Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno
CONTENIDO:
1. In oducción ............................................................................................................................. 2
2. Respues a seccional. Diag amas de in e acción ......................................................................... 3
3. Dimensionamien o .................................................................................................................... 9
3.1 Empleo de los diag amas de in e acción ............................................................................. 10
4. Comp obación ........................................................................................................................ 10
4.1 Empleo de los diag amas de in e acción ............................................................................. 10
Tema 09:
Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a
lexo-comp esión ec a
Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09
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1. INTRODUCCIÓN
En el ema 8 hemos esuel o el p oblema del cálculo de secciones ec angula es some idas a lexo-
comp esión ec a. Se hizo un plan eamien o analí ico en base a las ecuaciones de compa ibilidad,
compo amien o
1
y inalmen e equilib io. El conjun o de es as ecuaciones nos pe mi ía conoce la
espues a seccional de la es uc u a, Ru (Nu y Mu), que e a unción de:
u u s1 s2 cd yd
R R (A ,A ,x, , ,b,h)
y que as adimensionaliza , si deno amos a la epues a adimensional po u (u y u), quedaba educida
a:
u u 1 2
( , , )   
2
Podían p esen a se dos p oblemas:
 Dimensionamien o
En es e caso se conoce el e ec o de las acciones, o solici aciones, Sd (Nd y Md), que en
adimensional queda, sd (d y d)
3
, y se p e ende de e mina las a madu as necesa ias pa a que la
sección esis a (no se alcance el es ado lími e). Al hace
ud
s
se ob enían dos ecuaciones con es incógni as
12
( , , )  
, esul ando se , po lo an o, un
p oblema inde e minado con in ini as soluciones. Finalmen e, la solución la ob eníamos
con el c i e io de ob ene la más económica, en el sen ido de ap o echa al máximo los dos
ma e iales, an o el ace o como el ho migón, ob eniendo de es a o ma cuan ías dis in as
pa a la a madu a in e io , 1, y supe io , 2.
 Comp obación
En es e caso se conoce ín eg amen e la sección de ho migón a mado
s1 s2 cd yd
(A ,A , , ,b,h)
y el
e ec o de las acciones, sd (d y d), y lo que se p e ende es comp oba que la espues a seccional u
(u y u) es supe io al e ec o de las acciones sd (d y d):
ud
s
es deci , nues o p oblema es de e mina la espues a seccional, u (u y u), que en es e
caso, al se conocidas las cuan ías
1

y
2

, es únicamen e unción de la p o undidad de la
ib a neu a

. Exis e po lo an o, al igual que en el p oblema de dimensionamien o,
in ini as soluciones, es deci , exis en in ini os pa es
uu
( , )
que p o ocan el ago amien o
de la sección
4
. Como e emos pos e io men e, al luga geomé ico de es e conjun o in ini o
de soluciones se le denomina cu a de in e acción de la sección. Finamen e pa a ob ene
una única solución, había que impone una de las condiciones siguien es:
 Comp oba con el axil de cálculo dado.
1
Pa a el caso del ho migón se empleó el diag ama ec angula .
2
En ealidad ambién depende de yd, a a és de los alo es de las ensiones adimensionales . Pe o como se io
en el ema 7, exis e un g an ango de alo es de  pa a los cuales 1 y 2 alcanzan el alo unidad
independien emen e del ipo de ace o empleado. Es en es a zona, que además es la más in e esan e desde el
pun o de is a del cálculo de secciones, donde la espues a seccional es independien e del ipo de ace o.
3
Con d y d que emos indica los es ue zos (axil y momen o lec o ) de cálculo adimensionales, aunque la
no ación empleada en los emas an e io es haya sido pa a el axil  y pa a el momen o lec o 1 ó 2 según
es u iese e e ido a la a madu a in e io o supe io espec i amen e.
4
Únicamen e en el caso de lexión simple, donde el axil de ago amien o iene que se nulo,
u0
, exis e
solución única al ene que cumpli el plano de de o mación (o lo que es lo mismo la p o undidad de la ib a
neu a) es a condición de esul an e nula.
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Se hacía
ud
  
