50 16,7 247,7 KN m 1000 u cd u M b h M µ µ   =⇒= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒= ⋅     El coe icien e de uso o u ilización se á: 247,7 3,3 75 u d M CU CU M = = ⇒= ➋ Pa a el momen o de cálculo dado. Po la o denada co espondien e al momen o de cálculo 0,045 µ = se aza una ec a ho izon al has a que co e a la cu a co espondien e a la cuan ía 0,177 ω = . La abscisa de es e pun o co esponde con el axil de ago amien o de la sección pa a el momen o dado ( e Figu a 2): 1 0,890 0,890 40 50 16,7 2.966,7 KN 10 u cd u N b h N ν µ   =⇒= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒=     El coe icien e de uso o u ilización se á: 2.966,7 2,0 1500 u d N CU CU N = = ⇒= ➌ Comp oba con la excen icidad dada. Se aza una ec a cuya pendien e sea 0,10 µ ην = = has a que co e a la cu a co espondien e a la cuan ía 0,177 ω = . La abscisa de es e pun o co esponde con el axil de ago amien o y la o denada con el momen o de ago amien o, de al o ma que la excen icidad en el ago amien o es la de cálculo ( e Figu a 2): 1 0,790 0,790 40 50 16,7 2.633,3 KN 10 u cd u N b h N ν µ   = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =     2 2 1 0,079 0,079 40 50 16,7 131,7 KN m 1000 u cd u M b h M µ µ   = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅     El coe icien e de uso o u ilización se á: 2633,3 131,7 1,8 1500 75 u u d d N M CU CU N M = = = = ⇒ = Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno PROBLEMA 10-001 Pa a la sección indicada en la igu a, que es á some ida a los es ue zos de la Tabla 1, se pide: 1.- Dimensiona con a madu a simé ica a cua o ca as u ilizando los diag amas de ose a. 2.- Dimensiona con a madu a simé ica a cua o ca as u ilizando el mé odo de la EHE. 3.- Con la a madu a ob enida en los apa ados 1 y 2, ob ene el axil de ago amien o pa a las excen icidades de los es ue zos de la Tabla 1, u ilizando la ó mula de B esle . N Q [kN] 1500 M Qx [kN · m] 150 M Qy [kN · m] 225 Tabla 1. Da os: Ho migón: HA-25 (Con cemen o CEM I) Ace o: B 400S Vida ú il de p oyec o: 100 años Si uación: Pe sis en e Ambien e: IIa Sección pe enecien e a un pila Valo es de cálculo De igual o ma que en el p oblema Nº1, de la Ficha 05 (segu idad), se ob iene: • Coe icien es pa ciales de segu idad pa a ma e iales: c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =   • Coe icien es pa ciales de segu idad pa a acciones: G Q G Q 1,00 E ec o Fa o able 0,00 Es ado Lími e Úl imo Si uación pe sis en e 1,35 E ec o Des a o able 1,50 γ =  γ =   ⇒   γ =   γ =   y po lo an o los alo es de cálculo se án: 40 80 y x y e x e x M y M N PROBLEMA 10-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2  Resis encia de cálculo del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 1,00 16,7 1,50 mm = α = = γ 1  Resis encia de cálculo del ace o: yk yd 2 s 400 N 347,8 1,15 mm = = = γ  Es ue zos de cálculo: Se mues an en la siguien e abla: d Q Q N N [kN] = ⋅γ 2250 dx Qx Q M M [kN m] = ⋅γ ⋅ 225 dy Qy Q M N [kN m] = ⋅γ ⋅ 337.5 Tabla 2. Es ue zos de cálculo Cálculo de las cuan ías lími es Según la Ficha 06 (cuan ías lími es): A madu as mínimas geomé icas o c Tipo de ace o: B400S 4 A A Tipo de elemen o es uc u al: Pila 1000 ⇒≥   donde A o es la a madu a longi udinal o al. Pa a nues a sección se á: 2 o 4 A 40 80 12,80cm 1000 ≥ ⋅ = A madu as mínimas mecánicas  Si el ago amien o se p oduce en lexión: 2 cd s1 s1 yd b h A 0,04 A 6,13cm ⋅ ⋅ ≥⇒≥ 2 d s2 s2 yd N A 0,05 A 3,23cm ≥⇒≥ 1 Aunque se ha ob enido cd con α cc =1,00, los ábacos de in e acción u ilizados en es e p oblema ya incluyen el coe icien e α cc =0,85, po lo que si ealmen e quisié amos conside a α cc ≠0,85 end íamos que ob ene el alo de cd de la o ma cc ck cd c 0,85 α = γ . PROBLEMA 10-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3  Si el ago amien o se p oduce en comp esión: 2 d s1 s2 s1 s2 yc,d N A A 0,05 A A 3,23cm = ≥ ⇒= ≥ A madu as mínimas de ini i as: Finalmen e, las a madu as mínimas se án las que esul en mayo es de las calculadas