Estudio general del cálculo en agotamiento bajo solicitaciones normales

Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno CONTENIDO: 1. In oducción ............................................................................................................................. 2 2. Hipó esis básicas ...................................................................................................................... 2 3. Dominios de de o mación ......................................................................................................... 3 3.1 Dominio 1: .......................................................................................................................... 5 3.2 Domino 2:............................................................................................................................ 5 3.3 Dominio 3: .......................................................................................................................... 5 3.4 Dominio 4: .......................................................................................................................... 7 3.5 Dominio 4a: ......................................................................................................................... 7 3.6 Dominio 5: .......................................................................................................................... 8 4. Ecuaciones de compa ibilidad. .................................................................................................. 8 4.1 T acción simple o compues a: .............................................................................................. 8 4.2 Flexión simple o compues a: ................................................................................................ 9 4.3 Comp esión simple o compues a: ......................................................................................... 9 5. Tensiones en las a madu as en los dis in os dominios .............................................................. 10 5.1 Dominio 1.......................................................................................................................... 10 5.2 Dominio 2.......................................................................................................................... 11 5.3 Dominio 3.......................................................................................................................... 13 5.4 Dominio 4.......................................................................................................................... 14 5.5 Dominio 4-a....................................................................................................................... 15 5.6 Dominio 5.......................................................................................................................... 16 6. Ecuaciones de equilib io ......................................................................................................... 22 6.1 T acción simple o compues a. ............................................................................................ 24 6.2 Flexión simple o compues a. .............................................................................................. 25 6.3 Comp esión simple o compues a. ....................................................................................... 25 7. Es ue zos sopo ados po el ho migón ..................................................................................... 26 7.1 Diag ama ec angula . ........................................................................................................ 26 8. Ecuaciones de equilib io y compa ibilidad adimensionales. secciones RECTANGULARES. diag ama RECTANGULAR. .................................................................................................. 27 8.1 Flexión .............................................................................................................................. 28 8.1.1 Ecuaciones de equilib io .......................................................................................... 