Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión recta

Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno CONTENIDO: 1. In oducción ............................................................................................................................. 2 2. Respues a seccional. Diag amas de in e acción ......................................................................... 3 3. Dimensionamien o .................................................................................................................... 9 3.1 Empleo de los diag amas de in e acción ............................................................................. 10 4. Comp obación ........................................................................................................................ 10 4.1 Empleo de los diag amas de in e acción ............................................................................. 10 Tema 09: Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 2 de 12 1. INTRODUCCIÓN En el ema 8 hemos esuel o el p oblema del cálculo de secciones ec angula es some idas a lexo- comp esión ec a. Se hizo un plan eamien o analí ico en base a las ecuaciones de compa ibilidad, compo amien o 1 y inalmen e equilib io. El conjun o de es as ecuaciones nos pe mi ía conoce la espues a seccional de la es uc u a, Ru (Nu y Mu), que e a unción de: u u s1 s2 cd yd R R (A ,A ,x, , ,b,h) y que as adimensionaliza , si deno amos a la epues a adimensional po u (u y u), quedaba educida a: u u 1 2 ( , , )    2 Podían p esen a se dos p oblemas:  Dimensionamien o En es e caso se conoce el e ec o de las acciones, o solici aciones, Sd (Nd y Md), que en adimensional queda, sd (d y d) 3 , y se p e ende de e mina las a madu as necesa ias pa a que la sección esis a (no se alcance el es ado lími e). Al hace ud s se ob enían dos ecuaciones con es incógni as 12 ( , , )   , esul ando se , po lo an o, un p oblema inde e minado con in ini as soluciones. Finalmen e, la solución la ob eníamos con el c i e io de ob ene la más económica, en el sen ido de ap o echa al máximo los dos ma e iales, an o el ace o como el ho migón, ob eniendo de es a o ma cuan ías dis in as pa a la a madu a in e io , 1, y supe io , 2.  Comp obación En es e caso se conoce ín eg amen e la sección de ho migón a mado s1 s2 cd yd (A ,A , , ,b,h) y el e ec o de las acciones, sd (d y d), y lo que se p e ende es comp oba que la espues a seccional u (u y u) es supe io al e ec o de las acciones sd (d y d): ud s es deci , nues o p oblema es de e mina la espues a seccional, u (u y u), que en es e caso, al se conocidas las cuan ías 1  y 2  , es únicamen e unción de la p o undidad de la ib a neu a  . Exis e po lo an o, al igual que en el p oblema de dimensionamien o, in ini as soluciones, es deci , exis en in ini os pa es uu ( , ) que p o ocan el ago amien o de la sección 4 . Como e emos pos e io men e, al luga geomé ico de es e conjun o in ini o de soluciones se le denomina cu a de in e acción de la sección. Finamen e pa a ob ene una única solución, había que impone una de las condiciones siguien es:  Comp oba con el axil de cálculo dado. 1 Pa a el caso del ho migón se empleó el diag ama ec angula . 2 En ealidad ambién depende de yd, a a és de los alo es de las ensiones adimensionales . Pe o como se io en el ema 7, exis e un g an ango de alo es de  pa a los cuales 1 y 2 alcanzan el alo unidad independien emen e del ipo de ace o empleado. Es en es a zona, que además es la más in e esan e desde el pun o de is a del cálculo de secciones, donde la espues a seccional es independien e del ipo de ace o. 3 Con d y d que emos indica los es ue zos (axil y momen o lec o ) de cálculo adimensionales, aunque la no ación empleada en los emas an e io es haya sido pa a el axil  y pa a el momen o lec o 1 ó 2 según es u iese e e ido a la a madu a in e io o supe io espec i amen e. 4 Únicamen e en el caso de lexión simple, donde el axil de ago amien o iene que se nulo, u0 , exis e solución única al ene que cumpli el plano de de o mación (o lo que es lo mismo la p o undidad de la ib a neu a) es a condición de esul an e nula. Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 3 de 12 Se hacía ud    y se calculaba el momen o de ago amien o u  . Si du    la sección se encuen a en buenas condiciones de segu idad, y no se alcanza el es ado lími e.  