an e io men e, y que se án, en unción del ipo de solici ación, las que se indican en la Tabla 2, donde A o ,mín es la a madu a longi udinal o al mínima a dispone . A madu as máximas:  Si el ago amien o se p oduce en lexión: Siguiendo las ecomendaciones del Código Modelo CEB-FIP conside a emos unas cuan ías máximas que end án dadas po : 2 s2,máx s1,máx c s2,máx s1,máx A A 0,04 A 0,04 40 80 A A 128cm = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒= =  Si el ago amien o se p oduce en comp esión: 2 c cd s2,máx s1,máx s2,máx s1,máx yc,d 0,5 A 0,5 40 80 16,7 A A A A 76,8cm 347,8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⇒= = Cálculo de los ecub imien os Al igual que el P oblema 08-003 adop amos los ecub imien os 5,5 x y d d cm = = 2 1.- DIMENSIONAMIENTO CON MÉTODO DE LOS DIAGRAMAS DE ROSETA Pa a el cálculo de las a madu as u ilizando los diag amas de ose a debemos p e iamen e selecciona el que se ajus a a los pa áme os de nues a sección: 2 d x hace e e encia al ecub imien o de la a madu a ho izon al y d y al de la a madu a e ical. Ago amien o en lexión Ago amien o en comp esión A o ,min A s2,min A s1,min A o ,min A s2,min = A s1,min 12,80 3,23 6,13 12,80 3,23 Tabla 2. Secciones mínimas en [cm 2 ] PROBLEMA 10-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4 ✓ Sección ec angula . ✓ A madu a simé ica a cua o ca as. ✓ Recub imien o 0,07 y 0,14 y x d h d b = ⋅ = ⋅ . ✓ Ace o: 2 N 400 mm yk = y seleccionamos el que se mues a en la Figu a 1 3 . Figu a 1. Del lado de la segu idad debe íamos de habe cogido el ábaco co espondien e a un ecub imien o igual o supe io al mayo de los ecub imien os de nues a sección (14%), pe o únicamen e disponemos de ábacos con ecub imien os del 10%. El e o que come e emos se á, en gene al, pequeño. Cálculo de las a iables adimensionales Las a iables adimensionales que in e ienen en el cálculo son las siguien es: y a a d d a h δ = = y b x b d d b b δ = = 2 ad xd a c cd cd M M A a b h µ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y 2 yd bd b c cd cd M M A b b h µ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 Tomado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án Cab é. PROBLEMA 10-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 5 d d c cd cd N N A b h ν = = ⋅ ⋅ ⋅ o yd o yd c cd cd A A A b h ω ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ de las cuales las que son da os en el p oblema de dimensionamien o son: 0,07 a a d a δ = = y 0,14 b b d b δ = = 0,053 ad a c cd M A a µ = = ⋅ ⋅ y 0,158 bd b c cd M A b µ = = ⋅ ⋅ 0,422 d c cd N A ν = = ⋅ Cálculo de la cuan ía de ace o Como no exis e el cuad an e co espondien e al axil adimensional 0,422 ν = , se á necesa io de e mina las cuan ías pa a el axil in e io , 0,4 ν = , y supe io , 0,6 ν = , e in e pola pos e io men e. Figu a 2. PROBLEMA 10-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6  Pa a 0,4 ν = 1 2 0,158 0,28 0,053 b a µ µ ω µ µ = = ⇒=  = =   Pa a 0,6 ν = 1 2 0,158 0,35 0,053 b a µ µ ω µ µ = = ⇒=  = =  Pa a 0,422 ν = in e polamos: ( ) 2 1 1 1 2 1 0,29 ω ω ω ω ν ν ω ν ν − = + − ⇒ = − Cálculo de la a madu a La sección o al de ace o necesa ia po cálculo se á: 2 40 80 16,7 0,29 44,1cm 347,8 c cd o o yd A A A ω ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒= que cumple las cuan ías lími es, an o mínimas como máximas, calculadas an e io men e, po lo que se á la que dispond emos. Pa a selecciona inalmen e la con igu ación de a mado pa a cub i la sección an e io chequea emos dis in as al e na i as, cada una de ellas pa a un de e minado diáme o de ba a, ∅ . Pa a cada uno de és os segui emos el siguien e p ocedimien o.  De e mina el núme o de ba as necesa ias o A n A ∅ = donde A ∅ es el á ea de ace o de una ba a del diáme o ∅ .  Selecciona el núme o, n*, múl iplo de cua o inmedia amen e supe io al calculado an e io men e, pa a pe mi i que la con igu ación de ba as sea simé ica a cua o ca as.  