Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno
CONTENIDO:
1. In oducción ............................................................................................................................. 2
2. Hipó esis básicas ...................................................................................................................... 2
3. Dominios de de o mación ......................................................................................................... 3
3.1 Dominio 1: .......................................................................................................................... 5
3.2 Domino 2:............................................................................................................................ 5
3.3 Dominio 3: .......................................................................................................................... 5
3.4 Dominio 4: .......................................................................................................................... 7
3.5 Dominio 4a: ......................................................................................................................... 7
3.6 Dominio 5: .......................................................................................................................... 8
4. Ecuaciones de compa ibilidad. .................................................................................................. 8
4.1 T acción simple o compues a: .............................................................................................. 8
4.2 Flexión simple o compues a: ................................................................................................ 9
4.3 Comp esión simple o compues a: ......................................................................................... 9
5. Tensiones en las a madu as en los dis in os dominios .............................................................. 10
5.1 Dominio 1.......................................................................................................................... 10
5.2 Dominio 2.......................................................................................................................... 11
5.3 Dominio 3.......................................................................................................................... 13
5.4 Dominio 4.......................................................................................................................... 14
5.5 Dominio 4-a....................................................................................................................... 15
5.6 Dominio 5.......................................................................................................................... 16
6. Ecuaciones de equilib io ......................................................................................................... 22
6.1 T acción simple o compues a. ............................................................................................ 24
6.2 Flexión simple o compues a. .............................................................................................. 25
6.3 Comp esión simple o compues a. ....................................................................................... 25
7. Es ue zos sopo ados po el ho migón ..................................................................................... 26
7.1 Diag ama ec angula . ........................................................................................................ 26
8. Ecuaciones de equilib io y compa ibilidad adimensionales. secciones RECTANGULARES.
diag ama RECTANGULAR. .................................................................................................. 27
8.1 Flexión .............................................................................................................................. 28
8.1.1 Ecuaciones de equilib io .......................................................................................... 28
8.1.2 Ecuaciones de compa ibilidad. ................................................................................. 30
8.2 Comp esión ....................................................................................................................... 30
8.2.1 Ecuaciones de equilib io .......................................................................................... 30
8.2.2 Ecuaciones de compa ibilidad. ................................................................................. 32
Tema 07:
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones
no males
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
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1. INTRODUCCIÓN
En el Tema 6 se es ablecie on las bases pa a el cálculo en ago amien o de las es uc u as de ho migón
a mado. El p ocedimien o desc i o iene po obje o comp oba que some ida la es uc u a a las
acciones de cálculo, es deci las acciones ca ac e ís icas mul iplicadas po un coe icien e de
mayo ación  , no se alcanza ninguna si uación lími e (es ado lími e), en el supues o de que an o el