28 8.1.2 Ecuaciones de compa ibilidad. ................................................................................. 30 8.2 Comp esión ....................................................................................................................... 30 8.2.1 Ecuaciones de equilib io .......................................................................................... 30 8.2.2 Ecuaciones de compa ibilidad. ................................................................................. 32 Tema 07: Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 2 de 32 1. INTRODUCCIÓN En el Tema 6 se es ablecie on las bases pa a el cálculo en ago amien o de las es uc u as de ho migón a mado. El p ocedimien o desc i o iene po obje o comp oba que some ida la es uc u a a las acciones de cálculo, es deci las acciones ca ac e ís icas mul iplicadas po un coe icien e de mayo ación  , no se alcanza ninguna si uación lími e (es ado lími e), en el supues o de que an o el ace o como el ho migón u iesen como esis encias úl imas las mino adas o de cálculo, ob enidas di idiendo las esis encias ca ac e ís icas po un coe icien e de mino ación m (pa a el ho migón es e coe icien e es c y pa a el ace o s). En es e ema se es ablecen las conside aciones gene ales pa a el cálculo de secciones de ho migón a mado some idas a solici aciones no males en el es ado lími e úl imo de ago amien o esis en e. Tal como se comen ó en el ema an e io las solici aciones no males son aquellas que p oducen es ados ensionales pe pendicula es a las secciones ec as de las piezas, o iginadas en gene al, po un momen o lec o y un es ue zo no mal e e idos al cen o de g a edad de la sección de ho migón. Las ensiones angenciales o iginadas po es ue zo co an e y momen o o so se án es udiadas más adelan e. Como se io en el ema an e io , una sección de ho migón a mado some ida a solici aciones no males alcanza el es ado lími e de ago amien o cuando uno o los dos ma e iales alcanzan el ago amien o. Es o puede sucede median e es o mas di e en es:  Ago amien o del ace o: 1. Po exceso de de o mación plás ica del ace o.  Ago amien o del ho migón: 2. Po aplas amien o del ho migón en lexión. 3. Po aplas amien o del ho migón en comp esión. Es os es ados lími es se alcanzan en las siguien es si uaciones: 1. En elemen os some idos a acción o lexión con cuan ías pequeñas, el ago amien o se p oduce cuando las a madu as en acción alcanzan una de o mación plás ica ele ada, que se ija en un 10‰ . Teniendo en cuen a que el ace o ompe con de o maciones mucho mayo es, la o u a de la pieza ocu e inalmen e po aplas amien o del ho migón en la zona comp imida, cuya al u a se educe cada ez más al aumen a la abe u a de las isu as; sin emba go el o igen de la o u a eside en la excesi a de o mación del ace o. 2. En elemen os some idos a lexión con cuan ías medias o g andes, el ago amien o se p oduce po aplas amien o del ho migón comp imido, al alcanza és e, en su ib a más comp imida, una de o mación que se ija en un 3,5‰ . 3. En elemen os some idos a comp esión simple o compues a, el ago amien o se p oduce po aplas amien o del ho migón comp imido, con de o maciones, en la ib a más comp imida, que se ijan del 2‰ en comp esión simple, y del 2 al 3,5‰ en comp esión compues a, siendo en és e úl imo caso la de o mación de la ib a si uada a una p o undidad de 3 7h (siendo h el can o de la sección de ho migón) igual al 2‰. El mé odo de cálculo p opues o po la Ins ucción española pa a el es udio de las secciones de ho migón a mado, en las dis in as o mas de ago amien o, cub e odas las solici aciones no males. Las hipó esis básicas de es e mé odo se desc iben a con inuación. 2. HIPÓTESIS BÁSICAS El dimensionamien o de secciones de o ma cualquie a some idas a solici aciones no males, en el es ado lími e úl imo, se e ec úa con las siguien es hipó esis: 1.- Hipó esis de Be nouilli. Las secciones planas de ho migón, se man ienen planas después de la de o mación, siemp e que 2 h , siendo la dis ancia en e pun os de momen o nulo y h el can o de la sección. De es a p ime a hipó esis se deduce que las de o maciones de las ib as de una sección a ían p opo cionalmen e a su dis ancia al eje neu o. El diag ama de de o mación es lineal. Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 3 de 32 2.- Bajo cualquie solici ación las ba as de ace o ienen la misma de o mación que el ho migón que las en uel e. Es a hipó esis exp esa la inculación o al en e el ace o y el ho migón. 3.- No se iene en cuen a pa a el cálculo la esis encia a acción del ho migón, es deci que las zonas en el ho migón en las que apa ecen acciones no se conside an ac i as. 4.- Los diag amas ensión-de o mación del ace o y del ho migón se án los indicados en los apa ados 5 y 7. 5.- En el ago amien o, los dominios de de o mación ela i os al ho migón y al ace o, según las dis in as solici aciones, son los indicados en el apa ado 3. 6.- Se aplica án a las secciones las ecuaciones de equilib io de ue zas y momen os, igualando la esul an e de las ensiones del ho migón y del ace o con la solici ación ac uan e. 3. DOMINIOS DE DEFORMACIÓN Una sección de ho migón a mado se encon a á en un es ado lími e úl imo cuando el diag ama de de o maciones de la misma alcance alguno de los alo es de ago amien o dados en el apa ado 1, y po lo an o, es os diag amas de de o mación úl imos de las secciones, según la na u aleza de la solici ación, es a án si uados en alguna de las egiones indicadas en la Fig 3-1, que eciben el nomb e de dominios de de o mación 1 . 1 En la Fig 3-1 se han ep esen ado los dominios de de o mación con el c i e io de signos que en nues a opinión es el más in ui i o pa a el alumno: las de o maciones de comp esión pene an en la sección y las de acción salen de la misma. No obs an e hay que esal a que es cos umb e en la bibliog a ía sob e es uc u as de ho migón, e incluso en la Ins ucción EHE, emplea el c i e io signos con a io. Según es e c i e io de signos, los dominios de de o mación oman el aspec o que se mues a en la siguien e igu a. Fig 3-1. Dominios de de o mación. h d 3h 7 1 d 3,5‰ 2‰ 10‰ y  1 2 3 4 4a 5 A B C Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 4 de 32 En lexión ec a el plano de de o mación de la sección queda conocido en gene al cuando se conozcan dos da os del mismo (dos de o maciones, una de o mación y la p o undidad de la ib a neu a, ...). Como en el ago amien o al menos una de o mación es conocida (la de ago amien o del ho migón, cM cu    o la del ace o más accionado, s1 su    ) esul a que el diag ama de de o mación úl imo de la sección queda á de inido únicamen e po un único pa áme o, que es cos umb e que sea la p o undidad de la ib a neu a, x. Los dominios de de o mación queda án de inidos po los alo es de la p o undidad de la ib a neu a de los diag amas de de o mación ex emos del dominio, x1 y x2. Pa a la lexión es iada es necesa io in oduci un nue o pa áme o que suele se el ángulo, , que o ma el eje neu o con una di ección dada. hd 1 d 2‰ 3,5‰ y  10‰ 3h 7 1 2 3 4 4a 5 a) Flexión ec a b) Flexión es iada x cM  s1  x x N N x e y e cM  s1  Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 5 de 32 3.1 Dominio 1: T acción simple o compues a en donde oda la sección es á en acción. Las ec as de de o mación gi an al ededo del pun o A co espondien e a un ala gamien o del ace o más accionado del 10‰. La p o undidad de la ib a neu a a ía en e x1 (diag ama de de o mación co espondien e a acción simple) y x20 . La de o mación de la a madu a más accionada es s1 su 10‰    , y el ago amien o se p oduce po exceso de de o mación plás ica del ace o. 3.2 Domino 2: Flexión simple o compues a en donde el ho migón no alcanza la de o mación de o u a po lexión. Las ec as de de o mación gi an al ededo del pun o A, has a que la ib a más comp imida del ho migón alcance la de o mación de o u a po lexión ( cu 3,5‰ ), momen o en el cual se ago an simul áneamen e el ho migón y el ace o. En es e dominio el ago amien o se p oduce po de o mación plás ica excesi a del ace o ( s1 su 10‰    ). La p o undidad de la ib a neu a a ia en e x1 = 0 y x2. El alo de x2 lo de e minamos aplicando la ecuación de compa ibilidad de de o maciones: 00035 0010 0 2 2 , , ,259 x d x d  x2 3.3 Dominio 3: Flexión simple o compues a en donde las ec as de de o mación gi an al ededo del pun o B co espondien e a la de o mación de o u a po lexión del ho migón cu=3,5‰. El ala gamien o de la a madu a de acción es á comp endido en e el 10‰ y y, siendo y el ala gamien o co espondien e al lími e elás ico de cálculo del ace o. El ago amien o en es e dominio se p oduce po aplas amien o del ho migón en lexión. 