De e mina la con igu ación de ba as, que se indica á de la o ma: esq esq x x y y n D n D n D ∅ + ∅ + ∅ donde: esq esq n D ∅ : indica el núme o y diáme o de las ba as si uadas en las equinas de la sección. Si se a a de ba as aisladas n esq se á siemp e 4, y sin son ba as ag upadas se á múl iplo de cua o. x x n D ∅ : indica el núme o y diáme o de las ba as si uadas en las ca as ho izon ales ( x ) de la sección. n x se á siemp e múl iplo de 2. y y n D ∅ : indica el núme o y diáme o de las ba as si uadas en las ca as e icales ( y ) de la sección. n y se á siemp e múl iplo de 2. Miguel T oyano Mo eno PROBLEMA 17-001 Pa a el pó ico de ho migón a mado de la igu a, some ido a una ca ga e ical uni o memen e dis ibuida de 35 kN/m ac uando sob e los din eles, y a unas ca gas pun uales de 250 kN ac uando sob e las cabezas de los pila es, odas de ca ác e a iable , se pide comp oba y dimensiona las a madu as de la alineación de igas de la p ime a plan a. Da os: Ho migón: HA-25 (CEM I) Ace o: B 400S Vida ú il de p oyec o: 100 años Si uación: Pe sis en e Ambien e: IIa Secciones: Vigas: 50x30 [cm] Pila es: 40x30 [cm] kN 35 m kN 35 m 250 kN 250 kN 250 kN 250 kN 250 kN 250 kN 5 m 6 m 3 m 3 m 1 m 41,45 − 107,26 − 123,48 − 78,00 − 19,34 − 56,05 − 97,36 − 118,96 − 95,37 − 19,34 − Momen os lec o es en ex emos de igas [kN m] ⋅ PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 2 1. LEYES DE ESFUERZOS Pa a de e mina las leyes de es ue zos plan eamos el equilib io de una po ción de pieza, comp endida en e una sección de o igen (apoyo izquie do) y o a si uada a una dis ancia x. Pa a pode ealiza es e equilib io necesi amos conoce los es ue zos en la sección de o igen. Conocemos los momen os lec o es en ex emos de igas y el axil (cons an e) a lo la go de la misma. Necesi amos conoce el es ue zo co an e en la sección de o igen. Pa a conoce és e plan eamos el equilib io de la iga en su conjun o. Haciendo equilib io de momen os espec o al apoyo de la de echa se ob iene: 2 apoyo de I I D 2 D I I M 0 R M p M 0 2 M M p 2 R =⇒⋅ + − − = − + ⇒= ∑ ℓ ℓ ℓ ℓ  Es a eacción R I coincide con el co an e en el apoyo izquie do. Finalmen e las leyes de es ue zos, plan eando el equilib io de la po ción de pieza comp endida en e la sección de o igen y la si uada a una dis ancia x, quedan:  Equilib io de ue zas e icales: I I F 0 V p x R 0 V R p x =⇒+ ⋅ − = ⇒= − ⋅ ∑   Equilib io de momen os espec o a la sección si uada a una dis ancia x: 2 2 I I I I x p M 0 M p M R x 0 M M R x x 2 2 =⇒+ − − ⋅ = ⇒= + ⋅ − ∑  Sus i uyendo alo es se ob ienen las leyes que se indican en la Tabla 1. Hay que ene p esen e que la ca ga uni o me p es la suma de la ca ga ex e io aplicada de 35 kN/m más el peso p opio de la iga 1 , po lo que: p 35 0,50 0,30 24,5 38,68 kN/m = + ⋅ ⋅ = Vano nº1 Vano nº2 Voladizo V 88,44 38,68 x = − ⋅ 2 M 56,05 88,44 x 19,34 x = − + ⋅ − ⋅ V 119,97 38,68 x = − ⋅ 2 M 118,96 119,97 x 19,34 x = − + ⋅ − ⋅ V 38,68 38,68 x = − ⋅ 2 M 19,34 38,68 x 19,34 x = − + ⋅ − ⋅ Tabla 1 1 Conside amos que el peso p opio del ho migón a mado es 3 24,5 kN/m γ = M I M p x I R V D M I M p ℓ I R D R PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 3 2. CÁLCULOS PREVIOS 2.1 Valo es de cálculo (Ficha 05: segu idad) c s 1,50 Es ado Lími e Úl imo 1,15 Si uación pe sis en e γ =  ⇒  γ =   G Q G Q 1,00 E ec o Fa o able 0,00 Es ado Lími e Úl imo Si uación pe sis en e 1,35 E ec o Des a o able 1,50 γ =  γ =   ⇒   γ =   γ =    Resis encia de cálculo a comp esión del ho migón: ck cd cc 2 c 25 N 0,85 14,2 1,50 mm = α = = γ  Resis encia de cálculo del ace o: yk yd 2 s 400 N 347,8 1,15 mm = = = γ o Pa a la a madu a ans e sal yk y90,d s = > γ y90,d 2 N 400 347,8 mm ⇒ =  Es ue zos de cálculo 2 : Los es ue zos que ienen que sopo a las igas de la alineación, una ez mayo ados, son los de la igu a, que de o ma analí ica ienen ecogidos en las leyes de la Tabla 2. Además, se ha indicado el máximo momen o lec o a posi i o que se p oduce en el 2 Po simplicidad, el peso p opio de la es uc u a se ha conside ado jun o con la