ace o como el ho migón u iesen como esis encias úl imas las mino adas o de cálculo, ob enidas
di idiendo las esis encias ca ac e ís icas po un coe icien e de mino ación m (pa a el ho migón es e
coe icien e es c y pa a el ace o s).
En es e ema se es ablecen las conside aciones gene ales pa a el cálculo de secciones de ho migón
a mado some idas a solici aciones no males en el es ado lími e úl imo de ago amien o esis en e. Tal
como se comen ó en el ema an e io las solici aciones no males son aquellas que p oducen es ados
ensionales pe pendicula es a las secciones ec as de las piezas, o iginadas en gene al, po un momen o
lec o y un es ue zo no mal e e idos al cen o de g a edad de la sección de ho migón. Las ensiones
angenciales o iginadas po es ue zo co an e y momen o o so se án es udiadas más adelan e.
Como se io en el ema an e io , una sección de ho migón a mado some ida a solici aciones no males
alcanza el es ado lími e de ago amien o cuando uno o los dos ma e iales alcanzan el ago amien o. Es o
puede sucede median e es o mas di e en es:
 Ago amien o del ace o:
1. Po exceso de de o mación plás ica del ace o.
 Ago amien o del ho migón:
2. Po aplas amien o del ho migón en lexión.
3. Po aplas amien o del ho migón en comp esión.
Es os es ados lími es se alcanzan en las siguien es si uaciones:
1. En elemen os some idos a acción o lexión con cuan ías pequeñas, el ago amien o se p oduce
cuando las a madu as en acción alcanzan una de o mación plás ica ele ada, que se ija en un
10‰ . Teniendo en cuen a que el ace o ompe con de o maciones mucho mayo es, la o u a de la
pieza ocu e inalmen e po aplas amien o del ho migón en la zona comp imida, cuya al u a se
educe cada ez más al aumen a la abe u a de las isu as; sin emba go el o igen de la o u a eside
en la excesi a de o mación del ace o.
2. En elemen os some idos a lexión con cuan ías medias o g andes, el ago amien o se p oduce po
aplas amien o del ho migón comp imido, al alcanza és e, en su ib a más comp imida, una
de o mación que se ija en un 3,5‰ .
3. En elemen os some idos a comp esión simple o compues a, el ago amien o se p oduce po
aplas amien o del ho migón comp imido, con de o maciones, en la ib a más comp imida, que se
ijan del 2‰ en comp esión simple, y del 2 al 3,5‰ en comp esión compues a, siendo en és e
úl imo caso la de o mación de la ib a si uada a una p o undidad de
3
7h
(siendo h el can o de la
sección de ho migón) igual al 2‰.
El mé odo de cálculo p opues o po la Ins ucción española pa a el es udio de las secciones de
ho migón a mado, en las dis in as o mas de ago amien o, cub e odas las solici aciones no males. Las
hipó esis básicas de es e mé odo se desc iben a con inuación.
2. HIPÓTESIS BÁSICAS
El dimensionamien o de secciones de o ma cualquie a some idas a solici aciones no males, en el
es ado lími e úl imo, se e ec úa con las siguien es hipó esis:
1.- Hipó esis de Be nouilli. Las secciones planas de ho migón, se man ienen planas después de la
de o mación, siemp e que
2
h
, siendo la dis ancia en e pun os de momen o nulo y h el can o
de la sección.
De es a p ime a hipó esis se deduce que las de o maciones de las ib as de una sección a ían
p opo cionalmen e a su dis ancia al eje neu o. El diag ama de de o mación es lineal.
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
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2.- Bajo cualquie solici ación las ba as de ace o ienen la misma de o mación que el ho migón que
las en uel e. Es a hipó esis exp esa la inculación o al en e el ace o y el ho migón.
3.- No se iene en cuen a pa a el cálculo la esis encia a acción del ho migón, es deci que las zonas
en el ho migón en las que apa ecen acciones no se conside an ac i as.
4.- Los diag amas ensión-de o mación del ace o y del ho migón se án los indicados en los apa ados 5
y 7.
5.- En el ago amien o, los dominios de de o mación ela i os al ho migón y al ace o, según las
dis in as solici aciones, son los indicados en el apa ado 3.
6.- Se aplica án a las secciones las ecuaciones de equilib io de ue zas y momen os, igualando la
esul an e de las ensiones del ho migón y del ace o con la solici ación ac uan e.
3. DOMINIOS DE DEFORMACIÓN
Una sección de ho migón a mado se encon a á en un es ado lími e úl imo cuando el diag ama de
de o maciones de la misma alcance alguno de los alo es de ago amien o dados en el apa ado 1, y po
lo an o, es os diag amas de de o mación úl imos de las secciones, según la na u aleza de la
solici ación, es a án si uados en alguna de las egiones indicadas en la Fig 3-1, que eciben el nomb e
de dominios de de o mación
1
.
1
En la Fig 3-1 se han ep esen ado los dominios de de o mación con el c i e io de signos que en nues a opinión
es el más in ui i o pa a el alumno: las de o maciones de comp esión pene an en la sección y las de acción
salen de la misma. No obs an e hay que esal a que es cos umb e en la bibliog a ía sob e es uc u as de
ho migón, e incluso en la Ins ucción EHE, emplea el c i e io signos con a io. Según es e c i e io de signos, los
dominios de de o mación oman el aspec o que se mues a en la siguien e igu a.
Fig 3-1. Dominios de de o mación.
h
d
3h
7
1
d
3,5‰
2‰
10‰
y

