Nue os m´e odos anal´ı icos de la es uc u a del
uni e so a g an escala: aplicaciones de la
ap oximaci´on de Zeldo ich comple a
M´
ASTER UNIVERSITARIO EN ASTROF´
ISICA
FACULTAD DE F´
ISICA
TRABAJO DE FIN DE M´
ASTER
Ca les Sanchis Ca oz
Supe isado po
D . Juan Be anco Rijo
Sep iemb e de 2020
Abs ac
The s uc u e o ma ion in he uni e se is a subjec o a g ea in e es since las cen u y and
i is di ec ly linked o he e olu ion o he uni e se. Du ing his ime di e en models ha e
been p oposed and nowadays he pa adigm is ha quan um densi y luc ua ions g ew since he
in la iona y epoch un il hey become non-linea and a e i ialized. These ini ial luc ua ions a e
desc ibed by he Ha ison Zeldo ich powe spec a which is modi ied by some physical e ec s
un il he sepa a ion be ween adia ion and ma e a he momen o ecombina ion (z= 1100).
F om ha momen on only g a i y a ec s hese luc ua ions inc easing hei ampli ude bu no
modi ying he shape o powe spec a. The adia ion escaping a ecombina ion which is obse -
ed now e lec s he luc ua ions a ha momen and i allows us o de e mine ha he cold da k
ma e (CDM) is necessa y o explain he accele a ion o he g ow h o he ba ionic luc ua ions.
The conside a ion o he CDM, ha p oduces he bo om-up o ma ion o he s uc u es, and
he accele a ed expansion o he uni e se leads o he ΛCDM model.
The g ow h o he densi y luc ua ions is gi en by he linea heo y in he new onian app oxi-
ma ion, bu in he non-linea egime he e is no analy ical ea men and we need he N-body
simula ions ha a e he mos accu a e me hod bu edious. In 1970, knowing he necessi y o
a as e me hod, Zeldo ich p esen ed an app oxima ion (ZA) based on he linea egime and
pos ula ed i s alidi y in he non-linea egime assuming a ce ain e o bu gene ally explaining
he s uc u e o ma ion. This app oxima ion exp esses he p ope coo dina es in e ms o he
ini ial coo dina es (Lag angian) wi h a pe u ba ion in he peculia eloci y ield, which implies
a linea displacemen ield, ha leads o he densi y luc ua ions. Then, conside ing he con-
se a ion o mass, hese luc ua ions in he p ope sys em can be exp essed in unc ion o he
p ope alues (λi) o he local s ain enso gi en by he linea heo y in e ms o he ini ial coo -
dina es. A e his app oxima ion, some o he s came ou as he ones based on he Lag angian
pe u ba ion heo y (LPT). These app oxima ions a e gene ally non-local, which means ha
he s ain enso is no a unique unc ion o he p ope alues, making hem mo e complex bu
mo e accu a e. Bu local app oxima ions as he MZA (Reisenegge & Mi alda-Escud´e, 1995),
he LTA (Hui & Be schinge , 1996) o he DTA (Audi & Alimi, 1996) we e p esen ed as well as
he comple e Zeldo ich app oxima ion (CZA) (Be anco -Rijo & L´opez-Co edoi a, 2000) ha
only depend on he linea p ope alues like he ZA bu hey a e subs an ially mo e accu a e.
The di e ence be ween he la e and he es is ha he CZA has an explici exp ession on
he p ope alues while in he o he s he solu ion o di e en ial equa ions is needed. The ZA
is exac o i s o de while he CZA is exac o second o de . The linea densi y ield gi en by
ZA is equal o minus he di e gence o he linea displacemen ield and equal o he addi ion o
he λi. In he same way, he di e gence o he displacemen ield o he CZA can be exp essed
as minus he addi ion o he iλip oduc , gi ing he eal displacemen , whe e he unc ion iis
he ac ha dis inguishes bo h app oxima ions. The e o e, he aim o his wo k is o de e mine
he gene al algo i hm o he CZA and ob ain he densi y ield and i s displacemen ield ha
gi es he inal posi ions, i.e. eule ian coo dina es.
iii
To do ha , a p og am in Fo an 90 has been de eloped o gene a e a ealiza ion o he gaus-
sian andom ield in a cubic olume wi h size Las an example o he inpu pa ame e s. Fi s
o all, we gene a e he gaussian andom ield in he p esen day, using he powe spec a o he
cold da k ma e ob ained om he obse a ions, as well as he linea displacemen ield and
he linea s ain enso . We exp ess hese quan i ies as Fou ie se ies and compu e hem wi h
a ce ain numbe o modes as ano he inpu pa ame e . Due o he ac ha he linea s ain
enso is a symme ic ma ix wi h eal coe icien s, i can be diagonalized and hen we ob ain
i s p ope alues λi ha a e he key alues in wha he app oxima ion is based. A ew checks
a e made o ensu e ha he gaussian andom ield, he linea displacemen ield and he linea
s ain enso a e well gene a ed. Some o hese checks a e: he eco e y o he ampli ude o he
densi y luc ua ions in he Fou ie space wi h which we ha e al eady gene a ed he gaussian ield
in he eal space, ha he addi ion o he h ee λio e e y poin is equal o he linea densi y
ield and ha i s shape is a gaussian, ha he λi ul ill he Do oshke ich dis ibu ion and ha
he calcula ion o he s ain enso by ini e di e ences ag ees wi h he analy ic exp ession.
We conside he shell c ossing e ec , which consis s in he o e aking o one shell o ma e o e
ano he one, ha implies he equilib ium be ween he inne and ou e luxes o ma e when an
objec is collapsing. The esul is cons an densi y in he physical space, ha implies he inc ease
o densi y luc ua ions wi h ime due o he backg ound densi y decays because o he expansion
o he uni e se. This ea men es ic s he alue o he iλiin e e y poin making he CZA
exp ession alid e e ywhe e. Be o e we ea his e ec , we ha e o de e mine he unc ion i o
be alid o any alue o he λi. Fo posi i e alues o λi he exp ession used in Be anco -Rijo
& L´opez-Co edoi a (2000) wo ks pe ec ly bu has p oblems o nega i e alues. We ind o
poin s wi h h ee nega i e λia modi ica ion o his exp ession and o poin s wi h a leas one
nega i e λiwe use an app oxima ion ha wo ks inde ically o small absolu e alues and i is
be e o big absolu e alues. The p og am wo ks o any alue o he inpu pa ame e s Ωm0,
Ω 0and ΩΛ0. Wi h he co ec alues o iλiwe ob ain he densi y ield in he p ope coo dina es
wi h he exp ession o CZA and also he eal displacemen ield ha gi es he inal posi ions o
he pa icles. Fo he calcula ion o he la e in a speci ic poin , we ha e sol ed a di e en ial
equa ion ha implies an in eg al ha we calcula e as he addi ion o he con ibu ion o e e y
poin o he mesh. In he same way, he linea displacemen ield ha e been ob ained. To es he
accu acy o hese calcula ions, he oo o he mean squa ed ac ional e o (RMSE) be ween
he linea displacemen ield ob ained analy ically and he one men ioned now is compu ed. The
mo e RMSE app oaches o ze o he mo e accu a e is he calcula ion because hey should always
be equal. We ha e ob ained i a h ee di e en σ(1.88, 0.46 and 2.49), and he esul is less
han 0.1 (10 % o e o ) ha co esponds o he nume ical e o . The oo o he mean squa ed
alue o he modulus o he di e ence be ween he displacemen ield p o ided by he CZA and
he one p o ided by he ZA (o he linea heo y) di ided by he oo o he mean squa ed
alue o he linea displacemen ield is compu ed o hese h ee cases and di e s in 0.5 (50 %)
o σ= 1,88, 0.1 (10 %) o σ= 0,46 and 0.6 (60 %) o σ= 2,49. The non-linea i ies a e he
esponsible o his di e gence wi h ime be ween he eal and he linea displacemen ields.