ca ga a iable en una única hipó esis simple. Po lo an o, los es ue zos de cálculo se ob ienen mayo ando las leyes de es ue zos de es a hipó esis simple po el coe icien e pa cial de segu idad co espondien e a e ec o des a o able (γ Q =1,50). En caso de exis i más de un es ado de ca gas, hab ía que ob ene las en ol en es de es ue zos de acue do a las combinaciones que es ablece la Ins ucción EHE. 84,08 − 146,04 − 178,44 − 143,05 − 29,01 − Momen os lec o es de [kN m] ⋅ cálculo Es ue zos co an es de [kN] cálculo 67,58 100,64 132,65 157,44 − 179,95 58,02 168,19 − PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 4 ano, que se alcanza en la sección donde el co an e es nulo. Vano nº1 Vano nº2 Voladizo d V 132,65 58,02 x = − ⋅ 2 d M 84,08 132,65 x 29,01 x = − + ⋅ − ⋅ d V 179,95 58,02 x = − ⋅ 2 d M 178,44 179,95 x 29,01 x = − + ⋅ − ⋅ d V 58,02 58,02 x = − ⋅ 2 d M 29,01 58,02 x 29,01 x = − + ⋅ − ⋅ TABLA 2 2.2 Cálculo de los ecub imien os Al igual que el P oblema 08-003 adop amos los ecub imien os 1 2 d d 5,5cm = = 3. COMPROBACIÓN DE LA SECCIÓN DE HORMIGÓN Pa a que no se p oduzca el ago amien o po comp esión oblicua en el alma, se iene que cumpli , en ausencia de es ue zo o so , y pa a las secciones si uadas a pa i de la ca a del apoyo : d u1 cd V V 0,30 b d ≤ = ⋅ ⋅ ⋅ Teniendo p esen e que odas las igas ienen la misma sección, sus i uyendo alo es se ob iene: u1 cd u1 V 0,30 b d 0,30 14,2 0,30 0,445 V 567,37 kN = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = Como po o o lado enemos que: d V 179,95 kN ≤ 3 esul a que se cumple es a comp obación. 3 Téngase p esen e que la comp obación con el co an e V d hay que hace la a pa i de la ca a del apoyo, y po lo an o es e co an e es in e io al máximo que se p oduce a eje de pila es. Es ue zos co an es de [kN] cálculo 132,65 157,44 − 179,95 58,02 168,19 − 121,05 145,84 − 168,35 156,56 − 46,42 PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 5 4. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA LONGITUDINAL Los es ue zos a conside a pa a el cálculo de la a madu a longi udinal, de nue o en ausencia de es ue zo o so , son el momen o lec o y el co an e (dep eciamos el es ue zo axil debido a su pequeña impo ancia, es ando además del lado de la segu idad). La in luencia del es ue zo co an e la amos a ene en cuen a desplazando la ley de momen os lec o es una can idad, del lado de la segu idad, igual al can o ú il de la sección de la iga en el sen ido más des a o able. Así pues, el único es ue zo a conside a a a se el momen o lec o . 4.1 Es ue zos en las secciones c í icas Es as secciones c í icas son, pa a cada uno de los anos, las co espondien es a los apoyos y la más solici ada en el ano. Los momen os lec o es a los que es án some idas es as secciones c í icas son los ob enidos del análisis es uc u al, y ienen ecogidos en las en ol en es es udiadas an e io men e. Además, hay que ene p esen e que el decalaje de las leyes de momen os lec o es puede hace que las secciones de los apoyos engan que sopo a un momen o lec o a posi i o, siemp e que es as secciones se encuen en del pun o de co e de la lexión posi i a a una dis ancia in e io al can o ú il de la iga. Pa a nues o p oblema, los pun os de co e de la lexión posi i a son:  Vano nº1  2d 2 d2 d 132,65 132,65 4 29,01 (84,08 M ) x0 2 29,01 M 84,08 132,65 x 29,01 x 132,65 132,65 4 29,01 (84,08 M ) x0 5 2 29,01 − + − − ⋅ ⋅ + = ⋅  = − + ⋅ − ⋅ ⇒+ − ⋅ ⋅ + = − ⋅  ℓ Pa a d x0 0,76 0,445 M 0 x0 1,19 0,445 − +  = > = ⇒ = >  x0 − x0 + d d I M I M D M D M V M V M PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 6  Vano º2  2d 2 d2 d 179,95 179,95 4 29,01 (178,44 M ) x0 2 29,01 M 178,44 179,95 x 29,01 x 179,95 179,95 4 29,01 (178,44 M ) x0 6 2 29,01 − + − − ⋅ ⋅ + = ⋅  = − + ⋅ − ⋅ ⇒+ − ⋅ ⋅ + = − ⋅  ℓ Pa a d x0 1,24 0,445 M 0 x0 1,04 0,445 − +  = > = ⇒ = >  Una si uación pa ecida sucede en los oladizos, donde el decalaje de la ley de momen os lec o es hace que en el ex emo del mismo, se enga