1
2
3
4
4a
5
A
B
C
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En lexión ec a el plano de de o mación de la sección queda conocido en gene al cuando se conozcan
dos da os del mismo (dos de o maciones, una de o mación y la p o undidad de la ib a neu a, ...).
Como en el ago amien o al menos una de o mación es conocida (la de ago amien o del ho migón,
cM cu
  
o la del ace o más accionado,
s1 su
  
) esul a que el diag ama de de o mación úl imo
de la sección queda á de inido únicamen e po un único pa áme o, que es cos umb e que sea la
p o undidad de la ib a neu a, x. Los dominios de de o mación queda án de inidos po los alo es de
la p o undidad de la ib a neu a de los diag amas de de o mación ex emos del dominio, x1 y x2. Pa a
la lexión es iada es necesa io in oduci un nue o pa áme o que suele se el ángulo, , que o ma el
eje neu o con una di ección dada.
hd
1
d
2‰
3,5‰
y

10‰
3h
7
1
2
3
4
4a
5
a) Flexión ec a
b) Flexión es iada
x
cM

s1

x
x
N
N
x
e
y
e
cM

s1

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3.1 Dominio 1:
T acción simple o compues a en
donde oda la sección es á en acción.
Las ec as de de o mación gi an
al ededo del pun o A co espondien e
a un ala gamien o del ace o más
accionado del 10‰.
La p o undidad de la ib a neu a a ía
en e
x1
(diag ama de
de o mación co espondien e a
acción simple) y
x20
.
La de o mación de la a madu a más
accionada es
s1 su 10‰   
, y el
ago amien o se p oduce po exceso de
de o mación plás ica del ace o.
3.2 Domino 2:
Flexión simple o compues a en donde
el ho migón no alcanza la de o mación
de o u a po lexión. Las ec as de
de o mación gi an al ededo del pun o
A, has a que la ib a más comp imida del
ho migón alcance la de o mación de
o u a po lexión (
cu 3,5‰
),
momen o en el cual se ago an
simul áneamen e el ho migón y el ace o.
En es e dominio el ago amien o se
p oduce po de o mación plás ica
excesi a del ace o (
s1 su 10‰   
).
La p o undidad de la ib a neu a a ia en e x1 = 0 y x2. El alo de x2 lo de e minamos aplicando la
ecuación de compa ibilidad de de o maciones:
00035 0010 0
2 2
, , ,259
x d x d  x2
3.3 Dominio 3:
Flexión simple o compues a en donde
las ec as de de o mación gi an al ededo
del pun o B co espondien e a la
de o mación de o u a po lexión del
ho migón cu=3,5‰. El ala gamien o de
la a madu a de acción es á
comp endido en e el 10‰ y y, siendo
y el ala gamien o co espondien e al
lími e elás ico de cálculo del ace o.
El ago amien o en es e dominio se
p oduce po aplas amien o del ho migón
en lexión.
1
x 
x
2
x
x
10‰
A
d
h
Fig. 3-2. Dominio 1.
1
x
x
2
x
x
10‰
A
d
h
B
3,5‰
Fig. 3-3. Dominio 2.
1
x
x
2
x
x
10‰
A
d
h
B
3,5‰
y

Fig. 3-4. Dominio 3.

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Es e es el dominio más in e esan e pa a el dimensionamien o a lexión de secciones de ho migón, ya
que se ap o echan al máximo las capacidades esis en es de los dos ma e iales:
 Se ago a la esis encia del ho migón a lexión, al alcanza la ib a más comp imida del mismo la
de o mación de o u a a lexión cu=3,5‰.
 Aunque el ace o no es á ago ado, ya que no alcanza su de o mación máxima admisible
su=10‰, és e se encuen a abajando con su esis encia de cálculo, yd.
El alo de y depende del ipo de ace o y del coe icien e de segu idad del mismo, s, y es igual a:
y
yd
s
E

2
Los alo es de y pa a los dis in os ipos de ace os y coe icien es de segu idad se ecogen en la Tabla
3-1.
s1,00
s115,
Ace os de Du eza Na u al
B 400S
0,0020
0,0017
B 500S
0,0025
0,0022
Tabla 3-1. y, ala gamien o de cálculo co espondien e al lími e elás ico
La p o undidad de la ib a neu a a ía en e x1=0,259 y x2=xlim. El alo de xlim depende del alo de
y, y po lo an o del ipo de ace o y del coe icien e de segu idad del mismo, s, y lo de e minamos
aplicando la ecuación de compa ibilidad de de o maciones:
00035
100035
,
,
x d x
d
lim
y
lim y
 



xlim
Sus i uyendo en es a exp esión los alo es de y ob enemos:
lim 3yd
d
x1 1,43 10

  
donde yd es la esis encia de cálculo del ace o en
2
N
mm
.
Los alo es de xlim pa a los dis in os ipos de ace o y coe icien es de segu idad se mues an en la Tabla
3-2.
s1,00
s115,
Ace os de Du eza Na u al
B 400S
0,636
0,668
B 500S
0,583
0,617
Tabla 3-2.
x
d
lim
, P o undidad lími e de la ib a neu a en el dominio 3
2
Es a exp esión de y es álida pa a ace os con escalón de cedencia, como los ace os de du eza na u al. Pa a
aquellos que no p esen an es e escalón, como los ace os es i ados en ío (en la ac ualidad es e ipo de ace o no
se ab ica en España), la exp esión de y es:
yd
y
s
0,002 E
  