i
´
Indice gene al
1. In oducci´on 7
1.1. Mo i aci´onyobje i os................................. 7
1.2. Ma co e´o ico...................................... 8
1.2.1. Modelocosmol´ogico .............................. 8
1.2.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Din´amica de pa ´ıculas en el sis ema en expansi´on . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Mec´anica de luidos en el sis ema en expansi´on . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5. Ap oximaci´on de Zeldo ich (ZA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6. Ap oximaci´on de Zeldo ich comple a (CZA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Me odolog´ıa 16
2.1. Realizaci´on de un campo gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Vec o desplazamien o lineal y enso de de o maci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. C ucedecapas ..................................... 20
2.4. Campo de desplazamien o seg´un la CZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Resul ados y discusi´on 25
3.1. Comp obaciones del campo gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Ajus edelaCZA.................................... 29
3.3. C uce de capas: dependencia en el modelo cosmol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4. Campos de densidad y de desplazamien o seg´un la CZA . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5. Algo i mo de esoluci´on de la CZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Conclusiones del abajo y sus posibles aplicaciones 38

i
Cap´ı ulo 1
In oducci´on
1.1. Mo i aci´on y obje i os
La o maci´on de es uc u as ha sido un ema abie o en as o ´ısica du an e el pasado siglo con
di e en es p opues as de modelos con al de explica el o igen de las es uc u as que emos
hoy en d´ıa. Ac ualmen e, el modelo pa adigm´a ico es el de ΛCDM que implica la o maci´on de
es uc u as m´as g andes a pa i de las m´as peque˜nas, en ingl´es ’bo om-up’, conside ando la
expansi´on acele ada del uni e so debido a la oda ´ıa desconocida ene g´ıa oscu a. Pa iendo de
que las simulaciones de N-cue pos son las m´as p ecisas en cuan o a esul ados, se usan ap oxi-
maciones menos cos osas compu acionalmen e pa a ob ene las es uc u as mencionadas, que se
compa an con dichas simulaciones con al de de e mina como de buenas son. Una ap oximaci´on
que ha sido muy usada po se pione a en la explicaci´on de la o maci´on de es uc u as es la de
Zeldo ich (1970), la cual es exac a a p ime o den y exp esa la luc uaci´on en la densidad como
unci´on ´unica de los alo es p opios del enso de de o maci´on local dado po la eo ´ıa lineal. A
es as ap oximaciones que dependen solamen e de es as can idades se les llama locales. Po o a
pa e, enemos las pe u baciones lag angianas a dis in o o den donde el enso de de o maci´on
es exac o pe o no depende ´unicamen e de los alo es p opios, habiendo mejo as de ´es as com-
bin´andolas con el e ec o de c uce de capas a peque˜nas escalas (ALPT) (Ki au a & Heβ, 2013).
Po lo an o, es de in e ´es encon a ap oximaciones locales m´as p ecisas que la ZA como, po
ejemplo, la MZA (Reisenegge & Mi alda-Escud´e, 1995), la LTA (Hui & Be schinge , 1996) o
la DTA (Audi & Alimi, 1996), as´ı como la ap oximaci´on en la que se cen a es e abajo, la
ap oximaci´on de Zeldo ich comple a (CZA) (Be anco -Rijo & L´opez-Co edoi a, 2000). Es as
ap oximaciones locales p esen an una exp esi´on pa a las luc uaciones en la densidad expl´ıci a
7
8Cap´ı ulo 1. In oducci´on
en los alo es p opios del enso de de o maci´on local, pe o la CZA iene la en aja de que pa a
encon a es os ´ul imos no es necesa ia la esoluci´on de ecuaciones di e enciales (Makle e al.,
2001). El obje i o del abajo es de e mina el algo i mo gene al de la CZA pa a ob ene el
campo de luc uaciones de la densidad en coo denadas eule ianas (i.e. el campo obse able).
1.2. Ma co e´o ico
1.2.1. Modelo cosmol´ogico
Hoy en d´ıa, en la es uc u a a g an escala, el uni e so de F iedmann-Robe son-Walke (FRW)
es el modelo cosmol´ogico pa adigm´a ico. ´
Es e cons a de la m´e ica de Robe son-Walke (RW)
que desc ibe un uni e so en expansi´on (o con acci´on) y que se basa en el p incipio cosmol´ogico
que, undamen ´andose en obse aciones, pos ula que el uni e so es espacialmen e homog´eneo
e is´o opo. Es a expansi´on (o con acci´on) se exp esa median e el ac o de escala a( ) que
depende ´unicamen e del iempo debido, p ecisamen e, al p incipio cosmol´ogico. Su elaci´on con
el co imien o al ojo z(m´as conocido como edshi en ingl´es) debido a la expansi´on iene dada
po la exp esi´on
a( )
a( 0)=1
1 + z( ),(1.1)
donde a( 0) es el ac o de escala en el ins an e ac ual 0y po comodidad lo exp esa emos como
a0= 1. A pa i de la m´e ica de RW y las ecuaciones de la ela i idad gene al de Eins ein se
ob ienen las ecuaciones de F iedmann. Con lo cual, la cosmolog´ıa m´e ica de FRW es ´a basada
en el p incipio cosmol´ogico y cumple la ´ısica de Eins ein pe o p esen a luc uaciones en la den-
sidad. Pa a explica la e oluci´on del espec o de po encias de es as luc uaciones obse adas es
necesa ia la ma e ia oscu a, ya que si el uni e so es u ie a compues o ´unicamen e po ma e ia
ba i´onica se ´ıa dis in a.
1.2.2. Condiciones iniciales
El ondo c´osmico de mic oondas (CMB de las siglas en ingl´es), que co esponde a la adiaci´on
que se escapa cuando se p oduce el desacoplamien o adiaci´on-ma e ia (z∼1100), mues a las
pe u baciones de densidad p imo diales de o igen cu´an ico que alcanzan escalas c´osmicas debido
a la in laci´on. Es as condiciones iniciales no deben desc ibi ning´un campo de luc uaciones en
1.2. Ma co e´o ico 9
conc e o y, po lo an o, son es ad´ıs icas. Es deci , no es ´an bien de inidas (no son ´unicas) sino
que enemos un colec i o gaussiano de condiciones iniciales. El uni e so obse ado p ocede de
una ealizaci´on conc e a de es e colec i o gaussiano, que co esponde a coge un elemen o del
colec i o al aza . Con lo cual las condiciones iniciales son un campo gaussiano alea o io en es
dimensiones ca ac e izadas po el espec o de po encias de Ha ison-Zeldo ich
P(k)∝k . (1.2)
Es as condiciones iniciales se en al e adas po p ocesos ´ısicos como el amo iguamien o de
Silk y el e ec o M´esz´a os (o de expansi´on es ancada), que modi ican la o ma del espec o de
po encias, adem´as de la g a edad, que no lo hace. Es a pa i del desacoplamien o adiaci´on-
ma e ia que los p ocesos ´ısicos e minan y ´unicamen e ac ´ua la g a edad que s´olo p oduce
el aumen o de la ampli ud del espec o, es deci aumen a las luc uaciones de densidad con el
iempo. En onces, es a pa i de es e momen o (z∼1100) que podemos usa la eo ´ıa lineal has a
que las luc uaciones han c ecido an o que se p oducen las no linealidades. Es as luc uaciones
en la densidad δen un ins an e de iempo se exp esan en unci´on de la densidad media del
uni e so ρb( ), que a disminuyendo debido a la expansi´on, de la siguien e o ma:
δ(~x, ) = ρ(~x, )−ρb( )
ρb( ),(1.3)
donde ~x son las coo denadas com´o iles, es deci las que siguen la expansi´on del uni e so, aunque
es a exp esi´on ambi´en es ´alida pa a las coo denadas p opias ~ .