1 x  x 2 x x 10‰ A d h Fig. 3-2. Dominio 1. 1 x x 2 x x 10‰ A d h B 3,5‰ Fig. 3-3. Dominio 2. 1 x x 2 x x 10‰ A d h B 3,5‰ y  Fig. 3-4. Dominio 3. Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 6 de 32 Es e es el dominio más in e esan e pa a el dimensionamien o a lexión de secciones de ho migón, ya que se ap o echan al máximo las capacidades esis en es de los dos ma e iales:  Se ago a la esis encia del ho migón a lexión, al alcanza la ib a más comp imida del mismo la de o mación de o u a a lexión cu=3,5‰.  Aunque el ace o no es á ago ado, ya que no alcanza su de o mación máxima admisible su=10‰, és e se encuen a abajando con su esis encia de cálculo, yd. El alo de y depende del ipo de ace o y del coe icien e de segu idad del mismo, s, y es igual a: y yd s E  2 Los alo es de y pa a los dis in os ipos de ace os y coe icien es de segu idad se ecogen en la Tabla 3-1. s1,00 s115, Ace os de Du eza Na u al B 400S 0,0020 0,0017 B 500S 0,0025 0,0022 Tabla 3-1. y, ala gamien o de cálculo co espondien e al lími e elás ico La p o undidad de la ib a neu a a ía en e x1=0,259 y x2=xlim. El alo de xlim depende del alo de y, y po lo an o del ipo de ace o y del coe icien e de segu idad del mismo, s, y lo de e minamos aplicando la ecuación de compa ibilidad de de o maciones: 00035 100035 , , x d x d lim y lim y      xlim Sus i uyendo en es a exp esión los alo es de y ob enemos: lim 3yd d x1 1,43 10     donde yd es la esis encia de cálculo del ace o en 2 N mm . Los alo es de xlim pa a los dis in os ipos de ace o y coe icien es de segu idad se mues an en la Tabla 3-2. s1,00 s115, Ace os de Du eza Na u al B 400S 0,636 0,668 B 500S 0,583 0,617 Tabla 3-2. x d lim , P o undidad lími e de la ib a neu a en el dominio 3 2 Es a exp esión de y es álida pa a ace os con escalón de cedencia, como los ace os de du eza na u al. Pa a aquellos que no p esen an es e escalón, como los ace os es i ados en ío (en la ac ualidad es e ipo de ace o no se ab ica en España), la exp esión de y es: yd y s 0,002 E    Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 7 de 32 3.4 Dominio 4: Flexión simple o compues a en donde las ec as de de o mación gi an al ededo del pun o B, co espondien e a la de o mación de o u a po lexión del ho migón cu=3,5‰. El ala gamien o de la a madu a de acción es á comp endido en e y y 0, y po lo an o la ensión en es e ace o es in e io a su esis encia de cálculo, yd. El ago amien o en es e dominio se p oduce po aplas amien o del ho migón en lexión. La p o undidad de la ib a neu a a ía en e x1=xlim y x2=d. 3.5 Dominio 4a: Comp esión compues a 3 en donde odas las a madu as es án comp imidas y exis e una pequeña zona de ho migón en acción. Las ec as de de o mación gi an al ededo del pun o B. El ago amien o en es e dominio se p oduce po aplas amien o del ho migón en lexión. La p o undidad de la ib a neu a a ía en e x1=d y x2=h. 3 Según la de inición dada en el ema an e io , es e dominio NO co esponde a comp esión compues a, ya que la sección NO se encuen a o almen e comp imida. No obs an e, como la zona sin comp imi es únicamen e la zona del ecub imien o in e io , y en ella no se conside an acciones, esul a que odas las ensiones que se p oducen en la sección son de comp esión, y po lo an o conside a emos a es e dominio de comp esión compues a. Po lo an o di emos que una solici ación es de comp esión si és a p o oca que las dos a madu as (As1 y As2) se encuen en comp imidas; es deci , cuando la sección se ago e en el dominio 4a ó 5. 1 x x 2 x x d h B 3,5‰ y  Fig. 3-5. Dominio 4. 1 x 2 x x d h B 3,5‰ Fig. 3-6. Dominio 4a. Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 8 de 32 3.6 Dominio 5: Comp esión simple o compues a en donde ambos ma e iales abajan a comp esión. Las ec as de de o mación gi an al ededo del pun o C de inido po la ec a co espondien e a la de o mación de o u a del ho migón po comp esión simple, cu=2‰, y la de la de o mación lími e del dominio 4a. El ago amien o en es e dominio se p oduce po aplas amien o del ho migón en comp esión. La p o undidad de la ib a neu a a ía en e x1=h y x2=. La p o undidad del pun o C la de e minamos aplicando la ecuación de compa ibilidad de de o maciones: 0,0035 0,002 0,0035 3 C= h C h 7  4. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD. Como se comen ó en el apa ado 3 al habla de los dominios de de o mación, el diag ama de de o mación en el ago amien o es unción de un único pa áme o, pa a el cual se oma, con ca ác e gene al, la p o undidad del eje neu o 4 . Es o quie e deci , que las de o maciones de las dis in as ib as de la sección no son independien es. Las ecuaciones que es ablecen es as dependencias, o dicho de o o modo, las ecuaciones que es ablecen las de o maciones de las dis in as ib as (en pa icula cM  , s2  y s1  ) en unción de la p o undidad de la ib a neu a, se denominan ecuaciones de compa ibilidad de de o maciones. 4.1 T acción simple o compues a: s2 s1 2 d x d x    5  s1 su x 0 (Dom1) 0,010        2 s2 dx 0,010 dx    4 Como se ha comen ado an e io men e, en el caso de lexión es iada es necesa io in oduci o o pa áme o, que con ca ác e gene al se oma , ángulo de inclinación del eje neu o con espec o a una di ección dada. En es e caso las exp esiones que se deducen en es e apa ado son igualmen e álidas, pe o pa a un de e minado alo de . Es e pa áme o in e iene en las ecuaciones deducidas de o ma implíci as a a és de los da os geomé icos, h, d, d1 y d2, que son unción de - 5 Téngase p esen e que el alo de la p o undidad del eje neu o, x, en acción, es nega i o (x < 0). 1 x 2 x x d h B 3,5‰ x C 3h 7 Fig. 3-7. Dominio 5. h d 2 d 1 d x s2  s1 0,010 x 2 dx dx Fig. 4-9 Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 9 de 32 4.2 Flexión simple o compues a: cM s2 s1 2 x x d d x       s1 su 0 x 0,259 d (Dom 2) 0,010        2 s2 xd 0,010 dx    cM x 0,010 dx    cM cu 0,259 d x d (Dom 3y 4) 0,0035        2 s2 xd 0,0035 x   s1 y lím s1 s1 y lím pa a x x (Dom. 3) dx 0,0035 siendo pa a x x (Dom. 4) x             4.3 Comp esión simple o compues a: cM s2 cC s1 23 x x d x d xh 7           cM cu d x h (Dom 4a) 0,0035       2 s2 xd 0,0035 x   s1 xd 0,0035 x    cC cu h x (Dom 5) 0,002        2 s2 xd 0,002 3 xh 7    s1 xd 0,002 3 xh 7    Conocidas las de o maciones cM, s1 y s2 pueden ob ene se las ensiones co espondien es con los diag amas ensión-de o mación de ambos ma e iales (ecuaciones de compo amien o). h d 2 d 1 d x s2  s1  x 2 xd dx cM  Fig. 4-10 h d 2 d 1 d x s2  s1  x 2 xd 3 xh 7  cM  xd 3h 7 C Fig. 4-11 Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 16 de 32 5.6 Dominio 5  La ensión adimensional de la a madu a in e io ó menos comp imida se á: s1 1 yd s1 s s1 1 yd yd xd 0,002 3 xh 400 x d 7 3 Exh 7                  La de o mación de la a madu a menos comp imida ó in e io es inicialmen e, pa a x = h, s1 < y, como se ha comen ado en el dominio 4a. Al aumen a la p o undidad de la ib a neu a es a de o mación aumen a has a alcanza una de o mación máxima, pa a x = , igual a s1 = 2‰. Pa a los ace os cuya de o mación co espondien e al lími e elás ico sea y  2‰, se alcanza á un alo de la p o undidad de la ib a neu a x = x*1 pa a el cual se haga s1 = y. Po lo an o pa a alo es de x < x*1 se á 1 < 1 y pa a alo es de x  x*1 se á 1 = 1 ( e Fig. 5-8). En la Tabla 3-1 se mos a on los alo es de y pa a los dis in os ipos de ace o y ni eles de con ol. De es a abla se deduce que únicamen e el ace o B 400S alcanza á el alo x*1, no alcanzándolo el ace o B 500S. Podemos calcula el alo de x*1, pa a el que se alcanza el lími e elás ico de la a madu a de in e io ; es deci , s1 = y ó 1 = 1, sin más que hace en la exp esión de 1 en unción de x, 1 = 1: yd * 1 yd 400 3 dh 7 x400 1    En la Tabla 3-6 se mues an los alo es de x pa a los que se hace 1 = 1. Las casillas ayadas co esponden a aquellos casos en los que la a madu a nunca alcanza el lími e elás ico den o del dominio 5. 