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3.4 Dominio 4:
Flexión simple o compues a en donde
las ec as de de o mación gi an al ededo
del pun o B, co espondien e a la
de o mación de o u a po lexión del
ho migón cu=3,5‰. El ala gamien o de
la a madu a de acción es á
comp endido en e y y 0, y po lo an o
la ensión en es e ace o es in e io a su
esis encia de cálculo, yd.
El ago amien o en es e dominio se
p oduce po aplas amien o del ho migón
en lexión.
La p o undidad de la ib a neu a a ía
en e x1=xlim y x2=d.
3.5 Dominio 4a:
Comp esión compues a
3
en donde odas
las a madu as es án comp imidas y
exis e una pequeña zona de ho migón en
acción. Las ec as de de o mación gi an
al ededo del pun o B.
El ago amien o en es e dominio se
p oduce po aplas amien o del ho migón
en lexión.
La p o undidad de la ib a neu a a ía
en e x1=d y x2=h.
3
Según la de inición dada en el ema an e io , es e dominio NO co esponde a comp esión compues a, ya que la
sección NO se encuen a o almen e comp imida. No obs an e, como la zona sin comp imi es únicamen e la
zona del ecub imien o in e io , y en ella no se conside an acciones, esul a que odas las ensiones que se
p oducen en la sección son de comp esión, y po lo an o conside a emos a es e dominio de comp esión
compues a. Po lo an o di emos que una solici ación es de comp esión si és a p o oca que las dos a madu as
(As1 y As2) se encuen en comp imidas; es deci , cuando la sección se ago e en el dominio 4a ó 5.
1
x
x
2
x
x
d
h
B
3,5‰
y

Fig. 3-5. Dominio 4.
1
x
2
x
x
d
h
B
3,5‰
Fig. 3-6. Dominio 4a.
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3.6 Dominio 5:
Comp esión simple o compues a en
donde ambos ma e iales abajan a
comp esión. Las ec as de de o mación
gi an al ededo del pun o C de inido po
la ec a co espondien e a la de o mación
de o u a del ho migón po comp esión
simple, cu=2‰, y la de la de o mación
lími e del dominio 4a.
El ago amien o en es e dominio se
p oduce po aplas amien o del ho migón
en comp esión.
La p o undidad de la ib a neu a a ía
en e x1=h y x2=.
La p o undidad del pun o C la
de e minamos aplicando la ecuación de
compa ibilidad de de o maciones:
0,0035 0,002 0,0035 3
C= h
C h 7

4. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD.
Como se comen ó en el apa ado 3 al habla de los dominios de de o mación, el diag ama de
de o mación en el ago amien o es unción de un único pa áme o, pa a el cual se oma, con ca ác e
gene al, la p o undidad del eje neu o
4
. Es o quie e deci , que las de o maciones de las dis in as ib as
de la sección no son independien es. Las ecuaciones que es ablecen es as dependencias, o dicho de
o o modo, las ecuaciones que es ablecen las de o maciones de las dis in as ib as (en pa icula
cM

,
s2

y
s1

) en unción de la p o undidad de la ib a neu a, se denominan ecuaciones de
compa ibilidad de de o maciones.
4.1 T acción simple o compues a:
s2 s1
2
d x d x



5

s1 su
x 0 (Dom1) 0,010       
2
s2
dx
0,010 dx

 
4
Como se ha comen ado an e io men e, en el caso de lexión es iada es necesa io in oduci o o pa áme o, que
con ca ác e gene al se oma , ángulo de inclinación del eje neu o con espec o a una di ección dada. En es e
caso las exp esiones que se deducen en es e apa ado son igualmen e álidas, pe o pa a un de e minado alo de
. Es e pa áme o in e iene en las ecuaciones deducidas de o ma implíci as a a és de los da os geomé icos,
h, d, d1 y d2, que son unción de -
5
Téngase p esen e que el alo de la p o undidad del eje neu o, x, en acción, es nega i o (x < 0).
1
x
2
x
x
d
h
B
3,5‰
x
C
3h
7
Fig. 3-7. Dominio 5.
h
d
2
d
1
d
x
s2

s1 0,010
x
2
dx
dx
Fig. 4-9
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4.2 Flexión simple o compues a:
cM s2 s1
2
x x d d x
  



s1 su
0 x 0,259 d (Dom 2) 0,010       
2
s2
xd
0,010 dx

 
cM
x
0,010 dx
 

cM cu
0,259 d x d (Dom 3y 4) 0,0035       
2
s2
xd
0,0035 x


s1 y lím
s1 s1 y lím
pa a x x (Dom. 3)
dx
0,0035 siendo pa a x x (Dom. 4)
x
   


    

4.3 Comp esión simple o compues a:
cM s2 cC s1
23
x x d x d
xh
7
   
  



cM cu
d x h (Dom 4a) 0,0035      
2
s2
xd
0,0035 x


s1
xd
0,0035 x



cC cu
h x (Dom 5) 0,002       
2
s2
xd
0,002 3
xh
7



s1
xd
0,002 3
xh
7



Conocidas las de o maciones cM, s1 y s2 pueden ob ene se las ensiones co espondien es con los
diag amas ensión-de o mación de ambos ma e iales (ecuaciones de compo amien o).
h
d
2
d
1
d
x
s2

s1

x
2
xd
dx
cM

Fig. 4-10
h
d
2
d
1
d
x
s2

s1

x
2
xd
3
xh
7

cM

xd
3h
7
C
Fig. 4-11
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
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5.6 Dominio 5
 La ensión adimensional de la a madu a in e io ó menos comp imida se á:
s1
1
yd
s1 s s1
1
yd yd
xd
0,002 3
xh 400 x d
7 3
Exh
7