1.2.3. Din´amica de pa ´ıculas en el sis ema en expansi´on
Es con enien e desc ibi la dis ibuci´on de ma e ia y el mo imien o en el sis ema de e e encia
en expansi´on (Peebles, 1980), donde la dis ancia p opia iene dada po
~ =a( )~x (1.4)
y la elocidad p opia de una pa ´ıcula con espec o al o igen po
~u = ˙a ~x +a˙
~x =~ H+~ , (1.5)
donde ~ Hes la elocidad del lujo de Hubble y ~ la elocidad peculia de la pa ´ıcula espec o
Cap´ı ulo 2
Me odolog´ıa
Se ha elabo ado un p og ama en Fo an 90 que calcula el campo de densidad y las nue as
coo denadas de una malla de pun os en una caja de lado Lpa a un edshi de e minado.
2.1. Realizaci´on de un campo gaussiano
P ime o comenzamos gene ando el campo de densidad lineal, que con el o malismo de Fou ie
podemos descompone en dis in os modos, donde pa a un olumen in ini o se exp esa como la
an i ans o mada de Fou ie del campo en el espacio ans o mado δ~
k:
δl(~q, ) = 1
(2π)3/2ZZZ δ~
k( )ei~
k·~q d3~
k . (2.1)
Po lo an o, su ans o mada de Fou ie nos de uel e al espacio de ~
k:
δ~
k( ) = 1
(2π)3/2ZZZ δl(~q, )e−i~
k·~q d3~q . (2.2)
Pe o pa a esol e el p oblema compu acionalmen e es necesa io hace una ealizaci´on en un
olumen ini o L3usando un n´ume o de modos ini o N, i.e. usa la se ie de Fou ie
δl(~q) = 1
L3/2
N
X
l,m,n=−N
δ~
kl,m,n ei~
kl,m,n·~q con ~
kl,m,n =2π
L(l, m, n).(2.3)
Cuan o Nm´as g ande signi ica que enemos m´as modos y mejo esoluci´on λ (m´as peque˜na),
que iene dada po el cocien e λ =L/N. A pa i de ´es a se de ine el modo m´aximo kmax =
2π/λ = 2πN/L y el ango din´amico L/λ =N, que es el cocien e en e la escala m´as g ande y
la m´as peque˜na que se puede esol e .
16

2.1. Realizaci´on de un campo gaussiano 17
Con lo cual, pa a gene a una ealizaci´on del campo δl enemos que ca ac e iza lo en el dominio
ans o mado δ~
kpa a cada uno de los modos
δ~
k=|δ~
k|eiθ~
k,(2.4)
donde |δ~
k|es el m´odulo y θ~
kla ase co espondien es a ~
k. Es o signi ica que pa a cada modo ~
k
enemos que hace una ealizaci´on de |δ~
k|yθ~
k. La o ma gene al de ealizaci´on de una a iable
alea o ia ωdis ibuida uni o memen e en e 0 y 1 es
ωi=Z∞
xi
P(x)dx , (2.5)
donde xies la ealizaci´on i-´esima de la a iable xyωila ealizaci´on i-´esima de ω. En el p og ama
u ilizamos la u ina de o an RANDOM NUMBER pa a ob ene pa a cada modo un n´ume o
alea o io en e 0 y 1. Como hemos comen ado en el apa ado 1.2.2, se conside an las condiciones
iniciales como un campo gaussiano alea o io. Una de sus p opiedades es que las ases son alea o-
ias, es deci que θ~
kes independien e de θ~
k0. Tenemos pues que θ~
kes una a iable uni o memen e
dis ibuida en e 0 y 2π(P(θ~
k)=1/2π), con lo cual su ealizaci´on pa a cada modo iene dada
po
θ~
k= 2πω~
k.(2.6)
En el caso de conside a un olumen in ini o el campo gaussiano iene ca ac e izado un´ı oca-
men e po el espec o de po encias, es deci que es el mismo en odas las ealizaciones
|δ~
k|2=P(k),(2.7)
donde P(k) depende del m´odulo de ~
k, y no de la di ecci´on, po iso op´ıa. Pe o si conside amos
un olumen ini o, |δ~
k| luc ´ua de una ealizaci´on a o a seg´un la dis ibuci´on de Rayleigh
Pδ~
k= 2 δ~
k
P(k)e−|δ~
k|2
P(k)(2.8)
y lo que se cumple en onces es que
|δ~
k|2=P(k).(2.9)
18 Cap´ı ulo 2. Me odolog´ıa
De es a o ma, si in oducimos la dis ibuci´on de Rayleigh (2.8) en (2.5) enemos que la ealiza-
ci´on de |δ~
k|pa a cada modo ~
k iene dada po
|δ~
k|2=−P(k) ln ω0
~
k,(2.10)
donde dis inguimos ω0
~
kde ω~
kpo que son ealizaciones independien es. Hemos usado la siguien e
ap oximaci´on pa a el espec o de po encias ac ual de la ma e ia oscu a ´ıa
P(k) = σ2
819843 [ln (1 + 11,14k)]21 + 18,5k+ 5880k2+ 17580k3+ 1,04 ·106k4−1/2k−1,(2.11)
donde σ8= 0,83 es la cons an e de no malizaci´on. Debido a que es amos usando el espec o
de po encias e aluado en el p esen e (z= 0), es amos ob eniendo el campo de densidad lineal
en el ins an e ac ual δl(~q, 0) median e (2.3) en una malla de pun os equiespaciados a pa i de
los δ~
k ealizados (2.4). Pa a comp oba que es ´a bien gene ado el campo de densidad debemos
ecupe a los δ~
ka pa i de los δlob enidos an e io men e en el olumen conside ado
δ~
k=1
L3/2ZZZ
V
δle−i~
k·~q d3~q . (2.12)
Po de inici´on el modo con |~
k|= 0 (l=m=n= 0) no gene a luc uaciones. Adem´as, pa a que
el campo δlsea eal se debe cumpli que δ∗
~
k=δ−~
k, que a su ez implica que |δ−~
k|=|δ~
k|y que
θ−~
k=−θ~
k. Con lo cual enemos ealmen e nmodos independien es
n=(2N+ 1)3−1
2.(2.13)
Po lo an o, ag upando los ´e minos de ~
ky−~
kpodemos exp esa el campo de densidad de la
siguien e o ma, educiendo as´ı el iempo de c´ompu o
δl(~q) = 1
L3/2

N
X
l=1
N
X
m,n=−N
+(l= 0)
N
X
m=1
N
X
n=−N
+(l=m= 0)
N
X
n=1
2 Re δ~
kl,m,n ei~
kl,m,n·~q,
(2.14)
y en onces, el alo medio de las luc uaciones al cuad ado debe se
2.2. Vec o desplazamien o lineal y enso de de o maci´on 19
δ2
l=1
V


N
X
l=1
N
X
m,n=−N
+(l= 0)
N
X
m=1
N
X
n=−N
+(l=m= 0)
N
X
n=1
2δ~
kl,m,n 
2
.(2.15)
Todas es as comp obaciones que se mencionan, se p esen an en la secci´on 3.1 del siguien e
cap´ı ulo de esul ados.