1 xh 2 x x h d 1 d 2 d x s2  s1  cM  3,5‰ 2‰ x 2‰ 3h 7 Fig. 5-7 Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 17 de 32 B 400S B 500S 1 d /h s=1,15 s=1,00 s=1,15 s=1,00 0,05 4,426  --- --- 0,10 4,043  --- --- 0,15 3,660  --- --- Tabla 5-6. * 1 xh : Valo es de x pa a los que se alcanza 1 = 1  La ensión adimensional de la a madu a supe io ó más comp imida se á: 2 s2 2 s2 yd s2 s s2 2 yd yd xd 0,002 3 xh xd 400 7 3 Exh 7                  Tal como se comen ó en el dominio 4a la a madu a supe io , pa a x = h, alcanza la máxima de o mación (a comp esión), siendo   s y2  , y po lo an o 2 = 1. En el dominio 5 al aumen a la p o undidad de la ib a neu a disminuye la de o mación de és a, alcanzando un alo mínimo, pa a x = , igual a s2 = 2‰. En la Tabla 5-7 se mues a el in e alo de de o maciones de la a madu a más comp imida. 2,máx (x = h) 2,min (x = ) 2 d 0,05 h 3,33 2,00 2 d 0,10 h 3,15 2,00 2 d 0,15 h 2,98 2,00 Tabla 5-7. In e alo de de o mación de la a madu a más comp imida (‰) Pa a los ace os cuya de o mación co espondien e al lími e elás ico sea y > 2‰, se alcanza á un alo de la p o undidad de la ib a neu a x = x2,sup pa a el cual se haga s2 = y. Po lo an o pa a alo es de x  x2,sup se á 2 = 1 y pa a alo es de x > x2,sup se á 2 < 1 ( e Fig. 5-8). En la abla 3-1 se mos a on los alo es de y pa a los dis in os ipos de ace o y ni eles de con ol. De es a abla se deduce que el ace o B 400S no alcanza á el alo x2,sup, y po lo an o se á únicamen e és e el que se man enga abajando en odo el dominio 5 con su lími e elás ico y po lo an o con 2 = 1. Po el con a io el ace o B 500S sí alcanza á el alo x2,sup y po lo an o pa a alo es de la p o undidad de la ib a neu a x  x2,sup abaja á con 2 = 1 y pa a alo es de x > x2,sup lo ha án con 2 < 1. Podemos calcula el alo de x2,sup pa a el que la a madu a supe io deja de abaja a su lími e elás ico: es deci s2 = y ó 2 = 1, sin más que hace en la exp esión de 2 en unción de x, 2 = 1: 2 yd 2,sup yd 400 3 dh 7 x400 1    En la abla 5-8 se mues an los alo es de x2,sup. Las casillas ayadas co esponden a aquellos casos en los que la a madu a nunca deja de abaja a su lími e elás ico den o del dominio 5. Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 18 de 32 B 400S B 500S 2 d /h s=1,15 s=1,00 s=1,15 s=1,00 0,05 --- --- 4,782 1,943 0,10 --- --- 4,207 1,743 0,15 --- --- 3,632 1,543 Tabla 5-8. 2,sup xh : Valo es de x pa a los que se hace 2 < 1 Igualmen e de es a abla se deduce que únicamen e pa a aquellos ace os cuya yd 2 N 400 mm  8 la a madu a se encon a á, en odo el dominio, abajando a su lími e elás ico. Es po es e mo i o po lo que la No ma es ablece como esis encia de cálculo del ace o en comp esión simple (cuando la a madu a abaja con una de o mación del 2‰) el alo máximo de 2 N 400 mm (es e ema ya ue a ado en el apa ado 7.4). En la página siguien e se mues a una abla esumen con los alo es de las de o maciones de las a madu as y los co espondien es alo es de , pa a cada uno de los dominios. 8 Si yd yd y 2s N 400 400 0,002 E 200.000 mm       Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 19 de 32 Dom. A m. De o mación  1 Sup. 2 s2 dx 0,010 dx    21 2,in xx   2 2 yd dx 2000 d x    2,in x x 0 2 yd 2,in yd d 2000 1 d x 2000 d1    In . s1 0010, 11 2 Sup. 2 s2 xd 0,010 dx    2 2 yd xd 2000 d x    0 x x* 21 x* x 0,259 d   2 yd yd d 2000 1 d x* 2000 d1    In . s1 0,010 11 3 Sup. 2 s2 xd 0,0035 x   2 2 yd xd 700 x   0,259 d x x*   21 lim x* x x 2 yd yd d 700 d x* 700 d1   In . s1 y dx 0,0035 > x     11 4 Sup. 2 s2 xd 0,0035 x   2 2 yd xd 700 x   lim x x x* 21 x* x d 2 yd yd d 700 d x* 700 d1   In . s1 y dx 0,0035 x      1 yd 700 d x x   4-a Sup. 2 s2 xd 0,0035 x   21 In . s1 xd 0,0035 x   1 yd 700 x d x   5 Sup. 2 s2 xd 0,002 3 xh 7    21 2,sup h x x 2 2 yd xd 400 3 xh 7    2,sup xx   2 2,sup yd yd d 400 3 x h 7 400 h1    In . s1 xd 0,002 3 xh 7    1 yd 400 x d 3 xh 7    * 1 hxx 11 * 1 xx   *yd 1 yd 400 d 3 h 7 x 400 h1    Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 20 de 32 Fig. 5-8. a) s2  10‰ 2,in x y  2 d y  x* 0,259 d lím x d h 2‰ x FLEXIÓN COMPRESIÓN TRACCIÓN 4a 1 2 3 4 5 2,in x x* s2 2 yd   2 d 0,259 d lím x d h 1 1 x s1  10‰ 2 d y  0,259 d lím x d h 2‰ x y  1 x* 2 d 0,259 