 

  


  
   

La de o mación de la a madu a menos comp imida ó in e io es inicialmen e, pa a x = h, s1 < y,
como se ha comen ado en el dominio 4a. Al aumen a la p o undidad de la ib a neu a es a
de o mación aumen a has a alcanza una de o mación máxima, pa a x = , igual a s1 = 2‰. Pa a
los ace os cuya de o mación co espondien e al lími e elás ico sea y  2‰, se alcanza á un alo
de la p o undidad de la ib a neu a x = x*1 pa a el cual se haga s1 = y. Po lo an o pa a alo es de
x < x*1 se á 1 < 1 y pa a alo es de x  x*1 se á 1 = 1 ( e Fig. 5-8). En la Tabla 3-1 se mos a on
los alo es de y pa a los dis in os ipos de ace o y ni eles de con ol. De es a abla se deduce que
únicamen e el ace o B 400S alcanza á el alo x*1, no alcanzándolo el ace o B 500S.
Podemos calcula el alo de x*1, pa a el que se alcanza el lími e elás ico de la a madu a de
in e io ; es deci , s1 = y ó 1 = 1, sin más que hace en la exp esión de 1 en unción de x, 1 = 1:
yd
*
1
yd
400 3
dh
7
x400 1



En la Tabla 3-6 se mues an los alo es de x pa a los que se hace 1 = 1. Las casillas ayadas
co esponden a aquellos casos en los que la a madu a nunca alcanza el lími e elás ico den o del
dominio 5.
1
xh
2
x
x
h
d
1
d
2
d
x
s2

s1

cM

3,5‰
2‰
x
2‰
3h
7
Fig. 5-7

Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 17 de 32
B 400S
B 500S
1
d /h
s=1,15
s=1,00
s=1,15
s=1,00
0,05
4,426

---
---
0,10
4,043

---
---
0,15
3,660

---
---
Tabla 5-6.
*
1
xh
: Valo es de x pa a los que se alcanza 1 = 1
 La ensión adimensional de la a madu a supe io ó más comp imida se á:
2
s2
2
s2
yd
s2 s s2
2
yd yd
xd
0,002 3
xh xd
400
7 3
Exh
7

 

  


  
   

Tal como se comen ó en el dominio 4a la a madu a supe io , pa a x = h, alcanza la máxima
de o mación (a comp esión), siendo
 
s y2 
, y po lo an o 2 = 1. En el dominio 5 al aumen a la
p o undidad de la ib a neu a disminuye la de o mación de és a, alcanzando un alo mínimo, pa a
x = , igual a s2 = 2‰.
En la Tabla 5-7 se mues a el in e alo de de o maciones de la a madu a más comp imida.
2,máx (x = h)
2,min (x = )
2
d 0,05 h
3,33
2,00
2
d 0,10 h
3,15
2,00
2
d 0,15 h
2,98
2,00
Tabla 5-7. In e alo de de o mación de la a madu a más comp imida (‰)
Pa a los ace os cuya de o mación co espondien e al lími e elás ico sea y > 2‰, se alcanza á un
alo de la p o undidad de la ib a neu a x = x2,sup pa a el cual se haga s2 = y. Po lo an o pa a
alo es de x  x2,sup se á 2 = 1 y pa a alo es de x > x2,sup se á 2 < 1 ( e Fig. 5-8). En la abla 3-1
se mos a on los alo es de y pa a los dis in os ipos de ace o y ni eles de con ol. De es a abla se
deduce que el ace o B 400S no alcanza á el alo x2,sup, y po lo an o se á únicamen e és e el que se
man enga abajando en odo el dominio 5 con su lími e elás ico y po lo an o con 2 = 1. Po el
con a io el ace o B 500S sí alcanza á el alo x2,sup y po lo an o pa a alo es de la p o undidad de
la ib a neu a x  x2,sup abaja á con 2 = 1 y pa a alo es de x > x2,sup lo ha án con 2 < 1.
Podemos calcula el alo de x2,sup pa a el que la a madu a supe io deja de abaja a su lími e
elás ico: es deci s2 = y ó 2 = 1, sin más que hace en la exp esión de 2 en unción de x, 2 = 1:
2
yd
2,sup
yd
400 3
dh
7
x400 1