que sopo a un momen o lec o , que es el co espondien e a una dis ancia d del ex emo. En nues o p oblema: ex emo x 1 0,445 0,555 m M 5,74 kN m = − = ⇒ = − ⋅ Po lo an o las secciones c í icas, con sus co espondien es momen os lec o es de cálculo a conside a , son las que se mues an en la siguien e igu a: 4.2 Cálculo de los alo es lími es De la Ficha 07 ob ienen: ξ lím = 0,668 ν lím = 0.534 µ lím = 0.392 o bien analí icamen e: 84,08 − 146,04 − 178,44 − 143,05 − 29,01 − Momen os lec o es de [kN m] ⋅ cálculo 67,58 100,64 0,76 1,19 1,24 1,04 5,74 − d I M ex emo M x PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 7 ( ) lim lim lim 3lim lim yd 0,80 1 0,80 1 0,4 1 1,43 10 − ν = ⋅ξ  ξ = ⇒ µ = ⋅ξ ⋅ − ⋅ξ + ⋅ ⋅  4.3 Cálculo de las cuan ías lími es (Ficha 06: cuan ías lími es) Como las secciones de odos los anos son las mismas, las cuan ías lími es coincidi án ambién pa a odos los anos. A madu as mínimas geomé icas 2 s1 c s1 2 s2 s1 s2 3,3 Tipo de ace o: B400S A A A 4,95 cm 1000 Tipo de elemen o es uc u al: iga A 0,30 A A 1,49 cm ≥⇒≥  ⇒   ≥ ⋅ ⇒≥  A madu as mínimas mecánicas 2 cd s1 s1 yd b h A 0,04 A 2,44cm ⋅ ⋅ ≥⇒≥ d s2 s2 yd N A 0,05 A in e io a la cuan ía mínima geom é ica ≥⇒4 A madu as mínimas de ini i as: Finalmen e, las a madu as mínimas se án: 2 s1 2 s2 A 4,95 cm A 1,49 cm ≥ ≥  A madu as máximas: 2 s2,máx s1,máx c s2,máx s1,máx A A 0,04 A A A 60cm = = ⋅ ⇒= = 4.4 A madu as de cálculo en las secciones c í icas Vano nº1 • I I 1 2cd M M 84,08 kN m 0,100 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 4 En las igas, donde el es ue zo axil es muy pequeño, puede p escindi se de ealiza es a comp obación. PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 8 • ( ) 2 s2 1 lim 2 1 1 s1 0 A 0 1,25 1 1 2 0,132 0,8 0,105 A 5,73cm ω = ⇒=   µ < µ ⇒ξ = ⋅ − − ⋅µ = ⇒ω = ⋅ξ = ⇒=   V V 1 2cd M M 67,58 kN m 0,080 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,105 0,084 A 4,56cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  • D D 1 2cd M M 146,04 kN m 0,174 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,240 0,192 A 10,44cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  Vano nº2 • I I 1 2cd M M 178,44 kN m 0,212 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,301 0,241 A 13,11cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  • V V 1 2cd M M 100,64 kN m 0,120 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,160 0,128 A 6,95cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  • D D 1 2cd M M 143,06 kN m 0,170 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,234 0,188 A 10,20cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  Voladizo • I I 1 2cd M M 29,01kN m 0,034 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,044 0,035 A 1,91cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  • I ex emo 1 2cd M M 5,74 kN m 0,007 b d = ⋅ ⇒ µ = = ⋅ ⋅ PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 9 2 s2 1 lim 2 1 s1 0 A 0 0,009 0,007 A 0,37cm ω = ⇒=  µ < µ ⇒ξ = ⇒ω = ⇒=  En la igu a siguien e se mues a un esumen con las a madu as de cálculo en las dis in as secciones c í icas. 4.5 A madu as necesa ias Teniendo en cuen a las cuan ías mínimas, y la can idad de ace o que hay p olonga desde el ano has a los apoyos, las a madu as necesa ias en cada una de las secciones c í icas son las que se mues an en la siguien e igu a: 4.6 Esquema de a mado A pa i de las necesidades de a mado en las secciones c í icas se decide ealiza el siguien e esquema de a mado: 5,73 0 4,56 10,44 13,11 6,95 10,20 1,91 0 0 0 0 0 0 0,37 0 5,73 1,49 4,95 10,44 13,11 6,95 10,20 4,95 1,49 1,49 1,49 1,49 1 3 1 4 1 4 1 4 1,65 1,24 1,49 1,49 1,74 1,74 PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 10 4.7 Pun os de co es Pa a la de e minación de los pun os de co e que se ealizan en el esquema an e io , necesi amos calcula los siguien es momen os de ago amien o (pa a la ob ención de es os momen os de ago amien o no se conside an las a madu as de comp esión): Momen os de ago amien o Vano nº 1 Co e 1 y 1’: 2∅10. ( ) s1 yd 21 s1 1 cd 2 1 u 1 cd A A 1,57cm 0,029 0,036 b d 0,80 0,80 1 0,4 0,028 M b d 23,96 kN m ⋅ ω =⇒ω = = ⇒ξ = = ⇒ ⋅ ⋅ ⇒µ = ⋅ξ − ⋅ξ = ⇒= µ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Co e 2’: 2∅10 + 2∅20. 