Comp oba con el momen o de cálculo dado. Se hacía ud    y se calculaba el axil de ago amien o u  . Si du    la sección se encuen a en buenas condiciones de segu idad, y no se alcanza el es ado lími e.  Comp oba con la excen icidad dada. Se hacía du 0 du      y se calculaba el axil de ago amien o u  . El momen o de ago amien o se á u 0 u     . Si du    , ambién se e i ica á que du    , ya que si d u d 0 u 0 d u            , y di emos que la sección se encuen a en buenas condiciones de segu idad, y no se alcanza el es ado lími e. La solución ob enida en el dimensionamien o, que en p incipio pa ece la más ace ada a endiendo a c i e ios económicos, puede deja de se lo en de e minadas si uaciones, como po ejemplo los sopo es. En es os elemen os es uc u ales, donde la lexión se puede p oduci en ambos sen idos a lo la go de la ida ú il del elemen o, y a endiendo ambién a c i e ios cons uc i os, la disposición de a madu as se suele ealiza simé ica a dos ó cua o ca as, o incluso se emplean secciones ci cula es, como se mues a en la Fig. 1-1. La sis emá ica a segui pa a esol e es os p oblemas es la misma que la empleada en el ema 8 pa a el caso de la sección ec angula , si bien el c i e io pa a esol e las ecuaciones seccionales puede se dis in o del económico. En é minos gene ales el plan eamien o ha sido ya conside ado en el ema 7, donde las hipó esis básicas son álidas pa a cualquie ipo de sección. 2. RESPUESTA SECCIONAL. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN En lo que sigue amos a supone una sección que cumpla las siguien es condiciones ( e Fig. 2-1):  La sección de ho migón a mado iene un eje de sime ía.  Los es ue zos, axil y momen o lec o , ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la di ec iz de la pieza. A A A A A' A' A A A A Fig. 1-1 h d G Y 2 d 1 d N M 3 d n d Fig. 2-1 Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 4 de 12 En es a si uación, como se io en el ema 8, el eje neu o es pe pendicula al eje de sime ía de la sección, y decimos que la sección es a solici ada a lexo-comp esión ec a. Cuando no se cumplan es as condiciones, la solici ación se á es iada, y el plan eamien o de es e p oblema lo ealiza emos en el ema siguien e. La espues a seccional se ob iene, como habíamos hecho ya en el ema 7, a pa i de las ecuaciones de compa ibilidad, compo amien o y equilib io. El p ocedimien o se ía el siguien e ( e Fig. 2-2, donde po simplicidad se ha empleado pa a el ho migón el diag ama ec angula ):  Pa a un plano de de o mación de ago amien o, de inido po la p o undidad de su ib a neu a, x, u ilizando las ecuaciones de compa ibilidad, se de e minan las de o maciones de las dis in as ib as de la sección: cy (x) y si (x) , donde: cy(x) : Es la de o mación de la ib a del ho migón si uada a una p o undidad y, que es unción de x si(x) : Es la de o mación de la a madu a si uada en la capa i, donde i = 1,...,n, que de nue o es unción de x. Se conside a posi i a si es de comp esión. Es as ecuaciones son las deducidas en el ema 7.  A pa i de es as de o maciones, u ilizando las ecuaciones de compo amien o del ma e ial, se ob ienen las ensiones de las dis in as ib as de la sección: cy (x) y si (x) , donde: cy(x) : Es la ensión de la ib a del ho migón si uada a una p o undidad y, que es unción de x. En el caso pa icula de del diag ama ec angula es as ensiones se án cons an es y de alo : cy cd  si(x) : Es la ensión de la a madu a si uada en la capa i, donde i = 1,...,n, que de nue o es unción de x. Se conside a posi i a si es de comp esión.  Finalmen e la espues a seccional se á la esul an e de es as ensiones, que la ob enemos aplicando un doble equilib io, p ime amen e calculando los es ue zos in e nos y inalmen e la esul an e de es os es ue zos in e nos espec o al ba icen o de la sección de ho migón 5 . Las esul an es de las ensiones de las dis in as capas de a madu as se án: si si si F (x) A (x)  con i=1,...,n aplicadas en el ba icen o de las mismas, y pa a el ho migón: 5 En es a si uación amos a ob ene la esul an e espec o al ba icen o de la sección de ho migón, aunque como imos en el ema 7, pa a de e minados p oblemas, puede se más in e esan e ob ene la espues a seccional espec o a algún o o pun o. En conc e o, pa a la esolución del p oblema de lexión con cuan ías óp imas, es e pun o es el ba icen o de la a madu a in e io (de acción), mien