En la abla 5-8 se mues an los alo es de x2,sup. Las casillas ayadas co esponden a aquellos casos
en los que la a madu a nunca deja de abaja a su lími e elás ico den o del dominio 5.
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 18 de 32
B 400S
B 500S
2
d /h
s=1,15
s=1,00
s=1,15
s=1,00
0,05
---
---
4,782
1,943
0,10
---
---
4,207
1,743
0,15
---
---
3,632
1,543
Tabla 5-8.
2,sup
xh
: Valo es de x pa a los que se hace 2 < 1
Igualmen e de es a abla se deduce que únicamen e pa a aquellos ace os cuya
yd 2
N
400 mm

8
la
a madu a se encon a á, en odo el dominio, abajando a su lími e elás ico. Es po es e mo i o po
lo que la No ma es ablece como esis encia de cálculo del ace o en comp esión simple (cuando la
a madu a abaja con una de o mación del 2‰) el alo máximo de
2
N
400 mm
(es e ema ya ue
a ado en el apa ado 7.4).
En la página siguien e se mues a una abla esumen con los alo es de las de o maciones de las
a madu as y los co espondien es alo es de , pa a cada uno de los dominios.
8
Si
yd
yd y
2s
N 400
400 0,002
E 200.000
mm
     
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 19 de 32
Dom.
A m.
De o mación

1
Sup.
2
s2
dx
0,010 dx

 
21
2,in
xx  
2
2
yd
dx
2000
d x

 
2,in
x x 0
2
yd
2,in
yd
d
2000
1 d
x
2000
d1



In .
s1 0010,
11
2
Sup.
2
s2
xd
0,010 dx

 
2
2
yd
xd
2000
d x

 
0 x x*
21
x* x 0,259 d  
2
yd
yd
d
2000
1 d
x*
2000
d1



In .
s1 0,010
11
3
Sup.
2
s2
xd
0,0035 x


2
2
yd
xd
700
x


0,259 d x x*  
21
lim
x* x x
2
yd
yd
d
700
d
x*
700
d1


In .
s1 y
dx
0,0035 >
x

  
11
4
Sup.
2
s2
xd
0,0035 x


2
2
yd
xd
700
x


lim
x x x*
21
x* x d
2
yd
yd
d
700
d
x*
700
d1


In .
s1 y
dx
0,0035 x

   
1
yd
700 d x
x


4-a
Sup.
2
s2
xd
0,0035 x


21
In .
s1
xd
0,0035 x


1
yd
700 x d
x


5
Sup.
2
s2
xd
0,002 3
xh
7



21
2,sup
h x x
2
2
yd
xd
400
3
xh
7



2,sup
xx  
2
2,sup yd
yd
d
400 3
x h 7
400
h1



In .
s1
xd
0,002 3
xh
7



1
yd
400 x d
3
xh
7



*
1
hxx
11
*
1
xx  
*yd
1
yd
400 d 3
h 7
x
400
h1



Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 20 de 32
Fig. 5-8. a)
s2

10‰
2,in
x
y

2
d
y

x*
0,259 d
lím
x
d
h
2‰
x
FLEXIÓN
COMPRESIÓN
TRACCIÓN
4a
1
2
3
4
5
2,in
x
x*
s2
2
yd


2
d
0,259 d
lím
x
d
h
1
1
x
s1

10‰
2
d
y

0,259 d
lím
x
d
h
2‰
x
y

1
x*
2
d
0,259 d
lím
x
d
x
h
1
x*
s1
1
yd


1
1
4a
1
2
3
4
5
ACERO: B 400S
d2/d
s=1,15
s=1,00
2,in
x
d
0,05
-0,150
-0,188
0,10
-0,089
-0,125
0,15
-0,029
-0,063
d2/d
s=1,15
s=1,00
x*
d
0,05
0,191
0,208
0,10
0,233
0,250
0,15
0,298
0,350
d1/h
s=1,15
s=1,00
*
1
x
h
0,05
4,426

0,10
4,043

0,15
3,660

Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 21 de 32
s2

10‰
2,in
x
y

2
d
y

x*
0,259 d
lím
x
d
h
2‰
x
FLEXIÓN
COMPRESIÓN
TRACCIÓN
4a
1
2
3
4
5
2,in
x
x*
s2
2
yd


2
d
0,259 d
lím
x
d
h
1
1
x
s1

10‰
2
d
y

0,259 d
lím
x
d
h
2‰
x
y

2
d
0,259 d
lím
x
d
x
h
s1
1
yd


1
1
4a
1
2
3
4
5
ACERO: B 500S
2,sup
x
2,sup
x
d2/d
s=1,15
s=1,00
2,in
x
d
0,05
-0,214
-0,267
0,10
-0,150
-0,200
0,15
-0,086
-0,133
d2/d
s=1,15
s=1,00
x*
d
0,05
0,220
0,240
0,10
0,264
0,350
0,15
0,396
0,525
d2/h
s=1,15
s=1,00
2,sup
x
h
0,05
4,782
1,943
0,10
4,207
1,743
0,15
3,632
1,543
Fig. 5-8. b)

Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 22 de 32
6. ECUACIONES DE EQUILIBRIO
En es e apa ado amos a supone una sección que cumpla las condiciones (Fig. 6-1):
 La sección de ho migón a mado iene un eje de sime ía.
 Los es ue zos, axil y momen o lec o , ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la
di ec iz de la pieza.
 La sección i á p o is a de dos a madu as p incipales Asl y As2.
En es a si uación el eje neu o es pe pendicula al eje de sime ía de la sección
9
. Cuando no se cumplan
es as condiciones la solici ación se á es iada, y el plan eamien o de es e p oblema lo ealiza emos en
un ema pos e io
La solici ación que ac úa sob e la sección se de e mina gene almen e median e un cálculo elás ico y
lineal pa iendo de las ca gas que solici an a la es uc u a, pa a lo cual se u iliza como eje de e e encia
el eje ba icén ico de la sección de ho migón solo sin isu a (Fig. 6-1). En es as ci cuns ancias, los
es ue zos ob enidos del cálculo (análisis es uc u al) ienen e e idos a dicho eje.
En ocasiones es in e esan e ep esen a la solici ación dada po el axil, N, y el momen o, M, como el
mismo axil aplicado con una excen icidad e0
10
(Fig. 6-2).
Pa a que es as solici aciones sean es á icamen e equi alen es, el alo de la excen icidad iene que
se :
M N e M
N
   
0 e0
9
La condición  no es necesa ia y la ex ensión de los esul ados al caso de secciones de ho migón con múl iples
capas de a madu as (As1, As2, As3,..., Asn) es inmedia a, sin más que sus i ui el é mino co espondien e a la
a madu a supe io , As2, po una suma o ia ex endida a odas las capas de a madu a: As2, As3,..., Asn
10
El subíndice 0 indica que la excen icidad es á e e ida al eje ba icén ico de la sección.
h
d
G
Y
2
d
1
d
N
M
N
0
e
Fig. 6-2
h
d
G
Y
2
d
1
d
N
M
Fig. 6-1
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 23 de 32
Como más adelan e se e á, pa a el plan eamien o de las ecuaciones de equilib io es muy con enien e
e e i las solici aciones ex e nas, no al eje ba icén ico de la sección de ho migón, N y M o N y e0,
sino a los ejes ba icén icos de las a madu as de acción o de comp esión.
En los casos de acción simple o compues a las solici aciones ex e nas las e e i emos a los ejes
ba icén icos de las a madu as de acción, N y M1 o N y e1 (Fig. 6-3).
Los alo es del momen o M1 y de la excen icidad e1 se án:
 
1G
M N d Y M   
 
1
1 1 G 0
M
e e d Y e
N
    
En los casos de lexión simple o compues a las solici aciones ex e nas las e e i emos a los ejes
ba icén icos de las a madu as de acción, N y M1 o N y e1 (Fig. 6-4).
Los alo es del momen o M1 y de la excen icidad e1 se án:
 
1G
M M N d Y   
 
1
1 1 0 G
M
e e e d Y
N
    
En los casos de comp esión simple o compues a las solici aciones ex e nas las e e i emos a los ejes
ba icén icos de las a madu as de comp esión, N y M2 o N y e2 (Fig. 6-5).
h
d
G
Y
2
d
1
d
N
M
0
e
N
N
1
M
1
e
Fig. 6-3
h
d
G
Y
2
d
1
d
N
M
0
e
N
N
1
M
1
e
Fig. 6-4
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 24 de 32
Los alo es del momen o M2 y de la excen icidad e2 se án:
 
2 G 2
M N Y d M   
 
2
2 2 G 2 0
M
e e Y d e
N
    
Como se ha comen ado an e io men e, dependiendo del ipo de solici ación, acción, lexión o
comp esión, las solici aciones ex e nas in e esa e e i las al eje ba icén ico de la a madu a de
acción, en los dos p ime os casos, y al de la a madu a de comp esión en el e ce o. Así pues,
plan ea emos po sepa ado las ecuaciones de equilib io pa a cada uno de es os casos.
6.1 T acción simple o compues a.
En el caso de acción simple o compues a oda la sección de ho migón se encuen a abajando a
acción, y po lo an o, o almen e isu ada. En es e caso la con ibución del ho migón a la esis encia
de la sección es nula, y las ecuaciones de equilib io son (Fig. 6-6):
N F F
M F d d
s s
s
 
  
2 1
1 2 2
( )
Teniendo en cuen a que Fs1=As1·s1 y Fs2=As2·s2, y que s1= yd ya que s1=0,01>y, podemos exp esa
las ecuaciones de equilib io de la o ma:
N A A
M A d d
s s s yd
s s
   