2 10 (1,57) ∅ 4 12 (4,52) ∅ 2 20 (6,28) ∅ 2 10 (1,57) ∅ 2 20 (6,28) ∅ 2 12 (2,26) ∅ 2 12 (2,26) ∅ 3 12 (3,39) ∅ 3 16 (6,03) ∅ 2 20 (6,28) ∅ 1 1' 2' 3 3' 4 4' 5 6 6' 8 1 20 (3,14) ∅ 5' 7 1,49 1,49 1,74 2 10 (1,57) ∅ 5,73 1,57 4,16 − = 4 12 (4,52) ∅ 13,11 1,57 11,54 − = 4 20 (12,57) ∅ 1,49 2 10 (1,57) ∅ 10,20 1,57 8,63 − = 3 20 (9,42) ∅ 2 12 (2,26) ∅ 1,65 1,49 1,74 2 12 (2,26) ∅ 2 12 (2,26) ∅ 2 10 (1,57) ∅ 4,95 2,26 2,69 − = 6,95 2,26 4,69 − = 3 12 (3,39) ∅ 3 16 (6,03) ∅ PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 17 5. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA TRANSVERSAL Pa a que no se p oduzca el ago amien o po acción oblicua en el alma se iene que cumpli , en ausencia de es ue zo o so , y pa a las secciones si uadas a pa i de un can o ú il 6 de la ca a del apoyo : d u2 cu su V V V V ≤ = + donde: V cu : con ibución del ho migón. V su : con ibución de la a madu a ans e sal de la pieza. Como el co an e no es cons an e a lo la go de las igas, di idimos es as en es zonas, al y como se mues a en la igu a siguien e 7 : su ensión has a alcanza el lími e elás ico, és a debe ía de ancla se a pa i de es e pun o con su longi ud básica y no con la ne a. 6 Can o ú il de la iga que es amos es udiando 7 Po simplicidad en el dibujo, se ha ep esen ado el co an e esis ido po el ho migón, V cu , con alo cons an e, aunque en gene al, como sucede en es e p oblema, no lo se á, al se unción de la cuan ía de la a madu a longi udinal de acción. 1,11 1,71 1,04 0,62 1,05 1,88 1,78 1,21 0,98 0,78 1,11 2 10 ∅ 4 12 ∅ 2 20 ∅ 2 10 ∅ 2 20 ∅ 2 12 ∅ 2 12 ∅ 3 12 ∅ 3 16 ∅ 2 20 ∅ 1 20 ∅ 0,11 0,08 0,62 0,76 0,15 0,15 0,21 0,15 0,15 0,27 0,15 b ≥ ℓ b ≥ ℓ b ≥ ℓ PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 18 su,mín V cu V su,mín V d apoyo izq L d apoyo de L ano L h 2 h 2 d1 V d2 V su,Izq d1 cu Zona cubie a con es ibos de V V V = − su,De d2 cu Zona cubie a con es ibos de V V V = − d cu su,mín Zona cubie a con es ibos mínimos V V V≤ + cu V su,Izq V su,De V  Vano. En es a zona los es ue zos co an es son pequeños y dispond emos la cuan ía mínima es ablecida po la Ins ucción EHE. Es a cuan ía mínima esis e un co an e V su,mín , que jun o con el co an e que esis e el ho migón en dicha zona ( unción de la a madu a longi udinal de acción dispues a en es a zona) de e mina la ex ensión de la misma, L ano .  Apoyos. Co esponde a las dos zonas ex emas de la iga, donde la cuan ía mínima puede no se insu icien e pa a cub i el es ue zo co an e de cálculo. La comp obación se ealiza a pa i de un can o ú il de la ca a del sopo e, aunque la a madu a ob enida se p olonga has a dicha ca a. Finalmen e, como según EHE (A . 44.2.3.4.1) debe p olonga se la colocación de la a madu a ans e sal una longi ud igual a medio can o de la pieza, más allá de la sección en la que eó icamen e deja de se necesa ia, las longi udes que aba can las es zonas indicadas an e io men e son las que se indican en la igu a an e io . 5.1 Cálculo de la con ibución del ho migón En secciones ec angula es (b=b 0 ), suponiendo e 45º θ = θ = (β=1), la con ibución del ho migón a la esis encia a es ue zo co an e, pa a una sección ec angula , iene dada po : 1 3 cu c cd c 0,15 V (100 ) 0,15 ' b d   = ⋅ξ⋅ ⋅ρ ⋅ + ⋅σ ⋅   γ   ℓ donde:  200 1 d ξ = + con d en mm. Al ene odas las igas la misma sección, es e pa áme o ale pa a odas ellas: 1,67 ξ = PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 19  c esis encia e ec i a del ho migón a co an e en N/mm 2 de alo c = ck con ck no mayo de 15 N/mm 2 en el caso de con ol indi ec o de la esis encia del ho migón.  