as que pa a el de comp esión, es el ba icen o de la a madu a supe io (más comp imida). Fig. 2-2 0,8x cc A cc Y G Y x cd 0,85 cM  x sn  s3  s2  s1  n y 3 y 2 y 1 y h sn  s3  s2  s1  sn F s3 F s2 F s1 F cu N u N u M De o maciones Tensiones Es ue zos in e nos u Es ue zos de Ago amien o R Plano de de o mación x Compa ibilidad Compo amien o Equilib io cu N Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 5 de 12 cu cy cu cu Á ea comp imida N (x) dA N N (x)      que se á unción de la p o undidad de la ib a neu a po que an o las ensiones como el á ea comp imida lo son, y es á aplicada a una p o undidad que end á dada po : cy Á ea comp imida cc cc cc cu (x) y dA Y Y Y (x) N        que de igual o ma es ambién unción de la p o undidad de la ib a neu a. Pa a el caso del diag ama ec angula se iene: cu cd cc N A Finalmen e, la esul an e de es os es ue zos ( espues a seccional) espec o del ba icen o de la sección de ho migón se á: n u cu si si i1 N N A      ci cu n u cu G cc si si G i i1 ZZ M M N (Y Y ) A (Y y )          donde Zc y Zi son los b azos mecánicos, espec o del ba icen o de la sección de ho migón, de la esul an e del paque e de comp esiones en el ho migón y de las dis in as capas de a madu as, espec i amen e. De la deducción an e io se desp ende que la espues a seccional es unción de:  La sección de ho migón a mado, a a és de los siguien es pa áme os  Geome ía de la sección de ho migón (ancho y can o de la sección ec angula , diáme o de la sección ci cula , ...). La dependencia iene a a és de la exp esión de la esul an e del paque e de comp esiones y su pun o de aplicación  Del ipo de ho migón. La dependencia iene a a és de su esis encia cd, que a ec a al alo de la esul an e del paque e de comp esiones.  Disposición de a madu as y de la sección de és as. Es a dependencia apa ece de o ma explíci a a a és de si A e i y .  Del ipo de ace o. Es a dependencia apa ece de o ma explíci a a a és de si  .  La p o undidad de la ib a neu a. Como se ha is o an e io men e cu N , cc Y y si  dependen de es e pa áme o. Con obje o de educi los pa áme os que in e ienen en es a espues a, y al mismo iempo hace que és a sea álida pa a secciones semejan es, se ealiza la adimensionalización de la o ma 6 : u cu i i nsi yd u cu si i1 c cd c cd c cd yd A NN A A A            6 Se a a u iliza como a iables de adimensionalización c cd A  y c cd A h  . En secciones con o mas especiales puede se in e esan e, en unción del aspec o que p esen en es as ecuaciones, elegi o as a iables pa a ealiza la adimensionalización. Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 6 de 12 cc G G i u cu i i cu cu c cd nsi yd u cu G cc si G i i1 c cd c cd c cd yd M A h A M N Y Y Y y A h A h h A h h                                            que u ilizando a iables adimensionales, queda: n u cu i i i1        cu n u cu G cc i i G i i1 ( ) ( )                 donde: u u c cd N A   : Es el axil de ago amien o educido o adimensional u u c cd M A h   : Es el momen o de ago amien o, espec o al ba icen o de la sección de ho migón, educido o adimensional cu cu c cd N A   : Es la esul an e del paque e de comp esiones en el ho migón educido o adimensional cu cu c cd M A h   : Es el momen o esul an e del paque e de comp esiones, espec o al ba icen o de la sección de ho migón, educido o adimensional si yd i c cd A A    : Es la cuan ía mecánica en la capa i, con i = 1,...,n. si i yd   : Es la ensión educida o adimensional de las a madu as de la capa i, con i = 1,...,n. G G Y h  : P o undidad educida o adimensional del cen o de g a edad de la sección de ho migón. cc cc Y h  : P o undidad educida o adimensional del pun o de aplicación de la esul an e de comp esiones en el ho migón. Fig. 2-3  cc   1 cM  sn  s3  s2  s1  n  3  2  1  1 n  3  2  1  nn   cu  u  u  De o maciones Tensiones Es ue zos in e nos u Es ue zos de Ago amien o Plano de de o mación  Compa ibilidad Compo amien o Equilib io cu  G   33   22   11   Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 7 de 12 i i y h  : P o undidad educida o adimensional de la capa de a madu as i, con i = 1,...,n.. x h  : P o undidad de la ib a neu a educida o adimensional. y h  : P o undidad del paque e de comp esiones adimensional. Si se ija una de e minada ipología de sección, como po ejemplo alguna de las indicadas en la Fig. 2- 4, esul a que la espues a seccional