2.2. Vec o desplazamien o lineal y enso de de o maci´on
Hemos is o que en la eo ´ıa lineal se cumple la elaci´on (1.28), con lo cual el ec o de des-
plazamien o lineal y las componen es del enso de de o maci´on lineal en cada pun o de la
malla se pueden descompone en modos de Fou ie y ienen dados po las siguien es exp esiones
(Be anco -Rijo, 2019):
~
d(~q) = 1
L3/2
N
X
l,m,n=−N
i δ~
kl,m,n
~
kl,m,n
k2ei~
kl,m,n·~q ,(2.16)
∂di
∂qj
=−1
L3/2
N
X
l,m,n=−N
δ~
kl,m,n
kikj
k2ei~
kl,m,n·~q .(2.17)
Si lo exp esamos en unci´on de los modos independien es, como nos in e esa, aplicando las
condiciones de ealidad enemos
~
d(~q) = −1
L3/2

N
X
l=1
N
X
m,n=−N
+(l= 0)
N
X
m=1
N
X
n=−N
+(l=m= 0)
N
X
n=1
2 Im δ~
kl,m,n ei~
kl,m,n·~q~
kl,m,n
k2,
(2.18)
∂di
∂qj
=−1
L3/2

N
X
l=1
N
X
m,n=−N
+(l= 0)
N
X
m=1
N
X
n=−N
+(l=m= 0)
N
X
n=1
2 Re δ~
kl,m,n ei~
kl,m,n·~qkikj
k2.
(2.19)
Como hemos mencionado en la in oducci´on y se puede e en (2.17) y (2.19), el enso de de o -
maci´on es una ma iz cuad ada sim´e ica de coe icien es eales y po lo an o es diagonalizable.
Encon amos sus alo es p opios λi, que nos indican la de o maci´on en las es dimensiones
espaciales, median e el m´e odo de Jacobi. Los ec o es p opios no son necesa ios.
20 Cap´ı ulo 2. Me odolog´ıa
2.3. C uce de capas
En la o maci´on de es uc u as en ealidad nunca se da un colapso es ic o en el que la densidad
se hace in ini a, es deci que las exp esiones (1.27) y (1.29) no son ´alidas pa a λi≥1 ni pa a
i(λ)λi≥1 espec i amen e, sino que poco an es de es os l´ımi es se desa olla un mul i lujo de
ma e ia que p oduce que la densidad pe manezca cons an e. En el caso m´as simple, el es ´e ico, el
c uce de lujo de ma e ia se p oduce debido a que las capas in e io es colapsan an es y p oducen
lujo salien e de ma e ia que con a es a al lujo en an e de capas ex e io es. Po lo an o si
seguimos una capa con masa cons an e que es ´a colapsando, ´es a se con ae an es que se de el
c uce de capas en sc pe o despu´es de ´es e, cuando los lujos salien e y en an e se compensan,
queda es abilizada en un ama˜no ´ısico de e minado. Es o p oduce que la densidad en el sis ema
´ısico deje de aumen a y sea cons an e, p oduci´endose as´ı la i ializaci´on de la es uc u a.
En el colapso es ´e ico, que es un buen modelo pa a explica la o maci´on de es uc u as, es e
c uce de capas se da unos ins an es an es del momen o de colapso es ic o sin c uce de capas
(ρ→ ∞) (S´anchez-Conde e al., 2007). Con lo cual, las luc uaciones de densidad δsiguen
c eciendo con el iempo debido a que ρ(~ , > sc) = c e y la densidad del backg ound ρbsigue
disminuyendo debido a la expansi´on del uni e so. Pe o el c uce de capas no ocu e ´unicamen e en
las sob edensidades, sino ambi´en en los ac´ıos. Cuando es os se ex ienden debido a la expansi´on
del uni e so, llega un momen o en el que se encuen an p oduciendo el e ec o mencionado y dando
como esul ado los planos (shee s en ingl´es) y, en la in e secci´on de ´es os, los ilamen os de la
ed c´osmica. Pe o en es e caso lo que pe manece cons an e es el con as e de densidad ya que el
ac´ıo sigue expandi´endose con el ac o de escala, es deci el ama˜no com´o il pe manece ijo.
De es a o ma, debemos inclui el a amien o del c uce de capas pa a que la exp esi´on de la
CZA sea ´alida en gene al y lo hacemos seg´un el siguien e esquema (Be anco -Rijo, 2020):
(1 − i(λ)λi)∗≡










1− iλisi s1≤(1 − iλi)≤s2
s1aisi (1 − iλi)< s1
s2si (1 − iλi)> s2
(1 + δ)−1=
3
Y
i=1
(1 − i(λ)λi)∗.
(2.20)
Pa a ello de inimos dos pa ´ame os que modelan el c uce de capas posi i o s1(colapso) y el
nega i o s2(expansi´on de los ac´ıos). Pa a de ini el pa ´ame o s1nos basamos en que el c uce
2.3. C uce de capas 21
de capas pa a el colapso es ´e ico se da cuando se llega a ρ≈100ρb, lo que signi ica p ´ac icamen e
δ≈100, que co esponde seg´un la ap oximaci´on (1.34) a δl≈1,56. Po lo an o λsp =δl/3 = 0,52
y, seg´un (1.35), sp(1,56) ≈1,52. Finalmen e enemos que el c uce de capas posi i o se p oduce
en s1= 1 − sp(1,56)λsp = 0,2. El signi icado ´ısico es que si enemos un elemen o de olumen
con a is a 1 inicialmen e (λi= 0), con el paso del iempo (aumen o de λi) ´es a disminuye como
1− iλi. Con lo cual, 1− iλi= 0,2 signi ica que la a is a es un 20 % del ama˜no ´ısico inicial y es
el ins an e en el que adquie e un ama˜no ´ısico cons an e. Con lo cual, pa a alo es 1 − iλi≥s1
no hay c uce de capas y pa a alo es 1− iλi< s1se iene en cuen a es e e ec o mul iplicando s1
( ama˜no ´ısico cons an e a pa i del c uce de capas) po ai(el ac o de escala en el momen o
que se p oduce el c uce de capas en la di ecci´on i) pa a ob ene el ama˜no com´o il del elemen o
en el p esen e. El pa ´ame o s2 iene de conside a que el c uce de capas nega i o en el caso
es ´e ico se da cuando ρ= 0,1ρb, es deci δ≈ −0,90, que co esponde a δl=−5 y sp(−5) = 0,694.