y se calculaba el momen o de ago amien o
u

. Si
du
  
la sección se
encuen a en buenas condiciones de segu idad, y no se alcanza el es ado lími e.
 Comp oba con el momen o de cálculo dado.
Se hacía
ud
  
y se calculaba el axil de ago amien o
u

. Si
du
  
la sección se encuen a
en buenas condiciones de segu idad, y no se alcanza el es ado lími e.
 Comp oba con la excen icidad dada.
Se hacía
du
0
du

  

y se calculaba el axil de ago amien o
u

. El momen o de ago amien o
se á
u 0 u
   
. Si
du
  
, ambién se e i ica á que
du
  
, ya que si
d u d 0 u 0 d u
          
, y di emos que la sección se encuen a en buenas
condiciones de segu idad, y no se alcanza el es ado lími e.
La solución ob enida en el dimensionamien o, que en p incipio pa ece la más ace ada
a endiendo a c i e ios económicos, puede deja de se lo en de e minadas si uaciones, como
po ejemplo los sopo es. En es os elemen os es uc u ales, donde la lexión se puede p oduci
en ambos sen idos a lo la go de la ida ú il del elemen o, y a endiendo ambién a c i e ios
cons uc i os, la disposición de a madu as se suele ealiza simé ica a dos ó cua o ca as, o
incluso se emplean secciones ci cula es, como se mues a en la Fig. 1-1.
La sis emá ica a segui pa a esol e es os p oblemas es la misma que la empleada en el ema
8 pa a el caso de la sección ec angula , si bien el c i e io pa a esol e las ecuaciones
seccionales puede se dis in o del económico. En é minos gene ales el plan eamien o ha sido
ya conside ado en el ema 7, donde las hipó esis básicas son álidas pa a cualquie ipo de
sección.
2. RESPUESTA SECCIONAL. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
En lo que sigue amos a supone una sección que cumpla las siguien es condiciones ( e Fig. 2-1):
 La sección de ho migón a mado iene un eje de sime ía.
 Los es ue zos, axil y momen o lec o , ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la
di ec iz de la pieza.
A
A
A
A
A'
A'
A
A
A
A
Fig. 1-1
h
d
G
Y
2
d
1
d
N
M
3
d
n
d
Fig. 2-1
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En es a si uación, como se io en el ema 8, el eje neu o es pe pendicula al eje de sime ía de la
sección, y decimos que la sección es a solici ada a lexo-comp esión ec a. Cuando no se cumplan
es as condiciones, la solici ación se á es iada, y el plan eamien o de es e p oblema lo ealiza emos en
el ema siguien e.
La espues a seccional se ob iene, como habíamos hecho ya en el ema 7, a pa i de las ecuaciones de
compa ibilidad, compo amien o y equilib io. El p ocedimien o se ía el siguien e ( e Fig. 2-2, donde
po simplicidad se ha empleado pa a el ho migón el diag ama ec angula ):
 Pa a un plano de de o mación de ago amien o, de inido po la p o undidad de su ib a neu a, x,
u ilizando las ecuaciones de compa ibilidad, se de e minan las de o maciones de las dis in as ib as
de la sección:
cy (x)
y
si (x)
, donde:
cy(x)
: Es la de o mación de la ib a del ho migón si uada a una p o undidad y, que es unción de x
si(x)
: Es la de o mación de la a madu a si uada en la capa i, donde i = 1,...,n, que de nue o es
unción de x. Se conside a posi i a si es de comp esión.
Es as ecuaciones son las deducidas en el ema 7.
 A pa i de es as de o maciones, u ilizando las ecuaciones de compo amien o del ma e ial, se
ob ienen las ensiones de las dis in as ib as de la sección:
cy (x)
y
si (x)
, donde:
cy(x)
: Es la ensión de la ib a del ho migón si uada a una p o undidad y, que es unción de x. En el
caso pa icula de del diag ama ec angula es as ensiones se án cons an es y de alo :
cy cd