adimensional, u, es solo unción de las cuan ías 1  , 2  , ... , n  y de la p o undidad de la ib a neu a, ; es deci , u u 1 2 n ( , ,..., , )     7 . Si además se ija que las cuan ías 1  , 2  ,..., n  ienen que cumpli alguna condición ( al como se indica en la Fig. 2-4), esul a inalmen e que la espues a seccional es únicamen e unción de dos únicos pa áme os, la cuan ía mecánica o al, o yd c cd A A    , y la p o undidad de la ib a neu a, ; es deci : uu uu uu ( , ) ( , ) ( , )                7 Den o de la ipología de la sección de ho migón a mado es necesa io ija ambién el ipo de ace o, pa a, de es a o ma, elimina de la espues a seccional la dependencia de las ensiones adimensionales i. Sin emba go no es necesa io ija el ipo de ho migón. Fig. 2-4 2 A eh eh b 'eb 'eb h h b h h b h 1 A 2 A 3 A 1 A A A h h A 1    1 1 h h 2  3    1 1 1  2  3    1 1 1  2  e  e  'e  'e  ' ee No a : Los pa áme os , y son cons an es   Adimensionalización 1 2   1 1 1 2 1 3   1 1 2 3 3 8   1 1 3 8 1 4 3 8   1 1 3 8 1 4 e  e  'e  'e  12    12 2   1 2 3 2 3 2     1 2 3 2 3 2     Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 8 de 12 Si se ija un de e minado alo de la cuan ía mecánica, , esul a que la espues a seccional es únicamen e unción de la p o undidad de la ib a neu a, y ep esen a el conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o que puede alcanza la sección co espondien e. Si se ep esen a es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o en un diag ama (, ), se ob iene una cu a que se denomina cu a de in e acción, y es de la o ma que se mues a en la Fig. 2 -5. Cada pun o del espacio (, ) co esponde con una solici ación, sd (d y d), ac uando sob e la sección. La cu a de in e acción clasi ica es os pun os de la o ma:  Los pun os que se encuen an en la zona somb eada co esponden con aquellas si uaciones donde du s  y po lo an o co esponden con si uaciones donde la sección no se ago a (no se alcanza el es ado lími e).  Los pun os de la p opia cu a co esponden con aquellas si uaciones donde du s  y po lo an o co esponden con si uaciones de ago amien o. Den o de és os se encuen an:  La in e sección de la cu a de in e acción con el eje de o denadas (eje ), que co esponde a la si uación de ago amien o en lexión simple, con 0 . Se obse a como al aumen a el axil de ago amien o aumen a ambién el momen o de ago amien o, cuando el axil es pequeño.  La in e sección de la cu a de in e acción con el eje de abscisas (eje ), que co esponde a la si uación de ago amien o en comp esión simple, con 0 .  El es o de pun os (zona no somb eada) donde du s  co esponden con si uaciones no alcanzables po la sección, ya que an es de alcanza un pun o de és os, la sección debe alcanza una si uación de ago amien o. Si en un mismo diag ama se ep esen an las dis in as cu as de in e acción que se ob ienen al hace a ia la cuan ía geomé ica, el diag ama esul an e ecibe el nomb e de diag ama de in e acción. En la Fig. 2 -5 Ago amien o en lexión simple Ago amien o en comp esión simple   uu ( )   C e LA SECCIÓN NO SE AGOTA b h h h A A yd C e C e   d c cd N A   d c cd M A h   o yd c cd A A    TIPO DE SECCIÓN Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión ec a 09 Pág. 9 de 12 Fig. 2-6 se ep esen a uno de es os diag amas 8 , que es álido pa a oda sección de ho migón a mado semejan e a la que se mues a en la pa e supe io de echa; es deci pa a aquella que cumpla las siguien es ca ac e ís icas:  La sección de ho migón es ec angula  La disposición de a madu as es simé ica a dos ca as, con ecub imien os de 0,15 h , donde h es el can o de la sección  El ipo de ace o de las a madu as es de du eza na u al y cumple además la condición: yk 22 kp kp 4.000 5.000 cm cm  Fig. 2-6 3. DIMENSIONAMIENTO Como se ha comen ado an e io men e en el p oblema de dimensionamien o se conoce el e ec o de las acciones, sd (d y d), y se p e ende de e mina las a madu as necesa ias pa a que la sección esis a (no se alcance el es ado lími e), lo cual se consigue es ic amen e imponiendo la condición: ¡E o ! No se pueden c ea obje os modi icando códigos de campo. Es e plan eamien o implica esol e un sis ema de dos ecuaciones, que end á solución cuando en el mismo únicamen e engamos dos incógni as. 8 Ha sido omado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án Cab é, que en su omo 2 p esen a un comple ísimo juego de ábacos.