En onces enemos que λsp =−5/3 y, po lo an o, el alo de s2= 1 − sp(−5)λsp = 2,15. Con
lo cual, pa a alo es 1 − iλi≤s2no hay c uce de capas y pa a alo es 1 − iλi> s2s´ı que lo
hay. En es e caso, no mul iplicamos s2po aiya que el ama˜no com´o il pe manece cons an e a
pa i del c uce de capas. Es os alo es de s1ys2son los que uncionan pa a Ωm= 1 y, con lo
cual, nos pa ece azonable usa los po lo expues o an e io men e.
La unci´on i(1.30) es siemp e posi i a y iene alo es en o no a 1 seg´un el signo de los λi. Po
ejemplo, si los es son posi i os los es ison mayo es que 1, lo que signi ica que la comp esi´on
en una di ecci´on es acele ada po la comp esi´on en las o as di ecciones (en la ZA no se da es e
e ec o). Es o es debido a dos e ec os: uno es que en es e caso en que δ > 0 la di e gencia del
campo de elocidades es nega i a (1.16) y en onces se p oduce una comp esi´on, y el o o es el
aumen o de la g a edad debido a es a comp esi´on que p oduce la disminuci´on de las dis ancias
en e pa es de la luc uaci´on, po enciando el c ecimien o de δ. Si los es son nega i os los i
son meno es que 1, hecho que no acele a la expansi´on espec o la ZA sino que la educe. En
es e caso, los dos e ec os mencionados an e io men e se con a es an: δ < 0 y la di e gencia del
campo de elocidades es posi i a, consecuen emen e se p oduce una expansi´on que aumen a las
dis ancias en e pa es de la luc uaci´on y que p oduce una educci´on de la g a edad (~g > 0)
(exp esiones 1.10 y 1.11) en el sen ido de la expansi´on, desacele ´andola. Los casos con mezcla
de signo en los λidan imayo es o meno es que 1 seg´un la elaci´on en e los λi.
La unci´on ies buena pa a alo es de λi eales, es deci de pun os en los que no se haya dado
el c uce de capas donde es ´alida la CZA. Pe o cuando los λison g andes en alo absolu o la

22 Cap´ı ulo 2. Me odolog´ıa
unci´on da alo es p oblem´a icos ( i<0 o i>> 1) cuando hay λinega i os, como se menciona
en Makle e al. (2001) donde se compa an dis in as ap oximaciones que p e enden explica la
o maci´on de es uc u as. En onces debemos in oduci c i e ios pa a egula ian es de esol e
el c uce de capas. Es as modi icaciones se comen an en la secci´on 3.2 del cap´ı ulo de esul ados.
La u ina que esuel e el a amien o del c uce de capas sigue los siguien es pasos:
1. O dena λide mayo (λ1) a meno (λ3).
2. Si (1 − 1λ1)< s1buscamos el ins an e x1en que se da el colapso en es a di ecci´on
mul iplicando los λipo es a can idad:
1(x1λ1, x1λ2, x1λ3)x1λ1−(1 −s1) = 0.(2.21)
Donde x1es el cocien e en e los ac o es de c ecimien o co espondien es al ins an e en
que se p oduce el c uce de capas ( 1) y al p esen e ( 0). Ob enemos a pa i de x1el ac o
de escala a1co espondien e seg´un el modelo cosmol´ogico conside ado (2.24). Tenemos
en onces (1 − 1λ1)∗=s1a1.
3. Si s1≤(1 − 1λ1)≤s2−→ (1 − 1λ1)∗= 1 − 1λ1.
4. Si (1 − 1λ1)> s2→(1 − 1λ1)∗=s2.
5. Las condiciones 2, 3 y 4 es ´an o denadas debido a la causalidad. Pa a un λide e minado
se cumple la condici´on 2, 3 o 4 dependiendo de cu´al cumpla el λian e io . Es deci si
λ1cumple la condici´on 2, λ2yλ3pueden cumpli la ambi´en, as´ı como, al e na i amen e,
las condiciones 3 y 4. Pe o a su ez λ3s´olo puede cumpli la misma condici´on que λ2o
in e io . Es deci que si λ2cumple 3, λ3s´olo puede cumpli 3 o 4. En el caso que λ2yλ3
ambi´en cumplan la condici´on 2 encon amos los ins an es x2yx3en el que se da el c uce
de capas espec i amen e:
2(x2λ2, x2λ3, x1λ1)x2λ2−(1 −s1) = 0 ,(2.22)
3(x3λ3, x1λ1, x2λ2)x3λ3−(1 −s1)=0.(2.23)
En es os dos casos se iene en cuen a que el o los λian e io es (λ1oλ1yλ2 espec i amen e)
han quedado congelados debido al c uce de capas p e io en sus di ecciones (con alo es:
x1λ1ox1λ1yx2λ2).
2.4. Campo de desplazamien o seg´un la CZA 23
Pa a encon a el ins an e en el que se da el c uce de capas xihemos elabo ado una u ina que
encuen a la a´ız de las ecuaciones (2.21-2.23) po el m´e odo de la bisecci´on o el de New on-
Raphson. Po o o lado, enemos que xi iene dado po el siguien e cocien e
D(ai)
D(a0= 1) =xi.(2.24)
Si conside amos un uni e so dominado po la ma e ia (Ωm= 1) enemos que D(a)∝ay,
di ec amen e, ai=xi. En el caso de un uni e so ΛCDM con Ωm0, Ω 0y ΩΛ0 como pa ´ame os
de en ada, usamos la exp esi´on gene al de D(a) (2.25) (Hea h, 1977) pa a encon a el alo de
aique cumple (2.24) de la misma o ma que hemos encon ado xi.
D(a) = 1
2a (a)Za
0
3(a0)da0(2.25)
(a) = 1+Ωm01
a−1+ Ω 01
a2−1+ ΩΛ0(a2−1)−1/2
(2.26)
La u ina que calcula el alo de D(a) esuel e la in eg al median e el m´e odo de los apecios o
el de Simpson. En a= 0 hay una inde e minaci´on que se esuel e aplicando la egla de l’Hˆopi al
ob eniendo que l´ıma→0D(a) = 0.
Po ´ul imo, calculamos el p oduc o de los (1− iλi)∗pa a cada pun o inicial ~q de la malla (coo -
denadas lag angianas) y ob enemos la luc uaci´on de densidad co espondien e δ(~ , ) median e
(1 + δ)−1=
3
Y
i=1
(1 − i(λ)λi)∗.(2.27)
Aho a s´olo al a encon a la nue a posici´on ~ (coo denadas eule ianas) del pun o inicial consi-
de ado ~q a pa i del desplazamien o que ha su ido, seg´un la exp esi´on
~ ( )≡a( )~x( ) = a( )h~q +~
d (~q, )i.(2.28)
2.4. Campo de desplazamien o seg´un la CZA
Ob ene el ec o desplazamien o de un pun o con coo denadas lag angianas ~q es lo que nos
pe mi e encon a la coo denada com´o il eule iana ~x y la coo denada p opia ~ . Pa a calcula
el campo de desplazamien o co espondien e a la CZA, ~
d (~q, ), usamos la exp esi´on (1.36) que
24 Cap´ı ulo 2. Me odolog´ıa
nos pe mi e llega a la in eg al de olumen siguien e (Be anco -Rijo, 2019):
~
d (~q, ) = 1
4πZZZ
V
F(~q 0, )
|~q −~q 0|3(~q −~q 0)d3~q 0,(2.29)
donde la unci´on F(~q 0, ) en cada pun o ~q 0de la malla co esponde a la di e gencia del ec o
desplazamien o, que an e io men e (1.36) hemos is o que equi ale a
F(~q 0, ) = ~
∇~q 0~
d =−
3
X
i=1
i(λ)λi.(2.30)
Podemos e que los pun os ~q 0con ~
∇~q 0~
d <0 (P3
i=1 iλi>0) gene an a acci´on sob e ~q y los
pun os con ~
∇~q 0~
d >0 (P3
i=1 iλi<0) epulsi´on. Calculando la in eg al (2.29), i.e. la suma de
odas las con ibuciones de los pun os de la malla, ob enemos el desplazamien o en el pun o ~q,
y a pa i de (2.28) sus coo denadas eule ianas.