d lím x d x h 1 x* s1 1 yd   1 1 4a 1 2 3 4 5 ACERO: B 400S d2/d s=1,15 s=1,00 2,in x d 0,05 -0,150 -0,188 0,10 -0,089 -0,125 0,15 -0,029 -0,063 d2/d s=1,15 s=1,00 x* d 0,05 0,191 0,208 0,10 0,233 0,250 0,15 0,298 0,350 d1/h s=1,15 s=1,00 * 1 x h 0,05 4,426  0,10 4,043  0,15 3,660  Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 21 de 32 s2  10‰ 2,in x y  2 d y  x* 0,259 d lím x d h 2‰ x FLEXIÓN COMPRESIÓN TRACCIÓN 4a 1 2 3 4 5 2,in x x* s2 2 yd   2 d 0,259 d lím x d h 1 1 x s1  10‰ 2 d y  0,259 d lím x d h 2‰ x y  2 d 0,259 d lím x d x h s1 1 yd   1 1 4a 1 2 3 4 5 ACERO: B 500S 2,sup x 2,sup x d2/d s=1,15 s=1,00 2,in x d 0,05 -0,214 -0,267 0,10 -0,150 -0,200 0,15 -0,086 -0,133 d2/d s=1,15 s=1,00 x* d 0,05 0,220 0,240 0,10 0,264 0,350 0,15 0,396 0,525 d2/h s=1,15 s=1,00 2,sup x h 0,05 4,782 1,943 0,10 4,207 1,743 0,15 3,632 1,543 Fig. 5-8. b) Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 22 de 32 6. ECUACIONES DE EQUILIBRIO En es e apa ado amos a supone una sección que cumpla las condiciones (Fig. 6-1):  La sección de ho migón a mado iene un eje de sime ía.  Los es ue zos, axil y momen o lec o , ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la di ec iz de la pieza.  La sección i á p o is a de dos a madu as p incipales Asl y As2. En es a si uación el eje neu o es pe pendicula al eje de sime ía de la sección 9 . Cuando no se cumplan es as condiciones la solici ación se á es iada, y el plan eamien o de es e p oblema lo ealiza emos en un ema pos e io La solici ación que ac úa sob e la sección se de e mina gene almen e median e un cálculo elás ico y lineal pa iendo de las ca gas que solici an a la es uc u a, pa a lo cual se u iliza como eje de e e encia el eje ba icén ico de la sección de ho migón solo sin isu a (Fig. 6-1). En es as ci cuns ancias, los es ue zos ob enidos del cálculo (análisis es uc u al) ienen e e idos a dicho eje. En ocasiones es in e esan e ep esen a la solici ación dada po el axil, N, y el momen o, M, como el mismo axil aplicado con una excen icidad e0 10 (Fig. 6-2). Pa a que es as solici aciones sean es á icamen e equi alen es, el alo de la excen icidad iene que se : M N e M N     0 e0 9 La condición  no es necesa ia y la ex ensión de los esul ados al caso de secciones de ho migón con múl iples capas de a madu as (As1, As2, As3,..., Asn) es inmedia a, sin más que sus i ui el é mino co espondien e a la a madu a supe io , As2, po una suma o ia ex endida a odas las capas de a madu a: As2, As3,..., Asn 10 El subíndice 0 indica que la excen icidad es á e e ida al eje ba icén ico de la sección. h d G Y 2 d 1 d N M N 0 e Fig. 6-2 h d G Y 2 d 1 d N M Fig. 6-1 Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 23 de 32 Como más adelan e se e á, pa a el plan eamien o de las ecuaciones de equilib io es muy con enien e e e i las solici aciones ex e nas, no al eje ba icén ico de la sección de ho migón, N y M o N y e0, sino a los ejes ba icén icos de las a madu as de acción o de comp esión. En los casos de acción simple o compues a las solici aciones ex e nas las e e i emos a los ejes ba icén icos de las a madu as de acción, N y M1 o N y e1 (Fig. 6-3). Los alo es del momen o M1 y de la excen icidad e1 se án:   1G M N d Y M      1 1 1 G 0 M e e d Y e N      En los casos de lexión simple o compues a las solici aciones ex e nas las e e i emos a los ejes ba icén icos de las a madu as de acción, N y M1 o N y e1 (Fig. 6-4). Los alo es del momen o M1 y de la excen icidad e1 se án:   1G M M N d Y      1 1 1 0 G M e e e d Y N      En los casos de comp esión simple o compues a las solici aciones ex e nas las e e i emos a los ejes ba icén icos de las a madu as de comp esión, N y M2 o N y e2 (Fig. 6-5). h d G Y 2 d 1 d N M 0 e N N 1 M 1 e Fig. 6-3 h d G Y 2 d 1 d N M 0 e N N 1 M 1 e Fig. 6-4 Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 24 de 32 Los alo es del momen o M2 y de la excen icidad e2 se án:   2 G 2 M N Y d M      2 2 2 G 2 0 M e e Y d e N      Como se ha comen ado an e io men e, dependiendo del ipo de solici ación, acción, lexión o comp esión, las solici aciones ex e nas in e esa e e i las al eje ba icén ico de la a madu a de acción, en los dos p ime os casos, y al de la a madu a de comp esión en el e ce o. Así pues, plan ea emos po sepa ado las ecuaciones de equilib io pa a cada uno de es os casos. 