cd ' σ ensión e ec i a en la sección (posi i a si es de comp esión): d cd c N ' A σ = N d Es ue zo axil de cálculo (posi i o si es de comp esión). A c Á ea o al de la sección de ho migón. Al ene N d =0 en odas las igas, es e pa áme o ale pa a odas ellas: cd ' 0 σ =  ρ ℓ Cuan ía geomé ica de la a madu a longi udinal accionada anclada a una dis ancia igual o mayo que d (can o ú il de la iga) a pa i de la sección de es udio: s 0 A b .d ρ = > ℓ 0,02 Como en las zonas de apoyo comen adas an e io men e la a madu a longi udinal de acción no es cons an e, pa a pode de e mina la con ibución del ho migón a la esis encia a co an e en es as zonas, enemos que dis ingui dis in os amos en las mismas, según la a madu a longi udinal de acción exis en e. De es a o ma los amos a conside a son los indicados en la igu a siguien e, donde, además, se han indicado los co an es máximos en dichos amos. b,ne a ℓ b,ne a ℓ b,ne a ℓ b,ne a ℓ d d 45º 45º 45º 45º d d d d PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 20 Pa a la zona de ano la a madu a longi udinal que conside amos pa a la de e minación del co an e abso bido po el ho migón, cu ano V , es únicamen e la co espondien e al mon aje in e io (a madu a que se ex iende a lo la go de oda la iga), ya que con es e co an e y el abso bido po la cuan ía mínima ans e sal, nos pe mi e de e mina la ex ensión de es a zona. Si conside ásemos la a madu a de e ue zo en ano pa a de e mina cu ano V , y de e minamos con ella la ex ensión de la zona de ano, end emos que comp oba pos e io men e que dicha a madu a de e ue zo se ex iende en oda es a zona. Los alo es de V cu pa a los dis in os amos son los calculados en la siguien e abla: 0,51 0,94 0,22 1,22 1,64 1,03 0,83 0,39 1,59 1,39 0,19 2 10 ∅ 4 12 ∅ 2 20 ∅ 2 10 ∅ 2 20 ∅ 2 12 ∅ 2 12 ∅ 3 12 ∅ 3 16 ∅ 2 20 ∅ 1 20 ∅ x x x ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ 95,2 132,65 102,9 − 120,0 − 157,44 − 179,95 142,5 0,645 4,06 4,355 0,645 1,03 5,17 5,355 0,645 120,2 120,0 − 130,7 − 168,19 − 58,02 20.6 0,09 PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 21 Vano nº1 Zona T amo 200 1 d ξ = + A s s 0 A b .d ρ = > ℓ 0,02 N d [kN] d cd c N ' A σ = [kN/mm 2 ] V cu, amo [kN] Apoyo Izq. ➊ 1,67 2∅10 1,57 cm 2 0,0012 0 0 32,0 Vano 2∅12 2,26 cm 2 0,0017 36,1 Apoyo De . ➊ 2∅10 1,57 cm 2 0,0012 32,0 ➋ 2∅10+2∅20 7,85 cm 2 0,0059 54,6 Vano nº2 Zona T amo 200 1 d ξ = + A s s 0 A b .d ρ = > ℓ 0,02 N d [kN] d cd c N ' A σ = [kN/mm 2 ] V cu, amo [kN] Apoyo Izq. ➌ 1,67 2∅10 1,57 cm 2 0,0012 0 0 32,0 ➍ 2∅10+2∅20 7,85 cm 2 0,0059 54,6 Vano 2∅12 2,26 cm 2 0,0017 36,1 Apoyo De . ➌ 2∅10 1,57 cm 2 0,0012 32,0 ➎ 2∅10+2∅20 7,85 cm 2 0,0059 54,6 Voladizo Zona T amo 200 1 d ξ = + A s s 0 A b .d ρ = > ℓ 0,02 N d [kN] d cd c N ' A σ = [kN/mm 2 ] V cu, amo [kN] Apoyo Izq. ➏ 1,67 2∅10 1,57 cm 2 0,0012 0 0 32,0 PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 22 5.2 Cálculo de la a madu a ans e sal 5.2.1 Cuan ías mínimas. A madu a ans e sal en anos.  La cuan ía mínima de las a madu as ans e sales debe se al que cumpla la elación: y ,d c ,m 0 A b sen 7,5 α α ⋅ ≥ ⋅ α ∑ con: • c ,m : esis encia media a acción del ho migón, de alo : 2 3 2 c ,m ck ck 0,30 pa a 50N mm = ≤ Pa a 90º α = y sección de ho migón ec angula queda: 2 c ,m 90 90 y90,d b cm A A 2,95 7,5 m ⋅ ≥⇒≥ ⋅  Po o o lado la sepa ación máxima en e es ibos debe cumpli la mínima de las condiciones siguien es: s 0,75 d≤ ⋅ > d u1 d 1 60 cm si V V s 33cm si V 113,5 5 ≤ ⇔ ≤ ≤ s 0,6 d≤ ⋅ > u1 d u1 d 1 2 45cm si V V V s 26 cm si 113,5 V 378,2 5 3 < ≤ ⇔ ≤ < ≤ s 0,3 d≤ ⋅ > u1 d d 2 30 cm si V V s 13cm si 378,2 V 3 < ⇔ ≤ < 5.2.2 A madu a ans e sal en apoyos Vano nº1 Zona amo d V [kN] V cu [kN] su cu d V V V= − [kN] cu d 90 amo y90,d V V A0,9 d − =⋅ ⋅ [cm 2 /m] 90 A [cm 2 /m] A m. T ans . Apoyo Izq. ➊ 95,2 32,0 63,3 4,54 4,54 c∅8/22 (4,57 cm 2 /m) Apoyo De ➊ 102,9 32,0 71,0 5,09 5,09 c∅8/19 (5,29 cm 2 /m) ➋ 120,0 54,6 65,1 4,69 PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 23 Vano nº2 Zona amo d V [kN] V cu [kN ] su cu d V V V= − [kN] cu d 90 amo y90,d V V A0,9 d − =⋅ ⋅ [cm 2 /m] 90 A [cm 2 /m ] A m. T ans . Apoyo Izq. ➌ 120,2 32,0 88,2 6,33 6,33 1c∅8/15 (6,67, cm 2 /m) ➍ 142,5 54,6 87,9 6,31 Apoyo De ➌ 120,0 32,0 88,1 6,32 6,32 1c∅8/15 (6,67, cm 2 /m) ➎ 130,7 54,6 76,1 5,46 Voladizo Zona amo d V [kN] V cu [kN] su cu d V V V= − [kN] cu d 90 amo y90,d V V A0,9 d − =⋅ ⋅ [cm 2 /m] 90 A [cm 2 /m] A m. T ans . Apoyo Izq. ➏ 20,6 32,0 < 0 Cuan ías mínimas 2,95 1c∅8/30 8 (3,33 cm 2 /m) 5.3 Longi ud de las zonas de a mado ans e sal La zona de ano donde se ex iende la a madu a mínima ans e sal co esponde a la que e i ica la desigualdad: u2, ano d VV ≤ donde: u2, ano cu, ano su,mín V V V= + Los alo es del co an e abso bido po el ho migón en la zona de ano ue on de e minados con an e io idad en el apa ado 5.1. Po lo an o necesi amos de e mina su,mín V , que co esponde con el co an e abso bido po la a madu a ans e sal mínima: 8 La cuan ía mínima de 2,95 cm 2 /m la podemos cub i con c∅6 a 19 cm (2,98 cm 2 /m). No obs an e, como hemos op ado po dispone el mismo mon aje en el ano nº2 y el oladizo, con obje o de mon a la a madu a longi udinal con una misma jaula, se ha op ado po pone , al igual que en el ano nº2, ce cos de diáme o 8 a la sepa ación máxima pe mi ida. u2, ano V u2, ano V apoyo izq L apoyo de L ano L h 2 h 2 x − x + c h 2 c h 2 c h : Can o de la iga h : Can o del sopo e PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 24 su,mín 90,mín y90,d V 0,9 d A = ⋅ ⋅ ⋅ La a madu a as e sal mínima se á la mayo en e la de e minada an e io men e en el apa ado 5.2.1, y la que co esponde al ipo de es ibo empleado en la iga, si uado a la sepa ación máxima pe mi ida. En la abla siguien e se de e mina es a a madu a ans e sal mínima: Viga c ,m 90 y90,d b A7,5 ⋅ ≥⋅ [cm 2 /m] Nº amas n Diáme o es ibo ∅ [mm] Sepa ación Máxima  s [m] 2 90,mín n 4 As π⋅∅ ⋅ = [cm 2 /m] 90,mín A [cm 2 /m] Vano nº1 2,95 2 8 30 3,35 3,35 Vano nº2 2,95 2 8 30 3,35 3,35  Se ha limi ado la sepa ación máxima a s ≤ 30 cm. al y como es ablecía la ins ucción EHE-98. Es a limi ación ambién la es ablece la EHE-08 cuando exis e a madu a longi udinal necesa ia po comp esión. Pa a es a a madu a mínima, el co an e que p o oca el ago amien o po acción en el alma en la zona de ano es: Viga 90,mín A [cm 2 /m] su,mín V [kN] cu, ano V [kN] u2, ano V [kN] Vano nº1 3,35 46,7 36,1 82,8 Vano nº2 3,35 46,7 36,1 82,8 Obse amos que el co an e u2,mín V es in e io a 113,5 kN, y po lo an o la sepa ación máxima, s 30 cm = , empleada en la de e minación de la cuan ía mínima de a madu a as e sal es co ec a. La zona donde eó icamen e el co an e puede se sopo ado po la cuan ía mínima iene dada po pun os:  Vano nº1 d u2, ano d d u2, ano V V x 0,86 m x 0,86 m V 132,65 58,02 x V V x 3,09 m x 1,91m − + =⇒=⇒=  = − ⋅ = − ⇒=⇒=    Vano nº2 d u2, ano d d u2, ano V V x 1,68 m x 1,68 m V 179,96 58,02 x V V x 3,91m x 2,09 m − + =⇒=⇒=  = − ⋅ = − ⇒=⇒=   Finalmen e las longi udes que aba can las dis in as zonas de a mado ans e sal se án:  Vano nº1 c apoyo izq apoyo izq h h 0,40 0,50 L x 0,86 L 0,91m 2 2 2 2 − = − + = − + ⇒= ano ano L L (x x ) h 5 (0,86 1,91) 0,50 L 1,73 m − + = − + − = − + − ⇒= PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 25 c apoyo de apoyo izq h h 0,40 0,50 L x 1,91 L 1,96 m 2 2 2 2 + = − + = − + ⇒=  Vano nº2 c apoyo izq apoyo izq h h 0,40 0,50 L x 1,68 L 1,73 m 2 2 2 2 − = − + = − + ⇒= ano ano L L (x x ) h 6 (1,68 2,09) 0,50 L 1,73m − + = − + − = − + − ⇒= c apoyo de apoyo izq h h 0,40 0,50 L x 2,09 L 2,14 m 2 2 2 2 + = − + = − + ⇒= El esquema de a mado ans e sal es el que se mues a en la siguien e igu a: Finalmen e en la página siguien e se mues a el esquema de a mado longi udinal y ans e sal de ini i o. 0,86 5x1c 8/22 ∅ 6x1c 8/ 30 ∅ 11x1c 8/19 ∅ 12x1c 8/15 ∅ 15x1c 8/15 ∅ 6x1c 8/ 30 ∅ 3x1c 8/30 ∅ 0,50 2 0,50 2 0,50 2 0,50 2 0,40 0,40 0,40 0,91 1,73 1,96 1,91 1,68 1,73 1,73 2,14 2,09 0,76 u2, ano V 82,8 kN = u2, ano V 82,8 kN = u2, ano V 82,8 kN = u2, ano V 82,8 kN = PROBLEMA 17-001 PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Pág. 26