Cap´ı ulo 3
Resul ados y discusi´on
A con inuaci´on se p esen an los esul ados ob enidos y su discusi´on. P ime o se mues an cie as
comp obaciones hechas pa a con i ma la co ec a gene aci´on del campo gaussiano, pos e io -
men e las modi icaciones necesa ias en la unci´on i, seguido de los alo es que ob enemos de iλi
del c uce de capas y, a con inuaci´on, los alo es de los campos de densidad y de desplazamien o.
Finalmen e se p esen a un esumen del algo i mo empleado con las ecuaciones co espondien es.
3.1. Comp obaciones del campo gaussiano
En es a secci´on comp obamos algunas p opiedades del campo gaussiano pa a e i ica que es ´a
bien gene ado. En p ime luga , mi amos que pa a un de e minado ~
ksu |δ~
k|ob enido en dis in as
ealizaciones median e (2.10) sigue la dis ibuci´on de Rayleigh (2.8) debido a que conside amos
un olumen ini o, como mues a la igu a 3.1. Hemos conside ado k= 2π/L que seg´un el
espec o de po encias dado po (2.11) iene un alo de P(2π/L) = 13102,93 (Mpc/h)3pa a
L= 200 Mpc/h. El alo m´as p obable de |δ~
k|se encuen a en 80,96 (Mpc/h)3/2y el alo medio
de |δ~
k|2que seg´un (2.9) iene que se P(k) da un alo de <|δ~
k|2>= 13126,56 (Mpc/h)3. Con
lo cual, el e o ela i o es de 1,8·10−3. Es o depende cla amen e del n´ume o de ealizaciones
que hagamos, cuan as menos sean menos se pa ece ´an P(k) y <|δ~
k|2>, y ice e sa.
O a comp obaci´on que debemos hace es que el campo lineal gene ado δl(2.14) enga o ma
gaussiana, como mues a la igu a 3.2, y que sea igual a la suma de los alo es p opios δl=
P3
i=1 λicomo p edice la exp esi´on de la eo ´ıa lineal (1.28). En la abla 3.1 se p esen an dos
ejemplos. En onces ambi´en se cumple que < δ2
l>=<(λ1+λ2+λ3)2>y ob enemos que su
alo en una ealizaci´on coincide con el alo e´o ico p opo cionado po (2.15).
25
32 Cap´ı ulo 3. Resul ados y discusi´on
i(λi, λj, λk) =























λi>0 : idado po (1.30) con Rdado po (1.31)
λi<0 : idado po (1.30) con Rdado po (3.4) si |R|<| i−1−R|yQ≤1
si no, idado po (3.3)
λ1>0 y λ2,3<0 : idado po (3.3)
λ1,2>0 y λ3<0 : idado po (3.3)
(3.6)
3.3. C uce de capas: dependencia en el modelo cosmol´ogico
En es a secci´on emos la di e encia en e hace el a amien o del c uce de capas conside ando
un uni e so dominado po la ma e ia (UDM) o conside ando un uni e so ΛCDM. Tenemos que
el ac o que elaciona las luc uaciones de densidad en dis in o iempo (1.21) iene dado po la
exp esi´on (2.24), con lo cual si di idimos los cocien es de ambos modelos enemos que
[D(ai)/D(a0= 1)]ΛCDM
[D(ai)/D(a0= 1)]UDM
=(xi)ΛCDM
(xi)UDM
=(xi)ΛCDM
ai
,(3.7)
donde hemos conside ado el mismo ins an e de iempo aiy sabemos que en un UDM el ac o
de c ecimien o es p opo cional al ac o de escala D(a)∝a, po lo an o (xi)UDM =ai. En la
igu a 3.4 podemos e ep esen ados (xi)UDM y (xi)ΛCDM en unci´on del ac o de escala, donde
ximues a el i mo al que c ecen las luc uaciones de densidad.
Cuan o m´as g ande sea xi, menos hab ´an cambiado las luc uaciones de densidad desde el ins-
an e aial p esen e. En la igu a 3.4 podemos e que (xi)ΛCDM >(xi)UDM, lo que signi ica que
en ΛCDM las es uc u as colapsan m´as a de que en UDM. Pe o en nues o caso que enemos
un mismo xi, en onces (ai)ΛCDM <(ai)UDM, es deci que pa a que las luc uaciones de densidad
sean xi eces m´as peque˜nas que en la ac ualidad enemos que i m´as a ´as en el iempo po que
a dan m´as en c ece . Con lo cual, 1 − iλi= 0,2aise ´a m´as peque˜no pa a un uni e so ΛCDM
que pa a un UDM y ( iλi)ΛCDM >( iλi)UDM. En la abla 3.3 se mues an ejemplos de cada
caso seg´un el signo de λipa a una ealizaci´on de una caja L= 100 Mpc/h con N= 10 modos.
Como podemos e , s´olo se puede da c uce de capas (posi i o o nega i o) en una di ecci´on isi
en las di ecciones con λmayo en alo absolu o se ha dado. Los xico esponden al ac o de
escala en un UDM y los aial ac o de escala en un uni e so ΛCDM.
Debido a que xino puede se 0, po que se deben cumpli (2.21-2.23), ai ampoco lo puede se

3.3. C uce de capas: dependencia en el modelo cosmol´ogico 33
po que se debe cumpli (2.24). En onces iλinunca se ´a igual a 1, de es a o ma (1.29) siemp e
es ´alida, y enemos que −1,15 ≤ iλi<1 y, po lo an o, que −3<∇~q ~
d ≤3,45.
Figu a 3.4: Compa aci´on en e cocien es xien un UDM y un uni e so ΛCDM en unci´on de ai.
λ1λ2λ3x1x2x3a1a2a3 1λ1 2λ2 3λ3
2.739 1.920 0.996 0.233 0.292 0.476 0.183 0.229 0.380 0.963 0.954 0.924
2.639 1.027 0.101 0.277 0.586 - 0.217 0.476 - 0.957 0.905 0.160
0.881 0.494 0.039 0.800 - - 0.699 - - 0.860 0.627 0.058
-0.278 -1.845 -2.227 - - - - - - -0.184 -1.15 -1.15
1.209 -0.371 -1.505 0.822 - - 0.726 - - 0.855 -0.339 -1.15
0.694 -0.096 -1.494 - - - - - - 0.556 -0.084 -1.15
2.005 1.214 -0.028 0.360 0.541 - 0.284 0.435 - 0.943 0.913 -0.048
1.317 0.599 -1.152 0.648 - - 0.535 - - 0.893 0.567 -1.15
0.665 0.054 -1.194 - - - - - - 0.559 0.050 -1.15
Cuad o 3.3: Valo es p opios del enso de de o maci´on lineal y sus espec i os xi,aiy iλi.