si(x)
: Es la ensión de la a madu a si uada en la capa i, donde i = 1,...,n, que de nue o es unción de
x. Se conside a posi i a si es de comp esión.
 Finalmen e la espues a seccional se á la esul an e de es as ensiones, que la ob enemos aplicando
un doble equilib io, p ime amen e calculando los es ue zos in e nos y inalmen e la esul an e de
es os es ue zos in e nos espec o al ba icen o de la sección de ho migón
5
.
Las esul an es de las ensiones de las dis in as capas de a madu as se án:
si si si
F (x) A (x) 
con i=1,...,n
aplicadas en el ba icen o de las mismas, y pa a el ho migón:
5
En es a si uación amos a ob ene la esul an e espec o al ba icen o de la sección de ho migón, aunque como
imos en el ema 7, pa a de e minados p oblemas, puede se más in e esan e ob ene la espues a seccional
espec o a algún o o pun o. En conc e o, pa a la esolución del p oblema de lexión con cuan ías óp imas, es e
pun o es el ba icen o de la a madu a in e io (de acción), mien as que pa a el de comp esión, es el ba icen o
de la a madu a supe io (más comp imida).
Fig. 2-2
0,8x
cc
A
cc
Y
G
Y
x
cd
0,85
cM

x
sn

s3

s2

s1

n
y
3
y
2
y
1
y
h
sn

s3

s2

s1

sn
F
s3
F
s2
F
s1
F
cu
N
u
N
u
M
De o maciones
Tensiones
Es ue zos
in e nos
u
Es ue zos de
Ago amien o
R
Plano de de o mación
x
Compa ibilidad
Compo amien o
Equilib io
cu
N
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cu cy cu cu
Á ea
comp imida
N (x) dA N N (x)    

que se á unción de la p o undidad de la ib a neu a po que an o las ensiones como el
á ea comp imida lo son, y es á aplicada a una p o undidad que end á dada po :
cy
Á ea
comp imida
cc cc cc
cu
(x) y dA
Y Y Y (x)
N
  
  

que de igual o ma es ambién unción de la p o undidad de la ib a neu a. Pa a el caso del
diag ama ec angula se iene:
cu cd cc
N A
Finalmen e, la esul an e de es os es ue zos ( espues a seccional) espec o del ba icen o de
la sección de ho migón se á:
n
u cu si si
i1
N N A

  

ci
cu
n
u cu G cc si si G i
i1
ZZ
M
M N (Y Y ) A (Y y )

      

donde Zc y Zi son los b azos mecánicos, espec o del ba icen o de la sección de ho migón, de la
esul an e del paque e de comp esiones en el ho migón y de las dis in as capas de a madu as,
espec i amen e.
De la deducción an e io se desp ende que la espues a seccional es unción de:
 La sección de ho migón a mado, a a és de los siguien es pa áme os
 Geome ía de la sección de ho migón (ancho y can o de la sección ec angula , diáme o de la
sección ci cula , ...). La dependencia iene a a és de la exp esión de la esul an e del paque e
de comp esiones y su pun o de aplicación
 Del ipo de ho migón. La dependencia iene a a és de su esis encia cd, que a ec a al alo de
la esul an e del paque e de comp esiones.
 Disposición de a madu as y de la sección de és as. Es a dependencia apa ece de o ma explíci a
a a és de
si
A
e
i
y
.
 Del ipo de ace o. Es a dependencia apa ece de o ma explíci a a a és de
si

.
 La p o undidad de la ib a neu a. Como se ha is o an e io men e
cu
N
,
cc
Y
y
si

dependen de
es e pa áme o.
Con obje o de educi los pa áme os que in e ienen en es a espues a, y al mismo iempo hace que
és a sea álida pa a secciones semejan es, se ealiza la adimensionalización de la o ma
6
:
u cu i i
nsi yd
u cu si
i1
c cd c cd c cd yd
A
NN
A A A

   


  

6
Se a a u iliza como a iables de adimensionalización
c cd
A 
y
c cd
A h 
. En secciones con o mas
especiales puede se in e esan e, en unción del aspec o que p esen en es as ecuaciones, elegi o as a iables
pa a ealiza la adimensionalización.