   
2 2 1
1 2 2 2

( )
siendo el c i e io de signos el indicado en la Fig. 6-6
h
d
G
Y
2
d
1
d
N
M
0
e
N
N
2
M
2
e
Fig. 6-5
h
d
2
d
1
d
x
s2

su

s2

yd
s2
F
s1
F
N
1
M
Fig. 6-6
Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 25 de 32
6.2 Flexión simple o compues a.
En el caso de lexión simple o compues a las ecuaciones de equilib io son (Fig. 6-7):
N N F F
M N Z F d d
cu s s
cu cu s
  
    
2 1
1 1 2 2
( )
Deno ando a
cu cu1
NZ
po Mcu1, y eniendo en cuen a que
s1 s1 s1
FA 
y
s2 s2 s2
FA 
, podemos
exp esa las ecuaciones de equilib io de la o ma:
N N A A
M M A d d
cu s s s s
cu s s
    
    
2 2 1 1
1 1 2 2 2
 
( )
siendo el c i e io de signos el indicado en la Fig. 6-7.
6.3 Comp esión simple o compues a.
En el caso de comp esión simple o compues a las ecuaciones de equilib io son (Fig. 6-8):
N N F F
M N Z F d d
cu s s
cu cu s
  
    
2 1
2 2 1 2
( )
Al igual que en el caso de lexión, si deno amos a
cu cu2
NZ
po Mcu2, y eniendo en cuen a que
s1 s1 s1
FA 
y
s2 s2 s2
FA 
, podemos exp esa las ecuaciones de equilib io de la o ma:
N N A A
M M A d d
cu s s s s
cu s s
    
    
2 2 1 1
2 2 1 1 2
 
( )
siendo el c i e io de signos el indicado en la Fig. 6-8.
En el ago amien o, la zona comp imida del ho migón depende del ipo de solici ación y de la cuan ía
de la a madu a. Dado que la p o undidad de la ib a neu a no se conoce y es unción de la
solici ación, debe á de e mina se po cálculo pa a cada es ado de ca ga.
Fig. 6-7
h
d
2
d
1
d
x
s2

s1

s2

s1

s2
F
s1
F
N
1
M
x
cM

cu
N
cu1
Z
cM

Fig. 6-8
h
d
2
d
1
d
x
s2

s1

s2

s1

s2
F
s1
F
N
2
M
x
cM

cu
N
cu2
Z
cM

Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07
Pág. 32 de 32
s2
2
yd


: Tensión adimensional de la a madu a supe io o de comp esión, deducida ambién en el
apa ado 5, y que al igual que
1

oma ambién alo es en el in e alo:
2
01  
,
siendo
21
cuando la a madu a supe io abaja a su lími e elás ico.
2
2
d
h

: Recub imien o adimensional de la a madu a supe io . Igualmen e se de ine el
ecub imien o adimensional de la a madu a in e io como:
1
1
d
h

.
d
h

: Can o ú il adimensional
cu
cu
cd
N
b h

: Axil educido o adimensional sopo ado po el ho migón en el ago amien o. Pa a
sección ec angula con diag ama ensión-de o mación ec angula queda:
cu
  
.
cu2
cu2 2cd
M
b h


: Momen o educido o adimensional sopo ado po el ho migón en el ago amien o,
espec o a la a madu a supe io . Pa a sección ec angula con diag ama ensión-
de o mación ec angula queda:
cu2 2
(0,5 )   
.
Como se obse a, se han u ilizado las mismas no aciones que en lexión pa a aquellas a iables que
ep esen an lo mismo, y cuya única di e encia es que en lexión, la longi ud e ical con la que se
adimensionaliza es el can o ú il, d, y en comp esión, el can o o al, h.
8.2.2 Ecuaciones de compa ibilidad.
Si en las ecuaciones de compa ibilidad deducidas en el apa ado 4 di idimos po 1/h, nos queda:
cM s2 cC s1 cM s2 cC s1
22
x x d 3 x d 3
xh
h 7 h 7
hh
       
      

    
 
ecuaciones que nos pe mi en de e mina las
de o maciones de las dis in as ib as de la
sección en unción de la p o undidad de la ib a
neu a adimensional.
BIBLIOGRAFÍA:
 EHE-08. Ins ucción de Ho migón Es uc u al
 Cala e a, J. “P oyec o y Cálculo de Es uc u as de Ho migón (en masa, a mado y
p e ensado)”. INTEMAC.
 Jiménez Mon oya y o os. “Ho migón a mado”. GG.
 Cala e a, J. “Cálculo, cons ucción pa ología y ehabili ación de o jados de edi icación.”.
INTEMAC.
1

2

1


s2

s1


2
  
3
7

cM


3
7
C