34 Cap´ı ulo 3. Resul ados y discusi´on
3.4. Campos de densidad y de desplazamien o seg´un la CZA
Finalmen e, a pa i de los esul ados de la secci´on an e io (3.3), podemos ob ene los campos
de densidad y de desplazamien o que e an el obje i o de es e abajo. Lo hemos hecho pa a
un uni e so ΛCDM con pa ´ame os cosmol´ogicos Ωm0= 0,3, Ω 0= 8,48 ·10−5y ΩΛ0 = 0,7.
Teniendo en cuen a que la sepa aci´on en e pun os de la malla po de inici´on es ∆ = L/(np −1)
y la exp esi´on is a an e io men e ∆ = λ / , llegamos a que necesi amos el n´ume o de pun os
(o celdas) np = ·N+ 1 en una dimensi´on pa a calcula la in eg al num´e ica (2.29) que
p opo ciona el ec o desplazamien o. Po lo an o, conside ando = 20 y N= 10 necesi amos
una malla con (np )3∼8·106pun os. Usamos s´olo N= 10, que son (2N+ 1)3= 9261 modos
yn= 4630 modos independien es, po que usa m´as implica ´ıa muchas m´as ho as de c´ompu o.
Pe o pa a ex ae in o maci´on m´as ele an e debe ´ıamos aumen a la esoluci´on median e el
aumen o del n´ume o de modos pa a que con ibuye an las escalas m´as peque˜nas. Necesi amos
pues u iliza ´ecnicas de p og amaci´on en ajosas como las Fas Fou ie T ans o ms (FFT) pa a
gene a el campo gaussiano y ob ene el campo de desplazamien o.
Teniendo en cuen a la exp esi´on (2.29) ob enemos el ec o desplazamien o en un pun o con
coo denadas lag angianas ~q calculando la in eg al como la suma de las con ibuciones de los
pun os ~q 0sob e el pun o ~q. Hemos is o en la secci´on an e io que −3<∇~q ~
d ≤3,45, con lo
cual la con ibuci´on en alo absolu o de cada celda con pun o cen al ~q 0es del o den
∼1
4π
|~
∇~q 0~
d |
|~q −~q 0|2d3~q 0.1
4
d3~q 0
|~q −~q 0|2,(3.8)
donde hemos enido en cuen a que el di e encial de olumen d3~q 0= ∆3= 0,125 (Mpc/h)3, ya
que L= 100 Mpc/h, N= 10 y = 20. L´ogicamen e los pun os m´as ce canos a ~q son los que
con ibuyen mayo men e al alo de ~
d(~q).
q1q2q3d 1d 2d 3x1x2x3δ
42.0 60.0 58.0 -0.258 -0.158 1.471 41.742 59.842 59.471 10.524
56.0 44.0 60.0 0.995 -0.939 0.202 56.995 43.061 60.202 -0.452
Cuad o 3.4: Coo denadas lag angianas ~q, ec o de desplazamien o ~
d y coo denadas com´o iles
eule ianas ~x en unidades de Mpc/h y la co espondien e luc uaci´on en la densidad de dos pun os
dis in os, pa a σ= 0,46 (z= 4).
3.4. Campos de densidad y de desplazamien o seg´un la CZA 35
q1q2q3d 1d 2d 3x1x2x3δ
60.0 54.0 46.0 0.495 -2.241 0.297 60.495 51.759 46.297 0.044
43.5 50.5 56.0 -3.876 0.650 -2.791 39.624 51.150 53.209 -0.812
40.0 43.0 47.0 2.971 0.469 -1.208 42.971 43.469 45.792 454.559
Cuad o 3.5: Coo denadas lag angianas ~q, ec o de desplazamien o ~
d y coo denadas com´o iles
eule ianas ~x en unidades de Mpc/h y la co espondien e luc uaci´on en la densidad de es pun os
dis in os, pa a σ= 1,88 (z= 0).
q1q2q3d 1d 2d 3x1x2x3δ
50.5 49.5 40.0 1.517 -2.700 -3.552 52.017 46.800 36.448 8694.293
54.0 45.5 50.5 0.437 -2.435 -4.094 54.437 43.065 46.406 -0.877
Cuad o 3.6: Coo denadas lag angianas ~q, ec o de desplazamien o ~
d y coo denadas com´o iles
eule ianas ~x en unidades de Mpc/h y la co espondien e luc uaci´on en la densidad de dos pun os
dis in os, pa a σ= 2,49 (z=−0,9).
En las ablas 3.5, 3.4 y 3.6 se mues an las coo denadas iniciales lag angianas ~q, el ec o
desplazamien o eal ~
d , las coo denadas com´o iles eule ianas ~x y la luc uaci´on de la densidad
ob enida con la CZA en algunos pun os pa a σ= 1,88, σ= 0,46 y σ= 2,49, que seg´un los
pa ´ame os LyNin oducidos co esponden a los edshi s z= 0, z= 4 y z=−0,9 ( u u o)
espec i amen e. Pa a ob ene las coo denadas p opias simplemen e enemos que mul iplica las
com´o iles ~x po el ac o de escala a(z) (1.1).
Reco demos que el campo de densidad puede ene unos alo es de δ∈(−1,∞), donde δ=−1
signi ica el ac´ıo (ρ= 0) y δ= 0 signi ica que la densidad es la misma que la del backg ound
(ρ=ρb). Como podemos e pa a σ= 1,88 (z= 0) enemos el p ime pun o donde la densidad
es p ´ac icamen e la del backg ound (δ= 0,044), el segundo pun o que ep esen a un ac´ıo
donde la densidad iende a se nula (δ=−0,812) y el e ce pun o con una densidad muy
ele ada que ep esen a un nudo de la ed c´osmica. Pa a σ= 0,46 (z= 4) no encon amos
alo es an ex emos de δdebido a que nos ace camos m´as al ´egimen lineal donde la ma e ia
es ´a dis ibuida m´as homog´eneamen e. El alo de δ= 10,524 es uno de los m´as g andes que
encon amos y δ=−0,452 uno de los m´as peque˜nos. Cuan o mayo es la no linealidad mayo es
36 Cap´ı ulo 3. Resul ados y discusi´on
son los alo es que puede alcanza la luc uaci´on de densidad δposi i amen e y m´as ce canos a
δ=−1 nega i amen e (en es e caso δ=−0,9 debido al pa ´ame o s2usado), como podemos e
pa a σ= 2,49 con un alo m´aximo encon ado de δ= 8694,293 y un m´ınimo de δ=−0,877.