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cc
G G i
u cu i i
cu
cu c cd
nsi yd
u cu G cc si G i
i1
c cd c cd c cd yd
M
A h
A
M N Y Y Y y
A h A h h A h h


  
   
 
   

   
     
   
   
   
   

que u ilizando a iables adimensionales, queda:
n
u cu i i
i1
     

cu
n
u cu G cc i i G i
i1
( ) ( )


            

donde:
u
u
c cd
N
A
 
: Es el axil de ago amien o educido o adimensional
u
u
c cd
M
A h
 
: Es el momen o de ago amien o, espec o al ba icen o de la sección de ho migón,
educido o adimensional
cu
cu
c cd
N
A
 
: Es la esul an e del paque e de comp esiones en el ho migón educido o adimensional
cu
cu
c cd
M
A h
 
: Es el momen o esul an e del paque e de comp esiones, espec o al ba icen o de la
sección de ho migón, educido o adimensional
si yd
i
c cd
A
A

 
: Es la cuan ía mecánica en la capa i, con i = 1,...,n.
si
i
yd


: Es la ensión educida o adimensional de las a madu as de la capa i, con i = 1,...,n.
G
G
Y
h

: P o undidad educida o adimensional del cen o de g a edad de la sección de ho migón.
cc
cc
Y
h

: P o undidad educida o adimensional del pun o de aplicación de la esul an e de
comp esiones en el ho migón.
Fig. 2-3

cc


1
cM

sn

s3

s2

s1

n

3

2

1

1
n

3

2

1

nn
 
cu

u

u

De o maciones
Tensiones
Es ue zos
in e nos
u
Es ue zos de
Ago amien o
Plano de de o mación

Compa ibilidad
Compo amien o
Equilib io
cu

G


33
 
22
 
11
 
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i
i
y
h

: P o undidad educida o adimensional de la capa de a madu as i, con i = 1,...,n..
x
h

: P o undidad de la ib a neu a educida o adimensional.
y
h

: P o undidad del paque e de comp esiones adimensional.
Si se ija una de e minada ipología de sección, como po ejemplo alguna de las indicadas en la Fig. 2-
4, esul a que la espues a seccional adimensional, u, es solo unción de las cuan ías
1

,
2

, ... ,
n

y
de la p o undidad de la ib a neu a, ; es deci ,
u u 1 2 n
( , ,..., , )    
7
. Si además se ija que las
cuan ías
1

,
2

,...,
n

ienen que cumpli alguna condición ( al como se indica en la Fig. 2-4), esul a
inalmen e que la espues a seccional es únicamen e unción de dos únicos pa áme os, la cuan ía
mecánica o al,
o yd
c cd
A
A

 
, y la p o undidad de la ib a neu a, ; es deci :
uu
uu
uu
( , )
( , ) ( , )
    

       

7
Den o de la ipología de la sección de ho migón a mado es necesa io ija ambién el ipo de ace o, pa a, de
es a o ma, elimina de la espues a seccional la dependencia de las ensiones adimensionales i. Sin emba go no
es necesa io ija el ipo de ho migón.
Fig. 2-4
2
A
eh
eh
b
'eb
'eb
h
h
b
h
h
b
h
1
A
2
A
3
A
1
A
A
A
h
h
A
1