6.1 T acción simple o compues a. En el caso de acción simple o compues a oda la sección de ho migón se encuen a abajando a acción, y po lo an o, o almen e isu ada. En es e caso la con ibución del ho migón a la esis encia de la sección es nula, y las ecuaciones de equilib io son (Fig. 6-6): N F F M F d d s s s      2 1 1 2 2 ( ) Teniendo en cuen a que Fs1=As1·s1 y Fs2=As2·s2, y que s1= yd ya que s1=0,01>y, podemos exp esa las ecuaciones de equilib io de la o ma: N A A M A d d s s s yd s s         2 2 1 1 2 2 2  ( ) siendo el c i e io de signos el indicado en la Fig. 6-6 h d G Y 2 d 1 d N M 0 e N N 2 M 2 e Fig. 6-5 h d 2 d 1 d x s2  su  s2  yd s2 F s1 F N 1 M Fig. 6-6 Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 25 de 32 6.2 Flexión simple o compues a. En el caso de lexión simple o compues a las ecuaciones de equilib io son (Fig. 6-7): N N F F M N Z F d d cu s s cu cu s         2 1 1 1 2 2 ( ) Deno ando a cu cu1 NZ po Mcu1, y eniendo en cuen a que s1 s1 s1 FA  y s2 s2 s2 FA  , podemos exp esa las ecuaciones de equilib io de la o ma: N N A A M M A d d cu s s s s cu s s           2 2 1 1 1 1 2 2 2   ( ) siendo el c i e io de signos el indicado en la Fig. 6-7. 6.3 Comp esión simple o compues a. En el caso de comp esión simple o compues a las ecuaciones de equilib io son (Fig. 6-8): N N F F M N Z F d d cu s s cu cu s         2 1 2 2 1 2 ( ) Al igual que en el caso de lexión, si deno amos a cu cu2 NZ po Mcu2, y eniendo en cuen a que s1 s1 s1 FA  y s2 s2 s2 FA  , podemos exp esa las ecuaciones de equilib io de la o ma: N N A A M M A d d cu s s s s cu s s           2 2 1 1 2 2 1 1 2   ( ) siendo el c i e io de signos el indicado en la Fig. 6-8. En el ago amien o, la zona comp imida del ho migón depende del ipo de solici ación y de la cuan ía de la a madu a. Dado que la p o undidad de la ib a neu a no se conoce y es unción de la solici ación, debe á de e mina se po cálculo pa a cada es ado de ca ga. Fig. 6-7 h d 2 d 1 d x s2  s1  s2  s1  s2 F s1 F N 1 M x cM  cu N cu1 Z cM  Fig. 6-8 h d 2 d 1 d x s2  s1  s2  s1  s2 F s1 F N 2 M x cM  cu N cu2 Z cM  Es udio gene al del cálculo en ago amien o bajo solici aciones no males 07 Pág. 32 de 32 s2 2 yd   : Tensión adimensional de la a madu a supe io o de comp esión, deducida ambién en el apa ado 5, y que al igual que 1  oma ambién alo es en el in e alo: 2 01   , siendo 21 cuando la a madu a supe io abaja a su lími e elás ico. 2 2 d h  : Recub imien o adimensional de la a madu a supe io . Igualmen e se de ine el ecub imien o adimensional de la a madu a in e io como: 1 1 d h  . d h  : Can o ú il adimensional cu cu cd N b h  : Axil educido o adimensional sopo ado po el ho migón en el ago amien o. Pa a sección ec angula con diag ama ensión-de o mación ec angula queda: cu    . cu2 cu2 2cd M b h   : Momen o educido o adimensional sopo ado po el ho migón en el ago amien o, espec o a la a madu a supe io . Pa a sección ec angula con diag ama ensión- de o mación ec angula queda: cu2 2 (0,5 )    . Como se obse a, se han u ilizado las mismas no aciones que en lexión pa a aquellas a iables que ep esen an lo mismo, y cuya única di e encia es que en lexión, la longi ud e ical con la que se adimensionaliza es el can o ú il, d, y en comp esión, el can o o al, h. 8.2.2 Ecuaciones de compa ibilidad. Si en las ecuaciones de compa ibilidad deducidas en el apa ado 4 di idimos po 1/h, nos queda: cM s2 cC s1 cM s2 cC s1 22 x x d 3 x d 3 xh h 7 h 7 hh                        ecuaciones que nos pe mi en de e mina las de o maciones de las dis in as ib as de la sección en unción de la p o undidad de la ib a neu a adimensional. BIBLIOGRAFÍA:  EHE-08. Ins ucción de Ho migón Es uc u al  Cala e a, J. “P oyec o y Cálculo de Es uc u as de Ho migón (en masa, a mado y p e ensado)”. INTEMAC.  Jiménez Mon oya y o os. “Ho migón a mado”. GG.  Cala e a, J. “Cálculo, cons ucción pa ología y ehabili ación de o jados de edi icación.”. INTEMAC. 1  2  1   s2  s1   2    3 7  cM   3 7 C