Hemos calculado la a´ız del e o cuad ´a ico medio (RMSE) en e el desplazamien o lineal ~
da
calculado median e (2.18) y el desplazamien o lineal ~
dbcalculado si en la exp esi´on (2.29) in o-
ducimos F(~q) = ~
∇~q ~
d=−P3
i=1 λi, y ob enemos:
RMSE =
u
u
u
D|~
db−~
da|2E
D|~
da|2E.0,1,(3.9)
lo que signi ica que es del o den o meno al 10 % pa a cualquie σ( edshi ). Es e alo nos da
una idea de lo buenos que son los c´alculos, po que ambos deben se siemp e iguales, y po lo
an o es el e o num´e ico en la in eg aci´on. En cambio, si calculamos la RMSE en e el ec o
desplazamien o seg´un la CZA y el desplazamien o lineal (co espondien e a la ZA) s´ı que cambia
seg´un σ, po que a medida que pasa el iempo las no linealidades c ecen haciendo di e ge ambos
ec o es. Pa a σ= 1,88 (z= 0) encon amos que RMSE = 0,5, pa a σ= 0,46 (z= 4) que
RMSE = 0,1 y pa a σ= 2,49 (z=−0,9) que RMSE = 0,6, con lo cual la di e encia en e el
campo de desplazamien o de la ZA y la CZA es del 50 %, el 10 % y el 60 % espec i amen e. En
el caso con σ= 0,46 la RMSE es del o den del e o num´e ico, po lo que es compa ible con
ce o.
3.5. Algo i mo de esoluci´on de la CZA
El c´odigo elabo ado en Fo an 90 pa a de e mina el algo i mo gene al de la CZA cuen a
con dis in os pa ´ame os de en ada. Po un lado enemos el ama˜no de la caja Len la que
amos a hace la ealizaci´on, as´ı como el n´ume o de modos empleados Ny el n´ume o de celdas
que o man la malla en la que di idimos el olumen conside ado. Po o a pa e enemos los
pa ´ame os s1ys2que gobie nan el c uce de capas, comen ado en la secci´on 2.3, y el edshi
al que que emos hace la ealizaci´on. Exis e la opci´on de ejecu a el c´odigo pa a un uni e so
dominado po ma e ia (Ωm= 1) y pa a un uni e so ΛCDM con pa ´ame os cosmol´ogicos Ωm0,
Ω 0y ΩΛ0.
P ime o se gene a el campo gaussiano en el espacio ans o mado δ~
ka pa i de las exp esiones
(2.4), (2.6) y (2.10) y, con ´es e, se ob ienen el campo gaussiano en el espacio eal δl(2.14),
3.5. Algo i mo de esoluci´on de la CZA 37
el ec o desplazamien o lineal ~
d(2.18) y el enso de de o maci´on lineal (2.19) en odas las
celdas de la malla. Es as can idades son las co espondien es a la ac ualidad debido a que se usa
el espec o de po encias ac ual de la ma e ia oscu a ´ıa (2.11). Seguidamen e se ob ienen los
alo es p opios λidel enso de de o maci´on lineal en cada celda a pa i de la diagonalizaci´on
de es e ´ul imo.
En onces, a pa i de es os alo es de λi, se p ocede a esol e la CZA. Se aplica el a amien o
del c uce de capas (2.20) eniendo en cuen a que la unci´on i iene dada po (3.6). Pa a un
uni e so ΛCDM, cuando en una di ecci´on ise p oduce el c uce de capas se encuen a el ac o
ximedian e las exp esiones (2.21-2.23), que pe mi en ob ene el ac o de escala aien el que
ocu e a pa i de la exp esi´on (2.24). Finalmen e, con los alo es de (1 − iλi)∗se ob ienen los
campos de densidad (2.27) y de desplazamien o (2.29) seg´un la CZA y, con es e ´ul imo, se llega
a la posici´on inal de las celdas (coo denadas eule ianas) a pa i de la exp esi´on (2.28).

Cap´ı ulo 4
Conclusiones del abajo y sus
posibles aplicaciones
Como mues an los au o es de la ap oximaci´on de Zeldo ich comple a (CZA) es a ap oximaci´on
mejo a la o iginal de Zeldo ich (ZA), debido a que es exac a a segundo o den a di e encia de la
ZA que lo es a p ime o den po que se basa en la eo ´ıa lineal. De acue do con es o, la con ie e
en mejo pa a de e mina los campos de densidad y de desplazamien o en el ´egimen no lineal.
La unci´on ies impo an e debido a que es lo que ca ac e iza la CZA y la dis ingue de la ZA. En
es e abajo hemos ajus ado la exp esi´on de es a unci´on, que es exac a pa a λiposi i os pe o da
p oblemas cuando hay λinega i os, con al de pode aplica el a amien o del c uce de capas
que se p oduce cuando se comp ime la ma e ia y se o man las es uc u as. El aplica es e e ec o
hace que la exp esi´on de la CZA sea siemp e ´alida, po que limi a supe io men e el alo de iλi,
a di e encia de si no u i´esemos en cuen a el c uce de capas que pa a alo es mayo es a iλi= 1
pod ´ıamos ob ene densidades nega i as. Po lo an o, podemos calcula el campo de densidad
y el de desplazamien o en cualquie pun o del olumen conside ado, donde la ob enci´on de es e
´ul imo con la CZA es algo que no se hab´ıa hecho has a la echa. La esoluci´on aplicada a la
soluci´on del p oblema es baja, es deci que no hemos enido en cuen a las escalas m´as peque˜nas,
ya que hemos usado un n´ume o de modos bajo pa a el olumen de in e ´es. Es o es debido al al o
cos e compu acional en cuan o a iempo, pe o pa a el obje i o de es e abajo no es necesa ia
m´as esoluci´on ya que s´olo es amos poniendo a pun o la CZA y no es udiando la es uc u a a
g an escala del uni e so. De es a o ma, se pueden mejo a los esul ados in i iendo m´as ho as
de c´alculo o, como opci´on ´op ima, mejo a las ´ecnicas de p og amaci´on usadas en la gene aci´on
del campo gaussiano y el c´alculo del ec o desplazamien o. Exis en p og amas como PATCHY
38
39
de F ancisco-Shu Ki au a que son mucho m´as e icien es al ealiza es os c´alculos, con el que he
empezado a abaja pe o se escapa del iempo disponible en la ealizaci´on de es e abajo. En
esumen, es e abajo de e mina el algo i mo gene al de la CZA con sus pa ´ame os lib es.
El siguien e paso es de e mina los alo es ´op imos de es os pa ´ame os lib es (s1,s2) y su depen-
dencia en los pa ´ame os cosmol´ogicos usando simulaciones num´e icas, as´ı como la comp obaci´on
de c´omo de buena es la CZA median e la compa aci´on con es as simulaciones de N-cue pos, de-
bido a que son las m´as p ecisas pe o con un ele ado cos e compu acional. O o obje o de es udio
u u o iene que e con el hecho de que en las ealizaciones de la es uc u a a g an escala,
apa e de la gene aci´on del campo hay que emplaza los halos de ma e ia oscu a de acue do
con la unci´on de masa c´osmica local (FMCL), y se ha is o (Balague a-An ol´ınez e al., 2020)
que la dependencia de ´es a en el campo de ma ea es impo an e. En onces se pod ´ıan ob ene
anal´ı icamen e unciones de masa c´osmica condicionada (Rubi˜no-Ma ´ın e al., 2008) de o ma
que incluya la dependencia en el campo de ma ea lineal. Luego, usando la CZA pa a ob ene
el campo de ma ea eal en unci´on del lineal se ob end ´ıa la FMCL como unci´on del campo de
ma ea local.
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