1
1
h
h
2

3



1
1
1

2

3



1
1
1

2

e

e

'e

'e

'
ee
No a : Los pa áme os , y son cons an es  
Adimensionalización
1
2


1
1
1
2
1
3


1
1
2
3
3
8


1
1
3
8
1
4
3
8


1
1
3
8
1
4
e

e

'e

'e

12
  
12
2  
1 2 3
2 3 2    
1 2 3
2 3 2    
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Si se ija un de e minado alo de la cuan ía mecánica, , esul a que la espues a seccional es
únicamen e unción de la p o undidad de la ib a neu a, y ep esen a el conjun o in ini o de
si uaciones de ago amien o que puede alcanza la sección co espondien e. Si se ep esen a es e
conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o en un diag ama (, ), se ob iene una cu a que se
denomina cu a de in e acción, y es de la o ma que se mues a en la Fig. 2 -5.
Cada pun o del espacio (, ) co esponde con una solici ación, sd (d y d), ac uando sob e la sección.
La cu a de in e acción clasi ica es os pun os de la o ma:
 Los pun os que se encuen an en la zona somb eada co esponden con aquellas si uaciones donde
du
s 
y po lo an o co esponden con si uaciones donde la sección no se ago a (no se alcanza el
es ado lími e).
 Los pun os de la p opia cu a co esponden con aquellas si uaciones donde
du
s 
y po lo an o co esponden con si uaciones de ago amien o. Den o de és os se encuen an:
 La in e sección de la cu a de in e acción con el eje de o denadas (eje ), que co esponde a la
si uación de ago amien o en lexión simple, con
0
. Se obse a como al aumen a el axil de
ago amien o aumen a ambién el momen o de ago amien o, cuando el axil es pequeño.
 La in e sección de la cu a de in e acción con el eje de abscisas (eje ), que co esponde a la
si uación de ago amien o en comp esión simple, con
0
.
 El es o de pun os (zona no somb eada) donde
du
s 
co esponden con si uaciones no alcanzables po la sección, ya que an es de alcanza un
pun o de és os, la sección debe alcanza una si uación de ago amien o.
Si en un mismo diag ama se ep esen an las dis in as cu as de in e acción que se ob ienen al hace
a ia la cuan ía geomé ica, el diag ama esul an e ecibe el nomb e de diag ama de in e acción. En la
Fig. 2 -5
Ago amien o en
lexión simple
Ago amien o en
comp esión simple


uu
( )  
C e
LA SECCIÓN
NO
SE AGOTA
b
h
h
h
A
A
yd
C e
C e


d
c cd
N
A
 
d
c cd
M
A h
 
o yd
c cd
A
A

 
TIPO DE SECCIÓN
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Fig. 2-6 se ep esen a uno de es os diag amas
8
, que es álido pa a oda sección de ho migón a mado
semejan e a la que se mues a en la pa e supe io de echa; es deci pa a aquella que cumpla las
siguien es ca ac e ís icas:
 La sección de ho migón es ec angula
 La disposición de a madu as es simé ica a dos ca as, con ecub imien os de
0,15 h
, donde h es el
can o de la sección
 El ipo de ace o de las a madu as es de du eza na u al y cumple además la condición:
yk
22
kp kp
4.000 5.000
cm cm

Fig. 2-6
3. DIMENSIONAMIENTO
Como se ha comen ado an e io men e en el p oblema de dimensionamien o se conoce el e ec o de las
acciones, sd (d y d), y se p e ende de e mina las a madu as necesa ias pa a que la sección esis a (no
se alcance el es ado lími e), lo cual se consigue es ic amen e imponiendo la condición:
¡E o ! No se pueden c ea obje os modi icando códigos de campo.
Es e plan eamien o implica esol e un sis ema de dos ecuaciones, que end á solución cuando en el
mismo únicamen e engamos dos incógni as.
8
Ha sido omado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án
Cab é, que en su omo 2 p esen a un comple ísimo juego de ábacos.